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四川省成都市2020年高三第二次诊断性考试数学文（2020成都二诊）数 学（文史类）本试卷分选择题和非选择题两部分第I 卷（选择题）第1至2页，第II 卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己旳姓名，考籍号填写在答题卡规定旳位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目旳答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定旳位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出旳四个选项中，有且只有一项是符合题目要求旳.1.设集合{}30≤=x x A ＜，{}21-＞，或＜x x B =，则=⋂B A （A ）(]3,2 （B ）()()∞+⋃∞，，01-- （C ）(]3,1- （D ）()()∞+⋃∞，，20- 2.设复数i z +=3（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转0°得到OB ，则点B 在（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限3.执行如图旳程序框图，若输入旳x 值为7，则输出旳x 旳值为（A ）2（B ）3（C ）3log 2（D ）41 4.在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示旳平面区域上一动点，则直线OP 斜率旳最大值为（A）2 （B）1 （C）21（D）315.已知βα,是两个不同旳平面，则“平面//α平面β”成立旳一个充分条件是（A）存在一条直线l，βα//,ll⊂（B）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥,（C）存在一条直线βα⊥⊥ll l,,（D）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6.下列说法正确旳是（A）命题“若12＞x,则1＞x”否命题为“若12＞x，则1≤x”（B）命题“若1,2＞xRx∈”旳否定是“1,2＞xRx∈∀”（C）命题“若yx=，则yx coscos=”旳逆否命题为假命题（D）命题“若,yx=则yx coscos=”旳逆命题为假命题7.已知实数41，，m构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+ymx旳离心率为（A）22（B）3（C）22或3（D）21或3 8.已知P是圆()1122=+-yx上异于坐标原点O旳任意一点，直线OP旳倾斜角为θ，若dOP=，则函数()θfd=旳大致图像是9.已知过定点()0,2旳直线与抛物线yx=2相交于()()2211,,,yxByxA两点.若21,xx是方程0cossin2=-+ααxx旳两个不相等实数根，则αtan旳值是（A）21（B）21-（C）2 （D）-210.已知定义在R上旳奇函数)(xf，当0＞x时，.2),2(2120,12)(1⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=-＞＜xxfxxfx则关于x旳方程()[]()0162=--x f x f 旳实数根个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年高考数学二诊试卷（文科）一、选择题1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．604．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0 5．已知锐角α满足2sin2α＝l﹣cos2α，则tanα＝（）A．B．l C．2D．46．函数在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．48C．96D．1288．已知函数f（x）＝sin（2x+），则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，在平面ABCD中，过AB的中点M作平面DPQ的平行线交直线BC于N，则的值为（）A．B．C．1D．10．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．11．已知EF为圆（x﹣l）2+（y+1）2＝l的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）A．[，13]B．[4，13]C．[4，12]D．[，12]12．已知函数，g（x）＝xe﹣x，若存在x l∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g （x2）＝k（k＜0）成立，则x l x2的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题13．已知函数f（x）＝，则f（f（x﹣1））＝．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为．15．设直线l：y＝x﹣l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标为2，则p的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为．三、解答题17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求三棱锥B﹣PEM的体积．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润x（单位：29333644485259亿元）（I）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（I）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年将（I）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．参考公式：：＝，＝﹣．20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（﹣l，0），F2（1，0），点P（1，）在椭圆E上．（I）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，当|AB|▪|CD|2的值为8时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2﹣mx﹣mlnx，其中m＞0．（I）若m＝l，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+mx．若g（x）＞在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝R，M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，∴∁U M＝{x|x≥1}，∴（∁U M）∩N＝{x|x＞2}．故选：A．3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．60【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：由分层抽样的定义得＝＝100，解得n＝50，故选：B．4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．已知锐角α满足2sin2α＝l﹣cos2α，则tanα＝（）A．B．l C．2D．4【分析】由已知利用二倍角公式可得4sinαcosα＝2sin2α，结合sinα＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．解：∵锐角α满足2sin2α＝l﹣cos2α，∴4sinαcosα＝2sin2α，∵sinα＞0，∴2cosα＝sinα，可得tanα＝2．故选：C．6．函数在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又，故排除A．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．48C．96D．128【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝4，i＝2不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝16，i＝3不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝48，i＝4此时，满足判断框内的条件i＞3，退出循环，输出S的值为48．故选：B．8．已知函数f（x）＝sin（2x+），则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可得答案．解：由函数f（x）＝sin（2x+），则2x+＝+kπ，k∈Z，得：x＝kπ，k∈Z，故选：C．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，在平面ABCD中，过AB的中点M作平面DPQ的平行线交直线BC于N，则的值为（）A．B．C．1D．【分析】连接AC，A1C1，运用三角形的中位线定理和公理4，结合线面平行的判定定理，即可得到所求结论．解：连接AC，A1C1，在正方形A1B1C1D1中，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，可得PQ∥A1C1，在截面ACC1A1中，AC∥A1C1，则AC∥PQ，在平面ABCD中，过AB的中点M只需作MN∥AC，由M为AB的中点，可得N为BC的中点，由公理4可得，MN∥PQ，又MN⊄平面DPQ，PQ⊂平面DPQ，可得MN∥平面DPQ，则＝，故选：B．