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14：已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a+b= 32-15：在直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点O,A,B ，三角形OAB 的垂心是2C 的焦点，则1C 的离心率32三、解答题：本答题共6小题，共75分。
16：（12分）已知函数2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边为a,b,c,已知()0,12Af a ==，求三角形ABC 面积的最大值。
17：(12分)在三棱台DEF-ABC 中AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点，（1） 求证：//BD FGH 面(2)若CF B ⊥⊥∠︒面ABC,AB BC,CF=DE,AC=45,求平面FGH 与平面ACFD 所成的锐角的大小18：（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足233n n S =+（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log na n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和为n T19：（12分）若n 是一个三位正整数，且个位数大于十位数，十位数大于百位数，则称n 为“三位递增数”（例“137,359，567，”等）在某次趣味数学活动中，每位参赛者需从所有的“三位递增数中随机抽取一个数且只有一次，，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，则得零分；若能被5整除，且不能被10整除则得-1分；若能被10整除，则得1分； （1）写出所有个位数字为5的”三位递增数”；（2）若甲参加活动，求出甲得分X 的分布列及数学期望X E20：(13分) 在直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 分别为左右焦点，以1F 为圆心，以3为半径的圆与以以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（ⅰ）求椭圆C 的标准方程：（ⅱ）设椭圆2222E :1,44x y P a b+=为椭圆C 上的任意一点，过P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于Q, 求OQ OP的值；（2）求三角形ABQ 面积的最大值。
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
绝密★启封并使用完成前试题种类： A 2015 年一般高等学校招生全国一致考试( 全国卷 1)理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
2.答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试题相应的地点。
3.所有答案在答题卡上达成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1+z（1）设复数z 知足=i ，则 |z|=（A）1（B）2（C）3（D）2（2） sin20 ° cos10 ° -con160 ° sin10 ° =（ A）3（ B）3（ C）2 2（3）设命题 P： n N，n2 > 2n，则P 为1（D）1 2 2（ A）n N, n2>2n （ B） n N, n2≤2n（ C）n N, n2≤2n （D） n N, n2 = 2n（4）投篮测试中，每人投 3 次，起码投中 2 次才能经过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6 ，且各次投篮能否投中互相独立，则该同学经过测试的概率为（ A） 0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（ 5 ）已知M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C : x2 y2 1上的一点， F1,F2是C上的两个焦点，若2uuuur uuuurMF1 gMF2 0 ，则y0的取值范围是（ A）（- 3 ， 3 ）（ B）（- 3 ， 3 ）3 3 6 6（ C）（2 2，2 2）（ D）（ 2 3，2 3）3 3 3 3（ 6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有以下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问 : 积及为米几何 ?”其意思为 : “在屋内墙角处堆放米 ( 如图，米堆为一个圆锥的四分之一 ) ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估量出堆放斛的米约有A.14 斛B.22斛C.36斛D.66斛uuur uuur（7）设 D为V ABC所在平面内一点BC 3CD ，则uuur 1 uuur 4 uuur （A）AD AB AC3 3uuur 4 uuur 1 uuur （C）AD AB AC3 3(B)uuur 1 uuur 4 uuurAD AB AC3 3(D)uuur 4 uuur 1 uuurAD AB AC3 3（8）函数f (x) cos( x ) 的部分图像以下图，则 f ( x) 的单一递减区间为(A) ( k 1, k3), k Z (B) (2 k1,2 k3), k Z 4 4 4 4(C)1 3Z (D) (2 k1 3(k , k ), k ,2 k ), k Z4 4 4 4（9）履行右边的程序框图，假如输入的t=0.01 ，则输出的n=（A） 5（B）6（C）7（D）8（10 ） ( x2 x y)5的睁开式中， x5 y2的系数为（A） 10 （B） 20 （ C）30 （D） 60（11 ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球( 半径为r ) 构成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图以下图。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合 2{ x |x4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i，其中i 是虚数单位，则z （）（A）1 i （B）1 i （C） 1 i （D） 1 i（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）3 3 3 32 2 2 2a （B） a （C） a （D） a（A）2 4 4 2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5|2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x,y 满足约束条件x y 2 若z ax y 的最大值为4，则 a （）y 0（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23 （B）43（C）53（D）2（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2N (0,3 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53 或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34（10）【2015 年山东，理10】设函数f ( x)3x1,x1,x2 ,x 1.则满足f (a)f ( f (a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1]（C）2[ , )3（D）[1, )第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：100C4;1011C C4;330122C C C4;55501233 C C C C4;7777照此规律，当n N*时，012n1C C C C．2n12n12n12n1（12）【2015年山东，理12】若“x[0,],tan x m”是真命题，则实数m的最小值为．4（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．22x y（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:221(a0,b0)a b2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．的渐近线与抛物线（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,CF DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．2na的前n项和为S n，已知2S33．