福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学第七章 不等式7.1 不等关系与不等式

考点25 不等关系与不等式一、选择题1.（2011·浙江高考理科·Ｔ7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【思路点拨】此题考查充要条件的判定与不等式的基本性质，要准确使用。

【精讲精析】选A. 01ab <<可分为两种情况:当0,0a b >>时， 1a b <；当0,0a b <<时， 1b a>。

∴“10<<ab ”是“b a 1<或ab 1>”的充分条件， 反之，当1a b <或1b a >时，可能有0ab <，∴“10<<ab ”是“b a 1<或a b 1>”的不必要条件， 故应为充分而不必要条件。

2.（2011·浙江高考文科·Ｔ6）设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【思路点拨】此题考查充要条件的判定与不等式的基本性质，要准确使用.【精讲精析】选D. 01ab <<可分为两种情况:当0,0a b >>时，1b a <；当0,0a b <<时， 1b a >,故不充分; 反之，当10b a<<，有0ab <，故不必要，所以应为既不充分也不必要条件。

二、填空题3.（2011·广东高考理科·Ｔ9）不等式130x x +--≥的解集是______.【思路点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法.先移项，然后两边平方，转化为一元一次不等式求解. 【精讲精析】由0|3||1|≥--+x x 得|3||1|-≥+x x ，两边平方得961222+-≥++x x x x ，即88≥x .解得1≥x ，所以原不等式的解集为}1|{≥x x . 【答案】}1|{≥x x 三、解答题4.（2011·安徽高考理科·Ｔ19）（Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明111x y xy xy x y ++≤++（Ⅱ）设1a b c <≤≤，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++【思路点拨】利用不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式的知识进行解答.【精讲精析】（1）由于,1,1≥≥y x 所以要证明111x y xy xy x y ++≤++，只需证.)(1)(2xy x y y x xy ++≤++将上式中的右式减左式，得[][]22()()1()1()()(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1).y x xy xy x y xy xy x y x y xy xy x y xy xy xy x y xy x y ⎡⎤++-++⎣⎦⎡⎤=--+-+⎣⎦=+--+-=---+=---既然,1,1≥≥y x 所以,0)1)(1)(1≥---y x xy （从而所要证明的不等式成立.（Ⅱ）设y c x b b a ==log ,log ，由对数的换底公式得.log ,1log ,1log ,1log xy c y b x a xy a a c b c ==== 于是，所要证明的不等式即为111x y xy xy x y ++≤++.其中.1log ,1log ≥=≥=c y b x b a故由（Ⅰ）成立知log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++成立.。

