冀教新版九年级数学上学期《25.5 相似三角形的性质》同步练习卷

25.4 相似三角形的判定（一）一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对2．已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．3．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，CD=3，CE=2．则AE的长等于（）A．5 B．6 C．7 D．9二、填空题5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1=∠______时，△ADC∽△ACB，若∠2=∠______时，△ADC∽△ACB．6．如图，如果∠B=∠C，那么______∽______，______∽______．7．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF=______．8．如图AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数有______对．9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=______m．10．如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有______对．三、解答题11．如图，若∠A=∠C，那么△OAB与△OCD相似吗？有OA•OD=OB•OC吗？为什么？12．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．14．如图：AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若∠DAC=∠B，CD=CE．试说明△ACE∽△BAD．四、综合运用题15．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的长．《25.4 相似三角形的判定（一）》答案一、选择题1．C；2．C；3．C；4．C；二、填空题5．B；ACB；6．△BAE；△CAD；△BOD；△COE；7．2.4；8．6；9．5.5；10．4；三、解答题11．12．13．14．四、综合运用题15．。

冀教新版九年级上学期《25.5 相似三角形的性质》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF＝2：5，则S△DEF：S△DBC为（）A．2：5B．4：25C．4：31D．4：352．如图，△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，则下列结论中错误的是（）A．B．C．DE＝BC D．S△ADE＝S四边形BCED3．如下图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC＝15，BC边上的高是10，则正方形的面积为（）A．6B．36C．12D．494．如图，∠BAC＝∠ABC＝45°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．FE ＝1，BE＝2．下列结论：①△CBE≌△ACD，②AD＝6，③AF＝BC，④BC＝．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③5．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9cm，BC＝8cm，CA＝5cm，A′B′＝3cm，B′C′＝cm，C′A′＝cm，则（）A．∠B＝∠A′B．∠A＝∠C′C．∠A＞∠B′D．∠C＝∠B′6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和CE是高，∠ACE＝45°，点F是AC的中点，AD 与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE＝∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BC•AD＝AE2；④S△ABC＝4S△ADF．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．47．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2016D．（）2017 8．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，GD＝2CG，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③＝；④4S△EFO＝S△DGO．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长是（）A．6B．5C．4D．311．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，若DE：CE＝1：2，则CF：AF的值为（）A．1：2B．1：3C．2：3D．4：912．在探究“抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），过点A且与x 轴成45°角的直线，与抛物线交于点C”的图形性质时，小慧在得出“在第一象限存在一点C1，第四象限存在一点C2满足条件”这一正确结论后，还由此得出下列结论：①C1的横坐标为4，C2的纵坐标为﹣3；②sin∠AC1C2＝；③过点C1、C2作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2，则△C1D1B∽△C2D2B，则其中正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为（）A．B．C．D．14．如图，正方形ABCD中，AE＝EF＝FB，BG＝2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是（）A．AG⊥FDB．AQ：QG＝6：7C．EP：PD＝2：11D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF＝17：915．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列等式①＝②＝③＝④＝其中正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③④二．