第六章 平稳随机过程在自然科学与工程技术研究中遇到的随机过程有很多并不具有Markov 性，这就是说从随机过程本身随时间的变化和互相关联来看，不仅它当前的状况，而且它过去的状况都对未来的状况有着不可忽略的影响，并且其统计特征不随时间推移而变化，这类随机过程称为平稳过程. 例如，恒温条件下热噪声电压()X t 是由于电路中电子的热扰动引起的，这种热扰动不随时间推移而改变；又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差()X t ，它有很多因素（如仪器振动，电磁波干扰与气候等）造成，但主要因素不随时间推移而改变.平稳过程是一种特殊的二阶矩过程，其表现在过程的统计特性不随时间的推移而改变.用概率论语言来描述：相隔时间h 的两个时刻t 与t h +处随机过程所处的状态()X t 与()X t h +具有相同的概率分布.一般地，两个n 维随机向量()12(),(),,()n X t X t X t 与()12(),(),,()n X t h X t h X t h +++ 具有相同的概率分布. 这一思想抓住了没有固定时间（空间）起点的物理系统中最自然现象的本质，因而平稳过程在通讯理论、天文学、生物学、生态学、和经济学个领域中有着十分广泛的应用.6.1 随机微积分在高等数学的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上.对于随机过程的研究，也需要建立在随机过程的连续性、可导性和可积性等概念的基础上，这些内容形式上与高等数学极为相似，但实质不同，高等数学研究的对象是函数，随机微积分研究的对象是随机函数（即随机过程），有关这部分的内容统称为随机分析（stochastic analysis ）.在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，下面我们简单介绍常用的定义.由于我们主要研究广义平稳过程（具体的定义将在第二节介绍），因此，以下的随机过程都假定为二阶矩过程.为了讨论的方便，我们约定：今后如不加说明，二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()0X m t EX t ==，自协方差函数(,)()()X C s t E X s X t ⎡⎤=⎣⎦. 6.1.1 均方收敛定义6.1 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率为1收敛于二阶矩随机变量()X ω，若使lim ()()n n X X ωω→∞=成立集合的概率为1，即 {}:lim ()()1n n P X X ωωω→∞== 或称{()}n X ω几乎处处收敛（almost everywhere converge ）于()X ω，记作n X ..a e −−→ X .定义 6.2 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率收敛（convergence in probability ）于二阶矩随机变量()X ω，若对于任意给定的0ε>，有{}lim |()()|0n n P X X ωωε→∞-≥= 记作n X p −−→ X . 定义6.3 若二阶矩随机序列{()}n X ω和二阶矩随机变量()X ω满足2lim [||]0n n E X X →∞-= （6.1） 成立，则称n X 均方收敛（convergence in mean square ）于X ，记作n X .m s −−→ X . （6.1）式的极限常常写成l i m n n X X →∞⋅⋅=或l i m n X X ⋅⋅=.（l i m ⋅⋅是英文limit in mean 的缩写）.定义6.4称二阶矩随机序列{()}n X ω依分布收敛（convergence in distribution ）于二阶矩随机变量()X ω. 若{()}n X ω相应的分布函数列{()}n F x ，在X 的分布函数每一个连续点处，有l i m ()()n n F x F x →∞= 记作n X d −−→X . 对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：（1） 若n X .m s −−→ X ，则n X p −−→ X ； （2） 若n X .a e −−→ X ，则n X p −−→ X ； （3） 若n X p −−→ X ，则n X d −−→ X . 值得注意的是，在四种收敛定义中，均方收敛是最简单的收敛形式，它只涉及单独一个序列.下面我们讨论随机序列的收敛性，都是指均方收敛.定理6.1 二阶矩随机序列{}n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件是2,l i m [||]0n m n m E X X →∞-= 定理 6.2 设{},{},{}n n n X Y Z 都是二阶矩随机序列，U 为二阶矩随机变量，{}n c 为常数序列，,,a b c 为常数.令l i m n n X X →∞⋅⋅=，l i m n n Y Y →∞⋅⋅=，l i m n n Z Z →∞⋅⋅=，lim n n c c →∞=，则 （1）l i m lim n n n n c c c →∞→∞⋅⋅==；（2）l i m n U U →∞⋅⋅=； （3）l i m()n n c U cU →∞⋅⋅=； （4）l i m()n n n aX bY aX bY →∞⋅⋅+=+； （5）l i m l i m n n n n EX EX E X →∞→∞⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⎣⎦； （6）()(),l i m l i m l i m n m n m n m n m E X Y EXY E X Y →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦； 特别地，有222l i m [||]|||l i m |n n n n E X E X E X →∞→∞⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⎣⎦证明 （1），（2），（3），（4）由均方收敛的定义可以得证.