北京师范大学附属实验中学2012届高三上学期期中考试理科数学试题缺答案

北师大实验中学2024—2025学年度第一学期初二年级数学期中考试试卷试卷说明：1．本试卷考试时间为100分钟，总分数为110分．2．本试卷共8页，四道大题，28道小题．3．请将答案都写在答题纸上．4．一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效．5．注意保持卷面整洁，书写工整．A 卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）1．下列四届奥运会会徽中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列计算，错误的是（ ）A ．()3328a a =B ．358a a a ×=C ．624a a a ¸=D ．()236a a -=-3．如图，ABC CDA △△≌，50BCA Ð=°，90B Ð=°，则CAD Ð的度数等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．若分式21x x -+的值为0，则x 的值为A ．﹣1B ．0C ．2D ．﹣1或25．等腰三角形的一个角为50°，则顶角的度数为（ ）A ．65°或50°B ．80°C ．50°D ．50°或80°6．下列因式分解正确的是（ ）A ．()ab ac a a b c ++=+B ．()()22331a a a a --=+-C ．()2222a ab b a b ++=+D ．()()4221644a a a -=+-7．下列说法中正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称．B ．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．C ．等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合．D ．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．8．如图是22´的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的ABC V 为格点三角形，则正方形网格中与ABC V 成轴对称的格点三角形的个数是（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）9．若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ．10．计算234x x -×= ．11．如图，BE 、CD 交于点O ，且BE CD =，请添加一个条件，使得ABE ACD V V ≌，则可以添加的条件是： ．12．如图，一个直角三角板的一条直角边经过AOB Ð的顶点O ，一把直尺经过三角板的直角顶点E 并且与这条直角边垂直，直尺与AOB Ð的两边分别交于C 、D ，当CE DE =时，AOE Ð与AOB Ð的数量关系为： ．13．关于x 的多项式()()13x x n +-展开合并后一次项系数为1-，则n 的值为 ．14．如图，射线OG 为AOB Ð的平分线，点P 为射线OG 上一点，PM OA ^于点M ，PN OB ^于点N ，且3PN =，点C 为OA 上一点，9OCP S =△，则OC = ．15．如图，线段BD 为ABC V 的中线，且BD BC ^，4BC =，若45A C Ð+Ð=°，则BD = ．16．如图，在等边ABC V 中，点P 、Q 在边BC 上，并且满足BP CQ =，连接AP 、AQ ，点N 为AC 上一动点，连接PN 、QN ．（1）当PN NQ +最短时，测量CN = cm ；（精确到0.1cm ）（2）若4AB =，则在点P 从B 运动到C 的过程中，PN QN +最短时，CN = ．三、解答题（本大题共10道小题，其中第17至21题每题8分，第22至23题每题6分，第24题5分，第25题4分，第26题7分，共68分）17．计算：(1)()()421x x x --+(2)()2322682a bc a b a b -¸18．计算：(1)22246ab c a c b c-׸(2)22331a a a a a a a -+æö××ç÷-+èø19．把下列各式分解因式：(1)221218xy xy x-+(2)()222a b a --20．如图，射线OM 平分BOA Ð．(1)按要求尺规作图：作线段AB 的垂直平分线交射线OM 于点C ，连接CB 、CA ．（保留作图痕迹）(2)请把以下解题过程补充完整：求证：180OBC OAC Ð+Ð=°．证明：在OA 上截取OD OB =，连接CD ．OM Q 平分BOAÐBOM AOM\Ð=Ð在OBC △与ODC V 中：_______OB OD BOM AOM=ìïÐ=Ðíïî①OBC ODC \≌△△（②）CD CB \=，OBC ODCÐ=ÐQ 点C 在线段AB 的垂直平分线上CB CA \=（③）CD CA\=CDA CAD \Ð=Ð（④）Q 点D 在射线OA 上180ODC CDA \Ð+Ð=°180OBC OAC \Ð+Ð=°21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A --，()1,2B -，连接AB ．(1)画线段11A B ，使得线段11A B 与线段AB 关于y 轴对称，并写出11A B 的坐标：1A _______，1B _______；(2)如果点C 在y 轴上，且ABC V 是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点C 的坐标：_______．这样符合条件的点C 共有_______个．22．化简求值：当2610x x --=时，求()()()23233x x x --+-的值．23．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于D ，过点D 分别作DE AB ^交AB 于点E ，DF AC ^交AC 于点F ．求证：BE CF =．24．如图1，小长方形的长和宽分别为a 和b ，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放．(1)图2中的四边形EFGH 为正方形，其边长为_______．(2)能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：_______=_______．(3)若3x y -=，4xy =，求x y +的值．25．已知：如图，36MON Ð=°，射线OM 、ON 上分别有点A 和点B ，点P 在线段OB 上，连接PA ，()0144OAB a a Ð=°<<°．若线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，则称线段PA 为AOB V 的“a 角等分线”．(1)如图1，当90a =°时，画出AOB V 的“90角等分线”此时OAP Ð=_______°．(2)当90a ¹°时，若存在线段PA 为AOB V 的“a 角等分线”，则a =_______°．26．如图1所示，在ABC V 中，AB AC =，2BAC a Ð=()4590a °<<°，D 为线段BC 上一点，E 为CD 中点，连接AE ．作EAM a Ð=，得到射线AM ，过点E 作EF AE ^交射线AM 于点F ．(1)依题意补全图形；(2)求证：B AFE Ð=Ð；(3)如图2，当60a =°时，连接BF 、DF ，求证：FBD V 为等边三角形．B 卷四、填空题（本大题共两道小题，其中27题4分，28题6分，共10分）27．如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，ABD DBC Ð=Ð，AB DB =，EB CB =，M ，N 分别是线段AE 、CD 的中点．以下结论正确的是： ．①AE CD =；②AE CD ^；③AE 平分DAC Ð；④BM BN ^且BM BN=28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),R a b ．对于点P 给出如下定义：先将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，再关于直线y b =对称，得到点P ¢，则称点P'为点P 的“R 关联点”(1)如图1，点P 坐标为()3,1①当点R 坐标为()1,2-时，则点P 的“R 关联点”P ¢的坐标为：_______；②若点()4,3Q -为点P 的“R 关联点”，则R 的坐标为_______；(2)如图2，点A (−2,0)、C (0,1)，点B 与点A 关于y 轴对称．