填空题（共13小题）16．如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上一点，AB＝5BP，点E在对角线AC上，△PEF是直角三角形，PE＝PF，AE＝2，△APF的面积为12，则BF的长是．17．如图，在▱ABCD中，AB＝8，P、Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ交CD于点N，则CN＝．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则BE的长为．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有（只填序号）20．如图，△ABD，△BCE均为等边三角形，A，B，C三点在同一直线上，点F在AB上，且∠DFE＝60°，以下结论：①DF＝EF；②AF＝BC；③＝；④DF2＝DB•DG，正确的有（填序号）．21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC＝．22．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，P是直线CD上一动点，连BP，过P作BP的垂线，交直线AD于E，交直线BC于F，若DE＝1，CF＝3，则PC＝．23．如图，n+1个边长为1的等边三角形一边均在同一直线上，设△BMN面积为S，△B1M1N1面积为S1，△B2M2N2的面积为S2，…，△B n M n N n的面积记为S n，则：①S＝，②请你计算归纳S1，S2，…，可得S1+S2+…+S2011＝．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE ＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号填上）25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为边AC上一点（不包括点A和C），以点A为圆心，AM长为半径作劣弧交AB于点N，将沿AB水平向右平移，使点M落在BC上点M′处，则扫过的最大面积为．26．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为．27．如图，边长为2的等边三角形AEF顶点E，F分别在正方形ABCD边BC与CD上，正方形A'B'C'D'的顶点A'，D'在边AE，AF上，点B'，C'在边EF上，则≈（结果保留两个有效字）（参考数据：）28．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，那么AB＝．三．解答题（共22小题）29．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．30．如图，已知▱ABCD的面积为S，点P、Q是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF．甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点”．乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为S”．请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由．31．Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，点F在射线CB上，射线FD交射线CA 于点H，点E在边AB上，连接CE，FH交线段CE于点G且BE•CH＝CD•CB．（1）如图1，求证：FH⊥CE；（2）若BC＝2BF，探索线段AD，BE，BD之间的数量关系．32．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE＝60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD＝∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB＝6，AE＝5时，求线段AG的长．33．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O 的切线，两条切线相交于点X，连接AX．求证：．34．如图，，EF＝10，BC＝15，GD＝4，求AD的长．35．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．36．如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．（1）请探究线段BD与CE的数量关系．（2）在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．37．如图，点E为平行四边形ABCD中DC延长线上的一点，且CE＝DC．连结AE，分别交BC、BD于点F、G．若BD＝6，求DG的长．38．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．（1）求证：D是BC的中点；（2）求证：△BEC∽△ADC；（3）若CE＝5，BD＝6.5，求AB的长．39．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC边上一点，作∠BPE＝∠BCA，交AB 于点E，过点B作BD⊥PE，垂足为D，交CA的延长线于点F．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△ABF≌△APE；（2）通过观察、测量、猜想：＝，并结合图②证明你的猜想；（3）若把条件“AB＝AC”改为AB＝mAC，其他条件不变（如图③），求的值．（用含m的式子表示）40．如图所示，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．（1）求证：△CEB≌△ADC；（2）若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．41．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点P、Q、R分别在三边AB、BC、CA上，PQ＝QR＝RP＝x，CP交RQ于点K，两条直线RQ与AB相交于点T．