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一次函数关系式

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一次函数关系式5．（2010浙江宁波）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米. 小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为▲分钟，小聪返回学校的速度为▲千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?【答案】．解：(1)15，4152分(2)由图象可知，s是t的正比例函数设所求函数的解析式为(0)s kt k=≠代入(45，4)得:445k=，解得:445 k=∴s与t的函数关系式为445s t=(045t≤≤) 4分(t的取值范围不写不扣分)(3) 由图象可知，小聪在3045t≤≤的时段内，s是t的一次函数，设函数解析式为(0)s mt n m=+≠，代入(30，4)，(45，0)得:304450m nm n+=⎧⎨+=⎩5分解得:41512mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴412(3045)15s t t=-+≤≤6分(t的取值范围不写不扣分)t(分钟) 小聪小明令44121545t t -+=，解得1354t = 7分当1354t =时， 41353454s =⨯=，答: 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米. 8分6．（2010 浙江台州市）A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．【答案】（1）①当0≤x ≤6时，x y 100=；②当6＜x ≤14时， 设b kx y +=，∵图象过（6，600），（14，0）两点， ∴⎩⎨⎧=+=+.014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k∴105075+-=x y ． ∴⎩⎨⎧≤<+-≤≤=).146(105075)60(100x x x x y（2）当7=x 时，5251050775=+⨯-=y ，757525==乙v （千米/小时）． 8．（2010 浙江衢州）(本题10分)小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2) 下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：① 小刚到家的时间是下午几时？② 小刚回家过程中，离家的路程s (米)与时间t (分)之间的函数关系如图，请写出点B 的坐标，并求出线段CD 所在直线的函数解析式．【答案】解：(1) 小刚每分钟走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=23(米)， 所以小刚上学的步行速度是120×23=80(米/分)．小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)．少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．(2) ①1200300800300306045110-+++=(分钟)，所以小刚到家的时间是下午5：00．② 小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时9002045=分，此时小刚离家1 100米，所以点B 的坐标是（20，1100）．线段CD 表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s (米)与行走时间t (分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 1100110(50)s t =--， 即线段CD 所在直线的函数解析式是6600110s t =-． (线段CD 所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：点C 的坐标是（50，1100），点D 的坐标是（60，0）设线段CD 所在直线的函数解析式是s kt b =+，将点C ，D 的坐标代入，得501100,600.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 110,6600.k b =-⎧⎨=⎩所以线段CD 所在直线的函数解析式是1106600s t =-+)9．（2010湖南邵阳）为了增强居民的节约用水的意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5吨的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5吨的部分，按每吨2.6元收费。

设某用户月用水量x 吨，自来水公司的应收水费为y 元。

（1）试写出y （元）与x （吨）之间的函数关系式；（2）该户今年5月份的用水量为8吨，自来水公司应收水费多少元？【答案】解：（1）当x ≤5时，y ＝2x)当x >5时，y ＝10＋（ｘ－5）×2.6＝2.6ｘ－3（2）因为x ＝8>5 所以y ＝2.6×8－3=17.3． 10．（2010重庆綦江县）“震灾无情人有情”，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360千米的灾区B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：（1）请你用学过的函数中的一种建立y 与x 之间的函数关系式，说明选择这种函数的理由；（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B 处卸去货物后能顺利返回D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升）【答案】解：（1）如图，把五组数据在直角坐标系中描出来，这五个点在一条直线上，所以y 与x 满足一次函数关系．x设y ＝kx ＋b ，（k ≠0） 则150,120b k b=⎧⎨=+⎩解得：30150k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝－30x ＋150（2）设在D 处至少加W 升油，根据题意得：123604601215043030302106060W -⨯--⨯-⨯+⨯⨯+≥．解得：W ≥94答：D 处至少加94升油，才能使货车到达灾区B 地卸物后能顺利返回D 处加油． （说明：利用算术方法分段分析解答正确也给满分）11．（2010山东临沂）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为1y 千米、2y 千米，1y 、2y 与x 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出1y 、2y 与x 的函数关系式；（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时?【答案】解：（1）y 1=4x （0≤x ≤2.5）,y 2=-5x+10（0≤x ≤2）（2）根据题意可知：两班相遇时，甲乙离A 地的距离相等，即y 1=y 2，由此可得一元一次方程 -5x+10=4x, 解这个方程，得x=109（小时）。

