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3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量学 习 目 标核 心 素 养 1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点) 通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养数学运算素养.1．直线的方向向量我们把直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1) A [AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]2．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝________.[解析] AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a ＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.[答案] －23．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .]4．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量可表示为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23 [设平面的法向量为a ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·a ＝0，AC →·a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.令z ＝1，得y ＝－1，x ＝12，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1 故平面ABC 的一个单位法向量为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23.]直线的方向向量及其应用【例1】 (1)已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________．[思路探究] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标． (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115 [(1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6. (2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量．由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →. 设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)， 即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115， 所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，185，115.]1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置． 1．若直线l 1的方向向量a ＝(1,3x ，－2)，直线l 2的方向向量b ＝(－2,2y,5)，且l 1⊥l 2，则xy ＝________.2[因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即－2＋6xy －10＝0，所以xy ＝2.]求平面的法向量【例2】 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．[思路探究] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[解] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量， 设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，1. 设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).方向向量与法向量的特征[1．如何正确地判断直线的方向向量？ [提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？[提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．【例3】 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.[思路探究] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．[解] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α.3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．[解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.引入直线的方向向量和平面的法向量这两个概念之后，使空间点线面的位置关系数量化，也就是说，每一种特殊的点、线、面位置关系(如线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直)都对应着一个重要的等量关系．如何巧妙地利用这些等量关系，正是解题的关键所在．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量AB →是直线l 的一个方向向量，则向量BA →也是l 的一个方向向量．( )(2)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3B [AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a ＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.]3．已知A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的法向量为________． (1,1,0)(答案不唯一) [设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0，即n ＝(1,1,0)．则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)．]4．如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)． 法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。
3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量双基达标 (限时20分钟)1．在空间直角坐标系O －xyz 中，下列向量中不是y 轴方向向量的序号是________． ①(0，1，0)；②(0，－1，0)；③(0，2，0)；④(0，1，1)．解析 y 轴方向向量可以表示为(0，k ，0)(k ≠0)，所以只有④(0，1，1)不是y 轴方向向量． 答案 ④2．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 解析 α∥β⇒(－2，－4，k )＝λ(1，2，－2)，∴λ＝－2，k ＝4.答案 43．在空间直角坐标系O －xyz 中，平面xOy 的一个法向量是________．解析 答案不唯一，只要与向量(0，0，1)平行的非零向量都可以．答案 (0，0，1)4．在空间直角坐标系O －xyz 中，法向量(1，0，0)对应的坐标平面是________． 解析 因为向量(1，0，0)平行于x 轴，所以对应的坐标平面是垂直于x 轴的平面． 答案 yOz 平面5．在空间直角坐标系O －xyz 中，设平面α经过点P (1，0，0)，平面α的法向量为e ＝(1，0，0)，M (x ，y ，z )为平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系是________．解析 由题意可知e ·PM →＝0，代入坐标计算即可得x ＝1.答案 x ＝16．已知平面α经过三点A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2，1，0)．综合提高（限时25分钟）7．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________．解析 设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，y －x ＝0，z －x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33，y ＝33，z ＝33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，z ＝－33.答案 (33，33，33)或(－33，－33，－33) 8．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0，1，0)、(－1，0，1)、(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________．解析 ∵A (0，1，0)，B (－1，0，1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，∴AB →＝(－1，－1，1)，AC →＝(2，0，1)，P A →＝(－x ，1，－z )．∴P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，∴P A →·AB →＝(－x ，1，－z )·(－1，－1，1)＝0，P A →·AC →＝(－x ，1，－z )·(2，0，1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝13，z ＝－23，∴点P 的坐标为(13，0，－23)． 答案 (13，0，－23) 9．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1，1，1)，则这两个平面的位置关系是________．