人教版数学高二A版选修4-4课堂探究第二讲四渐开线与摆线

课堂探究
探究一 圆的渐开线的参数方程
解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．
【例题1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的A ，B 两点所对应
的参数分别是π3和π2
，求A ，B 两点间的距离． 思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数分别代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得A ，B 间的距离．
解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是
cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩
(φ为参数)． 分别把φ＝π3和φ＝π2
代入， 可得A ，B
两点的坐标分别为⎝⎭π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 根据两点间的距离公式可得A ，B 两点间的距离为
|AB |＝
3＋3π6－π22＋33－π6－12 ＝16
(13－63)π2－6π－363＋72. 故A ，B 两点间的距离为
16
(13－63)π2－6π－363＋72. 探究二 圆的摆线的参数方程
根据圆的摆线的参数方程的表达式x ＝r (φ－sin φ)，
y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，可知只需求出其中的r ，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式即可．
【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
思路分析：根据圆的摆线的参数方程(sin ),(1cos )
x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )．
又因为x ＝2，
所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π
(k ∈Z )． 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π
. 代入即可得所求圆的摆线的参数方程为
1(sin ),π1(1cos )πx y ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(φ为参数)； 所求圆的渐开线的参数方程为
1(cos sin ),π1(sin cos )πx y ϕϕϕϕϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(φ 为参数)． 探究三 易错辨析
易错点：考虑φ不全面
【例题3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．
错解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝0，代入可得x ＝0.故此题无解． 错因分析：在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．
正解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，
所以φ＝2k π(k ∈Z )．
代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1.
所以r ＝12k π
(k ∈Z )． 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r ＞0.
所以应有k ＞0，且k ∈Z ，即k ∈N *.
所以所求摆线的参数方程是
1(sin ),2π1(1cos )2πx k y k ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(φ为参数，k ∈N *)．。