（5）由Schwartz 不等式 ||E XY ≤将X 取为n X X -，Y 取为1，则有 220|||[]|n n EX EX E X X ≤-=-2||0n E X X ≤-→ ()n →∞因此 l i m l i m n n n n EX EX E X →∞→∞⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⎣⎦（6）由Schwartz 不等式|[][]||[]|n m n m E X Y E XY E X Y XY -=-[()()2]n m n m E X X Y Y X Y XY XY =--++-[()()][()][()]n m n m E X X Y Y E X X Y E Y Y X =--+-+-()()[()]()n m n m E X X Y Y E X X Y E Y Y X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤--+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦≤0→ 因此 ,l i m [][]n m n m E X Y E XY →∞⋅⋅=. （5）式和（6）式表明：极限运算和求数学期望运算可以交换顺序.定理6.3 二阶矩随机序列{}n X 均方收敛的充要条件是,lim n m n m E X X →∞⎡⎤⎣⎦=c （常数） 证明 必要性由定理6.2之（6）易知，下证充分性. 设,lim n m n m E X X →∞⎡⎤⎣⎦2||E X c ==，由 222||[||||]n m n n m n m m E X X E X X X X X X -=--+22||[][]||n n m n m m E X E X X E X X E X =--+因此 2,lim ||20n m n m E X X c c c →∞-=-+=. 定理6.3给出了判定二阶矩随机序列{}n X 均方收敛的方法，该条件称为洛弗（Loeve）准则.6.1.2 均方连续 定义 6.5 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，若对0t T ∈，有00l i m ()()t t X t X t →⋅⋅= ，即020lim |()()|0t t E X t X t →⎡⎤-=⎣⎦ 则称{(),}X t t T ∈在0t 点均方连续（continuity in mean square ）. 如果{(),}X t t T ∈在t T ∈每点都均方连续，则称{()}X t 在T 上均方连续.定理6.4 （均方连续准则）二阶矩过程{(),}X t t T ∈在t 点均方连续的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处连续.证明 必要性：若0l i m ()()h X t h X t →⋅⋅+=，由定理6.2中（6），得到 11221212lim (,)lim [()()]X t t t t t t t tR t t E X t X t →→→→=[()()](,)X E X t X t R t t == 充分性：若12(,)X R t t 在点(,)t t 处连续，考虑到2[|()()|](,)X E X t h X t R t h t h +-=++(,)(,)(,)X X X R t t h R t h t R t t -+-++令0h →取极限可得.推论6.4.1 若相关函数12(,)X R t t 在{(,),}t t t T ∈上连续，则它在T T ⨯上连续.证明 若12(,)X R t t 在{(,),}t t t T ∈上连续，由定理6.4知()X t 在上均方连续，因此11l i m ()()s t X s X t →⋅⋅=，22l i m ()()s t X s X t →⋅⋅= 再由定理6.2中（6），得112212lim (,)lim [()()]X s t s t t t t t R t t E X s X t →→→→=1212[()()](,)X E X t X t R t t == 知12(,)X R t t 在T T ⨯上连续.推论 6.4.2 如果{(),}X t t T ∈是平稳过程，则()X t 在T 上均方连续的充分必要条件是()X t 的相关函数()X R τ在0τ=处连续，并且此时()X R τ是连续函数.证明：由于平稳过程的相关函数()X R τ本质上是(,)X R t t τ+，所证结论很显然.定理6.4表明：对于一般二阶矩过程在T 上均方连续性与它的相关函数（作为二元函数）在T T ⨯上连续性等价，而相关函数在T T ⨯上的连续性又等价于它在第一、三象限平分线{(,),}t t t T ∈上的连续性；对于平稳随机过程，均方连续等价于相关函数（作为一元函数）在原点的连续性.6.1.3 均方导数定义6.6 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，若存在另一随机过程'()X t ，满足2()()lim '()0h X t h X t E X t h→∞+--= 则称()X t 在t 点均方可微（differentiability in mean square ），记作 0()()()'()l i m h dX t X t h X t X t dt h→+-==⋅⋅ 称'()X t 为()X t 在t 点的均方导数.若()X t 在每点t 都均方可微，则称它在T 上均方可微.类似地，若随机过程{'(),}X t t T ∈在t 点均方可微，则称()X t 在t 点二次均方可微，记为''()X t 或22d X dt ，称它为二阶矩过程()X t 的二阶均方导数.