解析 因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以这两个平面平行．答案 平行10．不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(2，3，－1)，b ＝(－6，－9，3)，则l 1，l 2的位置关系是________．解析 因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.答案 平行11．△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点．(1)求平面ABC 的一个法向量；(2)求x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )，∵AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b. 故可取n ＝(－3，2，2)．∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)．(2)∵点M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点，∴－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0.∴3x －2y －2z －1＝0.这就是所求的x 、y 、z 满足的关系式．12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)．所以AC 1→＝(－1，1，1)，D 1B 1→＝(1，1，0)，CB 1→＝(1，0，1)， 所以AC 1→·D 1B 1→＝(－1，1，1)·(1，1，0)＝0， AC 1→·CB 1→＝(－1，1，1)·(1，0，1)＝0，所以AC 1→⊥D 1B 1→，AC 1→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，所以AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．13．(创新拓展)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，求证：OA 1⊥AM .证明 如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1个单位，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M (0，0，12)，O (12，12，0)． 所以OA 1→＝(12，－12，1)，AM →＝(－1，0，12)， 因为OA 1→·AM →＝12×(－1)＋(－12)×0＋1×12＝0， 所以OA 1→⊥AM →，所以OA 1⊥AM .。
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．知识点一 直线的方向向量直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量． 知识点二 平面的法向量如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 思考1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？ 答案 相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？ 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．题型一 直线的方向向量及其应用例1 设直线l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 2解析 由题意，得a ⊥b ，所以a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝4－2m ＝0，所以m ＝2.反思与感悟 若l 1⊥l 2，则l 1与l 2的方向向量垂直；若l 1∥l 2，则l 1与l 2的方向向量平行． 跟踪训练1 若直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，则l 1与l 2的位置关系是________． 答案 垂直解析 因为a·b ＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b ，从而l 1⊥l 2. 题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝(12，1,0)，DS →＝(－12，0,1)．易知向量AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1)． ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 题型三 证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：D 1F →是平面ADE 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (0，12，0)，所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝(0，12，－1)，AE →＝(0,1，12)，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·(0，12，－1)＝0，AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪训练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由． 解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)， 设F (0,0，h )，E (m,1,1)，则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，FA →＝(1,0,1－h )．∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·FA →＝m －1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →是平面ABF 的法向量．故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________． 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.错因分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l ⊂α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l ⊂α或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是____________________． 答案 AD 1→或C 1B →或D 1A →或BC 1→3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________． ①(0,1,2) ②(3,6,9)③(－1，－2,3)④(3,6,8)答案 ②解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m ＝________.答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量．1.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．。
3.2。
3 空间的角的计算［学习目标] 1。
理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。
3。
掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角（1）定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角．（2）范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝｜cos φ|＝错误!.知识点二 直线与平面所成的角(1）定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.(3）向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝｜cos φ｜＝错误!或cos θ＝sin φ。
知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：［0，π］．（2）二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A，C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角．②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0，0)，B（2，0，0），C(0，2,0），D(1,1，0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以错误!＝(2,0，－4），错误!＝（1，－1，－4）．因为cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为错误!。
