信号第二章课件

第2章 连续时间系统的时域分析
初始条件为{y(0+), y′(0+), …, yn-1(0+)}。
由上式可得系统的特征方程为 αn+a1αn-1+...+a n-1α+an=0 (α-α1)(α-α2)...(α-αn)=0 (2.1-1)
由特征方程可求得特征根。
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假设特征根均为单根α1、α2、...、αn， 由其得到
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表2-1 典型激励对应的特解
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2.2 LTI系统的算子符号表示与传输算子
2.2.1 用算子符号表示微分方程 n阶LTI系统的数学模型是n阶常系数线性微分方程。 式(1.6-6)给出n阶线性微分方程的一般形式书写起来不 方便， 为了形式上简洁， 可以将微、 积分方程中的微、 积分运算用算子符号p与1/p表示， 由此得到的方程称
为算子方程。
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微分算子
d d p , px x dt dt dn n dn pn n , p x n x dt dt
积分算子
t 1 () d , p t 1 x xd p
(2.2-1)
(2.2-2)
(2.2-3)
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这样， 例2.1-1电路的微分方程可以表示为
p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t) 式(1.6-6)的n阶线性微分方程可以用算子表示为 a0pny(t)+a1pn-1y(t)+...+an-1 py(t)+any(t) =b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+...+bm-1 pf(t)+bmf(t)
d 1 t Ri (t ) L i (t ) i ( ) e(t ) dt C
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上式是一个微、 积分方程， 对方程两边求导， 并
代入系数， 整理为
d2 d d i (t ) 5 i (t ) 6i (t ) e(t ) 2 dt dt dt
dx dy dt dt
， 解出x=y+C而不是x=y， 两者相差一个
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(3) p、 1/p位置不能互换。
因为
所以
1 1 p x px p p 1 d t px x ( ) x (t ) p dt 1 px x p
(2.2-10)
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利用克莱姆法则， 解出
3p 1 p i2 (t ) 3p 1 p
f (t ) 0 pf (t ) 1 pf (t ) 2 p ( 2 p 10 p 3) 2 p 2 5 p 3 / 2 p3
由式(2.2-6)与(2.2-7)， 可写成
i t
i 1
n
(2.1-3)
由n个初始条件{y(0+), y′(0+), ..., yn-1(0+)}确定n个Ci 系数。
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这种由通解与特解求解系统响应的方法称为经典
法， 注意到“高等数学”给出的初始条件一般是全响 应(第一类)标准初始条件{y(0+), y′(0+), ..., yn-1(0+)}。 用 经典法求解线性微分方程是高等数学的内容， 本书不 再详述。
而
t 1 d px x( )d x ( ) x ( ) x (t ) p d
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因此
1 px x p
(2.2-11)
式(2.2-10)、 (2.2-11)分别说明， 形式上先“除”后 “乘”即先积分后微分的运算次序， 算子可消去； 形式
若再令
D(p)=a0pn+a1pn-1+...+an-1p+ao N(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm (2.2-6b) (2.2-6a)
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则称D(p)、 N(p)为算子多项式， 式(2.2-5)可进一
步简写为 D(p)y(t)=N(p)f(t) (2.2-7)
式(2.2-7)是n阶线性微分方程的算子方程。 在这里， 我们利用了提取公因子的代数运算规则。 式(2.2-7)还 可以进一步改写为
N ( p) y (t ) f (t ) D( p)
(2.2-8)
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式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系， 分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系， 而不是两 个多项式相除的简单代数关系。 算子表示的是微、 积 分运算， 因此代数运算规则不能简单照套， 下面具体 讨论算子的运算规则。
(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t) 微分方程为
d2 d d y (t ) 5 y (t ) 1.5 y (t ) 0.5 f (t ) 2 dt dt dt
1 t 1 C (t ) iC ( ) iC (t ) C Cp
(2.2-13)
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式中, 1/Cp 是电容算子符号， 可以理解为广义的 电容容抗值， 式(2.2-13)也可以理解为广义欧姆定律。
将动态元件用算子符号表示， 可以得到算子电路。
下面举例说明由算子电路列写系统的微分方程的方法。
上先“乘”后“除”即先微分后积分的运算次序， 算子
不可消去。
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2.2.2 用算子电路建立系统数学模型 利用算子电路建立系统数学模型比较方便， 这种 方法简称算子法。 它是先将电路中所有动态元件用算 子符号表示， 得到算子电路； 再利用广义的电路定律， 建立系统的算子方程； 最后将算子方程转换为微分方
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2.1.2 系统微分方程求解——经典法
一般n阶LTI系统的微分方程为
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) n dt dt dt dm d m 1 d b0 m f (t ) b1 m 1 f (t ) bm 1 f (t ) bm f (t ) dt dt dt
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这样例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)还可以
表示为 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t)
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(2) 算子方程左、 右两端的算子符号p不能随便消去。
由 任意常数C， 所以不能由px=py得到x=y， 即px=py， 但 x≠y。 这一结论可推广到一般的算子方程： D(p)x=D(p)y， 但x≠y
程。 电感的算子表示可由其电压电流关系得到， 因为
d L (t ) L iL (t ) LpiL (t ) dt
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(2.2-12)
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式中, Lp是电感算子符号， 可以理解为广义的电感 感抗值， 式(2.2-12)可以理解为广义欧姆定律。 同理， 由电容上的电压电流关系得到
(2.2-4)
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式(2.2-4)是算子方程。 算子方程中的每一项表示
的是运算关系， 而不是代数运算。 模仿代数运算， 还 可以将上式简化为 (a0pn+a1pn-1+...+an-1p+an)y(t) = (b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm)f(t) (2.2-5)
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(1) 可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。
(p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x 证 (2.2-9)
d d d dx ( p a )( p b) x a b x a bx dt dt dt dt d dx dx bx a bx dt dt dt d 2x dx dx 2 b a abx dt dt dt [ p 2 ( a b) p ab] x
这是二阶系统的数学模型——二阶线性微分方程。
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一般有n个独立的动态元件组成的系统就是n阶系
统(或n个一次线性微分方程组)。 一般电路系统的阶数等于独立的uC(t)与iL(t)的个数 之和， 其中独立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含电源)表示； 独立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含电源)表示。
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第2章 连续时间系统的时域分析
2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 2.2 LTI系统的算子符号表示与传输算子
2.3 LTI因果系统的零输入响应
2.4 LTI因果系统的零状态响应
2.5 卷积及其性质
2.6 LTI因果系统的全响应及其分解
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2.1 LTI系统的数学模型与传输算子
2.1.1 建立LTI系统的数学模型 有两类建立系统模型的方法， 一是输入输出描述 法， 二是状态变量描述法。 本章只讨论输入输出描述 法。 用这种描述法， 连续时间LTI系统的数学模型是 常系数线性微分方程； 离散时间LTI系统的数学模型
是常系数线性差分方程（将在第五章讨论）。 由具体
结果与例2.1-1相同。
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