A 高二数学上学期第二次月考试题.doc

2019学年高二上学期第二次（12月）月考数学（文）试题考试范围：圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例；考试时间：120分钟第1卷一．选择题1.已知存在性命题，则命题的否定是（）A. B. 对C. D. 对【答案】B【解析】存在性命题，则命题的否定是故选：B2.下列命题中：①线性回归方程至少经过点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n ,y n)中的一个点；②若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强；③在回归分析中，相关指数为0.80的模型比相关指数为0.98的模型拟合的效果要好；④在回归直线中，变量时，变量的值一定是-7。

其中假命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用回归直线方程的有关知识逐一判断即可.【详解】对于①，回归直线直线y=x+是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过（），所以①不正确；对于②，由相关系数的作用，当|r|越接近1，表示变量y与x之间的线性相关关系越强；变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系，所以②正确；对于③，用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，所以③不正确；对于④，在回归直线中，变量x=2时，变量y的预报值是-7，但实际观测值可能不是-7，所以④不正确；故选：C．【点睛】本题考查变量间的相关关系，本题解题的关键是正确理解相关变量的意义，考查命题的真假性，要求对各个章节的知识点有比较扎实，比较全面的掌握．3.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】已知双曲线，根据双曲线的渐近线的方程的特点得到：令即得到渐近线方程为：y=±x故选：B．4.已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A. 在（﹣∞，0）上为减函数B. 在x=0处取极小值C. 在（4，+∞）上为减函数D. 在x=2处取极大值【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．【详解】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误．由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，可知B、D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于中档题．5.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】D【解析】因为椭圆的右焦点坐标为，又的焦点为所以，即6.已知椭圆的两个焦点为,且,弦过点,则的周长为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【详解】由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题．7.若抛物线上有一条过焦点且长为6的动弦，则的中点到轴的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得：，则的中点到轴的距离为 .本题选择A选项.点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 3【答案】B【解析】【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【详解】∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2，∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，∴，∴或，当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；∴a=2故选：B．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．9.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则( )A. f(0)<f(5)B. f(0)＝f(5)C. f(0)>f(5)D. f(0)≥f(5)【答案】C【解析】【分析】由于f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），只要求出2f′（2）的值，可先求f′（x），再令x=2即可．利用二次函数的单调性即可解决问题．【详解】∵f（x）=x2+2f′（2）x+m，∴f′（x）=2x+2f′（2），∴f′（2）=2×2+2f′（2），∴f′（2）=﹣4．∴f（x）=x2﹣8x+m，其对称轴方程为：x=4，∴f（0）=m，f（5）=25﹣40+m=﹣15+m，∴f（0）＞f（5）．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的单调性，求出2f′（2）的值是关键，属于中档题．10.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数在上单增，只需恒成立，，则，，则,选D.11.已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln，且b dx=2f'（a）+﹣1，则a+b 的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由已知的等式得到a，b的关系式，将所求转化为利用基本不等式求最小值．【详解】由b dx=2f'（a）+﹣1，得到b（﹣x﹣2）|=+﹣1，即=1，且a，b＞0，所以a+b=（a+b）（）=；当且仅当时等号成立；故选：C．【点睛】本题考查了定积分、导数的计算及利用基本不等式求代数式的最小值，属于中档题．12.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，再画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【详解】设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，即或，解得0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题．二．填空题13.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单元:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每年增加1万元,年饮食支出平均增加______万元.【答案】【解析】当变为时，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元，本题填写0.245.视频14.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】【解析】解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：15.设抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|= .【答案】16【解析】试题分析：由抛物线方程可知，所以P到准线的距离为16，由定义可知点P 与焦点F的距离|PF|=16考点：抛物线方程及性质16.设双曲线的半焦距为,直线经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线的距离为,双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为，及又c2=a2+b2，求出离心率．【详解】∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：+=1，即bx+ay﹣ab=0，∵原点到直线l的距离为，∴=．又c2=a2+b2，∴a2+b2﹣ab=0，即（a﹣b）（a﹣b）=0；∴a=b或a=b；又因为b＞a＞0，∴a=b，c=2a；故离心率为e==2；故答案为2．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．三．解答题17.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.（1）请完成上面的列联表;优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（2）根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;参考公式与临界值表 .0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.7063.841 5.024 6.635 10.828【答案】（1）见解析；（2）不能认为“成绩与班级有关系”.【解析】【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．即可完成表格．（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K2，和临界值表比对后即可得到答案．【详解】（1）优秀非优秀合计甲班10 50 60乙班20 30 50合计30 80 110（2）根据列联表中的数据，计算得到.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了列联表、独立性检验，独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出k 值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：（1）请画出上表数据的散点图；1 2 3 4 52 3 6 9 10（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为220吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？注：【答案】（1）详见解析；（2）；（3）0.6吨.【解析】【分析】（1）描点作图即可；（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）代入x=100．求解改造后消耗，即可知道比技术改造前降低多少吨标准煤【详解】（1）散点图如图：（2），，，，；，所求的回归方程为；（9分）注意：回归直线方程必过（3，6）点且纵截距为负；（3），，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了（吨）.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）19.已知函数在与时都取得极值.⑴求的值与函数的单调区间;⑵若,求的最大值.【答案】（1）的递增区间是与，递减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由求出函数的最大值为f（2）.【详解】（1），，由，得，，所以函数的递增区间是与递减区间是。

辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1-B ．13．若32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，则正整数A ．5B ．64．已知直线()1y k x =-与双曲线（）A ．33±B ．±5．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（A ．1800B ．10806．已知直线l ：20x y ++=与和2l ：420my x m --+=交于点A ．10B ．5A．23二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的是（）A．轨道Ⅱ的焦距为R r-B．轨道Ⅱ的长轴长为R r+C．若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大10．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中.下列说法正确的是（）=种放法A．共有44A24A ．1D C 与EF 所成角为B ．平面EFG 截正方体所得截面的面积为C ．1//AD 平面EFGD ．若APD FPC ∠∠=12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y +=结论，其中结论正确的有（A ．曲线C 围成的图形的面积是B ．曲线C 围成的图形的周长是C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过D ．若(,)P m n 是曲线C 三、填空题13．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 的中点，则平面AMN 与平面14．已知椭圆22122:x y C a b +=直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段15．现有7名志愿者，其中只会俄语的有人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，种不同的选法．16．已知椭圆2222:x y C a b+点，12AF F △的内切圆的圆心为为.四、解答题17．如图，一个正方形花圃被分成（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法（2）若向这5个部分放入的放法?18．已知抛物线2:2C y px =B 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)如果4OA OB ⋅=-，直线试说明理由．19．如图，在四棱锥(1)证明：平面PBC ⊥平面(2)求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值；20．已知,m n 是正整数，(1(1)当展开式中2x 的系数最小时，求出此时(2)已知12122m n x +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数的最大值为(1)求证：FG 平面111A B C ；(2)若平面ABC ⊥平面11BCC B ，点Q 为BC 的中点，2AB AC BC ===，则在线段是否存在一点M ，使得二面角11M B Q C --为60 ，若存在，求1AMMC 的值；若不存在，说明理由.22．动点(),M x y 与定点()3,0F的距离和M 到定直线:23l x =的距离之比是常数。

西安市第一中学2022-2021学年度其次次月考考试高二数学（文科）试题一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1.命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是( )A.若4πα≠，则1tan ≠α B.若4πα=，则1tan ≠αC.若1tan ≠α，则4πα≠ D.若1tan ≠α，则4πα=2.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．73.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=5.抛物y ＝4x 2的焦点坐标是( )．A ．(0，1)B ．(0，116)C ．(1，0)D ．(116，0)6.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ） A.224515x y -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514x y -=7.曲线2-=x xy 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. 32+-=x yB. 32--=x yC. 12+-=x yD.12+=x y8．下列结论正确的是个数为（ ） ①y=ln2 则y ′=； ②y=则y ′=③y=e ﹣x 则y ′=﹣e ﹣x ； ④y=cosx 则y ′=sinx ．A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．10. 已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）=x 2+3xf ′（1），则f ′（1）的值等于（ ） A ．B ．C ．1D ．﹣1 11.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A ．D ．+=1B ．+=1 C ．+=1 D ．+=112.函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.焦点在y 轴的椭圆x 2+ky 2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于_______________ 14. 函数1()ln 2xf x xx-=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________ 15. 椭圆的左右焦点为F 1，F 2，b=4，离心率为，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．16函数f （x ）=xlnx 的递减区间是__________。

福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高二上学期第
二次月考（12月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．111,,22⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭C ．111,,266⎛⎫ ⎪
⎝⎭4．过抛物线2:4C y x =差中项为2，则||AB =（A ．8
B 5．某家庭打算为子女储备款，便这笔款到2027年底连本带息共有利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息）71.02 1.149≈，81.02 1.172≈A ．5.3B 6．设点(
)1,0A ，(2,3N -
二、多选题
三、填空题
(1)证明：平面SAB ⊥平面(2)若BC SC =，SC SA ⊥成的角为60°，若存在，请求出21．已知数列{}n a 为等差数列，84a b =，(*326N a b n =∈(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
(2)设2
n n n c a b =⋅，数列{22．椭圆22
221x y a b
+=的左、右顶点分别为1F ，2F ，且1AF ，1F F (1)求椭圆的方程；
(2)过1F 的直线l 与椭圆交于CMN CPQ S S =△△，求直线。

