一次函数关系式

一次函数是一种线性函数，其一般形式为y=kx+b（其中k 和 b 为常数，x 为自变量，y 为因变量）。

解决一次函数问题的步骤如下：确定问题中的变量和常量：首先需要确定问题中涉及到哪些变量和常量。

1.建立函数关系式：根据已知条件，建立变量之间的函数关系式，
即一次函数的一般形式y=kx+b。

2.求解函数中的未知量：如果函数关系式中存在未知量，可以通过
已知条件求解未知量。

例如，如果已知函数的截距b，可以通过代入x=0 求解y 值。

3.分析函数的性质：根据函数关系式，可以分析函数的性质，如斜
率k、截距b、函数的单调性、奇偶性等。

4.解决问题：根据函数的性质和已知条件，解决问题。

例如，可以
通过函数的单调性判断函数的增减性，从而解决最值问题；可以通过函数的截距和斜率判断函数的图像与坐标轴的交点，从而解决几何问题。

5.检验答案：最后需要检验答案是否符合实际情况和已知条件。

需要注意的是，在解决一次函数问题时，需要注意函数的定义域和取值范围，以及函数的图像和性质。

同时，需要灵活运用数学方法和技巧，如代入法、消元法、配方法等，以便更好地解决问题。

求一次函数的关系式资料编号:202204011450【自学指导】借助于课本和下面的讲解,弄清楚以下经过问题:（1）怎样用待定系数法求一次函数的关系式?（2）求一次函数的关系式都有哪些类型?相应的解题策略是什么?【重要知识点总结】求一次函数()0≠+=k b kx y 的关系式,就是求出b k ,的值,然后代入关系式即可.常用待定系数法求一次函数的关系式.用待定系数法求一次函数关系式的一般步骤:（1）设一次函数的关系式为b kx y +=,其中b k ,为待定的系数;（2）把两个已知点的坐标分别代入b kx y +=,建立关于b k ,的二元一次方程组;（3）用加减消元法求解方程组,求出b k ,的值;（4）将求出的b k ,的值代回所设的函数关系式,即得所求的函数关系式.说明对于一次函数()0≠+=k b kx y ,待确定的系数有两个,分别是k 和b ,如果知道其中一个系数的值,则只需知道函数图象上一个点的坐标,把该点的坐标代入函数关系式即可求得另一个系数的值;如果两个系数的值都不知道,则就需要知道函数图象上两个点的坐标,把这两个点的坐标分别代入关系式建立方程组求解.求一次函数关系式的类型及方法一、定义型例1. 已知函数()332+-=-m x m y 是一次函数,求这个一次函数的关系式.分析 根据一次函数的定义,其自变量的系数不等于0,自变量的次数为1,据此求出参数的值.解:由题意可知:⎩⎨⎧=-≠-1203m m 解之得:3-=m∴这个函数的关系式为36+-=x y .二、两点型知道一次函数的图象经过的两个点的坐标,用待定系数法求其函数关系式.例2. 已知一次函数的图象经过点()1,1和点()2,0,求该一次函数的关系式.分析 先设一次函数的关系式为b kx y +=,然后把两个点的坐标分别代入,从而建立关于b k ,的二元一次方程组求解.解:设该一次函数的关系式为b kx y +=把()1,1、()2,0分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+21b b k 解之得:⎩⎨⎧=-=21b k ∴该函数的关系式为2+-=x y .三、图象型知道一次函数图象上两个点的坐标（读图获得）,用待定系数法求函数关系式.题目通常给出的是函数图象与两条坐标轴的交点坐标.例3. 已知一次函数的图象如图所示,求这个函数的关系式. yx32O解:设这个函数的关系式为b kx y +=由函数图象可知,其图象经过()0,2,()3,0-两点把()0,2,()3,0-分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧-==+302b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==323b k ∴这个函数的关系式为323-=x y . 四、平行型若两个一次函数的图象互相平行,则它们的k 值相等,b 值不相等.据此来确定系数k 的值.“平行型”题目的特征是:待求函数的图象与已知直线平行,且经过一个已知点.例4. 已知一次函数b kx y +=的图象平行于直线1+-=x y ,且经过点()4,0-,求这个一次函数的关系式.解:由题意可知:1-=k∴b x y +-=把()4,0-代入b x y +-=得: 4-=b∴这个一次函数的关系式为4--=x y .五、相交型同一平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.确定相交的两条直线的函数关系式,要明确交点的意义,即两个一次函数图象的交点的横坐标和纵坐标,是由这两条直线的关系式组成的方程组的解.例5. 如图所示,正比例函数的图象与一次函数1+-=x y 的图象相交于点P ,求这个正比例函数的关系式.解:设正比例函数的关系式为kx y =对于1+-=x y令2=y ,则21=+-x解之得:1-=x∴()2,1-P把()2,1-P 代入kx y =得:2=-k解之得:2-=k∴这个正比例函数的关系式为x y 2-=.例6. 已知三条直线2,12,32-=+-=-=kx y x y x y 相交于一点,求该交点的坐标和第三条直线的表达式.分析 该交点的横、纵坐标是方程组⎩⎨⎧+-=-=1232x y x y 的解. 