2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题一 集合、逻辑用语、不等式等 专题能力训练2(含答案)

第1讲 集合与常用逻辑用语[考情考向分析] 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.2．(2018·安徽省江南十校联考)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |e x >1}，则( )A ．A ∪B ＝{x |x >0} B ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12C ．A ∩∁R B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <12D ．(∁R A )∪B ＝R答案 B解析 ∵A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12， B ＝{x |e x >1}＝{x |x >0}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12，故选B. 3．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分答案 C解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格，p 的逆否命题是：若A ，B ，C 至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.4．(2018·长春模拟)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1，则綈p 是A ．綈p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x >x －1B ．綈p ：∀x ∈(－∞，0]，ln x >x －1C ．綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0>x 0－1D ．綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≤x 0－1答案 C解析 因为全称命题的否定是特称(存在性)命题，所以命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1的否定綈p 为∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0>x 0－1.故选C.5．(2018·宜昌调研)已知命题p ：∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x 0≥sin x 0，则命题p 的否定为( )A ．∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x ≥sin x B ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x 0<sin x 0 C ．∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x <sin x D ．∃x 0∉⎣⎡⎦⎤0，π2，x 0≥sin x 0 答案 C解析 命题p ：∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x 0≥sin x 0的否定为 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x <sin x . 故选C.6．有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为：“若xy ＝0，则x ≠0”B ．命题“∃x 0∈R ，使得2x 20－1<0”的否定是：“∀x ∈R,2x 2－1<0” C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题答案 C解析 对于A 选项，命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A 错误；对于B 选项，命题“∃x 0∈R ，使2x 20－1<0”的否定是“∀x ∈R ,2x2－1≥0”，故B 错误；选项C 的逆命题为真命题，故C 正确；选项D 的原命题是假命题，则逆否命题与之对应也是假命题，故D 错误，故选C.7．(2018·天津)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”； 由x 3<1，得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇏“⎪⎪⎪⎪x －12<12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件． 故选A.8．(2018·山东枣庄市第三中学调研)若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2×π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，此时θ＝－π6不一定成立，反之成立，即“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的必要不充分条件，故选B.9．(2018·武汉调研)给出下列两个命题：p 1：∃x 0∈R,3sin x 0＋4cos x 0＝3x 20＋4；p 2：若lg a 2＋2lg b ＝0，则a ＋b ≥2，那么下列命题为真命题的是( )A ．p 1∧p 2B ．p 1∨(綈p 2)C ．p 1∨p 2D ．(綈p 1)∧p 2 答案 B解析 因为3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)∈[]－5，5，而3 x 2＋4≥6，所以p 1为假命题．对于p 2，由题设有a 2b 2＝1，b >0，所以ab ＝1或ab ＝－1，取a ＝－3，b ＝13，则a ＋b ＝－83<2， 故p 2为假命题，所以p 1∨(綈p 2)为真命题，故选B.10．(2018·漳州调研)已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．綈(p ∨q )D ．p ∧(綈q )答案 B解析 p 中椭圆为x 29＋y 225＝1，双曲线为x 212－y 24＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4,0)，故p 为假命题；q 中f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，设t ＝x 2＋4≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)，则f (t )＝t ＋1t 在区间[2，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝52，故q 为真命题． 所以(綈p )∧q 为真命题，故选B.11．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 B解析 由A ＝{1,2}，得C (A )＝2，由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3.由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0，得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0；当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x 2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a .