同理可定义高阶均方导数. 定理6.5 （均方可导准则）二阶矩过程{(),}X t t T ∈在t 点均方可微的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处广义二阶导数存在.证明 由定理6.3知，()X t 在t 点均方可微的充要条件为12120120()()()()lim h h X t h X t X t h X t E h h →→⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 存在，将其展开得1212120120(,)(,)(,)(,)lim X X X X h h R t h t h R t h t R t t h R t t h h →→⎡⎤++-+-++⎢⎥⎣⎦ 上式极限存在的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处广义二阶导数存在.6.1.4 均方积分设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，()f t 为普通函数，其中[,]T a b =，用一组分点将T 划分如下：01n a t t t b =<<⋅⋅⋅<=，记11max{}i i n i nt t -≤≤-=∆，作和式11()()()nn i i i i i S f t X t t t -=''=-∑其中1(1,2,,)i i i t t t i n -'≤≤= .定义6.7 如果当0n ∆→时，n S 均方收敛于S ，即20lim ||0n n E S S ∆→-=则称()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积（integral in mean square ），并记()()b a S f t X t dt ==⎰ 101l i m ()()()n ni i i i i f t X t t t -∆→=''⋅⋅-∑ (6.2) 称(6.2)式为()()f t X t 在区间[,]a b 上的(Riemann )均方积分.需要说明的是：均方积分()()b a f t X t dt ⎰是一个随机变量，而不是一个随机过程.，当()1f t =时，()b a X t dt =⎰ 101l i m ()()n ni i i i X t t t -∆→='⋅⋅-∑ 定理6.6（均方可积准则）()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积的充要条件是121212()()(,)b b X a a f t f t R t t dt dt ⎰⎰存在，特别地，二阶矩过程()X t 区间[,]a b 上均方可积的充要条件是12(,)X R t t 在[,][,]a b a b ⨯上可积.定理6.7 （数学期望与积分交换次序）()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积，则有（1）()()()[()]b b a a E f t X t dt f t E X t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰，特别地()[()]b b a aE X t dt E X t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰； （2）111222()()()()b b a a E f t X t dt f t X t dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰121212()()(,)b b X a a f t f t R t t dt dt =⎰⎰ 特别地，21212()(,)bb b X a a a E X t dt R t t dt dt =⎰⎰⎰.证明 由定理6.2之（5），有101()()l i m ()()()n n bi i i i a i E f t X t dt E f t X t t t -∆→=⎡⎤''=⋅⋅-⎢⎥⎣⎦∑⎰101lim ()()()n n i i i i i E f t X t t t -∆→=⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦∑ []101lim()()()n n i i i i i f t E X t t t -∆→=''=-∑()[()]b a f t E X t dt =⎰ 类似地，可证明（2）式.均方积分有类似于普通函数积分的许多性质，如()X t 均方连续，则它均方可积；均方积分唯一性；对于a c b <<，有()()()()()()bc b a a c f t X td t f t X t d t f t X t d t=+⎰⎰⎰；若(),()X t Y t 在区间[,]a b 上均方连续，则[()()]()()b b ba a a X t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰ 其中,αβ为常数，等等.定理6.8 二阶矩过程{(),}X t t T ∈在区间[,]a b 上均方连续，则()(),ta Y t X d ττ=⎰ ()a tb ≤≤ 在均方意义下存在，且随机过程{(),}Y t t T ∈在[,]a b 上均方可微，且有()()Y t X t '=. 推论 设()X t 均方可微，且()X t '均方连续，则()()()ta X t X a X t dt '-=⎰ （6 .3） 特别地，()()()ba Xb X a X t dt '-=⎰上式相当于普通积分中的Newton Leibniz -公式.最后，对本节的内容作一些说明.（1）均方积分可以把区间[,]a b 推广到无穷区间上，得到广义均方积分；（2） 均方连续、均方导数、均方可积对复随机过程依然适应，但要把前面的绝对值理解为复数的模；（3）均方连续、均方可导、均方可积都取决于相关函数的性质；（4）在计算均方导数与均方积分时，可以把随机过程当成普通函数来处理；（5）均方导数是随机过程，均方极限与均方积分都是随机变量.6.2 平稳过程及其相关函数平稳过程作为特殊的二阶矩过程在工程技术中有着广泛的应用.