高中数学 第三章 直线与方程 3.2 3.2.1 直线的点斜式

必修2 第三章 直线与方程

1 3.2.1 直线的点斜式方程

【教学目标】

1．根据确定直线的几何要素，探索掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式），体会斜截式与一次函数的关系.

2．能准确利用点斜式、斜截式写出直线的方程.

【重点】直线的点斜式方程.

【难点】直线的斜截式方程.

【学习探究】

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第92页～第94页）

1.直线的点斜式方程

（１）经过点),(00yxP，且斜率为k的直线方程是 ，此方程叫做直线的点斜式方程，简称为 .

（２）在直线的点斜式方程的推导过程中，首先设直线l上不同于0P的任意一点P（x，y），利用斜率k＝ ，变形可得 ，然后验证了两条：①过点0P（0x，0y）且斜率为k的直线l上每一点的坐标 ；② 都在过点0P（0x，0y）且斜率为k的直线l上。其中点斜式方程中不包含直线的倾斜角为 的情况 ，直线的倾斜角为90时，直线与x轴垂直 ，直线方程为 ；直线的倾斜角为0时，直线l与x轴平行或重合，方程为 .

【感悟】

2.直线的斜截式方程

（１）如果直线l得斜率为k，且与y轴交点为（０，b），则得直线方程是 ，这就是直线方程的斜截式方程，简称 。其中直线l与y轴交点（０，b）的 叫做直线l在y轴上的截距 。

（２）类比一次函数bkxy （0k），图象是一条直线。其中k是 ，b是直线在 轴上的截距。在直线的斜截式方程中，k可以为０，此时方程为 .

【感悟】

【基础练习】

1．斜率为k的直线l过定点（2，-3），则直线l的方程为 。

2．x轴所在的直线方程为 ，y轴所在的直线方程为 ． 问题解决最佳方案

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名

3.2.1 直线的点斜式方程

学习

目标 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；

2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；

3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．

重点

难点 通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.

[问题情境]

给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．

【探究点一】直线的点斜式方程

问题1 求直线的方程指的是求什么？

答 就是求直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．

问题2 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？

答 由斜率公式得k＝y－y0x－x0，即y－y0＝k(x－x0)．

问题3 过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足问题2中得出的方程吗？为什么？

答 其坐标都满足方程y－y0＝k(x－x0)；由问题2中的推导过程可知．

问题4 坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上吗？为什么？

答 都在．这是因为若点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足方程y－y0＝k(x－x0)，即y1－y0＝k(x1－x0)，若x1＝x0，则y1－y0＝0，即y1＝y0，说明点P1与P0重合，于是可得点P1在直线l上；若x1≠x0，则k＝y1－y0x1－x0，这说明过点P1和P0的直线的斜率为k，于是可得点P1在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上．

高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2

直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1 倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α=

90°. 3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线的平行

① 若两条直线的斜率都存在，则 ：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合

② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在 ；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2

．．． （若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等； 若已知两条直线的斜率不存在且 平行，则应横截距不相等） 2、两条直线垂直

①若两条直线的斜率都存在，则 ：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥

L2 ．．．．．

②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ； ⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直

★ 已知 L

人教版数学必修二

第三章 直线与方程 重难点解析

第三章 课文目录

3．1 直线的倾斜角与斜率

3．2 直线的方程

3．3 直线的交点坐标与距离公式

重难点：

1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。

2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。

3、两点间的距离公式和它的简单应用。

4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α叫做直线的倾斜角。一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°。

直线倾斜角的取值范围是：0°≤α<180°。

2．直线的斜率：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，记为k, 即k=tanα。

[说明]：(1) α=0°k=0 (2) 0°0 (3) 90°

(4)α=90°k不存在。

[注意]：斜率k可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。

3．过两点的直线的斜率公式：

直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2 ,y2), (x1≠x2)。它的斜率。

对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

典型例题：

[例题1]：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)