由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，故C (S )＝3.12．已知集合A ＝{x |x >2}，集合B ＝{x |x >3}，以下命题正确的个数是( )①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A 都有x ∈B ；④∀x ∈B 都有x ∈A .A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析 因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，所以B ⊆A ，即B 是A 的子集，①④正确，②③错误，故选C.13．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cosπx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值集合为__________．答案 {a |－2<a ≤0}解析 方法一 由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x＝2k ，k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥0，－a <2， 即－2<a ≤0.方法二 由方法一得，∁U A ＝[a －2，－a ]，区间长度为－a －(a －2)＝2－2a ，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，因为(∁U A )∩B 恰好有两个元素，所以2≤2－2a <6，所以－2<a ≤0.14．(2018·北京)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 f (x )＝sin x (答案不唯一)解析 设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]。

专题能力训练1集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.若命题p:∀x∈R,cos x≤1,则p为()A.∃x0∈R,cos x0>1B.∀x∈R,cos x>1C.∃x0∈R,cos x0≥1D.∀x∈R,cos x≥12.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数3.(2018全国Ⅰ,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}4.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=()A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}5.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设m∈R,命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤07.(2018北京,文4)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.下列命题正确的是()A.∃x0∈R,+2x0+3=0B.∀x∈N,x3>x2C.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b29.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0,命题q:∀x∈R,e x>1,则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧( q)是真命题D.命题p∨( q)是假命题10.命题“若x>0,则x2>0”的否命题是()A.若x>0,则x2≤0B.若x2>0,则x>0C.若x≤0,则x2≤0D.若x2≤0,则x≤011.设p:<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.12.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=,x>1,则A∩B=.13.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.二、思维提升训练14.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则 p成立是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.(2018天津,文1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}16.“对任意x∈,k sin x cos x<x”是“k<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题D.命题“∃x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”18.下列命题中的真命题是()A.∃x0∈R,使得≤0B.sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)C.函数f(x)=2x-x2有两个零点D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件19.下列命题正确的是.(填序号)①若f(3x)=4x log23+2,则f(2)+f(4)+…+f(28)=180;②函数f(x)=tan 2x图象的对称中心是(k∈Z);③“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,+1>0”;④设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.20.设p:关于x的不等式a x>1的解集为{x|x<0},q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是.专题能力训练1集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.A解析由全称命题的否定得, p:∃x0∈R,cos x0>1,故选A.2.B3.A4.A解析由已知可得A∪B={1,3,4,5},故∁U(A∪B)={2,6}.5.A解析菱形的对角线互相垂直,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选A.6.D解析原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.7.B解析ad=bc⇒/a,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列⇒⇒ad=bc.故选B.8.C解析+2x0+3=(x0+1)2+2>0,选项A错;x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,选项B错;若x>1,则x2>1成立,反之不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错,故选C.9.C解析因为命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0是真命题,而命题q:∀x∈R,e x>1是假命题,所以由命题的真值表可知命题p∧( q)是真命题,故选C.10.C解析命题的条件的否定为x≤0,结论的否定为x2≤0,则该命题的否命题是“若x≤0,则x2≤0”,故选C.11.