一道高考题的一题多解

基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是中国教育系统中最为重要的一次考试，几乎决定了学生的未来走向。

为了选拔出最好的学生，高考试题往往是非常严谨和严密的。

在实际的考试过程中，有时会出现一题多解或一题多变的情况。

一题多解指的是一个问题有多种答案或多种解决方法。

高考试题通常设计成有唯一正确答案的形式，但由于问题的复杂性和广度，也有可能会有其他答案。

某道数学题要求求解一个方程，虽然通常只有一个解，但在某些特定条件下也可能有多个解。

这种情况下，如果考生能够给出其他解，并且解答过程正确，他们也可以得到分数。

一题多变指的是同一道题目在不同的考试中，可能会有不同的表述或要求。

高考试题是经过精心设计和审核的，但有时会有一些小的差异。

某个考试要求学生解答一道文学理解题，其中涉及到一个小说中的情节。

在不同的考试中，可能会有对情节的描述有细微差别，但要求学生进行相同的分析和理解。

这种情况下，考生需要根据实际题目做出相应的答案。

一题多解和一题多变可能是由于试题设计者的失误或主观性造成的，也可能是故意设置的。

试题设计者有时会故意设置一题多解或一题多变的情况，以考察学生的思维能力和灵活性。

这样的题目可以激发学生的创造力和思考能力，使他们更好地理解问题，发现不同的解决方法。

一题多解和一题多变也反映了学科知识的广度和复杂性。

一个问题可能涉及到多个知识点或技能，学生需要综合运用这些知识点和技能来解答问题。

这样的问题在一定程度上能够衡量学生的综合能力和深度理解能力。

一题多解和一题多变也存在一定的问题。

一些考生可能会误解题意，给出错误的答案。

而一些考生可能只掌握了解题的一种方法，导致无法应对不同的题目要求。

对于学生来说，重要的是要在高中阶段充分掌握各学科的知识和技能，提高解题的能力和思维的灵活性。

要注重对题目的理解和分析，切忌盲目套用模板答案。

对于教育机构和教师来说，应该注重培养学生的综合能力和创新能力，设计更有针对性的试题，对一题多解和一题多变进行更加科学和合理的评分。

三角恒等变换-高考数学一题多解三角式的恒等变形是一种基本的数学技能，它的依据是三角变换公式和代数中代数式的恒等变换的一般方法，三角变换公式如：同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角与半角公式、万能公式.积化和差与和差化积公式等，公式的数量较多，学习时要通过理解角的关系以及三角函数的关系揭示公式之间的内在联系、掌握公式的推导线索.要理解公式，注意公式的适用范围和符号的取舍，三角变换贵在灵活运用公式，掌握公式的逆用和各种变形的运用，以达到熟练、恰到好处地运用公式解决具体问题的目的.不同角的三角函数关系式使用起来与同角三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养.已知条件和所要求的角之间不相同时，常看它们的和、差、倍的情况，定能找出角之间的关系.角的变换是三角变换技巧之一，转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换、角的变换、“1”的代换、和积变换、幂的升降变换等，变换时必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.“恒等”这个词始终是三角变换的重点.三角恒等变换中的方法与技巧是必须掌握的解题能力.在三角恒等变换中较为重要的变换技巧如下.（1）函数名称的差异变换：①切割化弦，弦化切割；②异名化同名.（2）角的差异变换：①异角化同角；②拆角、配角技巧.（3）运算结构的差异变换：①升次降次；②分式通分；③无理化有理；④和（差）积互化.（4）常数的处理：特别注意“1”的代换.（5）引入辅助角的变换、角的分析与三角式的配凑.在解题过程中，不论运用什么变换技巧，基本原则是：把握方向，活用公式，注意目标，贵在“恒等”.真可谓：三角变换贵在活，变角变式变函数，恒等始终是重点，公式繁多方法多.【典例】（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A.tan()1αβ+=B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1αβ-=-（一）直接法——由条件推结果【答案】D【解析】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-，即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=，所以()tan 1αβ-=-，故选：D（二）整体构造法——观察角与角的关系找共同点【答案】D【解析】根据sin()cos()αβαβ+++以及4πα+，可以利用辅助角公式，将4πα+当做一个整体，再进行合并，于是有如下解法：sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin ==0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选D【点评】解题的关键当然是如何沟通条件和结论，一种思考是变形条件使之朝结论的目标靠拢，而条件的变形又是多种多样，但应始终抓住是恒等变形，条件式直接变形要始终抓住“恒等”，引进新元更要注意“恒等”.另一种思考是构造法，构造法也不是凭空而得，务必考虑与条件之间的等价关系.（三）特殊值排除法——做选择题的快速解法解法：设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A ，C ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除B ；选D.【点评】排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，【针对训练】（2022·浙江卷T13）1．