当x=109时，y 2=--5×109+10=409（千米）.（3）根据题意，得y 2 -y 1=4.即-5x+10-4x=4. 解这个方程，得x=23（小时）。

答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是23小时。

14．（2010 广东珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.(1)设甲种柴油发电机数量为x 台，乙种柴油发电机数量为y 台. ①用含x 、y 的式子表示丙种柴油发电机的数量； ②求出y 与x 的函数关系式；(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W 最少？ 【答案】解：（1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y ② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32 ∴y=12-2x(2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台W=130x+120(12-2x)+100(x-2)=-10x+1240依题意解不等式组1212121≥-≥-≥x x x 得：3≤x ≤5.5∵x 为正整数 ∴x=3,4,5∵W 随x 的增大而减少 ∴当x=5时 ，W 最少为-10×5+1240=1190（元）15．（2010年贵州毕节）某物流公司的快递车和货车每天往返于A 、B 两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A 地的路程y （单位：千米）与所用时间x （单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A 地晚1小时．(1) 请在下图中画出货车距离A 地的路程y （千米）与所用时间x (时)的函数图象；(3分)(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3分）(3) 求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时．（10分）【答案】解：（1）图象如图； （2）4次；（3）如图，设直线E F 的解析式为11y k x b =+，∵图象过(90)，，(5200)，，1111200509.k b k b =+⎧∴⎨=+⎩， 8分1150450.k b =-⎧∴⎨=⎩，50450y x ∴=-+．① 10分设直线C D 的解析式为22y k x b =+，∵图象过(80)，，(6200)，，)时)2222200608.k b k b =+⎧∴⎨=+⎩，22100800.k b =-⎧∴⎨=⎩，100800y x ∴=-+．②解由①，②组成的方程组得7100.x y =⎧⎨=⎩，∴最后一次相遇时距离A 地的路程为100km ，货车从A 地出发8小时．16．（2010浙江湖州）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)（1.5，70）、（2，0），然后利用待定系数法，确定直线解析式即可．【答案】（1）线段AB 所在直线的函数解析式为：y ＝kx ＋b ， 将（1.5，70）、（2，0）代入得： 1.57020k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：140280k b =-⎧⎨=⎩，所以线段AB 所在直线的函数解析式为：y ＝－140x ＋280，当x ＝0时， y ＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．（2）设快车的速度为m 千米/时，慢车的速度为n 千米/时，由题意得：222802240m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：8060m n =⎧⎨=⎩，所以快车的速度为80千米/时， 所以2807802t ==．（3）如图所示．17．（2010江苏常州）向阳花卉基地出售两种花卉——百合和玫瑰，其单价为：玫瑰4元/株，百合5元/株。