(2,+∞)解析由<0,得0<x<2.∵p是q成立的充分不必要条件,∴(0,2)⫋(0,m),∴m>2.12.解析由已知,得A={y|y>0},B=,则A∩B=.13.-1,-2,-3(答案不唯一)解析答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.二、思维提升训练14.C解析由p成立,得a≤1,由q成立,得a>1,所以 p成立时a>1, p成立是q成立的充要条件.故选C.15.C解析∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.B解析当x∈时,sin x<x,且0<cos x<1,∴sin x cos x<x.∴当k<1时有k sin x cos x<x.反之不成立.如当k=1时,对任意的x∈,sin x<x,0<cos x<1,所以k sin x cos x=sin x cos x<x成立,这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.17.C解析否命题应同时否定条件与结论,选项A错;若x=-1,则x2-5x-6=0成立,反之不成立,选项B 错;因为原命题为真命题,所以其逆否命题为真命题,选项C正确;特称命题的否定为全称命题,同时否定结论,选项D错,故选C.18.D解析对任意的x∈R,e x>0恒成立,A错误;当sin x=-1时,sin2x+=-1,B错误;f(x)=2x-x2有三个零点(x=2,4,还有一个小于0),C错误;当a>1, b>1时,一定有ab>1,但当a=-2,b=-3时,ab=6>1也成立,故D正确.19.③④解析因为f(3x)=4x log23+2,令3x=t⇒x=log3t,则f(t)=4log3t·log23+2=4log2t+2,所以f(2)+f(4)+…+f(28)=4(log22+log222+…+log228)+16=4×(1+2+…+8)+16=4×36+16=160,故①错;函数f(x)=tan 2x图象的对称中心是(k∈Z),故②错;由全称命题的否定是特称命题知③正确;f(x)=sin x+cos x=2sin,要使sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解,则a=,x1=0,x2=,x3=2π,故④正确.20.∪[1,+∞)解析p真时,0<a<1;q真时,ax2-x+a>0对x∈R恒成立,则即a>.若p∨q为真,p∧q为假,则p,q应一真一假.①当p真q假时,⇒0<a≤;②当p假,q真时,⇒a≥1.综上,a∈∪[1,+∞).。

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自测过关卷(一)集合、常用逻辑用语、不等式A组——高考题点全面练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：选A A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y) x2＋y2≤3，x∈，y∈}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.法三：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈，y∈，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A.3．(2019届高三·广西联考)已知全集U＝{x∈x2－5x－6<0}，A＝{x∈－1<x≤2}，B＝{2,3,5}，则(∁U A)∩B＝()A．{2,3,5} B．{3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}解析：选B∵全集U＝{x∈x2－5x－6<0}＝{x∈－1<x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{x ∈－1<x≤2}＝{0,1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．又∵B＝{2,3,5}，∴(∁U A)∩B＝{3,5}．4．(2018·贵阳模拟)命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则綈p为()A．∀x∈R，x2＋2x＋2>0B．∀x∈R，x2＋2x＋2≥0C．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≥0解析：选A 因为命题p 为特称命题，所以綈p 为“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0”，故选A.5．(2018·沈阳质监)命题“若xy ＝0，则x ＝0”的逆否命题是( ) A ．若xy ＝0，则x ≠0 B ．若xy ≠0，则x ≠0 C ．若xy ≠0，则y ≠0D ．若x ≠0，则xy ≠0解析：选D “若xy ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则xy ≠0”．6．(2019届高三·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m ·n ＝ m ·n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当m 与n 反向时，m ·n <0，而 m ·n >0，故充分性不成立．若m ·n ＝ m ·n ，则m ·n ＝ m · n cos 〈m ，n 〉＝ m · n · cos 〈m ，n 〉 ，则cos 〈m ，n 〉＝ cos 〈m ，n 〉 ，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m ·n ＝ m ·n ”的既不充分也不必要条件，故选D. 7．(2018·唐山模拟)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数 ＝2x ＋y 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．6解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0所对应的可行域如图中阴影部分所示．当直线y ＝－2x ＋ 过点C 时，在y 轴上的截距最小，此时 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，所以C ⎝⎛⎭⎫12，12， min ＝2×12＋12＝32. 8．(2018·长春质检)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.9．定义一种集合运算A ⊗B ＝{ ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，设M ＝{x x <2}，N ＝{ 2－4x ＋3<0}，则M ⊗N 表示的集合是( )A ．(－∞，－2 ∪[1,2)∪(3，＋∞)B ．(－2,1 ∪[2,3)C ．(－2,1)∪(2,3)D ．(－∞，－2 ∪(3，＋∞)解析：选B ∵M ＝{x x <2}＝{x －2<x <2}， N ＝{ 2－4x ＋3<0}＝{x 1<x <3}，∴M ∩N ＝{x 1<x <2}，M ∪N ＝{x －2<x <3}． ∵A ⊗B ＝{ ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }， ∴M ⊗N ＝{x －2<x ≤1或2≤x <3}，故选B.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5D ．