高中数学 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂

1 直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

基础卷

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是

（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率

（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

2．直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为

（A）3 （B）－3 （C）33 （D）－33

- 1 - 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：

(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；

(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合．(1)(3)正确，故选B.

答案：B

2．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( )

A．1 B．－1 C．2 D．－2

解析：因为kMN＝4－（－1）－3－2＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则2m－23－m＝－1，解得m＝－1.

答案：B

3．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为( )

A．1 B．－1 C.12 D．－12

解析：由直线斜率的坐标公式，得kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.

答案：B

4．已知A(－23，9)，B(63，－15)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角α为( )

A．60° B．120° C．45° D．135°

解析：因为kAB＝－15－963－（－23）＝－3，

所以α＝120°.

答案：B

5．由原点O向直线l作垂线，垂足为M(－2，1)，则直线l的斜率为( ) - 2 - A.12 B．－12 C．2 D．－2

解析：kOM＝－12，因为直线l与直线OM垂直，所以直线 l的斜率为2.

答案：C

二、填空题

6．已知直线l1的斜率k1＝3，直线l2过点A(3，－1)，B(4，y)， C(x，2)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________．

1 3.2.1直线的点斜式方程

学习目标: 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程并了解推导过程；会利用点斜式与斜截式方程解决有关问题．

自主学习，合作探究:

探究点一 直线的点斜式方程

自学教材P92—P93，完成以下内容:

知识点1：直线的点斜式方程：

注意：点斜式方程适用的范围：______________

思考1 如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？

思考2 y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？

例1 直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

变式1 一条直线经过点P(0，b)，斜率为k，求这条直线的方程．

探究点二 直线的斜截式方程

自学教材P94，完成以下内容:

知识点2：直线的斜截式方程：

注意: ①斜截式方程的适用范围：

② k、b的几何意义:_______________________

思考3 截距是距离吗?截距的范围是什么?

思考4 一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程.

(1)斜率是3,在y轴上的截距是-3; 2 (2) 倾斜角是60°, 在y轴上的截距是5;

(3) 倾斜角是30°, 在y轴上的截距是0.

探究点三 两条直线的位置关系

探究. 已知直线222111:,:bxkylbxkyl, 试讨论: (1) 21//ll的条件是什么? (2)

21ll的条件是什么?

小结:(1)对于直线222111:,:bxkylbxkyl

12//ll

12ll_______________

(2)与l：y=kx+b平行的直线可设为 ;

1 3.2.1 直线的点斜式方程

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )

A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1

B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1

C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1

解析：由点斜式可知直线过(－1，－2)，斜率为－1.

答案：C

2．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )

A．60°，2 B．120°，2－3

C．60°，2－3 D．120°，2

解析：该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，故其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－3.

答案：B

3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0

解析：直线x－2y－2＝0的斜率为12，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.

答案：A

4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )

A．y＝12x＋4 B．y＝2x＋4

C．y＝－2x＋4 D．y＝－12x＋4

解析：直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y＝－12x＋4，故选D.

答案：D 2 5．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是( )

A．x＝－1 B．y＝1

C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)

解析：由方程知，已知直线的斜率为22，

∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．

答案：C

6．直线l经过点(－2,2)，且与直线y＝x＋6在y轴上有相等的截距，则直线l的方程为________．