长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷（答案在最后）出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.243.已知函数()2xf x x =+，()f x 一定有零点的区间为（）A.()23，B.()12，C.()10-，D.()32--，4.已知0.5log 0.4a =，0.60.4b =，0.50.4c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=，，动圆P 与圆12C C ，都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点，()0A ，4，()11B -，，则MA MB +的最小值为（）A.B.3C.8D.57.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.2C.34D.458.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若//m α，m β⊂，则//αβD.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,111.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是C.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C 的离心率的取值范围是20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时，1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.14.已知向量a ，b 满足1a b == ，π,3a b = ，则2a b -= ______.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线y =为渐近线，焦点是(4,0)-，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为8的椭圆.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()34f x x x=+-.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）用单调性定义证明函数()f x 在区间)3,+∞上是增函数.20.已知双曲线22:12x C y -=.（1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且过点(2,2)-的双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.21.已知函数()3)2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M与直线2B N的交点T 恒在一条定直线上.长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于A ，1y x ===-，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B ，函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-，函数1y x =-的定义域为R ，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C ，两函数的定义域都是R ，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D ，1y x ==--，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.24【答案】A 【解析】【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】A ，B ，C 三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从C 学校中应抽取的人数为609010540⨯=人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.3.已知函数()2xf x x =+，()f x 一定有零点的区间为（）A.()23，B.()12，C.()10-， D.()32--，【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.【详解】由题知函数()2xf x x =+在R 上单调递增，因为()()002110,1f f =->=<-，所以在区间()10-，上()f x 一定有零点.故选：C4.已知0.5log 0.4a =，0.60.4b =，0.50.4c =，则（）A.a b c << B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【详解】因为0.50.5log 0.4log 0.51a =>=，0.60.500.40.40.41b c =<=<=，所以b c a <<，故选：C.5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=，，动圆P 与圆12C C ，都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<【答案】A 【解析】【分析】由图结合两圆相外切性质可得122PC PC -=，后由双曲线定义可得答案.【详解】由题可得圆1C 圆心()2,0-，半径为52；圆2C 圆心()2,0，半径为12由图设动圆P 与圆1C ，圆2C 外切切点分别为A ，B .则1,,C A P 共线，2,,C B P 共线.则()1212PC PC PA AC PB BC -=+-+，注意到PA PB =，则12122PC PC AC BC -=-=，又1242C C =>，则点P 轨迹为以12C C ，为焦点双曲线的右支.设双曲线方程为：()222210x y x a b-=>，由题可得222123a c b c a ==⇒=-=，.故相应轨迹方程为：221(0)3y x x -=>.故选：A6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点，()0A ，4，()11B -，，则MA MB +的最小值为（）A. B.3 C.8 D.5【答案】D 【解析】【分析】作MC l ⊥，利用定义将MA MB +转化为MC MB +，然后结合图形可得.【详解】易知，抛物线216x y =的焦点为()0A ，4，准线为:4l y =-，作MC l ⊥，垂足为C ，由抛物线定义可知，MA MB MC MB +=+，则由图可知，MC MB +的最小值为点B 到准线l 的距离，即()145--=.故选：D7.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.2C.34D.45【答案】B 【解析】【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30 的等腰三角形，260PF M ∠= ，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠= ，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，2c e a ∴==．故选：B ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】可得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，由已知可得当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，可得答案.【详解】解：易得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时PM PN -=21(2)(1)PF PF +--=6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大是解题的关键.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若//m α，m β⊂，则//αβD.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,1【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线C ：24y x =，可得()1,0F ，故D 错误；由抛物线的定义可得014MF x =+=，所以03x =，故A 正确；因为点()00,Mxy 在抛物线C 上，所以204312y =⨯=，所以0y =±，故B 错误；则OM ===C 正确.故选：AC.11.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C是圆，其半径为C.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD 【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时，1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】根据点)P在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ，根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ，设上顶点A ，得到120AF AF <，即可判断C ，利用基本不等式判断D.【详解】解：由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率22c e a==>，即椭圆C的离心率的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故A 不正确；当2e =时，c =1b ==，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即22⎡+⎣，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<，所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当122QF QF ==时，等号成立，又124QF QF +=，所以12111QF QF +≥，故D 正确．故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵tan 2α=，∴tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅，故答案为：-3.14.已知向量a ，b 满足1a b == ，π,3a b = ，则2a b -= ______.【解析】【分析】由向量模、数量积公式先求出2211,2a b a b ==⋅= ，再由公式2a b -=即可得解.【详解】由题意22222211,11a a b b ====== ，π1cos ,11cos 32a b a b a b ⋅==⨯⨯=，所以2a b -====.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．【答案】32##1.5【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为)，代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为)，所以右焦点到直线y =的距离是32d ==．故答案为：3216.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________【答案】163【解析】【详解】设过抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF 的直线交抛物线于点1122(,),(,)A x y B x y ，交其准线:2p l x =-于3(,)2p C y -，因为F 是AC 的中点，且4AF =,所以1122242pp x p x ⎧-+=⨯⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123p x =⎧⎨=⎩，即(1,0),(3,F A ，则AF的方程为1)y x =-，联立241)y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，解得213x =，所以1164133AB AF BF =+=++=.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线y =为渐近线，焦点是(4,0)-，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为8的椭圆.【答案】（1）221412x y -=；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.【解析】【分析】（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可；（2）分椭圆的焦点在x 轴时和y 轴时讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由焦点可得4c =，双曲线的渐近线方程为y =，可得ba=，又222+=a b c ，解得2a =，b =，所以双曲线的方程为221412x y -=.（2）当焦点在x 轴时，设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b >>，由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，所以椭圆方程为2212516x y +=；当焦点在y 轴时，设椭圆方程为22221y xa b+=(0)a b >>，由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，所以椭圆方程为2212516y x +=；所以综上可得椭圆方程为2212516x y +=或2212516y x +=.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面PBD ⊥平面PAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接BD ，根据线面平行的判定定理只需证明EF ∥PD 即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥面PAC ，再利用面面垂直的判定定理即证．【小问1详解】如图，连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴//EF PD ，又∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂面PCD ，∴//EF 平面PCD ；【小问2详解】∵底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又PA AC A = ，∴BD ⊥面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，故平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()34f x x x=+-.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）用单调性定义证明函数()f x在区间)+∞上是增函数.【答案】（1）()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设0x <时，则0x ->，根据已知解析式和奇偶性可得0x <时的解析式，再由奇函数性质可知()00f =，然后可得在R 上的解析式；（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.【小问1详解】设0x <时，则0x ->，所以()34f x x x-=---，因为()f x 为奇函数，所以()()34f x f x x x=--=++，又()00f =，所以函数()f x 在R 上的解析式为()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩.【小问2详解】)12,x x ∞∀∈+，且12x x <，则()()()211212*********44x x f x f x x x x x x x x x -⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪⎝⎭()()1212123x x x x x x --=，因为21x x >>1212120,0,30x x x x x x -->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x在)+∞上单调递增.20.已知双曲线22:12x C y -=.（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(的双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y -=；（2）12.【解析】【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入点坐标，求得k ，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法，代入A 、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入(，得1k =-，所以所求双曲线方程为2212x y -=；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A 、B 在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（1）-（2）得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+，因为A 、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2x x y y +=+=，所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+.21.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）T π=，最大值1，最小值-1；（2）在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可.【详解】（1）())2sin cos sin(2)33f x x x x x ππ=--=+，∴2||T ππω==，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当222232k x k πππππ-≤+≤+时，()f x 单调递增，∴51212k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递增；当3222232k x k πππππ+≤+≤+时，()f x 单调递减，∴71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递减；综上，当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】(1)2212x y +=;(2)9;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由122B B =可得1b =，结合离心率和222c a b =-可求出1,c a ==，进而可得椭圆的方程.(2)写出l 的方程为22y x -=与椭圆进行联立，设()()1122,,,M x y N x y ，结合韦达定理可得1212162,93x x x x +=-=，即可求出MN ，由点到直线的距离公式可求出原点到l 的距离d ，从而可求出三角形的面积.(3)设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得12122286,2121k x x x x k k +=-=++，设(),T m n ，由1,,B T M 在同一条直线上，得113n k m x +=+，同理211n k m x -=+，从而可得()1212311340x x n n k m m x x ++-+⋅=+=，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，则22c a =，设c =，则2,0a k k =>，又222c a b =-，即22241k k =-，解得2k =或2-（舍去），所以1,c a ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ，由直线的点斜式方程可知，直线l 的方程为22y x -=，即22y x =+，与椭圆方程联立，222212y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得291660x x ++=，则1212162,93x x x x +=-=，所以MN ==1029，原点到l的距离d ==，则OMN的面积112299S d MN ===.(3)由题意知，直线l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，则12122286,2121k x x x x k k +=-=++，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，则232k >，设(),T m n ，因为1,,B T M 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2,,B T N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，所以()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =，则交点T 恒在一条直线12y =上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点(),T m n ，由三点共线结合斜率公式得111111313y kx n k m x x x +++===+和222221111y kx n k m x x x -+-===+，两式进行整理后可求出12n =，即可证明交点在定直线上.。