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量3.2.2 空间线面关系的判定(一)学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理(1)用向量表示直线的位置(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量.反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z ). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组.(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形.平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 是边长为1的正三角形，ABCD 是菱形.∠ABC ＝60°，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF 的一个法向量.类型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.1.若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________.2.已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________.(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1).3.已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点.P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________.4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m 为________.5.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________.1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R ).答案精析问题导学 知识点一思考 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示.我们把向量OP →称为点P 的位置向量.(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b .②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)方向向量 tAB →位置 一点 (2)②方向向量 (3)非零 方向向量n (4)a ∥b a ·μ＝0 μ＝k v (k ∈R ) 知识点二思考 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R ).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行. 题型探究例1 解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E (0，32，12)，B (1,0,0)，C (1，3，0)， 于是AE →＝(0，32，12)，AC →＝(1，3，0).设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3). 引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量. 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3). 跟踪训练1 解 连结PF ，CF ，AC .因为PA ＝PB ，F 为AB 的中点，所以PF ⊥AB ，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PF ⊂平面PAB . 所以PF ⊥平面ABCD ，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 所以△ABC 是等边三角形，所以CF ⊥AB .以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意得F (0,0,0)，P (0,0，32)，D (－1，32，0)，C (0，32，0)，E (0，34，34). 所以FE →＝(0，34，34)，FD →＝(－1，32，0). 设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z ). 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FE →＝0，m ·FD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧34y ＋34z ＝0，－x ＋32y ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝32y ，令y ＝2，则x ＝3，z ＝－2.所以平面DEF 的一个法向量为m ＝(3，2，－2).例 2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1). 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2). 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练2 解 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面PAB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面PAB . 当堂训练1.(2,4,6)2.④3.x －3y －z ＋4＝04.－85.(1,1,1)(答案不惟一)。
3.1.2 共面向量定理学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 知识点二 共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，即向量p 可以由两个不共线的向量a ，b 线性表示． 知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O ，存在实数x ，y ，z 使得OA →＝xOB →＋yOC →＋zOD →，且x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则A ，B ，C ，D 四点共面．1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×) 2．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×) 3．若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.(×)类型一 向量共面的判定 例1 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB ，BC ，CD ，DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x ，y )使得OP →＝xOA →＋yOB →，则O ，P ，A ，B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错，空间中任意两个向量都是共面的；②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确，因为OP →，OA →，OB →共面， ∴O ，P ，A ，B 四点共面； ④错，没有强调零向量；⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．跟踪训练1 下列说法正确的是________．(填序号) ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB →，AA 1—→，AD →，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB →＋AA 1—→＋AD →；③若OP →＝12(P A →＋PB →)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；④在空间中，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共面；⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面． 答案 ④类型二 向量共面的证明例2 如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AGAH＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 解 连结BG .因为AB →＝PB →－P A →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－P A →， 因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB →＋PD →. 因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－P A →， 所以AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →，因为AGAH＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3PB →＋m 3PD →，因为BG →＝－AB →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →， 所以BG →＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3P A →＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB →＋m 3PD →. 又因为G ，B ，P ，D 四点共面， 所以1－4m 3＝0，m ＝34.即m 的值是34.反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系． 跟踪训练2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B —→，B 1C —→，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1—→＋A 1F —→＝12B 1B —→－A 1B —→＋12A 1D 1—→ ＝12(B 1B —→＋BC →)－A 1B —→＝12B 1C —→－A 1B —→. 又B 1C —→，A 1B —→不共线，由向量共面的充要条件知，A 1B —→，B 1C —→，EF →是共面向量． 类型三 共面向量定理的应用例3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， 求证：AB 1∥平面C 1BD .证明 记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1—→＝c ，则AB 1—→＝a ＋c ，DB →＝AB →－AD →＝a －12b ，DC 1—→＝DC →＋CC 1—→＝12b ＋c ，所以DB →＋DC 1—→＝a ＋c ＝AB 1—→，又DB →与DC 1—→不共线， 所以AB 1—→，DB →，DC 1—→共面．