江苏省常州市武进区2017届高三第一学期期中考试数学文科试卷图片版

常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}26,3,1,0,2,3|A x x B =<=−−，则A B = （ ）A. {}1,0−B. {}0,2C. {}3,1,0−−D. {}1,0,2−【答案】D 【解析】【分析】解不等式化简集合A .【详解】依题意，{|A x x =<<，而{}3,1,0,2,3B =−−，所以{}1,0,2A B =− .故选：D2. 已知a ，b ∈R ，则“e a b =”是“ln a b =”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知e ln a b a b =⇔=， 所以“e a b =”是“ln a b =”的充要条件.的故选：A3. 已知复数z 满足22i 10z z −−=，则z z −= （ ） A. 2i − B. 2iC. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设i,,z a b a b ∈=+R ，代入已知条件，求得,a b ，进而求得z z −. 【详解】设i,,z a b a b ∈=+R ，则()()2i 2i i 10a b a b +−+−=，()222121i 0a b b a b −+−+−=，所以()()221010a b a b −−=−=，解得0,1a b ==， 所以i,i,2i z z z z ==−−=. 故选：B4. 有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（ ） A. 42种 B. 72种 C. 78种 D. 120种【答案】C 【解析】【分析】先计算55A ，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案. 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，所以这5名同学的可能排名有54435443A A A A 78−−+=种. 故选：C5. 已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l α⊥的是（ ） A. ,//l αββ⊥ B. ,//l a a α⊥C. //,l a a α⊥D. ,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂【答案】C 【解析】【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.【详解】对于A ，,//l αββ⊥，则l 与α相交、平行或l α⊂，故A 错误； 对于B ，,//l a a α⊥，则l 与α相交、平行或l α⊂，故B 错误； 对于C ，//,l a a α⊥，由线面垂直的性质知l α⊥，故C 正确；对于D ，,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂，则l 与α相交、平行或l α⊂，故D 错误. 故选：C.6. 已知函数()co ()s 0f x x ωω=>的最小正周期为T .若2π4πT <<，且曲线()y f x =关于点3π04，中心对称，则()πf =（ ）A.12B. 12−C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案. 【详解】由()cos f x x ω=，则2πT ω=，由2π4πT <<，则2π2π4πω<<，解得112ω<<， 由()cos f x x ω=，则当()ππZ 2x k k ω=+∈时，函数()f x 取得对称中心， 由题意可得(3πππZ 42k k ω=+∈，化简可得()24Z 33k k ω=+∈， 当0k =时，21,132ω =∈ ，显然当0k ≠时，241,132k ω+ =∉， 所以()2cos 3f x x =，则()2π1πcos 32f ==−. 故选：B.7. 已知(),0,παβ∈，且()cos ααβ=+=，则cos β=（ ）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由()0,πα∈，则sin α===， 223cos 2cos sin 5ααα=−=−，4sin 22sin cos 5ααα==，由π0,2α∈，易知π2,π2α ∈ ，解得ππ,42α∈，由()0,πβ∈，π3π,42αβ+∈，且()sin 0αβ+>，则π,π4αβ +∈ ，可得()cos αβ+ 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++当cos 0β=>时，π0,2β ∈ ，sin β，此时()cos 0αβ+=>，则ππ,42αβ +∈ ，由22cos 2cos sin βββ=−117sin 22sincos 125βββ=， 则π0,2β ∈，易知π2,π2β∈ ，解得ππ,42β ∈，此时ππ,42αβ +∉cos β≠当cos 0β<时，π,π2β ∈ ，sin β，此时()cos 0αβ+<，则π,π2αβ +∈ ，由224cos 2cos sin 5βββ=−=−，3sin 22sincos 5βββ==，则π0,2β ∈，易知π2,π2β ∈，解得ππ,42β ∈，cos β=； 故选：B.8. 已知函数()()log 2a f x ax =−（0a >，且1a ≠）.[]1,2x ∃∈，使得()1f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2,13B. (]2,11,23C. (]1,2D. 2,23【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】2y ax =−在[]1,2单调递减，2x ∴=时，220a −>, 即1a <, 另外，0<aa <1时，log a y t =单调递减，()f x ∴在[]1,2单调递增，()()()max 22log 221,22,.3a f x f a a a a ∴==−≥∴−≤∴≥ 综上所述，a 的取值范围是2,13. 故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得60分.9. 已知平面内两个单位向量,a b的夹角为θ，则下列结论正确的有（ ） A. ()()a b a b +⊥−B. a b +的取值范围为[]0,2C. 若a b −=，则π3θ= D. a在b 上的投影向量为a b【答案】AB 【解析】【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，由于()()220a b a b a b +⋅−=−= ，所以()()a b a b +⊥−，所以A 选项正确.B 选项，a b +=，[][][]cos 1,1,22cos 0,40,2θθ∈−+∈，所以B 选项正确.C 选项，a b −=，解得1cos ,0π2θθ=−≤≤，所以2π3θ=，所以C 选项错误.D 选项，a 在b 上的投影向量为()cos a b b b b bθ⋅⋅= ，所以D 选项错误. 故选：AB10. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为()01p p <<，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是()232pp −B. 若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是()351p p − C. 若0.6p =，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D. 若0.6p =，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3 【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A: 采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况分别计算求和即可；对于选项B: 采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局，第四局甲胜；对于选项C:分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率，比较即可；对于选项D: 在甲获胜的条件下比赛局数3,4,5X =，借助条件概率分别计算进而求出期望即可判断.【详解】对于选项A: 若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况， 则最终甲胜的概率为()2221(1)(1)32P p p p p p p pp =+−+−=−，故选项A 正确；对于选项B: 若采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜， 则甲以3：1获胜的概率是22323C (1)3(1)P p p p p p −−，故选项B 错误； 对于选项C: 因为0.6p =，结合选项A 可知，若采用3局2胜制，最终甲胜的概率为()()221320.6320.60.648P p p =−=−×=，若采用5局3胜制，甲获胜的比分为3:0,3:1,3:2三种情况， 所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是3222223340.6+C 0.6(10.6)0.6C 0.6(10.6)0.60.68256P =××−×+××−×= 因为0.682560.648>，所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故选项C 正确； 对于选项D: 因为0.6p =，且采用5局3胜制，甲获胜的概率为30.68256P = 在甲获胜的条件下比赛局数3,4,5X =由条件概率公式可知：()330.60.21630.68256P X P ===;()2233C 0.6(10.6)0.60.259240.68256P X P ××−×===; ()22243C 0.6(10.6)0.60.2073650.68256P X P ××−×===; 所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是()0.2160.25920.2073634540.682560.682560.68256E X =×+×+×≈,故选项D 错误. 故选：AC.11. 已知函数()()()()2f x x a x b a b =−−<，2为()f x 的极大值点，则下列结论正确的有（ ）A 2a =B. 若4为函数()f x 的极小值点，则4b =C. 若()f x 在2,3b b内有最小值，则b 的取值范围是8,3 +∞D. 若()40f x +=有三个互不相等的实数解，则b 的取值范围是()5,+∞ 【答案】AD 【解析】【分析】先求得()f x ′，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A ，()f x ′=()()()()()2222x a x b x a x a x b x a −−+−=−−+−，()()32x a x a b =−−−，()0f x ′=，则x a =或23a b +，而a b <，则23a b a +<，令()0f x ′>，得x a <或23x a b<+；令()0f x ′<，得23a b a x +<<； .()f x 在(),a −∞单调递增，2,3a b a +单调递减，2,3a b ++∞ 单调递增， ()f x ∴的极大值点为a ，2a ∴=，A 对.对于B ，若4为极小值点，则2243b+=，则5b =，B 错. 对于C ()f x 在2,3b b内有最小值，则()f x 在223b +处取得最小值223b f +，()()()22f x x x b =−−，22233b b f f + ≥， 即223222222222433333b b b b b b b ≥= − ++− −− −−，()()2332b b b ≤−−，83b ∴≥，故C 错误.对于D ()4f x =−有三个互不相等的实数解，()20f =，则32443b − −<−，故5b >，故D 正确； 故选：AD【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤..条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知正数,x y 满足24xy x y =+，则xy 的最小值为__________. 【答案】4 【解析】【分析】利用基本不等式来求得正确答案.【详解】依题意，24xy x y =+≥，当且仅当44x y ==时等号成立. )22,4xy xy ≥≥≥≥，所以xy 的最小值为4. 故答案：4为13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()cos ,sin P αα，将线段OP 绕原点O 按顺时针方向旋转π2至线段OP ′.若1cos 3α=，则点P ′的纵坐标为__________. 