若PQ∥AC，试求①x、②及③BT．42．如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP•PC＝BM•CN．43．如图，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，E是AB延长线上一点，∠CDB＝∠ADE．（1）DE是⊙O的切线吗？请说明理由；（2）求证：AC2＝CD•BE．44．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB（2）若AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．45．如图，△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD，AG分别是边BC，EF上的中线，∠1＝∠2，连接BE，DG．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求证：△ABE∽△ADG．46．如图，AD∥EG∥BC，AD＝6，BC＝9，AE：AB＝2：3，求GF的长．47．如图，AB＝2AC，BD＝2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC＝BD，AD＝BD，设BD＝m，求BC的长．48．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP 为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．49．如图，在△ABD和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；（2）如果∠ABC＝∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？50．已知△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，以AD为直径作圆O，交AB边于点G，交AC边于点F．如果点F恰好是的中点．（1）求CD的长度；（2）当BD＝3时，求BG的长度．冀教新版九年级上学期《25.5 相似三角形的性质》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF＝2：5，则S△DEF：S△DBC为（）A．2：5B．4：25C．4：31D．4：35【分析】根据平行四边形对边互相平行可得AB∥DE，然后求出△DEF和△BAF相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为4：25，设S△DEF ＝4S，S△BAF＝25S，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ADF＝10S，然后表示出S△ABD的面积，再根据平行四边形的性质可得S△DBC＝S△ABD，然后相比计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF：S△BAF＝（EF：AF）2＝4：25，设S△DEF＝4S，则S△BAF＝25S，∵EF：AF＝2：5，∴S△DEF：S△ADF＝EF：AF＝2：5，∴S△ADF＝×5＝10S，∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25S+10S＝35S，∵BD是平行四边形ABCD的对角线，∴S△DBC＝S△ABD，∴S△DBC＝35S，∴S△DEF：S△DBC＝4S：35S＝4：35．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用．2．如图，△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，则下列结论中错误的是（）A．B．C．DE＝BC D．S△ADE＝S四边形BCED【分析】根据相似三角形对应边对应成比例作答．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴A、，错误；B、，正确；∵D为AB的中点，∴，∴，C、DE＝BC，正确；∴＝，D、S△ADE＝S四边形BCED，正确．故选：A．【点评】主要考查了相似三角形的判定和性质．找准相似三角形对应边是解题的关键．3．如下图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC＝15，BC边上的高是10，则正方形的面积为（）A．6B．36C．12D．49【分析】过A作AI⊥BC交BC于I，交HG于K，设正方形EFGH的边长为x，则HG＝HE ＝IK＝x，根据题意可得＝，且AK＝AI﹣x，代入可求得x，进一步可求得面积．【解答】解：过A作AI⊥BC交BC于I，交HG于K，设正方形EFGH的边长为x，则HG＝HE＝IK＝x，∵HG∥BC，∴＝，且AK＝AI﹣x，又∵AI＝10，BC＝15，∴＝，解得x＝6，∴S正方形EFGH＝x2＝36．故选：B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意方程思想的应用．4．如图，∠BAC＝∠ABC＝45°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．FE ＝1，BE＝2．下列结论：①△CBE≌△ACD，②AD＝6，③AF＝BC，④BC＝．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③【分析】由AAS可证明△CBE≌△ACD，从而可判定①正确；先证明△DF A∽△EFB，得出AD＝2DF，又由①知AD＝CE，设DF＝x，则2x＝x+3，解方程即可判定②正确；如果AF＝BC成立，那么由BC＝AC，则AF＝AC成立，∠ACF＝∠AFC成立，根据等角的余角相等，得∠BCE＝∠DAF成立，而∠BCE＝∠CAD，即需∠CAD＝∠DAF，但是已知条件没有交代，从而可判定③错误；在直角△ACD中，由CD＝2，AD＝6，根据勾股定理即可判定④正确．【解答】解：∵∠BAC＝∠ABC＝45°，∴CB＝AC，∠ACB＝90°．在△CBE与△ACD中，，∴△CBE≌△ACD，故①正确；∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴BE∥AD，∴△DF A∽△EFB，∴DF：EF＝AD：BE，∵FE＝1，BE＝2，∴DF：1＝AD：2，∴AD＝2DF．