解:解方程组⎩⎨⎧+-=-=1232x y x y 得: ⎩⎨⎧-==11y x ∴该交点的坐标为()1,1-把()1,1-代入2-=kx y 得:12-=-k解之得:1=k∴第三条直线的表达式为2-=x y .六、面积型给出的条件中有直线的坐标三角形的面积,求直线的解析式,注意分类讨论.例7. 直线b kx y +=经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23,且与坐标轴围成的直角三角形的面积为415,求直线的解析式.分析 题中的三角形就是坐标三角形,它是直角三角形,两条直角边的长度隐含在一次函数的图象与两条坐标轴的交点坐标中:与x 轴的交点的横坐标的绝对值是其中一条直角边的长,与y 轴的交点的纵坐标的绝对值是另一条直角边的长.解:直线b kx y +=与y 轴的交点坐标为()b ,0由题意可知:4152321=⨯-⨯b ∴5,5±==b b∴5+=kx y 或5-=kx y∵直线b kx y +=经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23 ∴0523=+-k 或0523=--k 解之得:310=k 或310-=k ∴该直线的解析式为5310+=x y 或5310-=x y . 例8. 如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数42+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,点P 在x 轴上,若6=∆ABP S ,求直线PB 对应的函数关系式. yxABO分析:根据题意可得点P 可以在y 轴左边,也可以在y 轴右边,应分两种情况讨论.先求点A 和点B 的坐标,然后根据6=∆ABP S 确定点P 的位置,进而运用待定系数法可求出直线PB 对应的函数关系式.解:对于42+-=x y令0=y ,则042=+-x解之得:2=x∴()0,2A令0=x ,则4=y∴()4,0B∵6=∆ABP S ∴6421=⨯AP ,得3=AP ∴点P 的坐标为()0,1-或()0,5设直线PB 对应的函数关系式为b kx y +=∴⎩⎨⎧==+-40b b k 或⎩⎨⎧==+405b b k 解之得:⎩⎨⎧==44b k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=454b k ∴直线PB 对应的函数关系式为44+=x y 或454+-=x y . 七、范围型例9. 已知一次函数b kx y +=中,自变量x 的取值范围是1-≤x ≤4,相应函数值的范围是3-≤y ≤2,求此函数的表达式.分析 本题分为两种情况:（1）y 随x 的增大而增大;（2）y 随x 的增大而减小. 解:分为两种情况:①当0>k 时,y 随x 的增大而增大∴当1-=x 时,3-=y ;当4=x 时,2=y∴⎩⎨⎧=+-=+-243b k b k 解之得:⎩⎨⎧-==21b k ∴2-=x y ;②当0<k ,y 随x 的增大而减小∴当1-=x 时,2=y ;当4=x 时,3-=y∴⎩⎨⎧-=+=+-342b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=11b k∴1+-=x y .综上所述,此函数的表达式为2-=x y 或1+-=x y .八、表格型例10. 某农产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表:若日销售量y 是销售价x 的一次函数,求出日销售量y （件）与销售价x （元）之间的函数关系式.解:设此一次函数的关系式为b kx y +=,则有⎩⎨⎧=+=+20202515b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=401b k ∴此一次函数的关系式为40+-=x y .九、其它类型例11. 已知y 与2+x 成正比例,当4=x 时,12=y ,求y 与x 之间的函数关系式,并判断y 是x 的什么函数.分析 正比例关系: 若A 与B 成正比例,则可设kB A =,其中k 为正比例系数.解:由题意可设()2+=x k y∵当4=x 时,12=y∴()1224=+k解之得:2=k∴()4222+=+=x x y .∴y 是x 的一次函数.例12. 已知两条直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若21l l ⊥,则121-=⋅k k .（1）应用:已知直线12+=x y 与直线1-=kx y 垂直,求k 的值;（2）一直线经过点()3,2A ,且与直线331+-=x y 垂直,求该直线的关系式. 分析 两个一次函数的图象互相垂直的条件一般地,对于两条直线 111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若21l l ⊥,则121-=⋅k k .反过来亦成立.我们可以用此结论证明两个一次函数的图象互相垂直.解:（1）由题意可知:12-=k解之得:21-=k ; （2）设该直线的关系式为b ax y += 由题意可知:131-=-a 解之得:3=a∴b x y +=3把()3,2A 代入b x y +=3得:36=+b ,解之得:3-=b∴该直线的关系式为33-=x y .。

