射影定理 直角三角形射影定1

射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠
BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如
下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。

等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
直角三角形射影定理
所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。

等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
(5)(AB)^2/(BC)^2=
AD/CD
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)
：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。

其余同理可得可证
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：
AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：
AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .
即勾股定理。

注： AB^2的意思是AB的2次方
二，已知:三角形中角A=90度,AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,
∴
2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BC+BD)(BC-B
D)-CD^2=(BC+BD)CD-CD^2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

编辑本段
证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。

所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。