[－3，－2)∪(4,5解析：选D ∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， ∴当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5. 当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1,0， 则－3≤a <－2，故a 的取值范围是[－3，－2)∪(4,5 ． 11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≤0，x ≤3，使 ＝x ＋ay (a >0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1解析：选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋z a ，z a 为直线y ＝－1a x ＋z a 在y 轴上的截距，要使目标函数取得最小值的最优解有无数个，则截距最小时的最优解有无数个．∵a >0，∴把直线x ＋ay ＝ 平移，使之与可行域中的边界AC 重合即可，∴－a ＝－1，即a ＝1，故选D.12．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p ∧綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2C ．(1,2D ．(－∞，1 ∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，得a >2，则綈q 对应的a 的取值范围是(－∞，2 ．因为p ∧綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2 ．13．已知A ＝{x －1<2x －1<5}，B ＝{y y ＝2x ，x >0}，则(∁R A )∪B ＝________. 解析：∵A ＝{x －1<2x －1<5}＝{x 0<x <3}， B ＝{y y ＝2x ，x >0}＝{y y >1}， ∴∁R A ＝{ ≤0或x ≥3}， ∴(∁R A )∪B ＝{ ≤0或x >1}． 答案：{ ≤0或x >1}14．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则 ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，取最大值， max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：615．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R ，4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：因为命题“∃x 0∈R ,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.答案：(0,4)16．若关于x 的不等式2x －1>m (x 2－1)对满足 m ≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围为________．解析：由2x －1>m (x 2－1)， 可得(x 2－1)m －(2x －1)<0.构造关于m 的函数f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)， m ≤2，即－2≤m ≤2. ①当x 2－1>0，即x <－1或x >1时，则f (2)<0， 从而2x 2－2x －1<0， 解得1－32<x <1＋32，所以1<x <1＋32.②当x 2－1<0，即－1<x <1时，则f (－2)<0，可得－2x 2－2x ＋3<0，从而2x 2＋2x －3>0， 解得x <－1－72或x >7－12，所以7－12<x <1. ③当x 2－1＝0，即x ＝±1时， 则f (m )＝1－2x <0，从而x >12，故x ＝1.综上可得7－12<x <1＋32. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫7－12，1＋32B 组——高考达标提速练(对应配套卷P162)1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{ 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x －1<x <2} B ．{x －1≤x ≤2} C ．{ <－1}∪{ >2}D ．{ ≤－1}∪{ ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{ >2或x <－1}． 则∁R A ＝{x －1≤x ≤2}．故选B.2．(2018·南宁模拟)设集合M ＝{ <4}，集合N ＝{ 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：选A ∵M ＝{ <4}，N ＝{x 0<x <2}， ∴M ∪N ＝{ <4}＝M ，故选项A 正确； M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x 0<x <2}∪{ ≥4}≠R ，故选项C 错误； M ∩N ＝{x 0<x <2}＝N ，故选项D 错误．3．(2018·贵阳模拟)设集合A ＝{x (x －1)(x ＋2)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋1x －3<0，则A ∪B ＝( )A ．(－2,1)B ．(－2,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B 因为A ＝{x －2<x <1}，B ＝{x －1<x <3}，所以A ∪B ＝{x －2<x <3}，故选B.4．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m ＝( ) A ．3 B ．2C ．2或3D ．0或2或3解析：选D ∵A ＝{2,3}，B ＝{x mx －6＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6m ，B ⊆A ，∴2＝6m 或3＝6m 或6m 不存在， ∴m ＝2或m ＝3或m ＝0，5．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数 ＝3x ＋5y的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由 ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z 5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z 5过点P 时，取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即P (2,3)，所以 max ＝3×2＋5×3＝21.6．设x >0，y >0，x ＋y －x 2y 2＝4，则1x ＋1y 的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C.12D.14解析：选B 由x ＋y －x 2y 2＝4，可得x ＋y ＝x 2y 2＋4，x >0，y >0.∴1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2y 2＋4xy ＝xy ＋4xy≥2xy ·4xy ＝4，当且仅当xy ＝2时取等号，因此1x ＋1y的最小值等于4.7．