怎样求一次函数关系式？广东 林伟杰一次函数关系式)0(≠+=k b kx y 中有两个待定系数k 和b ，确定了它们就确定了一个一次函数，故一般需要两个条件才能确定一个一次函数.现结合实例介绍求一次函数关系式的方法，供同学们学习时参考.一、利用代入坐标法求一次函数关系式例1 已知一次函数的图象经过（1,5）和（3,9）两点，求此一次函数关系式. 分析：先设函数关系式为b kx y +=，然后代入坐标建立方程组，求出方程组的解后再代回所设关系式即可.解：设所求函数关系式为b kx y +=，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=,39,5b k b k 故⎩⎨⎧==.3,2b k 故所求的函数关系式是32+=x y .点评：图象上每一点的横坐标和纵坐标都是此函数中自变量与函数的一对对应值，据此可通过建立二元一次方程组来求一次函数关系式.二、根据直线间的位置关系求一次函数关系式例2 某一次函数的图象过点（2,1）且与直线32+-=x y 相交于y 轴上的同一点，求此一次函数的关系式.分析：因直线32+-=x y 与y 轴的交点是（0,3），故设函数关系式为3+=kx y ，代入点（2,1）可求出k ，进而可得关系式.解：因直线32+-=x y 交y 轴于点（0,3），故某一次函数的图象也与y 轴相交于点（0,3），故设其关系式为3+=kx y ，代入点（2,1），得321+=k ，故1-=k ，故关系式为3+-=x y . 点评：由已知条件得出图象与y 轴的交点坐标，进而正确设出所求关系式是解本题的关键.三、根据表格信息求一次函数关系式例3 商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请根据表中提供的信息求出y 与x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.分析：由表可知，当1=x 时， 4.08+=y ；当2=x 时，)4.08(28.016+=+=y ；当3=x 时，)4.08(32.124+=+=y ；当4=x 时，)4.08(46.132+=+=y ；…… 故x x y 4.8)4.08(=+=.解：由表中信息可求得函数关系式是x x y 4.8)4.08(=+=（正比例函数是一次函数的特例）.当5.2=x 千克时，214.85.2=⨯=y （元）.四、根据图象信息求一次函数关系式例4 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，若超过规定，则要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示，试求出y 与x 之间的函数关系式并求出自变量x 的取值范围.分析：由图象可知，直线过点（60,6）和（80,10）两点，据此即可求出y 与x 间的函数关系式.解：设函数关系式为b kx y +=，因为图象过点（60,6） 和（80,10），则有⎩⎨⎧+=+=,8010,606b k b k 故⎪⎩⎪⎨⎧-==.6,51b k 故函数关系式是 651-=x y .令0=y ，得30=x ，故自变量x 的取值范围是x ≥30点评：直线与x 轴的交点的横坐标就是可免费携带行李的最大重量.解决本题的关键是读懂题意.此外，通过本题要注意掌握实际问题中自变量取值范围的确定方法，它包括：（1）使关系式有意义；（2）符合实际问题的需要.五、根据一次函数的性质求其关系式例5 一次函数b kx y +=的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，求此一次函数的关系式.分析：对一次函数b kx y +=，若y 随x 的增大而增大，则由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求其关系式；若y 随x 的增大而减小，则由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求其关系式，故本题应分两种情况求解.略解：本题应分两种情况来解.设所求关系式为b kx y +=.（1）当y 随x 的增大而增大时，由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求得关系式是431-=x y (-3≤x ≤6)；（2）当y 随x 的增大而减小时，由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求得关系式是331--=x y (-3≤x ≤6). 点评：本题题设只给出了一次函数的自变量与函数值的取值范围，在这种情况下应根据一次函数的性质来求其关系式，否则极易造成漏解.x。

一次函数知识要点详解1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=b 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．7 点P（x0，y）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x,y的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值，那么以x，y为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．如点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．如已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ．说明： 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.11。

第 1 页 共 2 页 根据图象求一次函数关系式一次函数的图象可以直观地表示出一次函数的特征，利用一次函数的图象上的信息，可以求出一次函数的关系式．请看以下几例．例1 图1，1l ，2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y （费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间x （小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（1）根据图象分别求出1l ，2l 的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）．解：（1）设直线1l 的关系式为112y k x =+，由图象得：1175002k =+，解得10.03k =，所以10.032y x =+(02000x ≤≤)；设2220y k x =+，由图象得2650020x =+，解20.012k =．所以20.01220y x =+(02000x ≤≤)．（2）当12y y =时，两种灯的费用一样，则0.0320.01220x x +=+，解得1000x =．所以当照明时间为1000小时时，．两种灯的费用相等．（3）节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时．例2 某种拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量 y （升）与工作时间x （小时）之间为一次函数关系，如图2所示．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？分析：从图象可以看到函数的图象过点（2，30）和（6，10），可以利用待定系数法求解：图1图2第 1 页 共 2 页 解：（1）设一次函数的关系式为y kx b =+，将条件代入，得230610.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得540.k b =-⎧⎨=⎩， 所以此函数的关系式为540y x =-+．（2）当0y =时，即5400x -+=，所以8x =．即一箱油可供拖拉机工作8小时． 例3某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需要购买行李票．且行李费y (元)是行李质量x (千克)的一次函数，如图3所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）最多可免费携带多少质量的行李．解：（1）观察图象可知一次函数的图象经过（60，6），（80，10）两点，可设y kx b =+，将条件代入，得6068010.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得156k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．所以函数的关系式为165y x =-． （2）当0y =时，30x =．即最多可免费携带30千克的行李．图3。

一次函数知识点大全一、一次函数和正比例函数的概念1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.★判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.二、函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数性质1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．y=kx (k>0)y=kx (k<0)3.点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P 必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．四、一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．2. 坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．5. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值；（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

求一次函数的关系式(第四课时)教学过程一、复习引入如果知道了k 与b 的值，就等于确定了一次函数关系式(0)y kx b b =+≠。

本节课要探究的是给你一定的条件，我们要用什么方法求出k 和b 。

二、探究新知（一）通过实例总结方法1、教师提出问题：已知一个一次函数中当自变量x ＝－2时，函数值y ＝－1，当x ＝3时，y ＝－3。

请写出这个一次函数的解析式。

教师分析求解方法：根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为y ＝kx ＋b （k≠0），问题就归结为如何求出k 与b 的值。

