五年级奥数.数论.因数与倍数(A级答案

人教版五年级数学下册《因数和倍数》解析(含答案)一、填空1．在4、9、36这三个数中：（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数；36的因数一共有（）个，它的倍数有（）个。

考查目的：因数和倍数的意义，找一个数的因数和倍数的方法。

答案：36 4 9，4 9 36；9，无数。

解析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。

找一个数的因数可以一对一对地找，36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，共9个；一个数的倍数的个数是无限的。

2．圈出5的倍数：15 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中，奇数有（），偶数有（）。

考查目的：能被5整除的数的特征，奇数和偶数的意义。

答案：15 35 45，40 100 60。

解析：先根据能被5整除的数的特征判断，一个数的个位是0或者5，这个数就是5的倍数；在圈出的数中，再根据奇数与偶数的意义判断，个位上是0的数是偶数，个位上是5的数是奇数。

3．从0、4、5、8、9中选取三个数字组成三位数：（1）在能被2整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（2）在能被3整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（3）在能被5整除的数中，最大的是（），最小的是（）。

考查目的：能被2、3、5整除的数的特征，简单的排列组合知识。

答案：（1）984，450；（2）984，405；（3）980；405。

解析：能被2整除的数，要求个位上是0、2、4、6、8，最大的应该是984，最小的是450；能被3整除的数，各个数位上的数的和是3的倍数，通过排列组合得到其中最大的是984，最小的是405；因为个位是0或者5的数能被5整除，所以最大的是980，最小的是405。

4．将2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111按要求填入下面的圈内。

考查目的：奇数和偶数、质数和合数的意义。

答案：解析：此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的意义。

因数和倍数奥数题及标准答案因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点⼤，如果有兴趣可以试试！1、某校举⾏数学竞赛，共有20道题。

评分标准规定，答对⼀题给3分，不答给1分。

答错⼀题倒扣1分，全校学⽣都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学⽣得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008,则其中最⼩的⼀个奇数是___________ 。

3、张阿姨把相同数量的苹果和橘⼦分给若⼲名⼩朋友，每名⼩朋友分得1个苹果和3个橘⼦。

最后橘⼦分完了，苹果还剩下12个。

那么⼀共分给了____________ —名⼩朋友。

4、⼩华同学为了在“希望杯”数学⼤赛中取得好成绩，⾃⼰做了四份训练题（每份训练题满分为120分）。

他第⼀份训练题得了90分，第⼆份训练题得了100 分，那么第三份训练题⾄少要得___________才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。

5、三个连续⾃然数的乘积是210,求这三个数.6⾃然数9是质数，还是合数？为什么？7、⼀个数⽤3、4、5除都能整除，这个数最⼩是多少？8、⼀个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

9、⼀个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？10、甲、⼄两港间的⽔路长208千⽶，⼀只船从甲港开往⼄港，顺⽔8⼩时到达，从⼄港返回甲港，逆⽔13⼩时到达，求船在静⽔中的速度和⽔流速度。

答案:1、解：以⼀个学⽣得分情况为例。

如果他有m题答对，就得3m分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学⽣未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。

所以，这个学⽣得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，贝U 2（m-n+10）必然是偶数，即⼀个学⽣得分为偶数。

由此可见，不管有多少学⽣参赛，得分总和⼀定是偶数。

2、解：499。

2008-4—3=4993、解：6。

数论-因数和倍数-因数和-4星题课程目标知识提要因数和•概念因数和：即一个整数的所有因数的和。

因数和公式：a3×b2×c的因数的和为（1+ a + a2 + a3）×（1+ b + b2）×（1+ c）精选例题因数和1. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．【答案】16；4896【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．2. 36的所有约数的和多少？90的所有约数的和是多少？【答案】91；234【分析】简答：提示，牢记求约数和的公式，并能准确分解质因数．3. 10000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012×100【分析】10000=24×54，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53+54)=24211因数积为(1002)n×100，其中n=[(4+1)×(4+1)−1]÷2=12所以因数的积为1000012×1004. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．【答案】124或186【分析】10=9+1=2×5，表达式为a9或者ab4，29>100，2×34>100，只可能是24×3=48或24×5=80．48的因数之和：(20+21+22+23+24)×(30+31)=124，80的因数之和：(20+21+ 22+23+24)×(50+51)=186．5. 360的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】1170、36012【分析】360=23×32×5，因数和：(20+21+22+23)×(30+31+32)×(50+51)=1170因数积：360n，n=(3+1)×(2+1)×(1+1)÷2=12所以因数的积为36012．6. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+ 31+32)×(50+51)=78．7. 2000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】4836、200010【分析】2000=24×53，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53)=4836；因数积为2000n，其中n=(4+1)×(3+1)÷2=10，所以因数的积为200010．。