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一次函数解决问题步骤总结

一次函数解决问题步骤总结

一次函数是一种线性函数，其一般形式为y=kx+b（其中k 和 b 为常数，x 为自变量，y 为因变量）。

解决一次函数问题的步骤如下：确定问题中的变量和常量：首先需要确定问题中涉及到哪些变量和常量。

1.建立函数关系式：根据已知条件，建立变量之间的函数关系式，
即一次函数的一般形式y=kx+b。

2.求解函数中的未知量：如果函数关系式中存在未知量，可以通过
已知条件求解未知量。

例如，如果已知函数的截距b，可以通过代入x=0 求解y 值。

3.分析函数的性质：根据函数关系式，可以分析函数的性质，如斜
率k、截距b、函数的单调性、奇偶性等。

4.解决问题：根据函数的性质和已知条件，解决问题。

例如，可以
通过函数的单调性判断函数的增减性，从而解决最值问题；可以通过函数的截距和斜率判断函数的图像与坐标轴的交点，从而解决几何问题。

5.检验答案：最后需要检验答案是否符合实际情况和已知条件。

需要注意的是，在解决一次函数问题时，需要注意函数的定义域和取值范围，以及函数的图像和性质。

同时，需要灵活运用数学方法和技巧，如代入法、消元法、配方法等，以便更好地解决问题。

求一次函数的关系式

求一次函数的关系式

求一次函数的关系式资料编号:202204011450【自学指导】借助于课本和下面的讲解,弄清楚以下经过问题:（1）怎样用待定系数法求一次函数的关系式?（2）求一次函数的关系式都有哪些类型?相应的解题策略是什么?【重要知识点总结】求一次函数()0≠+=k b kx y 的关系式,就是求出b k ,的值,然后代入关系式即可.常用待定系数法求一次函数的关系式.用待定系数法求一次函数关系式的一般步骤:（1）设一次函数的关系式为b kx y +=,其中b k ,为待定的系数;（2）把两个已知点的坐标分别代入b kx y +=,建立关于b k ,的二元一次方程组;（3）用加减消元法求解方程组,求出b k ,的值;（4）将求出的b k ,的值代回所设的函数关系式,即得所求的函数关系式.说明对于一次函数()0≠+=k b kx y ,待确定的系数有两个,分别是k 和b ,如果知道其中一个系数的值,则只需知道函数图象上一个点的坐标,把该点的坐标代入函数关系式即可求得另一个系数的值;如果两个系数的值都不知道,则就需要知道函数图象上两个点的坐标,把这两个点的坐标分别代入关系式建立方程组求解.求一次函数关系式的类型及方法一、定义型例1. 已知函数()332+-=-m x m y 是一次函数,求这个一次函数的关系式.分析 根据一次函数的定义,其自变量的系数不等于0,自变量的次数为1,据此求出参数的值.解:由题意可知:⎩⎨⎧=-≠-1203m m 解之得:3-=m∴这个函数的关系式为36+-=x y .二、两点型知道一次函数的图象经过的两个点的坐标,用待定系数法求其函数关系式.例2. 已知一次函数的图象经过点()1,1和点()2,0,求该一次函数的关系式.分析 先设一次函数的关系式为b kx y +=,然后把两个点的坐标分别代入,从而建立关于b k ,的二元一次方程组求解.解:设该一次函数的关系式为b kx y +=把()1,1、()2,0分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+21b b k 解之得:⎩⎨⎧=-=21b k ∴该函数的关系式为2+-=x y .三、图象型知道一次函数图象上两个点的坐标（读图获得）,用待定系数法求函数关系式.题目通常给出的是函数图象与两条坐标轴的交点坐标.例3. 已知一次函数的图象如图所示,求这个函数的关系式. yx32O解:设这个函数的关系式为b kx y +=由函数图象可知,其图象经过()0,2,()3,0-两点把()0,2,()3,0-分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧-==+302b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==323b k ∴这个函数的关系式为323-=x y . 四、平行型若两个一次函数的图象互相平行,则它们的k 值相等,b 值不相等.据此来确定系数k 的值.“平行型”题目的特征是:待求函数的图象与已知直线平行,且经过一个已知点.例4. 已知一次函数b kx y +=的图象平行于直线1+-=x y ,且经过点()4,0-,求这个一次函数的关系式.解:由题意可知:1-=k∴b x y +-=把()4,0-代入b x y +-=得: 4-=b∴这个一次函数的关系式为4--=x y .五、相交型同一平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.确定相交的两条直线的函数关系式,要明确交点的意义,即两个一次函数图象的交点的横坐标和纵坐标,是由这两条直线的关系式组成的方程组的解.例5. 如图所示,正比例函数的图象与一次函数1+-=x y 的图象相交于点P ,求这个正比例函数的关系式.解:设正比例函数的关系式为kx y =对于1+-=x y令2=y ,则21=+-x解之得:1-=x∴()2,1-P把()2,1-P 代入kx y =得:2=-k解之得:2-=k∴这个正比例函数的关系式为x y 2-=.例6. 已知三条直线2,12,32-=+-=-=kx y x y x y 相交于一点,求该交点的坐标和第三条直线的表达式.