由已知条件可知x ＝－2时，y ＝－1，故有－1＝－2k ＋b 。

再由已知条件x ＝3时，y ＝－3，可得－3＝3k ＋b 。

由于两个条件都要满足，故可把k 与b 看作未知量，联立关于k 、b 的二元一次方程，1233k b k b -=-+⎧⎨-=+⎩，解得2595k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再把所求得的k 与b 的值代回y ＝kx ＋b （k≠0）， 所以，一次函数解析式为2955y x =--。

2、教师提出（例4）：已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物体质量x （千克）的一次函数。

现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次函数的关系式。

教师分析解法：已知y 是x 的函数，关系式是一次函数，故可设为y ＝kx ＋b （k≠0），所以要求的就是系数k 和b 的值。

在这个问题中，不挂物体时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，就是已知条件x 和y 的两组对应值，也就是当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2。

可以分别将它们代入函数式，转化为求k 与b 的二元一次方程组，进而求得k 与b 的值。

教师要求学生自己解题，学生解后教师给出答案：设所求函数的关系式是y ＝kx ＋b （k≠0），由题意，得：67.24b k b =⎧⎨=+⎩ ，解这个方程组，得0.36k b =⎧⎨=⎩。

第一课时 求一次函数关系式__月__日 星期___ 授课教师_____知识技能目标1.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 过程性目标2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化，体会用“数”和“形”结合的方法求函数式；教学重点与难点教学重点：.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 教学难点体会用“数”和“形”结合的方法求函数式，理解求函数解析式和解方程组间的转化．教学方法实践探究、 讲练结合教学过程一、创设情境引入新课一次函数关系式y ＝kx ＋b (k ≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k 和b 呢？ 确定一次函数的表达式需要几个条件?问题1 已知一个一次函数当自变量x ＝-2时，函数值y ＝-1,当x ＝3时，y ＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y ＝kx ＋b (k ≠0),问题就归结为如何求出k 与b 的值．由已知条件x ＝-2时，y ＝-1，得 -1＝-2k ＋b ．由已知条件x ＝3时，y ＝-3， 得 -3＝3k ＋b ．两个条件都要满足，即解关于x 的二元一次方程⎩⎨⎧+=-+-=-.33,21b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5952b k 所以，一次函数解析式为5952--=x y ． 问题2 已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．分析：已知y 是x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是y ＝kx ＋b 的形式，所以要求的就是系数k 和b 的值．而两个已知条件就是x 和y 的两组对应值，也就是当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k 与b 的二元一次方程组，进而求得k 与b 的值．解 设所求函数的关系式是y ＝kx ＋b (k ≠0),由题意，得⎩⎨⎧+==.42.7,6b k b解这个方程组，得⎩⎨⎧==.6,3.0b k 所以所求函数的关系式是y ＝0.3x ＋6．(其中自变量有一定的范围)讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k 和b 的过程，转化为关于k 和b 的二元一次方程组的问题．2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．问题3 若一次函数y ＝mx -(m -2)过点(0,3)，求m 的值．分析 考虑到直线y ＝mx -(m -2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x 和y 的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x ,y )代表了函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y 表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x ＝0时，y ＝3，求m ．即求关于m 的一元一次方程．解 当x ＝0时，y ＝3．即：3＝-(m -2)．解得m ＝-1．这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法(method of undetermined coefficient )．二、实践应用例1 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x ＝5时，函数y 的值．分析 1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x ＝-1时，y ＝1；x ＝1时，y ＝-5．代入函数解析式中，求出k 与b ．2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x ＝5时，函数y 的值，仍需从求函数解析式着手．解 由题意，得⎩⎨⎧+=-+-=.5,1b k b k 解这个方程组，得 ⎝⎛-=-=.2,3b k这个函数解析式为y ＝-3x -2．当x ＝5时，y ＝-3×5-2＝-17．例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．分析 从“形” 看，图象经过x 轴上横坐标为2的点，y 轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式．解 设：所求的一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得⎩⎨⎧=-+=.3,20b b k 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==.3,23b k 所以所求的一次函数的关系式是223-=x y ． 三、交流反思本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y ＝kx ＋b (k ≠0)中两个待定系数k 和b 的值；2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．检测反馈1.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，2.已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,•函数y 的值.四课内小结：(一) 待定系数法是一种重要的数学思想方法。

练习1：已知正比例函数y=kx,(k≠0)的图象经过点（-2，4）.求这个正比例函数的解析式．解：∵y=k x的图象过点（-2，4），∴4=-2k解得k=-2∴这个一次函数的解析式为y=-2x11.一次函数的一般形式是什么变式1：已知正比例函数y=kx,(k≠0),当x=-2时，y=4.求这个正比例函数的解析式．变式2：已知正比例函数y=kx,(k≠0),当x=-2时，y=4.求当x=5时的函数值．练习2：已知一次函数y=2x+b的图象过点(2,-1).求这个一次函数的解析式．解：∵y=2x+b的图象过点（2，-1）.∴-1=2×2 +b解得b=-5∴这个一次函数的解析式为y=2x-5确定正比例函数的表达式类型一：已知两点坐标求函数表达式1.已知一次函数的图象经过点(3,5)与（－4，－9）.求这个一次函数的解析式．类型二：根据定义求函数表达式1、已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=-6，求y与x之间的函数关系式解：由题意可设y=kx(k≠0)∵当x=-1时，y=-6，∴-k=-6∴k=6∴y=6x2、已知y-2与x成正比例，当x=-2时，y=8，（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）求当x＝－1时，y的值；（3）求当y＝0时，x的值。

