【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.4(含答案)

习题7-41. 已知命题“若数列{}n a 为等差数列，且(),,,m n a a a b m n m nN +==≠∈，则.m n bn ama n m+-=-”现已知数列{}n b ()0,n b n N +>∈为等比数列，且(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈，若类比上述结论，则可得到m n b += .2.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 3.,,,a b c d R ∈, 有以下三个论断：①0ab >；②bc ad <；③c dab<.若以其中两个为条件，余下一个为结论，写出所有正确的命题：_______________________________________________________. 4. 若规定{}1,210,...,E a a a =的子集{}12,...,ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则（1）{}1,3,a a 是E 的第_________个子集；（2）E 的第211个子集是____________. 5. ①在ABC 中，90B =的充分必要条件是cos c b A =；②函数2y =的最小值是52；③数列{}n a 的前项和为n S ，若21n S n =+，则数列{}n a 是等差数列； ④空间中，垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线750x y +-=分圆221x y +=所成的两部分弧长之差的绝对值为π.其中正确的结论的序号为：___________.6．平面几何中的射影定理为：直角ABC ∆中，,90︒=∠A BC AD ⊥ 则有BC BD AB ⋅=2，如图1；将此结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中，AB 、AC 、AD 三边两两互相垂直，A 在面BCD 的射影为点O ，则得到的类比的结论中 , , ABC BOC BCD S S S ∆∆∆ 有怎样的关系 .习题7-41. n mn m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭提示：（探索型）猜想m nb +=n mn m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.事实上，利用(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈也可求到数列的首项和公比，从而得到结果 2. ①②w_w w. k#s5_u.c o*m提示：（新定义型，多选型）直接验证可知①正确. 当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x ＝y ，得0∈S ，②正确 对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S T C ⊆⊆,但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误3. ①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①提示：（组合型）易知①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①三个命题均为真. 4. （1）5 （2）{}1,25,78,,,,a a a a a提示：（新定义型）（1）根据新定义113122=5k --=+.（2）要使得12111222=211n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，需12111222=1+2+16+64+128ni i i ---++⋅⋅⋅+，即要使得1234511111i i i i i -----，，，，分别为1，2，16，64，128，故12345i i i i i ，，，，分别为1，2，5，7，8.5.①②⑤.提示：（多选型）①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件，考虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前n 项和为关于n 的二次式，且常数项为0.④由正方体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到直线的距离2d =，半径1r =，劣弧所对圆心角为2π.6．BCD BO C ABC S S S ∆∆⋅=2提示：（探索型）类比猜测答案. 实际上，延长DO 交BC 于H ，则DH ⊥BC ,AH ⊥BC .1=, 2ABCS BC AH ∆⋅⋅1 , 2BOC S BC OH ∆=⋅⋅12BCD S BC DH ∆=⋅⋅而 直角A H D ∆中，90D A H ∠=︒A O D ⊥则有2A H O H D H=⋅故BCD BO C ABC S S S ∆∆⋅=2B。

第七章 7.2第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为( ) A ．{x |1m ＜x ＜m } B ．{x |x ＞1m 或x ＜m } C ．{x |x ＞m 或x ＜1m } D ．{x |m ＜x ＜1m } 答案 D解析 当0<m <1时，m <1m2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z }，N ＝{x ∈R |3x －1x －9≤1}，则M ∩N 的真子集的个数是( )A ．15B ．7C ．16D ．8 答案 B解析 由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0} 真子集个数23－1＝7.3．函数y ＝log 12x 2－的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2) 答案 A解析 由⎩⎨⎧x 2－1>0x 2－1≤1得[－2，－1)∪(1，2]．4．已知集合M ＝{x |x 2－2008x －2009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]，则( )A ．a ＝2009，b ＝－2010B ．a ＝－2009，b ＝2010C ．a ＝2009，b ＝2010D ．a ＝－2009，b ＝－2010 答案 D解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2010}，即－1,2010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2010＝－2010，－a ＝－1＋2010，即a ＝－2009.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且f (1)>0，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是 ( ) A ．m <32 B ．m <32且m ≠1C ．－1<m <32D ．m >32或m <－1答案 C解析 由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1<0，∴－1<m <32，故选C.6.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为 ( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 由导数图象知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数； 当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即⎩⎨⎧x 2－6<0，x 2－6>－2或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B解析 ∵f (x 0)>1，∴⎩⎨⎧ x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎨⎧x 0<1x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式 (x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12) C ．(－1,1) D ．(0,2) 答案 A解析 由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.故选A .解法2：即y 2－y <x 2－x ＋1对x ∈R 恒成立，∴y 2－y <(x 2－x ＋1)min ＝34.∴y 2－y <34，解之得－12<y <32.二、填空题9．不等式2－xx ＋4>0的解集是________．答案 (－4,2)解析 考查分式不等式的解法2－xx ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4<x <2.10．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案 －1<a <1解析 f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正一负根，则f (0)<0得a 2－1<0⇒－1<a <1. 11．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围________________________________________________．答案 －2≤a <65解析 当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意．当a 2－4≠0时，需⎩⎨⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋2＋a 2－， 解得－2<a <65.综上可知－2≤a <65.12．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a <0(a >0)的解集为________．答案 (1，a ＋1a )解析 不等式可化为[x －(a ＋1a )](x －1)<0， ∵a >0，∴a ＋1a ≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a ＋1a )．132答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 三、解答题14．关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧x 2－x －2>02x 2＋（k ＋）x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解析 解x 2－x －2>0得x >2或x <－1 解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集)得(2x ＋5)(x ＋k )<0由原不等式组，整数解为{－2}．得 －52<x <－k ，∴－2<－k ≤3 ∴－3≤k <2.15．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )． 证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b－2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.16．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析 由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对任意x ∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立．即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立．方法一 令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可．g (x )＝x 2＋ax －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24－a ＋1.①当－a2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0⇒a <1，故0<a <1；②当0≤－a2≤1，即－2≤a ≤0时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋1>0⇒－2－22<a <－2＋22， 故－2≤a ≤0；③当－a2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二 由1－ax －x 2<2－a 得(1－x )a <x 2＋1， ∵x ∈[0,1]，∴1－x ≥0，∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ；②当x ∈[0,1)时，a <x 2＋11－x恒成立．求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋11－x的最小值．令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则 y ＝x 2＋11－x＝(－t )2＋1t ＝t ＋2t －2， 而函数y ＝t ＋2t －2是(0,1]上的减函数， 所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1， 由①②得a <1.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立， 其取值范围是(－∞，1)．教师备选题1．(苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为Ø，则实数a 的取值范围为________．答案 [24，＋∞)解析 解法1：原命题可等价于不等式ax 2－|x |＋2a ≥0对于任意的实数x 均成立，即a (x 2＋2)≥|x |对于任意的实数x 均成立，由于x 2＋2>0且|x |≥0，故a >0，分别作出f 1(x )＝a (x 2＋2)和f 2(x )＝|x |的图象如图：根据图象的对称性，只需研究x ≥0时满足即可，当x ≥0，二者相切时，应有f 1′(x )＝2ax ＝1，此时x ＝12a ，所以，欲使原命题成立，只需满足f 1(12a )≥f 2(12a )，即a ×14a 2＋2a ≥12a ⇒8a 2≥1，解之得a ≥24(a ≤－24舍去)．解法2：令t ＝|x |≥0，原不等式可化为at 2－t ＋2a <0在t ≥0不存在，即at 2－t＋2a ≥0在t ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >012a <02a ≥0解之得a ≥242．设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3) 如果x 1x 2∈[110，10]，试求a 的最大值．解析 (1)(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a ＝1. (2)令f (x )＝ax 2＋x ＋1，由Δ＝1－4a ≥0，得0<2a ≤12，∴抛物线f (x )的对称轴x ＝－12a ≤－2<－1. 又f (－1)＝a >0，∴f (x )图象与x 轴的交点都在点(－1,0)的左侧，故x 1<－1，且x 2<－1.(3)由(1)，x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2.x 1x 2＝－11＋x 2∈[110，10]， 所以－1x 2∈[111，1011]．所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 22＝－[(－1x 2)－12]2＋14.故当－1x 2＝12时，a 取得最大值为14.。