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n n（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b}满足a n b n log3a n，求数列{b n}的前n项和T n．n（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．3（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；22x y，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，（Ⅱ）设椭圆E:1224a4b射线PO交椭圆E于点Q．（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．4（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；2f(x)ln(x1)a(x x)，其中a R．（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．52015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合{ x |x2 4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4【答案】 C【解析】 2A { x | x 4x 3 0} { x |1 x 3} ，AB (2,3) ，故选C．z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i（）1 i 1 i 1 i 1i A B C D（）（）（）【答案】 A，其中i 是虚数单位，则z （）【解析】 2z (1 i)i i i 1 i ，z 1 i ，故选 A ．（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3【答案】 B【解析】y sin4( x ) ，只需将函数y sin4x的图像向右平移12 12个单位，故选B．（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）（A）322a （B）342a （C）342a （D）322a【答案】 D【解析】由菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 可知BAD 180 60 120 ，2 23 2BD CD ( AD AB) ( A B) AB AD AB a a cos120 a a ，故选D．2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5| 2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)【答案】 A【解析】当x 1时，1 x (5 x) 4 2成立；当 1 x 5 时，x 1 (5 x) 2x 6 2，解得x 4 ，则1 x 4 ；当x 5 时，x 1 ( x 5) 42 不成立．综上x 4 ，故选A．x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x, y满足约束条件若z ax y 的最大值为4，则a （）x y 2y 0（A）3（B）2 （C）-2（D）-3【答案】 B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即a 1 时在x y 0时有最大值0，不符合题意；当0 a 1 ，即 1 a 0时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0 ；当 1 a 0 ，即0 a 1 时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3，不满足0 a 1；当 a 1，即a 1时在x 2,y 0 时有最大值2a 4,a 2 ，满足a 1，故选B．（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）6（A）23 （B）43（C）53（D）2【答案】 C【解析】 2 1 2 5V 1 2 1 1 ，故选C．3 3（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0,32 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】 D【解析】1P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59%，故选D．2（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34【答案】 D【解析】( 2, 3)关于y 轴对称点的坐标为(2, 3) ，设反射光线所在直线为y 3 k(x 2),即kx y 2k 3 0，则| 3k 2 2k 3 |2d 1,| 5k 5| k 12k 1，解得4k 或334，故选D．（10）【2015 年山东，理10】设函数 f (x) 3x 1,x 1,x2 , x 1.则满足 f ( a )f ( f ( a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1] （C）2[ , )3（D）[1, )【答案】 C【解析】由 f ( a )f f a 可知 f (a) 1 ，则( ( )) 2 a 1a2 1或a 13a 1 1，解得 2a ，故选C．3第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：0 0C 4 ;10 1 1C C 4 ;3 30 1 2 2C C C 4 ;5 5 50 1 2 3 3C C C C 4 ;7 7 7 7 照此规律，当n N* 时，0 1 2 n 1C C C C ．2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1n 1 【答案】 4【解析】10 1 2 n 1 0 1 2 n 1C C C C (2C 2C 2C 2C )2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1210 2n 1 1 2n 2 2 2n 3 n 1 n[(C C ) (C C ) (C C ) (C C )] 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1 2 n 121 10 1 2 n 1 n 2n 1 2n 1 n 1(C C C C C C ) 2 42n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2（12）【2015 年山东，理12】若“x [0, ],tan x m”是真命题，则实数m 的最小值为．4【答案】 1【解析】“x [0, ],tan x m ”是真命题，则m tan 1，于是实数m 的最小值为1．4 4（13）【2015 年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．7【答案】1161 121111【解析】T1xdx x dx1．00236x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．【答案】32【解析】当a1时1a ba b1，无解；当a1时1abab1，解得1b2,a，则213a b2．22（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线22x yC aba b1:221(0,0)的渐近线与抛物线2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)【答案】32【解析】22x yC1:221(a0,b0)a b的渐近线为byxa，则222pb2pb2pb2pbA(,),B(,)22a a a ap2C2:x2py(p0)的焦点F(0,)，则2kAF22pbp2aa22apbb，即2b2a54，222cab22aa94，eca32．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2解：（Ⅰ）由111111f(x)sin2x[1cos(2x)]sin2x sin2x sin2x，2222222由2k2x2k,k Z得k x k,k Z，2244则f(x)的递增区间为[,],k k k Z；44由32k2x2k,k Z得223k x k,k Z，44则f(x)的递增区间为[,3],k k k Z．44（Ⅱ）在锐角ABC中，()sin10,sin1Af A A，222A，而a1，6由余弦定理可得221b c2bccos2bc3bc(23)bc，当且仅当b c时等号成立，6即1bc23，2311123S bc sin A bc s in bc故ABC面积的最大值为ABC22644234．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,C F DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T，8在三棱台DEF ABC 中，AB 2DE ，则AC 2DF ，而G 是AC 的中点，DF AC ，则DF / /GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T是DC 的中点，DG FC ．