第七章不等式考点1 不等关系与不等式1.（2017•山东,7）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A.a+ ＜＜log2（a+b）B.＜log2（a+b）＜a+C.a+ ＜log2（a+b）＜D.log2（a+b））＜a+ ＜1. B ∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选B．2.（2017·天津,8）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A.[﹣，2]B.[﹣，]C.[﹣2 ，2]D.[﹣2 ，]2. A 当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选A ． 3.(2016·北京,5)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,则( )A.1x －1y＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0 3.C [函数y ＝1x 在(0,＋∞)上单调递减,所以1x ＜1y ,即1x －1y ＜0,A 错;函数y ＝sin x 在(0,＋∞)上不是单调函数,B 错;函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0,＋∞)上单调递减,所以⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫12y ,即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y＜0,所以C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ,当x ＞y ＞0时,xy 不一定大于1,即不一定有ln xy ＞0,D 错.]4. (2016·全国Ⅰ,8)若a >b >1,0<c <1,则( )A.a c <b cB.ab c <ba cC.a log b c <b log a cD.log a c <log b c4.C [对A ：由于0<c <1,∴函数y ＝x c 在R 上单调递增,则a >b >1⇒a c >b c ,故A 错； 对B ：由于－1<c －1<0,∴函数y ＝x c －1在(1,＋∞)上单调递减,∴a >b >1⇔a c －1<b c －1⇔ba c <ab c ,故B 错；对C ：要比较a log b c 和b log a c ,只需比较a ln c ln b 和b ln c ln a ,只需比较ln c b ln b 和ln ca ln a ,只需比较b ln b 和a ln a .构造函数f (x )＝x ln x (x >1),则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0,f (x )在(1,＋∞)上单调递增,因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒1a ln a <1b ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c a ln a >ln cb ln b ⇒b log ac >a log b c ,C 正确；对D ：要比较log a c 和log b c ,只需比较ln c ln a 和ln cln b,而函数y ＝ln x 在(1,＋∞)上单调递增,故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇔1ln a <1ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c ln a >ln cln b ⇔log a c >log b c ,D 错误,故选C.]5.(2014·四川,4)若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a c >bdB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c 5.D [由c <d <0⇒－1d >－1c >0,又a >b >0,故由不等式性质,得－a d >－b c >0,所以a d <bc,故选D.]6.(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c >96.C [由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9].]7.(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.7.{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.]8.(2014·江苏，10)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.8.⎝⎛⎭⎫－22，0[由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0， 解得－22<m <0.] 考点2 线性规划1.（2017•新课标Ⅱ,5）设x ，y 满足约束条件 ，则z=2x+y 的最小值是（ ）A.﹣15B.﹣9C.1D.91. A x 、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由 解得A （﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选A ．2.（2017·天津,2）设变量x ，y 满足约束条件 ，则目标函数z=x+y 的最大值为（）A. B.1 C. D.32. D 变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选D．3.（2017•北京,4）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A.1B.3C.5D.93. D x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选D．4.（2017•山东,4）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）A.0B.2C.5D.64. C 画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+ z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选C．5.（2017•浙江,）若x 、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是（ ）A.[0，6]B.[0，4]C.[6，+∞）D.[4，+∞）5. A x 、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过坐标原点时，函数取得最小值，经过A 时，目标函数取得最大值， 由解得A （0，3），目标函数的直线为：0，最大值为：36目标函数的范围是[0，6]．故选A ．6.(2016·四川,7)设p ：实数x ,y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2,q ：实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.A [如图,(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ,y 满足②则必然满足①,反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.]7.(2016·山东,4)若变量x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.127.C[满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如右图阴影部分(包括边界),x 2＋y 2是可行域上动点(x ,y )到原点(0,0)距离的平方,显然,当x ＝3,y ＝－1时,x 2＋y 2取最大值,最大值为10.故选C.]8.(2016·北京,2)若x ,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.58.C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ,则y ＝－2x ＋z ,作直线2x ＋y＝0并平移,当直线过点A 时,截距最大,即z 取得最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2),可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.]9.(2015·广东,6)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.49.C[不等式组所表示的可行域如下图所示,由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2,依题当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z2经过A ⎝⎛⎭⎫1，45时,z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235,故选C.]10.(2015·北京,2)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.210.D[可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ,当直线y ＝－12x ＋12z ,过点A (0,1)时,z 取得最大值2.]11.