设DF＝x，则AD＝2x．又由①知△CBE≌△ACD，∴AD＝CE，BE＝CD＝2，∴2x＝x+3，∴x＝3，∴AD＝2x＝6，故②正确；假设AF＝BC成立．∵BC＝AC，∴AF＝AC，∴∠ACF＝∠AFC，∴∠BCE＝∠DAF，∵∠BCE＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAF，这与已知条件不符，故③错误；在直角△ACD中，∵∠ADC＝90°，CD＝2，AD＝6，∴AC＝＝2，故④正确．故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难度中等．②中根据相似三角形的判定证明△DF A∽△EFB，并且根据其性质得出AD＝2DF是解题的关键．5．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9cm，BC＝8cm，CA＝5cm，A′B′＝3cm，B′C′＝cm，C′A′＝cm，则（）A．∠B＝∠A′B．∠A＝∠C′C．∠A＞∠B′D．∠C＝∠B′【分析】根据三角形各对应边比值相等可得△ABC∽△A'B'C'，即可解题．【解答】解：∵＝＝，∴△ABC∽△A'B'C'，∴∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∵BC＞AC，∴∠A＞∠B，∴∠A＞∠B'，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABC∽△A'B'C'是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和CE是高，∠ACE＝45°，点F是AC的中点，AD 与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE＝∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BC•AD＝AE2；④S△ABC＝4S△ADF．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【分析】①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；②根据ASA证明即可，结论正确；③利用面积法证明即可，结论正确；④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确；【解答】解：∵CE⊥AB，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∵AF＝CF，∴EF＝AF＝CF，∴△AEF，△EFC都是等腰直角三角形，∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，∵∠AHE+∠EAH＝90°，∠DHC+∠BCE＝90°，∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠BCE，∵AE＝EC，∠AEH＝∠CEB＝90°，∴△AHE≌△CBE，故②正确，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE，AB＝AC＝AE，AE＝CE，∴BC•AD＝CE2，故③正确，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴S△ABC＝2S△ADC，∵AF＝FC，∴S△ADC＝2S△ADF，∴S△ABC＝4S△ADF．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2016D．（）2017【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．8．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG 交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH＝90°，则可得②BH ⊥DE；由△DGO与△DCE相似即可判定③错误，由△OEF与△GBC相似即可求得④．【解答】证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），故①正确；②延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG＝∠CDE，又∵∠CBG+∠BGC＝90°，∴∠CDE+∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE；∴BG⊥DE．故②正确；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴＝，∴＝是错误的．故③错误；④∵DC∥EF，∴∠GDO＝∠OEF，∵∠GDO＝∠GBC，∴∠OEF＝∠GBC，∵∠F＝∠BCG＝90°，∴△OEF∽△GBC，∴＝（）2＝（）2，∴．故④正确；故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键．9．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，GD＝2CG，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③＝；④4S△EFO＝S△DGO．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG 交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH＝90°，则可得②BH ⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．【解答】证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），故①正确；②延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG＝∠CDE，又∵∠CBG+∠BGC＝90°，∴∠CDE+∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE；∴BG⊥DE．故②正确；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴，∴，是错误的．