A3-高一上册-指数函数

指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称提示：指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－xD [由指数函数的定义可知D 正确．] 2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C DB [∵y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，∴B 选项正确．]3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝x 13B [设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (3)＝8得 a 3＝8，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ，故选B.]4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a >1.]指数函数的概念【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x . A ．1 B ．2 C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [由题意可知⎩⎨⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．]指数函数的图象的应用【例2】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． (1)D (2)(3,4) [(1)由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1， 又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.(2)令x －3＝0得x ＝3，此时y ＝4.故函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点(3,4)．]指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.2．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到： (1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1； (4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |.[解] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到． (2)y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到． (3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．]指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y ＝2x 2＋1的定义域与f (x )＝x 2＋1的定义域什么关系？ 提示：定义域相同．2．如何求y ＝2x 2＋1的值域？提示：可先令t ＝x 2＋1，则易求得t 的取值范围为[1，＋∞)，又y ＝2t 在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t ≥2，所以y ＝2x 2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.[思路点拨] 函数式有意义―→原函数的定义域――→指数函数的值域原函数的值域[解](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．(2)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2x－3≤⎝⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2x－3>0，∴函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2x－3的值域为(0,16]．(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．1．若本例(1)的函数换为“y＝⎝⎛⎭⎪⎫13x－1”，求其定义域．[解]由⎝⎛⎭⎪⎫13x－1≥0得⎝⎛⎭⎪⎫13x≥⎝⎛⎭⎪⎫13，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．[解]∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1,4]上单调递增，∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．1．函数y＝a f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．形如y＝f(a x)的值域，要先求出u＝a x的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(a x)的值域．1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝a x(a>0且a≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．1．思考辨析(1)y＝x2是指数函数．()(2)函数y＝2－x不是指数函数．()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．()[答案](1)×(2)×(3)√2．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜cB[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b<a<1<d<c，故选B.]3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________． [0，＋∞) [由1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞)．] 4．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ [解] (1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．课后作业 指数函数的概念、图象与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3D ．1C[由题意得⎩⎨⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.]2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞ B [因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.]3．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)C [由2x －1≥0得2x ≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C.] 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( ) A ．(0,1) B ．(0，－1) C ．(－1,0)D ．(1,0)C [∵f (－1)＝a －1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．] 5．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C DA [当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.]二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________．[1，＋∞) [由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．]7．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 7 [由已知得⎩⎨⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.]8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． (－1,0)∪(0,1) [由x <0，得0<2x <1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x <1， ∴－1<－2－x <0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． [解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.[等级过关练]1．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C DA [y ＝a－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a >1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限A [∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．12 [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12.]4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．(0,1) [函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．]5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．[解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m值为m＝0或m≥3.第2课时指数函数的性质的应用利用指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a >1和0<a <1两种情况分类讨论.1．比较下列各值的大小：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233；(2)大于1的数：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223；(3)大于0且小于1的数：⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.(2)中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<213<223(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ，y ＝2x 的图象，再分别取x＝13，x ＝23，比较对应函数值的大小，如图)，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<223.