(2015·福卷,5)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A.－52B.－2C.－32D.211.A[如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ,由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎫－1，12时z 最小,z min ＝2×(－1)－12＝－52,故选A.]12.(2015·山东,6)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4,则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－312.B[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2,0),由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1).由z ＝ax ＋y ,得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时,z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值,最大值为z max ＝0,不满足题意,排除C,D 选项；当a ＝2或3时,z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值, ∴2a ＝4,∴a ＝2,排除A,故选B.]13.（2017•新课标Ⅰ,14）设x ，y 满足约束条件 ，则z=3x ﹣2y 的最小值为________．13. -5 由x ，y 满足约束条件 作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立 ，解得A （﹣1，1）．∴z=3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．14.（2017•新课标Ⅲ,13）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为________14.﹣1 由z=3x﹣4y，得y= x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y= x﹣，通过平移可知当直线y= x﹣，经过点B（1，1）时，直线y= x﹣在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．15.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.1715.D[设甲、乙的产量分别为x吨,y吨,由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).]16.(2014·广东,3)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ,则m －n ＝( ) A.5 B.6C.7D.816.B[作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y ＝－2x ＋z 经过点A时,z 的值最大,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1,则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时,z的值最小,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1,则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3,故m －n ＝6.]17.(2014·安徽,5)x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( ) A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－117.D[法一 由题中条件画出可行域,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B ＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ,解得a ＝－1或a ＝2.法二 目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0：y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2.]18.(2014·山东,9)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0,b >0)在该约束条件下取到最小值25时,a 2＋b 2的最小值为( ) A.5 B.4C. 5D.218.B [法一 不等式组表示的平面区域如图所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,1)处取得最小值,故2a ＋b ＝25,两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20,又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2,所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2),所以a 2＋b 2≥4,即a 2＋b 2的最小值为4,当且仅当a ＝2b ,即b ＝25,a ＝45时等号成立. 法二 把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线,则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方,即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.]19.(2014·新课标全国Ⅰ,9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ,y )∈D ,x ＋2y ≥－2,p 2：∃(x ,y )∈D ,x ＋2y ≥2, p 3：∀(x ,y )∈D ,x ＋2y ≤3,p 4：∃(x ,y )∈D ,x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A.p 2,p 3B.p 1,p 4C.p 1,p 2D.p 1,p 319.C[画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2,－1)时,取得最小值0,故x ＋2y ≥0,因此p 1,p 2是真命题,选C.]20.(2016·全国Ⅲ,13)若x,y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________.20.32[满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0的可行域为以A(－2,－1),B(0,1),C⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界,过C⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值为32.]21.(2016·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为________元.21. 216 000 [设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0，x∈N*，y∈N*目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).]22.(2015·新课标全国Ⅰ,15)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________. 22.3[约束条件的可行域如下图,由y x ＝y －0x －0,则最大值为3.]23.(2014·大纲全国,14)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________.23.5[作出约束条件下的平面区域,如图所示.由图可知当目标函数z ＝x ＋4y 经过点B (1,1)时取得最大值,且最大值为1＋4×1＝5.]24.(2014·湖南,14)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6,则k ＝________.24.－2[画出可行域(图略),由题意可知不等式组表示的区域为一三角形,平移参照直线2x ＋y ＝0,可知在点(k ,k )处z ＝2x ＋y 取得最小值,故z min ＝2k ＋k ＝－6.解得k ＝－2.]考点3 基本不等式1.（2017•江苏,10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 1.30 由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．2.（2017·天津,12）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．2. 4 a，b∈R，ab＞0，∴≥= =4ab+ ≥2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．3 .(2014·上海，5)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．3.22[∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2 2.]。

