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1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C【解析】由于B A Þ，所以AB I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-． 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，22AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132212D ABC V a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)π B．3)22ππ C ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg )22π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以3e =不合题意．14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】D15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分 21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B A C =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ．③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分 ⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分 23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+- ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的(1)设全集I ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，B ={3，5}．则()(A)I =A ∪B ；(B)I =A ∪B ；(C)I =A ∪B ；(D)A ∪B 。
(2)当a >1时，在同坐标系中．函数y =a －x与y =log a x 的图像是()(3)若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是()(A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<−Z k k x k x ,412432ππππ；(B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ；(C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<−Z k k x k x ,4141ππππ；(D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ。
(4)复数54)31()22i i −+（等于()(A)i 31+；(B)i 31+−；(C)i 31−；(D)i 31−−。
(5)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()(A)720种；(B)360种；(C)240种；(D)120种。
(6)已知α是第三象限角sin α=－2524，则tg 2α=()(A)34；(B)43；(C)－43；(D)－34。
(7)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β∩γ，l ∥α，m =α，m ⊥γ，那么必有()(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β(C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8)当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin x ＋3cos x 的()(A)最大值是1，最小值是－1；(B)最大值是1，最小值是－21；(C)最大值是2，最小值是－2；(D)最大值是2，最小值是－1。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C 【解析】由于B A ，所以A B I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略．6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-．7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，222AC aBO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以23112232212D ABC a V a a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)πB ．3(3,),(3,)22ππC ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或3e =0a b <<，所以e ==>e =14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】Dα=而(0,)2πα∈，∴tan α=，而它是唯一的极值点．∴ 当tan α=时，V 取得最大值，此时cos α=22cos 3r l ππα==⋅=，应选D ． 【点评】上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度．15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于 A ．0.5 B ．0.5- C ．1.5 D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．60的二面19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ． 【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，222,,BF a BC a FC FD CD ===+=2222cos602AD FA AD FA CD a +-⋅︒+=，2222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ． 【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分． 解法一：由题设条件知60,120B AC =+=． ——2分∵2cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A代入上式得cos)22A C A C -=--．将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos 3)022A C A C --+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos22A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B AC =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ． ③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB === ∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+-])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =． 由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程yx y =确定y 是x 的函数,则dy =___________.(2)设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________..(3)设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________.(4)设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= .则线性方程组TA XB =的解是___________.(5)设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成()(A)10(,)dy f x y dx⎰(B)10(,)dy f x y dx ⎰(C)1100(,)dx f x y dy⎰⎰(D)1(,)dx f x y dy⎰(2)下述各选项正确的是()(A)若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C)若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D)若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥= ,则级数1nn v∞=∑也收敛(3)设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则()(A)1()n A AA -**=(B)1()n A AA +**=(C)2()n A AA-**=(D)2()n A AA+**=(4)设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ,若存在两组不全为零的数1,,mλλ 和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则()(A)1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关(B)1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关(C)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性无关(D)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关(5)已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是()(A)()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+(B)()1212()()P A B A B P A B P A B +=+(C)()1212()()P A A P A B P A B +=+(D)()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-.(1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()x yu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、c 均为正数,且a bc >.(1)求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1)已知A 的一个特征值为3,试求y ；(2)求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kk EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】()1ln dx x y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,()()11ln 1ln 1dx y dy dy x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠.方法2：把yx y =变形得ln y yx e=,然后两边求微分得()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,由此可得()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有()1()arcsin ()xf x x x f x '===,于是有1()dx f x ⎰212==⎰⎰()2112x =--C =.(3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即()()()200002y ax bx c ax b x x .-++=+-又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意.(4)【答案】()1000T,,, 【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0ijA a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TA XB =有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111n n n n n n n n x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,易见1230n D A ,D D D .