点R 在ABC V 边上，点P 坐标为()5,0①画出点P 所有的“R 关联点”；②这些关联点组成的图形形状是：_______．(3)如图3，点(),E n n -、(),F n n --、(),G n n -、(),H n n ，0n >，点R 在正方形EFGH 边上，点()6,4M 、()7,5N ，若线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”，直接写出n 的取值范围．1．A【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：B ，C ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A ．2．D【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．【详解】解：A 、()3328a a =，故该项正确，不符合题意；B 、358a a a ×=，故该项正确，不符合题意；C 、624a a a ¸=，故该项正确，不符合题意；D 、()236a a -=，故该项不正确，符合题意；故选：D ．3．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，由三角形全等可知ACB CAD Ð=Ð，进而即可得出答案．【详解】解：Q ABC CDA △△≌，ACB CAD Ð=Ð\，Q 50BCA Ð=°，50CAD \Ð=°，故选：C ．4．C【分析】根据分式值为零的条件可得x ﹣2＝0，再解方程即可．【详解】解：由题意得：x ﹣2＝0，且x +1≠0，解得：x ＝2，故选C ．5．D【分析】分50°角是等腰三角形的顶角和底角两种情况计算，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．【详解】当50°角是等腰三角形的顶角时，顶角的度数是50°；当50°角是等腰三角形的底角时，顶角的度数是180505080°-°-°=°；故选Ｄ．6．C【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤和要求是解答的关键．利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断．【详解】解：A 、()1ab ac a a b c ++=++，原计算错误，不符合题意；B 、()()22331a a a a --=-+，原计算错误，不符合题意；C 、()2222a ab b a b ++=+，原计算正确，符合题意；D 、()()()()()42221644422a a a a a a -=+-=++-，原计算错误，不符合题意；故选：C ．7．B【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定依次进行判断即可．【详解】解：如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，故A 选项不符合题意；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项符合题意；等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相互重合，故C 选项不符合题意；在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故D 选项不符合题意，故选：B ．8．B【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】解：如图所示，BCD △，EBC V ，MHN V ，BAO V 与ABC V 成轴对称∴共5个．故选：B ．9．2x ¹【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．【详解】解：∵分式12x -有意义，∴20x -¹，∴2x ¹，故答案为：2x ¹．10．312x -【分析】此题考查的是单项式乘单项式，解决此题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．直接根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式312x =-．故答案为：312x -．11．B C Ð=Ð（答案不唯一）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法．添加条件：B C Ð=Ð，再由已知条件BE CD =和公共角A Ð可利用AAS 定理证明ABE ACD V V ≌．【详解】解：添加条件：B C Ð=Ð，在ABE V 和ACD V 中，A ABC BE CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，\()AAS ABE ACD V V ≌，故答案为：B C Ð=Ð（答案不唯一）．12．12AOE AOB Ð=Ð【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．根据SAS 可以证明OEC OED V V ≌，从而得结论．【详解】解：由题意得OE CD ^，90OEC OED \Ð=Ð=°，在OEC △和OED V 中，CE DE OEC OED OE OE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OEC OED \V V ≌，AOE BOE \Ð=Ð，12AOE AOB \Ð=Ð，故答案为：12AOE AOB Ð=Ð．13．4【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解展开合并后一次项系数为1-．根据多项式乘以多项式法则展开后，根据x 项的系数等于1-可得出n 的值．【详解】解：()()()22133333x x n x nx x n x n x n+-=-+-=+--Q 一次项系数为1-，31n \-=-4n \=，故答案为：4．14．6【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．首先根据角平分线的性质定理得到3PM PN ==，然后利用9OCP S =△代数求解即可．【详解】解：∵射线OG 为AOB Ð的平分线，PM OA ^，PN OB ^，且3PN =，∴3PM PN ==；∵9OCP S =△，∴192OC MP ×=，即1392OC ´=，∴6OC =．故答案为：6．15．2【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接CE ，证明ADB CDE △△≌，可得ECD A Ð=Ð，再证得45BCE Ð=°，最后根据等腰三角形判定求解可．【详解】解：如图，延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接CE ，在ADB V 和CDE V 中，AD CD ADB CDE BD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ADB CDE \V V ≌，ECD A \Ð=Ð，45A BCD Ð+Ð=°Q ，45ECD BCD \Ð+Ð=°，45BCE \Ð=°，BD BC ^Q ，45BCE BEC \Ð=Ð=°，4BE BC \==，122BD BE \==，故答案为：216． 0.5 1【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题．（1）作点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，连接PQ ¢，交AC 于点N ， 根据“两点之间线段最短”可知，此时PN NQ +最短，测量出CN 即可；（2）连接AQ CQ ¢¢，，根据题意证明()SAS ABP ACQ V V ≌，结合点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，证明()SSS AQC AQ C ¢V V ≌，因此AP AQ AQ BAP CAQ CAQ ¢¢==Ð=Ð=Ð，，进而证明APQ ¢△是等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使PN QN +最短，则P 、N 、Q ¢三点共线，此时PN NQ PQ ¢+=，又因为AP PQ ¢=，即AP 最小，过点A 作^AP BC 于点P ，此时AP 最小，由QN Q N ¢=，APQ ¢△是等边三角形，得AN PQ ¢^，再结合30NPC Ð=°，4AB =，即可求出答案．