故③错误；④∵DC∥EF，∴∠GDO＝∠OEF，∵∠GOD＝∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴＝（）2，∵GD＝2CG，∴EF＝CG＝GD，∴＝（）2＝4，∴4S△EFO＝S△DGO．故④正确；故选：C．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长是（）A．6B．5C．4D．3【分析】直角三角形斜边上的高线把直角三角形分的得两个三角形与原三角形相似．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D∴△ACD∽△ABC∴AC：AB＝AD：AC∵AC＝6，AB＝9∴AD＝4．故选：C．【点评】本题主要考查定理：直角三角形斜边上的高线把直角三角形分的得两个三角形与原三角形相似．11．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，若DE：CE＝1：2，则CF：AF的值为（）A．1：2B．1：3C．2：3D．4：9【分析】根据题意可知，根据平行四边形的性质可知△CEF∽△ABF，从而可求出答案．【解答】解：∵DE：CE＝1：2，∴，在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴△CEF∽△ABF，∴＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于基础题型．12．在探究“抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），过点A且与x 轴成45°角的直线，与抛物线交于点C”的图形性质时，小慧在得出“在第一象限存在一点C1，第四象限存在一点C2满足条件”这一正确结论后，还由此得出下列结论：①C1的横坐标为4，C2的纵坐标为﹣3；②sin∠AC1C2＝；③过点C1、C2作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2，则△C1D1B∽△C2D2B，则其中正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】利用方程组求出C1，C2的坐标，即可一一判断．【解答】解：由题意A（﹣1，0），B（3，0），由解得或，∵A（﹣1，0），∴C1（4，5），由解得或，∴C2（2，﹣3），故①正确，∴AC2＝3，C1C2＝2，∴sin∠AC1C2＝＝＝，故②正确，∵≠，故③错误，故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定、抛物线与x轴的交点、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴，∵AD＝1，BC＝3．∴＝．故选：B．【点评】此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．14．如图，正方形ABCD中，AE＝EF＝FB，BG＝2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是（）A．AG⊥FDB．AQ：QG＝6：7C．EP：PD＝2：11D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF＝17：9【分析】先用SAS证明两个三角形全等，得到对应的角相等，证明A正确．根据两角对应相等，证明两三角形相似，分别用含a的式子表示AQ和QG，求出它们的比值，证明B 正确．用三角形相似，对应线段的比相等，求出EP：PD的值，证明C不正确．分别用含a的式子表示两个四边形的面积，求出它们的比值，证明D正确．【解答】解：A、∵AD＝BA，∠DAF＝∠ABC＝90°，AF＝BG＝BC．∴△DAF≌△ABG，∴∠DF A＝∠AGB，∵∠AGB+∠BAG＝90°，∴∠BAG+∠DF A＝90°，∴AG⊥FD．所以A正确．B、设AE＝EF＝FB＝a，则BG＝2a，AG＝a．由A可得：△AFQ∽△AGB，∴＝，AQ＝＝＝．QG＝AG﹣AQ＝＝．AQ：QG＝：＝6：7．所以B正确．C、如图1：延长AG，DC相交于H，则△ABG∽△HCG，设AE＝EF＝FB＝a，BG＝2a，GC＝a，得到CH＝．又△AEP∽△HDP，∴＝＝＝2：9．不是2：11．所以C不正确．D、如图2：连接FG，DG．设AE＝EF＝FB＝a，BG＝2a，GC＝a，DC＝3a，由△AFQ∽△AGB，得：＝，FQ＝＝＝，∴DQ＝DF﹣FQ＝﹣＝．S四边形GCDQ＝S△GCD+S△GQD＝GC•CD+GQ•QD＝a•3a+••＝．S四边形BGQF＝S△FBG+S△FQG＝BG•BF+FQ•GQ＝a•2a+••＝．∴S四边形GCDQ：S四边形BGQF＝：＝17：9．所以D正确．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质可以得到三角形全等或相似，然后用全等或相似的性质进行计算或证明，得到正确的判断．15．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列等式①＝②＝③＝④＝其中正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】利用DE∥BC，EF∥AB，得出△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB，进而得出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB，∴，故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握判断三角形相似的方法是解本题的关键．二．填空题（共13小题）16．如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上一点，AB＝5BP，点E在对角线AC上，△PEF是直角三角形，PE＝PF，AE＝2，△APF的面积为12，则BF的长是．【分析】如图，作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，设EF交AB于点O．