又在BDC ，是BC 的中点，则TH DB ，又BD 平面FGH ，TH 平面FGH ，故BD / / 平面FGH ．（Ⅱ）由CF 平面ABC ，可得DG 平面ABC 而，AB BC ，BAC 45 ，则GB AC ，于是GB, G A, G C 两两垂直，以点G 为坐标原点，GA,GB, GC 所在的直线，分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，设AB 2,则DE CF 1, AC 2 2, AG 2 ,2 2B(0, 2,0), C(2,0,0), F ( 2,0,1), H ( , ,0) ，2 2则平面ACFD 的一个法向量为n，设平面FGH 的法向量为1 (0,1,0)n2 (x2 , y2 , z2 ) ，则n GH2n GF2，即2 2x y2 22 22x z 02 2，取x2 1，则y2 1, z2 2 ，n2 (1,1, 2) ，1 1cos ,n n ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60 ．1 221 1 2n （18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12 分）设数列{a } 的前n 项和为S n ，已知2S 3 3．n n （Ⅰ）求数列{a } 的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b } 满足n a b log a ，求数列{b } 的前n 项和n n 3 n nT ．n1n解：（Ⅰ）由2S 3 3可得a1 S1 (3 3) 3，n21 1n n 1 n 1a S S (3 3) (3 3) 3 (n 2) ，n n n 12 2而3, n 11 1a1 3 3 ，则 1an n3 ,n 1．（Ⅱ）由3, n 1a b a 及 1log a，可得n n 3 n n n3 ,n 1bn1n 1log a 33 na n1nn 1n131 123 n 1T ，n 2 3 n 13 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n 2 n 1 T ，n 2 2 34 n 1 n3 3 3 3 3 3 32 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 T ( )n 2 2 3 n 1 n 2 2 3 n 1 n3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1n2 3 3 n 1 2 1 3 n 1 13 2n 1n n n n19 1 3 9 2 2 3 3 18 2 3313 2n 1Tn n112 4 3（19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得0 分；若能被 5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；9（Ⅱ）X 的所有取值为-1，0，1．甲得分X 的分布列为：3 2 1 1 2C 2 C 1 C C C 118 4 4 4 4P( X 0) , P( X 1) ,P(X 1)3 3 3C 3 C 14 C 429 9 9X 0 -1 1P 2311411422 1 11 4 EX 0 ( 1) 1 ．3 14 42 21（20）【2015 年山东，理20】（本小题满分13 分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2 2x yC : 1(a b 0)2 2a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2 ,以F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以F2 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设椭圆 E2 2x y: 12 24a 4b，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m 交椭圆 E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点Q ．（i）求| OQ|| OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆22xyC :1(ab0)22ab的离心率为32可知 eca右焦点分别是F1 ( 3b ,0), F2 ( 3b ,0) ,圆F1：(x 3b)2 y2 9,圆F2 ：22(x 3b) y 1,由两圆相交可得 2 2 3b 4 ，即1 3b2，交点2 22 ( , 1( ) )3b 3b在椭圆C 上，则21 ( 3b)4 3b2 2 23b 4b b21，整理得 4 24b 5b 10，解得2 1b ，2 1b （舍去），4故 2 1b ，2 4a ，椭圆 C 的方程为2x42 1y ．（Ⅱ）（i）椭圆E的方程为2 2x y16 41，设点P(x0,y0 ) ，满足2x42y0 1，射线yPO : y x( x0)x代入2 2x y16 41可得点Q( 2x0,2y0 ) ，于是22( 2x )( 2y )| OQ || OP | x y2 20 02．（ii ）点Q( 2x , 2y ) 到直线AB距离等于原点O 到直线AB距离的 3 倍：0 0d | 2kx 2 y m | | m |0 032 21 k 1 ky kx m，x2 y2 ，得116 42 4( )216x kxm ，整理得 2 2 2(1 4k )x8kmx 4m16 0 ．2 2 2 2 2 264k m 16(4 k 1)(m 4) 16(16k 4 m ) 0 ，21 k22 | AB | 16(16k 4 m )21 4k221 1 | m | |m|16k4 m2 2S | AB | d 3 4 16k 4 m 6222 2 1 4k 14k2 2 2m 16k 4 m61222(4k 1)，当且仅当 2 2 2 2|m| 16k 4 m ,m8k 2等号成立．而直线y kx m 与椭圆2xC y 有交点P，则: 124y kx m2 4 2 4x y有解，10即24()24,(142)284240 x kx m k x kmx m有解，其判别式222222164k m16(14k)(m1)16(14k m)0，即22 14k m，则上述2822m k不成立，等号不成立，设 t|m|214k(0,1]，则22|m|16k4mS66(4t)t214k在(0,1]为增函数，于是当2214k m时S max6(41)163，故ABQ面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中a R．（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x1，设2g(x)2ax ax1a，当a0时，()1,()10g x f xx1，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．当a0时，a28a(1a)9a28a，若08a时0，g(x)0,f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．9若8a时0，设g(x)0的两个不相等的实数根x1,x2，且x1x2，91x x，而g(1)10，则且12211x x，所以当x(1,x1),g(x)0,f(x)0,f(x)单调124递增；当x(x,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增．12因此此时函数f(x)有两个极值点；当a0时0，但g(1)10，x11x2，所以当x(1,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调2递増；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当08a时f(x)的无极值点；当a0时f(x)有一个极值点；当98a时，f(x)的有两个9极值点．8（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a时f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当81a时，g(0)0,x20，f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x)时，f(x)0，不符合题意；2当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时()110xh xx11x h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．另解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x111当a0时，1f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．x1设222g(x)2ax ax1a,g(1)1,a8a(1a)9a8a，当a0时，根据二次函数的图像和性质可知g(x)0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数．若a(9a8)0，即08a时，g(x)0，f(x)0函数在(1,)为增函数，无极值点．