(2019届高三·武汉调研)已知x >y >0，a >b >1，则一定有( ) A.a x >by B ．sin ax >sin by C ．log a x >log b yD ．a x >b y解析：选D 对于A 选项，不妨令x ＝8，y ＝3，a ＝5， b ＝4，显然58＝a x <b y ＝43，A 选项错误；对于B 选项，不妨令x ＝π，y ＝π2，a ＝2，b ＝32，此时sin ax ＝sin 2π＝0，sin by ＝sin 3π4＝22，显然sin ax <sin by ，B 选项错误；对于C 选项，不妨令x ＝5，y ＝4，a ＝3，b ＝2， 此时log a x ＝log 35，log b y ＝log24＝2，显然log a x <log b y ，C 选项错误； 对于D 选项，∵a >b >1， ∴当x >0时，a x >b x ，又x >y >0，∴当b >1时，b x >b y ， ∴a x >b y ，D 选项正确． 综上，选D.8．已知满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1的可行域为Ω，直线x ＋ y －1＝0将可行域Ω划分成面积相等的两部分，则 的值为( )A ．－13B.13 C ．0D.23解析：选B 作出不等式组所对应的平面区域如图中阴影部分所示．∵直线x ＋ y －1＝0过定点C (1,0)，∴要使直线x ＋ y －1＝0将可行域分成面积相等的两部分，则直线x ＋ y －1＝0必过线段AB 的中点D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，即B (1,4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即A (－1,2)． ∴AB 的中点D (0,3)，将点D 的坐标代入直线x ＋ y －1＝0，得3 －1＝0， 解得 ＝13，故选B.9．(2018·郑州第一次质量预测)下列说法正确的是( ) A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1” B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题解析：选D 对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，选项A 错误；对于选项B ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，选项C 错误； 对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.10．(2019届高三·湖南湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.11．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300x ＋400y .作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时， 有最大值， max ＝400×6＝2 400，故选C.12．在下列结论中，正确的个数是()①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由特称命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的既不充分也不必要条件，∴③错误． 由逆否命题的定义可知，④正确． ∴正确的结论有3个．13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，若 ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________.解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．目标函数 ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y － ＝0的斜率 ＝－a .①当 ∈(－∞，1 ，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，可得A (5,6)，故 的最大值为5a ＋6＝16，解得a ＝2.②当 ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，可得C (0,1)，故 的最大值为0×a ＋1＝1，显然不符合题意．综上，a ＝2. 答案：214．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，ln (x －1)，1<x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0,5)，由f (x )≤g (x )恒成立，并数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52.答案：⎣⎡⎦⎤0，52 15．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2(x 2＋2y 2)x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为 2.答案： 216．(2018·洛阳第一次联考)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由于x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，其中y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x ＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，所以当点(x ，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9 ． 答案：[3,9。

专题能力训练1　集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.若命题p :∀x ∈R ,cos x ≤1,则p 为( )A .∃x 0∈R ,cos x 0>1B .∀x ∈R ,cos x>1C .∃x 0∈R ,cos x 0≥1D .∀x ∈R ,cos x ≥12.命题“若f (x )是奇函数,则f (-x )是奇函数”的否命题是( )A.若f (x )是偶函数,则f (-x )是偶函数B.若f (x )不是奇函数,则f (-x )不是奇函数C.若f (-x )是奇函数,则f (x )是奇函数D.若f (-x )不是奇函数,则f (x )不是奇函数3.(2018全国Ⅰ,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A ∩B=( )A .{0,2}B .{1,2}C .{0}D .{-2,-1,0,1,2}4.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U (A ∪B )=( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}5.设四边形ABCD 的两条对角线为AC ,BD ,则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设m ∈R ,命题“若m>0,则关于x 的方程x 2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )A.若关于x 的方程x 2+x-m=0有实根,则m>0B.若关于x 的方程x 2+x-m=0有实根,则m ≤0C.若关于x 的方程x 2+x-m=0没有实根,则m>0D.