首先证明△AFN是等腰直角三角形，证明△PME≌△FNP，利用三角形面积公式求出FN，再求出BN，在Rt△BFN中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，设EF交AB于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵∠EPF＝90°，PE＝PF，∴∠EFP＝∠PEF＝45°，∴∠OAE＝∠OFN，∵∠AOE＝∠FOP，∴△AOE∽△FOP，∴＝，∴＝，∵∠AOF＝∠BOP，∴△AOF∽EOP，∴∠F AO＝∠PEF＝45°，∵∠ANF＝90°，∴∠NAF＝∠NF A＝45°，∴AN＝FN，∵∠PME＝∠FNP＝∠EPF＝90°，∴∠FPN+∠EPM＝90°，∠NPF+∠PFN＝90°，∴∠EPM＝∠PFN，∵PE＝PF，∴△PME≌△FNP（AAS），∴PM＝FN，EM＝PN，∵AE＝2，∴AM＝ME＝，设FN＝PM＝x，∵S△AFP＝12，∴•（+x）•x＝12，∴x＝3或﹣4，∴AP＝4，∵AB＝5BP，∴AP＝4PB，∴PB＝，BN＝2，∴BF＝＝＝．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．如图，在▱ABCD中，AB＝8，P、Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ交CD于点N，则CN＝2．【分析】根据平行四边形定义得：DC∥AB，由两角对应相等可得：△NQC∽△MQA，△DPC∽△MP A，列比例式可得CN的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CNQ＝∠AMQ，∠NCQ＝∠MAQ，∴△NQC∽△MQA，同理得：△DPC∽△MP A，∵P、Q为对角线AC的三等分点，∴，，设CN＝x，AM＝2x，∴，x＝2，∴CN＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握两角对应相等，两三角形相似的判定方法是关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则BE的长为3．【分析】由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝3，BC∥AD，∵E为BC上一点，∴CE∥AD，∠FEC＝∠F AD，∠FCE＝∠D，∴△FCE∽△FDA，∴＝＝，又∵CD＝3，CF＝1，AD＝4，∴CE＝×4＝1，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣1＝3．故答案是：3．【点评】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是相似三角形对应边成比例．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有①②③④（只填序号）【分析】①正确．只要证明∠CPM＝∠P AB，∠C＝∠B＝90°，即可；②正确，设PB＝x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；③正确．根据HL即可证明；④正确，作MG⊥AB于G，因为AM＝＝，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为，AM的最小值为．⑤错误，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．【解答】解：①由翻折可知，∠APE＝∠APB，∠MPC＝∠MPN，∴∠APE+∠MPF＝∠CPN+∠BPE＝90°，∴∠CPM+∠APB＝90°，∵∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确；②设PB＝x，则CP＝2﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（2﹣x），∴S四边形AMCB＝[2+x（2﹣x）]×2＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+2.5，∴x＝1时，四边形AMCB面积最大值为2.5，故②正确；③在Rt△ADN和Rt△AEN中，，∴△ADN≌△AEN．故③正确；④作MG⊥AB于G，∵AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝2﹣x（2﹣x）＝（x﹣1）2+，∴x＝1时，AG最小值＝，∴AM的最小值＝＝，故④正确．⑤当PB＝PC＝PE＝1时，由折叠知，ND＝NE，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+1）2＝（2﹣y）2+12解得y＝，∴NE＝，∴NE≠EP，故⑤错误，【点评】此题是四边形综合题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．20．如图，△ABD，△BCE均为等边三角形，A，B，C三点在同一直线上，点F在AB上，且∠DFE＝60°，以下结论：①DF＝EF；②AF＝BC；③＝；④DF2＝DB•DG，正确的有（填序号）①②④．【分析】可证明△ADF≌△BDE≌△CFE，得出DF＝EF＝DE，AF＝BC＝BE；证明△DFG ∽△DBF，得到DF2＝DB•DG，可知①②④正确．【解答】解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，∴AB＝BD＝AD，BC＝CE＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠DBE＝∠DFE＝60°，∴B、E、D、F四点共圆，∴∠BDE＝∠CFE，又∵∠CFE+∠AFD＝180°﹣60°＝120°＝∠ABF+∠AFD，∴∠BDE＝∠CFE＝∠ADF，在△ADF和△BDE中∴△ADF≌△BDE∴AF＝BE＝BC＝CE，∴AD＝AB＝FC，在△ADF和△CFE中，∴△ADF≌△CFE，∴DF＝EF＝DE，AF＝BC＝BE；故①②都正确；∵∠DFE＝∠DBF＝60°，∠BDF＝∠BDF，∴△DFG∽△DBF，∴DF2＝DB•DG，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质，发现图形中的全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC＝5：4：6．【分析】过点G作GP∥BC交DF于P，设GH＝2a，则由平行线的性质得出，进而即可得出结论．【解答】解：过点G作GP∥BC交DF于P，如图所示：则，设GH＝2a，则HC＝3a，∴EG＝a，∴EG：GH：HC＝5：4：6．故答案为：5：4：6．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及正方形的一些性质问题，要求学生能够利用其性质求解一些简单的计算问题．