【详解】解：（1）作点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，连接PQ ¢，交AC 于点N ，此时PN NQ +最短，则测量0.5cm CN =；（2）连接AQ CQ ¢¢，，在等边ABC V 中，60AB AC B ACB =Ð=Ð=°，，BP CQ =Q ，()SAS ABP ACQ \V V ≌，Q 点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，AQ AQ CQ CQ ¢¢\==，，AC AC =Q ，()SSS AQC AQ C \¢V V ≌，AP AQ AQ BAP CAQ CAQ ¢¢\==Ð=Ð=Ð，，60BAC Ð=°Q ，60PAQ ¢\Ð=°，APQ ¢\V 是等边三角形，AP PQ ¢\=，PN QN PN NQ PQ ¢¢+=+³Q ，\要使PN QN +最短，则P 、N 、Q ¢三点共线，此时PN NQ PQ ¢+=，AP PQ ¢=Q ，即AP 最小，过点A 作^AP BC 于点P ，此时AP 最小，Q ABC V 为等边三角形，BP CP \=，Q BP CQ =，\此时P 、Q 重合，QN Q N ¢=Q ，APQ ¢△是等边三角形，AN PQ ¢\^，90906030NPC ACB \Ð=°-Ð=°-°=°，Q 4AB =，11222CP BC AB \===，112CN CP \==，\PN QN +最短时，1=CN ，故答案为：1．17．(1)2491x x --(2)34c ab-【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）直接利用单项式乘多项式法则进行化简，再去括号，最后合并进而得出答案；（2）直接利用多项式除以单项式法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式2481x x x =---，2491x x =--；（2）解：原式34c ab=-18．(1)23-(2)3a -【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键．（1）根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可；（2）先将分子分母因式分解，再约分化简即可．【详解】（1）解：22246ab c a c b c-׸22246ab c c c b a-××=23=-；（2）22331a a a a a a a -+æö××ç÷-+èø()()223131a a a aa a a -+=××-+3a =-．19．(1)()223x y -(2)()()3a b a b --【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．（2）利用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）221218xy xy x-+()2269x y y =-+()223x y =-；（2）()222a b a --()()22a b a a b a =-+--()()3a b a b =--．20．(1)见解析(2)OC OC =；SAS ；线段垂直平分线的性质；等边对等角【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练的作图是解本题的关键．（1）按题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与推理依据即可．【详解】（1）解：如图；．（2）证明：在OA 上截取OD OB =，连接CD ．OM Q 平分BOAÐBOM AOM\Ð=Ð在OBC △与ODC V 中：OB OD BOM AOMOC OC =ìïÐ=Ðíï=î()SAS OBC ODC \V V ≌CD CB \=，OBC ODCÐ=ÐQ 点C 在线段AB 的垂直平分线上CB CA \=（线段垂直平分线的性质）CD CA\=CDA CAD \Ð=Ð（等边对等角）Q 点D 在射线OA 上180ODC CDA \Ð+Ð=°180OBC OAC \Ð+Ð=°故答案为：OC OC =；SAS ；线段垂直平分线的性质；等边对等角21．(1)图见解析，()12,1A -，()11,2B ；(2)()0,0，4．【分析】()1根据轴对称的性质画出图形并写出对称点的坐标即可；()2选取一点与线段AB 构成等腰三角形分三种情况：以点A 为等腰三角形的顶点AB 为腰；以点B 为等腰三角形的顶点AB 为腰；以AB 为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段AB 的垂直平分线上．【详解】（1）解：如下图所示，分别作点A 、B 关于y 轴的对称点1A 、1B ，连接11A B ，线段11A B 与线段AB 关于y 轴对称；Q 已知点A 、B 的坐标分别是()2,1--、()1,2-，1A \的坐标是()2,1-，1B 的坐标是(1,2)；（2）解：当以点A 为等腰三角形的顶点AB 为腰时，在y 轴上有2个点可以与线段AB 组成等腰三角形，如下图所示，当以点B 为等腰三角形的顶点AB 为腰时，在y 轴上有两个点使3C B AB =、4C B AB =，可以看出点A 、B 、3C 在同一条直线上，不能构成三角形，\在y 轴上有1个点可以与线段AB 组成等腰三角形，如下图所示，当以AB 为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段AB 的垂直平分线上，如下图所示，可以发现这个点恰好是原点．综上所述，在y 轴上有4个点可以与线段AB 构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是()0,0．【点睛】本题考查了轴对称变换和等腰三角形的性质．关于y 轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；有两条边相等的三角形是等腰三角形．22．23【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式整体变形代入计算即可求值．【详解】解：∵2610x x --=∴261x x -=∴22122x x -=()()()23233x x x --+-()()223449x x x =-+--22312129x x x =-+-+221221x x =-+221=+23=．23．见解析【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先由三线合一性质和等边对等角得到BD CD =，B C Ð=Ð，然后证明出()AAS BDE CDF ≌△△，．即可得到BE CF =．【详解】解：∵等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于D ，∴BD CD =，B CÐ=Ð∵DE AB ^，DE AB^∴90BED CFD Ð=Ð=°∴()AAS BDE CDF ≌△△∴BE CF =．24．(1)()a b -(2)()2a b -，()24a b ab+-(3)5x y +=±【分析】此题考查了列代数式，完全平方公式和几何图形的应用，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点．（1）由小长方形的长和宽分别为a 和b 求解即可；（2）分别用两种方法表示出正方形EFGH 的面积即可求解；（3）由（2）得()()224x y x y xy -=+-，然后整体代数求解即可．【详解】（1）解：∵小长方形的长和宽分别为a 和b ，∴图2中的四边形EFGH 为正方形，其边长为()a b -；（2）解：正方形EFGH 的面积为()22EF a b =-；正方形EFGH 的面积还可以表示为()24a b ab +-；∴()()224a b a b ab -=+-；（3）解：由（2）得，()()224x y x y xy-=+-∵3x y -=，4xy =，∴()22344x y =+-´∴()225x y +=∴5x y +=±．25．(1)画图见解析；36；(2)72或108【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理及外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定．（1）作出线段OB 的中点P ，连接AP ，线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，再根据直角三角形性质及等腰三角形性质求解即可；（2）作出图形并分两种情况讨论：作72OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =；作108OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，再求解即可．