【答案】13− 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由题意可知，终边为OP 的角为α，则终边为OP ′的角为π2α−， 点P ′的纵坐标为π1sin cos 23αα−=−=−. 故答案为：13−.14. 已知一个母线长为1，底面半径为r 的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r =________.【解析】【分析】通过求圆锥轴截面的内切圆的方法，结合导数来求得正确答案. PAB ，设PAB 内切圆的半径为R ，也即圆锥内切球的半径为R ，则()11211222r r R ×=×++⋅，解得R=， 设()()()()()()()2232322310,11r r r r r r r f r r f r r r −+−−−=′>=++ ()()2222212211r r r r r r r r +−  =−⋅=−⋅++()22221r r r r +  =−⋅+,所以()f r在 上()()0,f r f r ′>单调递增，在区间∞+上()()0,f r f r ′<单调递减，所以当r =时，()f r 取得极大值也即是最大值，所以当r =时，能够被整体放入该容器的球的体积最大.【点睛】关键点睛：几何模型的准确构造：通过构造圆锥轴截面并确定内切球的半径，是解题的关键.几何模型的正确设定为后续的导数求解提供了基础.导数与单调性的结合应用：在求解极值问题时，利用导数分析函数的单调性，是找到最大值的有效方法.通过对函数的求导，并结合单调区间的判断，可以确保解的准确性.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某研究性学习小组为研究两个变量x 和y 之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：x 2 3 4 5 6 y47121314（1）求y 关于x 的经验回归方程； （2）请估计 3.5x =时，对应的y 值.附：在经验回归方程ˆˆˆy a bx=+中，1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yb ay bx x nx==−⋅==−−∑∑，其中,y x 为样本平均值.。

2017届高三数学一模试卷（常州市有答案和解释）2017年江苏省常州市高考数学一模试卷一.填空题：本大�}共14小败，每小�}5分，共70分.不需要写出解答过程 1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2�6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= ． 2．若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= ． 3．函数f（x）= 的定义域为． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为． 7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的�Ｂ饰�． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线� =l的右焦点，则双曲线的离心率为． 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为． 10．在平面直角坐标系xOy 中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A 点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且• =1，则实数λ的值为． 12．已知sinα=3sin（α+ ），则tan（α+ ）= ． 13．若函数f（x）= ，则函数y=|f（x）|�的零点个数为． 14．若正数x，y满足15x�y=22，则x3+y3�x2�y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A�B= （1）求边c的长；（2）求角B的大小． 16．如图，在斜三梭柱ABC�A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1 （1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值． 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，�）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值． 19．己知函数f（x）=（x+l）lnx�ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x�1）f（x）≥0恒成立，求a 的取值范围． 20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，设数列{bn}满足bn= （1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲] 21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长． [选修4-2：矩阵与变换] 22．已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（�1，2）变换成（�2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M 的另一个特征值． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分 25．如图，已知正四棱锥P�ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = ．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N�PC�B的余弦值． 26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn （1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（�1） tannθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+（�1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省常州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大�}共14小败，每小�}5分，共70分.不需要写出解答过程 1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2�6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}， M={x|x2�6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁UM={6，7}．故答案为：{6，7}． 2．若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i= ，得 = ，则|z|= ．故答案为：． 3．函数f（x）= 的定义域为{x|x＞且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24 【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24． 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 ．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45�20�10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是= ∴该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：300． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P�ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P�ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO= AC= ．在直角三角形POA 中，PO= = =1．所以VP�ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= ．故答案为：． 7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的�Ｂ饰�．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的�Ｂ剩�【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n= =6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的�Ｂ�p= ．故答案为：． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线� =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线� =l的右焦点为（2，0），即有c= =2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e= =2．故答案为：2． 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴ ，解得，∴a8= =（a1q）（q3）2=8× =2．故答案为：2． 10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为x�y�1=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my�4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=�2y2，y1+y2=�，y1y2=�联立解得m=1，∴直线l的方程为x�y�1=0，故答案为：x�y�1=0． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且• =1，则实数λ的值为�或1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求• 即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足 = + ，∴ � =λ，∴ =λ；又 = � =（ +λ）� = +（λ�1），∴ • =λ •[ +（λ�1） ] =λ• +λ（λ�1） =λ×2×1×cos60°+λ（λ�1）×22=1，整理得4λ2�3λ�1=0，解得λ=�或λ=1，∴实数λ的值为�或1．故答案为：�或1． 12．已知sinα=3sin （α+ ），则tan（α+ ）= 2 �4 ．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan（α+ ）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+ ）=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= ．又tan =tan（�）= = =2�，∴tan（α+ ）= = = =� =2 �4，故答案为：2 �4． 13．若函数f（x）= ，则函数y=|f（x）|�的零点个数为 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，令g （x）=lnx�，x≥1时函数是连续函数， g（1）=�＜0，g（2）=ln2� =ln ＞0， g（4）=ln4�2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx�，有2个零点．（结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|�的零点个数为：4个．故答案为：4． 14．若正数x，y满足15x�y=22，则x3+y3�x2�y2的最小值为 1 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3�x2�y2=（x3�x2）+（y3�y2），求出y3�y2≥�y，当且仅当y= 时取得等号，设f（x）=x3�x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x�y=22，可得y=15x�22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3�x2�y2=（x3�x2）+（y3�y2），其中y3�y2+ y=y（y2�y+ ）=y（y�）2≥0，即y3�y2≥�y，当且仅当y= 时取得等号，设f（x）=x3�x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2�2x=x（3x�2），当x= 时，f（x）的导数为×（�2）= ，可得f（x）在x= 处的切线方程为y= x�．