22．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，P是直线CD上一动点，连BP，过P作BP的垂线，交直线AD于E，交直线BC于F，若DE＝1，CF＝3，则PC＝8．【分析】设AB＝x，则BC＝2x，由矩形的性质和已知条件可得：PC2＝BC•CF，DE∥CF可证明△EDP∽△FCP，由相似三角形的性质可得：，又因为AB＝DP+PC，所以可建立关于x的方程，求出x的值，进而可求出PC的长．【解答】解：设AB＝x，则BC＝2x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴PC⊥BF，∵BP⊥FP，∴PC2＝BC•CF，∵BC＝2x，CF＝3，∴PC2＝6x，∴PC＝，∵DE∥CF，∴△EDP∽△FCP，∴，即，∴DP＝，∵AB＝CD＝DP+CP＝+＝x，∴x＝，∴PC＝＝＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设未知数通过图形中线段的数量关系建立方程，解方程即可，此题对学生的计算能力要求也很高．23．如图，n+1个边长为1的等边三角形一边均在同一直线上，设△BMN面积为S，△B1M1N1面积为S1，△B2M2N2的面积为S2，…，△B n M n N n的面积记为S n，则：①S＝，②请你计算归纳S1，S2，…，可得S1+S2+…+S2011＝．【分析】①连接BB1，由于△BAN是边长为1的等边三角形，则S△BAN＝．由于BN∥B1A且BN＝B1A，则四边形BNAB1是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出BM＝AM，则S＝S△BAN＝；②连接B1、B2、B3…B n点，显然它们共线且平行于NA n，则B1B2∥NA，△B1B2N1∽△ANN1，△B1B2M1∽△A2NM1，根据相似三角形的性质得出B1N1：AN1＝B1B2：AN＝1，B1M1：M1A2＝B1B2：A2N＝1：2，然后根据三角形的面积公式得出S1＝×S△BAN，同理，可求出S2＝×S△BAN，…，S2011＝×S△BAN，最后将它们相加即可．【解答】解：①连接BB1．∵△BAN是边长为1的等边三角形，∴S△BAN＝．∵∠BNA＝∠B1AA2＝60°，∴BN∥B1A，∵BN＝B1A，∴四边形BNAB1是平行四边形，∴BM＝AM，∴S＝S△BAN＝；②连接B1、B2、B3…B n点，显然它们共线且平行于NA n，则B1B2∥NA，∴△B1B2N1∽△ANN1，△B1B2M1∽△A2NM1，∴B1N1：AN1＝B1B2：AN＝1，B1M1：M1A2＝B1B2：A2N＝1：2，∴B1N1＝AB1，B1M1＝A2B1，∴S1＝×B1N1×B1M1sin∠N1B1M1＝×AB1×A2B1sin∠N1B1M1＝×S△BAN＝（﹣）S△BAN，同理，△B2B3N2∽△A2NN2，△B2B3M2∽△A3NM2，∴B2N2：A2N2＝B2B3：A2N＝1：2，B2M2：M2A3＝B2B3：A3N＝1：3，∴B2N2＝A2B2，B2M2＝A3B2，∴S2＝×B2N2×B2M2sin∠N2B2M2＝×A2B2×A3B2＝×S△BAN＝（﹣）S△BAN，…，∴S2011＝×S△BAN＝（﹣）S△BAN，∴S1+S2+…+S2011＝（﹣）S△BAN+（﹣）S△BAN+…+（﹣）S△BAN＝（﹣）S△BAN＝×＝．故答案为：①；②．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的定义和性质、三角形的面积公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；其中正确的结论是①②．（把你认为正确结论的序号填上）【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得．③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．【解答】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠ADE＝∠B∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正确，②作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝AB cos B，∴BC＝2BG＝2AB cos B＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA）．。

秋九年级数学上册 25.6 相似三角形的应用同步练习（新版）冀教版秋九年级数学上册25.6相似三角形的应用同步练习（新版）冀教版25.6类似三角形的应用基础巩固jichugonggu1.如图所示，为了测量池塘的宽度De，在河岸上找到一个C点，测量CD=30m，在DC的延长线上找到一个a点，测量AC=5m，将a点作为ab‖De到EC的延长线，测量ab=6m，那么池塘的宽度De为（）a．25mb、 30米c．36md、 4000万2．如图，小亮同学在晚上由路灯a走向路灯b，当他走到点p时，发现他的身影顶部正好接触路灯b的底部，这时他离路灯a25米，离路灯b5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为()a、 640万b．8米c、 960万d．11.2米3.如图所示，a和B由池塘隔开。

为了测量a和B之间的距离，在AB外选择合适的点C连接AC和BC，并分别取线段AC和BC的中点E和F。

如果EF=20m，ab=。

4．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米．5.如图所示，它是测量工件内径的仪器。

两个等长交叉点O的支腿AC和BD，OA=4oC，OB=4OD使用时，只要长支腿端（AB）延伸到工件中，两个支腿就会打开，使a和B与内径完全接触。

此时，测量CD的距离，就可以知道工件的内径。

请解释其中的真相，并给出答案具体的合理数值加以验证．6.如图所示，在平面上，一栋建筑AB距离塔CD 60米，另一栋建筑EF距离塔20米。

有人发现AB的顶部a与建筑EF的顶部e和塔的顶部C成一条直线。

已知AB高15米，EF高25米，所以请找出塔的高度能力提升nenglitisheng7.如图所示，晚上丁轩从路灯AC走到路灯BD。

当他到达P点时，他发现他的影子的顶部刚好碰到他身后的路灯AC的底部。