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2014-2015学年北京市第十九中学高三学部第一学期期末总结一、整体情况及各项成绩的数据分析（一）考试基本情况：理科——语文、数学、外语、物理、化学、生物文科——语文、数学、外语、历史、地理、政治19中学籍的理科生共119人，文科生49人。
通过本次考试，对高三年级第一学期新授课进行总结；摸查教学当中存在的问题及突破点，寻求改进的方法；帮助学生找出这半年来的学习漏洞，从学科的角度进一步发现学困生，通过对试卷进行讲评，假期补课做好高三冲刺阶段的准备工作，教育学生利用寒假的有利时机，查漏补缺，迎头赶上，为高三最后的冲刺积蓄能量。
（二）年级总平均分、各学科的平均分及三率：理科——高考科目：表一-1小结：从三率来看，只有英语、生物及格率没有达到80%，；语文、化学成绩优势明显，19中学籍学生总体情况良好。
文科——高考科目：表一-2小结：从三率来看，语文、英语、地理学科成绩优势明显，政治、数学有两级分化的趋势。
（三）期中期末各科成绩比较：理科：高二期末高三期中高三期末表二——1小结：与高三期中成绩相比，从三率来看，各学科成绩略有变化，总体上看各科成绩在全区的排名较好，物理、化学学科优秀率较高，语文、数学、英语学科成绩稳定，只有生物学科出现了个别的低分学生。
文科：高二期末高三期中高三期末表二——2小结：与上学期末成绩相比，语文、数学、英语学科成绩优势明显，在及格率方面，语文为100%，英语、历史、地理的及格率也非常好。
数学、政治学科有学生出现两极分化现象。
（四）期末实验班、普通班、特长班成绩（以下统计以19中学籍学生为主）：理科：普通班2班479.0695.8596.5997.7464.416658.47普通班3班486.0397.9796.6194.9466.6169.8960普通班8班481.8896.595.191.2866.8569.9562.2普通班平均481.0896.4994.8694.8166.4068.5359.99年级平均差-27.19-2.68-4.99-5.97-4.77-5.16-3.64表三-1小结：实验班的成绩优势明显，尤其是英语、数学、生物成绩突出；普通班的成绩发展比较均衡，其中语文、物理、生物较好。
某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C. D.{}0,1,2{}1,2{}1{}22. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA.B.3()2f x x x =-+2()1xf x x =+C. D.()cos 4f x x x=||()e x x f x =4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b <<b c a<<5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A .3B. 2C. 1D. 06. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 1927. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A .B. C. D.4816+32+8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1 B. 2C. 3D. 49.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211m m f x m m x+-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00011. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +15. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N 求实数的取值范围.m天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C.D.{}0,1,2{}1,2{}1{}2【正确答案】D【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为，，{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N 所以.{2}A B = 故选：D.2. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.20x x ->【详解】由，解得或，20x x ->1x >0x <故“”是“”的充分不必要条件.0x <20x x ->故选：A.3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA. B.3()2f x x x=-+2()1x f x x =+C. D.()cos 4f x x x =||()e x x f x =【正确答案】C【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.【详解】由图象可知，故BD 不成立；()10f <对于A 选项：，当时，，'2()61f x x =-+'()0f x>x ⎛∈ ⎝当时，，'()0f x<,x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调()fx ,⎛-∞ ⎝⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭递增，不符合图象，故A 不成立；故选：C4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b<<b c a<<【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，()3log 4a f =()0.82c f -=-3log 423log 2的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.0.82--【详解】奇函数在上是减函数，则，()f x R ()()f x f x -=-所以，()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()0.80.822c f f --=-=-因为，，3331log 3log 4log 92=<<=122233332log 2log log 123-⎛⎫<==- ⎪⎝⎭又，所以，0.800221-<<=0.8120--<-<所以，则，0.82334log 22log -<-<()()0.8233log 22log 4f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭故.b c a >>故选：B 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【正确答案】A【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，1n +21n n n a a a +++=n 321n n n a a a +++=-再利用周期性运算得解.【详解】由题意得，用替换式子中的，得，21n n n a a a ++=-1n +n 321n n n a a a +++=-两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.3n n a a +=-63n n n a a a ++=-={a n }又，，.12a =21a =34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=所以数列的前2024项和.{a n }()2024126123373S a a a a a =+++++= 故选：A.6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 192【正确答案】B【分析】依题意写出前几项即可发现规律.【详解】设，1n n n a a b +-=由，，21312a a -=-=32633a a -=-=，…，431064a a -=-=可知为等差数列，首项为2，公差为1，{}n b 故，()211n b n n =+-=+故，11n n a a n +-=+则，，，212a a -=323a a -=434a a -=…，，()12n n a a n n --=≥累加得，()()1122n n n a a -+-=即，显然该式对于也成立，()()1212n n n a -+=+1n =故．212301231a =+=故选：B7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A. B. C. D. 4816+32+【正确答案】D【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，AD BC G H GH FH过点作的垂线，垂足为，F AB FI I因为，,所以，所以，3FB FC ==4BC =FH BC ⊥FH =根据对称性易得，FBC EAD △≌△所以，11422FBC S BC FH =⨯=⨯=△在中，，所以，Rt FBI △8422BI -==FI ==，1()2FEAB S EF AB FI =+⨯梯形1(48)2=⨯+=又，32ABCD S AB BC =⨯=矩形所以FE ABCD S -22FBC ABCD FEAB S S S =++△矩形梯形32=+故选：D ．