===== 所以TA XB =的解为12310n x ,x x x ===== ,即()1000T,,,, .【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 或简记为112nijji j a xb ,i ,,,n===∑ 其系数行列式1112121222120nn n n nna a a a a a D a a a =≠,则方程组有唯一解12j j D x ,j ,,,n.D==其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b 替换D 中第j 列所成的行列式,即1111111121212212111,j ,j n ,j ,j n j n n,j nn,j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=.(5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据因2(,0.9)X N μ ,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,X N n μ ,将其标准化,~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ-由正态分布分为点的定义21P u αα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P U u U N αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =,5X =,因此,根据95.0}96.11{=<-nX P μ,有1.96}0.95P <=,即{4.412 5.588}0.95P μ<<=,故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588).方法2：由题设,95.01=-α,22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 20.9σ=,9n =,5X=代入22(x u x u αα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是(),|0,0cos ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1,下边界方程是0y ,=上边界的方程是y =,从而D的直角坐标表示是(){010D x,y |x ,y ,=≤≤≤≤故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为()1,|0,0sin ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式222n n n nu v u v ≤+及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112n n u ,v n ,,n === ,可知(B)不正确.设()21112n u n ,,n n=-= ,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-= ,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥= ,则级数1nn v∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==,现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=.方法一：由1n A A-*=及1()AA A*-=,可得121()().n n A A A A AA A A--****-===故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγ 线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++= ,必有120,0,,0s x x x === .既然1,,m λλ 与1,,m k k 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于1122110,s s s s k k k l l αααββ++++++= 不能保证必有11220,s s k k k ααα+++= 及110,s s l l ββ++= 故(A)不正确.由已知条件,有()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ+++++-++-= ,又1,,m λλ 与1,,m k k 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】依题意()()()()()12121212)(,.()()()()()P A A B P A B P A B P A B A B P A B P A B P B P B P B P B P B +⎡⎤++⎣⎦=+=因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =.三、(本题满分6分)【解析】(1)由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时,22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'==当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛.所以2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2)()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'=0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x --→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===.而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分)【解析】由()z f u =可得(),()z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂.在方程()()x yu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-.于是()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.【解析】方法1:因为21(1)111x x xx xxe x dxdx xd e e e e -----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x xx x x x xx x e x dx d e e e e ex e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xx x x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+,故原式ln 2=.方法2:220001(1)(1)1x x x x xxe xe dx dx xd e e e -+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x xx x xx dx dx e dx e e e e d e e e +∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.这个公式叫做积分中值公式.2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续；(2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =,那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++令0,R '=得00p b =-=>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.(2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥=-=⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分)【解析】令y z x =,则dy dz z x dx dx=+.当0x >时,原方程化为dz z xz dx +=-,dxx =-,其通解为1ln(ln z x C +=-+或Cz x=.代回原变量,得通解(0)y C x +=>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下:令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-=-从而有通解(0)y C t =>,即(0)y C x +=<.综合得,方程的通解为y C +=.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得=,从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,00311311011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于T A A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2Tx A x ,将其化为标准形Ty y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换1122334410000100,400150001x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦有222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎦.方法二：正交变换法.二次型22222123434558Tx A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其特征多项式2310000100(1)(9)00540045E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即1234000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,,(0,0,T T T ββββ===-=.取正交矩阵[]1234100001000000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎢⎢⎢⎣,则1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1：(定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα 是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α== ,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++= .(2)由于0A β≠,故120t k k k k ++++= .对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++= .(3)把(2)代入(3)得11220t t k k k ααα+++= .由于12,,,t ααα 是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k === .代入(2)式得:0k =.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.证法2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→ 因此()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++= 由于12,,,t ααα 是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα= ,又β必不能由12,,,t ααα 线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+ .所以()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+ 即向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B .