10．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】联立⇒即B（﹣，），利用直线BF1的斜率＝．求得即可．解：联立⇒．即B（﹣，），直线BF1的斜率＝．∴．则双曲线C的离心率为e＝．故选：A．11．已知EF为圆（x﹣l）2+（y+1）2＝l的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）A．[，13]B．[4，13]C．[4，12]D．[，12]【分析】由约束条件作出可行域，由数量积的坐标运算求得表达式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：不等式组，作出可行域如图，A（﹣2，1），B（0，1），C（﹣，﹣），∵P（1，﹣2），O（0，0），M（x，y），，∴＝（）•（）＝+﹣﹣＝﹣+2＝﹣1＝（x﹣1）2+（y+1）2﹣1，所以当x＝﹣2，y＝1时，的取最大值：12，当x＝，y＝时，的取最小值为；所以则的取值范围是[，12]；故选：D．12．已知函数，g（x）＝xe﹣x，若存在x l∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g （x2）＝k（k＜0）成立，则x l x2的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据题意可得g（x）＝f（e x），接下来分析函数f（x）的定义域，求导分析单调性，函数值的取值范围，得到当x∈（0，e）时，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f（x）单调递减，此时f（x）＞0根据题意可得0＜x1＜1且f（x1）＝g（x2）＝f（e），即x2＝lnx1，所以x1x2＝x1lnx1，x1∈（0，1），令h（x）＝xlnx，x∈（0，1），求导，分析最值即可．解：g（x）＝xe﹣x＝＝＝f（e x），函数f（x）定义域{x|x＞0}，f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）＞0，所以若存在x l∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则0＜x1＜1且f（x1）＝g（x2）＝f（e），所以x1＝e，即x2＝lnx1，所以x1x2＝x1lnx1，x1∈（0，1），令h（x）＝xlnx，x∈（0，1），h′（x）＝lnx+1，当x∈（，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以当x＝时，h（x）min＝h（）＝＝﹣．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数f（x）＝，则f（f（x﹣1））＝，．【分析】根据题意，对于f（f（x﹣1）），分x＞1与x≤1两种情况讨论，求出f（f（x ﹣1））的解析式，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，若x＞1，即x﹣1＞0，则有f（x﹣1）＝＞0，此时f（f（x﹣1））＝x﹣1，若x≤1，即x﹣1≤0，f（x﹣1）＝2x﹣1，有0＜f（x﹣1）≤1，则f（f（x﹣1））＝，故f（f（x﹣1））＝，故答案为：，14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：由余弦定理可得，，解可得，c＝1，所以△ABC的面积S＝＝＝．故答案为：15．设直线l：y＝x﹣l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标为2，则p的值为1【分析】直线与抛物线的方程联立求出两根之和，可得中点的横坐标，有题意可得p的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣2（1+p）x+1＝0，x1+x2＝2（1+p），所以AB的中点的横坐标1+p，有题意可得：1+p＝2，解得p＝1，故答案为：1．16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为36．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，即可求解．解：如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，设球的半径为r，由球O的表面积为28π，得4πr2＝28π，∴r＝，设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH＝，∴r2＝7＝（）2+（a）2，∴a＝2．则三棱柱的侧面积为S＝3a2＝36．故答案为：36．三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）{a n}的公比设为q，由a1＝l，可得q＞1，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）运用对数的运算性质可得b n＝＝﹣，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．解：（Ⅰ）{a n}是递增的等比数列，设公比为q，a1＝l，且q＞1，由2a2，a3，a4成等差数列，可得3a3＝2a2+a4，即3q2＝2q+q3，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），则a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（Ⅱ）＝＝＝﹣，则前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求三棱锥B﹣PEM的体积．【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD是正方形，得AC⊥BD，再由PO⊥平面ABCD，可得PO⊥AC，然后利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面PBD，从而得到平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）设三棱锥B﹣PEM的高为h，求出三角形BEM的面积，再由求解三棱锥B﹣PEM的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵OP，BD⊂平面PBD，且OP∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：设三棱锥B﹣PEM的高为h，∴，连接OE，∵PO⊥平面ABCD，OE⊂平面ABCD，∴PO⊥OE，∵OE＝2，PE＝3，∴h＝OP＝．∴．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润x（单位：29333644485259亿元）（I）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（I）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年将（I）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．参考公式：：＝，＝﹣．【分析】（I ）结合表中的数据和的公式计算出回归方程的系数即可得解；（Ⅱ）先找出2015年至2020年这6年中实际利润大于相应估计值的年数，然后分别写出从6年中随机抽取2年构成的所有情况以及恰有一年为A级利润年的情况，最后结合古典概型计算概率即可．解：（I）根据表中数据，计算可得，，，∴，，∴y关于x 的线性回归方程为．当x＝8时，（亿元），故该公司2020年的年利润预测值为63亿元．（Ⅱ）由（I）可知2015年至2020年的年利润的估计值分别为38，43，48，53，58，63，其中实际利润大于相应估计值的有2年，故这6年中，被评为A级利润年的有2年，分别记为A1，A2；评为B级利润年的有4年，分别记为B1，B2，B3，B4．从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共计15种情况．其中恰有一年为A级利润年的情况分别为：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，共计8种情况，记”从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A级利润年“的概率为P，则．20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（﹣l，0），F2（1，0），点P（1，）在椭圆E上．（I）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，当|AB|▪|CD|2的值为8时，求直线l的方程．【分析】（1）根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，又根据两点距离公式可得|PF1|＝，|PF2|＝，代入即可解出a，结合b2＝a2﹣c2，解出b即可；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系表示出|AB|＝，利用弦心距公式表示出|CD|＝2，结合|AB|▪|CD|2＝8，解出m即可解：（Ⅰ）因为点P（1，）在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，又|PF1|＝＝，|PF2|＝，所以2a＝+，解得a＝，因为c＝1，b2＝a2﹣c2，解得b2＝1，故椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，所以△＝8m2+8＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，则|AB|＝|y1﹣y2|＝，设圆x2+y2＝2的圆心O到直线l的距离为d，则d＝，所以|CD|＝2＝2，则|AB|▪|CD|2＝4••＝＝8，解得m＝±1，故所求直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．