第六章 6.2第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 依题意得a 1＋a 9＝2a 5＝10，a 5＝5，选A.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( )A.32B.12C ．－32D ．－12 答案 D解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D.3设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( )A ．2n －3B ．2n －1C ．2n ＋1D ．2n ＋3 答案 C解析 由⎩⎨⎧ a 4＝9S 3＝15⇒⎩⎨⎧ a 1＋3d ＝93a 1＋3d ＝15⇒⎩⎨⎧a 1＝3d ＝2，所以通项a n ＝2n ＋1.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－2a 2m ＝0，S 2m －1＝39，则m ＝( )A ．38B ．39C ．20D ．19 答案 C解析 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a 2m 又∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ∴a m ＝1或0(舍去)∵S 2m －1＝m －a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m∴(2m －1)a m ＝39，∴2m －1＝39 ∴m ＝20.5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75 答案 B解析 设公差为d 且d >0.由已知⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝15a 1a 2a 3＝80，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝5a 1a 1＋d a 1＋2d ＝80. 解得a 1＝2，d ＝3(∵d >0)．∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝1056．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b5等于( )A ．7 B.23 C.278 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92a 1＋a 992b1＋b 9＝S 9T 9＝214.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3 答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2＝6a 1＋2d ＝4，解得d ＝2. 二、填空题8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)、Q (4，a 4)的直线的斜率是________．解析 设数列{a n }的公差为d ，则依题意，得⎩⎨⎧ a 4＝a 1＋3d ＝15S 5＝5a 1＋10d ＝55⇒⎩⎨⎧a 1＝3d ＝4，故直线PQ 的斜率为a 4－a 34－3＝d1＝4.9．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11＝________.答案 0解析 记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0.10．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2010，S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010的值为________．答案 －2010解析 在等差数列{a n }中，设公差为d ，则S n n ＝na 1＋n2(n －1)dn ＝a 1＋d2(n －1)，∴S 20092009－S 20072007＝a 1＋d 2×2008－a 1－d2×2006＝d ＝2，∴S 2010＝－2010×2010＋2010×20092×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010. 11．方程(x 2－x ＋m )(x 2－x ＋n )＝0有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列，则mn 的值为________．答案 －15256解析 设四个根组成的等差数列为x 1，x 2，x 3，x 4，根据等差数列的性质，则有x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1∴2x 1＋3d ＝1，又d ＝12，∴x 1＝－14∴x 2＝14，x 3＝34，x 4＝54∴mn ＝(x 1x 4)(x 2x 3)＝－1525612．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，答案 n 2＋n解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .13．已知数列{a n }共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，若S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n <m 时，a n ＝________.答案 －2n －1解析 由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2，当n <m 时，S (n＋1)＝a n ＋1＋…＋a m ＝(n ＋1)2.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1.三、解答题14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？答案 (1)7 (2)8解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{a n } (1)a 1＝11，S 9＝351，求得：d ＝7 (2)a 3＝23，S 9＝351，求得：d ＝8 15．(2010·浙江卷，文)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解析 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0， 故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝22－2n(2)a n ＝12－n 和a n ＝13－n解 (1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14，又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20.因此{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ，n ＝1,2, 3，….(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 14≤77a 11>0a 1≥6，得⎩⎨⎧2a 1＋13d ≤11a 1＋10d >0a 1≥6，即⎩⎨⎧2a 1＋13d ≤11 ①－2a 1－20d <0， ②－2a 1≤－12 ③由①＋②得－7d <11，即d >－117.由①＋③得13d ≤－1，即d ≤－113.于是－117<d ≤－113. 又d ∈Z ，故d ＝－1.④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或a 1＝12.所以所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n ＝12－n 和a n ＝13－n ，n ＝1,2,3，….拓展练习·自助餐1．在数列{an }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A ．a 21·a 22B ．a 22·a 23C ．a 23·a 24D ．a 24·a 25 答案 C解析 由3an ＋1＝3an －2 ，得an ＋1＝an －23，即数列{an }是以a 1＝15为首项，－23为公差的等差数列，所以an ＝15－23(n －1)＝47－2n 3，可得a 23>0，a 24<0，即得a 23·a 24<0，故选C.2．(09·安徽)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 答案 B解析 两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋(－34)＝1.3．已知A n ＝{x |2n <x <2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为( ) A ．792 B ．890 C ．891 D ．990 答案 C解析 ∵A 6＝{x |26<x <27且x ＝7m ＋1，m ∈N }， ∴A 6的元素x ＝71,78,85,92,99,106， (127)m ＝9各数成一首项为71，公差为7的等差数列，∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝8914．已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值是________． 答案 25解析 方法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意：20a 1＋20×192×d ＝100，即a 1＝5－9.5d ， 又a 7·a 14＝(a 1＋6d )(a 1＋13d )＝ (6d ＋5－9.5d )(5－9.5d ＋13d )＝25－12.25d 2 所以a 7·a 14的最大值为25. 方法二 ∵a 7＋a 14＝10，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.5．在等差数列{an }中，Sn 是它的前n 项的和，且S 6<S 7，S 7>S 8.有下列四个命题：①此数列的公差d <0； ②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是Sn 中的最大值．其中正确命题的序号是________． 答案 ①②④解析 ∵S 6<S 7 ∴a 7>0 ∵S 7>S 8 ∴a 8<0∴d <0，∴S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0 n ＝7时，Sn 最大．6．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．解析 a 1＝3，d ＝5，a n ＝33333，∴33333＝3＋(n －1)×5，∴n ＝6667，可得a n 在第25页，第9行．教师备选题1．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003＋a 2004>0，a 2003·a 2004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4005B ．4006C ．4007D ．4008 答案 B解析 解法一：S 4006＝a 1＋a 40062＝2003(a 2003＋a 2004)>0. ∵a 2003>0，a 2004<0. ∴S 4007＝4007a 2004<0.∴4006是S n >0的最大自然数．解法二：a 1>0，a 2003＋a 2004>0且a 2003·a 2004<0 ∴a 2003>0且a 2004<0.∴S 2003为S n 中的最大值． ∵S n 是关于n 的二次函数．∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小． ∴40072在对称轴右侧．∴4006在抛物线与x 轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧． ∴S n >0中最大的自然数是4006.2．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和．若S n 取得最大值，则n ＝________.答案 9解析 设公差为d ，由题设，3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，解得d ＝－433a 1<0，解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0，得n <374，则n ≤9.当n ≤9时，a n >0. 同理，可得当n ≥10时，a n <0.故当n ＝9时，S n 取得最大值．3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)．解析 由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n .由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d . 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由；解 (1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1， 所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n }不可能为等差数列．证明如下： 由a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n 得a 2＝2－λ，a 3＝(6－λ)(2－λ)，a 4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{a n }为等差数列，则a 3－a 2＝a 2－a 1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a 2－a 1＝1－λ＝－2，a 4－a 3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n }为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n }都不可能为等差数列． 5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c ；(3)求f (n )＝b nn ＋b n ＋1(n ∈N *)的最大值．解析 (1){a n }为等差数列， ∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，又a 2·a 3＝45.∴a 2，a 3是方程x 2－14x ＋45＝0的两实根． 又公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9. ∴⎩⎨⎧ a 1＋d ＝5a 1＋2d ＝9⇒⎩⎨⎧a 1＝1d ＝4.∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n （n －）2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2.即2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n . 易知{b n }是等差数列，故c ＝－12.(3)f (n )＝2n （n ＋）（n ＋1）＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n ＋26≤1225＋26＝136.当且仅当n ＝25n ，即n ＝5时取等号，∴f (n )max ＝136.。