内江2023—2024学年（上）高2025届第二次月考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.经过()()1,3,1,9A B -两点的直线的一个方向向量为()1,k ，则k =（）A.13-B.13C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】根据斜率公式求得3AB k =，结合直线的方向向量的定义，即可求解.【详解】由点()()1,3,1,9A B -，可得直线AB 的斜率为93311AB k -==+，因为经过,A B 两点的直线的一个方向向量为()1,k ，所以3k =.故选：D.2.已知圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为（）A.π3B.3C.23π3D.【答案】B 【解析】【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】根据题意，圆锥的底面面积为π，设底面半径为r ，圆锥母线为l ，则2ππr =，1r =，底面周长为2π2πr =，又12π2π2l ⨯=，∴圆锥的母线为2=，所以圆锥的体积1π33=．故选：B ．3.若椭圆22134x y +=的长轴端点与双曲线2212y x m-=的焦点重合，则m 的值为（）A.4B.4- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】根据长轴端点确定焦点，再根据,,a b c 的关系可求得m 的值.【详解】椭圆22134x y +=的长轴端点为(0,2),(0,2)-，所以双曲线2212y x m-=的焦点为(0,2),(0,2)-，故242m m +=⇒=.故选：D.4.已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A.若m n ∥，n α∥，m α⊄，则m α∥B.若m n ⊥，m l ⊥，n α∥，l α∥，则m α⊥C.若m β∥，m α⊂，n αβ= ，则m n ∥D.若αβ∥，m α⊥，n β⊥，则m n∥【答案】B 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据线面垂直的判定定理可判断B ；根据线面平行的性质定理可判断C ；根据面面平行以及线面垂直的性质可判断D.【详解】对于A ，n α∥，则α内必存在直线，设为s ，使得n s ∥，又m n ∥，则m s ∥，而,m s αα⊄⊂，则m α∥，A 正确；B 中，若n l ，此时有可能是m α⊂或m α∥或m α⊥或m 和α相交不垂直，未必一定是m α⊥，则B 的说法不正确．对于C ，若m β∥，m α⊂，n αβ= ，则m n ∥，根据线面平行的性质定理可知m n ∥，C 正确，对于D ，若αβ∥，m α⊥，则m β⊥，又n β⊥，故m n ∥，D 正确，故选：B ．5.已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)x py p =>的准线相切，则p =（）A.18B.14C.8D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解.【详解】 抛物线22(0)x py p =>的准线为2p y =-，又圆22:(1)1C x y -+=与该抛物线的准线相切,∴圆心(1,0)C 到准线2py =-的距离：1,22pd r p ===∴=.故选： D.6.如图，在圆锥PO 中，轴截面PAB 的顶角60APB ∠=︒，设D 是母线PA 的中点，C 在底面圆周上，且PC AB ⊥，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】C 【解析】【分析】首先得出异面直线CD 与PB 所成的角即为ODC ∠（或其补角），在DOC △中求角即可.【详解】因为D 是AP 的中点，O 是AB 的中点，所以//OD PB ，所以异面直线CD 与PB 所成的角即为ODC ∠（或其补角）．易知AB PO ⊥．因为PC AB ⊥，PC PO P ⋂=，,PC PO ⊂平面POC ，所以AB ⊥平面POC ．因为OC ⊂平面POC ，所以OC AB ⊥．又OC OP ⊥，OP AB O = ，,OP AB ⊂平面PAB ，所以OC ⊥平面PAB ，而DO ⊂平面PAB ，所以OC DO ⊥．因为60APB ∠=︒，AP PB =，所以APB △为等边三角形，所以12OD AP OA OC ===，所以45ODC ∠=︒．故选：C ．7.已知双曲线的左､右焦点分别为12F F ､，过1F 的直线交双曲线左支于A B ､两点，且5AB =，若双曲线的实轴长为8，那么2ABF △的周长是（）A.5B.16C.21D.26【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义分析求解.【详解】由题意可知：21218AF AF BF BF -=-=，即21218,8=+=+AF AF BF BF ，所以2ABF △的周长()()22118816226++=++++=+=AF BF AB AF BF AB AB .故选：D.8.已知(1,0)F 为椭圆2219x ym+=的焦点，P 为椭圆上一动点，(1,1)A ，则||||PA PF +的最大值为（）A.6+B.6C.6+D.6【答案】A 【解析】【分析】根据焦点求得m ，利用椭圆的定义求得||||PA PF +的最大值.【详解】由于椭圆的焦点为()1,0F ，所以1c =且焦点在x 轴上，则90m >>，1=，8m =，所以椭圆方程为22198x y +=，所以3,a b ==，设左焦点为1F ，根据椭圆的定义得111||||2666PA PF PA a PF PA PF AF +=+-=+-≤+=+，当P 是1AF 的延长线与椭圆的交点时等号成立，所以||||PA PF +的最大值为6+.故选：A二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）9.（多选）对于抛物线上218x y =，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为()0,2B.开口向上，焦点为10,16⎛⎫⎪⎝⎭C.焦点到准线的距离为4D.准线方程为4y =-【答案】AC 【解析】【分析】写出标准形式即28x y =，即可得到相关结论【详解】由抛物线218x y =，即28x y =，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为()0,2，焦点到准线的距离为4，准线方程为=2y -．故选：AC10.下列四个命题中正确的是（）A.已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底B.n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅=，则//l αC.已知向量()9,4,4a =- ，()1,2,2b = ，则a 在b方向上的投影向量为()1,2,1D.O 为空间中任意一点，若OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD 【解析】【分析】由空间向量基底的性质判断A ；由线面平行的条件判定B ；由投影向量的概念求C ；由向量基本定理的推论判断D.【详解】对于A ，假设,,a b m共面，则存在,R x y ∈，使得m a c xa yb =+=+ ，则()1c x a yb =-+ ，因为{},,a b c 是空间的一组基底，即,,a b c不共面，与()1c x a yb =-+ 矛盾，所以,,a b m不共面，则{},,a b m 也是空间的一组基底，故A 正确；对于B ，当l ⊂α时，满足0a n ⋅=，但直线l 不平行于平面α，故B 错误；对于C ，因为()9,4,4a =- ，()1,2,2b =，则a 在b方向上的投影向量为()1,2,2a b b bb +⋅+-⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，由空间向量基本定理的推论可知：若OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确.故选：AD.11.已知直线:0l kx y k --=，圆()()22:214M x y -+-=，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0 B.圆M 与圆22:1C x y +=有两条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为 D.当1k =时，圆M 存在无数对点关于直线l 对称【答案】ABD 【解析】【分析】求解直线系所过的定点判断A ；判断两圆位置关系判断B ；求解直线被圆截的弦长判断C ，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D ．【详解】对A ，直线:0l kx y k --=，即()10k x x y --=，恒过点(1,0)，所以A 正确；对B ，圆M 的圆心坐标为(2,1)，半径为2，而圆22:1C x y +=的圆心为()0,0，半径为1，=，半径和为3，半径差为1，则13<<，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B 正确；对C ，圆()()22:214M x y -+-=的圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2．直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，代入圆方程得()()22120124-+-=<，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，设圆心到直线的距离为d，则弦长l ==d 最大，=，所以直线l 被圆M截得的最短弦长为=≠，所以C 不正确；对D ，当1k =时，直线方程为：10x y --=，代入圆心坐标(2,1)，得2110--=，则该直线经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确．