由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅={}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.X X Y f X X X=⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-,0,1,,k n = .2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍1,2,3,4,5,6时,统计C 可能出现的点数有多少种.B123456有利于1A 的样本点数012466有利于2A 的样本点数11由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111()3618q P A +===【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分)【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().i i i i n n n i n i i i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n n n====-=-====-∑∑因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有1lim )(),ni n i P X n x x μ→∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yx y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n nn n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=.则线性方程组T A X B =的解是___________.(5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰(B) 10(,)dy f x y dx ⎰ (C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D) 10(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1nn u∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A A A -**= (B) 1()n A A A +**= (C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα和1,,m ββ,若存在两组不全为零的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则( )(A) 1,,m αα和1,,m ββ都线性相关 (B) 1,,m αα和1,,m ββ都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-. (1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵010010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】()1ln dxx y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,()()11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把yx y =变形得ln y yx e =,然后两边求微分得()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,由此可得 ()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有()1()arcsin ()xf x x f x '==⇒=于是有1()dx f x ⎰212==⎰ ()2112x =--C =.(3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意 【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即()()()200002y ax bx c ax b x x .-++=+-又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T,,,【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0ijA a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组T A X B =有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111n n n n n nnn x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 易见 1230n D A ,D D D .=====所以TA XB =的解为12310n x ,x x x =====,即()1000T,,,,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 或简记为 112nij ji j a xb ,i ,,,n ===∑其系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠,则方程组有唯一解12j j D x ,j ,,,n.D==其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b 替换D 中第j 列所成的行列式,即1111111121212212111,j ,j n ,j ,j n j n n,j nn,j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=.(5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据 因2(,0.9)XN μ,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,)XN n μ,将其标准化,~(0,1)XN 得：)1,0(~1N nX μ-由正态分布分为点的定义21P uαα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P U u UN αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =, 5X =,因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有 1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=,故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .方法2：由题设,95.01=-α,22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu20.9σ=,9n =, 5X =代入22(x u x u αα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是(),|0,0cos ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=上边界的方程是y =从而D 的直角坐标表示是(){010D x,y |x ,y ,=≤≤≤≤故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为()1,|0,0sin ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A) 【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式222n n n nu v u v ≤+及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112n n u ,v n ,,n ===,可知(B)不正确. 设()21112n u n ,,n n=-=,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-=,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==, 现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1n A A-*=及1()AA A*-=,可得 121()().n n A A A A AA A A--****-=== 故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C). (4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγ线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++=,必有120,0,,0s x x x ===.既然1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于1122110,s s s s k k k l l αααββ++++++=不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=及110,s s l l ββ++=故(A)不正确.由已知条件,有()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ+++++-++-=,又1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.故选(D).(5)【答案】(B) 【解析】依题意()()()()()12121212)(,.()()()()()P A A B P A B P A B P A B A B P A B P A B P B P B P B P B P B +⎡⎤++⎣⎦=+=因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =.三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'=0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x --→''''+-+-+= 0()(0)1lim(0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分 1(1)1111ln(1),1x xx x x x xx x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim 001xx xe →+∞-=-=+,故原式ln 2=. 方法2:220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e-+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xxx x xx x xx dx dx e dx e e e e d e e e +∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少. (2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分) 【解析】令y z x =,则dy dzz x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dzz xz dx +=-,dx x =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或C z x+=. 代回原变量,得通解(0)y C x =>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===.从而有通解(0)y C t +=>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C =.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得x =,从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,00311311011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于TA A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形Ty y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换1122334410000100,400150001x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦有 222221234955Tx A x y y y y =+++. 所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式23100010(1)(9)005445E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即12340000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=. (2) 由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3)把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=.由于12,,,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===.代入(2)式得:0k =. 