9若a(9a8)0，即8a或a0，而当a0时g(1)09此时方程g(x)0在(1,)只有一个实数根，此时函数f(x)只有一个极值点；当8a时方程g(x)0在(1,)都有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点；9综上可知当8a时f(x)的极值点个数为0；当a0时f(x)的极值点个数为1；当98a时，9f(x)的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，x0，都有f(x)0成立，即2ln(x1)a(x x)0当x1时，ln20恒成立；ln(x1)20当x1时，x x，a2x xln(x1)20当0x1时，x x，2x x 0；a0；由x0均有ln(x1)x成立．故当x1时，，l n(x1)12x x x1(0,)，则只需a0；当0x1时，l n(x1)12x x x1(,1)，则需1a0，即a1．综上可知对于x0，都有f(x)0成立，只需0a1即可，故所求a的取值范围是0a1．另解：（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，f(0)0，要使x0，都有f(x)0成立，只需函数函数f(x)在(0,)上单调递增即可，于是只需x0，1f(x)a(2x1)0x1成立，当1x时2a1(x1)(2x1)，令2x1t0，2g(t)(,0)t(t3)，则a0；当1x时212f()0；当231x，2a1(x1)(2x1)，令2x1t(1,0)，g(t)2t(t3)关于t(1,0)单调递增，则2g(t)g(1)1，则a1，于是0a1．1(13)又当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x2)时，f(x)0，不符合题意；当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时1xh(x)10x11x，h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可12确定所求．13。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案 A 卷选择题答案 一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题（13）1 （14） 22325()24x y ±+= （15）3 （16）二、 解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去， 所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+（18）解：（I ）连结BD ，设BD AC=G ，连结EG ，FG ，EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可得由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC.又AE ⊥EC ，所以且EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中，可得DF=2.在Rt ∆FDG 中，可得在直角梯形BDFE 中，由BD=2，DF=，可得.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以又,.AC FG G EG AFC =⊥ 可得平面因为E G A E ⊂平面 所以平面AEC AFC ⊥平面（I ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I）可得(0(10(10(02A E F C -，，所以(1AE CF ==-故cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==⋅所以直线AE 与直线CF所成直角的余弦值为3.（19）解（I ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015年高考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•原题）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•原题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A ．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•原题）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A ．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•原题）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•原题）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．6．（5分）（2015•原题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•原题）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A ．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•原题）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•原题）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•原题）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•原题）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•原题）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）（2015•原题）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•原题）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•原题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•原题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•原题）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•原题）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•原题）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•原题）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年高考数学试卷（理科）答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（原题卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线的简单性质．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．分析：解解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，答：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．点评：10．（6分）函数的值．考点：计算题；函数的性质及应用．专题：分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，析：当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．点评：11．（6分）两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．考点：专三角函数的求值．题：分由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等析：式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．评：15．（6分）空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；空间向量及应用．题：分由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由析：已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，答：∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．评：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）余弦定理．考点：解三角形．专题：分（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利析：用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，答：又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1. 