【高中数学】2.1.3 两条直线的平行与垂直

1 2.1.3 两条直线的平行与垂直

一、两条直线平行的判定

当两条直线的斜率都存在时,如果它们互相平行,那么它们的① ;反之,如果两条直线的② ,那么它们③ .即l1∥l2⇔④ (k1,k2均存在).

二、两条直线垂直的判定

当两条直线的斜率都存在时,如果它们互相垂直,那么它们斜率的乘积等于⑤ ;反之,如果两条直线的斜率的乘积等于⑥ ,那么它们⑦ .即l1⊥l2⇔⑧ (k1,k2均存在).

直线系问题

1.(2014广东肇庆质量评估,★★☆)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线方程为 .

思路点拨 设出与直线3x+4y+1=0平行的直线系方程,将点的坐标代入求解.

2.(2013江苏镇江期末,★★☆)若直线l1:x+2y-4=0与l2:mx+(2-m)y-1=0平行,则实数m= .

3.(2014江苏扬大附中检测,★☆☆)已知直线l1经过点A(0,-1)和点B(-4𝑎,1),直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1和l2没有公共点,则实数a的值为 .

思路点拨 由l1与l2无公共点,知l1∥l2.

4.(2013江苏金陵中学模拟,★★☆)如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.问如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?

思路点拨 用坐标法研究数学问题.

2

一、填空题

1.如果直线l1:2x-ay+1=0与直线l2:4x+6y-7=0平行,则a的值为 .

2.经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与一倾斜角是45°的直线平行,则a= .

3.过点A(2,-3),且与直线2x+y-5=0平行的直线方程是 .

4.已知四点A(-m,0),B(0,-𝑚3),C(-𝑛3,0),D(0,n)(m≠0,n≠0),则直线AB和CD的位置关系是 .

教育研究　

摘要：直线间的关系包括相交与不相交，而其中存在的特殊情形又有平行和垂直两种，是高中数　学中需要进行重点掌握的位置关系。用科学、严谨的数学思维逻辑来证明两条直线的关系，对于我们　高中生来说，必须学会这种解题思路，才能在接下来的数学几何学习中，起到至关重要的积极作用。　本文从高中数学教材出现，分析其中涉及到直线垂直和平行的问题，再提出相关解决方式。　关键词：高中数学；直线；平行；垂直　

一、高中数学关于两直线平行的问题　（一）直线平行的条件。两条直线之间的位置关系通常　与它们的斜率有着直接关联，如果直线当中的一条没有斜率　时，就分析另一条的斜率，若也没有斜率存在，那么说明两　条直线是平行关系。另一方面，当这两直线都是和地面倾斜　角呈９０度的情况，也就是说两条直线是互相平行的情况。　另外，假若两条直线同时和第三天直线相交，三线之间必然　会形成同位角、内错角，若其中各个同位角相等，内错角也　相等，那么被第三线交汇的两条直线，肯定是呈平行状态。　（二）直线平行例题解析。高中生应该学会运用两条直　线平行的特性，解答相关典型问题，可以用以下例题分析来　具体利用直线平行的条件。例如，已知有两条直线相互平行，　这两条直线的方程式分别是，直线１１表达为ｘ＋ｐｙ＋６＝０，直　线ｌ２表达为（ｐ一２）ｘ＋２ｐ＝０，那么请求出Ｐ的具体数值。解　答这道题目就应该明白平行直线的斜率特征，首先，假设　Ａ１是，Ｂ１是ｍ，Ｃ１是６，Ａ２是ＩＩ１—２，Ｂ２是０，Ｃ２是２ｍ，　再根据直线斜率公式可以得出，Ａ１乘以Ｂ２减去Ａ２乘以Ｂ１　等于０，Ａｌ乘以ｃ２减去Ａ２乘以Ｃ１不等于０，也就是说　１×０－ｆｍ一２）×ｍ＝０，１×２ｍ一６×（ｍ一２）≠０，用这两个方程式　来求解，最后算出ｍ＝０，即该题的答案为０．　二、高中数学涉及两直线垂直的问题　（一）直线垂直的条件。所谓两直线垂直，也就是说两　条直线出现了交汇情况，且它们的情况比较特殊，其中一条　没有斜率的话，那另一条的斜率一定为０，或者是一条直线　的倾斜角为９０度，另一条为０度，则两条直线是垂直关系，　相交后形成的角为９０度。我们高中生在掌握直线垂直规律时，　应该注意分析直线的斜率关系，假设直线Ｌ１和Ｌ２都存在倾　斜角，分别是ａ１和ａ２，且则两条线都有斜率，也没有发生　重合，斜率分别为ｋ１和ｋ２。试着使用直线倾斜角之间的关系，　以及直线向量的关系来探索分析，可以发现这样的结论，如　果两条直线都存在斜率，并且二者的位置关系是互相垂直，　那么它们中的一个斜率是另一个斜率的负倒数，也就是说ｋ１　等于一ｌ／ｋ２，或者表达为ｋｌｋ２＝一１。　（二）运用直线垂直解题。在高中数学中运用以上规律，　可以解答很多典型的直线数学问题，通过分析几道例题来阐　◆文字哲　

教师课时教案

备课人 授课时间

课题 3.1.2两条直线的平行与垂直

课标要求 两条直线平行与垂直的条件与判定

教

学

目

标 知识目标 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

技能目标 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

情感态度价值观 培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点 两条直线平行和垂直的条件

难点 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

一、创设情景，揭开课题

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,

并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

二、探究两条直线平行与垂直

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线1l 和2l的斜率分别为1k和2k.

我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．

思考： 1l∥2l时，1k与2k满足什么关系？

若1l∥2l (图3.1—7)，则1l 与2l它们的倾斜角相等：

12．12Q，12tgtg，即12kk．

反过来，若两条直线的斜率相等: 即12kk，则12tgtg．由于10180， 20180 ，12．

教师课时教案

备课人 授课时间

课题 3.1.2两条直线的平行与垂直

课标要求 两条直线平行与垂直的条件与判定

教

学

目

标 知识目标 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

技能目标 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

情感态度价值观 培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点 两条直线平行和垂直的条件

难点 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

教 问题与情境及教师活动 学生活动 学

过

程

及

方

法 一、创设情景，揭开课题

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,

并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在,

我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

二、探究两条直线平行与垂直

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线1l 和2l的斜率分别为1k和2k.

我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

llkklllltgtgkkkktgtg01800180ll学生讨论

并得出结论

学生思考

教师课时教案

教 问题与情境及教师活动 学生活动 学

过

程

及

方

法