§7.1不等关系与不等式命题探究解答过程答案:216 000解析:设A、B两种产品分别生产x件和y件,获利z元.由题意,得z=2 100x+900y.不等式组表示的可行域如图,由题意可得解得故A点的坐标为(60,100),目标函数为z=2 100x+900y.直线 2 100x+900y-z=0经过点A时,纵截距最大,即目标函数取得最大值,2 100×60+900×100=216 000元.故答案为216 000考纲解读分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.五年高考考点不等式的概念和性质1.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<答案 B2.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则( )A.->0B.sin x-sin y>0C.-<0D.ln x+ln y>0答案 C3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.>B.<C.>D.<答案 D4.(2013陕西,10,5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( )A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y]答案 D教师用书专用(5—7)5.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.( )A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100答案 D6.(2015湖北,10,5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n,则正整数n的最大值是( )A.3B.4C.5D.6答案 B7.(2013广东,8,5分)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( )A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈SC.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S答案 B三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点不等式的概念和性质1.(2018山东济宁期末,3)已知a>b>0,则下列不等关系中正确的是( )A.sin a>sin bB.ln a<ln bC.<D.<答案 D2.(2018天津滨海新区大港油田第一中学期中,2)若a、b、c∈R,则下列命题中正确的是( )A.若ac>bc,则a>bB.若a2>b2,则a>bC.若<,则a>bD.若>,则a>b答案 D3.(2018安徽蒙城第一中学、淮南第一中学等五校联考,4)已知下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0,能推出<成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C4.(2017江西赣州、吉安、抚州七校联考,4)设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )A.a3>b3B.<C.a b>1D.lg(b-a)<0答案 D5.(2017广东百校联考,4)已知<<1,则下列不等式成立的是( )A.(a-1)2>(b-1)2B.ln a>ln bC.a+b>1D.<答案 B6.(人教A必5,三,3-1,3,变式)已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么下列不等式成立的是( )A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>b-dD.a+c>b+d答案 D7.(2016山东部分重点中学第二次联考,2)已知a>b,则下列不等式中恒成立的是( )A.ln a>ln bB.<C.a2>abD.a2+b2>2ab答案 DB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018湖北重点高中联考协作体期中,8)已知0<c<1,1>a>b>0,下列不等式成立的是( )A.c a>c bB.<C.ba c>ab cD.log a c>log b c答案 D2.(2017山西吕梁二模,8)已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是( )A.log2a>0B.2a-b<C.log2a+log2b<-2D.<答案 C3.(2017湖北襄阳四校期中联考,2)已知1<x<10,a=lg x2,b=lg(lg x),c=(lg x)2,那么有( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c答案 C4.(2016江西九江七校第一次联考,5)已知a,b∈R,则“a>0,b>0”是“a2+b2≥2ab”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(2016湖南二模,9)已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A.2枝玫瑰的价格高B.3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不确定答案 A二、填空题(共5分)6.(2018陕西咸阳模拟考试,15)已知函数f(x)=ax+b,0<f(1)<2,-1<f(-1)<1,则2a-b的取值范围是. 答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 不等式性质的应用问题的常见类型及解题策略1.(2018广东中山一中第五次统测,5)已知0<a<b,且a+b=1,下列不等式中一定成立的是( )①log2a>-1;②log2a+log2b>-2;③log2(b-a)<0;④log2>1.A.①②B.③④C.②③D.①④答案 B2.(2017河南百校联盟模拟,6)设a,b∈R,则“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C方法2 比较大小的常用方法3.(2017四川资阳4月模拟,9)已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是( )A.c a>c bB.a c<b cC.>D.log a c>log b c答案 D4.(2016河南郑州模拟,15)已知a+b>0,则+与+的大小关系是.答案+≥+。