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．（2022·全国）2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．3．化简：44661cos sin 1cos sin αααα----.4．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=-．5．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=6．22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒=_____________.7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值．8．在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________.9．cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒的值是()A ．-B ．0C ．D ．310．在ABC 中，=4A π∠，边,,a b c 满足22212b a c -=，求tan C 的值.参考答案：1．1045【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos 10θ=，()αθ-=22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.2．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,162A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，113sin ,6222A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.3．23.【分析】方法一：灵活利用平方关系及乘方公式化简即可.【详解】［方法一］：【最优解】“1”的代换化齐次式原式2224422366(cos sin )cos sin (cos sin )cos sin a ααααααα+--=+--2222222cos sin 23cos sin (cos sin )3αααααα⋅==+.［方法二］：公式降幂原式44661(cos sin )1(cos sin )a ααα-+=-+222222242241(cos sin )2cos sin 1(cos sin )(cos cos sin sin )αααααααααα⎡⎤-+-⋅⎣⎦=-+-⋅+2222222112cos sin 1(cos sin )3cos sin αααααα-+=⎡⎤-+-⋅⎣⎦22222cos sin 23cos sin 3a ααα⋅==⋅.［方法三］：降幂原式2242246(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos cos )sin ααααααα-+-=-++-2222244sin (1cos sin )sin (1cos cos sin )ααααααα+-=++-2222222cos 1cos (cos sin )(cos sin )αααααα=+++-22222cos 1cos cos sin a ααα=++-222cos 23cos 3αα==.【整体点评】方法一：根据22cos +sin =1αα化齐次式，简洁易算，是该题的最优解；方法二：根据22cos +sin =1αα以及平方和．立方和公式降幂，是化简求值的常用处理方法；方法三：根据平方差．立方差公式化简降幂，变形难度稍大．4．证明见解析【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以cos α，再利用平方关系，变形分子即可得证.【详解】[方法一]：【最优解】左边＝2cos cos (1sin )ααα-＝21sin cos (1sin )ααα--＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝1sin cos a α+＝右边，等式成立.[方法二]：右边＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝21sin cos (1sin )ααα--＝2cos cos (1sin )ααα-＝cos 1sin αα-＝左边，等式成立.[方法三]：左边＝2cos (1sin )cos ααα-，右边＝(1sin )(1sin )(1sin )cos αααα+--＝21sin (1sin )cos ααα--＝2cos (1sin )cos ααα-，∴左边＝右边，∴等式成立.[方法四]：∵cos 1sin αα-－1sin cos a α+＝2cos (1sin )(1sin )(1sin )cos ααααα-+--＝22cos cos (1sin )cos αααα--＝0.∴等式成立.[方法五]：左边＝cos 1sin αα-＝cos (1sin )(1sin )(1sin )αααα+-+＝2cos (1sin )1sin ααα+-＝1sin cos a α+＝右边.[方法六]：∵(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 1sin αα-＝1sin cos aα+.[方法七]：若证cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立，只需证cos α·cos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，即证cos 2α＝1－sin 2α，此式成立，∴原等式cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立.