【详解】（1）解：如图，作出线段OB 的中点P ，连接AP ，线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，Rt AOB Q △中，AP 是斜边上的中线，OP AP PB \==，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，\线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，36OAP MON \Ð=Ð=°，故答案为：36；（2）解：如图，作72OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，36MON Ð=°Q ，OP AP =，36OAP MON \Ð=Ð=°，72OAB Ð=°Q ，723636PAB \Ð=°-°=°，72APB MON OAP Ð=Ð+Ð=°Q ，18072ABP PAB APB Ð=°-Ð-Ð=°Q ，ABP APB \Ð=Ð，AP AB \=，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，72a =°；如图，作108OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，36MON Ð=°Q ，OP AP =，36OAP MON \Ð=Ð=°，108OAB Ð=°Q ，1083672PAB \Ð=°-°=°，72APB MON OAP Ð=Ð+Ð=°Q ，PAB APB \Ð=Ð，AB PB \=，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，108a =°；故答案为：72或10826．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等；（1）按要求补全图形，即可求解；（2）由角的和差得90AFE EAF Ð=°-Ð，由等腰三角形的性质得()118022B a Ð=°-，即可求证；（3）延长AE 至H 使AE EH =，连接,DH FH ，证明()SAS AEC HED V V ≌得出AC DH =，CAE EHD Ð=Ð，进而证明DHF BAF Ð=Ð，证明()SAS ABF HDF V V ≌，推出FB FD =，AFB HFD Ð=Ð，即可得出60BFD AFH Ð=Ð=°，则FBD V 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，（2）证明：Q EF AE ^，90AEF \Ð=°，90AFE EAF\Ð=°-Ð90a =°-，AB AC =Q ，2BAC a Ð=，()118022B a \Ð=°-90a =°-，\B AFE Ð=Ð；（3）证明：延长AE 至H 使AE EH =，连接,DH FH ，∵,,AE EH AEC HED DE EC=Ð=Ð=∴()SAS AEC HED V V ≌∴AC DH =，CAE EHDÐ=Ð又∵AB AC=∴AB DH=∵60a =°，则120BAC Ð=°，60FAE Ð=°∴60BAF EACÐ=°-Ð∵EF AH ^，AE EH=∴AF FH =，∴60DHF AHF EHD EAC BAC FAE EAC BAFÐ=Ð-Ð=°-Ð=Ð-Ð-Ð=Ð∴()SAS ABF HDF V V ≌∴FB FD =，AFB HFDÐ=Ð∴60BFD AFH Ð=Ð=°∴FBD V 为等边三角形．27．①②④【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．首先证明出()SAS ABE DBC V V ≌，得到AE CD =，即可判断①；延长AE 交CD 于点F ，得到EAB BDC Ð=Ð，然后结合三角形内角和 得到90ABD DFE ==°∠∠，即可判断②；根据题意无法证明AE 平分DAC Ð，即可判断③；证明出()ASA ABM DBN V V ≌，得到ABM DBN Ð=Ð，进而可判断④．【详解】解：在ABE V 和DBC △中，AB DB ABD DBC EB CB =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE DBC V V ≌，∴AE CD =，故①正确；如图所示，延长AE 交CD 于点F∵ABD DBC Ð=Ð，点B 在线段AC 上，∴90ABD DBC Ð=Ð=°∵ABE DBCV V ≌∴EAB BDCÐ=Ð∵AEB DEFÐ=Ð∴AE CD ^，故②正确；根据题意无法证明AE 平分DAC Ð，故③错误；∵ABE DBC V V ≌，M ，N 分别是线段AE 、CD 的中点∴BM BN=又∵MAB NDB Ð=Ð，AB BD=∴()ASA ABM DBN V V ≌∴ABM DBNÐ=Ð∴ABM DBM DBN DBMÐ+Ð=Ð+Ð∴90ABD MBN Ð=Ð=°∴BM BN ^，故④正确；综上所述，结论正确的是：①②④．故答案为：①②④．28．(1)①(2,3)；②(1,1)-(2)①图见解析；②等腰三角形(3)522n ££或732n ££【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“R 关联点”变化规律.（1）根据“R 关联点”定义可得点P (,)x y 的“(),R a b 关联点”的坐标为(),2P x a b y ¢+-，据此计算即可；（2）①根据(),R a b 关联点的定义计算出当R 在三角形的顶点时，点P 的“R 关联点”坐标，即可画图；②由图可知关联点组成的图形形状是三角形.（3）分点R 在正方形的四条边上上时，坐标不同，根据()3,0P n 的“R 关联点”在线段MN 上方程和不等式求解即可.【详解】（1）解：设P 坐标为(,)x y ，设P ¢的坐标为(),P x y ¢¢¢，先将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，得到点的坐标为(,)x a y +，再关于直线y b =对称，得到点P ¢，则2x x a y y b =+ì¢+=¢ïíïî，∴2x x a y b y =+ìí=-¢¢î即P ¢坐标为(),2x a b y +-①当点P 坐标为()3,1，点R 坐标为()1,2-时，则点P 的“R 关联点”P ¢的坐标为(31,221)-´-，即(2,3)；②点()4,3Q -为点P ()3,1的“R 关联点”，∴43321a b =+ìí-=-î解得：11a b =ìí=-î，即R 的坐标为(1,1)-，（2）解：①如图②这些关联点组成的图形形状是等腰三角形.（3）∵点()6,4M 、()7,5N ，①当点R 在EH 上时，设点(,)R a n 其中n a n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(3,2)n a n +，∴322n a n +-=，∴2a n=-又∵637n a n a n £+£ìí-££î即63(2)72n n n n n£+-£ìí-£-£î解得：522n ££，当点R 在EH 上时，522n ££， 线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”②当点R 在FG 上时，设点(,)R a n -其中n a n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(3,2)n a n +-，∵0n >，∴(3,2)n a n +-不可能在第一象限，故点R 在FG 上时，线段MN 上不存在点()3,0P n 的“R 关联点”；③当点R 在H G 上时，设点(,)R n b 其中n b n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(4,2)n b ，∴422n b -=，∴21b n =-又∵647n n b n ££ìí-££î即64721n n n n££ìí-£-£î不等式组无解，故点R 在H G 上时，线段MN 上不存在点()3,0P n 的“R 关联点”；④当点R 在EF 上时，设点(,)R n b -其中n b n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(2,2)n b ，∴222n b -=，∴1b n =-又∵627n n b n ££ìí-££î即6271n n n n££ìí-£-£î解得：732n ££，当点R 在EF 上时，732n ££， 线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”综上所述：当522n ££或732n ££时，线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”。