8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】C【详解】3cos cos 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,cos sin 255πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以 原式sin sin cos cos sin 555sin cos cos sinsin 555πππαααπππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，tan tan 3tan 553tan tantan55ππαππα+===-故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式.9.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+【正确答案】D【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质ωϕ一一判断即可.【详解】函数的最小正周期是，()3sin()10,2πf x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭π所以，则，2π2πω==()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线对称，()()3sin 21f x x ϕ=++π3x =所以，解得，ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈ππ,Z 6k k ϕ=-+∈因为，所以当时，，则，ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0k =π6ϕ=-()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，，故A 错误；0x =()3103sin11622πf =-+=-+=-由，所以，2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦206π6,x 7π⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦因为在上不单调，所以在上不单调，故B 错误；sin y x =70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，7π7π3sin 213sin π11012126πf ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是的一个对称中心，故C 错误；7π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 因为，将的图象向左平移个单位长度得到：1π212ϕ=()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π12，所以能得到的图象，故D 正确.π3sin 213sin 2126π1y x x ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 21y x =+故选：D.10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211mm f x m m x +-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00【正确答案】C【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，(0,+∞)2m =单调递增，故，得到答案.()()()f a f b f b >-=-【详解】函数是幂函数，则，解得或()()2211mm f x m m x +-=--211m m --=2m =.1m =-当时，，在上为减函数，排除；1m =-()1f x x-=(0,+∞)当时，，在上为增函数，满足；2m =()5f x x =(0,+∞)，函数为奇函数，故在上单调递增.()5f x x =R ，故，，故.0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选.C本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-【正确答案】C【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值k 即可．【详解】函数，可得，2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，，(,2)x ∈-∞-(0,+∞)()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减．()f x (,2)-∞-(0,+∞)(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点，(k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或，k 3k =-1k =-故选：．C 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题．12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312【正确答案】C【分析】函数图象结合单调性可解.【详解】,函数在上单调递增，()()0f a f b a b=⇒<<()e 1x f x =-[]0,2b 所以,(2)()()f b f b f a >=所以在区间上的最大值为，解得[],2a b 2(2)e 1e 1b f b =-=-12b =故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =【正确答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,()()()()()52i 2i 534i 105i34i 5584i 2i 2i 2i 5z ----=+-=+=+=-++-,z ==故14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +【正确答案】5【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得.315y x +=13143(43)(5x y x y y x +=++【详解】正数，满足，，x y 35x y xy +=315y x +=1311123143(43)((13)(135555x y x y x y y x y x ∴+=++=++≥+=当且仅当即且时取等号，123x y yx =12x =1y =故的最小值为5.43x y +故515. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x 【正确答案】①③④【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.【详解】①当时所以成立，正确0x =0y =()00f =②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R ，故错误()y f x =x ③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确()y f x =④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确()y f x =⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可()y f x =12y x=能有三个交点，错误.故①③④．16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -【正确答案】4π【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为2BC m =11BB m =，所以其比表面积的最小值为.1R =≥4S π=考点：几何体的外接球，基本不等式.17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.【正确答案】或7382a <<54a =-【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，()()h x xf x =当时，，；2x ≤()11f x x =--()22,12,12x x h x x x x ⎧-≤=⎨-<≤⎩当时，，，(]2,4x ∈(]20,2x -∈()()()1123122f x f x x =--=---；()()()2212,23214,342x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩当时，，，(]4,6x ∈(]40,2x -∈()()()1145144f x f x x =-=--；()()()2214,45416,564x x x h x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩当时，，，(]6,8x ∈(]60,2x -∈()()()1167188f x f x x =--=---；()()()2216,67818,788x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩……作出函数的部分图象如下，()h x因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共()()g x x f x a =⋅-()()h x xf x =y a =点个数为2，由图可知，或.7382a <<54a =-故或7382a <<54a =-18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅【正确答案】13-【分析】由题意可得，，进一步化为，2AB DC =()()AE BF AB BC BC CF λ⋅=+⋅+ 4613λλ+-再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．