分析 该交点的横、纵坐标是方程组⎩⎨⎧+-=-=1232x y x y 的解. 解:解方程组⎩⎨⎧+-=-=1232x y x y 得: ⎩⎨⎧-==11y x ∴该交点的坐标为()1,1-把()1,1-代入2-=kx y 得:12-=-k解之得:1=k∴第三条直线的表达式为2-=x y .六、面积型给出的条件中有直线的坐标三角形的面积,求直线的解析式,注意分类讨论.例7. 直线b kx y +=经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23,且与坐标轴围成的直角三角形的面积为415,求直线的解析式.分析 题中的三角形就是坐标三角形,它是直角三角形,两条直角边的长度隐含在一次函数的图象与两条坐标轴的交点坐标中:与x 轴的交点的横坐标的绝对值是其中一条直角边的长,与y 轴的交点的纵坐标的绝对值是另一条直角边的长.解:直线b kx y +=与y 轴的交点坐标为()b ,0由题意可知:4152321=⨯-⨯b ∴5,5±==b b∴5+=kx y 或5-=kx y∵直线b kx y +=经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23 ∴0523=+-k 或0523=--k 解之得:310=k 或310-=k ∴该直线的解析式为5310+=x y 或5310-=x y . 例8. 如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数42+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,点P 在x 轴上,若6=∆ABP S ,求直线PB 对应的函数关系式. yxABO分析:根据题意可得点P 可以在y 轴左边,也可以在y 轴右边,应分两种情况讨论.先求点A 和点B 的坐标,然后根据6=∆ABP S 确定点P 的位置,进而运用待定系数法可求出直线PB 对应的函数关系式.解:对于42+-=x y令0=y ,则042=+-x解之得:2=x∴()0,2A令0=x ,则4=y∴()4,0B∵6=∆ABP S ∴6421=⨯AP ,得3=AP ∴点P 的坐标为()0,1-或()0,5设直线PB 对应的函数关系式为b kx y +=∴⎩⎨⎧==+-40b b k 或⎩⎨⎧==+405b b k 解之得:⎩⎨⎧==44b k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=454b k ∴直线PB 对应的函数关系式为44+=x y 或454+-=x y . 七、范围型例9. 已知一次函数b kx y +=中,自变量x 的取值范围是1-≤x ≤4,相应函数值的范围是3-≤y ≤2,求此函数的表达式.分析 本题分为两种情况:（1）y 随x 的增大而增大;（2）y 随x 的增大而减小. 解:分为两种情况:①当0>k 时,y 随x 的增大而增大∴当1-=x 时,3-=y ;当4=x 时,2=y∴⎩⎨⎧=+-=+-243b k b k 解之得:⎩⎨⎧-==21b k ∴2-=x y ;②当0<k ,y 随x 的增大而减小∴当1-=x 时,2=y ;当4=x 时,3-=y∴⎩⎨⎧-=+=+-342b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=11b k∴1+-=x y .综上所述,此函数的表达式为2-=x y 或1+-=x y .八、表格型例10. 某农产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表:若日销售量y 是销售价x 的一次函数,求出日销售量y （件）与销售价x （元）之间的函数关系式.解:设此一次函数的关系式为b kx y +=,则有⎩⎨⎧=+=+20202515b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=401b k ∴此一次函数的关系式为40+-=x y .九、其它类型例11. 已知y 与2+x 成正比例,当4=x 时,12=y ,求y 与x 之间的函数关系式,并判断y 是x 的什么函数.分析 正比例关系: 若A 与B 成正比例,则可设kB A =,其中k 为正比例系数.解:由题意可设()2+=x k y∵当4=x 时,12=y∴()1224=+k解之得:2=k∴()4222+=+=x x y .∴y 是x 的一次函数.例12. 已知两条直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若21l l ⊥,则121-=⋅k k .（1）应用:已知直线12+=x y 与直线1-=kx y 垂直,求k 的值;（2）一直线经过点()3,2A ,且与直线331+-=x y 垂直,求该直线的关系式. 分析 两个一次函数的图象互相垂直的条件一般地,对于两条直线 111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若21l l ⊥,则121-=⋅k k .反过来亦成立.我们可以用此结论证明两个一次函数的图象互相垂直.解:（1）由题意可知:12-=k解之得:21-=k ; （2）设该直线的关系式为b ax y += 由题意可知:131-=-a 解之得:3=a∴b x y +=3把()3,2A 代入b x y +=3得:36=+b ,解之得:3-=b∴该直线的关系式为33-=x y .。