若关于x 的方程x 2+x-m=0没有实根,则m ≤07.(2018北京,文4)设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad=bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.下列命题正确的是( )A .∃x 0∈R , +2x 0+3=0x 20B .∀x ∈N ,x 3>x 2C .“x>1”是“x 2>1”的充分不必要条件D .若a>b ,则a 2>b 29.已知命题p :∃x 0∈R ,x 0-2>lg x 0,命题q :∀x ∈R ,e x >1,则( )A.命题p ∨q 是假命题B.命题p ∧q 是真命题C.命题p ∧(￿q )是真命题D.命题p ∨(￿q )是假命题10.命题“若x>0,则x 2>0”的否命题是( )A.若x>0,则x 2≤0B.若x 2>0,则x>0C.若x ≤0,则x 2≤0D.若x 2≤0,则x ≤011.设p :<0,q :0<x<m ,若p 是q 成立的充分不必要条件,则m 的取值范围是 .xx -212.已知集合A={y|y=log 2x ,x>1},B=,x>1,则A ∩B= . { y |y =(12)x }13.能够说明“设a ,b ,c 是任意实数,若a>b>c ,则a+b>c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 .二、思维提升训练14.已知p :函数f (x )=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q :函数g (x )=log a (x+1)(a>0,且a ≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则￿p 成立是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.(2018天津,文1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x ∈R |-1≤x<2},则(A ∪B )∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}16.“对任意x ∈,k sin x cos x<x ”是“k<1”的( )(0,π2)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”B.“x=-1”是“x 2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y ,则sin x=sin y ”的逆否命题为真命题D.命题“∃x 0∈R ,使得+x 0+1<0”的否定是“∀x ∈R ,均有x 2+x+1<0”x 2018.下列命题中的真命题是( )A.∃x 0∈R ,使得≤0e x 0B.sin 2x+≥3(x ≠k π,k ∈Z )2sinx C.函数f (x )=2x -x 2有两个零点D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件19.下列命题正确的是 .(填序号)①若f (3x )=4x log 23+2,则f (2)+f (4)+…+f (28)=180;②函数f (x )=tan 2x 图象的对称中心是(k ∈Z );(kπ2,0)③“∀x ∈R ,x 3-x 2+1≤0”的否定是“∃x 0∈R ,+1>0”;x 30‒x 20④设常数a 使方程sin x+cos x=a 在闭区间[0,2π]上恰有三个解x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3=.37π320.设p :关于x 的不等式a x >1的解集为{x|x<0},q :函数y=lg(ax 2-x+a )的定义域为R ,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则a 的取值范围是　.专题能力训练1　集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.A 解析 由全称命题的否定得,￿p :∃x 0∈R ,cos x 0>1,故选A .2.B3.A4.A 解析 由已知可得A ∪B={1,3,4,5},故∁U (A ∪B )={2,6}.5.A 解析 菱形的对角线互相垂直,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选A.6.D 解析 原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若关于x 的方程x 2+x-m=0没有实根,则m ≤0”.7.B 解析 ad=bc ⇒/a ,b ,c ,d 成等比数列,例如1×9=3×3;a ,b ,c ,d 成等比数列⇒⇒ad=bc.故选B .b a =d c8.C 解析 +2x 0+3=(x 0+1)2+2>0,选项A 错;x 3-x 2=x 2(x-1)不一定大于0,选项B 错;若x>1,则x 2>1成立,反之x 20不成立,选项C 正确;取a=1,b=-2,满足a>b ,但a 2>b 2不成立,选项D 错,故选C.9.C 解析 因为命题p :∃x 0∈R ,x 0-2>lg x 0是真命题,而命题q :∀x ∈R ,e x >1是假命题,所以由命题的真值表可知命题p ∧(￿q )是真命题,故选C .10.C 解析 命题的条件的否定为x ≤0,结论的否定为x 2≤0,则该命题的否命题是“若x ≤0,则x 2≤0”,故选C.11.(2,+∞)　解析 由<0,得0<x<2.∵p 是q 成立的充分不必要条件,∴(0,2)⫋(0,m ),∴m>2.xx -212.　解析 由已知,得A={y|y>0},B=,则A ∩B=.{y |0<y <12}{y |0<y <12}{y |0<y <12}13.-1,-2,-3(答案不唯一)　解析 答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c ,而a+b=-3=c ,能够说明“设a ,b ,c 是任意实数,若a>b>c ,则a+b>c ”是假命题.二、思维提升训练14.C 解析 由p 成立,得a ≤1,由q 成立,得a>1,所以￿p 成立时a>1,￿p 成立是q 成立的充要条件.故选C.15.C 解析 ∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴A ∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x ∈R |-1≤x<2},∴(A ∪B )∩C={-1,0,1}.16.B 解析 当x ∈时,sin x<x ,且0<cos x<1,(0,π2)∴sin x cos x<x.∴当k<1时有k sin x cos x<x.反之不成立.如当k=1时,对任意的x ∈,sin x<x ,0<cos x<1,所以k sin x cos x=sin x cos x<x 成立,(0,π2)这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.17.C 解析 否命题应同时否定条件与结论,选项A 错;若x=-1,则x 2-5x-6=0成立,反之不成立,选项B 错;因为原命题为真命题,所以其逆否命题为真命题,选项C 正确;特称命题的否定为全称命题,同时否定结论,选项D 错,故选C.18.D 解析 对任意的x ∈R ,e x >0恒成立,A 错误;当sin x=-1时,sin 2x+=-1,B 错误;f (x )=2x -x 2有三个零点2sinx (x=2,4,还有一个小于0),C 错误;当a>1, b>1时,一定有ab>1,但当a=-2,b=-3时,ab=6>1也成立,故D 正确.19.③④　解析 因为f (3x )=4x log 23+2,令3x =t ⇒x=log 3t ,则f (t )=4log 3t·log 23+2=4log 2t+2,所以f (2)+f (4)+…+f (28)=4(log 22+log 222+…+log 228)+16=4×(1+2+…+8)+16=4×36+16=160,故①错;函数f (x )=tan 2x 图象的对称中心是(k ∈Z ),故②错;由全称命题的否定是特称命题知③正确;f (x )=sin x+cos x=2sin ,要使sin (kπ4,0)3(x +π3)x+cos x=a 在闭区间[0,2π]上恰有三个解,则a=,x 1=0,x 2=,x 3=2π,故④正确.33π320.∪[1,+∞)　解析 p 真时,0<a<1;q 真时,ax 2-x+a>0对x ∈R 恒成立,则即a>.若(0,12]{a >0,Δ=1-4a 2<0,p ∨q 为真,p ∧q 为假,则p ,q 应一真一假.①当p 真q 假时,⇒0<a ≤;②当p 假,q 真时,{0<a <1,a ≤12⇒a ≥1.综上,a ∈∪[1,+∞).{a ≤0或a ≥1,a >12(0,12]。