【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.5．C【详解】[方法一]：sin 1sin ,sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+()sin sin 2παβα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,,0,2222ππππαβα⎛⎫⎛⎫-∈--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,222ππαβααβ∴-=-∴-=.故选：C.[方法二]：222cos sin cos sin 1sin 2222tan tan cos 24cos sin cos sin 2222ββββββπαβββββ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭- 又,,,22442242βπππβππααβ⎛⎫+∈∴=+∴-= ⎪⎝⎭.故选：C.[方法三]：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．6．34【分析】根据两角和的正弦余弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】[方法一]：因为40°＝30°＋10°，所以原式＝22sin 10cos (3010)sin10cos(3010)++++22211sin 10sin10)sin10cos10sin 102222=+-+⋅- 2233(sin 10cos 10)44=+= .[方法二]：原式＝1cos 201cos80sin10cos 4022-+++cos(5030)cos(5030)1sin10cos 402+--=++cos50cos30sin 50sin 30cos50cos30sin 50sin 301sin10cos 402---=++1sin 50sin 30sin10cos 40=-+ 1cos 40(sin 30sin10)=-- 1cos 40[sin(2010)sin(2010)]=-+-- 12cos 40cos 20sin10=-2cos 40cos 20sin10cos101cos10=-sin8013114cos1044=-=-= .[方法三]：换元法令10,40,sin a b cos a b ⎧=+⎨=-⎩得()()()()()11110401050302020,2221110401050302020,22a sin cos sin sin sin cos cos b sin cos sin sin cos sin sin ⎧=+=+==⎪⎪⎨⎪=-=-=-=⎪⎩则原式=222222333()()()()3cos 20sin 20444a b a b a b a b a b ++-++-=+=+=.[方法四]：设2222sin 10cos 40sin10cos 40,cos 10sin 40cos10sin 40x y =++=++ ，则1110401040250240,11180205040.222x y sin cos cos sin sin cos x y cos cos sin cos ⎧+=+++=+=+⎪⎨-=--=--=--⎪⎩所以322x =，故34x =.[方法五]：余弦定理由余弦定理，得2222cos a b ab C c +-=，又由正弦定理，得2sin sin sin a b cR A B C===，于是2222224sin 4sin 22sin 2sin cos 4sin R A R B R A R B C R C +-⋅⋅⋅=，得222sin sin 2sin sin cos sin A B A B C C +-=故22sin 10cos 40sin10cos 40++22sin 10sin 50sin10sin 50=++22sin 10sin 502sin10sin 50cos120=+-223sin 120)24=== .[方法六]：22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒()()22sin 10cos 1030sin10cos 1030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 10sin10sin10cos10sin102222⎛⎫⎛⎫=︒+︒-︒+︒⨯︒-︒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223113sin 10cos 10sin 10sin 104424=︒+︒+︒-︒=故答案为：34.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦余弦公式的应用，属于中档题.7．2875-【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得2π2sin cos sin sin 22sin 4π1tan cos 4x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后利用条件可求出答案.【详解】［方法一］：根据已知角化简 22sin 22sin 2sin cos 2sin 1tan 1cos x x x x sin x x x x++=--2sin cos (cos sin )cos sin x x x x x x +=-π2sin cos sin()4πcos()4x x x x +=+π3cos()45x += ，177ππ124x <<，π4sin()45x ∴+=-，72sin cos 25x x ∴=．∴π2sin cos sin()284π75cos()4x x x x +=-+，∴2sin 22sin 281tan 75x x x +=--．