【详解】由题意，，，2BC =4AB =60ABC ∠=︒所以，，2cos60422CD AB BC =-⋅︒=-=∴2AB DC =又动点和分别在线段和上，且，，所以E F BC DC BE BC λ= 12DF DCλ=，解得，011012λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩112λ≤≤∴()()()()AE BF AB BC BC CF AB BC BC FC λλ⋅=+⋅+=+⋅- 1()[()]()()2AB BC BC DC DF AB BC BC DC DC λλλ=+⋅--=+⋅+- 112()()()()2224AB AB AB BC BC AB BC BC AB λλλλλ-=+⋅+⋅-=+⋅+⋅221212(1)44AB AB BC BCλλλλ--=⋅++⋅+，1212416(1)42cos1204613131344λλλλλλ--=⨯++⨯⨯⨯︒+=+-≥=-当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，46λλ=λ=AE BF ⋅13故．13三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2（3）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.【小问1详解】，由正弦定理，得cos cos 2cos b C c B a A += ，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=()sin sin 2sin cos B C A A A+==，，，()0,πA ∈ sin 0A ≠1cos 2A ∴=π3A =【小问2详解】，21cos 2cos 123C C =-= 22cos 23C =，，()0,πC ∈ π0,22C ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 22C C ∴===πππcos cos cos cos sin sin 2232323C C C C A ⎛⎫⎛⎫∴+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12=-=【小问3详解】中，由余弦定理，得，ABD △22212cos 222b c BD A b c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⋅，224228b c bc ∴+-=中，由余弦定理，得，ABC V 2221cos 22c b a A c b +-==⋅，2228b c bc ∴+-=联立，得，，2222422828b c bc b c bc ⎧+-=⎨+-=⎩23c bc =3b c =代入，解得，224228b c bc +-=6b =2c =的面积.ABC ∴11π1sin 26sin 262232S bc A ==⨯⨯⨯=⨯⨯=20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N求实数的取值范围.m 【正确答案】（1）2nn a =（2）93m -<<【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数n 122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩{}n a 列，得出，即可得出答案；122a q =⎧⎨=⎩（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d 1n n b a d =+，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减1nn n b a d +=-n 11232n n nn n b n b b -=+⋅+ 法得出，则，令，则数列为递减数列，即可n T 33232n n n T n -⋅-⨯+=332nn c =-+⨯{}n c 结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设的公比为，{}n a q 由，得：，1310a a +=314S =21121111014a a q a a q a q ⎧+=⎨++=⎩解得或，122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩因为是递增数列，{}n a 所以，则，1q >122a q =⎧⎨=⎩所以.1222n nn a -=⨯=【小问2详解】在和之间插入个数、、…、，n a 1n a +n 1n b 2n b nn b 使、、、…、、成等差数列，设其公差为，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d此数列首项为，末项为，2n n a =112n n a ++=则，，1n n b a d =+1nn n b a d +=-则11112()(22)3222n n n n n n n n n b a b b n d a d n n +-+-+++++===⋅ 又,()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ 则,101332262n n T n -+⋅=⨯+⨯+ 122326322nn n T =⨯+⨯+⋅+ 则，()012132232322n n n T n -=-⨯-+++⋅ ()()12133333123222n n n n n --=--⨯+⋅=-+-则，33232n n n T n -⋅-⨯+=令，则数列为递减数列，332n n c =-+⨯{}n c 由对恒成立，()321n n n T n m -⋅<-⋅*n ∈N 则当为偶数时，对恒成立，则；n 332n m ->+⨯*n ∈N 29m c >=-当为奇数时，对恒成立，则，即，n 332n m ⨯->-+*n ∈N 13m c ->=-3m <综上实数的取值范围为.m 93m -<<。
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．第I 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2,1,0,1,2U ，{}0A =，{}2|20B x x x =+-<，则()U A B =（ ）．A. {}1-B. {}1C. {}1,1,2-D. {}2,1,1--【答案】A 【分析】化简集合B ，根据补集和交集的概念运算可得结果. 详解】{2,1,1,2}UA =--,{|21}B x x =-<<,()U A B ={}1-．故选：A2. 设x ∈R ，则“11x <”是“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件．C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】解不等式，利用两个不等式的解集的包含关系可得答案.【详解】11x<等价于110x -<等价于10xx -<等价于(1)0x x ->等价于0x <或1x >， 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝等价于01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于0x <， 因为{|0}x x <{|x 0x <或1x >}，所以“11x <”是“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”的必要不充分条件．故选：B【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 3. 函数sin 2()x xxf x e e-=+在[–],ππ的大致图象是（ ）． A. B.C. D.【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性排除C 、D ，根据(0,)x π∈时，函数值的符号排除B ，故选A.【详解】因为sin 2()x x x f x e e -=+，所以()()()2sin 2sin x x x xx xf x f x e e e e----==-=-++，所以()f x 为[–],ππ上的奇函数，其图象关于原点对称，故C 、D 不正确； 当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()0f x >，故B 不正确; 故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.4. 已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80,150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a 的值是（ ）．A. 0.015B. 0.020C. 0.030D. 0.040【答案】B 【分析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，即可求得a 的值. 【详解】解：由频率分布直方图可知：()0.0030.0070.0080.0120.0302101a +++++⨯=，解得：0.020a =. 故选：B.5. 已知正方体1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的体积为36π，则正方体1111ABCD A B C D -的体积为（ ）．A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出球O 的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积. 