1.设集合M { x | x2x} ，N{ x | lg x0}，则 M N（）A ．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]【答案】 A试题分析：x x 2x0,1，x lg x 0x 0x 1 ，所以0,1，故选．A考点： 1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】 B考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3. 如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ，据此函数6可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B．6C．8D．10【答案】 C试题分析：由图象知：y min 2 ，因为y min3k ，所以3 k2 ，解得：k5 ，所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A ．4B ．5C．6 D ．7【答案】 C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．4C．24D．34【答案】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34，故选 D．2考点： 1、三视图；2、空间几何体的表面积．【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径2222侧视图俯视图xAyFOB C一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ={x |x 2-2x ≥0}, Q ={x |1<x ≤2}, 则(C R P )I Q =( ) A.[0, 1) B.(0, 2] C.(1, 2) D.[1, 2]2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( )A.8cm 3B.12cm 3C.332cm 3D.340cm 33.已知{a n }是等差数列, 公差d 不为零, 前n 项和是S n , 若a 3, a 4, a 8 成等比数列, 则( )A. a 1d >0, dS 4>0B. a 1d <0, dS 4<0C. a 1d >0, dS 4<0D. a 1d <0, dS 4>04.命题“*)(*,N n f N n ∈∈∀ 且f (n )≤n ” 的否定形式是( )A.*)(*,N n f N n ∉∈∀且f (n )>nB.*)(*,N n f N n ∉∈∀或f (n )>nC.*)(*,00N n f N n ∉∈∃且f (n 0)>n 0D.*)(*,00N n f N n ∉∈∃或f (n 0)>n 05.如图, 设抛物线y 2=4x 的焦点为F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C , 其中 点A , B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.1||1||--AF BF B.1||1||22--AF BF C.1||1||++AF BF D.1||1||22++AF BF6.设A , B 是有限集, 定义d (A , B )=card(A Y B )-card(A I B ), 其中card(A )表示有限集A 中的元素个数,命题①：对任意有限集A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7.存在函数f (x )满足, 对任意x ∈R 都有( )A.f (sin 2x )=sin xB. f (sin 2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x +1|D.f (x 2+2x )=|x +1|8.如图, 已知△ABC , D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 折 成△CD A ', 所成二面角B CD A --'的平面角为α, 则( ) A.DB A '∠≤α B.DB A '∠≥α C.CB A '∠≤α D.CB A '∠≥α二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。
2015 年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共 12 小题，每小题 5分，共 60分1．（5 分）设集合 M={ x| x 2=x} ， N={ x| lgx ≤ 0} ，则 M ∪ N=（）A ．[ 0，1]B ．（0，1]C ．[ 0，1）D ．（﹣∞， 1]2．（5 分）某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．93B ．123C ．137D ．1673．（5 分）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin（x+φ）+k ．据此函数可知， 这段时间水深 （单位： m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10．（ 分）二项式（ x+1） n（ n ∈ N +）的展开式中 x 2 的系数为 15，则 n=（）4 5 A ．7B ．6C ．5D ．45．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+46．（5 分） “ sin α =cos 是α”“cos2 α =0的（”）1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5 分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤| || |B．||≤|| |﹣|||C．（）2=|| 2D．（）?（）=2﹣2 8．（5 分）根据如图框图，当输入x 为 2006 时，输出的 y=（）A．2B．4C．10D．289．（5 分）设 f（x） =lnx，0＜a＜b，若 p=f（），q=f（），r=（f（a）+f （b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞ q 10．（ 5 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12 万元B．16 万元C．17 万元D．18 万元11．（5 分）设复数 z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若 | z| ≤1，则 y≥x 的概率为（）2A．+B．+C．﹣D．﹣12．（ 5 分）对二次函数 f （x） =ax2+bx+c（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣ 1 是 f（ x）的零点B．1 是 f（ x）的极值点C．3 是 f（x）的极值D．点（ 2，8）在曲线 y=f（x）上二、填空题，共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（5 分）中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为．14．（ 5 分）若抛物线 y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1 的一个焦点，则 p=．15．（ 5 分）设曲线 y=e x在点（ 0，1）处的切线与曲线y= （x＞0）上点 P 的切线垂直，则 P 的坐标为．16．（ 5 分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题，共 5 小题，共 70 分17．（12 分）△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．向量=（ a，b）与 =（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 a=，b=2，求△ ABC的面积．318．（12 分）如图，在直角梯形 ABCD中，AD∥ BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E 是 AD 的中点， O 是 AC与 BE的交点，将 ABE沿 BE折起到 A1BE的位置，如图 2．（Ⅰ）证明： CD⊥平面 A1OC；（Ⅱ）若平面 A1 BE⊥平面 BCDE，求平面 A1BC与平面 A1CD夹角的余弦值．19．（ 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200 的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）40608020（1）求 T 的分布列与数学期望 ET；（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．420．