解：根据题意设：y-2=kx(k≠0)∴-2k=8-2∴k=-3∴y-2=-3x∴y=-3x+21、已知直线l 与直线y=-2x 平行，且与y 轴交于点(0,2)，求直线l 的解析式。

类型五：根据图象之间的平行关系求解析式2.将函数y=x+2的图象平移，使它经过点(1，-3)，求平移后的直线所对应的函数表达式解：设y=kx+b （k ≠0）根据题意得：解得k=1k+b=-3k=1b=-4∴y=x-4写出一个一次函数，使它的图象过点（-1，2）解：设函数解析式为y=kx+b(k ≠0)由题意，得: -k+b=2∴b=2+k取k=1，则b=3，有y=x+3类型八：根据缺少的条件求表达式一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5 ≤y ≤-2，求这个函数的解析式类型九：根据取值范围求表达式解：①若x=-3时，y=-5，x=6时，y=-2则-3k+b=-5；解得k=6k+b=-2，b=-413②若x=-3时，y=-2,有；x=6时，y=-5,则-3k+b=-2解得k=-6k+b=-5，b=-3故所求函数的解析式为：y= x-4或y=-x-3一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5 ≤y ≤-2，求这个函数的解析式1313131.直线l 与直线y=1+2x 交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线l 的解析式。