北师大附属实验中学2021-2022 学年度第二学期期中试卷初一年级数学A卷一、选择题（本题共8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题 3 分，共24 分）1．在实数－1，，0，－中，最小的实数是（）A．－1B．C．0D．－2．如图，能判定的条件是（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．±3是（﹣3）2的算术平方根B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根C．的平方根是﹣3D．﹣3是的一个平方根4．在平面直角坐标系中，点P（0，﹣4）在（）A．x轴上B．y轴上C．第三象限内D．第一、三象限的角平分线上5．二元一次方程组的解（）A．B．C．D．6．下列命题中，假命题是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角D．在同一平面内，如果，a⊥c，那么b⊥c7．若是关于x、y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（ ）A．1B．2C．3D．48．对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（）A．B．3C．6D．3二、填空题（本题共8 小题，每小题 2 分，共16 分）9．在某个电影院里，如果用表示排号，那么排号可以表示为__________．10．若，则______．11．如果二元一次方程组的解为，则“”表示的数为__________．12．已知点P（m，6）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）___．13．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度．14．有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为729时，输出的y是______________．15．将点P（- 2 ，1）先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位后，则平移后点P的坐标是______．16．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，七年级举办了“古诗词”大赛，现有小刚、小强、小敏三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3 名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c 且a，b，c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小敏同学第三轮的得分为______分．最后得第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮分小刚a a24小强a b c13小敏c b11三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分）17．计算：(1)；(2).18．求下列各式中的值：(1)；(2).四、解方程组（本题共2小题，每小题6分，共12分）19．解下列方程组：(1)（代入法）；(2).五、作图题（本题共2小题，每小题6分，共12分）20．已知∠AOB及∠AOB内部一点P.(1)过点P画交OB于点C；(2)过点P画线段PD⊥OB于点D；(3)比较线段PC与PD的大小是，其依据是.21．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：（1）补全△A′B'C’；（2）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；（3）在BB′上画出一点Q，使得△BCQ与△ABC的面积相等.六、解答题（本题共3小题，22题6分，23题7分，24题7分，共20分）22．如图，AB CD，∠A＝70°，∠2＝35°，求∠1的度数．23．下表是某超市两次按原价销售牛奶和咖啡的记录单：牛奶（箱）咖啡（箱）销售金额（元）30101400第一次10201300第二次(1)求牛奶与咖啡每箱原价分别为多少元？(2)某公司后勤部去采购，发现该超市有一部分商品因保质期临近，正在进行打六折的促销活动，于是后勤部决定采购原价或打折的咖啡和牛奶若干箱，其中采购的打折牛奶箱数是采购总箱数的，最后一共花费1860元. 请问此次按原价采购的咖啡有多少箱？24．已知：射线AB∥射线CD，点P是平面内一点，连接PA，PC，射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD．（1）如图1，若点P在线段AC上，求证：AE∥CF；（2）若点P在线段AB所在直线的上方，且射线AE所在的直线与射线CF所在的直线相交于点Q．直接用等式表示∠APC与∠AQC的数量关系 ．B卷七、探究题（本题共3小题，25题6分，26题7分，27题7分，共20分）25．设a、b、c都是实数，且，求代数式的值．26．对于任何实数a，可用[a] 表示不超过a 的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分，例如：[1.3] = 1，{-2.6}= 0.4 ，(1)，；(2)在平面直角坐标系中，有一序列点，，，，请根据这个规律解决下面问题：①点的坐标是；②横坐标为10的点共有个；③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有个，并求出这些点的横坐标之和．27．对于平面直角坐标系xOy中的点，若点Q的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称Q是点P的“k系联动点”.例如：点的“3 系联动点”的坐标为.(1)点的“2系联动点”的坐标为；若点P的“系联动点”的坐标是，则点P的坐标为；(2)设点的“k系联动点”与“系联动点”分别为点M，N，若线段轴，则点P 的位置分布在，请证明这个结论；(3)在（2）的条件下，若MN的长度为OP的长度的3倍，求k的值.北师大附属实验中学2021-2022 学年度第二学期期中试卷初一年级数学答案一、选择题1-5：DADBB 6-8：CBA二、填空题9．（2，7）10．11．1012．－1（答案不唯一）13．7514．15．（0，2）16．1三、解答题17．(1)解：=2+5-10，=-3(2)=，=18．(1)解：∵，∴，∴；(2)解：∵，∴，∴，∴．19．(1)解：由②得y=3-2x③，把③代入①得3x-2(3-2x)=8，解得：x=2，把x=2代入③得y=3-2×2，解得：y=−1，所以原方程组的解为：；(2)①×3+②×2得19x=114，解得x=6把x=6代入①得18+4y=16，解得，所以原方程组的解为：．20．（1）解：根据平行线的画法：一落：用三角板的一边落在已知直线OA上；二靠：用直尺紧靠三角板的另一边；三移：沿直尺移动三角板，使三角板中与已知直线OA重合的边过已知点P；四画：沿过已知点P的三角板的边画直线；作图如下：（2）解：根据垂线的画法：一落：将直角三角板的一条直角边落在已知直线OB上；二移：沿已知直线OB移动三角板，使其另一个直角边经过已知点P；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，该直线就是已知直线的垂线；作图如下：（3）解：如图所示：PC是斜边，PD是直角边，根据直角三角形的斜边大于直角边可得：．21．解：（1）如图所示，连接，过点C作的平行线m，在m上截取，则点就是点的对应点；过点A作的平行线n，在n上截取，点就是A的对应点，顺次连接得；（2）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；故答案为：平行且相等；（3）如图所示，根据同底等高的三角形面积相等，过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q．22．解：∵AB CD，∴∠A+∠ACD＝180°．∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．又∵∠ACD＝∠1+∠2，∠2＝35°，∴∠1+∠2＝∠1+35°＝110°，∴∠1＝75°．23．（1）解：设牛奶与咖啡每箱原价分别为x元，y元，由题意可知：，解之得：，∴牛奶与咖啡每箱原价分别为30元，50元；（2）解：设牛奶与咖啡的总箱数为a，采购的打折牛奶箱数是，设按原价采购的咖啡有b箱，则采购原价牛奶和打折的咖啡箱数为：，∵打折的咖啡一箱：元，原价牛奶一箱30元，打折牛奶一箱：元，原价咖啡一箱50元，∴由题意可知：，整理得：，∵a，b均为整数，∴或或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意；∴此次按原价采购的咖啡有12箱．24．解：（1）若点P在线段AC上，射线AB//射线CD，（两直线平行，内错角相等）射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD，，（角平分线定义）AE//CF（内错角相等，两直线平行）（2）设PC与AB交于M，与AE交于N，∵AB//CD，∴∠AMP=∠DCP，∵AE平分∠PAB，CF平分∠PCD，，，∴，当点Q在射线AE上时，∠AQC=∠ANC+∠PCF（180°-∠APC），∴2∠AQC - ∠APC = 180°；当点Q在射线AE的反向延长线上时，∵∠AQC+∠ANC+∠PCF=180°，∴∠AQC=180°-∠ANC-∠PCF=180°--，=180°-=180°-∠APC-（180°-∠APC），∴∠APC + 2∠AQC = 180°；∴综上所述，∠APC + 2∠AQC = 180°或2∠AQC - ∠APC = 180°.25．解：∵，∴a + b -6=0，b + c +5=0，∴a + b =6，∴b=6-a，∵b+c+5=0，∴(6-a)+c+5=0，∴a - c =11，∴3а+ b -2c= a + b +2a-2c= a + b +2( a - c )=6+2×11=28，∴代数式3a+ b -2c的值是28．26．(1)解：∵1<2<4，∴，∴[ ]=1，∵，∴=-1，∴[]=1，=-1；(2)∵P1([1]，{1})，P2([]，{})，P3([]，{})，P4([2]，{2})，P5([]，{})，可发现点 Pn 的坐标为Pn ([n]，{})，①根据规律可知，点P10 的坐标为（[10]，{})，∵9<10<16，∴3<<4，∴[]=3，{}=-3，∴P10 的坐标为（3，-3 )；②∵Pn ([n]，{})，∴当[]=10时，100≤n﹤121，其中的整数共21个，∴横坐标为10的点共有21个；③根据题意可得，P1(1，0)，P2(1，-1)，P3(1，-1)，P4(2，0)，P5(2，-2)，P6(2，)，P7(2，-1)，P8(2，)，P9(3，0)，P10(3，-3)，……可以发现，当n 的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，∵442<2022<452，∴44<<45，∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为1+2+3+ (44)（1+44）×（44÷2）=990，∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990．27．(1)解：点的“2系联动点”的坐标为，即；设，则点P的“系联动点”的坐标为，∵点P的“系联动点”的坐标是，∴，解得：，∴点P的坐标为．(2)解：点P分布在y轴上，理由：∵点的“k系联动点”与“ k系联动点”分别为点M，N，∴，，∵轴，∴，解得：，∵，∴，∴点P在y轴上；(3)解：在（2）的条件下，可知点P在y轴上，设，可知：，，∵MN的长度为OP长度的3倍，∴，∴．。