故选：ABD ．12.已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1AC 的中点．点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A B C所成的角的正切值为5B.无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C.当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA =D.无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30︒【答案】BD 【解析】【分析】选项A ：设E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，可得直线1A P 与平面111A B C 的平面角为1PA E ∠，求正切值即可；选项B ：利用线面垂直的性质可证明11A P OB ⊥即可判断；选项C ：利用三角形中线的性质判断即可；选项D ：由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围判断即可.【详解】选项A ：当点P 运动到1BC 中点时，设E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1BB ⊥面111A B C ，又因为11C B B 中中位线1EP BB ∥，所以EP ⊥面111A B C ，所以直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值1tan EPPA E AE∠=，因为112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+=，所以15tan 5PA E ∠=，故说法A 错误；选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示，由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥，因为1111A B B C ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以111A B BB ⊥，因为1111B C BB BB = ，111B C BB ⊂，面11B BCC ，所以11A B ⊥面11B BCC ，因为1BC ⊂面11B BCC ，所以111A B BC ⊥，又1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂面11A B C ，所以1BC ⊥面11A B C ，因为1OB ⊂面11A B C ，所以11BC OB ⊥，连接11,AB AC ，同理11A B AB ⊥，11B C ⊥面11AA B B ，因为1A B ⊂面11AA B B ，所以111B C A B ⊥，又1111AB B C B ⋂=，111,AB B C ⊂面11AB C ，所以1A B ⊥面11AB C ，因为1OB ⊂面11AB C ，所以11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂面11A BC ，所以1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 说法正确；选项C ：点P 运动到1BC 中点时，即在11A B C 中1A P 、1OB 均为中线，所以Q为中线的交点，所以根据中线的性质有：112PQ QA =，故C 错误；选项D 中，由于11∥A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角11B A P ∠，由选项A 可知11A B ⊥面11BB C C ，因为1B P ⊂面11BB C C ，所以111A B B P ⊥，所以11111tan B PB A P A B ∠=，点P 在1BC 上运动时，当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45︒，当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小，此时为11tan 23B A P ∠=>，1130B AP ∠>︒，所以11B A P ∠不可能是30︒，故D 说法正确；故选：BD第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.过椭圆22143x y +=的左顶点，且与直线210x y -+=平行的直线方程为____________.【答案】240x y -+=【解析】【分析】由已知求出椭圆左顶点，利用平行直线斜率相等结合点斜式方程可得答案.【详解】由椭圆22143x y +=知，24a =，所以左顶点为(2,0)-，又所求直线与直线210x y -+=平行，所以斜率2k =，故直线方程为2(2)y x =+，即240x y -+=.故答案为：240x y -+=14.已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】21412n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】【分析】利用11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求解【详解】数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，可得11211=2a S -==+；2n ≥时，()221212(1)141+1n n n n a S S n n n n -=-=--+=----，不满足12a =，则2,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.15.若2y kx =+与y =k 的取值范围为_____________.【答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意，得到曲线221(0)x y y +=≤和直线2y kx =+恒过定点(0,2)P ，画出图象，结合斜率公式，即可求解.【详解】由曲线y =221(0)x y y +=≤，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆，又由直线2y kx =+恒经过定点(0,2)P ，因为曲线221(0)x y y +=≤与x 轴的交点分别为(1,0),(1,0)A B -，可得2,2AP BP k k ==-，要使得2y kx =+与y =2k ≤-或2k ≥，所以实数k 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.【解析】【分析】由题意求出22||b PF a=，结合双曲线定义以及角平线性质推出1||2AF a =，从而推出1222cos 2cPF F b a a ∠+=，在1AOF △中，利用余弦定理可求得4224340a a c c -+=，结合齐次式求解离心率，即可得答案.【详解】由题意知2(,0)F c ，2PF x ⊥轴，故将x c =代入22221x y a b-=中，得22221c y a b -=，则2b y a =±，即22||b PF a=，不妨设P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -=，故21||2b PF a a=+；设PQ 为12F PF ∠的平分线，由题意知2F A PQ ⊥，则2||||PA PF =，即2||b PA a =，而211||||||2b PF PA AF a a=+=+，故1||2AF a =，由点A 在圆222:O x y a +=上，得||OA a =；又1||OF c =，则1221212c ||os 2||F F PF b c PF F a a ∠=+=，在1AOF △中，222111112||||||2||||cos OA OF AF OF AF PF F =+-⋅∠,即222224222ca c a c ab a a=+-⋅⋅⋅+，结合222b c a =-，即得4224340a a c c -+=，即42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍），故e =，即C【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出,,a b c 之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在1AOF △中，利用余弦定理求出,,a b c 的关系，化为齐次式，即可求得答案.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，（1）求双曲线标准方程；（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.【答案】（1）221412x y -=（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程求出a ，b ，c ，然后可得标准方程；（2）根据（1）中a ，b ，c ，的值直接写出所求即可.【小问1详解】由题知，282c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得4,2c a ==，所以b ===，所以双曲线标准方程为：221412x y -=.