［方法二］：直接展开求sin cos ,sin cos x x x x±()π3cos cos sin 425x x x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，得cos sin x x -=平方得2sin cos x x =725，()2732cos sin 12525x x +=+=， 177,124x ππ<<∴cos sin 0,cos sin x x x x +<+=，∴原式=cos sin 2sin cos cos sin x x x x x x +-＝－2875．［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π4tan(43x +=-）原式＝cos sin 1tan 2sin cos sin 2cos sin 1tan x x x x x x x x x ++=--=πsin2tan 4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，7sin2cos 212cos 2425x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=2875-．［方法四］：整体法求cos x 因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，又 177124x ππ<<，所以sin x =，tan x =7，∴原式＝－2875．【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；方法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求sin cos ,sin cos x x x x ±，化切为弦求出；方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出sin ,cos ,tan x x x ，是该题的通性通法．8．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】[方法一]：由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A b bc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=，∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.[方法二]：由cos cos A b B a =可知cos 0A >，cos 0B >，即0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理结合题意可得cos sin cos sin A B B A =，即11sin cos sin cos ,sin 2sin 222A AB B A B =∴=，据此有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.9．D【详解】[方法一]：()()15453045304530122224154530453045301222cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin =-=++=+==-=-==则原式44=[方法二]：()1tan15tan45tan15tan4515tan301tan151tan45tan15--===-==++原式[方法三]：cos15sin150>>，令cos15sin15(0)cos15sin15t t-=>+，22222cos152sin15cos15sin151sin301cos152sin15cos15sin151sin3033t t-+-===∴=+++则.[方法四]：()()222cos15cos15sin15cos15sin15cos15sin152cos15cos15sin1512cos152sin15cos15cos301sin3022cos152sin15cos15cos301sin30--=++-+-===+++[方法五]：22222cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos30cos15sin152sin15cos151sin303-+-=++-===+++（）（）（）[方法六]：cos15sin15sin15cos15cos15sin15sin15cos151sin30sin302sin60sin602--=-=-++--==（）故选D.10．tan2C=.【分析】方法一：由余弦定理及已知可得3c=，再根据正弦定理的边角关系、三角形内角性质及差角正弦公式得3sin2cos2sinC C C=+，即可求tan C.【详解】［方法一］：【最优解】利用正、余弦定理边化角因为22212b a c-=，2222cosb c a bc A+-=，所以232c=，即3c=，所以33sin sin()2cos 2sin 4C B C C C π==-=+，即tan 2C =.［方法二］：和差化积公式的应用由22212b a c -=得，2221sin sin sin 2B AC -=，即212sincos 2cos sin sin 22222B A B A B A B AC +-+-⨯=，即()21sin sin sin 2C B A C -=，因为0sin 1C <≤，所以()()2sin sin sin B A C A B -==+，即sin cos 3sin cos B A A B =，所以tan 3tan 3B A ==．()tan tan 13tan tan 21tan tan 13A B C A B A B ++=-+=-=-=--．【整体点评】方法一：利用正、余弦定理边化角，再根据消元思想即可解出，是该题的最优解；方法二：利用和差化积公式转化求值，需要较强的运算能力．。

