2018届高三数学(文)二轮复习课件：专题突破+专题八+选修系列刺+第2讲不等式选讲+【KS5U+高考】(1)

A 级1．(2017·兰州市诊断考试)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R .(1)求m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：|x －3|－2x ≤2n －4.解析： (1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值，又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，即g (x )的最小值为4.所以m ≤4.故m 的取值范围为(－∞，4]．(2)当m 取最大值4时，原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3－x －2x ≤4， 解得x ≥3或－13≤x <3. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－13. 2．(2017·广东省五校协作体第一次诊断考试)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)若函数h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )的图象与x 轴，y 轴围成的三角形面积大于a ＋4，求a 的取值范围．解析： (1)当a ＝3时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋7，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，由f (x )≥4－|x －4|得，－2x ＋7≥4，解得x ≤32； 当3<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得，2x －7≥4，解得x ≥112. ∴f (x )≥4－|x －4|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112.(2)因为h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，所以h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，所以S ＝12×2a ×a 2>a ＋4，解得a >4. 故a 的取值范围为(4，＋∞)．3．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|，x ∈R ，不等式f (x )≤6的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：3|a ＋b |≤|ab ＋3|.解析： (1)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－2x ≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <2，4≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ≤6，解得－3≤x ≤3， ∴M ＝[－3,3]．(2)证明：当a ，b ∈M ，即－3≤a ≤3，－3≤b ≤3时， 要证3|a ＋b |≤|ab ＋3|，即证3(a ＋b )2≤(ab ＋3)2.∵3(a ＋b )2－(ab ＋3)2＝3(a 2＋2ab ＋b 2)－(a 2b 2＋6ab ＋9)＝3a 2＋3b 2－a 2b 2－9＝(a 2－3)(3－b 2)≤0， ∴3|a ＋b |≤|ab ＋3|.4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a .(1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围．解析： (1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )得|2x ＋1|≥|x |，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13， 故原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫－13，＋∞. (2)由f (x )≤g (x )得a ≥|2x ＋1|－|x |，令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12<x <0，x ＋1，x ≥0.故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－12，所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析： (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ＜－1，2x －1， －1≤x ≤2，3， x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 6．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解析： (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.B 级1．(2017·沈阳市教学质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ， 即|x －3|－12x <0， 原不等式等价于－x 2<x －3<12x ， 解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2， 原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2，由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |<a 2，又a >0，∴a <a 2，解得a >1.故a 的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解析： (1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得x ≥－2， ∴－2≤x <－32， 当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立，∴－32≤x ≤32； 当x >32时，x ＋32＋x －32≤4， 解得x ≤2，∴32<x ≤2. 综上，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r .由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23)≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9， 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9. ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94， 当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43， 即p ＝14，q ＝38，r ＝34时，取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.。