高考数学新增分大一轮新高考：第七章 7.1 不等关系与不等式高考数学新增分大一轮新高考：第七章7.1不等关系与不等式§7.1不平等和不平等最新考纲1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1.A-B>0？a> b？？(1)作差法?a－b＝0?a＝b?? a－b<0？A.(a，b∈r)?? A.(2)作商法?b＝1?a＝bA.b<1？A.2．不等式的基本性质A.>1?a>bb（a）∈r、 b>0）性质对称性传递性可加性可乘性性质内容a>b?bb，b>c?a>ca>b?a＋c>b＋c特别提醒???注意c的符号a>b???ac>bcc>0?各向同性可加性各向同性正多重性a>b？？？acb？？？a+c>b+dc>d？a> b>0？？？ac>bdc>d>0？a> b>0？an>bn？？乘法平方（n）∈ n、n≥ 1)概念方法微思考a、 B也是一个正数111．若a>b，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？ab11提示不确定。

如果a>b，AB>0，那么ab11如果a>0>b，则>，即正数大于负数ab2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以添加，但不一定要成倍增加，例如，2>-1，-1>-3题组一思考辨析1.判断以下结论是否正确（请勾选“√“或“×”）(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a（2）如果大于1，则a>B（×）b（3）一个不等式的两边都被相同的数字相加或相乘，并且不等式符号的方向保持不变（×）ab(4)a>b>0，c>d>0?>.(√)dc11(5)ab>0，a>b?ab题组二教材改编2．若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的()a．充分不必要条件c．充要条件答案ab．必要不充分条件d．既不充分也不必要条件解析a－b>0?a>b?a>b?a2>b2，但由a2－b2>0?a－b>0.3．设bb＋d答案c解析由同向不等式具有可加性可知c正确．题组三易错自纠4．若a>b>0，ca.－>0cdabc.>dc答案d解析∵c又∵cd>0，∴>，即>.cdcdcd5．设a，b∈r，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()a．充分不必要条件c．充要条件答案a解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a1＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a2＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选a.ππ6．若－22答案(－π，0)ππππ解析由－2222得－πb．必要不充分条件d．既不充分也不必要条件abb.－<0cdabd.<dcb．acb＋c题型一比较两个数(式)的大小b2a2例1(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为()aba．pq答案bb2a2解析(作差法)p －q＝＋－a－babb2－a2a2－b2?1－1?＝＋＝(b2－a2)?ab?ab?b2－a2??b－a??b－a?2?b＋a?＝＝，abab因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．aba?a－baabba解∵ba＝a－b＝??b?，abb－b．p≤qd．p≥qa又a>b>0，故>1，a－b>0，ba?a－bab∴?>1，即>1，?b?abba又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb与abba的大小关系为：aabb>abba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p∈r，m＝(2p＋1)(p－3)，n＝(p－6)(p＋3)＋10，则m，n的大小关系ab为________．答案m>n解析因为m－n＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以m>n.(2)若a>0，且a≠7，则()a．77aa<7aa7b．77aa＝7aa7c．77aa>7aa7d．77aa与7aa7的大小不确定答案c77aa7－aa－7?7?7－a解析a7＝7a ＝?a?，7a7则当a>7时，0<<1，7－a<0，a7?7－a7aa7则?>1，∴7a>7a；?a?7当01，7－a>0，a7?7－a7aa7则?>1，∴7a>7a.a??综上，77aa>7aa7.题型二不等式的性质例2(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()a．若a>b，c≠0，则ac>bcb．若a>b，则ac2>bc2c．若ac2>bc2，则a>b11d．若a>b，则<ab答案c解析对于选项a，当c<0时，不正确；对于选项b，当c＝0时，不正确；对于选项c，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项c正确；对于选项d，当a>0，b<0时，不正确．。