北京师范大学附属实验中学2027届高一上学期数学阶段练习一2024.10.8班级__________姓名__________学号__________一､选择题（每小题4分，共32分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.命题的否定是（ ）A. B.C. D.3.如图，阴影部分可用集合表示为（ ）A. B.C. D.4.下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则 D.若，则5.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.若命题“”为假命题，则实数可取的最小整数值是（）A. B.0 C.1 D.3{}{}24,2,1,0,2A x x B =<=--∣A B ⋂={}1,0-{}2,1,0--{}2,1,0,2--{}1,0,2-30,1x x ∃><30,1x x ∀≤≥30,1x x ∀>≥30,1x x ∃>≥30,1x x ∃≤≥,M P M P ⋂M P⋃()()U U M P ⋂ðð()()U U M P ⋃ðða b >ac bc >a b >11a b<a b >22a b >22ac bc >a b>x ∈R 21x -<220x x +->23,21a b <<-<<-2a b -()6,7()2,5()4,7()5,8[]20,3,20x x x a ∀∈-->a 1-8.对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（）A. B. C.D.二､填空题（每小题4分，共24分）9.集合可以用列举法表示为__________.10.方程组的解集是__________.11.若关于的不等式的解集为，则的值为__________.12.为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2和5（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________.13.已知集合，且中有2个子集，则实数的取值范围为__________.14.设集合，其中为实数，令，若中的所有元素之和为中的所有元素之积为__________.三､解答题（共44分）15.（本小题10分）已知集合.（1）若，求和；{}1,2,3,,A n =⋯{}1,2,4,664213-+-={}3,8835-={}6A 2n 21n n +-12n n -⋅2n n ⋅45x x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭N N 22235x y x y +=⎧⎨+=⎩x 20x mx n ++<{14}xx <<∣m n +1111A B C D ABCD ABCD 21000m m m 1111A B C D BC m {}11,,02x A a B x x ⎧⎫+==≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋂a {}1,2,A m =m {}2,B a a A C A B =∈=⋃∣C 6,C {}14,{123}A xx B x m x m =-≤≤=-<<-∣∣4m =A R ðA B ⋃（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题10分）设，求证.17.（本题共10分）已知是方程的两个不相等的实根，求值：（1）（2）（3）18.（本题共14分）已知关于的方程.（1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值；（2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若，解关于的不等式.【附加题】已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；（2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；（3）若为正整数，求“完美集”.B A ⊆m 0a b >>22b a a a b b+<+12,x x 2510x x -+=2212x x +12x x -3312x x +x ()2110ax a x +--=a 2a =0x >()2119ax a x bx +-->-b 0a <x ()2110ax a x +-->{}()12,,2,n A a a a n n =⋯≥∈N A ()1,2,,i a i n =⋯1212n n a a a a a a ++⋯+=⨯⨯⋯⨯A {11---+12a a ､{}12,a a 12a a ､i a A。