基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”“一题多解”与“一题多变”是指在考试中，某一道题目可能会有多种不同的解答方式，或者会受到不同因素的影响而导致答案的多样性。

这种现象在高考中尤为常见，也体现了考生的灵活应对能力和解决问题的多样性思维。

下面我们将以两道高考试题为例，分析其“一题多解”与“一题多变”的特点。

第一道题目是一道物理题，题目内容为：一个小球从斜面顶端滑下，经过距离为L的斜面，穿过一段空气，到达水平地面后的速度为v。

已知斜面的倾角为θ，重力加速度为g，空气阻力可以忽略。

求小球从斜面顶端滑下到达水平地面所用的时间。

这道题目涉及了物理学中的力学知识，涉及了斜面滑动、空气阻力等内容。

从不同角度来分析，可能会得出不同的解答方式：1. 采用数学方法进行推导，可以得出小球从斜面顶端滑下到达水平地面所用的时间为t=（L/g）*sinθ /cosθ。

2. 采用实验方法进行验证，可以通过设置实验装置，测量小球滑动的时间，通过数据对比来得出结论。

3. 采用分析方法进行探讨，可以从斜面摩擦力、空气阻力等多个角度分析，得出不同的结果。

这道题目即体现了“一题多解”的特点，不仅可以通过不同的解答方式得出答案，还可以通过不同的角度进行分析得出不同的结果。

同时也体现了物理学中的多样性思维和问题解决能力。

第二道题目是一道语文题，题目内容为：请简述《红楼梦》中林黛玉与贾宝玉之间的爱情故事。

限定字数300字以内。

这道题目涉及了文学知识，需要考生对《红楼梦》中的情节和人物关系有一定的了解，同时也需要考生对语言文字的表达能力。

由于《红楼梦》是一部具有多重含义的文学作品，因此考生在回答这道题目时可能会有不同的解答方式：1. 采用故事描述的方式，可以通过主线情节、人物性格、情感转折等多个方面进行阐述，以及林黛玉与贾宝玉之间的情感纠葛。

2. 采用文学批评的方式，可以通过对小说中的情感描写、人物形象的塑造、作者意图等方面进行分析，以及对林黛玉与贾宝玉之间的爱情故事进行解读。

2020年全国高考理综卷ⅱ物理第21题评析——由一题多解发展学生思维品质2020年全国高考理综卷Ⅱ物理第21题是一道典型的多解题，它对学生思维品质的培养具有积极意义。