定义6.8 设{(),}X t t T ∈是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n ，12,,,n t t t T ∈ ，12,,,n t t t T τττ+++∈ ，()12(),(),,()n X t X t X t 与()12(),(),,()n X t X t X t τττ+++有相同的联合分布，则称{(),}X t t T ∈为严平稳过程，也称狭义平稳过程.定义6.9 设{(),}X t t T ∈是随机过程，如果（1）{(),}X t t T ∈是二阶矩过程；（2）对任意,()()X t T m t EX t ∈==常数；（3）对任意,,(,)[()()]()X X s t T R s t E X s X t R s t ∈==-，则称{(),}X t t T ∈为广义平稳过程，也称平稳过程（stationary process ）.若T 为离散集，则称平稳过程{(),}X t t T ∈为平稳序列（stationary sequence ）. 比较两种定义：广义平稳过程对时间推移的不变性是表现在统计平均的一阶矩、二阶矩上，而严平稳过程对时间推移的不变性是表现在概率分布上. 两者的要求是不一样的，一般来说，严平稳过程要求的条件比广义平稳过程要求的条件要严格得多. 显然，广义平稳过程不一定是严平稳过程；反之，严平稳过程只有当二阶矩存在时为广义平稳过程. 值得注意的是对于正态过程来说，二者是一样的.例6.1 设随机过程()cos()sin(),0X t Y t Z t t θθ=+>.其中，,Y Z 是相互独立的随机变量，且20,EY EZ DY DZ σ====，则 ()cos()sin()0EX t EY t EZ t θθ=+=(,)[()()]X R s t E X s X t =[cos()sin()][cos()sin()]E Y s Z s Y t Z t θθθθ=++=22cos()cos()sin()sin()s t EY s t EZ θθθθ+2cos[()]t s σθ=-因此，{(),0}X t t >为广义平稳过程.例6.2 （随机电报信号过程）设随机过程{(),0}N t t ≥是具有参数为λ的Poisson 过程，随机过程{(),0}X t t ≥定义为：若随机点在[0,]t 内出现偶数次，则()1X t =；若出现奇数次，则()1X t =-.（1）讨论随机过程()X t 的平稳性；（2）设随机过程V 具有概率分布 {1}{1}12P V P V ===-=且V 与()X t 独立，令()()Y t VX t =，试讨论随机过程()Y t 的平稳性.解 （1）由于随机点()N t 是具有参数为λ的Poisson 过程，因此，在[0,]t 内随机点出现k 次的概率 ()(),0,1,2,!kt k t P t e k k λλ-== 因此 024{()1}()()()P X t P t P t P t ==+++⋅⋅⋅24()()[1]2!4!tt t e λλλ-=+++⋅⋅⋅()t e ch t λλ-= 135{()1}()()()P X t P t P t P t =-=+++⋅⋅⋅35()()[]3!5!tt t e t λλλλ-=+++⋅⋅⋅()t e sh t λλ-= 于是 ()()1()1()t t X m t EX t e ch t e sh t λλλλ--==⋅-⋅[()()]t e ch t sh t λλλ-=-2.t t t e e e λλλ---=⋅=为了求()X t 的相关函数，先求12(),()X t X t 的联合分布1122{(),()}P X t x X t x ==221111{()|()}{()}P X t x X t x P X t x ====其中1i x =-或1(1,2)i =.设21t t >，令21t t τ=-，因为事件12{()1,()1}X t X t ==等价于事件1{()1,X t =且在12(,]t t 内随机点出现偶数次}.由假设知，在1()1X t =的条件下，在区间12(,]t t 内随机点出现偶数次的概率与在区间(0,]τ内随机出现偶数次的概率相等，故21{()1|()1}()P X t X t e ch λτλτ-===由于 111{()1}()t P X t e ch t λλ-==所以 1121{()1,()1}()().t P X t X t e ch t e ch λλτλλτ--===类似可得 1121{()1,()1}()()t P X t X t e sh t e ch λλτλλτ--=-=-=； 1121{()1,()1}()()t P X t X t e sh t e sh λλτλλτ--=-==；1121{()1,()1}()()t P X t X t e ch t e sh λλτλλτ--==-=因此 1212(,)[()()]X R t t E X t X t = 1111()()t e ch t e ch λλτλλτ--=⋅⋅+11(1)(1)()()t e sh t e ch λλτλλτ---⋅-⋅11(1)1()()t e sh t e sh λλτλλτ--+-⋅⋅111(1)()()t e ch t e sh λλτλλτ--+⋅-⋅1()11[()()]t e ch t sh t λτλτλτ-+=---11()()t t e e λτλτ-+--=212()2.t t e e λλτ---==当21t t <，同理可得212()212(,)t t X R t t e e λλτ-==因此，对于任意12,t t ，有212||2||12(,)t t X R t t e e λλτ---== 由于2()t X m t e λ-=与时间t 有关，故()X t 不是平稳随机过程，值得注意的是非平稳过程相关函数也可以与时间起点无关.