由x3�x2≥ x�⇔（x�）2（x+2）≥0，当x= 时，取得等号．则x3+y3�x2�y2=（x3�x2）+（y3�y2）≥ x��y≥ � =1．当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A�B= （1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2�b2=6c，b2+c2�a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2�b2=8．由正弦定理可得： = = ，又A�B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin ．代入可得�16sin2B= ，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，化为：a2+c2�b2=6c，b2+c2�a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2�b2=8．由正弦定理可得： = = ，又A�B= ，∴A=B+ ，C=π�（A+B）= ，可得sinC=sin ．∴a= ，b= ．∴�16sin2B= ，∴1��（1�cos2B）= ，即cos2B�= ，∴�2 �T ，∴ =0或 =1，B∈ ．解得：B= ． 16．如图，在斜三梭柱ABC�A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1 （1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C 是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E 是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥B C． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S= ，∴a= �，∴l= � + （0＜α＜）；（2）l′=h ，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴ 时，l取得最小值 m． 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，�）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2�c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x�）�，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆 + =l （a ＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2�c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x�）�，则，整理得：（2k2+1）x2�（4 k2+4 k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，则y1+y2=k（x1+x2）�2 k�2 = ，则kAP+kAQ= + = ，由y1x2+y2x1=[k（x1�）�]x2+[k（x2�）�]x1=2kx1x2�（ k+ ）（x1+x2）=�， kAP+kAQ= = =1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1． 19．己知函数f（x）=（x+l）lnx�ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x�1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+ +1，（x ＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x�1）[（x+1）lnx�a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx�ax+a，f′（x）=lnx+ +1�a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+ +1，（x＞0），g′（x）= ，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x�1）f（x）≥0恒成立，即（x�1）[（x+1）lnx�a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx+ +1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx+ +1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n （x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0． 20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，设数列{bn}满足bn= （1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，化为： =2× ，即可证明．（2）由（1）可得： = ，可得=n •4n�1．数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn�a14n2=16bm，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，∴ = an+1，即 =2 ，∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得： = ，∴ =n •4n�1．∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，∴ = + ，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，bn= = ，Sn= ，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm成立，∴ × �a14n2=16× ，∴ = ，n=1时，化为：� = ＞0，无解，舍去．②t=4时，bn= = ，Sn= ，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm成立，∴ × �a14n2=16× ，∴n =4m，∴a1= ．∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲] 21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是． [选修4-2：矩阵与变换] 22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（�1，2）变换成（�2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（�1，2）换成（�2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ�6）（λ�4）�8=λ2�10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，则 =8 = ，故，由于矩阵M对应的变换将点（�1，2）换成（�2，4）．则 = ，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= ．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ�6）（λ�4）�8=λ2�10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2�2x�2y�2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（ + + ）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12 ∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号．∴ + + 的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分 25．如图，已知正四棱锥P�ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = ．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N�PC�B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O�xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N�PC�B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的实用精品文献资料分享交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O�xyz．则A（1，�1，0），B（1，1，0），C（�1，1，0），D（�1，�1，0），… 设P（0，0，p），则 =（�1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p= ，∵ = = =（），=（），∴ =（�1，1，�）， =（0，，�），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ= = = ．θ=30°，∴异面直线MN与PC 所成角为30°．（2） =（�1，1，�）， =（1，1，�）， =（，�），设平面PBC的法向量 =（x，y，z），则，取z=1，得 =（0，，1），设平面PNC的法向量 =（a，b，c），则，取c=1，得 =（，2 ，1），设二面角N�PC�B的平面角为θ，则cosθ= = = ．∴二面角N�PC�B的余弦值为． 26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn （1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（�1） tannθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+（�1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin = ，即可得出．（2）a2k�1+a2k=（�1） tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（1）an=sin tannθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0；当n=2k�1为奇函数时，an= •tannθ=（�1）k�1tannθ=（�1） tannθ．（2）a2k�1+a2k=（�1） tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为�tan2θ．∴S2n= = sin2θ•[1+（�1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日。