高考数学 黄金配套练习4-7 理一、选择题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 答案 C解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°.故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部C ．一边上D ．以上都有可能 答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0 ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5 答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或32 答案 D解析 如图，由正弦定理得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，因此选A. 8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．二、填空题9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案 3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.10．已知a ，b ，c 分别是ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理得3sin 60°＝1sin A，∴sin A ＝12.11．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2·sinπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)．12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B等于________． 答案 54解析 A 、C 恰好为椭圆的两焦点，∠A 、∠C 所对的边之和BC ＋AB ＝2a ＝10，∠B 所对边AC ＝2c ＝8，由sin A BC ＝sin B AC ＝sin C AB 得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝54.三、解答题14．ΔABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .解析 由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2.由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45.从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD.所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD ＝33×5133365＝25.15．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13. 讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理asin A ＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．16．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(Ⅰ)求锐角B 的大小；(Ⅱ)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析 (Ⅰ)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(Ⅱ)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.拓展练习·自助餐1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析c 2＝a 2＋b 2－2ab co s 120°⇒a 2－b 2－ab ＝0⇒b ＝－a ＋5a 5<a ，故选A.2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26， 所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.3．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B .思路点拨 本题已知b 2＋c 2－bc ＝a 2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A .再由正弦定理，实现边角转化，即将c b 化为sin Csin B，再用A ＋B ＋C ＝π，得出C＝π－A －B ，从而求出tan B 的值．解析 方法一 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝π－π3－B ＝2π3－B .由已知条件及正弦定理得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin 2π3－Bsin B＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin Bsin B ＝32cot B ＋12.解得cot B ＝2，∴tan B ＝12.方法二 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.又∵b 2＋c 2－bc ＝a 2， ∴1＋(c b)2－c b ＝(a b)2，即1＋(12＋3)2－(12＋3)＝(a b)2.∴(a b )2＝154.∴a b ＝152. 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15.又∵a >b ，∴A >B .∴B 为锐角．∴cos B ＝25.∴tan B ＝sin B cos B ＝12.4．设函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x 2，x ∈R . (1)求f (x )的值域；(2)记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值．解析 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1 ＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)由f (B )＝1得sin(B ＋5π6)＋1＝1，即sin(B ＋5π6)＝0，又因0<B <π，故B ＝π6.解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或2.解法二：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝32，C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2；当C ＝23π时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1.故a 的值为1或2.教师备选题1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形 答案 D解析 设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知 113a ＝111b ＝15c ，∴a ∶b ∶c ＝13∶11∶5 由余弦定理得cos A ＝52＋112－1322×5×11<0，所以角A 为钝角．2． E ，F 是等腰直角ΔABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627B.23C.33D.34 答案 D 解析 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECFcos ∠ECF＝1－45245＝34. 3．某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1 答案 A解析 四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ，________，求角A . 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．分析 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析 将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ， 得cos B ＝22，∴B ＝45°. 由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2， 且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或120°不合题意．若已知条件为c ＝2＋62， 则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62. 5．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin Asin B，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.。

第三章 3.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．若f′(x0)＝a≠0，则li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝()A．a B．－aC.1a D．－1a答案 A2．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为() A．sin1－1 B．1－sin1C．1＋sin1 D．－1－sin1答案 C解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1x＋sin x，∴f′(1)＝1＋sin1.3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在答案 B解析切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<04．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2答案 A解析由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得在点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C6．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64 B．32C．16 D．8答案 A解析求导得y′＝－12x－32(x>0)，所以曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线l的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝－12a －32，由点斜式得切线l 的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.7已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 答案 D解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4e x ＋1e x ＋2，因为e x ＞0，所以由均值不等式得k ≥－42e x ×1e x ＋2，又k ＜0，∴－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π.8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53答案 B解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1∴y ＝f ′(x )是开口向上，以x ＝－a 为对称轴(－a ，－1)为顶点的抛物线． ∴(3)是对应y ＝f ′(x )的图象∵由图象知f ′(0)＝0，对称轴x ＝－a >0. ∴a 2－1＝0，a <0 ∴a ＝－1∴y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋1∴f (－1)＝－13选B. 二、填空题9．曲线y ＝tan x 在x ＝－π4处的切线方程为______答案 y ＝2x ＋π2－1解析 y ′＝(sin x cos x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，所以在x ＝－π4处的斜率为2，曲线y ＝tan x 在x ＝－π4处的切线方程为y ＝2x ＋π2－1.10．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2解析 由题意，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2) ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.11．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1时y ＝－14 ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1) 即3x －y －11＝012．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝______答案 3解析 在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，∴点M 在y ＝12x ＋2上．∴f (1)＝12·1＋2＝52.f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝3.13．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4. 三、解答题14．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，求点P 到直线y ＝x －2的最短距离．答案 2解析 y ＝x 2－2ln x ＝x 2－ln x (x >0)，y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，即2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y ＝x ，其到直线y ＝x －2的距离2即为所求．15．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．答案 y ＝－14x ，(32，－38)解析 ∵直线过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴在(x 0，y 0)处曲线C 的切线斜率应为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.∴x 20－3x 0＋2＝3x 20－6x 0＋2.整理得2x 20－3x 0＝0.解得x 0＝32(x 0≠0)．这时，y 0＝－38，k ＝－14.因此，直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标是(32，－38)．16．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，求二切线之间距离．