【详解】解：球O 的体积为36π，即34363R ππ=， 解得：3R =，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，由题意知：2R即6=，解得：a =∴正方体1111ABCD A B C D -的体积(3V ==.故选：D.6. 设0.813a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.93b =，0.80.7log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.80.8013313a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.90.8331b a ∴=>=>，又0.80.70.70.7log log 1c =<=，c a b ∴<<.故选：D.7. 已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a =，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ，即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ===，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=，12πϕ=B. 23ω=，12ϕ11π=- C. 13ω=，24ϕ11π=-D. 13ω=，724πϕ=【答案】A由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 【考点】求三角函数的解+析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解+析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解+析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 9. 已知函数2(3),0()2,0k x x f x x k x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）． A. (,4)-∞- B. (4,)+∞ C. (,0)(4,)-∞+∞ D. (,4)(4,)-∞+∞【答案】B 【分析】判断可得()g x 为偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，求出()g x 在(0,)+∞上的解+析式，根据二次函数知识列式可得解.【详解】因为()()()g x f x f x =-+，所以()()()()g x f x f x g x -=+-=，所以()g x 为偶函数，因为()g x 有且只有四个不同的零点，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，且()()02040g f k ==-≠，即0k ≠，当0x >时，0x -<，()(3)f x k x -=-+，2()2f x x k =-，所以()g x =2(3)2k x x k -++-2x kx k =-+在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，所以2(0)00240g k k k >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆=->⎪⎩，解得4k >. 故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解+析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第Ⅱ卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题： 2．本卷共1小题，共10S 分．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10. 已知i 是虚数单位，则531ii+=-______________． 【答案】14i + 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】531ii+=-(53)(1)2814(1)(1)2i i i i i i +++===+-+, 故答案为：14i +.11. 二项式62x⎛- ⎝的展开式中常数项为_________.【答案】60 【分析】求出二项式的通项公式，再令x 对应的幂指数为0即可求解 【详解】二项式62x⎛⎝的展开式的通项公式为36662166(2)2(1)rr r r r r r r T C x C x ---+⎛==- ⎝,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为464462(1)60C -⋅-=，故答案为：60【点睛】本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题12. 已知圆C圆心在x 轴的正半轴上，且圆心到直线20x y -=，若点(M 在圆C 上，则圆C 的方程为______________________．【答案】()2214x y -+= 【分析】先由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.【详解】由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，因为圆心到直线20x y -=，5=，解得1a =，即圆心坐标为()1,0；又点(M 在圆C 上，所以半径为2r ==，因此圆C 的方程为()2214x y -+=. 故答案为：()2214x y -+=.13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为______________． 【答案】910【分析】先列出从5种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有2种的情况，再利用古典概型公式计算即可.【详解】解：从甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件随机选取3种， 共有以下10种等可能的情况：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊， 其中甲、乙、丙至多有2种被选取的有以下9种情况：甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，即所求概率为910， 故答案为：910. 14. 已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________.【答案】3+ 【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t+的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s +=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s =，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+．故答案为：3+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题． 15. 在菱形ABCD 中，23πBAD ∠=，2AB =，点M ，N 分别为BC ，CD 边上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最小值为______________． 【答案】32【分析】设||||||||BM CN BC CD =t =，01t ≤≤，将AM 和AN 用AB 、AD 表示，再根据向量数量的运算律进行求解可得结果. 【详解】设||||||||BM CN BC CD =t =，01t ≤≤， AM =AB BM AB +=+tBC AB t AD =+，AN AB BC CN =++AB BC tCD =++(1)AB AD t AB t AB AD =+-=-+，所以AM AN ⋅=()()(1)AB t AD t AB AD +⋅-+2(1)t AB =-2t AD +2(1)t t AB AD ++-⋅214(1)4(1)22()2t t t t =-+++-⨯⨯⨯-2222t t =-+，因为01t ≤≤，所以当12t =时，2222t t -+取得最小值32，即AM AN ⋅的最小值为32.故答案为：32【点睛】关键点点睛：将AM 和AN 用AB 、AD 表示，再根据向量数量的运算律进行求解是解题关键.三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin a A b B =，2223()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求()sin 2B A +的值．【答案】（1）33-2）26159【分析】（1）根据正弦定理可得2a b =，再结合余弦定理可得结果； （2）由cos A =求出sin A ，由sin 4sin a A b B =求出sin B ，根据同角公式求出cos B ，利用二倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，再根据两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】（1）由sin 4sin a A b B =以及正弦定理可得224a b =，得2a b =，由222)ac a b c =--得222b c a +-==，所以2222b c a bc +-=，所以cos A =. （2）由cos 3A =-得sin A ==， 由sin 4sin a A b B =得sin sin sin 426a A A Bb ===， 又A 为钝角，所以B为锐角，所以cos B ===所以sin 22sin cos 2B B B ===22cos 22cos 1216B B ⎛=-=⨯- ⎝⎭23=， 所以()sin 2B A +sin 2cos cos2sin B A B A =+233339⎛=⨯-+⨯= ⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AB AD ⊥，//BC AD ，点M 是棱PD 上一点，且2AB BC ==，4AD PA ==．