（2）由于20,1EV EV ==，由V 与()X t 独立知()()0EY t EVEX t ==2(,)[()()]Y R t t EV E X t X t ττ-=-2||()Y e R λττ-==所以，()Y t 是平稳过程.例6.3 设()()X t Xf t =为复随机过程，其中X 是均值为0的实随机变量，()f t 是确定函数. 证明()X t 是平稳过程的充要条件是()()i t f t ce ωθ+=.其中,,i c ωθ为常数.证明 充分性：若()()i t f t ce ωθ+=，记2DX σ=，因此 ()()[()]0X m t EX t E Xf t ===(,)[()()]X R t t E X t X t ττ-=-22()[()]i t i t EX c e e ωθωτθ+--+=22i c e ωτσ=所以，()X t 是平稳过程.必要性：若()X t 是平稳过程，则(,)[()()]X R t t E X t X t ττ-=-2()()EX f t f t τ=-上式必须与t 无关，取0τ=，有22|()|f t c =（常数） 因此，()()i t f t ce ϕ=，其中()t ϕ为实函数，于是 2()()exp{[()()]}f t f t c i t t τϕϕτ-=-- 上式应与t 无关，因此[()()]0dt t dtϕϕτ--= 即()()d t d t dt dtϕϕτ-=对一切τ成立，于是 ()t t ϕωθ=+.故 ()()i t f t ce ωθ+=.例6.3显示了相关函数在平稳过程中的重要性，平稳过程的统计特性往往通过相关函数来表现.例6.4 （随机相位过程）给定随机相位过程()()X t ϕτ=+Θ，其中()t ϕ时周期为l 的函数，Θ是服从(0,)l 上均匀分布的随机变量，讨论其平稳性.解 ()()()X m t EX t E t ϕ==+Θ00111()()()l t l l t t d s ds s ds l l lϕθθϕϕ+=+⋅==⎰⎰⎰ 与t 无关；(,)()()()(X R t t E X t X tE t t ττϕϕτ+=+=+Θ++Θ01()()l t t d lϕθϕτθθ=+++⋅⎰ 011()()()()l t ll s s ds s s ds l l ϕϕτϕϕτ+=+=+⎰⎰与t 无关. 因此，随机相位周期过程是平稳过程.下面我们来讨论联合平稳过程及相关函数的性质.定义6.10 设{(),}X t t T ∈和{(),}Y t t T ∈是两个平稳随机过程，若它们的相关函数()()E X t Y t τ⎡⎤-⎣⎦及()()E Y t X t τ⎡⎤-⎣⎦仅与τ有关，而与t 无关，则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程. 由定义有(,)()()()XY XY R t t E X t Y t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦ (,)()()()YX YX R t t E Y t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦当两个平稳过程()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程时，则它们的和()W t 是平稳过程，此时有()()()()()X Y XY E W t W t R R R ττττ⎡⎤-=++⎣⎦()()YX W R R ττ+=定理6.9 (相关函数的性质) 设{(),}X t t T ∈是平稳过程，则其相关函数()X R τ具有下列性质：（1）(0)0X R ≥； （2）()()X X R R ττ=-； （3）|()|(0)X X R R τ≤；（4）（非负定性）对于任意实数12,,,n t t t ⋅⋅⋅及复数12,,,n ααα⋅⋅⋅，有,1(,)0nXi j i j i j Rt t αα=≥∑（5）若()X t 是周期为T 的周期函数，即()()X t X t T =+，则 ()()X X R R T ττ=+（6）若()X t 是不含周期分量的非周期过程，当||τ→∞时，()X t 与()X t τ+相互独立，则||lim ()X X X R m m ττ→∞=证明 由平稳过程相关函数的定义，得（1）2(0)()()|()|0X R E X t X t E X t ⎡⎤==≥⎣⎦；（2）()()()X R E X t X t ττ⎡⎤=-⎣⎦()()()X E X t X t R ττ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦； 对于实平稳过程，由于()X R τ为实数，因此，()()X X R R ττ-=，即实平稳过程的相关函数为偶函数.（3）由Schwartz 不等式有22()()()()E X t X t E X t X t τ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦22|()|()E X t E X t τ≤- 即 22|()|[(0)]X X R R τ≤，因此|()|(0)X X R R τ≤；（4） 显然；（5） ()()()X R T E X t X t T ττ⎡⎤+=--⎣⎦()()()X E X t X t R ττ⎡⎤=-=⎣⎦；（6） ||||lim ()lim ()()X R E X t X t ττττ→∞→∞⎡⎤=-⎣⎦||lim ()()]X X EX t E X t m m ττ→∞=-=.类似地，联合平稳过程()X t 和()Y t 的互相关函数具有下列性质：（1）2|()|(0)(0),XY X Y R R R τ≤ 2|()|(0)(0)YX X Y R R R τ≤； （2）()().XY YX R R ττ-= 证明 （1）由Schwartz 不等式，22|()||[()()]|XY R E X t Y t ττ=-2[|()()|]E X t Y t τ≤-22|()||()|(0)(0)X Y E X t E Y t R R τ≤-=；（2）()[()()]XY R E X t Y t ττ-=-[()()]()YX E Y t X t R ττ=-=.