又由于AB 1⊄平面C 1BD ，所以AB 1∥平面C 1BD .反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练3 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1—→＝c ，在面对角线AC 1上和棱BC 上分别取点M ，N ，使AM →＝kAC 1—→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB 1A 1.证明 AM →＝k ·AC 1—→＝k (AA 1—→＋AC →)＝k b ＋k c ，又∵AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c ＝(1－k )a －k c .又a 与c 不共线． ∴MN →与向量a ，c 是共面向量． 又MN ⊄平面ABB 1A 1， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为________． 答案 1解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0时，则有无数多个λ使之成立． 2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________． 答案 13解析 由题意知，x ＋13＋13＝1，所以x ＝13.3．下列命题中，正确命题的个数为________． ①若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反； ②若AB →＝CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；③若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )． 答案 0解析 当a ，b 中有零向量时，①不正确；AB →＝CD →时，A ，B ，C ，D 四点共面不一定共线，故②不正确；由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，故③不正确．4．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________. 答案215解析 ∵P 与A ，B ，C 共面．∴AP →＝αAB →＋βAC →，∴AP →＝α(OB →－OA →)＋β(OC →－OA →)，即OP →＝OA →＋αOB →－αOA →＋βOC →－βOA →＝(1－α－β)OA →＋αOB →＋βOC →， ∴1－α－β＋α＋β＝1.因此15＋23＋λ＝1，解得λ＝215.共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a ，b 总是共面向量，空间中三个向量a ，b ，c 则不一定共面． (2)空间中四点共面的条件空间点P 位于平面MAB 内，则存在有序实数对x ，y 使得MP →＝xMA →＋yMB →，①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA →，MB →实质就是平面MAB 内平面向量的一组基底．另外有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →，②或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)，③①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则λ＝________，μ＝________. 答案 0 0解析 ∵a ，b 是两个不共线的向量， ∴a ≠0，b ≠0，∴λ＝μ＝0.2．下列结论中，正确的是________．(填序号) ①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c . 答案 ②③解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b ，c 是不共线向量，否则即使三个向量a ，b ，c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确；③正确．3．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是________． 答案 共面向量解析 如果a ，b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a ，b,3a －2b 共面；若a ，b 共线，则a ，b,3a －2b 共线，当然也共面．4.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF＝23DD 1，若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 13解析 EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1—→－AB →－13BB 1—→＝AD →－AB →＋13AA 1—→.∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.5．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB →＝i －2j ＋2k ，BC →＝2i ＋j －3k ，CD →＝λi ＋3j －5k ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为________． 答案 1解析 若A ，B ，C ，D 四点共面，则向量AB →，BC →，CD →共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得aAB →＋bBC →＋cCD →＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0， ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.6.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC →＝13a ＋(b －a )＋12(OC →－OB →)＝13a ＋(b －a )＋12(c －b ) ＝－23a ＋12b ＋12c .7．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________.答案 76解析 由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.8．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(3，－4,2)，c ＝(7，λ，5)，若a ，b ，c 共面，则实数λ的值为________． 答案 －12313解析 易得c ＝t a ＋μb ＝(－2t ＋3μ，t －4μ，3t ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝－2t ＋3μ，5＝3t ＋2μ，λ＝t －4μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝113，μ＝3113，λ＝－12313，故λ的值为－12313.9．已知P ，A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O 都有OP →＝2OA →＋43OB →＋λOC →，则λ＝________.答案 －73解析 因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，所以2＋43＋λ＝1，得λ＝－73.10．已知i ，j ，k 是不共面向量，a ＝2i －j ＋3k ，b ＝－i ＋4j －2k ，c ＝7i ＋5j ＋λk ，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________. 答案657解析 ∵a ，b ，c 三向量共面， ∴存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ， 即7i ＋5j ＋λk ＝m (2i －j ＋3k )＋n (－i ＋4j －2k )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，∴λ＝657.11．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．①已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 答案 3解析 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，①正确； 若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故②不正确； 由向量平行知③不正确； 由空间向量共面知④不正确． 故共有3个命题不正确． 二、解答题12.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 共面．证明 方法一 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1是其中一组解，则－5AB →＋AC →＋AD →＝0，所以A ，B ，C ，D 共面．方法二 观察可得AC →＋AD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2)＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，所以AB →＝15AC →＋15AD →.由共面向量知，AB →，AC →，AD →共面．又它们有公共点A ，所以A ，B ，C ，D 四点共面． 三、探究与拓展14．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝12GB ，过E ，F ，G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ，则AP ∶PC 1＝________.答案 316解析 设AP →＝m AC 1—→，因为AC 1—→＝AB →＋BB 1—→＋B 1C 1—→＝AB →＋AA 1—→＋AD →＝3AG →＋43AE →＋2AF →， 所以AP →＝3mAG →＋43mAE →＋2mAF →， 又因为E 、F 、G 、P 四点共面，所以3m ＋43m ＋2m ＝1， 所以m ＝319，所以AP ∶PC 1＝3∶16. 15.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C —→，OD →，OC 1—→是共面向量．证明 设C 1B 1—→＝a ，C 1D 1—→＝b ，C 1C —→＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C —→＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，∴C 1O —→＝12(a ＋b )， ∴OC 1—→＝－12(a ＋b )， OD 1—→＝C 1D 1—→－C 1O —→＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )． ∵D 1D 綊C 1C ，∴D 1D —→＝c ，∴OD →＝OD 1—→＋D 1D —→＝12(b －a )＋c . 若存在实数x ，y ，使B 1C —→＝xOD →＋yOC 1—→ (x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c ＋y ⎣⎡⎦⎤－12(a ＋b )＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a ，b ，c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴B 1C →＝OD →＋OC 1—→，又OD →与OC 1—→不共线，∴B 1C →，OD →，OC 1—→是共面向量．。