（1）若:1:2PM MD =，求证：//PB 平面ACM ； （2）求二面角A CD P --的正弦值； （3）若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长． 【答案】（1）证明见解+析；（2）63；（3）22MD = 【分析】（1）连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，证明//MN PB ； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正弦值；（3）设(01)MD PD λλ=≤≤，用λ表示点M 坐标，利用线面夹角，求得λ得值及MD 得长. 【详解】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，//BC AD ，12BN BC BD AD ∴==， 又:1:2PM MD =，//MN PB ∴， 又MN ⊂平面ACM ， PB ⊄平面ACM//PB ∴平面ACM（2）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P (2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =， 又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，3cos ,3m n ==， 故二面角A CD P --2361()33-=. （3）设(01)MD PD λλ=≤≤，()0,4,4MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，(0,4,44)AM λλ∴=-，由（2）得平面PCD 法向量(2,2,2)n =，且直线AM 与平面PCD 6 224446cos ,(4)(44)AM n λλλλ+-∴==+-解得12λ=， 即12MD PD =， 又224442PD =+=， 故1222MD PD ==.【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>5角形面积为25 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 经过点(,0)A a -，且直线l 与椭圆C 交于点P （P 不在x 轴上），若点Q 在y 轴的负半轴上，APQ 是等边三角形，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2【分析】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c ，根据题中条件，列出关于,,a b c 的方程组求解，即可得出,,a b c ，从而可确定椭圆方程；（2）先由（1）得()30A -,，则直线l 的方程为()3y k x =+，联立直线与椭圆方程，求出222271224,4949k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设()()0,0Q t t <，根据题中条件，得到cos cos 60AP AQ PAQ ⎧=⎨∠=⎩，解方程组，即可求出结果.【详解】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c ，因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为所以有222122c ab c a b c⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此椭圆C 的方程为22194x y +=；（2）由（1）可得()30A -,，则直线l 的方程为()3y k x =+， 因为直线l 与椭圆C 交于点P （P 不在x 轴上），所以0k ≠，将()3y k x =+代入22194x y +=可得()22249336x k x ++=，整理得()2222495481360kxk x k +++-=，则22813649P A k x x k -⋅=+，即228136349P k x k --=+，所以22271249P k x k -=-+，因此()222271224334949P P k ky k x k k k ⎛⎫-=+=-+= ⎪++⎝⎭，即222271224,4949k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则2222227122424243,,49494949k k k AP kk k k ⎛⎫-⎛⎫=-+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭所以AP ==， 又点Q 在y 轴的负半轴上，设()()0,0Q t t <， 则()3,AQ t =，AQ ==，又APQ 是等边三角形，所以cos cos 60AP AQAP AQ PAQ AP AQ ⎧=⎪⋅⎨∠==⎪⎩，即22722412tk =⎪⎪⎨+⎪=⎪⎪⎩则()222272241349224149tktk k k +++==++， 所以()22121349k tk k +=++，则2221212122749k k tk k+--=+，整理得21549k t k -=+， 代入249k =+()()()222222224122594949k k k k +=+++， 则()()22226414925k k k +=++，整理得422711160k k +-=，解得21627k =，所以9k =±， 又215049k t k -=<+，所以0k >，故k =. 点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据APQ 是等边三角形，列出方程组cos cos 60AP AQPAQ ⎧=⎨∠=⎩，结合直线与椭圆方程，已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解；此类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力.19. 已知等比数列{}n a 满足3210a a -=，123125a a a =． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S （2）若数列{}n b 满足11b =，且*23111()23nn b b b b b n nN ++++-∈+=， ①求{}n b 的通项公式： ②求211ni i i a b-=∑．【答案】（1）5(31)6n -（2）①n b n =②55(1)333n n -⨯+ 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式可得结果； （2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则211211110125a q a q a a q a q ⎧-=⎨⋅⋅=⎩，解得1353q a =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以15(13)(1)3113n nn a q S q --==--5(31)6n =-. （2）①因为*23111()23nn b b b b b n nN ++++-∈+=， 所以2n ≥时，31211231n n b b b b b n -++++=--， 两式相减得1nn n b b b n+=-，即11n n b n b n ++=(2)n ≥， 又121b b =-，且11b =，所以22b =，1221b b =，所以11n n b n b n ++=*()n N ∈，即11n n b b n n+=+， 所以数列{}nb n 是常数数列，所以111n b b n ==，即n b n =. ②由（1）知111533n n n a a q --==⨯， 令n T =211ni i i a b-=∑11233521n n a b a b a b a b -=++++，即n T =01215555133353(21)33333n n -⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯，即1215(13353(21)3)3n n T n -=+⨯+⨯++-⨯， 所以2353(133353(21)3)3nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()123152123333(21)33n nn T n -⎡⎤-=+++++--⨯⎣⎦， 所以153(13)212(21)3313n n n T n -⎡⎤--=+⨯--⨯⎢⎥-⎣⎦， 所以52(22)323n n T n ⎡⎤-=-⨯-⎣⎦， 所以55(1)333n n T n =-⨯+，即211ni i i a b -=∑55(1)333nn =-⨯+【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的求和公式以及错位相减法是解决本题的关键. 20. 已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈．（1）若()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞；（3）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，得到()01f '=，对()f x 进行求导，再求解即可；（2）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；（3）构造函数()()()x f x g x x ϕ=+-，将原式化为：对于任意[0,)x ∈+∞，()min 0x ϕ≥恒成立，再利用1x e x ≥+进行适度放缩，从而判断()x ϕ的单调性，找到对应的参数范围即可. 【详解】（1）由题意知： ()2xf x e a '=-，()02120f e a a '∴=-=-，又()f x 在点(0,(0))f 的切线倾斜角为4π，()f x ∴在点(0,(0))f 的切线的斜率tan14πk ==， 即()1102f a '=-=， 解得：0a =；（2）由（1）知：()2xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数；②当0a > 时， 令()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，∴当(,ln(2))x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数，当(ln(2),)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(2),)a +∞上为增函数． 综上所述，当0a ≤ 时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞； （3）对任意的[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立， 即()()0f x g x x +-≥恒成立，将()(),f x g x 代入，并整理得：e 2[ln(1)](1)0x a x x x ++--+≥，设()=e 2[ln(1)](1)x x a x x x ϕ++--+，则原式等价于对任意的[0,)x ∈+∞，min ()0x ϕ≥恒成立， 则2()=e (21)1x a x a x ϕ'+-++， 下面证明：1x e x ≥+，令()1xg x e x =--，则()1x g x e '=-，令()10x g x e '=-=， 解得：0x =，∴当(,0),()0x g x '∈-∞<，()g x 单调递减；当(0,),()0x g x '∈+∞>，()g x 单调递增； 故()(0)0g x g ≥=，即1x e x ≥+，2()=e (21)1x a x a x ϕ'∴+-++21(21)1a x a x ≥++-++ 22212(21)(21)2=11x x a a a x x x ax x x +++-+-++-=++(12)=1x x a x +-+， ①当12a ≤时， ()0x ϕ'≥ 在[)0,+∞上恒成立，()ϕx 在[)0,+∞上单调递增，min ()(0)00x ϕϕ==≥恒成立，即()()f x g x x +≥，对[0,)x ∀∈+∞恒成立． ②当12a > 时， 1x e x ≥+，1x e x -∴≥-，即 11x e x≤-，在[]0,1x ∈成立， 故当(0,1)x ∈时，2()=e (21)1xa x a x ϕ'+-++12(21)11a a x x <+-+-+22(21)(21)1a x a x x +--=-， 21(0,)(0,1)21a x a -∈⊂+时，()0x ϕ'<， 知()ϕx 在21(0,)21a a -+上为减函数，()(0)0x ϕϕ<=， 即在21(0,)21a a -+上，不存在a 使得不等式()()f x g x x +≥对任意0x ≥恒成立． 综上所述：实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对参数的分类讨论以及应用1x e x ≥+对函数进行放缩.。
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 （选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．·柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．·如果事件A B 、互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =．·任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}{}{}23,1,360U x x A B x x x =∈≤==+-=N ，则()U A B = ð（）（A ）{}2,0,2,3-（B ）{}3,2-（C ）{}3,2,4-（D ）{}3,0,2-（2）“x y >”是“11x y<”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数()f x 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A ）()2334x x f x x -++=（B ）()334x x f x x-++=（C ）()2334x x f x x -+-=（D ）()334x x f x x-+-=（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个（5）已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322n n a S =+，则4S 的值为（ ）（A ）9（B ）21（C ）45（D ）93（6）已知函数()sin (0)f x x ωω=>，函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）（A ）()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）()1πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（C ）()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）()cos2f x x=（7）如图，已知四棱锥A BCDE -的体积为,V CE 是BCD ∠的平分线，34CD CE BC ==，若棱AC 上的点P 满足13AP AC =，则三棱锥A DEP -的体积为（ ）（第7题）（A ）27V（B ）17V（C ）316V （D ）421V （8）已知实数,,a b c ，满足31log 35bca ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列关系不可能成立的是（ ）（A ）b c a<<（B ）b a c<<（C ）c b a<<（D ）c a b<<（9）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，过点F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为点A （点A 在第一象限），直线FA 与双曲线C 交于点B ，若点B 为线段AF 的中点，且2FA =，则双曲线C 的方程为（ ）（A ）22144x y -=（B ）22124x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=第Ⅱ卷 （非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）i 为虚数单位，复数z 满足()34i 12i z +=-，则z 的虚部为______．（11）在8的二项展开式中，2x 的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线:l y x =与圆()()()222:240C x y rr -+-=>相交于,A B 两点，若点D 为圆C 上一点，且ABD △为等边三角形，则r 的值为______．（14）如图，在ABC △中，3BO OC =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，记,AB a AC b == ，用,a b表示AO = ______；设,AB mAM AC nAN == ，若0,0m n >>，则21m n+的最小值为______．（第14题）（15）若方程222210x ax a x -+++-=在区间(]0,3内有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为3,,,sin2sin ,7a b c C C a c ==．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若7c =，（ⅰ）求b 的值；（ⅱ）求()cos A B -的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，4,26AD DC AB ===，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：1AB ∥平面11CDD C ；（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1D 到平面1ACB 的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为点12,F F ，左，右顶点分别为点12,A A ，离心率为23．