（12 分）已知椭圆 E：+=1（ a＞ b＞ 0）的半焦距为 c，原点 O 到经过两点（ c，0），（ 0， b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆 E 的离心率；（Ⅱ）如图， AB 是圆 M：（x+2）2+（ y﹣1）2=的一条直径，若椭圆 E 经过 A、B 两点，求椭圆 E 的方程．21．（12 分）设 f n（x）是等比数列 1，x，x2，，x n的各项和，其中 x＞0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n（ x） =f n（x）﹣ 2 在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n），且 x n = + x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 g n（ x），比较 f n（x）和 g n（x）的大小，并加以证明．5四、选修题，请在22、 23、24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）如图， AB 切⊙ O 于点 B，直线 AO 交⊙ O 于 D，E 两点， BC⊥DE，垂足为 C．（Ⅰ）证明：∠ CBD=∠ DBA；（Ⅱ）若 AD=3DC， BC=，求⊙ O的直径．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．6六、选修 4-5：不等式选讲24．已知关于 x 的不等式 | x+a| ＜b 的解集为 { x| 2＜x＜4}（Ⅰ）求实数 a，b 的值；（Ⅱ）求+的最大值．72015 年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12 小题，每小题5分，共 60分1．（5 分）设集合 M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则 M ∪ N=（）A．[ 0，1]B．（0，1]C．[ 0，1）D．（﹣∞， 1]【考点】 1D：并集及其运算．【专题】 5J：集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由 M={ x| x2=x} ={ 0， 1} ，N={ x| lgx≤0} =（ 0， 1] ，得 M∪N={ 0，1} ∪（0，1] =[ 0，1] ．故选： A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5 分）某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．167【考点】 B5：收集数据的方法．【专题】 11：计算题； 5I：概率与统计．【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．8【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选： C．【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5 分）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位： m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【考点】 HK：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】 57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值．【解答】解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣ 1 时，函数取最小值 y min=﹣3+k=2，解得 k=5，∴y=3sin（ x+φ）+5，∴当当 sin（x+φ）取最大值 1 时，函数取最大值 y max=3+5=8，故选： C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．．（分）二项式（x+1）n（ n∈ N+）的展开式中 x2的系数为 15，则 n=（）4 59A．7B．6C．5D．4【考点】 DA：二项式定理．【专题】 5P：二项式定理．【分析】由题意可得==15，解关于 n 的方程可得．n+2【解答】解：∵二项式（ x+1）（ n∈ N ）的展开式中 x的系数为 15，∴ =15，即=15，解得 n=6，故选： B．【点评】本题考查二项式定理，属基础题．5．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【考点】 L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）× 2=3π+4，故选： D．【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．106．（5 分）“ sin α =cos是α”“cos2 α =0的（”）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】 5L：简易逻辑．22【分析】由 cos2α=cosα﹣sinα，即可判断出．22【解答】解：由 cos2α=cosα﹣sinα，∴“sin α=cos是α”“cos2α=0的”充分不必要条件．故选： A．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（5 分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤| || |B．||≤|| |﹣|||C．（）2=|| 2D．（）?（）=2﹣2【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．【解答】解：选项 A 恒成立，∵ || =| || || cos＜，＞| ，又 | cos＜，＞|≤ 1，∴ || ≤| ||| 恒成立；选项 B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|| ≥ ||| ﹣| ||；选项 C 恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=|| 2；选项 D 恒成立，由向量数量积的运算可得（）?（）=2﹣2．11故选： B．【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5 分）根据如图框图，当输入x 为 2006 时，输出的 y=（）A．2B．4C．10D．28【考点】 EF：程序框图．【专题】 27：图表型； 5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当 x=﹣ 2 时不满足条件 x≥0，计算并输出 y 的值为 10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件 x≥ 0， x=2002满足条件 x≥ 0， x=2000满足条件 x≥ 0， x=0满足条件 x≥ 0， x=﹣2不满足条件 x≥0，y=1012输出 y 的值为 10．故选： C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5 分）设 f（x） =lnx，0＜a＜b，若 p=f（），q=f（），r=（f（a）+f （b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞ q【考点】 71：不等关系与不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】由题意可得 p= （ lna+lnb ），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）= lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜ q，故选： B．【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（ 5 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12 万元B．16 万元C．17 万元D．18 万元13【考点】 7C：简单线性规划．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x， y 吨，利润为 z 元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由 z=3x+4y 得 y=﹣ x+ ，平移直线 y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+ 经过点 B 时，直线 y=﹣x+ 的截距最大，此时 z 最大，解方程组，解得，即 B 的坐标为 x=2， y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3 吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选： D．14【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5 分）设复数 z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若 | z| ≤1，则 y≥x 的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【考点】 CF：几何概型．