2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B等于．2．（5分）函数y=tan（2x+）的最小正周期是．3．（5分）若，共线，则实数m的值为．4．（5分）设α∈R，则“＜”是“”的条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）5．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2=2，a3+a4=﹣3，则a5+a6=．6．（5分）已知在G中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=1，，B=45°，则角A为．7．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值为．8．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为12，则这个球的表面积为．9．（5分）若函数f（x+1）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域为．10．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若，（λ∈R），且，则实数λ的值为．11．（5分）若集合中恰有唯一的元素，则实数a的值为．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是．14．（5分）已知定义在[1，3]上的函数f（x）满足，且当x∈[2，3]时，．若对任意a、b、c∈[1，t]，都有f（a）+f（b）≥f（c）成立，则实数t的最大值是．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知向量，，（1）若，求tan2x的值；（2）令，把函数f（x）的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，且AB=2，AD=4，AP=4，F是线段BC的中点．（1）求证：面PAF⊥面PDF；（2）若E是线段AB的中点，在线段AP上是否存在一点G，使得EG∥面PDF？若存在，求出线段AG的长度；若不存在，说明理由．17．（14分）如图，已知直线y=kx+6﹣k与曲线在第一象限和第三象限分别交于点A和点B，分别由点A、B向x轴作垂线，垂足分别为M、N，记四边形AMBN的面积为S．（1）求出点A、B的坐标及实数k的取值范围；（2）当k取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值．18．（16分）已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件（0＜x≤25）并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且．（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）．19．（16分）已知数列{a n}中，a1=3，前n项和S n满足a n+1=2S n+3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在整数对（m，n）（其中m∈Z，n∈N*）满足a n2﹣（m+2）a n+7m+5=0？若存在，求出所有的满足题意的整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）lnx+x，a∈R，函数f（x）的导函数为f'（x）．（1）若直线l与曲线y=f（x）恒相切于同一定点，求l的方程；（2）若，求证：当x≥1时，ef′（x）≤e x恒成立；（3）若当x≥1时，ef（x）≤e x恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B等于[﹣2，1）．【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，B={x|x＜1}=（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故答案为：[﹣2，1）2．（5分）函数y=tan（2x+）的最小正周期是．【解答】解：∵y=tan（2x+），∴函数的周期T=，故答案为：．3．（5分）若，共线，则实数m的值为﹣6．【解答】解：，共线，则2m=﹣3×4，解得m=﹣6，故答案为：﹣64．（5分）设α∈R，则“＜”是“”的既不充分也不必要条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【解答】解：由“＜”即α＜，比如α=﹣，推不出“”，不是充分条件，反之sinα＜也推不出“＜”，不是必要条件，故答案为：既不充分也不必要．5．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2=2，a3+a4=﹣3，则a5+a6=﹣8．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a5+a6+a1+a2=2（a3+a4），∴a5+a6=﹣6﹣2=﹣8．故答案为：﹣8．6．（5分）已知在G中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=1，，B=45°，则角A为30°．【解答】解：已知：a=1，，B=45°，则利用正弦定理：，由于：b＞a，解得：A=30°，故答案为：30°7．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值为1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z=x+y可得y=﹣x+z，则z表示直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，当y=﹣x+z经过点A时，z最小，由可得A（1，0），此时z=1．故答案为：1．8．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为12，则这个球的表面积为6π．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为12，∴6a2=12，则a2=2，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的表面积S=4π•（）2=6π；故答案为：6π．9．（5分）若函数f（x+1）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域为．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域是[﹣1，1]，即﹣1≤x≤1，∴0≤x+1≤2，即函数y=f（x）的定义域为[0，2]，由0≤，得．∴函数的定义域为：．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若，（λ∈R），且，则实数λ的值为3．【解答】解：解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，，∴=，由于：，则：，由于：∠A=60°，AB=3，AC=2，所以：，整理得：•=6，﹣+﹣=6，整理得：，解得：λ=3．故答案为：3．11．（5分）若集合中恰有唯一的元素，则实数a的值为2．【解答】解：∵集合中恰有唯一的元素，∴3≤﹣x2+2x+a≤log212恰有唯一解，∵2≤a﹣（x﹣1）2≤log212﹣1，∴实数a的值为2．故答案为：2．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最小值为．【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+y=2，则=+y+=2（x﹣1）+y++=+==≥=，当且仅当y=x+1=时取等号．故答案为：．13．（5分）在△ABC中tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是[，）．【解答】解：由已知得2tanB=tanA+tanC＞0（显然tanB≠0，若tanB＜0，因为tanA＞0且tanC＞0，tanA+tanC＞0，这与tanB＜0矛盾），又因为：tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣≠0，所以：tanAtanC=3．又因为：（2tanB）2=（tanA+tanC）2=tan2A+tan2C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，因此：tan2B≥3，又tanB＞0，所以tanB≥，可得：≤B＜，即B的取值范围是[，）．故答案为：[，）．14．（5分）已知定义在[1，3]上的函数f（x）满足，且当x∈[2，3]时，．若对任意a、b、c∈[1，t]，都有f（a）+f（b）≥f（c）成立，则实数t的最大值是．【解答】解：∵当x∈[2，3]时，∈[，]，且函数为增函数，当x∈[1，2]时，x+1∈[2，3]，即∈[，]故f（x）+1∈[，3]，则f（x）∈[，2]，且函数为减函数，又由对任意a、b、c∈[1，t]，都有f（a）+f（b）≥f（c）成立，则2f（t）≥f（1）=2，即f（t）≥1，且t∈（1，2），则=≤，解得：t≤，故答案为：二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知向量，，（1）若，求tan2x的值；（2）令，把函数f（x）的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵，∴，…（2分）∴，…（4分）∴．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）把函数f（x）的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到，…（10分）再把所得图象沿x轴向左平移个单位，得到，…（12分）由（k∈Z），得，∴g（x）的单调增区间是．…（14分）16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，且AB=2，AD=4，AP=4，F是线段BC的中点．（1）求证：面PAF⊥面PDF；（2）若E是线段AB的中点，在线段AP上是否存在一点G，使得EG∥面PDF？若存在，求出线段AG的长度；若不存在，说明理由．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，DF⊂面ABCD，∴PA⊥DF，又∵在底面ABCD中，，AD=4，∴AF2+DF2=AD2，得AF⊥DF，∵AP∩AF=A，∴DF⊥面PAF，∵DF⊂面PDF，∴面PAF⊥面PDF．解（2）：法一、假设在线段AP上存在点G，使得EG∥面PDF．连结AB并延长交DF延长线于点M，连结PM．∵F是线段BC的中点，底面ABCD是矩形，∴MB=AB，∵EG∥面PDM，EG⊂面PAM，面PAM∩面PDM=PM，∴EG∥PM，∵，∴，故在线段AP上存在点G，使得EG∥面PDF，此时AG=1．法二、假设在线段AP上存在点G，使得EG∥面PDF．取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI．∵E是线段AB的中点，∴EI是梯形ABFD的中位线，得EI=3，EI∥GH，∵EG∥面PDF，EG⊂面GEIH，面GEIH∩面PDM=IH，∴EG∥IH，∴四边形GEIH是平行四边形，得EI=GH=3，∴，得AG=1，故在线段AP上存在点G，使得EG∥面PDF，此时AG=1．17．（14分）如图，已知直线y=kx+6﹣k与曲线在第一象限和第三象限分别交于点A和点B，分别由点A、B向x轴作垂线，垂足分别为M、N，记四边形AMBN的面积为S．（1）求出点A、B的坐标及实数k的取值范围；（2）当k取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值．【解答】解：（1）由得，，即（x﹣1）（kx+4）=0，解得x=1或x=，…（2分）∴当x=1时，y=6，即A（1，6），…（3分）当时，y=2﹣k，即，…（5分）∵点B在第三象限，∴，得k＞2，∴A（1，6），，故实数k的取值范围为（2，+∞）；…（7分）（2）∵，∴，…（9分）∵y A﹣y B=4+k，∴，∴S关于k的函数关系式，…（11分）∴，当且仅当k=4时等号成立，…（13分）∴四边形AMBN面积取得最小值8时，k=4．…（14分）18．（16分）已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件（0＜x≤25）并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且．（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）．【解答】解：（1）当0＜x≤10时，；…（2分）当10＜x≤25时，f（x）=xR（x）﹣（100+27x）=﹣x2+30x+75．…（4分）故，…（6分）（2）①当0＜x≤10时，由f′（x）=81﹣x2=﹣（x+9）（x﹣9），得当x∈（0，9）时，f′（x）＞0，单调递增；当x∈（9，10）时，f′（x）＜0，单调递减．故；…（10分）②当10＜x≤25时，f（x）=﹣x2+30x+75=﹣（x﹣15）2+300≤300，当且仅当x=15时，W max=300．…（13分）综合①、②知，当x=9时，W取最大值386．…（15分）所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．…（16分）19．（16分）已知数列{a n}中，a1=3，前n项和S n满足a n+1=2S n+3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在整数对（m，n）（其中m∈Z，n∈N*）满足a n2﹣（m+2）a n+7m+5=0？若存在，求出所有的满足题意的整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=2S n+3与a n=2S n﹣1+3相减，+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，得a n+1=3a n（n≥2），…（2分）即a n+1在a n=2S n+3中，+1令n=1可得，a2=9，即a2=3a1；…（4分）故a n=3a n（n∈N*），+1故数列{a n}是首项为3，公比也为3的等比数列，通项公式为；…（5分）（2）由（1）知，，=，…（8分）则．