1．集合A ＝{x ∈N |－1＜x ＜4}的真子集个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16【解析】选C.A ＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.2．已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．53．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R【解析】选C.集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C. 4．已知p ：a ＜0，q ：a 2＞a ，则﹁p 是﹁q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.因为﹁p ：a ≥0，﹁q ：0≤a ≤1，所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒ ﹁q ，所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．5．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋ab≥2”的充要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0” D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0【解析】选D.若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错；若a ＞0，b ＞0，则b a ＋ab ≥2，又当a ＜0，b ＜0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a ＞0，b ＞0”是“b a＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错；易知D 正确．6．设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1＜x ≤1B ．x ≤1C ．x ＞－1D ．－1＜x ＜1【解析】选D.由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x ∉B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.【答案】C16．已知命题p ：“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q ：∀x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＝12的否定为：“∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≠12”，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．(綈p )∨(綈q )D ．p ∧q【答案】D17．用C (A )表示非空集合A中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧CA CBC A C B CBC AC BC A，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R}，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R}，设S ＝{b |A *B ＝1}，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】因为二次方程x 2－ax －1＝0满足Δ＝a 2＋4>0，所以C (A )＝2，要使A *B ＝1，则C (B )＝1或C (B )＝3，函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的图象与直线y ＝1或y ＝－1相切，所以b 2＝0或b 2－8＝0，可得b ＝0或b ＝±22，故C (S )＝3.【答案】B18．以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0 【解析】选项D 中綈p 应为：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.故选D. 【答案】D19．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>0，命题q ：∀x ∈R,2x>x 2，则下列说法中正确的是( ) A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题【解析】显然命题p 是真命题，又因为当x ＝4时，24＝42，所以命题q 是假命题，所以命题p ∧(綈q )是真命题．【答案】C20．若命题“p 且q ”是假命题，“綈p ”也是假命题，则( ) A ．命题“綈p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“綈p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且綈q ”是假命题【答案】A21．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝( )A ．{x |2<x ≤4}B ．{x |3≤x ≤4}C ．{x |2<x <3}D ．{x |2≤x ≤4}【解析】∵A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴B △A ＝{x |3≤x ≤4}． 【答案】B22．下列说法中正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”【解析】f (0)＝0，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．【答案】D23．已知命题p ：∀x ∈R,2x>0；命题q ：在曲线y ＝cos x 上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题【解析】易知，命题p 是真命题，对于命题q ，y ′＝－sin x ∈[－1,1]，而2∉[－1,1]，故命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，p ∧(綈q )是真命题．故选C.【答案】C24．命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )【答案】D25．