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第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
中考数学专题复习：分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型屮的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特別是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1・若等腰三角形屮有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 65°或50° D. 50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：(1)当50°角是顶角时，则(180°—50° ) 4-2-65°,所以另两角是65°、65° : (2)当50°角是底角时，则180°—50° X2=80°,所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80° .答案：D .同步测试：1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为( )A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12cm 或15cm2.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处，(1)求证：B' E=BF；(2)设AE P, AB二b, BF二c,试猜想日、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是屮心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.例2.在RtAABC中，ZC = 90°, AC = 3, BC=4.若以(：点为圆心，r■为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是________________ .【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况，1、圆与AB相切，此时r = 2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3VrW4。
1 / 2分类讨论问题初中数学中的分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一，要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。
第一部分例题解析1、代数部分例1：化简：|x-1|+|x-2|例2、代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个2、函数部分例题1：一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（ ）。
A. 14B. -6C. -4或21D. -6或14例题2：已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
3、几何部分1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm4、综合类：例1：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。
2 / 2试题精练1、已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的大小。
3、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。
分类讨论问题有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。
把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。
在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．典型例析:例1：已知一次函数y x =-+3333与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
练习：在直角坐标系xoy中，一次函数2y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1若以原点O 为圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例2：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。
例3：如图2-4-2，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似．图2-4-2E N M DCBA例4：如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1） 设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2） 当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？例5：:直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使三角形ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由。
1. A. 如图, (4,0) 占 八2.若函数A 的坐标是 .(1,0)2x + 2 x W2 (2,2)若点P 在x 轴上，且△ APO 是等腰三角形，则点 .(—2 ；2, 0) D . (2,0)2x x > 2则当函数值 y = 8时，自变量 x 的值是(± ；6如图，在平面直角坐标系线a 上存在点巳使厶AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点 A. 3. A. D. 4. 少 A. 5..± ：6或 4 DxOy 中，分别平行 .4 或—.'6 x 、y 轴的两直线(8.4) B . (8,4)或(—3,4) C7(8.4) 或(一3,4)或(一2,4)或一6, 矩形一个内角的平分线分矩形一边长为 cm ?( )4 B . 12 C . 4 或 12 D . 6 或 8 1 cm 和3 cm 两部分,若正比例函数 y = 2kx 与反比例函数 的图象交于点A ( m,1)，贝U k 的值是(ky = x (k 丰 0))②初三数学专题复习一分类讨论问题在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问 题，就可能需要分类讨论。
另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性， 也需要从问题的实际出发进行分类讨论。
把被研究的对象分成若干种情况， 然后对各种情况逐一进行讨论,最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。
它体现了数学中化整为零与积零为 整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。
分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。
分类思想方 法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片 面性，防止漏解•要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏.例3.如图，正方形ABCD 勺边长是2 ,BB CEMN k 1,线段MN 的两端在CDAD 上滑动。
中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次 ”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用；4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题 1：（ 2011 武汉） 3 3 ax4 无解，求 ax x29 x 3解：去分母，得：3(x 3) ax 4(x 3)（ ） x 21a - 1由已知 - 21或 - 21 或 1 0a - 1a - 1a 8, a 或者 16. a猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a 8或 a6例题 2：（2011 郴州）2 a x 12无解，求 ax 12：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3：（ 2010 上海）已知方程 m 2 x 2 (2m 1) x 1 0 有实数根，求 m 的取值范围。
（ 1）当 m 2 0 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根 x= 1- 1 -（ 2） 当 m 2 0 时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 ：(2m 1)24m24m 1 0,即m- 1，且 m 24综（ 1）（ 2）得， m14常见病症：（很多同学会从（ 2）直接开始而且会忽略 m 2 0 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（ 2）后置式，即“两实数根”。
变式等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A ＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．2．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．反映y 与x 函数关系的是（）A ． B. C.D.第1题图初中数学复习：分类讨论1．数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC 中，∠A ＝110°，求∠B 的度数．(答案：35°)例2等腰三角形ABC 中，∠A ＝40°，求∠B 的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：A 组1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 从点E 出发，沿E →A →D →C 移动至终点C ．设P 点经过的路径长为x ，△CPE 的面积为y ，则下列图象能大致得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为8cm 2时，它移动的距离AA′等于cm .3.在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AD =6，对角线相交于点O ，P 是对角线上的一点，若PA =2PD ，则PD 的长为．4．已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值为________．5．如图，在直角坐标系中，已知点B （4，0），等边三角形OAB 的顶点A 在反比例函数y ＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 'A 'B '当这个函数图象经过△O 'A 'B '一边的中点时，求a 的值．B 组6.如图，正方形ABCD 中，AD =23 ，已知点E 是边AB 上的一动点（不与A 、B 重合）将ΔADE 沿DE 对折，点A 的对应点为P ,当ΔAPB 是等腰三角形时，AE =7．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，点D 在边BC 上，CD ＝5，BD ＝13．点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的⊙P 与△ABC 的一边相切时，AP 的长为．第2题图第3题图第5题图2．如图，先将边长为6cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，8．定义：在一个三角形中，若存在两条边x 和y ，使得y ＝x 2，则称此三角形为“平方三角形”，x 称为平方边．（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为43是命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是命题；（填“真”或“假”）（2）若a ，b ，c 是平方三角形的三条边，平方边a ＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c 的值；9．小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min 回到家中．设小明出发第t min 时的速度为v ，离家的距离为s ，v 与t 之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点)．(1)小明出发第2min 时离家的距离为________m ；(2)当2＜t ≤5时，求s 与t 之间的函数表达式；(3)画出s 与t之间的函数图象．第9题图第6题图第7题图C 组10．如图，△ABC 中，AB =AC =15，∠A =120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB 上取点D ，过点D 画DE //AC 交BC 于点E ，连结AE ，在AC 上取合适的点F ，连结EF 可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF 长是．11.已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．12．如图1，正方形ABCD 中，AB ＝8，点E 、F 分别在边AD 和AB 上，AE ＝3，AF ＝4.(1)点P 在边BC 上运动，四边形EFPH 是平行四边形，连接DH .①当四边形FPHE 是菱形时，线段BP ＝________；②当点P 在边BC 上运动时，△DEH 的面积会不会变化？若变化，求其最大值；若不变，求出它的值；③当△DEH 是等腰三角形时，求BP 的长；(2)若点E 沿ED －DC 向终点C 运动，点F 沿FB －BC 向终点C 运动，速度分别为每秒3个单位和每秒4个单位，当其中一个点到达终点C 时，另一个也停止运动，求EF 的中点O 的运动路径长．(只要求写出简略的计算过程)第12题图第10题图初中数学复习：分类讨论答案。