…（10分）（3），即32n﹣（m+2）3n+7m+5=0，即，…（12分）若存在整数对（m，n），则必须是整数，其中3n﹣7只能是40的因数，可得n=1时，m=﹣2；n=2时，m=34；n=3时，m=34；…（15分）综上所有的满足题意得整数对为（﹣2，1），（34，2），（34，3）．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）lnx+x，a∈R，函数f（x）的导函数为f'（x）．（1）若直线l与曲线y=f（x）恒相切于同一定点，求l的方程；（2）若，求证：当x≥1时，ef′（x）≤e x恒成立；（3）若当x≥1时，ef（x）≤e x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为直线l与曲线y=f（x）恒相切于同一定点，所以曲线y=f（x）必恒过定点，由f（x）=a（x﹣1）lnx+x，a∈R，令（x﹣1）lnx=0，得x=1，故得曲线y=f（x）恒过的定点为（1，1），因为，所以切线l的斜率k=f'（1）=1，故切线l的方程为y=x，即x﹣y=0．（2）因为，所以令，∴，设，∵，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，当时，m（1）=e（1﹣2a）≥0，∴m（x）≥0即h'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，因为h（1）=0，故当x≥1时，h（x）≥0即ef′（x）≤e x恒成立；（3）令g（x）=e x﹣ef（x）=e x﹣e[a（x﹣1）lnx+x]，x∈[1，+∞），则．∴，x≥1，①当a≤0时，因为h'（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）=g'（x）≥h（0）=0，因为当x∈[1，+∞）时，g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（1）=0．从而，当x≥1时，ef（x）≤e x恒成立．②当时，由（2）可得g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（1）=0．从而，当x≥1时，ef（x）≤e x恒成立．③当时，h'（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h'（x）在x∈[1，+∞）内取得最小值h'（1）=e（1﹣2a）＜0．故必存在实数x0＞1，使得在（1，x0]上h'（x）＜0，即h（x）在（1，x0]上单调递减，所以当x∈（1，x0]时，h（x）=g'（x）≤h（1）=0，所以g（x）在[1，x0]上单调递减，此时存在x=x0＞1，使得g（x0）＜g（1）=0，不符合题设要求．综上①②③所述，得m的取值范围是．。

2016—2017学年江苏省常州市武进区高三（上)期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合A={1，2，5，6}，B=｛2，3，4}，则A∩B=．2．设a∈R，若复数(1+i）（a+i)的虚部为零，则a=．3．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象,可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．4．“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)．5．已知函数f（x）=，则f（log23）+f(log2)=．6．已知向量=（1,2），=（2,0），若向量λ+与向量=（1，﹣2）共线,则实数λ=．7．设S n是首项不为零的等差数列{a n｝的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,∠DAB=，点E,F分别在BC，DC边上，且=，=，则•=．9．已知锐角θ满足sin（+）=，则cos（θ+)的值为．10．已知正数x、y满足x+y=3，则+的最小值为．11．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7,a n+1=2S n+1，n∈N＊，则S5=．12．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4,AA1=3，则四面体A1BC1D的体积为．13．已知△ABC的内角A,B满足=cos(A+B），则tanB的最大值为．14．已知函数f(x）=x3﹣3x在区间［a﹣1，a+1］（a≥0）上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为．二、解答题（本大题共6小题,共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f(x）=2asinϖxcosϖx+2cos2ϖx﹣（a＞0，ϖ＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．(1)求函数f(x）的解析式及期对称轴方程；(2）求函数f（x）的单调递增区间．16．(14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，D、E分别是BC、AB的中点,F是CC1上一点，且CF=2C1F．(1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若BC=2，求证：B1F⊥平面ADF．17．（14分）在△ABC中，c=5,b=2，a=cosA．(Ⅰ）求a的值;(Ⅱ)求证：∠B=2∠A．18．（16分）某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m（m＞0）的药剂后，经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y（y毫克/升）满足函数y=mf（x），其中f（x)=当药剂在动物体内释放的浓度不低于12（毫克/升)时，称为该药剂达到有效．（1)为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）始终有效，求应该投放的药剂m的最小值；(2)若m=2，k 为整数，若该药在k 小时之内始终有效,求k的最大值．19．（16分）已知a∈R，函数f(x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（1)求f（x)的单调区间;（2）若x＞1时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．=．20．（16分)已知数列{a n}中，a1=t（t≠﹣1），且a n+1（1)证明：数列{a2n+1}是等比数列;(2)若数列｛a n}的前2n项和为S2n：①当t=1时，求S2n;②若｛S2n｝单调递增，求t的取值范围．2016—2017学年江苏省常州市武进区高三（上)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合A=｛1，2，5,6｝，B=｛2，3，4},则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】直接利用交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A=｛1，2，5,6}，B={2，3，4}，则A∩B=｛2｝．故答案为：｛2}．【点评】本题考查交集的定义，交集的求法,是基础题．2．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）的虚部为零,则a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题;方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．【解答】解：∵（1+i）（a+i)=a﹣1+(a+1）i的虚部为零，∴a+1=0,即a=﹣1．故答案为:﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据把函数y=sin2x的图象向右平移个单位,可得函数y=sin2（x﹣）的图象，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣)，故把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（2x﹣)的图象，故答案为．【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．4．“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α"的必要不充分条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”,“既不充分也不必要”）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的定义和性质进行判断即可．【解答】解：若直线不相交，则当直线l垂直于平面α内两直线时，直线l⊥α不成立，若直线l⊥α,则直线l垂直于平面a内两直线成立，故“直线l垂直于平面α内两直线"是“直线l⊥平面α"的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直的定义是解决本题的关键．5．已知函数f（x)=，则f（log23）+f（log2）=1．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由f（log23）+f（log2）=+，利用对数性质、运算法则能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f(log23）+f（log2）=+===1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意对数性质、运算法则的合理运用．6．（已知向量=(1，2），=（2，0），若向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，则实数λ=﹣1．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算就向量共线的性质得到λ的方程解之．【解答】解：因为向量=（1，2），=（2，0），所以向量λ+=（λ+2,2λ)，又向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，所以﹣2（λ+2）=2λ，解得：λ=﹣1；故答案为:﹣1．【点评】。

江苏省常州市第一中学 2017届高三上学期期中质量检测数学（理）试题一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1.已知全集，，，那么 ▲ ． 2.设函数，则的值为 ▲ ．3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ▲ ．4.设满足约束条件24,1,20,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩………则目标函数的最大值为 ▲ ．5.不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为 ▲ .6.下列四个命题中 （1）若，则；（2）命题：“”的否定是“”； （3）直线与垂直的充要条件为； （4）“若，则或”的逆否命题为“若或，则” 其中正确的一个命题序号是 ▲7.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．8．在锐角中，，，的面积为，则的长为 ▲ . 9.已知两曲线f (x )=cos x ,g (x )=3sin x ,x 2)相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ,C 两点，则线段BC 的长为 ▲10.在平面直角坐标系中，为直线上的两动点，以为直径的圆恒过坐标原点，当圆的半径最小时，其标准方程为 ▲11.动直线2)20(,)ax a c y c a R c R +++=∈∈（过定点且，则的最小值为 ▲ ． 12.已知关于的不等式的解集为,若，则实数的取值范围是 ▲13.已知的导函数为.若，且当时，，则不等式()()13312+->--x x x f x f 的解集是 ▲ .14.已知函数21,12()1(2),12x x f x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩若方程()|1|,()f x a x a R =-∈有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ▲二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分14分)已知且 (1) 若，求的值； (2) 若，求的值。