专题4.22一次函数关系式的常见类型（知识梳理与考点分类讲解）一次函数关系式常见类型目录：【类型1】定义型【类型2】一点型【类型3】两点型【类型4】图象型【类型5】斜截型【类型6】应用型【类型7】面积型【类型8】平移型【类型9】对称型【考点一】定义型【例1】（2023秋·八年级课时练习）已知函数()2324my m x n -=-++．（1）当,m n 为何值时，y 是x 的一次函数，并写出关系式；（2）当,m n 为何值时，y 是x 的正比例函数，并写出关系式．【答案】（1）当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x=-【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．解：（1）由题意可得23120m m ⎧-=⎨-≠⎩，n 可以取任意实数解得：m=-2∴44y x n=-++∴当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）由题意可得2312040m m n ⎧-=⎪-≠⎨⎪+=⎩，解得：24m n =-⎧⎨=-⎩∴4y x=-∴当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x =-．【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A （5，b ），B （a ，4）两点，则a ，b 一定满足的关系式为（）A ．a ﹣b ＝1B ．a ＋b ＝9C ．a •b ＝20D ．a b ＝34【答案】C【分析】设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），将A 、B 两点的坐标分别代入，通过整理求得a ，b 一定满足的关系式．解：设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），则b ＝5k ，4＝ak ．∴4b ＝5a ，∴ab ＝20.故选：C ．【点拨】本题考查了正比例函数的概念，关键是清楚图象经过点，则点的坐标满足函数解析式．【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考阶段练习）已知2y -与3x +成正比,且当1x =时,y =-6，则y 与x 的关系式是.【答案】y=-2x-4【分析】由2y -与3x +成正比例可设2y -=k （3x +）（k≠0），代入1x =时,y =-6即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：∵2y -与3x +成正比，∴设2y -=k 3x +（）（k≠0）．∵当1x =时,y =-6，∴-6-2=k （1+3），解得：2k =-，∴22(3)y x -=-+∴y 与x 的关系式为y=-2x-4故答案为y=-2x-4.【点拨】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键．【考点二】一点型【例2】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知直线上l ：1y kx =-经过点()2,3A ．（1）求直线l 的解析式；（2）判断点(1,23)P m m --是否在直线l 上，请说明理由．【答案】（1）21y x =-；（2）在直线l 上，理由见详解【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式；（2）把1x m =-代入（1）中解析式进行求解即可．（1）解：把点()2,3A 代入解析式1y kx =-得：213k -=，解得：2k =，∴直线l 的解析式为21y x =-；（2）解：由题意可把1x m =-代入21y x =-得：()21123m m --=-，∴点(1,23)P m m --在直线l 上．【点拨】本题主要考一次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021秋·广西梧州·八年级统考期中）已知一次函数5y kx =+的图象经过()12M -，，则k 的值是（）A ．3B ．3-C ．6D ．6-【答案】A【分析】把()12M -，代入一次函数5y kx =+求出k 的值即可．解：把()12M -，代入一次函数5y kx =+得：25k =-+，解得：3k =，故A 正确．故选：A ．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【变式2】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，且与y 轴分别交于B ，C ，则ABC 的面积为．【答案】6【分析】利用待定系数法求得a 、b 的值，求得点B ，C 的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．解：∵一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，把()2,0A 代入2y x a =+得，40a +=，∴4a =-，∴一次函数解析式为24y x =-，∴()0,4B -，把()2,0A y x b =-+得，20b -+=，∴2b =，∴一次函数解析式为2y x =-+，∴()0,2C ，∴=42=6BC --，∴12662ABC S =⨯⨯= ，故答案为：6．【点拨】本题考查两直线的交点问题、一次函数的图象上点的特征，通过已知点的坐标求函数解析式是解题的关键．【考点三】两点型【例3】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数y kx b =+的图像经过点(1,3)，(1,7)-，求这个一次函数的解析式．【答案】25y x =-+【分析】将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+求出k 、b 的值，再将k 、b 的值反回代入y kx b =+中，即可得到一次函数的解析式．解：将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+，得37k b k b=+⎧⎨=-+⎩，解得25k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为25y x =-+．【点拨】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）若弹簧的总长度()cm y 是所挂重物x （千克）的一次函数图象如图，则不挂重物时，弹簧的长度是（）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】B 【分析】先利用待定系数法求一次函数解析式，再令0x =，进行求解即可．解：设一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，∵点()4,10、点()20,18在一次函数图象上，∴4102018k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得128k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为182y x =+，当0x =时，1=08=82y ⨯+，∴不挂重物时，弹簧的长度是8cm ，故选：B ．【点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式、求函数值，熟练利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽宿州·八年级校考开学考试）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，则PM PN +的最小值为，此时点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，由PM PN PM PN '+=+，可知当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，由M 、N 分别是AB 、OA 的中点，可得M ()1,2-，N ()1,0-，M '()1,2，即M N ='，进而可得PM PN +的最小值，待定系数法求得直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，即点P 的坐标为()0,1．解：如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，∵PM PN PM PN '+=+，∴当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴M ()1,2-，N ()1,0-，∴M '()1,2，∴MN ='∴PM PN +的最小值为设直线M N '的表达式为()0y kx b k =+≠，将()1,2M '，()1,0N -代入得20k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，∴点P 的坐标为()0,1，故答案为：()0,1．【点拨】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．【考点四】图像型【例4】（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，直线1l 的解析式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求ADC △的面积；（2）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】（1）92；（2）()6,3【分析】（1）已知1l 的解析式，令0y =求出x 的值即可求出()1,0D ，设2l 的解析式为y kx b =+，由图联立方程组求出k ，b 的值，即可得直线2l 的解析表达式为362y x =-；联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出ADC S △；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到AD 的距离．解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=，∴1x =，∴()1,0D ；设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：403x y x ===，；，32y =-，代入表达式y kx b =+，∴40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-；由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，∴()2,3C -，∵3AD =，∴193322ADC S =⨯⨯-=△；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值33=-=，则P 到AD 距离3=，∴P 纵坐标的绝对值3=，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵ 1.563y x y =-=，，，1.563x ∴-=，6x =，即()6,3P ．