因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→ 因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.X X Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111().3618q P A +===【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().ii i i n nn i n ii i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n nn ====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有1lim )(),ni n i P X n x x μ→∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ 其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】()1ln dxx y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,()()11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把yx y =变形得ln y yx e =,然后两边求微分得()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,由此可得 ()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有()1()arcsin ()xf x x f x '==⇒=于是有1()dx f x ⎰212==⎰ ()2112x =--C =.(3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意 【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即()()()200002y ax bx c ax b x x .-++=+-又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T,,,【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0ijA a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组T A X B =有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111n n n n n nnn x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 易见 1230n D A ,D D D .=====所以TA XB =的解为12310n x ,x x x =====,即()1000T,,,,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 或简记为 112nij ji j a xb ,i ,,,n ===∑其系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠,则方程组有唯一解12j j D x ,j ,,,n.D==其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b 替换D 中第j 列所成的行列式,即1111111121212212111,j ,j n ,j ,j n j n n,j nn,j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=.(5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据 因2(,0.9)XN μ,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,)XN n μ,将其标准化,~(0,1)XN 得：)1,0(~1N nX μ-由正态分布分为点的定义21P uαα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P U u UN αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =, 5X =,因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有 1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=,1故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .方法2：由题设,95.01=-α,22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu20.9σ=,9n =, 5X =代入22(x u x u nnαα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是(),|0,0cos ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=上边界的方程是2y x x =-,从而D 的直角坐标表示是(){}2010D x,y |x ,y x x ,=≤≤≤≤-故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为()1,|0,0sin ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A) 【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式222n n n nu v u v ≤+及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112n n u ,v n ,,n ===,可知(B)不正确. 设()21112n u n ,,n n=-=,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-=,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==, 现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1n A A-*=及1()AA A*-=,可得 121()().n n A A A A AA A A--****-=== 故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C). (4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγ线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++=,必有120,0,,0s x x x ===.既然1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于1122110,s s s s k k k l l αααββ++++++=不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=及110,s s l l ββ++=故(A)不正确.由已知条件,有()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ+++++-++-=,又1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.故选(D).(5)【答案】(B) 【解析】依题意()()()()()12121212)(,.()()()()()P A A B P A B P A B P A B A B P A B P A B P B P B P B P B P B +⎡⎤++⎣⎦=+=因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =.三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'=0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x--→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x x x x x x x x x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+,故原式ln 2=.方法2:220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e -+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x xx x x xdx dx e dx e e e e d e e e+∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少. (2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥=-=⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分) 【解析】令y z x =,则dy dz z x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dzz xz dx +=dx x =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或C z x+=. 代回原变量,得通解(0)y C x =>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===.从而有通解(0)y C t =>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C =.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得=从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,00311311011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于TA A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形Ty y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换 1122334410000100,400150001x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦有 222221234955Tx A x y y y y =+++. 所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式231000010(1)(9)005445E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即12340000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=. (2) 由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3)把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=.由于12,,,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===.代入(2)式得:0k =. 因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→ 因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.X X Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111().3618q P A +===【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().ii i i n nn i n i i i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n nn====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布. 【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有1lim )(),ni n i P X n x x μ→∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ 其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设2lim()8xx x a x a→∞+=-，则a = ln2 .(2) 设一平面经过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为2x +2y –3z = 0 ．(3) 微分方程''2'2xy y y e -+=的通解为)1sin cos (21++=x c x c e y x(4) 函数)ln(2２ ＋ｚy x u +=)在A (1，0，1)处沿点A 指向点B (3，-2，2)方向的方向导数为12.