2020届江苏省常州市2017级高三上学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成,满分160分,考试时间为120分钟．2．答题前,请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方．3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上,否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案写在答题卷对应栏目）1.已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,若A B A ⋃=,则m =________．【答案】0或3【解析】【分析】由两集合的并集为A ,得到B 为A 的子集,可得出m ＝3或m m =,即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A ,∴m ＝3或m m =,解得：m ＝0或3或1（舍去）．故答案为：0或32.已知()f x 的定义域为[]1,1-,则()2log f x 的定义域为________________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-,所以-1≤log 2x≤1,所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减,且为奇函数,若()11f -=,则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4]【解析】【分析】根据题意,由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1,利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1,解可得x 的取值范围,即可得答案．【详解】根据题意,f （x ）为奇函数,若f （1）＝﹣1,则f （﹣1）＝1, f （x ）在（﹣∞,+∞）单调递减,且﹣1≤f （x ﹣3）≤1,即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1）,则有﹣1≤x ﹣3≤1,解可得2≤x ≤4,即x 的取值范围是[2,4]；故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中,若34515a a a ++=,则1267a a a a ++++=L ________．【答案】35【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值,代入所求的式子化简求值即可．【详解】由等差数列的性质得,3454415=35a a a a a ++=⇒=,∴1267a a a a ++++=L 7a 4＝35,故答案为：35．5.设()f x 是周期为1的偶函数,当01x ≤≤时,()4(1)f x x x =-,则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．。

2017年江苏省常州市高考数学模拟试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，设数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．2017年江苏省常州市高考数学模拟试卷21．B.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．21．C.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．22．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．23．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省常州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，设数列{bn}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．2=0，化为：=2×，【分析】（1）数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n﹣1．数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b3，利用数列{b n}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12S n﹣a14n2=16b m，即可得出a1．2=0，【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1，即=2，∴=a n+1∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n•4n﹣1．∵b n=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{b n}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M 的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O 2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆O 2的直角坐标方程及圆O 1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x 2+y 2=4；因为，所以，所以x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x +y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a ，b ，c 为正数，且a +b +c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．（2）a2k+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日。

2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程1．已知会集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ，则 ?U M=．2．若复数 z 满足 z+i=，其中i为虚数单位，则| z| =．3．函数 f（ x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，则这两个数的和为3 的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3， S9，S6成等差数列．且 a2 +a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ ABC中，已知 AB=1，AC=2，∠ A=60 °，若点 P 满足= +，且?=1，则实数λ的值为．12．已知 sin α =3sin（α+），则tan（α+）=．3+y3 2 2的最小值为．14．若正数 x， y 满足 15x ﹣ y=22，则 x﹣x﹣y二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15．在△ ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．若 acosB=3，bcosA=l，且 A﹣B= （1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB上一点，且 OE∥平面 BCC1B1（1）求证： E 是 AB 中点；（2）若 AC1⊥A1B，求证： AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S（单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场所面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为 l．（1）请将 l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）问当α为何值时 l 最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+ =l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右极点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同样点P，Q，求证：直线 AP，AQ 的19．己知函数 f（x） =（ x+l） lnx ﹣+ax （a 为正实数，且为常数）（1）若 f（ x）在（ 0，+∞）上单调递加，求 a 的取值范围；（2）若不等式（ x﹣1）f（ x）≥ 0 恒建立，求 a 的取值范围．20．己知 n 为正整数，数列 { a n }满足an＞0，4（n+1）an2﹣ na+12=0，设数列 { bn}满足bn=（1）求证：数列 {} 为等比数列；（2）若数列 { b n} 是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列 { b n} 是等差数列，前 n 项和为 S n，对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m建立，求满足条件的所有整数 a1的值．四.选做题本题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． A.[ 选修 4 一 1：几何证明选讲 ]21．如图，圆 O 的直径 AB=6， C 为圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E．求∠ DAC的度数与线段 AE的长．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知二阶矩阵M 有特色值λ =8及对应的一个特色向量=[] ，并且矩阵 M 对应的变换将点（﹣1， 2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特色值．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．已知圆O1和圆 O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．已知 a， b，c 为正数，且 a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每题 0 分，共计 20 分25．如图，已知正四棱锥P﹣ ABCD中， PA=AB=2，点 M ，N 分别在 PA，BD 上，且= =．（1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小；（2）求二面角 N﹣PC﹣B的余弦值．26．设 | θ| ＜，n为正整数，数列{ a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前 n 项和为 S n（1）求证：当 n 为偶函数时， a=0；当 n 为奇函数时， a =（﹣1）tan nθ；n n（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan 2nθ] ．2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷参照答案与试题解析一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程1．已知会集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ，则 ? M={ 6，7} ．U【考点】补集及其运算．【解析】解不等式化简会集M，依照补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：会集 U={ 1，2，3，4，5，6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ={ x| 1≤x≤5，x∈Z} ={ 1，2，3，4，5} ，则?U M={ 6，7} ．故答案为： { 6，7} ．2．若复数 z 满足 z+i=，其中i为虚数单位，则| z| =．【考点】复数代数形式的乘除运算．【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由 z+i=，得=，则| z| =．故答案为：．3．函数 f（ x）=的定义域为{ x| x＞且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【解析】依照对数函数的性质以及分母不是0，获取关于 x 的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得： x＞且x≠1，故函数的定义域是 { x| x＞且x≠1}，故答案为： { x| x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【解析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值，由于循环变量的初值为 2，终值为 4，步长为 1，故循环体运行只有 3 次，由此获取答案．