【小问2详解】由（1）知4,2,c a b ===，双曲线焦点在x 轴上，所以双曲线的顶点坐标为(20)±,，焦点坐标为(4,0)±，实轴长24a =，虚轴长2b =，渐近线方程为2y x =±，即y =.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）若2OP =，求三棱锥E BCD -的体积.【答案】（1）证明见详解（2）16【解析】【分析】（1）连接OE ，由三角形中位线定理可得//OE PA ，再由直线与平面的判定定理可判定//PA 平面BDE ；（2）取OC 中点F ，连接EF ，可得//EF PO ，且112EF PO ==,易得EF ⊥平面ABCD ，再由棱锥体积公式得解.【小问1详解】证明：连接OE ，,O E 分别是AC ，PC 的中点，//OE ∴PA ，又OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE .【小问2详解】取OC 中点F ，连接EF ，E 是PC 的中点，EF ∴为POC △的中位线，则//EF PO ，且112EF PO ==，又PO ⊥平面ABCD ，EF ∴⊥平面ABCD ，1111326E BCD V -∴=⨯⨯=所以三棱锥E BCD -的体积为16.19.已知圆C 过点(2,3),(5,0)和(4,.（1）求圆C 的方程；（2）已知动圆M 和圆C 外切且过点(2,0)A -，求圆心M 的轨迹方程.【答案】（1）22(2)9x y -+=；（2）224431()972-=≤-x y x .【解析】【分析】(1)设圆C ：()()222x a y b r -+-=把点(2,3),(5,0)(4,代入求解,,a b r .（2）根据点(2,0)A -在圆上和两圆相外切可以找到MA ，MC 的关系，根据双曲线的定义求解双曲线方程.【小问1详解】设圆C ：()()222x a y b r -+-=，又因为(2,3),(5,0)(4,在圆C 上即()()()()(2222222222354a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪-++=⎪⎩ ①②③-①②得：()()()2732330a b -⋅+-⋅-=即20a b --= ④-③②得：()(2920a b -++⋅=即20a +-= ⑤-⑤④得)10b +=即0b =，2a =，29r =所以圆C ：22(2)9x y -+=【小问2详解】设动圆的半径为R ，又因为动圆M 经过点A ，所以MA R=动圆M 和圆C 外切，所以3MC R =+，即34MC MA -=<，根据双曲线的定义可知动点M 是以()()2,0,2,0A C -为焦点，3为实轴长的双曲线的左支.由双曲线的定义知：2,23c a ==，所以22297444b c a =-=-=所以动点M 的轨迹为：224431972x y x ⎛⎫-=≤- ⎪⎝⎭20.已知F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，()04,M y 是抛物线C 上一点，且||4MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点坐标为(8,12)，求直线l 的斜率.【答案】（1）28x y=（2）2【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；（2）设出,A B 坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.【小问1详解】由题可知，0016242py p y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得024y p =⎧⎨=⎩，故抛物线C 的方程为28x y =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122288x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212128x x y y -=-，即1212128y y x x x x -+=-.因为线段AB 的中点坐标为(8,12)，所以1216x x +=，则12122y y x x --=，故直线l 的斜率为2.21.如图1，在平面四边形PDCB 中，//PD BC ，BA AD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =，将PAB 沿BA 翻折到SAB △的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示：（1）求证：BC ⊥平面SAB ；（2）设线段SC 的中点为Q ，求平面QBD 与平面ABCD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据已知结合面面垂直的性质，即可得出SA ⊥平面ABCD ，SA BC ⊥.进而即可根据线面垂直的判定定理得出证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面QBD 与平面ABCD 的法向量，根据向量运算求解，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，SA AB ⊥，AD AB ⊥.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，SA ⊂平面SAB ，所以，SA ⊥平面ABCD .因为BC ⊂平面ABCD ，所以SA BC ⊥.又//AD BC ，AD AB ⊥，所以BC AB ⊥.因为AB SA A = ，AB ⊂平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB .【小问2详解】如图，建立空间直角坐标系，因为1SA PA ==，1AB BC ==，12AD =，则()0,0,0A ，1,0,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1S ，()1,1,0C ，()0,1,0B ，111,,222Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以110,,22DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,1,02DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,0,1AS = .设平面QBD 的法向量为(),,n x y z = ，则11022102n DQ y z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取2x =，则()211,,n =- .又AS ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1AS = 即为平面ABCD 的一个法向量.设平面QBD 与平面ABCD 所成的锐二面角为θ，所以cos ,6AS n AS n AS n ⋅===-⋅，所以cos cos ,6AS n θ== ，所以平面QBD 与平面ABCD所成角的余弦值为6.22.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0M 的直线l 交C 于A 、B 两点，交直线4x =于点P ．若= PA AM λ，PB BM μ= ，证明：λμ+为定值，并求出这个定值．【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析，定值为0.【解析】【分析】（1）由已知得a ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩224,2a b ==，即可得椭圆方程；（2）令:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，(4,3)P k ，联立椭圆方程并应用韦达定理得2122412k x x k+=+，21222(2)12k x x k-=+，再由向量数量关系的坐标表示得到λμ+关于参数k 的表达式，将韦达公式代入化简即可证.【小问1详解】由题设2122c a a ab a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⋅⋅=⎪⎩，又222a b c =+，则224,2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.【小问2详解】由题设，直线l 斜率一定存在，令:(1)l y k x =-，且()1,0M 在椭圆C 内，联立直线与椭圆并整理得2222(12)4240k x k x k +-+-=，且0∆>，令1122(,),(,)A x y B x y ，而(4,3)P k ，则1111(4,3),),PA x y k AM x y =--=-- ，由= PA AM λ，则11114(1)3x x y k y λλ-=-⎧⎨-=-⎩且11x ≠，得1141x x λ-=-，同理2222(4,3),),PB x y k BM x y =--=-- 由PB BM μ= ，则22224(1)3x x y k y μμ-=-⎧⎨-=-⎩且21x ≠，得2241x x μ-=-，所以121221121244(4)(1)(4)(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x λμ----+--+==---+-121212125()28()1x x x x x x x x +--=-++又2122412k x x k +=+，21222(2)12k x x k-=+，则λμ+=2222222222222242(2)5282048816121202(2)42441211212k k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅--+--++==---++-+++.+为定值0.所以λμ。