(5) 设A 是4 ⨯3矩阵，且A 的秩r(A)=2,而B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-301020201，则r(AB) = 2 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 已知2)()(y x ydydx ay x +++ 为某函数的全微分，则a 等于 (D)(A) –1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2.(2) 设()x f 有二阶连续导数, 且(0)0f '=,0()lim 1x f x x→''=,则 (B)(A) )0(f 是()x f 的极大值 (B) )0(f 是()x f 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) )0(f 不是()x f 的极值, (0,(0))f 也不是曲线y =()x f 的拐点.(3) 设0n a >(1,2,)n = ，且∑∞=1n n a 收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑ (A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 （C ） 发散 (D) 敛散性与λ有关.(4) 设()x f 有连续的导数，(0)0f =，)0('f ≠0，F ()x =,)()(202dt t f t x x-⎰且当0→x 时，)('x F 与k x 同阶无穷小，则k 等于 (C)(A) 1. （B ）2. (C) 3. (D) 4.(5) 四阶行列式 4433221100000000a b a b b a b a 的值等于 (D)(A) 4321a a a a -4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C)（2121b b a a -）（4343b b a a -） (D) （3232b b a a -）（4141b b a a -） 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长,其中0>a .解：()sin r a θθ'=-，……2分22()ds r r d θ'=+22(1cos )(sin )2|cos |2a d a d θθθθθ=++-=……3分 利用对称性，所求心形线的全长0022cos 8sin822s a d a a ππθθθ===⎰. ……5分(2) 设101=x ,n n x x +=+61(n=1,2,…)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.证：由110x =及216164x x =+==，知12x x >.假设对某正整数k 有1k k x x +>，则有11266k k k k x x x x +++=+>+=，故由归纳法知，对一切正整数n ，都有1n n x x +>.即{}n x 为单调减少数列. ……3分又由16n n x x +=+，显见0(1,2,)n x n >= ，即{}n x 有下界. 根据极限存在准则，知lim n n x →∞存在.……4分令lim n n x a →∞=，对16n n x x +=+两边取极限，得6a a =+从而260a a --=.因此32a a ==-或.因为0(1,2,)n x n >= ,所以0a ≥.舍去2a =-，故极限值3a =. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1) 计算曲面积分⎰⎰++Szdxdy dydz z x ）（2,其中S 为有向曲面22y x z +=，(10≤≤z )，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.解一： 以1S 表示法向量指向z 轴负向的有向平面221(1)z x y =+≤，D 为1S 在XOY平面上的投影区域，则1(2)()S Dx z dxdy zdxdy dxdy π++=-=-⎰⎰⎰⎰.……2分记Ω表示由S 和1S 所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(21)S S x z dxdy zdxdy dv +Ω++=-+⎰⎰⎰⎰⎰212421113000336()6242r r r d rdr dz r r dr ππθππ⎡⎤=-=--=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. ……5分 因此13(2)()22S x z dxdy zdxdy πππ++=---=-⎰⎰. ……6分解二： 以,yz xy D D 表示S 在,YOZ XOY 平面平面上的投影区域，则(2)Sx z dxdy zdxdy ++⎰⎰2222(2)()(2)()yzyzxyD D D z y z dydz z y z dydz x y dxdy =--+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224()yzxyD D z y dydz x y dxdy =--++⎰⎰⎰⎰……2分其中3111222214(1)3yzyD z y dydz dy z y dz y dy--=-=-⎰⎰⎰4204431sin cos 334224y t tdt πππ==⋅⋅⋅=⎰；21222()2xyD x y dxdy d r rdr ππθ+=⋅=⎰⎰⎰⎰，……5分所以1(2) 4.222S x z dxdy zdxdy πππ++=-+=-⎰⎰. ……6分(2) 设变换⎩⎨⎧+=-=ay x v y x u 2 可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x x 简化为02=∂∂∂v u z，求常数a .解：,2z z z z z z a x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂.……1分 22222222z z z z x u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂,2222222(-2)zz z z a a x yu u v v ∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂, 2222222244z z z z a a y u u v v ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂. ……4分将上述结果代入原方程，经整理后得2222(105)(6)0z z a a a u v v∂∂+++-=∂∂∂. 依题意知a 应满足260,1050a a a +-=+≠且，解之得3a =.……6分五、(本题满分7分) 求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和.解：设22()(||1)1nn x S x x n ∞==<-∑，……1分则2111()()211n n S x x n n ∞==--+∑，其中122111111n n n n n n x x x x x n n n ∞∞∞-=====--∑∑∑. 23111(0)1n nn n x x x n x n ∞∞===≠+∑∑.……3分设11()n n g x x n∞==∑，则11111()(||1)1n n n n g x x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===< ⎪-⎝⎭∑∑. 于是00()()(0)()ln(1)(||1)1x x dtg x g x g g t dt x x t'=-===--<-⎰⎰.从而21()[ln(1)][ln(1)]222x x S x x x x x =-------221ln(1)(||10)42x x x x x x+-=+-<≠且.……5分 因此221153ln 2(1)2284nn s n ∞=⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑. ……7分六、(本题满分7分)设对任意0>x ,曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在y 轴上的截距等于⎰xdt t f x0)(1,求)(x f 的一般表达式. 解：曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-. ……1分 令0X =，得截距()()Y f x xf x '=-.……3分由题意，知01()()()xf t dt f x xf x x '=-⎰. 即0()[()()]x f t dt x f x xf x '=-⎰.上式对x 求导，化简得()()0xf x f x ''+=， ……5分即('())0d xf x dx=，积分得1'()x f x C =. 因此12()ln f x C x C =+（其中12,C C 为任意常数）.……7分七、(本题满分8分)设)(x f 在[]1,0上具有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤)(''，其中b a ,都是非负常数，c 是()0,1内的任意一点.证明22)('b a c f +≤.证：2()()()()()(),(*)2!f x c f x f c f c x c ξ''-'=+-+其中(),01c x c ξθθ=+-<<. ……2分在(＊)式中令0x =，则有211()(0)(0)()()(0),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<在(＊)式中令1x =，则有222()(1)(1)()()(1),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<上述两式相减得22211(1)(0)()()(1)()2!f f f c f c f c ξξ'''''⎡⎤-=+--⎣⎦. ……5分 于是22211|()|(1)(0)()(1)()2!f c f f f c f c ξξ'''''⎡⎤=----⎣⎦ 222111(1)|(0)||()|(1)|()|2!2!f f f c f c ξξ''''≤++-+22[(1)]2ba a c c ≤++-+. ……7分又因22(0,1),(1)1c c c ∈-+≤，故|()|22bf c a '≤+. ……8分八、(本题满分6分)设T A I ξξ=-,其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明： (1) A A =2的充要条件是1=ξξT ；(2) 当1=ξξT 时,A 是不可逆矩阵. 证：(1) 2()()2T T T T T A I I I ξξξξξξξξξξ=--=-+(2)(2)T T T T I I ξξξξξξξξ=--=--.A A =2即(2)T T T I I ξξξξξξ--=-，亦即()T T I ξξξξ-=O ，因为ξ是非零列向量，0T ξξ≠，故A A =2的充要条件是10T ξξ-=，即1T ξξ=.……3分 (2) 用反证法：当1T ξξ=时A A =2.若A 可逆，则有121A A A A --=，从而A I =.这与T A I I ξξ=-≠矛盾，故A 是不可逆矩阵.……6分九、(本题满分8分)已知二次型32312132132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2. (1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,)4f x x x =表示何种二次曲面.解：(1) 此二次型对应矩阵为A =51315333c -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……1分因()2r A =，故513||153033A c-=--=-，解得3c =.容易验证此时A 的秩的确是2. ……3分这时，||(4)(9)I A λλλλ-=--，故所求特征值为0,4,9λλλ===.……6分 (2) 由上述特征值可知，123(,,)1f x x x =表示椭圆柱面. ……8分十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A 生产的概率是37.(2) 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2))2N 的随机变量，则随机变量||ξη- 的数学期望(||)E ξη-＝2π.十一、(本题满分6分)设,ξη是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,33P i i ξ===. 又设max{,},min{,}X Y ξηξη==.(1) 写出二维随机变量(,)X Y 发分布律；(2) 求随机变量X 的数学期望.解：(1)Y X1 2 3 11 / 9 0 02 2 / 9 1 / 9 032 / 92 / 91 / 9……4分(2) 13522()1239999E X =⋅+⋅+⋅=……6分 注：写对分布律中的1个数得1分，2～4个得2分，5～7个得3分，8～9个得4分.数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 计算积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中D=(){}x y x x y y x 2,0,22≤+≤≤ .解：原式2cos 40d r rdr πθθ=⋅⎰⎰3408cos 3d πθθ=⎰……3分 42340088110(1sin )sin sin sin 23339d ππθθθθ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰……5分(2) 【 同数学一 第三、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第三、（2）题 】四 ~ 七、【 同数学一 第四 ~ 七题 】 八、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1) 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系.