【解答】解：当 i=2 时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当 i=3 时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当 i=4 时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5 时，不满足循环条件，退出循环，输出 t=24．故答案为： 24．5．某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽10 人，则该校高二年级学生人数为300 ．【考点】分层抽样方法．【解析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45 的样本，依照高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，获取高二年级要抽取的人数，依照该高级中学共有900 名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45 的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为： 300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【解析】正四棱锥 P﹣ABCD中， AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连接 AO，求出 PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为 PO，连接 AO，则AO= AC= ．在直角三角形 POA中， PO===1．因此 VP﹣ABCD= ?SABCD?PO=×4×1= ．故答案为：．7．从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，则这两个数的和为3 的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包括的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率．【解答】解：从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，这两个数的和为 3 的倍数包括的基本事件有：（1，2），（ 2， 4），共 2 个，∴这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【解析】求得抛物线的焦点坐标，可得 c=2，由双曲线的方程可得 a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点为（ 2，0），则双曲线﹣=l 的右焦点为（ 2， 0），即有 c==2，不如设 a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为： 2．9．设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3， S9，S6成等差数列．且 a2 +a5=4，则a8的值为 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【解析】利用等比数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出 a8的值．【解答】解：∵等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3，S9， S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，故答案为： 2．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的地址关系．【解析】由题意，设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，可得（ m2+1）y2+2my﹣4=0，设 A（ x ，y ），B（x ，y ），则 y，y +y11221=﹣ 2y 1 2=﹣，y1y2=﹣联立解得 m=1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，故答案为： x﹣y﹣1=0．11．在△ ABC中，已知 AB=1，AC=2，∠ A=60 °，若点 P 满足= +，且?=1，则实数λ的值为﹣或 1．【考点】平面向量数量积的运算．【解析】依照题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求?即可．【解答】解：△ ABC中， AB=1，AC=2，∠ A=60°，点 P 满足= +，∴﹣ =λ，∴=λ；又= ﹣ =（ +λ）﹣ = +（λ﹣）1，∴ ?=λ ?[ +（λ﹣）1 ]=λ ?+λ（λ﹣）1=λ× 2× 1× cos60 +°λ（λ﹣）1×22=1，整理得 4λ2﹣ 3λ﹣，1=0解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或 1．12．已知 sin α =3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4 ．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【解析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan α、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解： sin α=3sin（α+）=3sinαcos +3cosαsin=sin α+ cosα，∴ tan α=．又 tan =tan（﹣）===2﹣，∴t an（α+ ）====﹣=2﹣4，故答案为： 2﹣4．13．若函数 f（ x）=，则函数y=| f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．x＜1 时，【解析】利用分段函数，对x≥1，经过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当 x≥1 时，= ，即 lnx=，令 g（ x）=lnx ﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜ 0， g（2）=ln2 ﹣=ln＞0，g（4）=ln4 ﹣＜20，由函数的零点判判定理可知g（ x） =lnx ﹣，有2个零点．当 x＜1 时， y=，函数的图象与y=的图象如图，观察两个函数由 2 个交点，综上函数 y=| f（x）| ﹣的零点个数为： 4 个．故答案为： 4．3+y3 2 2的最小值为 1 ．14．若正数 x， y 满足 15x ﹣ y=22，则 x﹣x﹣y【考点】函数的最值及其几何意义．【解析】由题意可得 x＞，y＞0，又x3+y3﹣2x﹣2y=（x3﹣2x）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当 y= 时获取等号，设 f（ x） =x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可获取所求最小值．【解答】解：由正数 x，y 满足 15x﹣y=22，可得 y=15x﹣22＞ 0，则 x＞，y＞0，又x3 +y3 2 232） +（ y32），﹣x﹣y=（ x﹣x﹣y其中 y3﹣2y+y=y（ y2﹣y+ ）=y（y ﹣）2≥ 0，即 y3﹣2y≥ ﹣ y，当且仅当 y= 时获取等号，设 f（x）=x3﹣2x，f（ x）的导数为 f ′（x）=3x2﹣ 2x=x（ 3x ﹣）2，当 x= 时， f（x）的导数为× （﹣2）=，可得 f（ x）在 x=处的切线方程为y=x﹣．由 x3﹣2x≥x﹣ ? （x﹣）2（ x+2）≥ 0，当 x= 时，获取等号．则x3 +y3 2 232） +（ y32）≥x﹣﹣ y≥ ﹣ =1．﹣x﹣y=（ x﹣x﹣y当且仅当 x= ，y=时，获取最小值1．故答案为： 1．二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15．在△ ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．若 acosB=3，bcosA=l，且 A﹣ B=（1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【解析】（1）由 acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为： a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣2a=2c．相加即可得出 c．22==，又A﹣B=，可得A=B+（2）由（ 1）可得： a﹣b=8．由正弦定理可得：，C=，可得 sinC=sin．代入可得2﹣16sinB=，化简即可得出．【解答】解：（ 1）∵ acosB=3，bcosA=l，∴ a×=3，b×=1，222222化为： a +c﹣b=6c， b+c ﹣a=2c．相加可得： 2c2=8c，解得 c=4．（2）由（ 1）可得： a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又 A﹣B=，∴ A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin B=，2∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0 或=1，B∈．解得： B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 OE∥平面 BCC1B1（1）求证： E 是 AB 中点；（2）若 AC1⊥A1B，求证： AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的地址关系；直线与平面平行的性质．【解析】（1）利用同一法，第一经过连接对角线获取中点，进一步利用中位线，获取线线平行，进一步利用线面平行的判判定理，获取结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判判定理，获取线面垂直，最后转变为线线垂直．【解答】证明：（ 1）连接 BC1，取 AB 中点 E′，∵侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，∴O 为 AC1的中点，∵E′是 AB 的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′? 平面 BCCB ，BC ? 平面 BCCB ，1 11 1 1∴OE′∥平面 BCC1B1，∵OE∥平面 BCC1B1，∴E，E′重合，∴E 是 AB 中点；（2）∵侧面 AA1C1C 是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B， A1C∩A1B=A1，A1C? 平面 A1BC， A1B? 平面 A1BC，∴AC1⊥平面 A1BC，∵BC? 平面 A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S（单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场所面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为 l．（1）请将 l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）问当α为何值时 l 最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【解析】（1）求出上底，即可将l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）求导数，获取函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（ 1）设上底长为 a，则 S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l ′=h，∴0＜α＜，l＜′0，＜α＜，l′＞0，∴时， l 获取最小值m．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+ =l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右极点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，﹣）作直线 PQ 交椭圆于两个不同样点 P，Q，求证：直线 AP，AQ 的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的地址关系．