当()X t 和()Y t 是实联合平稳过程时，（2）式变成()().XY YX R R ττ-=，这表明()XY R τ与()YX R τ在一般情况下是不相等的，且它们不是τ的偶函数.例 6.5 设()sin(),X t A t ω=+Θ ()sin()Y t B t ωϕ=+Θ-是两个平稳过程，其中,,A B ϕ为常数，Θ在(0,2)π上服从均匀分布，求()XY R τ和()YX R τ.解 ()[()()XY R E X t Y t ττ=-[s i n ()s i n (E A t B t ωωωτϕ=+Θ-+Θ-201sin()sin()2AB t t d πωθωωτθϕθπ=+-+-⎰ 20sin()[sin()cos()2AB t t πωθωθωτϕπ=+++⎰ cos()sin()]t d ωθωτϕθ-++ 1cos().2AB ωτϕ=+ 同理可得1()cos().2YX R AB τωτϕ=-6.3 平稳过程的各态历经性平稳随机过程的统计特征完全由前二阶矩函数确定，为了研究平稳过程的相关理论，必须先明确均值函数与相关函数.但在实际应用中，随机过程的均值函数与相关函数一般是未知的，需要先通过大量的观察试验获得样本函数，然后用数理统计的点估计理论作出估计，其要求是很高的.为了提高估计的精度，需要做出多次试验，以获得许多样本函数.限于人力和财力，更限于试验周期等原因，这是不现实的.然而，对于平稳过程，它的均值函数是常数，相关函数只与时间间隔有关，它们都与起始时刻无关，也就是说，平稳过程的统计特性不随时间推移而改变，这就提供了一个是否在较宽的条件下，用样本函数估计平稳过程均值与相关函数的方法，它需要平稳过程具有各态历经性，即遍历性.各态历经性的理论依据是大数定律.大数定律表明：随时间n 的无限增大，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均.也就是说，时间平均与状态平均殊途同归，它的直观含义是：只要观测的时间足够长，随机过程的每一个样本函数都能够“遍历”各个可能状态.定义6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，称1()l i m()2TTT X t X t dt T-→∞⋅⋅⎰（6.4）为该过程的时间均值；称1()()l i m()()2TTT X t X t X t X t dt Tττ-→∞-⋅⋅-⎰（6.5）为时间相关函数.定义6.12 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，若()(),..X t EX t a s 〈〉=即1l i m()2TX TT X t dt m T-→∞⋅⋅=⎰（6.6）以概率为1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性.若()()()()X t X t E X t X t ττ⎡⎤-=-⎣⎦，即1l i m()()()2TX TT X t X t dt R Tττ-→∞⋅⋅-=⎰（6.7）则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性.如果均方连续平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性（ergodicity ），或称()X t 是各态历经过程（ergodic process ）.由上面的讨论知，如果()X t 是各态历经过程，则()X t 和()()X t X t τ-不再依赖ω，而是以概率为1分别等于()EX t 和()()E X t X t τ⎡⎤-⎣⎦，这一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的，于是，对随机过程的时间平均也可以用样本函数的时间平均来表示，且可以用任一个样本函数的时间平均代替随机过程的统计平均；另一方面也表明()EX t 和()()E X t X t τ⎡⎤-⎣⎦必定与时间t 无关，即各态历经过程必定是平稳过程.但是平稳过程只有在一定的条件下才是各态历经过程.例6.6 随机相位正弦波()cos(),X t a t t ω=+Θ-∞<<∞具有各态历经性，其中Θ是(0,2)π上均匀分布的随机变量.容易求得20,()cos 2X X a m R τωτ==，于是()X t 的时间平均为 1()l i mcos()2TTT X t a t dt T ω-→∞=⋅⋅+Θ⎰()l i m c o s c o s s i n s i n 2T TT a t t d t T ωω-→∞=⋅⋅Θ-Θ⎰ l im c o s c o s 2T T T a t d t T ω-→∞=⋅⋅Θ⎰c o s s i n l i m 0T a TT ωω→∞Θ=⋅⋅=()X t 的时间相关函数为21()()l i mcos()cos(())2TTT X t X t a t t dt Tτωωτ-→∞-=⋅⋅+Θ-+Θ⎰()2l i m cos(22)cos 4TT T a t dt T ωωτωτ-→∞=⋅⋅--+Θ+⎰2cos 2a ωτ=上述结果表明：随机相位正弦波()X t 的均值与相关函数都具有各态历经性，从而()X t 具有各态历经性.下面我们讨论平稳过程具有遍历性的条件.