【专题】 5I：概率与统计．【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．【解答】解：∵复数 z=（x﹣ 1） +yi（ x，y∈R）且 | z| ≤1，∴ | z| =≤1，即（x﹣1）2+y2≤ 1，∴点（ x，y）在（ 1， 0）为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y≥x 表示直线 y=x 左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P==故选： D．【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（ 5 分）对二次函数 f （x） =ax2+bx+c（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）15A．﹣ 1 是 f（ x）的零点B．1 是 f（ x）的极值点C．3 是 f（x）的极值D．点（ 2，8）在曲线 y=f（x）上【考点】 3V：二次函数的性质与图象．【专题】 2：创新题型； 51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D 中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．【解答】解：可采取排除法．若 A 错，则 B，C，D 正确．即有 f （x）=ax2+bx+c 的导数为 f ′（x）=2ax+b，即有 f ′（1）=0，即 2a+b=0，①又 f（1）=3，即 a+b+c=3②，又 f（ 2）=8，即 4a+2b+c=8，③由①②③解得， a=5， b=﹣10，c=8．符合 a 为非零整数．若 B 错，则 A，C，D 正确，则有 a﹣b+c=0，且 4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；若 C 错，则 A，B，D 正确，则有 a﹣b+c=0，且 2a+b=0，且 4a+2b+c=8，解得 a=﹣不为非零整数，不成立；若 D 错，则 A， B，C 正确，则有 a﹣b+c=0，且 2a+b=0，且=3，解得 a=﹣不为非零整数，不成立．故选： A．【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（5 分）中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为5．【考点】 83：等差数列的性质．【专题】 54：等差数列与等比数列．16【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得 a=5故答案为： 5【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（ 5 分）若抛物线 y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1 的一个焦点，则 p= 2．【考点】 K8：抛物线的性质．【专题】 11：计算题； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出 x2﹣y2=1 的左焦点，得到抛物线y2=2px 的准线，依据 p 的意义求出它的值．【解答】解：双曲线 x2﹣ y2=1的左焦点为（﹣，），故抛物线2的准线0y =2px为 x=﹣，∴ = ，∴ p=2 ，故答案为： 2 ．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px 中 p 的意义．15．（ 5 分）设曲线 y=e x在点（ 0，1）处的切线与曲线y= （x＞0）上点 P 的切线垂直，则 P 的坐标为（1，1）．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 52：导数的概念及应用．【分析】利用 y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．17【解答】解：∵ f'（x）=e x，∴f'（ 0） =e0=1．∵ y=e x在（ 0， 1）处的切线与y= （x＞0）上点 P 的切线垂直又 y'=﹣，设点 P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=± 1，∵ x＞ 0，∴ x0=1∴y0=1∴点 P（1，1）故答案为：（ 1， 1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（ 5 分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2．【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 2：创新题型； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（ 5，2），可得 a=，所以抛物线方程： y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：182×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为： 1.2．【点评】本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共 5 小题，共 70 分17．（12 分）△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．向量=（ a，b）与 =（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 a=，b=2，求△ ABC的面积．【考点】 9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；HR：余弦定理．【专题】 58：解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用 A，以及 a= ，b=2，通过余弦定理求出 c，然后求解△ ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量 =（a， b）与 =（cosA，sinB）平行，所以 asinB﹣=0，由正弦定理可知： sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为 sinB ≠0，所以 tanA=，可得A=；（Ⅱ） a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解19得 c=3，△ ABC的面积为：=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12 分）如图，在直角梯形 ABCD中，AD∥ BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E 是 AD 的中点， O 是 AC与 BE的交点，将 ABE沿 BE折起到 A1BE的位置，如图 2．（Ⅰ）证明： CD⊥平面 A1OC；（Ⅱ）若平面 A1 BE⊥平面 BCDE，求平面 A1BC与平面 A1CD夹角的余弦值．【考点】 LW：直线与平面垂直； MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5F：空间位置关系与距离； 5G：空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明： CD⊥平面 A1；OC（Ⅱ）若平面 A1⊥平面，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面1BE BCDE A BC 与平面 A1夹角的余弦值．CD【解答】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB=BC=1，AD=2，E 是 AD 的中点，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在图 2 中， BE⊥OA1，BE⊥OC，则 BE⊥平面 A1OC；∵ CD∥BE，∴ CD⊥平面 A1OC；（Ⅱ）若平面 A1 BE⊥平面 BCDE，由（Ⅰ）知 BE⊥OA1，BE⊥OC，20∴∠ A1OC为二面角 A1﹣BE﹣ C 的平面角，∴∠ A1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面 A1的法向量为（，，），平面1的法向量为（，，），BC= x y z A CD= a b c则得，令 x=1，则 y=1，z=1，即 =（1，1，1），由得，取 =（0，1，1），则 cos＜＞=== ，∴平面 A1 BC与平面 A1CD 夹角的余弦值为．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（ 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200 的样本进行统计，结果如下：T（分钟）2530354021频数（次）40608020（1）求 T 的分布列与数学期望 ET；（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．