第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。
3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一 直线的方向向量
直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量． 知识点二 平面的法向量
如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 思考
1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？ 答案 相互平行．
2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？ 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一 直线的方向向量及其应用
例1 设直线l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 2
解析 由题意，得a ⊥b ，所以a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝4－2m ＝0，所以m ＝2.
反思与感悟 若l 1⊥l 2，则l 1与l 2的方向向量垂直；若l 1∥l 2，则l 1与l 2的方向向量平行． 跟踪训练1 若直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，则l 1与l 2的位置关系是________． 答案 垂直
解析 因为a·b ＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b ，从而l 1⊥l 2. 题型二 求平面的法向量
例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，建立适当的空间
直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．
解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →
分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，D (1
2
，0,0)，
C (1,1,0)，S (0,0,1)，
则DC →＝(1
2，1,0)，
DS →
＝(－1
2
，0,1)．
易知向量AD →＝(1
2，0,0)是平面SAB 的一个法向量．
设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DC →＝1
2x ＋y ＝0，n ·DS →
＝－12
x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－12x ，z ＝1
2x .
取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，
∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：
(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →
； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AC →＝0，
n ·AB →＝0，
并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →
＝(1,0，－1)． ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝y ，
x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.
∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 题型三 证明平面的法向量
例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．
求证：D 1F →
是平面ADE 的法向量．
证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则
D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，
E (1,1，12)，
F (0，12
，0)，
所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →
＝(0，12，－1)，
AE →
＝(0,1，12
)，
所以AD →·D 1F →
＝(－1,0,0)·(0，12
，－1)＝0，
AE →
·D 1F →
＝(0,1，12)·(0，12
，－1)＝0，
所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →
，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →
⊥平面ADE ，
从而D 1F →
是平面ADE 的法向量．
反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．
跟踪训练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由． 解
建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)， 设F (0,0，h )，E (m,1,1)，
则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，FA →
＝(1,0,1－h )．
∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·FA →
＝m －1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →
是平面ABF 的法向量．
故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .
利用向量法判断直线与平面平行
例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________． 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.
错因分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l ⊂α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l ⊂α或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α
1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，
y ＝________.
答案 6
15
2
解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝15
2
.
2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是____________________． 答案 AD 1→或C 1B →或D 1A →或BC 1→
3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ
的法向量的是
________． ①(0,1,2) ②(3,6,9)
③(－1，－2,3)
④(3,6,8)
答案 ②
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．
4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，1
2
，2)，则m ＝________.
答案 －8
解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，1
2，2)，
∴(2，m,1)·(1，1
2，2)＝0.
∴2＋1
2
m ＋2＝0.∴m ＝－8.
5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③
解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →
可以作为平面ABC 的法向量．
1.直线的方向向量的应用
利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →
，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
a ＝(a 1，
b 1，
c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．
(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
n·a ＝0，
n·b ＝0.
(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．。