答案 1627 2解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2xy ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1得x 1＝1或x 2＝－13∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0d ＝|1＋527|2＝16227拓展练习·自助餐1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2011(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 答案 D解析 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4. ∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 显然P 不在S 上，设切点为(x 0，y 0)，由y ′＝3－3x 2，得y ′|x ＝x 0＝3－3x 20切线方程为：y －(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(x －x 0) ∵P (2,2)在切线上∴2－(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(2－x 0) 即x 30－3x 20＋2＝0(x 0－1)(x 20－2x 0－2)＝0 由x 0－1＝0得x 0＝1由x 20－2x 0－2＝0得x 0＝1±3.∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条．3．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围为________．答案 [2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)．∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．4．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．解析 当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln 2＝0.教师备选题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．答案 0解析 由题意得f ′(5)＝lim Δx →0 f (5＋Δx )－f (5)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝f ′(0)，且f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝－lim －Δx →0f (0－Δx )－f (0)－Δx＝－f ′(0)，f ′(0)＝0， 因此f ′(5)＝0.2．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．答案 y ＝0或y ＝4x －4解析 设直线l 与C 1切于(x 1，x 21)与C 2切于点(x 2，－(x 2－2)2)∴分别对应的切线方程为：y－x21＝2x1(x－x1)即：y＝2x1x－x21和y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)即y＝－2(x2－2)x＋(x2－2)(x2＋2)．∴∴x1＝0或x1＝2.∴l为：y＝0或y＝4x－4.。

第四章 4.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．集合M ＝{x |x ＝kπ2＋π4，k ∈Z }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝kπ4＋π2，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MN D ．M ∩N ＝∅答案 C解析 x ＝kπ2＋π4＝2k ＋14·π， x ＝kπ4＋π2＝(k ＋2)π4，由于2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴MN .2．sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2 ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0 ∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( )A.55B.255C ．－55 D.255 答案 B解析 sin α＝y r ＝25＝255.4．已知点P (3，y )在角α的终边上，且满足y <0，cos α＝35，则tan α的值为( ) A ．－34 B.43 C.34 D ．－43 答案 D解析 ∵cos α＝39＋y2＝35，且y <0 ∴y ＝－4，∴tan α＝－43，选D.5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2 D ．cos2θ 答案 C解析 ∵θ为第一象限角 ∴θ2为第一象限或第三象限角 ∴tan θ2>0，选C.6．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 答案 D解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.7．若点(sin α，sin2α)位于第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 因为sin α>0，sin2α＝2sin αcos α<0，所以cos α<0，所以角α在第二象限． 8．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝12rl ＝2，解得⎩⎨⎧ r ＝1l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1 二、填空题9．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在 [0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π解析 由已知θ＝2kπ＋8π5(k ∈Z )， ∴θ4＝kπ2＋2π5(k ∈Z )，由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165， ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2，，3， ∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.10．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4； ④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．11．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．答案 －43或－433解析 解法一 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4， a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433.解法二 ∵sin α·cos α＝34>0，∴sin α·cos α同号 ∴角α在第三象限，即P (－4，a )在第三象限 ∴a <0.根据三角函数的定义a 16＋a 2·－416＋a 2＝34，解得a ＝－43或a ＝－433.12．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sinθ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sinθ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|∴cos θ2≥sinθ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z，又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2故θ2为第三象限角．三、解答题13．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.解析若角α终边落在Ⅱ象限∴{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}若角α的终边落在Ⅳ象限内∴{α|α＝7π4＋2kπ，k∈Z}∴α终边落在x＋y＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}∪{α|α＝7π4＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝3π4＋kπ，k∈Z}令－360°≤135°＋k·180°≤360°∴k＝{－2，－1,0,1}∴相应的角{－225°，－45°，135°，315°}14．在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝22x(x≥0)．求sin(α＋π6)的值；解由射线l的方程为y＝22x，可得sinα＝223，cosα＝13，故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.拓展练习·自助餐1．已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．答案10解析由题意知tanα＝－6x＝－35，∴x＝10.2．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．3．(08·全国Ⅱ，文)若sinα<0且tanα>0，则α是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析当sinα<0且tanα>0得α是第三象限角，选C. 4．求函数f(x)＝sin x－cos x的定义域．答案{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}解析f(x)有意义，则sin x≥cos x∴sin(x－π4)≥0∴2kπ≤x－π4≤2kπ＋π∴2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4k∈Z5．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ答案 D解析∵π4<θ<π2，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)，∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ.。

高考数学 黄金配套练习7-3 理一、选择题1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧．∴(9－2＋a )·(－12－12＋a )<0 即(a ＋7)(a －24)<0 ∴－7<a <24.选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 B解析 令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，于是集合B 转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0的平面区域，如图，平面区域的面积为12×2×1＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z ＝3x －4y 的最值一定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A (0,2)，B (3,5)，C (5,3)，代入目标函数可得z ＝3x －4y 的最大值为3，在C 点处取得；最小值为－11，在B 点处取得，故选A.4．已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a＝( )A ．0 B.13C.23D ．1 答案 B解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝x得A (a ，a )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2y ＝x得B (1,1)．∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋1≤0x ＋y ≤m，如果目标函数z ＝y x的最大值为2，则实数m＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 可作可行域如图所示，目标函数z ＝yx可以看作是可行域中一点与原点连线的斜率，显然目标函数的图象过点A 和点O 时，目标函数z ＝y x取得最大值2.此时x ＝1，y ＝2，∴m ＝1＋2＝3，故选B.6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋2y ≤4y ≥12x ＋m ，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．(－∞，43]D ．(0，43]答案 B解析 画出可行域如图所示，由题知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1,1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1,1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说明点O 一定在可行域内，则直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0，故选B.7．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53答案 B解析 －a ＝k AC ＝－35⇒a ＝35.8．已知方程ax 2＋bx －1＝0(a ，b ∈R 且a >0)有两个实数根，其中一个根在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案 A解析 令f (x )＝ax 2＋bx －1，由方程f (x )＝0有一根在(1,2)并结合二次函数图象可知满足：f (1)f (2)＝(a ＋b －1)(4a ＋2b －1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，4a ＋2b －1<0，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0，a >0.作出满足不等式的(a ，b )所对应的可行域，据线性规划知识可知对目标函数z ＝a －b ，当a ＝0，b ＝1时取得最小值－1.9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 答案 B解析 设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥100≤x ≤40≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0至经过点(4,2)时，z 取得最小值2200元，故选B.二、填空题10．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0<x <20<y <4内随机撒一粒黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y <4y >x x >0}内的概率是________．答案 12解析 作出可行域，可知区域M 的面积为8，区域N 的面积为4.故黄豆落在区域N 的概率为48＝12.11．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0表示的平面区域的外接圆的方程为________ .答案 (x －32)2＋(y －32)2＝12解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC 为等腰直角三角形．从而可得A (2,2)，B (1,1)，因此△ABC 的外接圆的圆心为(32，32)，半径为(2－1)2＋(2－1)22＝22.所以所求外接圆的方程为(x －32)2＋(y －32)2＝12.三、解答题12．家具公司做书桌和椅子，需木工和漆工两道程序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工时，漆工平均每两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，安排生产多少把椅子，多少张书桌，能获得最多利润？答案 200 900解析 设生产x 把椅子，y 张书桌，获得利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝15x ＋20y .由线性规划知识，作可行域易知x ＝200，y ＝900时，z 取得最大值．13．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)．答案 15解析 可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥00.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.14．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300500x ＋200y ≤90000x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3000x ＋2000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3005x ＋2y ≤900x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图． 作直线l ：3000x ＋2000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3005x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)，∴z ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)， 即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为700000元．教师备选题1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125D ．2 答案 B。