已知点2A 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点1F 到抛物线2C 的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）直线1A M 交椭圆1C 于点M （点M 在第二象限），交y 轴于点2,N A MN △的面积是11A MF △面积的125倍，求直线1A M 的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及()2*2nii S n i=∈∑N ；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足11b =，且120n n b b +-=，（ⅰ）求()*112nk k k k k k k a a b b n a a =+⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∑N ；（ⅱ）若()()1*113521246211,,n n n m m m m nc c n P c c c c Q c c c c b -+-=-∈=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+N ，*N ,m m G ∈是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，则对任意*,,s t s t G G h ∈-≤N ，求h 的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数())()()0,g e ax f x x x a =>=∈R ，（Ⅰ）若1a =-，讨论()()()F x f x g x =⋅在()0,+∞的单调性；（Ⅱ）若0a >，函数()()()4ln G x f x g x ⎡⎤=⋅⎣⎦，不等式()1sin 66x a x G x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当*N ,2n n ∈≥时，求证：221671sin 6nk n n k k n =-+>∑．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）25-．（11）74．（12）131:254．（13）．（14）1344a b + ．（15）1915⎛⎤+ ⎥⎝⎦．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin22sin cos C C C =，已知sin2sin C C =，所以1cos 2C =且()0,πC ∈，所以π3C =，由正弦定理有sin sin a c A C =，所以3sin sin 7A C ==（Ⅱ）（ⅰ）因为7c =，所以3a =，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得23400b b --=，解得8b =或5b =-（舍），所以b 的值为8．（ⅱ）因为(),0,πa c A <∈，又因为sin A =13cos 014A ==>，法（一）()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+，因为7,3,8c a b ===，所以2221cos 27a cb B ac +-==-，所以sin B =，()13123cos 14798A B ⎛⎫-=⨯-+=⎪⎝⎭．法（二）因为ππ,3A B C C ++==，所以2π3B A =-，则()2222cos cos πcos 2πcos2cos πsin2sin π3333A B A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦271sin22sin cos 2cos 198A A A A A ===-=，所以()7111177123cos 98219698A B -⎛⎫-=⨯-==⎪⎝⎭．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱1AA ⊥底面,ABCD AD DC ⊥，所以以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面ABCD 为直角梯形，其面积为364182S +=⨯=，柱体体积36V Sh ==，有12DD =．所以()()()()()()()()11114,0,0,4,3,0,0,6,0,0,0,0,4,0,2,4,3,2,0,6,2,0,0,2A B C D A B C D ．（第17题）（Ⅰ）证明：因为()10,3,2AB = ，平面11CDD C 的法向量为()11,0,0n =，110AB n ⋅= ，所以11AB n ⊥，又因为1AB ⊂平面11CDD C ，所以1AB ∥平面11CDD C ．（Ⅱ）解：因为()()10,3,2,4,6,0AB AC ==- ，设平面1ACB 的法向量为()2,,n x y z =，则212320,460.n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()23,2,3n =- ，由（Ⅰ）得()11,0,0n =，设平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角为θ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅则平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角θ（Ⅲ）解：因为()114,3,0D B =，所以，点1D 到平面1ACB的距离为1122D B n n ⋅==（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点1F 的坐标为(),0c -．依题意，2,3,2 1.c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得3,2,6.a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是2225b a c =-=．所以，椭圆1C 的方程为22195x y +=，抛物线2C 的方程为212y x =．（Ⅱ）设点M 坐标为()11,x y ，点N 坐标为()20,y ，且由题意1120,00,y x y <>>，（法一）由211125A MN A MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，即2175y y =，则1127x A O =，由1127x A O=，即1237x =，可得167x =，因为点M 在第二象限，则167x =-，将167x =-代入椭圆方程22195x y +=，求得1157y =，所以点M 坐标为615,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()13,0A -，则直线1A M 的斜率为()1571637=---．（法二）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3,0y k x k =+>，因此点()20.3,3N k yk =．()223,1.95y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()2128145395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．由121125A A MN MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730595y k k y k ==+，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3,0x my m =->，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．由112125MN A A MF S S =△△，可得1112425A A A N MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730559y m m y m ==+，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（法三）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3y k x =+，则0k >，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()212845395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．()2212132122995303339595M A NA A M A N A k k kS S S y y k k k -=-=⨯-=-=++△△△，1112115295A MF kS y k ==+△，112125A F M M A NS S =△，即()322995121595595k k k k k -=⨯++，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3x my =-，则0m >，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．()()212212212232715330335959A NA A MN A MA m m S S S y y m m m m -=-=⨯-=-=++△△△，1112115259A MF mS y m ==+△，211125A M M A F NS S =△△，即()()22232715121555959m m m m m -=⨯++，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112143442,22 1.a d a d a a ⨯⎧+=+⎪⎨⎪=+⎩，即11420,1.a d a d -=⎧⎨-=-⎩，解得()11,,121212.n a a n n d =⎧=+-=-⎨=⎩，()22112n n n S n -+==，则n S n n =，()()222222122232212n ni i i n n S i n n n i ==-+==++⋅⋅⋅+==+-∑∑．