第七章 不等式7．1 不等关系与不等式考纲要求了解现实世界和日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景．1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0________；a －b ＝0________；a －b ＜0________. 23(1)倒数性质①a ＞b ，ab ＞01a __________1b；②a ＜0＜b 1a __________1b；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d a c __________b d；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜01b __________1x __________1a.(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a __________b ＋m a ＋m ，b a __________b －ma －m (b －m ＞0)．②假分数的性质：a b __________a ＋m b ＋m ，a b __________a －mb －m(b －m ＞0)．1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )． A ．1a ＜1b B ．a 2＞b 2C ．a c 2＋1＞bc 2＋1D ．a |c |＞b |c |2．下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ac ＞bd a d ＞bc ，其中错误之处的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．设a ＞0，b ＞0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b的最小值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．2 24．若x ＞y ， a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ；②a ＋x ＞b ＋y ；③ax ＞by ；④x －b ＞y －a ；⑤a y＞b x这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．一、用不等式(组)表示不等关系【例1】某蔬菜收购点租用车辆，将100 t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t ，运费960元，每辆农用车载重2.5 t ，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来．方法提炼体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数． 请做演练巩固提升4二、比较实数(或代数式)的大小【例2－1】已知在等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小． 【例2－2】已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：ea －c ＞eb －d.方法提炼比较大小的方法 1．作差法其一般步骤是：(1)作差； (2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2．作商法其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．4．注意：a ＞b 1a ＜1b和a ＞ba n ＞b n(n ∈N ，且n ＞1)成立的条件．请做演练巩固提升2,5错用不等式性质求范围致误【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．错解：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤f －，2≤f ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. ∴f (－2)的取值范围是[4,11]．正解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m 、n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]答题指导：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f (－2)的取值范围扩大．另外，本题也可用线性规划求解，题中a 、b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径．1．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．比较大小：a a b b __________a b b a(a ＞0，b ＞0且a ≠b )．3．已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，则a －b ，a b的取值范围分别是__________，__________. 4．已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x 满足的不等关系__________．5．已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．参考答案基础梳理自测知识梳理1．a ＞b a ＝b a ＜b2．b ＜a a ＞c a ＋c ＞b ＋d ac ＞bc ac ＜bc a ＋c ＞b ＋d ac ＞bd ＞0 a n ＞b nna ＞nb3．(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＜ ＜ (2)①＜ ＞ ②＞ ＜ 4．(1)－a ＜x ＜a (2)x ＜－a 或x ＞a 基础自测1．C 解析：解法一：(特殊值法)令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入A ，B ，C ，D 中，可知A ，B ，D 均错．故选C. 解法二：(直接法) ∵a ＞b ，c 2＋1＞0，∴a c 2＋1＞bc 2＋1.故选C. 2．D 解析：①a ＞bac ＞bc ，②c ＞dbc ＞bd ，③ac ＞bd a d ＞b c. 3．B 解析：lg a ＋lg b ＝lg ab ＝0，ab ＝1，1a ＋1b ≥21ab＝2.当且仅当a ＝b 时“＝”成立．4．②④ 解析：若x ＞y ，a ＞b ，则－x ＜－y ，∴a －y ＞b －x . 若x ＞y ，a ＞b ，则－b ＞－a ， ∴x －b ＞y －a ，若x ＞y ，a ＞b ，则推不出ax ＞by . 若x ＞y ，a ＞b ，推不出a y ＞b x.综上，①③⑤错误，②④正确． 考点探究突破【例1】解：设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2.5y ≥100，24x ＋9y ≤325，0≤x ≤10，0≤y ≤20，x ，y ∈N .【例2－1】 解：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q ) ＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q4＜0， 所以有S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.【例2－2】 证明：∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0.∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0.∴1a －c ＜1b －d . 又∵e ＜0，∴ea －c ＞eb －d.演练巩固提升1．D 解析：∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号．当a ，b 同正时，由0＜ab ＜1易得b ＜1a ；当a ，b 同负时，由0＜ab ＜1易得b ＞1a. 因此0＜ab ＜1b ＜1a；反过来，由b ＜1a 得，b －1a＜0，即ab －1a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab <1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，ab >1.因此b ＜1a0＜ab ＜1.综上知“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件．2．＞ 解析：根据同底数幂的运算法则，采用作商法．a ab b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b， 当a ＞b ＞0时， 即ab ＞1，a －b ＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a； 当b ＞a ＞0时，0＜ab＜1，a －b ＜0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上，a a b b ＞a b b a.3．(－24,45) ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4 解析：欲求a －b 的取值范围，应先求－b 的取值范围；欲求a b 的取值范围，应先求1b的取值范围．∵15＜b ＜36，∴－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，∴12－36＜a －b ＜60－15. ∴－24＜a －b ＜45. 又136＜1b ＜115，∴1236＜a b ＜6015.∴13＜ab＜4. 4.⎩⎪⎨⎪⎧15－x >0，15－x ＋19－x >23－x ，(23－x )2>(15－x )2＋(19－x )25．解：方法一：(作差法) ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 方法二：(函数法)记t ＝a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝a 2－(b ＋c )a ＋b 2＋c 2－bc ，∵Δ＝(b ＋c )2－4(b 2＋c 2－bc )＝－3b 2－3c 2＋6bc ＝－3(b －c )2≤0， ∴t ≥0对a ∈R 恒成立，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。

分组求和练习题：1.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 2、数列{a n }的通项a n =2n +3n +1，求n S ；等差数列通项公式前n 项和公式：_____________________________________________________________________________________ _______________________________________等比数列通项公式前n 项和公式：_____________________________________________________________________________________ _______________________________________不等式式部分：1.书上54页B 组1、22.写出下列各题中的关系式（1）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（2）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是No 。

050301001 T:ZhengZ54035461 分组求和练习题：1.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 2、数列{a n }的通项a n =2n +3n +1，求n S ；等差数列通项公式前n 项和公式：_____________________________________________________________________________________ _______________________________________等比数列通项公式前n 项和公式：_____________________________________________________________________________________ _______________________________________不等式式部分：1.书上54页B 组1、22.写出下列各题中的关系式（1）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（2）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是。