高考数学 黄金配套练习7-7 理一、选择题1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 答案 D2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c答案 A解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立， ∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.3．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1（2n －1）（2n ＋1）D.1（2n ＋1）（2n ＋2）答案 C解析 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a n ，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3. ∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C.二、填空题4．n 为正奇数时，求证：x n ＋y n被x ＋y 整除，当第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝________，命题为真．答案 2k ＋1 三、解答题5．用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有2n >n 2成立．解析 ①当n ＝5时，25>52，结论成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥5)时，结论成立，即2k >k 2.那么当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝(k ＋1)2＋(k 2－2k －1)＝(k ＋1)2＋(k －1－2)(k －1＋2)>(k ＋1)2＝右边．也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴由①②可知，不等式2n >n 2对满足n ∈N *，n ≥5时的n 恒成立．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n . (1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明．解析 (1)由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.(2)猜想：S n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，S k ＝kk ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1得：S k ＋1＝12－S k＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2， 从而n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综合①②得结论成立．7．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.解析 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)1a 1＋b 1＝16<512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)·n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）)＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512. 8．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n ·(4－a n )，(n ∈N )．证明：a n <a n ＋1<2，(n ∈N )．证明 解法一 用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以a 0<a 1<2，命题正确．(2)假设n ＝k 时命题成立，即a k －1<a k <2. 则当n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1 ＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k ) ＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0.又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.所以n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n <a n ＋1<2. 解法二 用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以0<a 0<a 1<2；(2)假设n ＝k 时有a k －1<a k <2成立，令f (x )＝12x (4－x )，f (x )在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f (a k －1)<f (a k )<f (2)， 即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12×2×(4－2)， 也即当n ＝k ＋1时，a k <a k ＋1<2成立． 所以对一切n ∈N ，有a k <a k ＋1<2.9．首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *.(Ⅰ)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数；(Ⅱ)若对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解析 (Ⅰ)已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法可知，对任何n ∈N *，a n 是奇数．(Ⅱ)解法一 由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，当且仅当a n <1或a n >3时，a n ＋1>a n .另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法可知∀n ∈N *,0<a 1<1⇔0<a n <1；∀n ∈N *，a 1>3⇔a n >3.综上所述，对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.解法二 由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0，于是0<a 1<1或a 1>3. a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝（a n ＋a n －1）（a n －a n －1）4，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法可知，∀n ∈N *，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号．因此，对于一切n ∈N *都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.10．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0，的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．思路分析 (1)求得a 2、a 5的值即可得a n 的表达式，再利用T n －T n －1＝b n 求出{b n }的通项公式；(2)首先求出S n ＋1与1b n 的表达式，先进行猜想，再进行证明．解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2.∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1.∵T n ＝1－12b n ，b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)，化简，得b n ＝13b n －1，∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n .∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)∵S n ＝1＋（2n －1）2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2.当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3.当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，则1b 3<S 4.b 42b 4猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2， 那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.拓展练习·自助餐1．观察数列： ①1，－1,1，－1，…；②正整数依次被4除所得余数构成的数列1,2,3,0,1,2,3,0，…；③a n ＝tannπ3，n ＝1,2,3，….(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a n }，如果________，对于一切正整数n 都满足________成立，则称数列{a n }是以T 为周期的周期数列；(2)若数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2008，S 3＝2010，证明{a n }为周期数列，并求S 2008；(3)若数列{a n }的首项a 1＝p ，p ∈[0，12)，且a n ＋1＝2a n (1－a n )，n ∈N *，判断数列{a n }是否为周期数列，并证明你的结论．解析 (1)存在正整数Ta n ＋T ＝a n(2)证明：由a n ＋2＝a n ＋1－a n ⇒a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n －a n ＋1＝－a n ⇒a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，所以数列{a n }是以T ＝6为周期的周期数列由S 2＝2008，S 3＝2010，知a 1＋a 2＝2008，a 1＋a 2＋a 3＝2010⇒a 3＝2于是⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝2008a 2－a 1＝2 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1003，a 2＝1005.又a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋5＝0，k ∈N *，所以S 2008＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2＋a 3＝1007.(3)当p ＝0时，{a n }是周期数列，因为此时a n ＝0(n ∈N *)为常数列，所以对任意给定的正整数T 及任意正整数n ，都有a n ＋T ＝a n ，符合周期数列的定义．当p ∈(0，12)时，{a n }是递增数列，不是周期数列．下面用数学归纳法进行证明：2所以a 2＝2a 1(1－a 1)＝2p (1－p )<2·(p ＋1－p 2)2＝12，且a 2－a 1＝2a 1(1－a 1)－a 1＝a 1(1－2a 1)＝p (1－2p )>0，所以a 1<a 2，且a 2∈(0，12)．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a 1<a 2<…<a k ，且a k ∈(0，12)，则a k ＋1－a k ＝2a k (1－a k )－a k ＝a k (1－2a k )>0，即a k <a k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，{a n }是递增数列，不是周期数列．2．已知函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2,3，….证明：(1)0<a n ＋1<a n <1，(2)a n ＋1<16a 3n .解析 (1)先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1,2,3，…. (ⅰ)当n ＝1时，由已知结论成立．(ⅱ)假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1. 因为0<x <1时，f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )在(0,1)上是增函数． 又f (x )在[0,1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin 1<1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，0<a n <1对一切正整数都成立．又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sin a n －a n ＝－sin a n <0， 所以a n ＋1<a n .综上所述0<a n ＋1<a n <1.(2)设函数g (x )＝sin x －x ＋16x 3,0<x <1.由(1)知，当0<x <1时，sin x <x .从而g ′(x )＝cos x －1＋x 22＝－2sin 2x 2＋x 22>－2(x2)2＋x 22＝0.