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图是y 关于x 的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（）A ．该函数的最小值为3-B ．当0x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．当0x =时，对应的函数值12y =D ．当12x =和32x =时，对应的函数值相等【答案】C 【分析】分别求出1x ≥和1x ≤时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．解：A 、由图象可知，函数的最小值为2-；故该选项错误；B 、当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故该选项错误；C 、设1x ≤时，函数的解析式为y kx b =+，由图可知，点()()1,3,1,2--，在直线上，∴32k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：5212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴5122y x =-+，∴当0x =时，12y =，故该选项正确；D 、当12x =时，51132224y =-⨯+=-，设1x ≥时，函数的解析式为y mx n =+，由图可知，点()()3,1,1,2-在直线上，∴132m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：3272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴3722y x =-，∴当32x =时，975424y =-=-；∴当12x =和32x =时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C ．【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．【变式2】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b =+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【考点五】斜截型【例5】（2019秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象平行于y ＝﹣13x ，且截距为1．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点P （﹣2，13）是否在这个函数的图象上．【答案】（1）y ＝﹣13x +1；（2）不在．【分析】（1）根据两平行直线的解析式的k 值相等可求出k ，再由截距为1求出b 值，即可得解；（2）把点1(2,3P -代入函数解析式检验即可.解：（1）设这个函数的解析式为y kx b =+，∵一次函数的图象平行于13y x =-，且截距为1，1,13k b ∴=-=∴这个函数的解析式为113y x =-+；（2）当2x =-时，151((2)1333y =-⨯-+=≠，故点1(2,)3P -不在这个函数的图象上.【点拨】本题考查了一次函数的定义和性质，如果两条直线平行，则他们的函数解析式的k 值相等，这条性质常常用来解题，需熟记.【举一反三】【变式1】（2021秋·安徽六安·八年级校考阶段练习）若y 关于x 的一次函数y =（2m +1）x -m +3，y 随x 的增大而增大，且截距不大于1，则m 的取值范围是（）A ．m >-12B ．m ≥4C ．-12＜m ≤2D ．m ≥2【答案】D 【分析】根据题意，可得一次函数的0k >，1b ≤，据此列出不等式组，即可求得m 的取值范围．解：依题意，21031m m +>⎧⎨-+≤⎩解得2m ≥故选D ．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式2】（2023春·上海闵行·八年级统考期末）直线y kx b =+在y 轴上的截距为3-，且平行于l ：y x =-，那么直线的表达式为．【答案】3y x =--/3y x=--【分析】根据互相平行的直线的解析式k 的值相等确定出k ，根据“在y 轴上的截距是3-”求出b 值，即可得解．解：∵直线y kx b =+平行于直线y x =-，∴1k =-．又∵直线y kx b =+在y 轴上的截距是3-，∴3b =-，∴这条直线的解析式是3y x =--．故答案为：3y x =--．【点拨】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．【考点六】应用型【例6】（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）一辆轿车在高速公路上匀速行驶，油箱存油量Q （升）与行驶的路程S （km ）成一次函数关系．若行驶100km 时，油箱存油43.5升，当行驶300km 时，油箱存油30.5升，请求出这个一次函数关系式，并写出自变量S 的取值范围．【答案】1350200Q S =-+，自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤【分析】根据题目意思设出函数关系式，根据已知条件用待定系数法解出函数关系式中的参数，可得函数关系式，当0Q =时，此时的S 为最大值，最小值为0，即可写出S 的取值范围．解：设：Q mS n =+，根据题意的方程组43.510030.5300m n m n=⨯+⎧⎨=⨯+⎩，解得1320050m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则该一次函数解析式为：1350200Q S =-+，当0Q =时，13500200S -+=，∴3769km 13S =，∴自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤．【点拨】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，注意函数自变量的取值范围应符合实际问题有意义是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x 件（x ＞2），则应付货款y （元）与商品件数x 的函数关系式是（）A ．y ＝54x （x ＞2）B ．y ＝54x ＋10（x ＞2）C ．y ＝54x ＋90（x ＞2）D ．y ＝54x ＋100（x ＞2）【答案】B【分析】由题意得2x >，则销售价超过100元，超过的部分为60x −100，即可得．解：∵2x >，∴销售价超过100元，超过部分为60x ﹣100，∴y ＝100+（60x ﹣100）×0.9＝54x +10（2x >，且x 为整数），故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．【变式2】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y （米）与时间x （分钟）之间的变化关系如右图所示，根据图像中的数据，写出y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式．【答案】()1000306y x x =≤≤【分析】根据待定系数法求解析式即可求解．解：设y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为y kx =，将点()6,2000代入得，20006k =，解得：10003k =，∴y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为()1000306y x x =≤≤，故答案为：()1000306y x x =≤≤．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．【考点七】面积型【例7】（2023春·八年级单元测试）如图1，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，AD BC ∥，4AB =，6AD =．若动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿着BC CD DA →→的路线向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，图2是点P 出发t 秒后，ABP 的面积S 与t 的函数图像．（1）a =______，b =______；（2）求MN 所在直线对应的函数表达式；（3）运动几秒后，ABP 的面积为14？【答案】（1）92，7；（2）1214455S t =-+；（3）72秒或376秒【分析】（1）结合四边形ABCD 的形状、S 与t 的函数图像，判断出t a =，t b =，10t =时，点P 的位置，利用时间、速度、路程的关系即可求解；（2）求出点M ，N 的坐标，利用待定系数法求解；（3）ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，将14S =代入对应直线的函数解析式即可求解．（1）解：由图可知，当t a =时，点P 运动到点C ，当t b =时，点P 运动到点D ，当10t =时，点P 运动到点A ，∴2BC a =，()210CD DA a +=-由图可知，点P 运动到点C 时，18ABP S = ，∴1141822BC AB BC ⋅=⋅=，解得9BC =，∴922BC a ==，∴9210112CD DA ⎛⎫+=⨯-= ⎪⎝⎭，∴111165CD DA =-=-=，∴957222CD b a =+=+=，故答案为：92，7；（2）解：由（1）知点M 的坐标为9,182⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当t b =时，点P 运动到点D ，∴当t b =时，11461222ABP S AB AD =⋅=⨯⨯= ，∴点M 的坐标为()7,12，设MN 所在直线对应的函数表达式为S mt n =+，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()7,12N 代入，得：9182127m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得1251445m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214455S t =-+；（3）解：由题意知，ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，当对应的点在线段OM 上时，设OM 的函数解析式为=S kt ，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得：9182k =，解得4k =，∴OM 的函数解析式为4S t =，当14S =时，14742t ==；当对应的点在线段MN 上时，当14S =时，121441455t =-+，解得376t =，综上可知，运动72秒或376秒后，ABP 的面积为14．【点拨】本题考查一次函数的实际应用，涉及三角形面积公式、求一次函数解析式及自变量的值等，解题的关键是根据图形判断出不同时间段内点P 的位置．