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A ．a <b <0B ．b >aC ．ab >0D ．ab (a －b )<0【解析】1a 3－1b 3＝b 3－a 3ab3＝b －ab 2＋ab ＋a 2ab 3，选项A 可以推出1a 3>1b3.故选A. 【答案】A 26．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3【答案】B27．已知集合A ＝{x |2x 2＋3x －2<0}，集合B ＝{x |x >a }，如果“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a <－2C ．a >－2D ．a ≥－2【解析】由2x 2＋3x －2<0，解得－2<x <12，即A ＝{x |－2<x <12}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A ⊆B ，所以a ≤－2，即实数a 的取值范围是a ≤－2.【答案】A28． “m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当m <0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.【答案】A29．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )【解析】x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34>0，所以∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≥0成立，故p 为真命题，綈p为假命题，又易知命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p ∧(綈q )为真命题，故选B.【答案】C33．下列说法正确的是 ( )A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1” B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4x 0成立 D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题【解析】对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.【答案】D34．已知集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x≤1，则A ∩B ＝________. 【解析】∵A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝[－2,3]，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x≤1＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A ∩B ＝[－2,0)∪[1,3]．【答案】[－2,0)∪[1,3]35．若条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】綈p 是綈q 的充分不必要条件等价于q 是p 的充分不必要条件，条件p ：|x ＋1|>2即x >1或x <－3.因为条件q ：x >a ，故a ≥1.【答案】a ≥136．已知命题p ：∀x ∈[2,4]，log 2x －a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧(綈q )”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】命题p ：∀x ∈[2,4]，log 2x －a ≥0⇒a ≤1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0⇒a ≤－2或a ≥1，由p ∧(綈q )为真命题，得－2<a <1.【答案】－2<a <137．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4338．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |[x ]2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪18<2x<8，则A ∩B ＝________.【解析】因为A ＝{x |[x ]2－2[x ]＝3}，所以[x ]＝－1或3，所以－1≤x <0或3≤x <4，由B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪18<2x<8得B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝{x |－1≤x <0}． 【答案】{x |－1≤x <0}39．已知∀x ∈R ，不等式ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为不等式ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，当a ＝0时，不等式即1>0，显然满足对一切x ∈R 恒成立；当a >0时，应有Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，0≤a <4.即实数a 的取值范围是[0,4)．【答案】[0,4)40．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义|A －B |＝⎩⎪⎨⎪⎧CA CBC A C BC BC AC A <C B .若A ＝{1,2}，B ＝{x ||x 2＋2x －3|＝a }，且|A －B |＝1，则a ＝________.【解析】由于|x 2＋2x －3|＝a 的根可能是2个，3个，4个，而|A －B |＝1，故|x 2＋2x －3|＝a 只能有3个根，故a ＝4.【答案】441．设集合S ，T 满足∅≠S ⊆T ，若S 满足下面的条件：(i)对于∀a ，b ∈S ，都有a －b ∈S 且ab ∈S ；(ⅱ)对于∀r ∈S ，n ∈T ，都有nr ∈S ，则称S 是T 的一个理想，记作S ⊲T .现给出下列集合对：①S＝{0}，T ＝R ；②S ＝{偶数}，T ＝Z ；③S ＝R ，T ＝C(C 为复数集)，其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________．【答案】①②42．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，则m 的取值范围是________．【解析】当x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0；当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求． 当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时不符合第①条的要求．当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m m ＋32m ＜－4，m ＋31或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋32m ，2m ＜1，m ＋34，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．【答案】(－4，－2)。