21．已知函数f（x）＝x2﹣mx﹣mlnx，其中m＞0．（I）若m＝l，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+mx．若g（x）＞在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）当m＝1时，先求出导函数f'（x），利用导函数的正负，即得到函数的单调性，从而求出函数f（x）的极值；（Ⅱ）g（x）＝x2﹣mlnx，由题意可知x2﹣mlnx﹣＞0在（1，+∞）上恒成立，构造函数G（x）＝x2﹣mlnx﹣，x＞1，即G（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，对m的范围分情况讨论，分别分析函数G（x）的单调性，求其最值，从而得到符合题意的m的取值范围．解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝x2﹣x﹣lnx，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝2x﹣1﹣＝＝，∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴函数f（x）的极小值为f（1）＝0，无极大值；（Ⅱ）g（x）＝x2﹣mlnx，若g（x）＞在（1，+∞）上恒成立，即x2﹣mlnx﹣＞0在（1，+∞）上恒成立，构造函数G（x）＝x2﹣mlnx﹣，x＞1，则G'（x）＝2x﹣+＝，令H（x）＝2x3﹣mx+1，x＞1，∴H'（x）＝6x2﹣m，（i）若m≤6，可知H'（x）＞0恒成立，∴H（x）在（1，+∞）上单调递增，∴H（x）＞H（1）＝3﹣m，①当3﹣m≥0，即0＜m≤3时，H（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即G'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴G（x）＞G（1）＝0在（1，+∞）上恒成立，∴0＜m≤3满足条件，②当3﹣m＜0，即3＜m≤6时，∵H（1）＝3﹣m＜0，H（2）＝17﹣2m＞0，∴存在唯一的x0∈（1，2），使得H（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，H（x）＜0，即G'（x）＜0，∴G（x）在（1，x0）上单调递减，∴G（x）＜G（1）＝0，这与G（x）＞0矛盾，（ii）若m＞6，由H'（x）＝0，可得（舍去），，易知H（x）在（1，）上单调递减，∴H（x）＜H（1）＝3﹣m＜0在（1，）上恒成立，即G'（x）＜0在（1，）上恒成立，∴G（x）在（1，）上单调递减，∴G（x）＜G（1）＝0在（1，）上恒成立，这与G（x）＞0矛盾，综上所求，实数m的取值范围为：（0，3]．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．曲线C的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为y2＝4x．（Ⅱ）由于点P（2，1）在直线l上，所以直线l的参数方程为（t为参数），将直线的参数方程代入y2＝4x的方程，整理得：．所以，t1t2＝﹣14，所以＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，【分析】（Ⅰ）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（Ⅱ）由题意f（x）＝，设方程f（x）＝g（x）的两根为x1，x2，（x1＜x2），根据根的情况，分类讨论即可求出a的取值范围．解：（Ⅰ）原不等式即|x﹣1|+|x+3|≥6，当x≥1时，化简得2x+2≥6，解得x≥2，当﹣3＜x＜1时，化简得4≥6，此时无解，当x≤﹣3时，化简得﹣2x﹣2≥6，解得x≤﹣4，综上所述，原不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（Ⅱ）由题意f（x）＝，设方程f（x）＝g（x）的两根为x1，x2，（x1＜x2），①当x2＞x1≥1时，方程﹣x2+2ax＝2x+2等价于2a＝x++2，y＝x++2≥2+2＝2+1，当且仅当x＝时取等号，易知当a∈（+1，]在（1，+∞）上有两个不相等的实数根，此时方程x2+2ax＝4，在（0，1）上无解，∴a∈（+1，]满足条件．②当0＜x1＜x2≤1时，x2+2ax＝4等价于2a＝x+，此时方程2a＝x+在（0，1）上显然没有两个不相等的实数根．③当0＜x1＜1≤x2，易知当a∈（，+∞），方程2a＝x+在（0，1）上有且只有一个实数根，此时方程﹣x2+2ax＝2x+2在[1，+∞）上也有一个实数根，∴a∈（，+∞）满足条件，综上所述，实数a的取值范围为（+1，+∞）．。
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -= B. 220x y +-= C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点,P Q 分别为1111,A D D C 的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于,N 则BNBC的值为（ ）A.13B.12C. 1D.23『答案』B 『解析』如图因为PQ ∥11A C ，11A C ∥AC ，故PQ ∥AC ，所以当N 为BC 中点时，MN ∥AC ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面DPQ ，PQ ⊂平面DPQ ，由线面平行的判定定理可知，MN ∥平面DPQ .此时12BN BC =. 故选：B.10. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ） A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==2TB ==， 故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()() ln ,x xf xg x xe x-==.若存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为（ ）A.1-B. 2e- C. 22e-D. 1e-『答案』D『解析』()'21ln ,xf x x-=易知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，同理， ()'1ex xg x -=，易得()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，又存在 120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12(0,1),(,0)x x ∈∈-∞， 12ln 0,0x x <<，且12112ln 1 ln ln 0e ex x x x x x ==<，又()g x 在(,1)-∞上单调递增， 故12ln x x =，所以1211ln x x x x =，令()ln h x x x =，则'()ln 1h x x =+，易知，()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,1)e上单调递增，故min 11()()e eh x h ==-. 故选：D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()()1f f -=___________．『答案』2『解析』由已知，1(1)2f -=，()()11()22f f f -==.故答案为：2.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.故答案为：215. 设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________．『答案』1『解析』联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=，则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.16. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ， 直三棱柱的棱长为x，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11,a =且23432,,2a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*21221,log log n n n b n N a a ++=∈⋅.求数列{}n b 的前n 项和n S解：()I 设数列{}n a 的公比为.q 由题意及11a =，知1q >.23432,,2a a a 成等差数列，34232a a a ∴=+. 2332q q q ∴=+，即2320-+=q q . 解得2q或1q =(舍去).2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为12n na .()II ()21221111log log 11n n n b a a n n n n ++===-⋅++1111112231n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 1n n =+ 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面,,ABCD M E 分别为,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若3,PE =求三棱锥B PEM -的体积. 