安徽省蚌埠市五河第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考检测数学试题一、单选题1．点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈时，1111y x +-可能等于（）A ．1-或2-B ．1-或3-C ．2-或3-D ．02．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（）A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或33．已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点.圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是①圆心M 在直线1x =上；②m 的取值范围是(0,1)；③圆M 半径的最小值为1；④存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①④4．过定点A 的直线20ax y +-=与过定点B 的直线420x ay a -+-=交于点(P P 与A 、B 不重合)，则PAB 面积的最大值为（）AB．C ．2D ．45．已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为（）A ．()()22232x y -+-=B ．()()22231x y -+-=C ．()()22341x y -+-=D ．()()22552x y -+-=6．直线y x b =+与曲线x =2个交点，则实数b 的取值范围是（）A．b <B．1b ≤<C．1b ≤-D ．11b -<<7．已知圆224x y +=上有四个点到直线y x b =+的距离等于1，则实数b 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．(C ．()1-D ．()1,1-8．若圆22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<与圆22:240N x y x y +--=交于A B ､两点，则tan ANB ∠的最大值为（）A ．34B C ．45D ．43二、多选题9．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为0B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在直线的斜率为43-D ．两个圆的公共弦所在直线的方程为68250x y --=10．已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740l m x m y m +++--=，则以下命题正确的有（）A ．直线l 恒过定点()3,0B ．直线l 与圆C 恒相交C ．y 轴被圆C 截得的弦长为D ．直线l 被圆C 截得的弦长最短时，l 的方程为250x y --=11．若直线:2cos 0l x y θ-⋅=与圆22:10E x y +--=交于两点,A B ，则（）A ．圆E 的圆心坐标为()-B ．圆E 的半径为3C ．当1cos 2θ=时，直线l 的倾斜角为π4D ．AB 的取值范围是1,5⎡⎢⎣⎦三、填空题12．若ππ,22θ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则经过两点()0,0P ，()sin ,cos Q θθ的直线的倾斜角为．13．若过点()0,3-与圆²²20x y y m +-+=相切的两条直线的夹角为60︒，则m =14．已知实数0,0a b ><的取值范围是.四、解答题15．已知圆C 过()2,4A -，()2,2B --两点，且圆心C 在直线460x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)过点()7,1P -作圆C 的切线，求切线方程.16．已知直线()1:340l kx y k k ---=∈R 过定点P .(1)求过点P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；(2)若直线l 过点P 且交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，记ABO 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值，并求此时直线l 的方程.17．已知两直线1:390l x y +-=和2:210l x y --=的交点为P ．(1)若直线l 过点P 且与直线210x y +-=平行，求直线l 的一般式方程；(2)若圆C 过点(2,5)-且与1l 相切于点P ，求圆C 的标准方程．18．已知圆W 经过(3,3),(2,A B C -三点．(1)求圆W 的方程．(2)已知直线l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．19．已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=.(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.。