定理6.10 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件是2221||lim1()||022TX X T T R m d T T τττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ (6.8) 证明 因()X t 是随机变量，先求它的期望与方差1()l i m()2TT T E X t E X t dt T -→∞⎡⎤=⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 1lim [()]2TX TT E X t dt m T -→∞==⎰因此，随机变量()X t 的均值函数为常数()X EX t m =，由方差的性质，若能证明()0D X t =，则()X t 依概率为1等于()EX t .因此，要证明()X t 的均值具有各态历经性等价于证明()0D X t 〈〉=，由于22()|()|||X D X t E X t m 〈〉=〈〉- (6.9)而 221|()|l i m()2TTT E X t E X t dt T-→∞=⋅⋅⎰221121lim ()()4T T T T T E X t dt X t dt T --→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 211221lim()()4T TT T T E X t X t dt dt T --→∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰ 211221lim ()4TTX TTT R t t dt dt T --→∞=-⎰⎰作变换112221,t t t t ττ=+=-，变换的雅可比式为1212(,)1(,)2t t ττ∂=∂于是2222|2212222||11|()|lim()42TT X T T T E X t R d d T τττττ---+→∞〈〉=⎰⎰22222||1lim()122TX T T R d TT τττ-→∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (6.10) 又因为2222||11122TT d TT ττ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 故 222222||1||||122TX X T m m d TT ττ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （6.11） 将(6.10) 和(6.11)代人(6.9)，得()2221||()lim1()||22TX X T T D X t R m d TT τττ-→∞⎛⎫〈〉=--⎪⎝⎭⎰ (6.12) (6.12)式等于0就是()X t 〈〉以概率1等于()X EX t m =的充要条件，证毕.当()X t 是实均方连续平稳过程时，()X R τ为偶函数，过程()X t 的均值各态历经性的充要条件可以写成221lim1()02T XX T R m d T T τττ→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ （6.13） 由于2()()||X X X C R m ττ=-，因此，(6.8)式等价于221||lim 1()022TX T T C d TT τττ-→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ （6.14） 相应地，(6.13)式等价于201lim1()02T X T C d T T τττ→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ （6.15） 定理 6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，则它的相关函数具有各态历经性的充要条件是2211112||1lim1()|()|022TX T T C R d T T ττττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ (6.16)其中111()()()()()X C E X t X t X t X t τττττ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦(6.17)证明 对于固定的τ，记()()()Y t X t X t τ=-，则()Y t 为均方连续的平稳过程，且()()()()Y X m EY t E X t X t R ττ⎡⎤==-=⎣⎦因此，()X R τ的各态历经性相当于()EY t 的各态历经性，由于11()()()Y R E Y t Y t ττ⎡⎤=-⎣⎦11()()()()E X t X t X t X t ττττ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦1()C τ= 由定理6.10得定理6.11成立.定理6.12 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<+∞，等式1l i m ()TX T X t dt m T→∞⋅⋅=⎰（6.18 ）以概率1成立的充要条件为1||l i m1()02TX T T C d TT τττ-→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ （6.19 ） 若()X t 为实随机过程，则上式变为 01lim1()0.T X T C d T T τττ→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 定理6.13 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<+∞，等式1l i m()()()TX T X t X t d R T τττ→∞⋅⋅-=⎰ （6.20） 以概率1成立的充要条件为2111||1lim1()|()|0T X T T C R d T T ττττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ （6.21） 若()X t 为实随机过程，则上式变为 211101lim 1()()0.T X T C R d T T ττττ→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 例6.7 （续例6.2）考虑例6.2中随机电报信号过程()Y t 均值的各态历经性.