解：()I ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD .PO AC ∴⊥,OP BD ⊂平面,PBD且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 ,PBD又AC ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面,PBD()II )设三棱锥P BEM -的高为h .1.3B PEM P BEM BEMV V Sh --∴==⨯连接OE ，PO ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，PO OE ∴⊥.2,3OE PE ==，h OP ∴==111223323P BEM BEMV Sh -=⨯=⨯⨯⨯∴=19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式:()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑解：()I 根据表中数据，计算可得()()714,43,140iii x y x x y y ===--=∑又()27128ii x x =-=∑()()()712715iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑a y bx =- 435423a ∴=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将代8x =入，582363y ∴=⨯+=(亿元)∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.()II 由()I 可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)， 其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A 级利润年有2年，分别记为12,A A ； 评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 232434,,B B B B B B ，共计15种情况.其中恰有一年为A 级利润年情况分别为:1112131421,,,,A B A B A B A B A B ，222324,,A B A B A B 共有8种情况.记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年”的概率为P ，.故所求概率815P =20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点(P 在椭圆E 上. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于,A B 两点，与圆222x y a +=相交于,C D两点，当2AB CD ⋅的值为l 的方程.解：()I 21,P ⎛ ⎝⎭在椭圆上， 122PF PF a ∴+=.又12,22PF PF ===12PF PF ∴+= ，则a =2221,,c b a c ==-1b ∴=故所求椭圆E 的标准方程为2212x y +=.()II 设()()1122,,,A x y B x y联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. 2880,m ∴∆=+>12222m y y m +=-+，12212y y m =-+ )212212m AB y m +=-=+∴设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))2222222121214122m m m AB CD m m m +++∴⋅=⋅⋅=+++2AB CD ⋅= )22212m m +∴=+解得1m =±.经验证1m =±符合题意.故所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 21. 已知函数()2ln f x x mx m x =--，其中0m >.（Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）设()()g x f x mx =+.若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 解：()I 当1m =时，()2ln .f x x x x =--则()2'12121x x f x x x x--=--=，0x >令()'0,fx =解得112x =-(舍去)，21x =. 当()0,1x ∈时，()'0f x <()f x ∴在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x 的极小值为()10f =，无极大值.()II ()2ln g x x m x =-若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，即21ln 0x m x x-->在(1,)+∞上恒成立. 构造函数()21ln ,1G x x m x x x=-->， 则()3'221212m x mx G x x x x x -+=-+=令()321,1H x x mx x =-+>.()'26H x x m ∴=-()i 若6,m ≤可知()'0H x >恒成立.()H x ∴在(1,)+∞上单调递增. ()()13H x H m ∴>=-. ①当30,m -≥即03m <≤时，()0H x >在(1,)+∞上恒成立，即()'0G x >在(1,)+∞上恒成立. ()()10G x G ∴>=在(1,)+∞上恒成立，03m ∴<≤满足条件.②当30m <即36m <≤时，()()130,21720H m H m =-<=->，∴存在唯一的()01,2,x ∈使得()00H x =.当()01,x x ∈时，()0,H x <即()'0G x <()G x ∴在()01,x 单调递减.()()10G x G ∴<=，这与()0G x >矛盾.()ii 若6,m >由()'0,H x =可得1x =舍去)，2x =易知()H x在⎛ ⎝上单调递减. ()()130H x H m ∴<=-<在⎛ ⎝上恒成立，即()'0G x <在⎛ ⎝上恒成立. ()G x ∴在⎛ ⎝上单调递减. ()()10G x G ∴<=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾.综上，实数m 的取值范围为(]0,3.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=.设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥.此时无解； ③当3x ≤-时，化简得226x --≥.解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <.①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根.③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(i+1)(i−2)，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. 3D. −32.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合M={0,1}，N={0,1，2}，则(∁U M)∩N=()A. {0,2}B. {1,2}C. {2}D. {0}3.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为()A. 75B. 85C. 90D. 1004.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=05.已知α为锐角，sinα=13，则sin2α等于()A. 89B. 4√29C. −79D. −896.函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为()A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数y =3sin(2x +π3)的对称轴方程是( )A. x =kπ+π3，k ∈Z B. x =kπ2+π12，k ∈ZC. x =2kπ−π12，k ∈ZD. x =2kπ−π3，k ∈Z9. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA =AD =2，AB =1.则点A 到平面MBC 的距离为( )．A. √52 B. 2√55 C. 2√33 D. √5310. 已知倾斜角为135°的直线交双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P(2,−1)，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √2C. √62D. √5211. 已知⊙O ：x 2+y 2=4及点A(1,3)，BC 为⊙O 的任意一条直径，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6B. 5C. 4D. 不确定12. 函数f(x)满足，若存在a ∈[−2,1]，使得f(2−1m )≤a 3−3a −2−e 成立，则m 的取值范围是( )A. [23,1]B. [23,+∞)C. [1,+∞)D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)，已知f[f(x)]=2，则x =______．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.若∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3，则a+b sinA+sinB=___________15.已知直线y=x−1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA⊥OB，则p的值为__________．16.已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，若球0的表面积为3π，则这个直三棱柱的体积是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a3=9，a2是a1，a7的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=1，求{b n}的前n项和S n．n(a n+7)18.如图，正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，(Ⅰ)求证：平面EBD⊥平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PBD的体积．19. 某企业为了提高企业利润，从2015年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：(1)记ω=年利润增长量−投资金额，现从2015年至2019年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是ω>2万元的概率；(2)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2020年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2020年的年利润增长量为多少？参考公式：b ̂=i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n =∑x i y i −nxyni=1∑x i2−nx2n i=1，a ˆ=y −b ˆx ； 参考数据：∑x i y i 5i=1=286，∑x i 2n i=1=190．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)、F 2(1,0)，上、下顶点分别为B 1、B 2，且△B 1F 1F 2为等边三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)设点M(4,0)，直线B 1M 与椭圆E 相交于另一点A ，证明：A ，F 2，B 2三点共线．21. 函数(1)当−2<a <0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m ≥1时，不等式f(2m −1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα.(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点A (1,0)，且C 1和C 2的交点分别为点M ，N ，求1|AM |+1|AN |的取值范围．23.已知函数f(x)=|x|+|2x−1|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若存在α∈(0,π)，使得关于x的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：z=(i+1)(i−2)=−3−i．则复数z的虚部是−1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．根据集合补集和交集的定义进行求解即可．解：由条件可得∁U M={−2,−1,2}，则(∁U M)∩N={2}．故选：C．3.答案：C解析：解：由分层抽样的定义得10001400+1200+1000=25n，即10003600=25n，得n=90，故选：C．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：A解析：解：∵y=x3+x+1，∴y′=3x2+1令x=1得切线斜率4，∴切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0故选A．求出导函数，将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查了二倍角公式和同角三角函数基本关系式，属于基础题．通过已知条件求出，再通过二倍角公式求出．解：∵sinα=13，α为锐角，∴cosα=2√23，∴sin2α=2sinα·cosα=2×13×2√23=4√29．6.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．解：由题可得，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，f(−x)=−sinx⋅ln −x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1=sinx⋅ln x−1x+1=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f(3)=sin3ln12<0，排除B，故选：D．7.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=20，i=2，否；S=10，i=3，否；S=103，i=4，否；S=103×4=56<1，i=5，是，输出i=5.故选A．8.答案：B解析：本题考查正弦函数的图象与性质，是基础题．令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，解得x即可．解：令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，得x=12kπ+π12(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴为x=12kπ+π12(k∈Z)，故选B．9.答案：B解析：解：∵BC⊥平面PAB，AD//BC，∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，则MF//PA，∴MF⊥平面ABCD，且MF=12PA=1，设点A 到平面MBC 的距离为h ， 由V A‐MBC =V M‐ABC ，得13S △MBC ·ℎ=13S △ABC ·MF ，∴ℎ=S △ABC ·MF S △MBC=12·BC·AB·MF 12·BC·MB =2√55．通过线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结MF ，设点A 到平面MBC 的距离为h ，利用V A−MBC =V M−ABC ，计算即可．本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题目．设出AB 的坐标，利用中点坐标公式，化简，通过平方差法求出直线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为AB 的中点为P(2,−1)，所以{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2，又{x 12a −y 12b =1x 22a 2−y 22b 2=1两式相减并整理可得k AB =y 1−y 2x1−x 2=−2b 2a 2=−1=tan135°．解得2c 2−2a 2=a 2，可得：e =√62．故选：C ．11.答案：A解析：解：由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =10+√10×2cosθ+√10×2cos(π−θ)+2×2cosπ=6， 故选A ．由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ.再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，利用两个向量的数量积的定义求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．由已知可设函数f(x)=e x lnx−e x，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．解：∵f′(x)=f(x)+e xx ，x∈[12,+∞)，∴令f(x)=e x lnx−e x，则f′(x)=e x lnx+e xx −e x=f(x)+e xx，由f′(x)=e x lnx+e xx −e x=e x(lnx+1x−1)，令t(x)=lnx+1x −1，则t′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x=1时，t(x)取得最小值为0，∴f′(x)≥0，则f(x)在(0,+∞)上是增函数．若存在a∈[−2,1]，使得f(2−1m)≤a3−3a−2−e成立，只需求出a∈[−2,1]时，a3−3a−2−e的最大值且使f(2−1m)小于等于这个最大值．设g(a)=a3−3a−2−e，a∈[−2,1]，g′(a)=3a2−3=3(a+1)(a−1)，当a∈(−2,−1)时，g′(a)>0，g(a)为增函数，当a∈(−1,1)时，g′(a)<0，g(a)为减函数，∴当a=−1时，g(a)max=−e，即当a=−1时，g(a)=−e．又∵f(x)=e x lnx−e x是增函数且f(1)=−e．∴12≤2−1m≤1，∴m∈[23,1]．故选A．13.答案：−1解析：解：函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)， f[f(x)]=2，可得2f(x)+1=2，解得f(x)=12，所以2x =12，解得x =−1．故答案为：−1．利用f[f(x)]=2，求出f(x)的值，然后利用方程求解x 即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值以及方程思想的应用，考查计算能力．