所以22221n i i S n n i==+-∑．（Ⅱ）等比数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=，公比为2，所以12n n b -=，（ⅰ）设()1112,n nk k k k k k k k a A a b B b a a ==+⎛⎫-== ⎪⎝⎭∑∑，()1111122n nn k k k k k k k k k k k k k k k a a a b b a b b A B a a a a ===++⎡⎤⎛⎫--+=+==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑，()()11,212nk k k k k k A a b a b k -===-∑，()0121123252212n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，①()1232123252212n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-．②①式－②式得()231122222212n n A n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⎣⎦，()()2212212332212nn n n n -=+⨯--=-+--．所以()3232nA n =+-．又112nk k k k k a B b a a =+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，则()()11122322221212121k k k k k k k a k b a a k k k k --+--==--++-．所以10213212222222221315375212121n n nB n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则()()223232123222121n n nn A B n n n n +=+-+-=-++++．所以21124422221nn k k k k k k k a n n a b b a a n =+⎡⎤⎛⎫---+=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑．（ⅱ）当1n =时，012112c c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，12111,21.2n n n n n n c c c c ++-+⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除得212n n c c +=-，121211112221211,11132321122m m m m m m c c P c Q c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21132m m G ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．当m 为偶数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，2m =时m G 有最小值112,,223m G ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当m 为奇数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，1m =时m G 有最大值21,,13m G ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．则()()max min 11122m m h G G ≥-=-=，所以h 的最小值为12．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()()()1,e x a F x f x g x -=-=⋅=，所以())e e e e xx x x F x ----'==='，所以，函数()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()()423ln G x f x g x x ax ax ⎡⎤=⋅=⋅=⎣⎦不等式可化为：311sin 066x x x a -+>，设16t a =，令()31sin 6h x x tx x =-+，则()21cos 2h x x x t +'=-，令()21cos 2m x x x t =+-，则()sin m x x x -'=+，再令()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x =+'-≥，所以()s x 在()0,+∞单调递增，则()0s x >，即()0m x '>，所以()m x 在()0,+∞单调递增，又因为()21cos 02y x x x =+>的值域为()1,+∞．①当1t ≤时，即16a ≥时，()21cos 02m x x x t =+->，即()0h x '>，则()h x 在()0,+∞单调递增，所以()0h x >恒成立，符合题意．②当1t >时，即106a <<时，()010m t =-<，若取x >时，()0m x >，所以存在00x >，使()00m x =，则当()00,x x ∈时，()0m x <，函数()h x 在()00,x 上单调递减，此时()0h x <，所以()00,x x ∈时，()0h x <，与原题()0h x >矛盾，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅲ）原式即证1111172sin3sin 4sin sin 23466n n n n +++⋅⋅⋅+>+-．由（Ⅱ）可知，0x >时，31sin 6x x x >-，则2sin 116x x x >-．令1x n =，则()21111111sin 11166161n n n n n n n ⎛⎫>->-=+- ⎪--⎝⎭．取2,3,4,n =⋅⋅⋅，则11111111112sin 3sin 4sin sin 1123462321n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+>-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1766n n =+-．。
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求cos B ；
(2)求a ，c 的值；
(3)求()sin B C -的值．
17．如图，^AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD CF ===，2
AE BC ==
(1)求证：BF //平面
ADE ；(2)求直线
CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面BDE 的距离．
又()10f =，123x x x <<，所以12301x x x <<=<，所以131x x =，所以1231x x x =.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末数学试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）（答案在最后）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,2A =-，{}2430B x x x =-+=，则()UA B ⋃=A.{}2,0-B.{}0,3C.{}2,1-D.{}1,32.“n 是3的倍数”是“n 是6的倍数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()2ln x f x x=的部分图象大致为A.B.C.D.4. A.92π B.278πC.9πD.27π5.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按[)40,60，[)60,80，[)80,100，[)100,120，[)120,140，[]140,160分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为 A.300B.450C.480D.6006.设0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.b c a <<B.c b a <<C.a b c <<D.b a c <<7.已知抛物线220y x =的焦点F 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为 A.2214116x y -=B.2214125x y -=C.221916x y -=D.221169x y -= 8.已知函数()1sin 2222f x x x ωω=+，()0ω>，且()f x 的最小正周期为π，给出下列结论：①函数()f x 在区间7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；②函数()f x 关于直线12x π=对称；③把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是 A.①②B.①③C.②③D.①②③9.设函数()()2e e ,024,0x xx x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(]0,2B.()0,2C.()2,+∞D.{}2第Ⅱ卷（非选择题 共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。
2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。