怎样求一次函数关系式

怎样求一次函数关系式

怎样求一次函数关系式？广东 林伟杰一次函数关系式)0(≠+=k b kx y 中有两个待定系数k 和b ，确定了它们就确定了一个一次函数，故一般需要两个条件才能确定一个一次函数.现结合实例介绍求一次函数关系式的方法，供同学们学习时参考.一、利用代入坐标法求一次函数关系式例1 已知一次函数的图象经过（1,5）和（3,9）两点，求此一次函数关系式. 分析：先设函数关系式为b kx y +=，然后代入坐标建立方程组，求出方程组的解后再代回所设关系式即可.解：设所求函数关系式为b kx y +=，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=,39,5b k b k 故⎩⎨⎧==.3,2b k 故所求的函数关系式是32+=x y .点评：图象上每一点的横坐标和纵坐标都是此函数中自变量与函数的一对对应值，据此可通过建立二元一次方程组来求一次函数关系式.二、根据直线间的位置关系求一次函数关系式例2 某一次函数的图象过点（2,1）且与直线32+-=x y 相交于y 轴上的同一点，求此一次函数的关系式.分析：因直线32+-=x y 与y 轴的交点是（0,3），故设函数关系式为3+=kx y ，代入点（2,1）可求出k ，进而可得关系式.解：因直线32+-=x y 交y 轴于点（0,3），故某一次函数的图象也与y 轴相交于点（0,3），故设其关系式为3+=kx y ，代入点（2,1），得321+=k ，故1-=k ，故关系式为3+-=x y . 点评：由已知条件得出图象与y 轴的交点坐标，进而正确设出所求关系式是解本题的关键.三、根据表格信息求一次函数关系式例3 商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请根据表中提供的信息求出y 与x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.分析：由表可知，当1=x 时， 4.08+=y ；当2=x 时，)4.08(28.016+=+=y ；当3=x 时，)4.08(32.124+=+=y ；当4=x 时，)4.08(46.132+=+=y ；…… 故x x y 4.8)4.08(=+=.解：由表中信息可求得函数关系式是x x y 4.8)4.08(=+=（正比例函数是一次函数的特例）.当5.2=x 千克时，214.85.2=⨯=y （元）.四、根据图象信息求一次函数关系式例4 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，若超过规定，则要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示，试求出y 与x 之间的函数关系式并求出自变量x 的取值范围.分析：由图象可知，直线过点（60,6）和（80,10）两点，据此即可求出y 与x 间的函数关系式.解：设函数关系式为b kx y +=，因为图象过点（60,6） 和（80,10），则有⎩⎨⎧+=+=,8010,606b k b k 故⎪⎩⎪⎨⎧-==.6,51b k 故函数关系式是 651-=x y .令0=y ，得30=x ，故自变量x 的取值范围是x ≥30点评：直线与x 轴的交点的横坐标就是可免费携带行李的最大重量.解决本题的关键是读懂题意.此外，通过本题要注意掌握实际问题中自变量取值范围的确定方法，它包括：（1）使关系式有意义；（2）符合实际问题的需要.五、根据一次函数的性质求其关系式例5 一次函数b kx y +=的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，求此一次函数的关系式.分析：对一次函数b kx y +=，若y 随x 的增大而增大，则由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求其关系式；若y 随x 的增大而减小，则由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求其关系式，故本题应分两种情况求解.略解：本题应分两种情况来解.设所求关系式为b kx y +=.（1）当y 随x 的增大而增大时，由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求得关系式是431-=x y (-3≤x ≤6)；（2）当y 随x 的增大而减小时，由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求得关系式是331--=x y (-3≤x ≤6). 点评：本题题设只给出了一次函数的自变量与函数值的取值范围，在这种情况下应根据一次函数的性质来求其关系式，否则极易造成漏解.x。

一次函数知识要点详解

一次函数知识要点详解

一次函数知识要点详解1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=b 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．7 点P（x0，y）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x,y的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值，那么以x，y为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．如点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．如已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ．说明： 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.11。