【考点】 C5：互斥事件的概率加法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 49：综合法； 5I：概率与统计．【分析】（1）由统计结果可得 T 的频率分布，以频率估计概率得T 的分布列，能求出 T 的分布列与数学期望ET．（II）设 T1， T2分别表示往、返所需时间， T1，T2的取值相互独立，且与 T 的分布列相同．设事件 A 表示“唐教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，事件 A 对应于“唐教授在途中的时间不超过 70 分钟”．由此能求出唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．【解答】解：（1）由统计结果可得T 的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而 ET=25×0.2+30× 0.3+35× 0.4+40× 0.1=32．（分钟）（4 分）（II）设 T1， T2分别表示往、返所需时间， T1，T2的取值相互独立，且与 T 的分布列相同．设事件A 表示“唐教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件 A 对应于“唐教授在途中的时间不超过 70 分钟”．P（A）=P（T1+T2≤70）=P（T1=25， T2≤45） +P（T1=30，T2≤40） +P（T1=35， T2≤35）+P（ T1=40，T2≤30）=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5× 0.1=0.91．（10 分）22【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）已知椭圆 E：+=1（ a＞ b＞ 0）的半焦距为 c，原点 O 到经过两点（ c，0），（ 0， b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆 E 的离心率；（Ⅱ）如图， AB 是圆 M：（x+2）2+（ y﹣1）2=的一条直径，若椭圆 E 经过 A、B 两点，求椭圆 E 的方程．【考点】 KE：曲线与方程； KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 2：创新题型； 5B：直线与圆； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（ 0， b）和（ c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得 b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（ 0， b）和（ c，0）的直线方程为 bx+cy﹣ bc=0，则原点到直线的距离为d== c，即为 a=2b，e= ==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2，①23由题意可得圆心M （﹣ 2， 1）是线段 AB 的中点，则 | AB| =，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设 A（x1，y1），B（x2， y2），则 x1+x2=．x1x2=，由 M 为 AB 的中点，可得 x1+x2=﹣ 4，得=﹣4，解得 k= ，从而 x1 2﹣2，于是 | AB| =?| x1﹣x2| =?x =8 2b==，解得 b2=3，则有椭圆 E 的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12 分）设f n（x）是等比数列1，x，x2，，x n的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n（ x） =f n（x）﹣ 2 在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n），且 x n = + x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 g n（ x），比较 f n（x）和 g n（x）的大小，并加以证明．【考点】 8E：数列的求和； 8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】 15：综合题； 2：创新题型； 53：导数的综合应用； 54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由 F n（x）=f n（ x）﹣2=1+x+x2+ ++x n﹣2，求得 F n（ 1）＞0，F n（）＜0．再由导数判断出函数F n（x）在（，1）内单调递增，得到F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，由 F n（x n） =0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数 h（x）=f（n x）﹣g（n x）=1+x+x2+ ++x n ﹣，当 x=1 时， f n（x）=g n（x）．当 x≠1 时，利用导数求得h（ x）在（ 0，1）内递增，在（ 1，+∞）内递减，得到 f n（ x）＜ g n（x）．【解答】证明：（Ⅰ）由 F n（ x） =f n（x）﹣ 2=1+x+x2+ +x n﹣2，则 F n（1）=n﹣1＞0，n（）=1+．F∴ F n（x）在（，1）内至少存在一个零点，又，∴ F n（x）在（，1）内单调递增，∴F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点 x n，∵ x n是 F n（x）的一个零点，∴ F n（x n） =0，即，故；（Ⅱ）由题设，，设 h（x） =f n（ x）﹣ g n（x）=1+x+x2+ +x n﹣，x＞0．当 x=1 时， f n（x）=g n（x）．当 x≠1 时，．若0＜x＜1，h′（x）＞=．若x＞1，h′（x）＜=．∴ h（ x）在（ 0，1）内递增，在（ 1，+∞）内递减，∴h（ x）＜ h（ 1）=0，即 f n（x）＜ g n（ x）．综上，当 x=1 时， f n（x） =g n（ x）；当 x＞0 且 x≠1 时， f n（x）＜ g n（ x）．【点评】本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、 23、24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）如图， AB 切⊙ O 于点 B，直线 AO 交⊙ O 于 D，E 两点， BC⊥DE，垂足为 C．（Ⅰ）证明：∠ CBD=∠ DBA；（Ⅱ）若 AD=3DC， BC=，求⊙ O的直径．【考点】 J9：直线与圆的位置关系．【专题】 5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵ DE是⊙ O 的直径，则∠ BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠ CBD+∠EDB=90°，即∠ CBD=∠ BED，∵AB切⊙ O 于点 B，∴∠ DBA=∠BED，即∠ CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠ CBA，则=3，∵BC=，∴ AB=3，AC=，则 AD=3，由切割线定理得AB2=AD?AE，即AE=，故 DE=AE﹣ AD=3，即可⊙ O 的直径为 3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【考点】 Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】 5S：坐标系和参数方程．2，把【分析】（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sin θ．化为ρ=2代入即可得出；．（ II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得| PC| =，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．2，化为2+y2，∴ρ=2x=配方为=3．（ II）设 P，又 C．∴|PC|==≥2，因此当 t=0 时， | PC| 取得最小值 2．此时P（3，0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修 4-5：不等式选讲24．已知关于 x 的不等式 | x+a| ＜b 的解集为 { x| 2＜x＜4}（Ⅰ）求实数 a，b 的值；（Ⅱ）求+的最大值．【考点】 71：不等关系与不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab 的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式 =+ =+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x 的不等式| x+a| ＜b 可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为 { x| 2＜x＜4} ，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。