所以g (x )在(0,1)上是增函数．又g (x )在[0,1]上连续，且g (0)＝0， 所以当0<x <1时，g (x )>0成立．于是g (a n )>0，即sin a n －a n ＋16a 3n >0.故a n ＋1<16a 3n .教师备选题 1．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝ca 3n ＋1－c ，n ∈N *，其中c 为实数．(1)证明：a n ∈[0,1]对任意n ∈N *成立的充分必要条件是c ∈[0,1]；(2)设0<c <13，证明：a n ≥1－(3c )n －1，n ∈N *；(3)设0<c <13，证明：a 21＋a 22＋…＋a 2n >n ＋1－21－3c，n ∈N *.解析 (1)必要性：∵a 1＝0，∴a 2＝1－c . 又∵a 2∈[0,1]，∴0≤1－c ≤1， 即c ∈[0,1]．充分性：设c ∈[0,1]，对n ∈N *用数学归纳法证明a n ∈[0,1]． 当n ＝1时，a 1＝0∈[0,1]，假设a k ∈[0,1](k ≥1)，则a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≤c ＋1－c ＝1且a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≥1－c ≥0，∴a k ＋1∈[0,1]．用数学归纳法知，a n ∈[0,1]对所有n ∈N *成立．(2)∵0<c <13，当n ＝1时，a 1＝0.结论成立．当n ≥2时，∵a n ＝ca 3n －1＋1－c ，∴1－a n ＝c (1－a 3n －1)＝c (1－a n －1)(1＋a n －1＋a 2n －1)．∵0<c <13，由(1)知a n －1∈[0,1]，∴1＋a n －1＋a 2n －1≤3且1－a n －1≥0.∴1－a n ≤3c (1－a n －1)．∴1－a n ≤3c (1－a n －1)≤(3c )2(1－a n －2)≤…≤(3c )n －1(1－a 1)＝(3c )n －1.∴a n ≥1－(3c )n －1(n ∈N *)．(3)∵0<c <13，当n ＝1时，a 21＝0>2－21－3c，结论成立．当n ≥2时，由(2)知a n ≥1－(3c )n －1>0， ∴a 2n ≥[1－(3c )n －1]2＝1－2(3c )n －1＋(3c )2(n －1)>1－2(3c )n －1. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 22＋a 23＋…＋a 2n>n －1－2[3c ＋(3c )2＋…＋(3c )n －1]＝n ＋1－2[1－（3c ）n]1－3c >n ＋1－21－3c.2．数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝a ，a n ＋1是函数f n (x )＝13x 3－12(3a n ＋n 2)x 2＋3n 2a n x 的极小值点．当a ＝0时，求通项a n .解析 易知f ′n (x )＝x 2－(3a n ＋n 2)x ＋3n 2a n ＝(x －3a n )(x －n 2)．令f ′n (x )＝0，得x 1＝3a n ，x 2＝n 2.①若3a n ＜n 2，则当x ＜3a n 时，f ′n (x )＞0，f n (x )单调递增；当3a n ＜x ＜n 2时，f ′n (x )＜0，f n (x )单调递减．当x ＞n 2时，f ′n (x )＞0，f n (x )单调递增．故f n (x )在x ＝n 2取得极小值．②若3a n ＞n 2，仿①可得，f n (x )在x ＝3a n 取得极小值．③若3a n ＝n 2，则f ′n (x )≥0，f n (x )无极值．当a ＝0时，a 1＝0，则3a 1＜12.由①知，a 2＝12＝1.因3a 2＝3＜22，则由①知，a 3＝22＝4.因为3a 3＝12＞32，则由②知，a 4＝3a 3＝3×4.又因为3a 4＝36＞42，则由②知，a 5＝3a 4＝32×4.由此猜测：当n ≥3时，a n ＝4×3n －3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，3a n ＞n 2. 事实上，当n ＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，3a k ＞k 2成立，则由②知，a k ＋1＝3a k ＞k 2，从而3a k ＋1－(k ＋1)2＞3k 2－(k ＋1)2＝2k (k －2)＋2k －1＞0，所以3a k ＋1＞(k ＋1)2.故当n ≥3时，当3a n ＞n 2成立．于是由②知，当n ≥3时，a n ＋1＝3a n ，而a 3＝4，因此a n ＝4×3n －3.综上所述，当a ＝0时，a 1＝0，a 2＝1，a n ＝4×3n －3(n ≥3)．自助餐·方法技巧1.数学归纳法证明整除问题例1 利用数学归纳法证明(n∈N*)：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．【解析】当n＝1时，a n＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，命题成立．假设当n＝k时也成立，则n＝k＋1时，a(k＋1)＋1＋(a＋1)2(k＋1)－1＝a·a k＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.上式能被a2＋a＋1整除，原题得证．探究证明整除性问题，是数学归纳法应用的一个重要方面，在第二步的证明中往往要通过适当变形，使之能用到假设的条件，同时将另一部分变成明显可被某数或某式整除的形式，则它们的和式也可被某数或某整式整除．2．用数学归纳法证明几何问题例2 有n个圆，其中每两个圆都交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．【解析】①n＝1时，1个圆将平面分成2个部分，显然命题成立．②假设n＝k时，k个圆将平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，第k＋1个圆C k＋1交前面k个圆于2k个点，这2k个点将C k＋1分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋1个圆将平面分成k2－k＋2＋2k个部分，即(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分．故n＝k＋1时，命题成立．由①，②可知，对n＝N＋命题成立．探究用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，也可将n＝k＋1和n ＝k分别代入，所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是数学归纳法证明几何问题的一大技巧．。

第六章 6.3第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( ) A.21 B ．42 C ．135 D ．170 答案 D解析 q 2＝a 3＋a 4a 1＋a 2＝4，又q >0，∴q ＝2，a 1(1＋q )＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝23，S 8＝238－2－1＝170.2．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1 答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略；思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .3．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)∴Sn ＝a 1－a n q 1－q ，∴778＝14－78q1－q解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1， ∴n ＝3，故该数列共5项．4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1－q 51－q＝31.5．数列{an }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，如果这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4 答案 A解析 等比数列{a n }中，q ≠1时，S n ＝a 1q n －q －1＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝A ·q n －A ，∴b ＝－16．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是( )A ．第6项B ．第7项C ．第9项D ．第11项 答案 A解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255，当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25， 又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26，所以a 1·a 2·…·a 11＝a 116，故有a 116＝255，即a 6＝25， ∴抽出的应是第6项7．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5 答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n＝5·2n －2－12， a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.58． 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1（1－q 3 ）1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝(1－125)1－12＝314.二、填空题 9．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，a 2＝2，则a 1＝________. 解 ∵a 2·a 2n ＋2＝a 2n ＋2＝2a 2n ＋1 ∴a n ＋2a n ＋1＝2，∴q ＝ 2 ∵a 2＝2，∴a 1＝a 2q ＝ 2.10．已知数列{a n }，如果a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝________.答案 32(1－13n )解析 a 1＝1，a 2－a 1＝13，a 3－a 2＝(13)2，…，a n －a n －1＝(13)n －1，累加得a n ＝1＋13＋132＋…＋(13)n －1＝32(1－13n )11．数列{an }为等比数列，已知a n ＞0，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，则该数列的公比q 是__________答案5－12解析 由已知可得an ＝an ·q ＋an ·q 2∵an >0 ∴q 2＋q －1＝0 q ＝－1±52∵q >0 ∴q ＝5－1212．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解 设公比为q ，S 6＝S 3＋q 3S 3＝4S 3，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝3.13．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q ＝________. 答案 2解析 S 6－S 3S 3＝q 3即q 3＝8 ∴q ＝2三、解答题14．在等比数列{a n }中，S 3＝139，S 6＝3649，求a n . 解析 由已知，S 6≠2S 3，则q ≠1.又S 3＝139，S 6＝3649，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝139 ①a 1(1－q 6)1－q＝3649 ②②÷①，得1＋q 3＝28，∴q ＝3.可求得a 1＝19.因此a n ＝a 1q n －1＝3n －3.15．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求{a n }前8项的和S 8. 解析 解法一 设数列{a n }的公比为q ，依题意⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24 ①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64 ∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入到①式，得q 2－1＝－3.∴q 2＝－2，舍去． 将a 1q 3＝8代入到①式得q 2－1＝3.∴q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝1，S 8＝a 1(q 8－1)q －1＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，S 8＝a 1(q 8－1)q －1＝85.解法二 ∵{a n }是等比数列，∴依题设得a 24＝a 3·a 5＝64.∴a 4＝±8.∴a 6＝24＋a 4＝24±8.∵{a n }是实数列，∴a 6a 4>0.故舍去a 4＝－8，得a 4＝8，a 6＝32.从而a 5＝±a 4·a 6＝±16，∴q ＝a 5a 4＝±2.当q ＝2时，a 1＝a 4·q －3＝1，a 9＝a 6·q 3＝256，∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝a 4·q －3＝－1，a 9＝a 6·q 3＝－256，∴S 8＝a 1－a 91－q＝85.16．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1，当b ＝2时，a n ＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.拓展练习·自助餐1．等比数列{an }中，公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 答案 B2．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 答案 D解析 根据等比数列的性质：若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列，故(Y －X )2＝X (Z －Y )，整理得Y (Y －X )＝X (Z －X )，故选D.3．设项数为8的等比数列的中间两项与2x 2＋7x ＋4＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．答案 16解析 设此数列为{a n }，由题设a 4a 5＝2， 从而a 1a 2…a 8＝(a 4a 5)4＝164．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 由a n ＝b n －1，且数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．经分析判断，比较知{a n }的四项应为－24,36，－54,81.又|q |>1，所以数列{a n }的公比为q ＝－32，则6q ＝－9.5．设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n （n 为偶数），a n ＋14 （n 为奇数），记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解析 (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，∴a 5＝12a 4＝14a ＋316，∴b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)，猜想：{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14 ＝12(a 2n －1＋14)－14 ＝12(a 2n －1－14)＝12b n ，(n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列。