这道题目要求学生根据已知条件，计算一个物体从竖直向上抛出到再次回到原点的总时间。

这道题目有多种解法，每种解法都能够帮助学生深入理解和运用相关的物理概念。

以下是几种可能的解法：1. 基于运动方程的解法：学生可以使用物理中的基本运动方程来解决问题。

首先，他们可以通过设定向上抛出的初速度为v，然后利用重力加速度g计算出物体上升的时间t1。

接下来，他们可以利用同样的方法计算物体下降的时间t2。

最后，将t1和t2相加得到总时间。

2. 能量守恒的解法：学生可以利用能量守恒定律来解决问题。

他们可以观察到，在物体上升的过程中，其动能逐渐减小，而重力势能逐渐增大。

当物体达到最高点时，动能减为零，此时重力势能达到最大值。

根据能量守恒定律，学生可以将物体的总机械能初始值设为0，然后计算出物体上升的高度h。

接下来，他们可以利用重力势能转化为动能的关系，计算出物体下降的时间t2。

最后，将上升时间t1和下降时间t2相加得到总时间。

3. 对称性的解法：学生可以观察到问题具有对称性，即从抛出点到最高点的时间与从最高点到回到原点的时间相等。

因此，学生可以只计算物体从抛出点到最高点的时间t1，并将t1乘以2得到总时间。

这些解法不仅考验了学生对物理知识的掌握程度，还培养了学生灵活运用不同解题方法的能力。

通过多解题，学生可以从不同角度思考问题，提高自己的解决问题的能力和创新思维。

此外，这道题目还对学生的分析和推理能力提出了要求。

学生需要根据已知条件进行合理的假设和推导，然后通过计算得出结果。

这样的过程可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。

总而言之，2020年全国高考理综卷Ⅱ物理第21题是一道多解题，通过解答这道题目，学生可以培养思维品质，包括物理知识的灵活运用、创新思维、分析和推理能力等。

基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”作者：刘彦永来源：《求学·教学教研版》2018年第03期摘要：“一题多解”能快速整合所学知识，培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.教学中的“一题多解”和“一题多变”旨在通过强化训练提高学生解题技巧与技能，做到举一反三、触类旁通，使学生的思维既可發散，又可回归，做到收放自如.本文通过对2013年高考课标Ⅰ卷16题的分析、解法探究和变式练习，浅谈试题“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.关键词：高考数学；一题多解；一题多变；解题能力众所周知，“一题多解”训练是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的发散性和创造性.下面以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.2013年全国课标Ⅰ卷文科数学第16题，题目虽不新颖，但是内涵丰富、简洁明快，解法丰富多样，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ= .一、试题分析本题属于传统题，考查以三角函数的辅助角公式、导数和向量等为工具解决函数最大值问题；以三角函数为载体，考查数形结合思想、等价转化思想、函数方程及不等式思想.二、解法探究（一题多解）本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，考生较容易入手，同时也要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.【解法1】（利用导数与极值、最值的关系将问题转化为方程组问题）f（x）=5sin（x-φ）的最大值为5，根据条件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，解得cos θ=-255.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，当两向量共线且同向时取得最大值，如图，易知cos θ=-255.（本法本质同柯西不等式）【解法3】（利用潜在条件将问题转化为方程组问题）函数f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值为5，由条件得sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，解得cos θ=-255.【解法4】（利用辅助角公式巧妙解决问题）f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），其中cos φ=15，sin φ=25.因为当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.【解法5】（利用二阶导数将问题转化为函数的凹凸性问题）根据条件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，结合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.又函数取得最大值附近函数图象上凸（可通过图象上点的切线的斜率变化理解）[1]，即f″（θ）=-sin θ+2cos θ三、解后反思函数的极值和最值问题是高考的重点和难点问题，解决此类问题主要从几何角度和代数角度两大思路思考，常常采用数形结合、导数和重要公式等方法，具体问题还需要具体分析.①一般将问题转化为我们熟悉的最值问题，直接降低解答的难度，灵活应用所学知识解决（如解法1和2）.②最值问题的求解要求同学们在按部就班条件下还要具有胆大心细、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.③一般地，设当x=θ时，函数f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，则可用上述方法求出sin θ和cos θ，进一步可求tan θ、sin θ±cos θ、s in 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.我们在试题讲解过程中要渗透学生从多角度深刻剖析问题.只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维才能在不断地展开中得到充分的训练和培养.四、变式练习（一题多变）为了加强学生对某一类问题的掌握，教师适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，能够让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉，掌握科学的解题规律和法则.在实际教学过程中，我们应抓住这个有效时机让学生亲自去感受、体验、思考、动手做、总结和反思，使其体会到灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉，进而培养学习的兴趣，提高解题的信心.下面给出6个变式练习及其简要解答供大家参考.【变式题1】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos 2θ= .【变式题2】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则2θ是第象限角.【变式题3】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，则tan θ= .【变式题4】若x∈0，3π4，则函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为 .【变式题5】若x∈[0，m]时，函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为322，则正数m的值是 .【变式题6】如果函数f（x）=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=π8对称，那么a= .【变式题1】【解】根据高考题目解法可知cos θ=-255，故cos 2θ=2cos2θ-1=35.【变式题2】【解】根据高考题目解法知cos θ=-255，sin θ=55，故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.【变式题3】【解】下面只给出直接求导方法.当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，则tan θ=-12.【变式题4】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；當x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，f（x）max=f3π4=322.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，易知当x=3π4时数量积取得最大值，f（x）max=322.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，则-π2【变式题5】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；当x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，故m=3π4.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，又f3π4=322，易知当x=3π4时取得最大值，故m=3π4.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，结合条件有-π2【变式题6】【解法1】根据条件知f（0）=fπ4，即a=1.检验：当a=1时，f（x）=2 sin2x+π4，则fπ8=2，因此f（x）的图象关于x=π8对称.故a=1满足题意.【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由题意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.【解法3】利用辅助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），其中a=tan θ.根据条件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.下面再给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：2015年重庆高考文科数学14题：设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为 .2009年安徽高考理科数学14题：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .五、结束语“一题多解”和“一解多变”训练是提高数学解题能力的有效途径.学生通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题；通过“一题多变”，能够加深思维深度，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物间的内在联系.试题多种解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.美国著名数学教育家波利亚说过[2]，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.本文中的试题素材平朴，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题.正如波利亚说“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.参考文献[1]华东师范大学数学系. 数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社， 2011.[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学，2015（5）：15-17.。