14.答案：2√393解析：【试题解析】本题考查三角形面积公式及正余弦定理，属基础题目．由三角形面积公式得c =3，利用余弦定理得a ， 再由正弦定理即可得出答案．解：因为∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3=12AC ⋅AB ⋅sinA =12×4×AB ×√32，解得c =AB =3， 所以由余弦定理可得a =BC =√42+32−2×3×4×12=√13， 则a+b sinA+sinB =a sinA =√13√32=2√393．故答案为2√393． 15.答案：x =−1; 12解析：解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，y =x −1，令y =0，x =1，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)，所以抛物线的方程为y 2=4x ，所以准线方程为：x =−1；若OA ⊥OB ，设A(x,y)，B(x′,y′)，直线与抛物线联立：x 2−(2+2p)x +1=0，∴x +x′=2+2p ，xx′=1，∴yy′=xx′−(x +x′)+1=−2p若OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴xx′+yy′=0，即1−2p =0，解得p =12；故答案分别为：x =−1，12．由直线过抛物线的焦点，求出焦点坐标及p 的值，进而求出准线方程；由若OA ⊥OB ，可得数量积为令求出p 的值．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 16.答案：12解析：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的侧棱长为h ，然后由棱柱的体积公式得答案．解：因为球O 的表面积为3π，所以球的半径为4πR 2=3π，所以4R 2=3，因为底面是直角三角形的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，设三棱柱的侧棱长为h ，所以AB 2+AC 2+ℎ2=4R 2，解得ℎ=1，所以这个直三棱柱的体积是1×12×1×1=12，故答案为12．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则{a 1+2d =9(a 1+d)2=a 1⋅(a 1+6d)解得 d =4或d =0(舍去)，a 1=1， ∴a n =1+4(n −1)=4n −3．(2)∵b n =1n(a n +7)=14(1n −1n+1)， ∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =14[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =14(1−1n+1)=n4n+4．解析：(1)根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；(2)利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题． 18.答案：证明：(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO.则O 为正方形ABCD 的中心，∴PO ⊥平面ABCD.∵BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.又AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，AC ∩PO =O ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)因为BO =12BD =12×4√2=2√2，由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，∴PO =√PD 2−DO 2=2√2，因为E 为PA 的中点， 故V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO =12×13×12×4×4×2√2=8√23．解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO ，则PO ⊥平面ABCD ，于是PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，故而BD ⊥平面PAC ，于是平面EBD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，求得PO 的长，故由V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO 可得答案． 19.答案：解：(1)2015年至2019年的ω分别记为：ω1=2，ω2=2，ω3=3，ω4=4，ω5=4，抽取两年的基本事件有：(ω1,ω2)，(ω1,ω3)，(ω1,ω4)，(ω1,ω5)，(ω2,ω3)，(ω2,ω4)，(ω2,ω5)，(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共10种，其中两年都是ω>2的基本事件有：(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共3种，故所求概率为P =310．(2)∵x =6，y =9，5xy =270，则b ∧=x i 5i=1y i −5xy∑x 2−5x 25=286−270190−180=1.6，a ̂=y −b̂x =9−1.6×6=−0.6， 所以回归直线方程为ŷ=1.6x −0.6，将x =10代入上述方程得y ̂=15.4， 即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元．解析：本题考查古典概型概率公式及利用最小二乘法求回归直线方程及回归分析，属于基础题目．(1)列出基本事件利用古典概型概率计算公式求出即可；(2)利用最小二乘法求出回归直线方程即可得出．20.答案：解：(1)由题设知c =1，因为△B 1F 1F 2为等边三角形，则a =2c =2，又a 2=b 2+c 2，所以b =√3，则E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x+1+ax(x>0)，令g(x)=x2+x+a，∵−2<a<0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x +alnx ，根据m 2≥2m −1≥1，问题转化为g(x)=−x +alnx 在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a 的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C 2：ρ=4cosθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ，可得ρ2=4ρcosθ，可得x 2+y 2−4x =0．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα代入C 2的直角坐标方程， 得(1+tcosα)2+(tsinα)2−4(1+tcosα)=0，即有t 2−2tcosα−3=0，所以t 1+t 2=2cosα，t 1⋅t 2=−3．则1|AM|+1|AN|=|AM|+|AN||AM|⋅|AN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1|+|t 2|3=|t 1−t 2|3=√(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 23=√4cos 2α+123=2√cos 2α+33∈[2√33,43]．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.答案：解：(1)①当x ≤0时，得−x +(1−2x )<3解得x >−23，所以−23<x ≤0;②当0<x <12时，得x +(1−2x )<3解得，x >−2，所以0<x <12；③当x ≥12时，得x −(1−2x )<3，解得x <43，所以12≤x <43．综上，不等式的解集为(−23,43)．(2)f (x )={ −3x +1,x ≤0−x +1,0<x <123x −1,x ≥12, 若关于x 的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，则msinα=12有解，又，m =12sinα，所以m ∈[12,+∞)．解析：本题考查绝对值不等式和函数的零点与方程的根．(1)对x 分类讨论，去绝对值解出不等式的解集即可；(2)根据函数f (x )与y =msinα恰有一根，可得msinα=12有解，即m =12sinα，，求出m 的范围．。