2014高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是( )A ．f (2.5)<f (1)<f (3.5)B ．f (2.5)>f (1)>f (3.5)C ．f (3.5)>f (2.5)>f (1)D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5) 答案 B解析 函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称，又∵函数y ＝f (x )在(0,2)上单增，∴在(2,4)上单减，∴f (1)＝f (3)，∴f (2.5)>f (3)>f (3.5)， ∴选B.2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 答案 B3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤18答案 D解析 取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D.4．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2中，正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 C解析 取a ＝－1，b ＝－2，验证即可．5．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2()＋f ()f ()＋f 2()＋f ()f ()＋f 2（3）＋f （）f （）＋f 2()＋f ()f ()＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16 答案 D解析 根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )得f (2n )＝f 2(n )，又f (1)＝2，则f (n ＋1)f (n)＝2.由f 2()＋f ()f ()＋f 2()＋f ()f ()＋f 2（3）＋f （）f （）＋f 2()＋f ()f ()＝＝2f(2)f (1)＋(2)f ()f ()＋(2)f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝16.二、填空题6．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确．．命题的序号为________(把所有正确．．命题的序号都．填上) 答案 ①②④解析 ∵x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，∴f (x )在[0,3]上递增．∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得f (3)＝f (－3)＋f (3)， ∴f (－3)＝f (3)＝0.①对．∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )周期为6，画出示意图如下：由图象知，②④正确，③不正确，故填①②④. 7．给出下列四个命题中：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ”；②若不等式(－1)na <2＋(－)n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为[－2，32] ③设圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)与坐标轴有4个交点，分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，C (0，y 1)，D (0，y 2)，则x 1x 2－y 1y 2＝0；④将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin(2x －π6)．其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 ①中命题的否定应为∀x ∈R ，x 2＋1≤3x .②当n 为偶数时，a <2＋(－)n ＋1n ＝2－1n，∵2－1n ≥32，∴a <32，当n 为奇数时，a >－2－1n，∵－2－1n<－2，∴a ≥－2，综上，－2≤a <32，故②正确．③令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴y 1y 2＝F ，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴x 1x 2＝F ， ∴x 1x 2－y 1y 2＝0，故③正确．④y ＝cos2x 平移后：y ＝cos2(x －π3)＝cos(2x －2π3)＝cos(2x －π6－π2)＝sin(2x －π6)．综上，故填②③④. 8．给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；③若正整数m 和n 满足；m <n ，则m (n －m )≤n 2；④若x >0，且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2.其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上) 答案 ②③解析 对于①，a ＝－2<b ＝－1，a 2>b 2，故①错． 对于④，ln x 不一定为正数，故0<x <1时，ln x ＋1ln x ≤－2.x >1时，ln x ＋1ln x≥2，故④错．三、解答题9．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .解析 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a 2≥ca ，∴lg a ＋b 2≥12(lg a ＋lg b )，lg b ＋c 2≥12(lg b ＋lg c )，lg c ＋a 2≥12(lg c ＋lg a )．以上三式相加，且注意到a 、b 、c 不全相等，故得lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b＋lg c .10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )<0. (1)求证：f (x )为奇函数；(2)求证：f (x )为R 上的增函数． 解析 (1)f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0) 即f (0)＝0.再令y ＝－x ，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 由已知得f (x 1－x 2)<0，∴f (x 1－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在R 上是增函数．11．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)f (3)>0， (1)若a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，且3<x 1＋x 2<5.分析 本小题主要考查二次函数图象及性质，二次函数、二次方程、二次不等式的关系． 解析 (1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：首先说明a ≠0，∵f (1)f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )>0，若a ＝0，则f (1)f (3)＝－b 2≤0与已知矛盾， ∴a ≠0，其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，∴若a >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)<0，∴若a <0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)>0. 故二次函数图象必与x 轴有两个不同的交点． ∴二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2>0来说明) ∵a ≠0，∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )两边同除以－a 2得 (b a ＋3)(b a＋5)<0，∴－5<b a<－3，∴3<x 1＋x 2＝－b a<5. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．分析 本题主要考查使用定义证明等差数列、等比数列，证明方法属于综合法，解题的关键是恰当地处理递推关系．证明 (1)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3. ∴(3＋m )a 1＝m ＋3. ∵m ≠3，∴a 1＝1.由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ， ∵m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3.∵m 为常数，且m ≠－3， ∴{a n }是等比数列．(2)由(1)知，b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3，∴n ∈N *，且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1 ⇒1b n －1b n －1＝13. ∴{1b n }是首项为1，公差为13的等差数列． 13．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋3}为等比数列，并求{a n }的通项公式．(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 ∵S n ＝2a n －3n (n ∈N *)， ∴a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.又由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －3n ，S n ＋1＝2a n ＋1－n ＋得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3， ∴a a ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列，∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n－1)．(2)解 假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r <s <t )，它们可以构成等差数列． 由(1)知a r <a s <a t ，则2a s ＝a r ＋a t ，∴6(2s －1)＝3(2r －1)＋3(2t －1)，即2s ＋1＝2r ＋2t，∴2s ＋1－r ＝1＋2t －r (*)∵r 、s 、t 均为正整数且r <s <t ， ∴(*)左边为偶数而右边为奇数，∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．教师备选题1．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②a n ≤M .其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数．(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且{b n }∈W ，求M 的取值范围； (2)设数列{c n }的各项均为正整数，且{c n }∈W ，证明：c n ≤c n ＋1.解析 (1)∵b n ＋1－b n ＝5(n ＋1)－2n ＋1－5n ＋2n ＝5－2n， ∴当n ≥3时，b n ＋1－b n <0，此时数列{b n }单调递减； 当n ＝1,2时，b n ＋1－b n >0，即b 1<b 2<b 3.因此，数列{b n }中的最大项是b 3，且b 3＝7.于是，M ≥7，即M 的取值范围是[7，＋∞)． (2)假设存在正整数k ，使得c k >c k ＋1.由数列{c n }的各项均为正整数可得c k ≥c k ＋1＋1，即c k ＋1≤c k －1.∵{c n }∈W ，∴c k ＋c k ＋22≤c k ＋1，∴c k ＋2≤2c k ＋1－c k ≤2(c k －1)－c k ＝c k －2.由c k ＋2≤2c k ＋1－c k 及c k ＋1－c k ≤－1，得c k ＋2≤c k ＋1－1. ∵c k ＋1＋c k ＋32≤c k ＋2，∴c k ＋3≤2c k ＋2－c k ＋1≤2(c k ＋1－1)－c k ＋1＝c k ＋1－2≤c k －3.依次类推，可得c k ＋m ≤c k －m (m ∈N *)．设c k ＝p (p ∈N *)，则当m ＝p 时，有c k ＋p ≤c k －p ＝0， 这显然与数列{c n }的各项均为正整数矛盾．所以假设不成立，即对于任意n ∈N *，都有c n ≤c n ＋1成立．。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷07数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合{}(){}22,ln 3M x x N x y x x =>==-，则M N ⋂=（）A ．{}23x x <≤B ．{}32x x x ><-或C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤2．（2023·浙江温州·模拟预测）若复数z 满足|34i |12i z+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虛部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．23．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，()0f =，则()f x =（）A24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））下列各式大小比较中，其中正确的是（）A>B ．4πtan sin 55π⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．2ln 33ln 2<D ．151511log 22⎛⎫< ⎪⎝⎭5．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心F ，直线12,l l 均过点F 且互相垂直，1l 与双曲线的右支交于,A C 两点，2l 与双曲线的左支交于B 点，O 为坐标原点，当,,A O B 三点共线时，FC AF=（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2022·湖南·高二期末）第19届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（）A ．112B ．16C ．14D ．297．（2022·广东广东·高一期中）已知函数()212,1,1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,2)B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(],0,)2(-∞⋃+∞8．（2021·全国·高二专题练习）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·江苏·南京师大附中高二期中）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)50,6060,7070,80､､､[)[]80,9090,100､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．