随机过程2014_6

第一章随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念●随机过程的数字特征●随机过程的微分和积分计算●随机过程的平稳性和遍历性●随机过程的相关函数及其性质●复随机过程●正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。

例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。

但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。

这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。

显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。

1.1 随机过程的基本概念及统计特性1.1.1 随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。

当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形)(1t x ，也可能得到波形)(2t x ，)(3t x 等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。

而这些所有可能的波形集合)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，…..，就构成了随机过程)(t X 。

图1.1 噪声电压的起伏波形1． 样本函数：)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，都是时间的函数，称为样本函数。

2． 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。

因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果ζ的函数，记为),(ζt X ，简写成)(t X 。

3．随机过程的定义：定义1把随机过程看成一族样本函数。

4．定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。

具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。

随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。

它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。

随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。

随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。

如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。

常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。

2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。

如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。

常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。

3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。

如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。

常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。

4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。

高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。

5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。

跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。

除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。

连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。

另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。

常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。

总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。

此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。

随机过程随机过程的定义 引言在许多实际问题中，不仅需要对随机现象对特定时间点上的一次观察，而且需要做多次的连续不断的观察，以观察研究对像随时间推移的演变过程。

首先我们观察的对象与通常意义上的函数()f t 是不同的， 观察研究的对象本身是一个随机变量X ，这个随机变量随时间的变化过程就是一个随机过程()X t ，通俗的理解。

随机变量X 的所有可能取值。

另一种解释是，随机过程是随机变量的函数。

随机两字的含义包含着随机过程()X t 的在某一时刻，如i t 时刻的取值，()()it t i i X t X t X ===仍然为一随机变量，随机变量i X 取值的样本空间Ω，样本空间中样本值可以是连续的，也可以是离散的。

如{}12,,,n x x x ，意味着在i t 时刻，随机变量i X 的取某一样本空间的某一元素的概率是确定的（做无穷多次实验的统计规律），在该时刻，所有样本空间元素的概率之和为1。

例如，随机相位正弦波信号。

()()sin X t a wt =+Θ 其中Θ服从均匀分布，则固定一个时刻i t 时，显然可求得i t 随机变量()i X t 的分布函数与概率密度。

可见其随机过程的概密度是时间参数t 与随机变量Θ的二元函数。

另一种理解是，对随机信号作一次观测相当于做一次随机实验，每次随机实验所得到的观测记录结果()i x t ，是一个确定函数，称为样本函数，所有样本函数的全体构成了随机过程。

随机过程的标准定义定义：设(Ω, Σ, P) 是一概率空间，对每一个参数t ∈T ， X (t,ω) 是一定义在概率空间(Ω, Σ, P) 上的随机变量，则称随机变量族 X T ={X (t ，ω); t ∈T}为该概率空间上的一随机过程。

其中T ⊂ R 是一实数集，称为指标集或参数集。

X (t,ω)通常简写为()X t 。

随机过程{X (t ); t ∈T }可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作 S 。

随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。

它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。

本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。

1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。

在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。

根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。

离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。

连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。

在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。

随机过程可以用概率分布函数来表达。

对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。

对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。

概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。

随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。

2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。

以下是一些常见的分类方式。

2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。

马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。

根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。

离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。

2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。

这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。

平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。

第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。

若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。

随机过程讲义
随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。

它主要用于表示不确定性和不确定性，在工程领域中有着广泛的应用。

本文将从定义和性质出发，论述随机过程的基本概念。

随机过程可以分为离散和连续两类。

离散随机过程是指在一定时间间隔内，其值只能在有限的取值集合中取值的变量。

例如，随机游戏的获胜概率可以用离散随机过程来表示。

连续随机过程是指在一定时间间隔内，其值可以取任何实数值的变量。

例如，温度变化可以用连续随机过程来表示。

随机过程有几个基本性质，如期望值、方差、协方差、自相关系数、相关系数和谱密度等。

期望值是指在一定时间间隔内，一个随机变量的预期值；方差表示变量的变化范围；协方差表示两个变量的关联性；自相关系数表示一个变量的变化，对另一个变量的影响；相关系数表示两个变量之间的相关性；谱密度表示变量的频率分布。

随机过程的应用非常广泛，它可以用于统计学、信号处理、系统建模和控制等领域。

它可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，并分析系统的性质，以及系统响应的变化。

它还可以用于分析信号传输系统中的信号噪声，以及与环境变量相关的随机变量。

总之，随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。

它有几个基本性质，可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，它在工程领域有着广泛的应用，可以用于控制、分析、模拟等众多方面。

数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。

它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。

本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。

二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。

随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。

随机过程可以分为离散和连续两种类型。

三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。

常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。

1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。

以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。

2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。

在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。

四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。

其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。

1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。

布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。

2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。

它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。

随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。

五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。

1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。

例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。

2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。