2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题1．设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣6＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．设（1+i）•z＝1﹣i，则复数z的模等于（）A．B．2C．1D．3．已知α是第二象限的角，，则sin2α＝（）A．B．C．D．4．设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差6．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A．B．16πC．D．7．设等比数列{a n}，则“a1+a3＜2a2”是“a1＜0”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．设x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．29．设函数，则y＝f（x），x∈[﹣π，π]的大致图象大致是的（）A．B．C．D．10．对任意x∈R，不等式e x﹣kx≥0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[0，e）B．（0，e]C．[0，e]D．（﹣∞，e] 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，，，则sin C＝（）A．B．C．D．12．如图示，三棱椎P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，且PA＝PB ＝AB＝，PC＝，则点C到面PAB的距离等于（）A．B．C．D．二、填空题13．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为．14．已知，，则与夹角的余弦值为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．16．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，A为椭圆Γ的上顶点，延长AF2交椭圆Γ于点B，若△ABF1为等腰三角形，则椭圆Γ的离心率为．三、解答题17．设数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，a1＝1．若a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．如图所示，在四棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅲ）若F为BD的中点，求四面体CDEF的体积．20．已知椭圆（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线y＝x﹣1与椭圆交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若直线AB、OC的斜率都存在，求证：k AB•k OC为定值．21．设函数f（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）a＝0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，直线l的多数方程为，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求t的普通方程及C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点P到l距离的取值范围．23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）∀m∈（0，1），∃x0∈R，，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣6＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．设（1+i）•z＝1﹣i，则复数z的模等于（）A．B．2C．1D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+i）•z＝1﹣i，得z＝，∴|z|＝1．故选：C．3．已知α是第二象限的角，，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合诱导公式可求tanα，然后结合则sin2α＝2sinαcosα＝＝，代入可求．解：因为α是第二象限的角，，所以tan，则sin2α＝2sinαcosα＝＝＝﹣．故选：D．4．设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log30.5＜log31＝0，∴a＜0，∵log0.21＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴0＜b＜1，∵20.3＞20＝1，∴c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差【分析】在A中，1月至8月空气合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个；在B中，分别求出第一季度合格天数的比重和第二季度合格天气的比重，能求出结果；在C中，8月空气质量合格的天气达到30天；在D中，5月空气质量合格天气只有13天．解：在A中，1月至8月空气合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故A正确；在B中，第一季度合格天数的比重为：，第二季度合格天气的比重为：≈0.6263，∴第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，故B正确；在C中，8月空气质量合格的天气达到30天，是空气质量最好的一个月，故C正确；在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，故D错误．故选：D．6．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A．B．16πC．D．【分析】由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R，进而求出圆柱的体积，即可求出结论．解：设该圆柱的底面半径为R则圆柱的高为2R则圆柱的表面积S＝S底+S侧＝2×πR2+2•π•R•2R＝24π，解得R2＝4；即R＝2．∴圆柱的体积为：V＝πR2×2R＝16π，∴该圆柱的内切球体积为：×16π＝π．故选：D．7．设等比数列{a n}，则“a1+a3＜2a2”是“a1＜0”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据条件等比数列{a n}，则“a1+a3＜2a2”等价于a1（q﹣1）2＜0，即a1＜0且q≠1；故“a1+a3＜2a2”推出“a1＜0”，反之，不成立；再根据充分必要条件的定义进行判断即可．解：等比数列{a n}，则“a1+a3＜2a2”等价于a1（q﹣1）2＜0，即a1＜0且q≠1；故“a1+a3＜2a2”⇒“a1＜0”，“a1＜0”推不出“a1+a3＜2a2”；所以“a1+a3＜2a2”是“a1＜0”的充分不必要条件；故选：A．8．设x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝x+y 的最小值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点B时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（2，0），代入目标函数z＝x+y得z＝2+0＝2．即目标函数z＝x+y的最小值为2．故选：D．9．设函数，则y＝f（x），x∈[﹣π，π]的大致图象大致是的（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A；又f（π）＝0，故排除C；，故排除D．故选：B．10．对任意x∈R，不等式e x﹣kx≥0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[0，e）B．（0，e]C．[0，e]D．（﹣∞，e]【分析】由题意可得0≤（e x﹣kx）min，构造函数f（x）＝e x﹣kx，求得导数，讨论k的符号，求得单调性和最值，解k的不等式，可得所求范围．解：任意x∈R，不等式e x﹣kx≥0恒成立，可得0≤（e x﹣kx）min，设f（x）＝e x﹣kx，f′（x）＝e x﹣k，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）为R上的增函数，无最小值；当k＞0时，由x＞lnk，f′（x）＞0，f（x）递增；由0＜x＜lnk，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnk处取得最小值f（lnk）＝k﹣klnk，则k﹣klnk≥0，即lnk≤1，解得0＜k≤e，即k的取值范围是（0，e]．故选：B．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，，，则sin C＝（）A．B．C．D．【分析】由已知，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求tan B＝，结合范围B∈（0，π），可求B，由余弦定理可得b的值，进而根据正弦定理可得sin C的值．解：∵b sin A＝a sin（﹣B），∴sin A sin（﹣B）＝sin A sin B，∵sin A≠0，∴sin（﹣B）＝sin B，整理可得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝，∵a＝1，，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+12﹣2×＝7，∴b＝，∴由正弦定理，可得sin C＝＝＝．故选：B．12．如图示，三棱椎P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，且PA＝PB ＝AB＝，PC＝，则点C到面PAB的距离等于（）A．B．C．D．【分析】可以把三棱椎P﹣ABC补成棱长为1的正方体，以A为原点建立空间直角坐标系，求得面ABP的法向量为，则点C到面PAB的距离等于d＝||．解：∵三棱椎P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，且PA＝PB＝AB ＝，PC＝，∴可以把三棱椎P﹣ABC补成棱长为1的正方体，如图所示．如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（1，0，1）．，，设面ABP的法向量为，⇒．则点C到面PAB的距离等于d＝||＝．