利用指数函数的单调性解不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>ag (x )⇔⎩⎨⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.2．若a x ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x (a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] 因为a x ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x ，所以a x ＋1>a 3x －5，当a >1时，y ＝a x 为增函数，可得x ＋1>3x －5，所以x <3；当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，可得x ＋1<3x －5，所以x >3.综上，当a >1时，x 的取值范围为(－∞，3)；当0<a <1时，x 的取值范围为(3，＋∞)． 指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．试结合图象，分析y ＝2－x，y ＝2|x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性，并写出相应单调区间．提示：减区间为(－∞，＋∞) 增区间为(0，＋∞)减区间为(－∞，0) 减区间为(－∞，＋∞)2．结合探究1，分析函数y ＝2|x |与函数y ＝|x |的单调性是否一致？ 提示：y ＝2|x |的单调性与y ＝|x |的单调性一致．3．函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致； (2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反． 【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨] 令u ＝x 2－2x ―→函数u (x )的单调性 ―→函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性――→同增异减函数f (x )的单调性[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．把本例的函数改为“f (x )＝2－x 2＋2x ”，求其单调区间．[解] 函数y ＝2－x 2＋2x的定义域是R . 令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的增区间还是减区间.1．思考辨析(1)y＝21－x是R上的增函数．()(2)若0.1a >0.1b ，则a >b .( )(3)a ，b 均大于0且不等于1，若a x ＝b x ，则x ＝0.( )(4)由于y ＝a x (a >0且a ≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)D [∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x 是增函数， ∴x ＋1<0，∴x <－1.] 3．下列判断正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73 B ．0.82＜0.83 C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5D [∵y ＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.] 4．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19.(1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小； (2)求函数g (x )＝ax 2－2x (x ≥0)的值域．[解] (1)由已知得a 2＝19，解得a ＝13，因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上递减，2≤b 2＋2，所以f (2)≥f (b 2＋2)．(2)因为x ≥0，所以x 2－2x ≥－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x≤3，即函数g (x )＝a x 2－2x(x ≥0)的值域为(0,3]．课后作业 指数函数的性质的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( ) A ．c >a >b B ．b >a >c C ．a >b >cD ．a >c >bD [a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5，因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a >c >b .]2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B [∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.]3．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3的单调性与y ＝(2a －1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，所以2a －1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，选A.]4．已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数A [因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．]5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D.32C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，故x ＝1时，y max ＝3.]二、填空题 6．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． m <n [∵a ＝5－12∈(0,1)，∴f (x )＝a x 在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，∴m <n .] 7．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．b <a <c [因为－1<x <0，所以由指数函数图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x >1，又因为0.5x <0.2x ，所以b <a <c .]8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调递增区间为________．[0，＋∞) [由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调性与y ＝1－x 2的单调性相反，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调递增区间就是y ＝1－x 2的单调递减区间．由y ＝1－x 2的图象(图略)可知：当x ≤0时，y ＝1－x 2是增函数；当x ≥0时，y ＝1－x 2是减函数，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]三、解答题9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝a －x 2＋3x ＋2(a >1)；(2)y ＝2|x －1|.[解] (1)设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋174，易知u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，∴a >1时，y ＝a u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数．(2)当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝2x －1，因为t ＝x －1为增函数，y ＝2t 为增函数， ∴y ＝2x －1为增函数；当x ∈(－∞，1)时，函数y ＝21－x . 而t ＝1－x 为减函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝21－x为减函数．故函数y ＝2|x －1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 10．已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在R 上为增函数； (2)若f (x )为奇函数，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值．[解] (1)证明：∵f (x )的定义域为R ，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －12x 1＋1－a ＋12x 2＋1＝2x 1－2x 2(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(1＋2x 1)(1＋2x 2)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴不论a 为何实数，f (x )在R 上为增函数． (2)∵f (x )在x ∈R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，解得a ＝12. (3)由(2)知，f (x )＝12－12x ＋1，由(1)知，f (x )为增函数，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝12－13＝16，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.[等级过关练]1．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C . [－2，＋∞)D ．(－∞，－2]B [∵f (1)＝a |2－4|＝a 2＝19， ∴a ＝13，a ＝－13(舍去)．∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.∴f (x )的单调递减区间为[2，＋∞)．]2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34D.12D [f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b＝4＝22，解得b ＝12.]3．已知函数f (x )＝m ·2x －12x ＋1为奇函数，则m 的值等于________．1 [由题意可知，f (0)＝m ·20－120＋1＝m －12＝0，∴m ＝1.]4．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1， ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数， ∴x >1－x ，即x >12.] 5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减， y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，8 ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数， 即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3， 所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。