【举一反三】【变式1】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（）A ．y x=B ．2y x =C ．3y x =D ． 1.5y x=【答案】B 【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到A 、B 两点坐标，再由AOB 的面积被中线平分得到AB 中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式．解： 直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，4y =，即()0,4B ；当0y =时，024x =-+，解得2x =，即()2,0A ；由三角形中线平分三角形面积可知，过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 过AB 中点，∴AB 中点为0240,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,2，设直线2l 的解析式为2:l y kx =，将()1,2代入2:l y kx =得到2k =，则2y x =，故选：B ．【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．【变式2】（2023春·上海·八年级专题练习）已知直线()0y kx b k =+≠与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过()2,0，则这条直线的表达式是．【答案】36y x =-+或36y x =-【分析】先根据面积求出三角形在y 轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．解：根据题意，设与y 轴交点坐标为()0b ，则1262b ⨯⨯=，解得6b =，6b ∴=±，①当6b =时，与y 轴交点为()06，∴206k b b +=⎧⎨=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴函数解析式为36y x =-+；②当6b =-时，与y 轴的交点为()06-，∴206k b b +=⎧⎨=-⎩解得36k b =⎧⎨=-⎩，∴函数解析式为36y x =-．∴这个一次函数的解析式是36y x =-+或36y x =-．故答案为：36y x =-+或36y x =-．【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y 轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．【考点八】平移型【例8】（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知直线1l 经过()0,3A -、()2,0B ．（1）求直线1l 的解析式及1l 与坐标轴围成的图形的面积；（2）将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到直线2l ，直接写出2l 的解析式______．【答案】（1）332y x =-；3；（2）3922y x =-【分析】（1）用待定系数法求出直线1l 的解析式，根据三角形面积公式求出与坐标轴围成的图形的面积即可；（2）根据平移的规律求出直线2l 的解析式即可．（1）解：设直线1l 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()0,3A -、()2,0B 代入得：320b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线1l 的解析式为332y x =-；直线1l 与坐标轴围成的图形的面积为13232S =创=．（2）解：将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度后得出的直线2l 的解析式为：()31332y x =+--，即3922y x =-，故答案为：3922y x =-．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的图形面积，一次函数的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平移规律．【举一反三】【变式1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）把直线6y x =向上平移后得到直线AB ，若直线AB 经过点(),m n ，且64n m -=，则直线AB 的表达式为（）A ．64y x =-+B ．64y x =--C ．64y x =-D ．64y x =+【答案】D【分析】设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，根据题意直线AB 经过点(),m n ，得出6d n m =-，结合已知条件，即可求解．解：设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，∵直线AB 经过点(),m n ，∴6n m d =+，即6d n m =-，又64n m -=，∴4d =，∴直线AB 的解析式为64y x =+，故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．【变式2】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，已知()1,6A 为直线:2l y x b =-+上一点，先将点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ．若点C 恰好落在直线l 上，则a 的值为．【答案】4【分析】先将点A 代入y =-2x +b 求得b 的值，得到直线的解析式，然后用含有a 的式子表示点C ，再将点C 的坐标代入直线的解析式求得a 的值．解：点A （1，6）代入y =-2x +b 得，-2×1+b =6，解得：b =8，∴直线l 的解析式为y =-2x +8，∵点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ，∴点C 的坐标为（5，6-2a ），将点C 的坐标代入直线的解析式y =-2x +8得，-2×5+8=6-2a ，解得：a =4，故答案为：4．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键用待定系数法求得一次函数的解析式．【考点九】对称型【例9】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是(68)，，ABD △与EBD △关于直线BF 对称，且点E 在对角线OB 上．（1）求线段OB 的长；（2）求点D 的坐标及直线BF 的函数表达式．【答案】（1）10；；（2）13(0,3，1113183y x =+．【分析】（1）根据点B 的坐标，利用勾股定理直接计算出OB 长；（2）设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE =，利用勾股定理可求出OD 长，点的坐标可求，根据B 、D 坐标，待定系数法可求直线BF 解析式．解：（1）∵点B 的坐标是(68)，，∴6OC =，8BC =，在Rt BOC 中，由勾股定理得：10OB ===；（2）∵ABD △与EBD △关于直线BF 对称，∴90DEO DEB BAO ∠=∠=∠=︒，AD DE =，6AB BE ==，在Rt DEO △中，设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE OB BE =-=，由勾股定理得222DE OE OD +=得，()22246x x +=-，解得53x =，∴513633OD =-=，∴1303D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设BF 的解析式为133y kx =+，∵(68)B ，在直线BF 上，∴13863k =+，∴1118k =，∴BF 的解析式为1113183y x =+．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线3y x b =-+与直线1y kx =-关于直线2x =对称，则k ，b 的值分别为（）A ．3k =-，11b =B ．3k =，11b =C ．13k =，1b =D ．13k =-，1b =【答案】B【分析】根据直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，可知这两条直线上的点也关于直线x =2对称，然后根据直线y =kx －1上的定点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）可以求出b 的值，然后根据直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5）也在直线y =kx －1，即可求出k 的值．解：∵直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，∴这两条直线上的点也关于直线x =2对称，∵直线y =kx －1必过点（0，－1），∴点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）在直线y =－3x ＋b 上，∴－1=－3×4＋b ，解得：b =11，∴直线y =－3x ＋b 即为：y =－3x ＋11，∵直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5），∴点（2，5）一定在直线y =kx －1上，∴5=2k －1，解得：k =3．故选：B ．【点拨】本题主要考查用待定系数法一次函数的解析式和轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图像、轴对称的性质以及利用数形结合思想是解题关键．【变式2】（2021·山东临沂·统考一模）定义：若两个函数的图象关于直线y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y =-2x +1的反函数的解析式．【答案】y =-12x +12【分析】首先可求得函数y =-2x +1与x 轴和y 轴的交点坐标，再求得它们关于直线y =x 对称点的坐标，据此即可求得函数y =-2x +1的反函数的解析式．解：在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，当y =0时，x =12，即函数和x 轴的交点为（12,0），和y 轴的交点坐标为（0,1），所以两点关于直线y =x 对称的点的坐标分别为（0,12）和（1,0），设函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =kx +b （k ≠0），把（0,12）和（1,0）代入，可得：120b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =-12x +12，故答案为：y =-12x +12．【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义，求出已知点关于直线y =x 对称点的坐标是解决本题的关键．。