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为90．【分析】先求出高二年级学生占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．解：高二年级学生占的比例为＝，故从高二年级抽取的人数为270×＝90人，故答案为：90．14．已知，，则与夹角的余弦值为．【分析】根据平面向量的数量积运算求出夹角的余弦值．解：设与+的夹角为θ，由，，则•（）＝+•＝（1+4）+（﹣1+2）＝6，||＝＝，|+|＝＝3，所以cosθ＝＝＝．故答案为：．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【分析】先求得当x＜0时，f（x）的解析式，由不等式f（x）＞x，可得，或，由此求得x的范围．解：设x＜0，则﹣x＞0，由题意可得f（﹣x）＝﹣f（x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，∴f（x）＝﹣x2﹣2x，故当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．由不等式f（x）＞x，可得，或，求得x＞3，或﹣3＜x＜0，故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．16．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，A为椭圆Γ的上顶点，延长AF2交椭圆Γ于点B，若△ABF1为等腰三角形，则椭圆Γ的离心率为．【分析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设BF2，AF1＝AF2＝a，由题意的定义可得BF1，由国家等腰三角形可得BF2的值用a的表达式，在三角形ABF1中，三角形BF1F2中由余弦定理可得∠ABF1的值相等可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．解：由题意△ABF1为等腰三角形，可得AF1＝AF2＝a，AB＝BF1，设BF2＝x则BF1＝2a﹣x，AF2＝a+x，所以2a﹣x＝a+x，解得x＝，所以BF1＝AB＝，在三角形ABF1中，cos∠ABF1＝＝＝，在三角形BF1F2中cos∠F1BF2＝＝＝，所以可得：＝，＝，即离心率e＝＝；故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．设数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，a1＝1．若a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差不为零d（d≠0，由，求得d，a1即可（Ⅱ）b n＝＝＝．累加即可．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差不为零d（d≠0），∵a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列．∴，∴，∴a n＝2n﹣1，（Ⅱ∵b n＝＝＝．则数列{b n}的前n项和T n＝＝18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：（2）根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：p＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为：（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35，∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m3．19．如图所示，在四棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅲ）若F为BD的中点，求四面体CDEF的体积．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BD⊥BC，BC⊥平面ABD，由此能求出AD⊥BC．（Ⅱ）由BE⊥AD，AC＝DC，CE⊥AD，AD⊥平面BCE，由此能证明平面ACD⊥平面BCE．（Ⅲ）推导出EF＝＝1，DF＝＝1，DE＝＝，S△DEF＝＝．由此能求出四面体CDEF的体积．解：（Ⅰ）证明：∵∠CBA＝∠CBD＝，∴AB⊥BC，BD⊥BC，∵AB∩BD＝B，∴BC⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）证明：∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．∴BE⊥AD，AC＝DC，∴CE⊥AD，∵BE∩CE＝E，∴AD⊥平面BCE，∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCE．（Ⅲ）解：∵F为BD的中点，在四棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．∴EF＝＝1，DF＝＝1，DE＝＝，∴S△DEF＝＝．∴四面体CDEF的体积：V C﹣DEF＝＝＝．20．已知椭圆（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线y＝x﹣1与椭圆交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若直线AB、OC的斜率都存在，求证：k AB•k OC为定值．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程求出M，N的坐标，进而求出弦长；（Ⅱ）设A，B的坐标，由，可得C的坐标，进而求出AB，OC的斜率，由A，B在椭圆上，满足椭圆的方程，进而可得AB，OC的斜率之积为定值．解：（Ⅰ）由题意可得b＝1，＝，a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：5x2﹣8x＝0，解得x＝0，或x＝，x＝0时，y＝﹣1，x＝时y＝，即M（0，﹣1），N（，），所以|MN|＝＝＝；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由++＝，可得C（﹣x1﹣x2，﹣y1﹣y2），因为直线AB、OC的斜率都存在，所以k AB＝，k OC＝＝，所以k AB•k OC＝，因为A，B在椭圆上，所以，所以+y12﹣y22＝0，即＝﹣，所以可证：k AB•k OC为定值﹣．21．设函数f（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）a＝0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【分析】（I）把a＝0代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（II）结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求．解：（I）当a＝0时，f（x）＝e x﹣x﹣1，f′（x）＝e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝0时，函数取得最小值f（0）＝0，（II）f′（x）＝e x﹣2ax﹣1，令g（x）＝e x﹣2ax﹣1，x≥0，则g′（x）＝e x﹣2a，（i）当a时，g′（x）＞0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0，满足题意；（ii）当a＞时，由g′（x）＝0可得x＝ln（2a），当x∈（0，ln2a）时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（x）＜f（0）＝0不合题意，综上可得，a的范围（﹣]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，直线l的多数方程为，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求t的普通方程及C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点P到l距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数t可得l的普通方程为．曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，可得C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3＝0．（2）C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，圆心为C（2，0），半径为1，所以，圆心C到l的距离为，所以，点P到l的距离的取值范围是．23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）∀m∈（0，1），∃x0∈R，，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a+1|，然后用基本不等式求出的最小值，再根据条件得到关于a的不等式，解不等式得到a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＝，∵f（x）＞4，∴或或，∴x＞2或x＜﹣2故不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣2）⋃（2，+∞）．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣1|+|x+a|≥|（x+a）﹣（x﹣1）|＝|a+1|．∀m∈（0，1），＝（当时等号成立）依题意，∀m∈（0，1），∃x0∈R，有，则|a+1|＜9，∴﹣10＜a＜8，故实数a的取值范围是（﹣10，8）．。