因为它是实平稳过程，且2||()0,(),Y EY t R e λττ-==因此22||01lim 1002T T e d T T λτττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 由（6.13知，()Y t 是均值具有各态历经性的平稳过程.例6.8 讨论随机过程()X t Y =的各态历经性，其中Y 是方差不为0的随机变量. 解 容易知道()X t Y =是平稳过程，事实上，()X EX t EY m ==（常数），22(,)X XR t t EY DY m τ-==+（与t 无关），但此过程不具有各态历经性，因为 1()l i m2TTT X t Ydt Y T-→∞=⋅⋅=⎰Y 不是常数，不等于()EX t ，因此，()X t Y =的均值不具有各态历经性.类似地可证相关函数也不具有各态历经性.实际应用中，要严格验证平稳过程是否满足各态历经性条件是比较困难的，但各态历经性定理的条件较宽，工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足. 因此，通常的处理方法是：先假设平稳过程是各态历经过程，然后由此假定出发，对各种数据进行分析处理，在实践中考察是否会产生较大的偏差，如果偏差较大，便认为该平稳过程不具有各态历经性.各态历经性定理的重要意义在于它从理论上给出了如下的结论：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即01l i m()T X T m x t dt T →∞=⋅⋅⎰；01()l i m ()()TX T R x t x t dt Tττ→∞=⋅⋅+⎰ 若样本函数()x t 只在有限区间[0,]T 上给出，则对于实平稳过程有下面的估计式1ˆ()TX X m mx t dt T≈=⎰(6.22) 01ˆ()()()().T X XR R x t x t dt T τττττ-≈=+-⎰(6.23)(6.23) 式取积分区间[0,]T τ-是因为()x t τ+只对t T τ+≤为已知，即0.t T τ≤≤-习 题 六6.1 设12,,X X 是独立同分布随机变量，证明：随机序列{,1}n X n ≥是严平稳时间序列.6.2 设随机过程()cos sin ,X t U t V t t =+-∞<<∞，其中U 与V 相互独立，且都服从(0,1)N .（1） ()X t 是平稳过程吗？为什么？ （2） ()X t 是严平稳过程吗？为什么？6.3 设随机过程()cos(),X t A t t ω=+Θ-∞<<∞，其中，ω为正常数，随机变量A 与Θ相互独立，且A 的密度函数为2222exp{},0,0()a a a f a σσ-⎧⎪⎨⎪⎩>=其它，Θ服从区间[0,2]π上的均匀分布，求()X t 的均值函数与相关函数，并由此证明()X t 是平稳过程.6.4设随机过程()sin ,X t Ut t T =∈，其中U 服从区间[0,2]π上的均匀分布.（1）如果{0,1,2,}T = ，试求()X t 的均值函数与相关函数，并由此证明()X t 是平稳时间序列.（2）如果[0,]T =+∞，试求()X t 的均值函数，并由此证明()X t 不是平稳过程. 6.5 在习题6.2中，试求()X t 〈〉与()()X t X t τ〈+〉，并由此证明平稳过程()X t 的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.6.6在习题6.3中，试求()X t 〈〉与()()X t X t τ〈+〉，并由此证明平稳过程()X t 的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.6.7 证明相位周期过程()()X t t ϕ=+Θ是各态历经过程，其中，ϕ是有界函数.[提示：利用高等数学中周期函数的积分性质计算()X t 〈〉与()()X t X t τ〈+〉.6.8 设平稳过程{(),}X t t -∞<<∞的均值具有各态历经性，记随机过程()()Y t X t U =+，其中，U 是与()X t 不相关的随机变量，且,1EU c DU ==.（1） 试求()Y t 函数与协方差函数，并由此证明()Y t 是平稳过程； （2） ()Y t 函数是否具有各态历经性？为什么？6.9 设有随机过程()X t 和()Y t 都不是平稳过程，且()()cos ,X t A t t =()()sin Y t B t t =，其中()A t 和()B t 是均值为0的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证：()()()Z t X t Y t =+是平稳过程.6.10 设1()X t ，2()X t ，1()Y t ，2()Y t 都是均值为0的实随机过程，定义复随机过程111()()()Z t X t iY t =+，222()()()Z t X t iY t =+求在下列情况下1()Z t 和2()Z t 的互相关函数.（1） 所有实随机过程是相关的； （2） 所有实随机过程互不相关.6.11 设()X t 是具有相关函数为()X R τ的平稳过程，令()a TaY X t dt +=⎰，其中0,T a >为实数，证明：2||(||)().TX TE Y T R d τττ-=-⎰6.12 设有随机过程()sin()cos()X t A t B t λλ=+，其中,A B 是均值为0，方差为2σ的相互独立的正态随机变量.问：（1）()X t 的均值是否具有各态历经性？（2）()X t 的均方值是否具有各态历经性？（3）若sin ,cos ,A B =Φ=Φ Φ是(0,2)π上均匀分布的随机变量，此时2[()]E X t 是否具有各态历经性？。