0.01a =B ．得分在区间[)60,70内的学生人数为200C ．该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80D ．估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间70,80内10．（2022·福建·厦门市湖滨中学高二期中）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，3AB BG ==，4FC =，=1BC ，下列说法不正确的是（）A ．该几何体是四棱台B ．该几何体是棱柱，平面ABCD 是底面C ．EG HC⊥D ．平面EFGH 与平面ABCD 的夹角为45︒11．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）已知O 为坐标原点，圆()()22Ω:cos sin 1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（）A ．圆Ω恒过原点OB ．圆Ω与圆224x y +=外切C．直线2x y +=被圆ΩD ．直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相切或相交12．（2022·福建·莆田华侨中学高二期中）已知数列{}n a 满足328a =，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（）A ．4221a a =B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AC xAB y AH x y =+∈，则x y +=______．14．（2022·天津市汇文中学高三期中）82x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是_____________．（用数字填写答案）15．（2022·上海市金山中学高二期末）已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，若直线PQ 的倾斜角为3π，则C 的离心率为____．16．（2020·黑龙江·哈九中高三期末（文））若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-；④()f x和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-．其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题）已知正项数列{}n a 的前n项和为n S ，其中()()212,4142,N n n a S a n n *==++≥∈．(1)求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当2n ≥时，1223341111113n n a a a a a a a a +++++< ．18．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)2222sin a b c bc A +-=．(1)求22sin cos A B +的取值范围；(2)若D 是AB 边上的一点，且:1:2AD DB =，2CD =，求ABC 面积的最大值．19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△B 1为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.20．（2022·上海市金山中学高二期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率），求：①1{}n n P P +-的通项公式；②{}n P 的通项公式．21．（2022·重庆·高二阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点M ⎝⎭，且离心率为2e =.(1)求椭圆的标准方程；(2)当椭圆C 和圆O ：221x y +=.过点()(),01A m m >作直线1l 和2l ，且两直线的斜率之积等于1，1l 与圆O 相切于点P ，2l 与椭圆相交于不同的两点M ，N ．（i ）求m 的取值范围；（ii ）求OMN 面积的最大值．22．（2022·重庆一中高三期中）已知函数()ln f x ax x =，()()e e 0xg x x x x =-+>，（a ∈R ，e 为自然对数的底数），()()()()()()(),,g x g x f x h x f x g x f x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线相互垂直，求a 的值并求()h x 的单调递增区间；(2)若e a =，()()()123h x h x h x ==，321x x x >>，且21x mx =，证明：当()1,e m ∈时，2231e 1e 1x x x ⎛⎫+<+ ⎪-⎝⎭.【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷07数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合{}(){}22,ln 3M x x N x y x x =>==-，则M N ⋂=（）A ．{}23x x <≤B ．{}32x x x ><-或C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤2．（2023·浙江温州·模拟预测）若复数z 满足12i z=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虛部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．2()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，()0f =，则()f x =（）A 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A >B ．4πtan sin 55π⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．2ln 33ln 2<D ．151511log 22⎛⎫< ⎪⎝⎭5．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的离心F ，直线12,l l 均过点F 且互相垂直，1l 与双曲线的右支交于,A C 两点，2l 与双曲线的左支交于B 点，O 为坐标原点，当,,A O B 三点共线时，FC AF=（）A ．2B ．3C ．4D ．5因为,,A O B 三点共线，12l l ⊥，所以由双曲线的对称性知，四边形设||,||AF x FC tx ==，则||2AF '=在R t AF F '△中，22||||AF AF '+又102e =，解得x a =或3x a =-在R t AF C '△中，22||||AF AC '+国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（）A ．112B ．16C ．14D ．29【答案】B【分析】利用条件概率的公式直接求解即可.【详解】记“甲被安排到游泳项目”为事件A ，记“乙也被安排到游泳项目”为事件B ，甲被安排到游泳项目分为两类，甲一人被安排到游泳项目的种数为2232C A ，7．（2022·广东广东·高一期中）已知函数()2,1f x x ax x ⎧=⎨-≥⎩，若存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,2)B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(],0,)2(-∞⋃+∞直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·江苏·南京师大附中高二期中）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)50,6060,7070,80､､､[)[]80,9090,100､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．0.01a =B ．得分在区间[)60,70内的学生人数为200C ．该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80D ．估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间[)70,80内【答案】ABD【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.【详解】对于A ，由频率分布直方图性质得：()0.020.0350.025101a a ++++⨯=，解得0.01a =，故A 正确；型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，3AB BG ==，4FC =，=1BC ，下列说法不正确的是（）A ．该几何体是四棱台B ．该几何体是棱柱，平面ABCD 是底面C ．EG HC⊥D ．平面EFGH 与平面ABCD 的夹角为45︒【答案】ABC【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，平面ADEH 和平面BCFG 是底面，故A ，B 错误；由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,4),(1,3,3),(0,3,0),(1,0,3),(1,31),(13,3)E G C H EG CH =-=- ，，，则193110EG CH =--=-≠⋅，所以EG ，HC 不垂直，故C 错误；根据题意可知DE ⊥平面ABCD ，所以(0,0,4)DE =为平面ABCD 的一个法向量，(1,0,1),(0,3,0)EH HG =-=，设(,,)n x y z =为平面EFGH 的法向量，11．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）已知()()22Ω:cos sin 1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（）A ．圆Ω恒过原点OB ．圆Ω与圆224x y +=外切C ．直线322x y +=被圆ΩD ．直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相切或相交【答案】ACD【分析】A.代入点()0,0长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断【详解】对于A ：代入点对于B ：22cos sin θθ+n 3，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（）A ．4221a a =B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AC xAB y AH x y =+∈，则x y +=______．2+##214．（2022·天津市汇文中学高三期中）82x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是_____________．（用数字填写答案）15．（2022·上海市金山中学高二期末）已知1F 、2F 为双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的两个焦点，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，若直线PQ 的倾斜角为3π，则C 的离心率为____．##1+∵直线PQ 的倾斜角为π3，∴和对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-；④()f x和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-．其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题）已知正项数列{}n a 的前n项和为n S ，其中()()212,4142,N n n a S a n n *==++≥∈．(1)求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当2n ≥时，1223341111113n n a a a a a a a a +++++< ．a ，b ，c )2222sin a b c bc A +-=．(1)求22sin cos A B +的取值范围；(2)若D 是AB 边上的一点，且:1:2AD DB =，2CD =，求ABC 面积的最大值．111中，△B 1三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.【分析】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，证明1AB ⊥平面BFC ，可得1AB BC ⊥，再利用已知条件证明1AB ⊥平面1A BC ，可证得11AB AC ⊥.（2）建立空间直角坐标系，设出点E 坐标，利用法向量表示平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦，求出点E 坐标.【详解】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，如图所示：四边形11AA B B 为菱形，∴F 为1AB 的中点，有1BF AB ⊥，1AB C V 为等边三角形，有1CF AB ⊥，,BF CF ⊂平面BFC ，BF CF F ⋂=，∴1AB ⊥平面BFC ，BC ⊂平面BFC ，∴1AB BC ⊥，四边形11AA B B 为菱形，∴11AB BA ⊥，1,BA BC ⊂平面1A BC ，1BA BC B ⋂=，1AB ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，∴11AB AC ⊥（2）,O G 分别为,AC AB 的中点，连接1,B O OG ，由（1）可知1AB BC ⊥，又AC BC ⊥，1,AB AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，BC ⊥平面1AB C ，//OG BC ，OG ⊥平面1AB C ，△B 1为等边三角形，1B O AC ⊥，以O 为原点，OG，OC ，1OB 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(3,2,0)B 由11AB A B = ，11BC B C =，∴1(A 设()101CE CC λλ=≤≤ ，则OE - ()13,2,23OE CC OC λλ=+=--∴()3,22,23E λλλ--，(AE =-设平面1AB E 的一个法向量(n x = 了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率），求：①1{}n n P P +-的通项公式；②{}n P 的通项公式．21．（2022·重庆·高二阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点22M ⎛ ⎝⎭，且离心率为2e =.(1)求椭圆的标准方程；(2)当椭圆C 和圆O ：221x y +=.过点()(),01A m m >作直线1l 和2l ，且两直线的斜率之积等于1，1l 与圆O 相切于点P ，2l 与椭圆相交于不同的两点M ，N ．（i ）求m 的取值范围；（ii ）求OMN 面积的最大值．e 为自然对数的底数），()()()()()()(),,g x g x f x h x f x g x f x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线相互垂直，求a 的值并求()h x 的单调递增区间；(2)若e a =，()()()123h x h x h x ==，321x x x >>，且21x mx =，证明：当()1,e m ∈时，2231e 1e 1x x x ⎛⎫+<+ ⎪-⎝⎭.。