北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷初一年级英语班级________ 姓名________ 学号________ 成绩________考生须知：1.本试卷共12页，共十道大题，62道小题；答题纸共2页。

满分100分。

考试时间90分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。

3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题须用2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

第一部分：听力理解（20分）一、听对话或独白，根据对话或独白的内容，从下面各题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段对话或独白你将听两遍。

（共12分，每小题1.5分）请听一段对话，完成第1至第2小题。

1. What color of the sweater does Dave like?A. Black.B. Red.C. Green.2. How much will the man pay for the sweater?A. 15 dollars.B. 20 dollars.C. 25 dollars.请听一段对话，完成第3至第4小题。

3. What does Jessica think of geography?A. Boring.B. Difficult.C. Interesting.4. When does Jessica have geography classes?A. On Wednesday and Thursday.B. On Wednesday and Friday.C. On Thursday and Friday.请听一段对话，完成第5至第6小题。

5. Where is the library?A. Next to the dining hall.B. Behind the dining hall.C. In front of the dining hall.6. Where are the speakers?A. At a cinema.B. At school.C. At a park.请听一段独白，完成第7至第8小题。

2012届高三理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、已知集合(){}|lg 1M x y x ==-，{}|21x N x =>，则M N = （ ） A.∅ B.{}|01x x << C.{}|0x x > D.{}|1x x <2、设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<，若数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．153、已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A 、0.16B 、0.32C 、0.68D 、0.844、在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x ), (x y ≠ 0 )，则a ⊥b B ．满足0))((=-+AD AB AD AB 的平行四边形ABCD 是菱形；C ．满足O A xO B yO C =+的三点A 、B 、C 共线（其中,x y R ∈）；D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A 。

5、关于函数()sin 2+y x ϕ=的表述正确的是（ ）A. 周期是2π；B. 最小值为2-；C. 当2πϕ=时为偶函数； D. 当3πϕ=时,可以由sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到该函数图像。

6、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，则“103a <<” 是“()f x 在(,)-∞+∞上单调递减”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数， 则可以输出的函数是（ ） A ．2()f x x = B ．()cos f x x π=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =8、点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线于点A 、B （A 在y 轴左侧）。

北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024年10月本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 (选择题，共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.在长方体中,化简(A)(B)(C)(D)2.若向量,则(B)4(D)53.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么(A)-2(B)-1(C)(D)24.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)6.如图,在四面体中,为BC 的中点,为AD 的中点,则可用向量表示为1111ABCD A B C D -1AB AD AA ++=1CB 1BC 1CA 1AC (1,1,0),(1,0,2)a b ==- ||a b +=(0,2),(1,0)A B (1,)k k =12-n αl m l m n ⊥//l α123,,l l l 123,,k k k 123k k k >>312k k k >>213k k k >>231k k k <<O ABC -,,,OA a OB b OC c D === E OE,,a b c(A)(B)(C)(D)7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为(A)(B)(C)(D)8.已知,过点的直线与线段AB 没有公共点,则直线斜率的取值范围是(A)或(B)(C)(D)或9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB 上的点,且,点在线段上,则点到直线AD 距离的最小值为(A)(D)110.如图,在棱长为a 的正方体中,为的中点,为上任意一点,E ,F 为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是111222a b c ++ 111442a b c ++111424a b c ++ 111244a b c ++111ABC A B C -1AB BC AA ==AB BC ⊥1B C 1A B π6π4π3π2(1,2),(2,0)A B -(1,4)C -l l k 1k >4k <-41k -<<14k -<<4k >1k <-1111ABCD A B C D -E 3AEEB=P 1D E P 35()B ()C 1111ABCD A B C D -P 11A D Q 11A B(A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥P-QEF 的体积(D)二面角P-EF-Q 的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（ ）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（ ）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学 简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），； （2）10； （3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为 （2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足 （3）【21题答案】【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明略； （3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。

高三年级期中II 考试试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合2{|||,},{|0,}A x x x x R B x x x x R ==∈=+≥∈，则A ∩B=（ ） A.[-1，0] B.[0，+∞） C.[1，+∞） D.（- ∞，-1）2．已知点A （-1,0）,B(1,3),向量a =（2k-1,2）,若,AB a ⊥则实数k 的值为（ ）A.-2B.-1C.1D.23．复数Z= ()2(1)1i i +-的共轭复数是（ ）A. -1-iB. 1i -+C.1122i + D. 1122i - 4．已知等差数列{n a }的前n 项和为 n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A.144 B.18 C.54 D.725．设复数Z 满足Z (2-3i) = 6+4i (i 为虚数单位)，则Z 的模为（ ） A.4 B.6 C.2 D.86．若A+B=3π则cosA ⋅cosB 的值是（ ）A.34 C. 32 D. 7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为060，则|b a 3-|=（ ）A. C. D. 8．设数列{n a }是等差数列，且2158,5a a =-=，n S 是数列{n a }的前n 项和，则（ ） A.910S S < B. 910S S = C. 1110S S < D. 1110S S =9．设2,[0,1],()2,[1,2],x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为（ ）A.34 B.45 C. 56 D. 6710．a ，b 是正实数，则2211(2)(2)a b ba+++的最小值是（ ）A.8B.4C.32D.1611．若点P 是∆ABC 的外心，且0,PA PB PC λ++=0120,C ∠=则实数λ=（ ）A.1B.2C.-1D.-212．已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是（ ）A.（-1,0）B.（0,1）C.(-1）D.（）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