【解析】（1）由题意可知 2c=2， c=1，离心率 e= ，求得 a=2，则 b2 =a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线 PQ的方程： y=k（ x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ 的率之和为定值．【解答】解：（ 1）由题意可知：椭圆+=l （ a＞ b＞ 0），焦点在 x 轴上， 2c=1，c=1，椭圆的离心率 e= =，则a=，b2=a2﹣2c=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设 P（ x1，y1），Q（x2， y2）， A（， 0），由题意 PQ 的方程： y=k（ x﹣）﹣，则，整理得：（ 2k 2+1）x 2﹣（4 k 2+4k ）x+4k 2+8k+2=0，由韦达定理可知： x 1+x 2= ，x 1x 2=，则 y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2 k ﹣2 =，则 k AP +k AQ =+ =，由 y 1x 2+y 2x 1=[ k （ x 1﹣）﹣] x 2+[ k （x 2﹣）﹣ ] x 1 =2kx 1x 2﹣（k+ ）（x 1+x 2）=﹣，k AP +k AQ == =1，∴直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值 1．19．己知函数 f （x ） =（ x+l ） lnx ﹣+ax （a 为正实数，且为常数）（1）若 f （ x ）在（ 0，+∞）上单调递加，求 a 的取值范围；（2）若不等式（ x ﹣1）f （ x ）≥ 0 恒建立，求 a 的取值范围．【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【解析】（1）求出函数 f （x ）的导数，问题转变为a ≤lnx+ +1 在（ 0，+∞）恒建立，（ a ＞ 0），令 g （ x ）=lnx+ +1，（ x ＞ 0），依照函数的单调性求出 a 的范围即可；（2）问题转变为（ x ﹣1）[ （x+1）lnx ﹣]a≥ 0 恒建立，经过谈论 x 的范围，结合函数的单调性求出 a 的范围即可．【解答】 解：（ 1）f （x ） =（ x+l ）lnx ﹣ax+a ， f （′x ）=lnx+ +1﹣a ，若 f （x ）在（ 0，+∞）上单调递加，则 a ≤ lnx+ +1 在（ 0，+∞）恒建立，（a ＞0），令 g （ x ）=lnx+ +1，（ x ＞ 0），16令g′（x）＞ 0，解得： x＞1，令 g′（ x）＜ 0，解得： 0＜ x＜ 1，故 g（ x）在（ 0，1）递减，在（ 1，+∞）递加，故g（ x）min =g（1）=2，故0＜ a≤2；（2）若不等式（ x﹣1）f（ x）≥ 0 恒建立，即（ x﹣）1 [ （ x+1）lnx ﹣]a≥ 0 恒建立，①x≥1 时，只需 a≤（ x+1）lnx 恒建立，令 m（x）=（x+1）lnx，（ x≥1），则m′（x）=lnx+ +1，由（ 1）得： m′（x）≥ 2，故 m（x）在 [ 1，+∞）递加， m（x）≥ m（1）=0，故 a≤ 0，而 a 为正实数，故 a≤0 不合题意；②0＜x＜1 时，只需 a≥（ x+1）lnx，令n（ x）=（x+1） lnx，（0＜x＜1），则n′（x） =lnx+ +1，由（ 1）n′（x）在（ 0， 1）递减，故 n′（x）＞ n（1）=2，故 n（ x）在（ 0，1）递加，故 n（ x）＜ n（ 1）=0，故 a≥ 0，而 a 为正实数，故 a＞0．20．己知 n 为正整数，数列 { a} 满足 a ＞0，4（n+1） a2﹣ na2=0，设数列 { b} 满足 b =n n n n+1n n（1）求证：数列 {} 为等比数列；（2）若数列 { b n} 是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列 { b } 是等差数列，前n 项和为 S ，对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得n n8a242建立，求满足条件的所有整数 a 的值．S﹣a n =16b1n1m1【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解析】（1）数列 { a n} 满足 a n＞0，4（n+1）a n2﹣ na+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（ 1）可得：=，可得=n ?4 ．数列 { b n} 满足 b n =，可得n﹣1b1，b2，b3，利用数列 { b n} 是等差数列即可得出 t ．S n﹣a1n =16b m，即可得出 a1．（3）依照（ 2）的结果分情况谈论 t 的值，化简 8a1242【解答】（1）证明：数列 { a } 满足 a ＞0，4（n+1）a 2﹣ na 2=0，n n nn+1∴= a n+1，即=2，∴数列 {} 是以 a1为首项，以 2 为公比的等比数列．（2）解：由（ 1）可得：=，∴=n?4n﹣1．∵b n=，∴ b1=，b2=，b3=，∵数列 { b n} 是等差数列，∴ 2×= +，∴= +，化为： 16t=t2+48，解得 t=12 或 4．（3）解：数列 { b n} 是等差数列，由（ 2）可得： t=12 或 4．①t=12 时， b n ==，S n=，∵对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得8a 2 4 2建立，1S n﹣a1n =16b m∴×﹣a1n =16×，42∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4 时， b n==，S n=，对任意的 n∈N，均存在 m∈N，使得 8a S ﹣a n =16b 建立，**2421 n1m∴×﹣a1n =16×，42∴n=4m，∴a1=．∵ a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为 { a1| a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N* } ．四.选做题本题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． A.[ 选修 4 一 1：几何证明选讲 ]21．如图，圆 O 的直径 AB=6， C 为圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E．求∠ DAC的度数与线段 AE的长．【考点】弦切角．【解析】连接 OC，先证得三角形 OBC是等边三角形，从而获取∠ DCA=60°，再在直角三角形ACD中获取∠ DAC的大小；考虑到直角三角形 ABE中，利用角的关系即可求得边 AE 的长．【解答】解：如图，连接 OC，因 BC=OB=OC=3，因此∠ CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，因此∠ DCA=60°，又 AD⊥DC得∠ DAC=30°；又由于∠ ACB=90°，得∠ CAB=30°，那么∠ EAB=60°，从而∠ ABE=30°，于是．19[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知二阶矩阵M 有特色值λ =8及对应的一个特色向量=[] ，并且矩阵 M 对应的变换将点（﹣1， 2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特色值．【考点】特色值与特色向量的计算；几种特其他矩阵变换．【解析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特色值λ=8及对应的一个特色向量 e1及矩阵 M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．获取关于 a，b，c，d 的方程组，即可求得矩阵 M ；（2）由（ 1）知，矩阵 M 的特色多项式为 f （λ）=（λ﹣）6（λ﹣）4﹣8=λ2﹣10+16λ，从而求得另一个特色值为 2．【解答】解：（ 1）设矩阵 A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵 M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2， 4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6， b=2，c=4，d=4，故 M=．（2）由（ 1）知，矩阵 M 的特色多项式为 f （λ）=（λ﹣）6（λ﹣）4﹣8=λ2﹣10+16λ，故矩阵 M 的另一个特色值为 2．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．已知圆 O和圆 O 的极坐标方程分别为ρ=2，．12（1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；订交弦所在直线的方程．【解析】（1）先利用三角函数的差角公式张开圆 O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ，=xρsin θ，=yρ2=x2+y2，进行代换即得圆 O2的直角坐标方程及圆 O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（ 1）ρ=2? ρ=4，因此x +y=4；由于，222因此，因此 x2+y2﹣2x ﹣2y﹣．2=0（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ，=1即．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．已知 a， b，c 为正数，且 a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【解析】利用柯西不等式，结合 a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][ （）2+（）2+（）2] =3× 12∴++≤ 3 ，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是 6，故最大值为 6．四.必做题：每题 0 分，共计 20 分25．如图，已知正四棱锥P﹣ ABCD中， PA=AB=2，点 M ，N 分别在 PA，BD 上，且= =．（1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小；（2）求二面角 N﹣PC﹣B的余弦值．【解析】（1） AC与 BD 的交点 O， AB=PA=2．以点 O 坐原点，，，方向分是 x 、 y 、 z 正方向，建立空直角坐系O xyz．利用向量法能求出异面直MN 与PC所成角．（2）求出平面 PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N PC B的余弦．【解答】解：（ 1） AC与 BD 的交点 O， AB=PA=2．以点 O 坐原点，，，方向分是x、y、z正方向，建立空直角坐系O xyz．A（ 1， 1，0），B（1，1，0）， C（ 1，1，0）， D（ 1， 1，0），⋯ P（ 0， 0， p），=（ 1， 1， p），又 AP=2，∴1+1+p2=4，∴ p= ，∵===（），=（），∴=（ 1，1，）， =（0，，），异面直 MN 与PC所成角θ，cosθ===．θ=30，°∴异面直 MN 与 PC所成角 30°．（2）=（ 1，1，），=（1，1，），=（，），平面 PBC的法向量=（ x， y，z），，取 z=1，得 =（0，，1），平面 PNC的法向量=（a， b， c），，取 c=1，得 =（，2， 1），二面角 N PC B的平面角θ，∴二面角 N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设 | θ| ＜，n 为正整数，数列 { a } 的通项公式 a=sin tan nθ，其前 n 项和为 Sn n n （1）求证：当 n 为偶函数时， a n =0；当 n 为奇函数时， a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan 2nθ] ．【考点】数列的求和．【解析】（1）利用 sin=，即可得出．（2）a2k ﹣+a12k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（ 1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时， a n=sink π ?tanθ =0；当 n=2k﹣1为奇函数时， a n=?tan θ=（﹣1）tan θ=（﹣1）tan θ．n k﹣1 n n（2）a2k﹣+a12k=（﹣1）n2 tan θ．∴奇数项成等比数列，首项为tan θ，公比为﹣ tanθ．∴S2n==sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ] ．2017 年 4 月 18 日。