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案2020—2021学年度第一学期高二第二次考试数学（理）试题 ★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷(选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

） 1.若直线l 与直线1,7y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为()1,1-，则直线l 的斜率为（ ）A. 13 B 。

13- C 。

32- D.232。

直线l 经过()2,1A ， 11,2B m m⎛⎫+-⎪⎝⎭两点()0m >，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭3。

直线2130x my m -+-=,当m变化时,所有直线都过定点( ）A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。

1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 。

1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭4。

下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x ay b+=1表示D 经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示5。

已知直线1l :70x my ++=和2l ：()2320m x y m -++=互相平行,则实数m = （ ）A. 1m =-或 3 B 。

远中学2021-2021学年度第一学期第二次月考阶段测试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高二数学试题本套试卷满分是160分，考试时间是是120分钟。

填空题〔此题包括14小题，每一小题5分，一共70分。

答案写在答题卡相应位置〕1. 抛物线的准线方程为：______________。

【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：此题考察抛物线的HY方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为2. 椭圆的离心率_______。

【答案】【解析】椭圆，故答案为：。

3. 函数，那么的导函数____________。

【答案】【解析】根据余弦函数的求导法那么和指数函数的求导法那么得到。

故答案为：。

4. 设为虚数单位，为实数〕，那么__________。

【答案】【解析】由题干知道根据复数相等的概念得到故答案为：2.5. 双曲线〔＞0〕的一条渐近线为，那么______。

【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，，,那么考点：此题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的HY方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.6. 椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的HY方程是_____。

【答案】【解析】椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。

故得到故得到椭圆方程为：。

故答案为：。

7. 函数的最大值是____________。

【答案】【解析】∵f〔x〕=，∴f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=e．∵当x∈〔0，e〕时，f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔0，e〕上为增函数，当x∈〔e，+∞〕时，f′〔x〕＜0，那么在〔e，+∞〕上为减函数，∴f max〔x〕=f〔e〕=．故答案为：。

8. 椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点．假设△AF1B的周长为，那么C的HY方程为________。

【答案】【解析】根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2| ＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为9. ，函数，假设在上是单调减函数，那么的取值范围是______________。