北京师范大学附属实验中学2012届高三上学期期中考试英语试题第一卷（三部分，共115分）第一部分：听力理解（共三节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

1. What does the woman suggest the man do?A. Join the meetingB. Wait for the bar to openC. Buy a drink somewhere else.2. Where will the speakers study tonight?A. In the school dormitory.B. At the man’s elder sister’s apartment.C. At the man’s apartment.3. What is the man worried about?A. The salary.B. The working hoursC. The amount of paid leave.4. What are the speakers talking about?A. A car.B. A bike.C. A sofa.5. What will the woman do?A. Make 50 color copies.B. Mail some color copies.C. Have her jacket shortened.第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）听下面4段对话或独白。

每段对话或独白后有几道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟时间阅读每小题。

听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白你将听两遍。

北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第一学期高三年级数学(理)期中试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|}M x x a =≤，{|20}N x x =-<<，若MN φ=，则a 的取值范围为A.0a >B. 0a ≥C.2a ≤-D. 2a <- 2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．1()f x x=-B．()f x =C ．()2x f x -=D ．()tan f x x =3.已知点P 是函数()sin()6f x x πω=+的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴距离的最小值为4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B. π C.2π D. 4π 4．已知向量1(3,1),(2,),2a b ==-则下列向量可以与2a b +垂直的是 A. (1,2)- B. (2,1)- C. (4,2)D. (4,2)-5．“1t >”是“1t t<”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是 A. 3S B. 4S C. 5S D. 6S 7.数列{}n a 中，112a =，111n n na a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值为A. 236B. 238C. 240D. 2428．已知集合12{,,,}(2)n A a a a n =>，令{},1A i j T x x a a i j n ==+? ，card()A T 表示集合A T 中元素的个数.关于card()A T 有下列四个命题 ①card()A T 的最大值为212n ； ②card()A T 的最大值为1(1)2n n -； ③card()A T 的最小值为2n ； ④card()A T 的最小值为23n -. 其中，正确的是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.在ABC D 中，若tan 2A =-，则cos()B C += .10．设0.5a e =，log 2b π=，cos 2c =，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为 . 11．已知函数()2sin f x x x =-，则函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为 ；在(0,)π上的单调递增区间为 .12.若函数(1)0()()0ax x x f x x a x x +≥⎧=⎨-<⎩为奇函数，则a 的值为 ，满足(1)(2)f t f t -<的实数t的取值范围是 .13．如图，线段2AB =，点,A B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运 动．以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为 原点，则OC OD ⋅的取值范围是______.14.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有 .①()2f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.设0c >.命题:log c P y x =是减函数；命题:120Q x x c --+>对任意x R ∈恒成立.若或P Q 为真，且P Q 为假，试求c 的取值范围.16.如图，已知点(10,0)A ，直线(010)x t t =<<与函数21x y e +=的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值.17．在△ABC 中，已知34C π=，21cos 2sin 2B A =+． （Ⅰ）求tan B ；（Ⅱ）若2BC =，求△ABC 的面积．18.已知函数()ln(1)()f x x ax a R =+-∈.（Ⅰ）若1a =，求证：当0x >时，()0f x <； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）求证：e n <+++)211()411)(211( .19.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --= （Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）设点()00,P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q .（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，过点,A B 分别作抛物线C 的切线12,l l ，求12,l l 交点M 满足的轨迹方程.20.已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ，*1*,3,,31,3,.nn n nn a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .（Ⅰ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （Ⅱ）求证：{1,2,3}A ⊆；（Ⅲ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第一学期期中高三年级考试答题纸理科数学一、选择题请将选择题的答案填涂在机读卡上二、填空题9. . 10．．11．；.12. ；13．．14. ；.三、解答题15.（本题13分）13分）17.（本题13分）18.（本题14分）2014—2015学年度第一学期期中高三年级考试答题纸理科数学19.（本题14分）20.（本题13分）北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10． a b c >> 11． y x =-， (,)3ππ12. 1，1t >- 13. [1,3] 14． （1） ①②④，（2）0a a e >≤-或 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. P 真：01c << Q 真：12c >1(0,][1,)2c ∈+∞16.解：（I ）由已知2110,t AH t PH e +=-=所以APH ∆的面积为211()(10),0102t f t t e t +=-<<. （II ）解： 21212111'()(10)2(192)22t t t f t e t e e t +++=-+⨯-⨯=-由'()0f t =得9.5t =， 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：所以当9.5t =时，函数()f t 取得最大值2014t e =.17．（Ⅰ）解：由34C π=，得 2111cos 2sin ()[1cos(2)]24222B B B ππ=+-=+--． 所以 2112sin 1sin 21sin cos 2B B B B -=-=-，即 22sin sin cos B B B =．因为 04B π<<，所以sin 0B >， 所以 1tan 2B =．（Ⅱ）解：由04B π<<，1tan 2B =，得 sin B =，cos B =.所以 sin sin()sin cos cos sin 444A B B B πππ=-=-=由正弦定理得sin sin AC BCB A =， 所以 AC = 所以 △ABC 的面积1sin 22S AC BC C =⋅=.18.（Ⅰ）易证（Ⅱ）当0a ≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a >时，()f x 在1(1,1)a --+单调递增，在1(1,)a-++∞单调递减 （Ⅲ）要证e n <+++)211()411)(211( ，两边取以e 为底的对数，即只需证明 1)211ln()411ln()211ln(<+++++n由（Ⅰ）可知，ln(1)(0)x x x +<>，分别取111,,,242n x =，得到 111111ln(1),ln(1),,ln(1)224422n n +<+<+<将上述n 个不等式相加，得n n 214121)211ln()411ln()211ln(+++<+++++1211<-=n .从而结论成立.19.（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）直线AB ：00220x x y y --= 定点(2,2)Q （Ⅲ）点M 满足的轨迹方程：20x y --= 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9， 由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b ，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.。