第1课时指数函数的概念最新课程标准：(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.状元随笔指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.知识点二指数函数的图象与性质状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠1的理由(1)如果a ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧当x >0时，a x恒为0；当x <0时，a x无意义.(2)如果a <0，比如y ＝(－2)x，这时对于x ＝12，14，18，116，…在实数范围内函数值不存在．(3)如果a ＝1，那么y ＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必要． [基础自测]1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x解析：根据指数函数的定义y ＝a x(a >0且a ≠1)可知只有D 项正确． 答案：D 2．函数f (x )＝12x－1的定义域为( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．[0，＋∞) D．(－∞，0)解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x >0. 答案：B3．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y 轴对称，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝1－e x的值域为________．解析：由1－e x≥0得e x≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}，所以0<e x≤1，－1≤－e x<0,0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为[0,1)．答案：[0,1)题型一 指数函数概念的应用[经典例题]例1 (1)若函数f (x )＝(2a －1)x是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，1)(2)指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于________． 【解析】 (1)由已知，得0<2a －1<1，则12<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)设y ＝f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，所以a －2＝14，所以a ＝2，所以f (4)·f (2)＝24×22＝64. 【答案】 (1)C (2)64(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，a x的系数是1.(2)先设指数函数为f(x)＝a x，借助条件图象过点(－2，14)求a ，最后求值．方法归纳(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0，且a ≠1)这一结构特征．②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． (2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练1 (1)若函数y ＝(3－2a )x为指数函数，则实数a 的取值范围是________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)①y ＝2·(2)x②y ＝2x －1③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ④y ＝x x⑤y ＝31x -⑥y ＝x13.解析：(1)若函数y ＝(3－2a )x为指数函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，3－2a ≠1，解得a <32且a ≠1.(2)①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x 的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：(1)(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (2)③ 1.指数函数系数为1. 2．底数>0且≠1.题型二 指数函数[教材P 114例1]例2 已知指数函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，且f (3)＝π，求f (0)，f (1)，f (－3)的值．【解析】 因为f (x )＝a x ，且f (3)＝π，则a 3＝π，解得a ＝π13，于是f (x )＝π3x .所以，f (0)＝π0＝1，f (1)＝π13＝3π，f (－3)＝π－1＝1π. 状元随笔 要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝a x的解析式，即先求a 的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a 是大于0且不等于1的实数，所以a ＝－3应舍去．跟踪训练2 若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，求f (x )的解析式及f (－1)的值． 解析：设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，将点(2,9)代入，得a 2＝9，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．所以f (x )＝3x .所以f (－1)＝3－1＝13.设f(x)＝a x，代入(2,9)求出a.一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －1.A ．0B ．1C ．3D ．4解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确． 答案：B 2．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．81解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 所以f (x )＝3x －2，f (4)＝9.可知C 正确．答案：C3．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x－2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1 D ．[0,1] 解析：因为指数函数y ＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x ≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f (x )≤1.故选C.答案：C4．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x的图象可能是( )解析：需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x是递增的；②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x是减函数，显然B 正确．答案：B 二、填空题 5．下列函数中：①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x；④y ＝31x -；⑤y ＝x13.是指数函数的是________(填序号)． 解析：①中指数式的系数不为1；②中y ＝2x －1＝12·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x ；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：③6．若指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，116，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)． 因为f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，116，所以116＝a －2，所以a ＝4. 所以f (x )＝4x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝432-＝18. 答案：187．若关于x 的方程2x－a ＋1＝0有负根，则a 的取值范围是________． 解析：因为2x＝a －1有负根， 所以x <0， 所以0<2x<1. 所以0<a －1<1. 所以1<a <2. 答案：(1,2) 三、解答题8．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，求a 的值．解析：由指数函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，①a >0且a ≠1，②由①得a ＝1或2，结合②得a ＝2. 9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －.解析：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x≠1；故21x－1>－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2.故0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －≤9，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －的值域为(0,9]． [尖子生题库]10．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解析：(1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。