解：110011100111100001010011100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分解得基础解系为12(1,0,1,0,1),(1,1,0,0,0)ξξ=--=-. ……6分(2) 【 同数学一 第八题 】九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设322)(x e x y -+=, 则==|'x y 1/3.(2)=-+⎰-1122)1(dx x x 2 .(3) 052=+'+''y y y 的通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x +=-. (4) =+-+∞→)]11ln(sin )31ln([sin lim xx x x 2 .(5) 由曲线1y x x =+,2x =及2y =所围图形的面积S =1ln 22-. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则 （A ）(A) 121==b a ， (B) 11==b a ， (C) 121=-=b a ， (D) 11=-=b a ，. (2) 设函数()f x 在区间),(δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有2()f x x ≤，则0x = 必是()f x 的 （C ）(A) 间断点(B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点，且(0)0f '=.(D) 可导的点，且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导，则 （D ）(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞时，必有lim ()x f x →-∞'=-∞．(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞时，必有lim ()x f x →-∞=-∞．(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞时，必有lim ()x f x →+∞'=+∞．(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞时，必有lim ()x f x →+∞=+∞．(4) 在区间),(∞-∞内，方程 0cos 2141=-+x x x（C ）(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有二个实根 (D) 有无穷多个实根 (5) 设()()f x g x 、在区间[,]a b 上连续，且()()g x f x m <<（m 为常数），则曲线()y g x =，()y f x =，x a =及x b =所围成图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 （B ）(A)⎰-+-badx x g x f x g x f m .)]()()][()(2[π(B)⎰---ba dx x g x f x g x f m .)]()()][()(2[π (C)⎰-+-b adx x g x f x g x f m .)]()()][()([π (D)⎰---badx x g x f x g x f m .)]()()][()([π三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 计算⎰--2ln 021dx e x解一：原式2ln 2ln 22220111x x xxee dx ee e --=-=--+-⎰⎰……3分 ln 22033ln(1)ln(23)x x e e --=-=++.……5分解二：令sin xet -=，则cos sin tdx dt t-=， 原式2222666cos 1sin sin sin t dt dt tdt t t ππππππ==-⎰⎰⎰……3分 2633ln(csc cot )ln(23)t t ππ=-+=+-. ……5分(2) 求⎰+x dxsin 1解一：原式21sin cos x dx x-=⎛⎜⎠ ……2分 1tan cos x C x=-+.……5分解二：原式222sec 2(cos sin )(1tan )222x dxdx x x x ==++⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎠⎠ ……3分2(1tan )222(1tan )1tan 22x d C x x+-==+++⎛⎜⎜⎜⎠.……5分(3) 设2022()[()]tx f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx .解：222(),4()(),dx dy f t tf t f t dt dt'==所以22224()()4()()dydy tf t f t dt tf t dx dx f t dt''===. ……2分 22222214[()2()]()d y d dy f t t f t dx dx dt dx f t dt '''+⎛⎫== ⎪⎝⎭. ……5分 (4) 求函数()f x =xx+-11在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式.解：2()11f x x=-+，()1(1)2!()(1,2,,1)(1)k k k k f x k n x +-⋅==++ . ……3分 所以12122()122(1)2(1)(1)n n n n n x f x x x x ξ+++=-+++-+-+ (ξ在0与x 之间).……5分 (5) 求微分方程2'''x y y =+的通解.解一：对应的齐次方程的特征方程为20λλ+=，解之得0,1λλ==-，故齐次方程的通解为12xy C C e -=+.……2分设非齐次方程的特解为2()x ax bx C ++，代入原方程得1,1,23a b c ==-=. 因此，原方程的通解为3212123x y x x x C C e -=-+++. ……5分 解二：令p y '=，代入原方程得2p p x '+=，……2分故()()220022xxxxx x p ex e dx C e x exe e C --=+=-++⎰.再积分得到20(22)xy x x c e dx -=-++⎰3212123x x x x C C e -=-+++. ……5分 解三：原方程为2()y y x ''+=，两边积分得3013y y x C '+=+. ……3分30213x x y e x C e dx C -⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎜⎠()320213663x x x x x x e x e x e xe e C e C -⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦3212123x x x x C C e -=-+++. ……5分 (6) 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为22a b 、，用过此柱体底面的短轴且与底面成α解（20πα<<）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积V.解一：底面椭圆的方程为22221x y a +=，以垂直于y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为221y a b -，另一直角边长为221y a bα-，故截面面积222()1tan 2a y S y b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，……3分 楔形体的体积为22220221tan tan 23ba y a bV dy b αα⎛⎫=-=⎪⎝⎭⎰. ……5分解二：底面椭圆的方程为22221x y +=，以垂直于x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其一边长为22221x y b a=-tan x α，故截面面积22()21x S x bx aα=-，……3分楔形体的体积为32222222002221tan 1tan 33ab x a x a b V dx b a a ααα⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰. ……5分 四、(本题满分8分) 计算不定积分⎰+.)1(22dx x x arctgx解一：原式22arctan arctan 1x x dx dx x x =-+⎛⎛⎜⎜⎠⎠……2分 22arctan 1(arctan )(1)2x dx x x x x =-+-+⎛⎜⎠ ……4分 2222arctan 1111()(arctan )212x d x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠ ……6分 222arctan 11(arctan )ln 221x x x C x x=--+++. ……8分解二：令tan x t =，则原式2(csc 1)t t dt -⎰=……2分 2cos 1cot sin 2t t t dt t t =-+-⎰……4分21cot ln |sin |2t t t t C =-+-+……6分 22arctan 1(arctan )21x x C x x =-+++.……8分五、(本题满分8分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=.2,1612,21,,1,21)(32x x x x x x x f(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) 问()g x 是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.解：(1) 由题设，()f x 的反函数为3112()1816812x x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩. ……4分(2) ()g x 在(,)-∞+∞内处处连续，没有间断点.……5分 ()g x 的不可导点是01x x ==-及.……8分 （注：多写一个不可导点8x =扣1分）六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定. 试求()y y x =的驻点，并判 别它们是否为极值点.解：对原方程两边求导可得2320()y y yy xy y x '''-++-=*……2分令0y '=，得y x =.将此代入原方程有32210x x --=.从而解得唯一的驻点1x =. ……5分()*式两边求导，得22(32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=.因此(1,1)1|02y ''=>，故驻点1x =是()y y x =的极小值点. ……8分七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数，且()()0f a f b ==，'()'()0.f a f b >证明存在(,)a b ξ∈和),(b a ∈η，使()0f ξ=及0)(''=ηf .证一：先用反证法证明存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. 若不存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，则在区间(,)a b 内恒有()0f x >或()0f x <. 不妨设()0f x >（对()0f x <，类似可证），则()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b x b x b--→→-'==≤--， ……3分 ()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a x ax a ++→→-'==≥--.从而()()0f a f b ''≤，这与已知条件矛盾. 这即证得存在(,)a b ξ∈,使得()0f ξ=. ……5分再由()()()f a f f b ξ==及罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ηξηξ∈∈和，使得12()()0f f ηη''==. 又在区间12[,]ηη上对()f x '应用罗尔定理知，存在12(,)(,)a b ηηη∈⊂，使()0f η''=.……8分证二：不妨设()0,()0f a f b ''>>（对()0,()0f a f b ''<<类似可证），即()lim 0x a f x x b +→>-，()lim 0x b f x x b-→>-. 故存在11(,)x a a δ∈+和22(,)x b b δ∈-，使1()0f x >及2()0f x <，其中12,δδ为充分小的正数. 显然12x x <，在区间12[,]x x 上应用介值定理知，存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得()0f ξ=. ……5分 以下同证一. 八、(本题满分8分) 设()f x 为连续函数.(1) 求初值问题0'()0|x y ay f x y -+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y y x =，其中a 是正常数； (2) 若()f x k ≤(k 为常数)，证明：当0≥x 时，有()(1).ax k y x e a-≤-证一：(1) 原方程的通解为()[()][()]axax ax y x ef x e dx C e F x C --=+=+⎰， ……2分其中()F x 是()axf x e 的任一原函数.由(0)0y =得(0)C F =-，故()[()(0)]()xax ax at y x e F x F e f t e dt --=-=⎰.……4分 (2) 0()()xaxat y x ef t e dt -≤⎰……6分 0xaxat kee dt -≤⎰(1)(1),0ax ax ax k k e e e x a a--≤-=-≥. ……8分证二：在原方程的两端同乘以ax e ，得()ax ax ax y e aye f x e '+=.从而()()ax axye f x e '=，……2分 所以0()xaxat yef t e dt =⎰或0()xaxat y ef t e dt -=⎰.……4分（2）同证一数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设方程yy x =确定y 是x 的函数，则dy =(1ln )dxx y +.(2) 设⎰+=c x dx x xf arcsin )(，则=⎰)(x f dx 231(1)3x C -. (3) 设（00,y x ）是抛物线c bx ax y ++=2上的一点，若在该点的切线过原点，则系数,,a b c应满足的关系是200(),c a ax c b ≥=或任意.(4) 设 123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= ，则线性方程组B X A T=的解是(1,0,,0)T X =(5) 设由来自正态总体X ～)9.0,(2μN 容量为9的简单随机样本，得样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 ( 4.412 , 5.588 ) 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 累次积分dr r r r f d ⎰⎰20cos 0)sin ,cos (πθθθθ可以写成 (D)(A) dx y x f dy y y ⎰⎰-102),(. (B)dx y x f dy y ⎰⎰-1102),(. (C)dy y x f dx ⎰⎰101),(. (D)dy y x f dx x x ⎰⎰-12),(.(2) 下述各选项正确的是 (A)(A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛，则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B) 若1n nn u v∞=∑收敛，则21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛(C) 若级数1n n u ∞=∑发散，则1n u n≥ (D) 若级数1nn u∞=∑收敛，且n n u v ≥(1,2,)n = ，则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异),2(≥n A *是矩阵A 的伴随矩阵，则 (C)(A) (A *)*=A A n 1- (B) (A *)*=A A n 1+(C) (A *)*=A An 2-(D) (A *)*=A An 2+(4) 设有任意两个n 维向量组12,,,m ααα 和12,,,m βββ ，若存在两组不全为零的12,,,mλλλ 和12,,,m k k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则 (D)(A) 12,,,m ααα 和 12,,,m βββ 都线性相关 (B) 12,,,m ααα 和 12,,,m βββ 都线性无关 (C) 11221122,,,,,,,m m m m αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性无关 (D)11221122,,,,,,,m m m m αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性相关(5) 已知0<P (B )<1,且P )()(])[(2121B A P B A P B A A +=+,则下列选项成立的是 (B)(A) )()(])[(2121B A P B A P B A A P +=+ (B) )()()(2121B A P B A P B A B A P +=+ (C) 1212()()()P A A P A B P A B +=+ (D) )()()()()(2211A B P A P A B P A P B P += 三、(本题满分6分)设()f x =()00,0xg x e x x x -⎧-≠⎪⎪⎨⎪⎪=⎩若若，其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =, (0)1g '=-. (1) 求()f x '； (2) 讨论()f x '-∞+∞在（，）上的连续性.解：(1) 当0x ≠时，有22[()]()()()(1)()x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x---''+-+-++'==. ……1分 当0x =时,有20()(0)lim xx g x e f x-→-'= ……2分 00()()(0)1lim lim 222x x x x g x e g x e g x --→→'''''+--===. ……3分所以2()()(1)0()(0)102x xg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩若若.……4分(2) 因为在0x =处，有0lim ()x f x →'00()()()(1)()lim lim22x x xx x g x xg x g x e x e g x e x ---→→''''''+-+-+-== (0)1(0)2g f ''-'==.……5分 从而()f x '在0x ≠处连续，所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.……6分四、(本题满分6分)设函数()z f u =，方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是x 、y 的函数，其中()f u 、()u ϕ可微；(),()p t u ϕ' 连续，且()1u ϕ'≠. 求 ()()z zp y p x x y∂∂+∂∂. 解：由()z f u =可得();();z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂ ……1分在方程()()x yu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数，得()()u uu p x x x ϕ∂∂'=+∂∂, ……2分 ()()u uu p y y yϕ∂∂'=-∂∂. ……3分 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-； ……5分 于是()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u φφ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦. ……6分五、(本题满分6分) 计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰. 解一： 2200(1)(1)x x x x xe xe dx dx e e +∞+∞--=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠011xxd e +∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠ ……1分00111xxx dx e e ∞+∞=-+++⎛⎜⎠ ……2分 011x dx e+∞=+⎛⎜⎠. ……3分令x e t =，则1dx dt t=.于是2101(1)(1)x x xe dx dt e t t +∞+∞--=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……4分 1111ln 11t dt t t t +∞+∞⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎛⎜⎠ ……5分 ln 2=.……6分解二：21(1)1x x xxe dx xd e e ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎛⎛⎜⎜⎠⎠111x xx dx ee --=-++⎛⎜⎠ 11x x x x e dx e e-=-++⎛⎜⎠ln(1)1x x xxe e C e =-+++. ……3分 所以20lim ln(1)ln 2(1)1x x x x x x xe xe dx e e e +∞--→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分其中lim ln(1)lim ln(1)11x x x x xxx x xe xe e x x e e e →+∞→+∞⎡⎤⎡⎤-+=-+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ lim ln 00011x x x x x e e e →+∞⎡⎤=-+=+=⎢⎥++⎣⎦ ……5分 因此20ln 2ln 2(1)x x xe dx e +∞--=+=+⎛⎜⎠. ……6分六、(本题满分5分)设)(x f 在区间[0,1]上可微，且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰，求证：存在ξ)1,0(∈，使0)()(='+ξξξf f .证：设()()F x xf x =. 由积分中值定理，可见存在1(0,)2η∈.使112201()()()2xf x dx F x dx F η==⎰⎰. ……2分由已知条件，有1201(1)2()2()()2f xf x dx F F ηη==⋅=⎰.……3分 由于(1)(1)()F f F η==，……4分并且()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η上可导.故由罗尔定理知：存在(,1)(0,1)ξη∈⊂，使得()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=.……5分七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时，售出的商品数量Q 可以表示成c bp aQ -+=，其中,,a b c 均为正数，且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；(2) 要使销售额最大，商品单价p 应取何值？最大销售额是多少？ 解：(1) 设售出商品的销售额为R ，则a R PQ P c a b ⎛⎫==-⎪+⎝⎭，令22()0()ab c P b R p b -+'==+. 得00ab bp b a bc c c ==>. ……2分 当0bp a bc c <<时，有0R '>.所以随p 的增加，相应的销售额也增加. ……4分当bp a bc c>时，有0R '<.所以随p 的增加，相应的销售额将减少.……5分 (2) 由(1)知，当bp a bc c=时，销售额R 取得最大值，最大销售额为2max (/)()/R ab c b c a bc ab c==. ……6分八、(本题满分6分)求微分方程x y x y dx dy 22+-=的通解. 解：令y z x =，则dy dzz x dx dx=+. ……1分 当0x >时，原方程化为21dz z x z z dx +=+21dx x z =-+， ……3分 其通解为221ln(1)ln 1C z z x C z z x+=-++或＝,……5分代回原变量，得通解22(0)y x y C x +>＝.……6分当0x <时，原方程的解与0x >时相同.九、(本题满分8分)设矩阵A= 010010000010012y ⎫⎛⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭(1) 已知A 的一个特征值为3，试求y ； (2) 求矩阵P ，使(AP)T(AP)为对角矩阵.解：(1) 因为22||(1)[(2)21]0I A y y λλλλ-=--++-=. 当3λ=时，代入上式解得2y =.……3分于是0100100000210012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由T A A =，得2()()T T AP AP P A P =.而矩阵21000010000540045A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……4分 考虑二次型22222222212343412344495585()55T X A X x x x x x x x x x x x =++++=++++， ……6分 令1122334444,,,5y x y x y x x y x ===+=，即11223344100001000014/50001x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取10000100400150001P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎭-⎪⎪⎝，则有100001000050()(900)05TAP AP ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.……8分(2) 另解：2A 的特征值为11λ=（三重），29λ=.……5分对应于11λ=的特征向量为123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),T T T ααα===-经正交标准化后，得向量组123(1,0,0,0),(0,1,0,0),)22T T Tβββ===；……6分 对应于29λ=的特征向量为4(0,0,1,1)T α=,经单位化后,得422Tβ=. ……7分令()123410000100,,,00220022P ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎝，则210000100001000()()09T T P A P AP AP ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.……8分十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，向量β不是方程组 AX= 0的解，即A β≠0. 试证明向量组β，β+1α，β+2α，…，β+t α线性无关. 解：设有一组数12,,,,t k k k k ，使得1()0tiii k k ββα=++=∑，……1分 即11()()t tiiii i k k k βα==+=-∑∑ （1）……2分上式两边同时左乘矩阵A ，有11()()0t tiiii i k k A k A βα==+=-=∑∑.因为0A β≠，故10tii k k=+=∑ （2）……4分从而，由（1）式得1()0tiii k α=-=∑.由于向量组1,.......,t αα是基础解系，所以120t k k k ==== .……6分 因而由（2）式得0k =.因此向量组β，β+1α，……，β+t α线性无关.……8分十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获得利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生二次故障多获得利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？解：以X 表示一周五天内机器发生故障的天数，则X 服从参数为(5,0.2)的二项分布.即55{}0.20.8(0,1,2,3,4,5)kk kP X k C k -==⋅⋅=……2分 于是5{0}0.80.328P X ===, 145{1}0.20.80.410P X C ==⋅⋅=;……3分2235{2}0.20.80.205P X C ==⋅⋅=;{3}1{0}{1}{2}0.057P X P x P x P x ≥=-=-=-==. ……4分以Y 表示所获利润，则()Y f X ==10,05,10,22,3X X X X =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪≥⎩若若若－若，……5分所以100.32850.41000.20520.057 5.216EY =⨯+⨯+⨯-⨯=（万元）.……7分十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程x 2+ Bx + C = 0，其中B,C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的 点数.求方程有实根的概率p 和有重根的概率q .解：一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36. 方程组有实根的充分必要条件是224,4B BC C ≥≤. ……2分B1 2 3 4 5 6 使2/4C B ≤的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 使2/4C B =的基本事件个数11……4分因此，使方程组有实根的基本事件个数为1246619++++=.于是1936p =. ……5分 同理，使方程组有重根的基本事件个数为112+=，于是213618q ==. ……6分十三 (本题满分6分)设12,,,n X X X 独立且与X 同分布，k k EX α=(1,2,3,4)k =.求证：当n 充分大时，∑==n i i n X n z 121近似服从正态分布，并求出其分布参数. 解：依题意，12,,,n X X X 独立同分布，于是22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX k α==，有……1分 22i EX α=，2422242()i i i DX EX EX αα=-=-； ……2分 2211nn i i EZ EX n α===∑，……3分 22422111()n n i i DZ DX n nαα===-∑……4分根据中心极限定理2242()/n n U n αα=-即当n 充分大时，n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.……6分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 设)1ln(2x x y ++=，则3x y '''=532(4) 五阶行列式aa a a a a a a a---------11110001100011000123451a a a a a =-+-+-.(5) 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示3个零件中合格品的个数，则P (X=2)=1124. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设0)()(00=''='x f x f ,0)(0>'''x f , 则下列选项正确的是 (D)(A) )(0x f '是)(x f '的极大值 (B) )(0x f 是)(x f 的极大值(C) )(0x f 是)(x f 的极小值 (D) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点 (2) 【 同数学三 第二、(3) 题 】 (3) 【 同数学四 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第二、(4) 题 】(5) 设A ，B 为任意两个事件，且A ⊂B , P (B )>0，则下列选项必然成立的是 (B)(A) ()()P A P A B < (B) ()()P A P A B ≤ (C) ()()P A P A B > (D) ()()P A P A B ≥ 三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分7分) 设2(,)xyt f x y e dt -=⎰，求222222yfx y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂解：22x y fye x-∂=∂， ……2分 22x y f xey-∂=∂，222322x y f xy e x -∂=-∂， ……4分 222322x y f x ye y -∂=-∂，22222(12)x y f x y ex y-∂=-∂∂. ……6分 于是222222222x y x f f y f ey x x y x y -∂∂∂-+=-∂∂∂∂. ……7分五、(本题满分6分)【 同数学四 第五题 】六、(本题满分7分)【 同数学四 第七题 分值不同 】 七、(本题满分9分)已知一抛物线通过x 轴上的两点A ( 1, 0 )，B ( 3, 0 ).(1) 求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积； (2) 计算上述两个平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比. 解：(1) 设过,A B 两点的抛物线方程为(1)(3)y a x x =--， 则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为110|(1)(3)|S a x x dx =--⎰……1分1204||(43)||3a x x dx a =-+=⎰. ……2分 抛物线与x 轴所围图形的面积为321|(1)(3)|S a x x dx =--⎰……3分 3214||(43)||3a x x dx a =-+=⎰.……4分所以12S S =.(2) 抛物线与两坐标轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为12210[(1)(3)]V a x x dx π=--⎰……5分124320[(1)4(1)4(1)]a x x x dxπ=---+-⎰5324120(1)4(1)38[(1)].5315x x a x a ππ--=--+=……6分抛物线与x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为32221[(1)(3)]V a x x dx π=--⎰353241(1)4(1)(1)53x x a x π⎡⎤--=--+⎢⎥⎣⎦ ……7分216.15a π=……8分 所以12198V V =.……9分八、(本题满分5分)设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()()ba f x dx fb b a=-⎰ 求证：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使 )(ξf ' = 0.证：因为()f x 在[,]a b 上连续，由积分中值定理可知，在(,)a b 内存在一点c ，使得()()()baf x dx f c b a =-⎰. ……2分 即()()()baf x dxf c f b b a==-⎰.……3分因为()f x 在[,]c b 上连续，在(,)c b 内可导，故由罗尔定理，在(,)c b 内至少存在一点出ξ，使得()0f ξ'=，其中(,)(,)c b a b ξ∈⊂.……5分九、(本题满分9分)已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+t= x - 6x - x - x -1=7x +px + x 2+3x -1= 4x + 6x - x + 2x 0= x 3+2x -x x 4321432143214321，讨论参数p, t 取何值时，方程组有解? 无 解? 当有解时, 试用其导出组的基础解系表示通解.解：方程组系数矩阵A 的增广矩阵为11230104112164101221327100800116100002A p p t t ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭……3分(1) 当2t ≠-时，()()A A ≠秩秩，方程组无解. ……4分 (2) 当2t =-时，()()A A =秩秩，方程组有解.……5分(a) 若8p =-,得通解1212141122(,010001x c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数）.……7分(b) 若8p ≠-得通解1112(0001x c c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数）.……9分十、(本题满分7分)设有4阶方阵A 满足条件30I A +=，I A A T2=，0A <，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随阵*A 的一个特征值.解：由3|(3)|0I A A I +=--=，得A 的一个特征值3λ=-. ……1分 又4|||2|2||16T AA I I ===，2||||||16T A A A ==.于是||4A =-.……3分由于||0A <，知A 可逆.设A 的对应于特征值3λ=-的特征向量为α，则3A αα=-，由此得11(3)A A A αα--=-.即113A αα-=-，知13-是1A -的特征值. ……5分 由于*114||(4)()33A A A αααα-==--=，所以*A 有特征值43.……7分十一、(本题满分7分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分6分)某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ> 0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：以(1,2,3)i X i =表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则123,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为1,0()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩若，若，……1分设()G t 是T 的分布函数.当0t ≤时，()0G t =.当0t >时，有(){}1{}G t P T t P T t =≤=->……3分 1231{,,}P X t X t X t =->>>……4分 1231{}{}{}P X t P X t P X t =->⋅>⋅> ……5分 31[1()]F t =-- ……6分 31t e λ-=-.……7分总之，31,0()00t e t G t t λ-⎧->=⎨≤⎩若，若，于是T 服从参数为3λ的指数分布.。