数论-因数和倍数-最小公倍数-3星题课程目标知识提要最小公倍数•定义公倍数就是几个数公共的倍数。

最小公倍数就是其中最小的公倍数。

•求最小公倍数的方法〔1〕枚举法〔2〕分解质因数法〔3〕短除法〔4〕公式法•最小公倍数的性质〔1〕两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数；〔2〕两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积；〔3〕两个数具有倍数关系，那么它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．精选例题最小公倍数1. 一次考试，参加的学生中有 17 得优，14 得良，13 得中，其余的得差，参加考试的学生不满 100 人，那么得差的学生有 人．【答案】 23【分析】 由题意“参加的学生中有 17 得优，14 得良，13 得中〞，可知参加考试的学生人数是 7，4，3 的倍数，因为 7，4，3 的最小公倍数为 84〔小于 100 人〕，所以参加的学生总数为 84 人．那么得差的学生有：84−12−21−28=23(人).2. 两个自然数的最大公约数是 100，最小公倍数是 20100，这两个自然数的差是 6400，那么这两个自然数的和是 ．【答案】 7000【分析】 详解：设这两个自然数分别为 100x 和 100y(x >y)，那么 (x,y)=1，[x,y]=xy =20100÷100=201，x −y =6400÷100=64．只能是 x =67，y =3，两个自然数分别是 6700 和 300，它们的和是 7000．3. 一个自然数，它是 3 和 7 的倍数，并且被 5 除余 2，满足这些条件的最小的自然数是 ．【答案】 42【分析】 3 和 7 的最小公倍数是 21，21 的倍数中满足被 5 除余 2 的最小数为 42．4. x 是最简真分数，假设它的分子加 a ，化简得 13；假设它的分母加 a ，化简得 14，那么 x = ．【答案】 415【分析】 由题可知，对于两种变化而言，分子分母之和相等，第一次变化和为1+3=4,第二次变化和为1+4=5,因 4 和 5 的最小公倍数是 20，故13=515,14=416, 因此x =415.5. 自然数 a,b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公因数的 105 倍，那么 a,b 中较大的值是 ．【答案】 225【分析】 设 (a,b)=d ，那么有 a =md,b =nd ，且 (m,n)=1．由题意，得 md −nd =(m −n)d =120，mnd =105d ，即 (m −n)d =120，mn =105．105=3×5×7，所有 m,n 有下面四组不同组合；105，1；35，3；21，5；15，7．因为 (m −n) 是 120 的因数，120=23×3×5，上面四组只有 15−7=8 是 120 的因数，所以 m =15,n =7，d =120÷(m −n)=15．a,b 中较大的数是 a ，它的值 md =15×15=225．6. 一个自然数，它是 5 和 7 的倍数，并且被 3 除余 1，满足这些条件的最小的自然数是 种．【答案】 70【分析】 5 和 7 的最小公倍数是 35，35 的倍数中满足被 3 除 余 1 的最小数为 70．7. 某个三位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4 是 6 的倍数，那么这个数最小为 ．【答案】 122【分析】 这个三位数减去 2 得到 3、4、5、6 的公倍数，取三位数 120，所以最小值为 122．8. 某些整数分别被 35，57，79，911 除后，所得的商化作带分数时，分数局部分别是 25，27，29，211，那么满足条件且大于 1 的最小整数是 ．【答案】 3466【分析】 设最小整数为 A ，分别被 57，79，911，1113 除后，所得的商分别为 75A ，97A ，119A ，1311A 那么75A =1+25+75(A −1),97A =1+27+97(A −1),119A =1+29+119(A −1), 1311A =1+211+1311(A −1). 显然，当 A −1=[5,7,9,11] 的时候满足题意，所以 A −1=3465，A =3466．9. 两个数的最大公约数和最小公倍数分别是 3 和 135，那么这两个数的差最小是 ．【答案】 12【分析】 最大公约数和最小公倍数分别是 3 和 135，135÷3=45,45=3×3×5,差最小是3×(9−5)=12,那么这两个数的差最小是 12．10. A 数有 7 个因数，B 数有 12 个因数，且 A 、B 的最小公倍数 [A,B]＝1728，那么 B ＝【答案】 108【分析】 1728=26×33，所以 A 、B 质因数只能有 2 和 3，又由于 A 有 7 个因数，而 7 是一个质数，所以 A 分解质因数的形式只能有 A =26，设 B =2k ×33, 那么(k +1)×(3+1)=12,得 k =2，所以B =22×33=108.11. a 和 b 的最大公约数是 4，a 与 b 及 b 与 c 的最小公倍数都是 100，而且 a 小于等于 b ，那么满足条件的有序自然数对 (a,b,c) 共有 组．【答案】 9【分析】(a,b)=4,[a,c]=100=22×52,[b,c]=100=22×52,a⩽b，a可以是4或20或100，b可以是4或20或100，c可以是25或50或100；枚举如下：当a=4，b=4，c=25或50或100都成成立，有3种情况；当a=4，b=20，c=25或50或100都成成立，有3种情况；当a=4，b=100，c=25或50或100都成成立，有3种情况；故共有9种情况．12. 大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，那么n的最小值是．【答案】15【分析】因为3n是5的倍数，所以n也是5的倍数，那么n是3和5的共同倍数，那么n 最小为15．13. 有一根长240厘米的木棒，先从左端开始每隔7厘米划一条线，再从右端开始每隔6厘米划一条线，并且从划线处截断木棒，那么所截得得小木棒中，长度是3厘米的木棒有根【答案】12【分析】240刚好能被6整除，所以“从右端开始每隔6厘米划一条线〞等价于“从左端开始每隔6厘米划一条线〞，6跟7的最小公倍数为42，所以每42厘米一个周期．分析一个周期的截口长度：端点，6米，7厘米，12厘米，14厘米，18厘米，21厘米，24厘米，28厘米，30厘米，35厘米，36厘米，42厘米．21−18=3(厘米),24−21=3(厘米),所以一个周期有2段3厘米的木棒．240÷42=5(组)⋯⋯30(厘米),5组里面共有5×2=10(段).余下的30厘米中，还有2段3厘米的．故共有10+2=12段3厘米的木棒．14. 有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这箱苹果至少有个．【答案】 67【分析】 10≡1 (mod 3)=1，11≡3 (mod 4)=3，12≡2 (mod 5)=2，苹果数除以 3 余 1，除以 4 少 1，除以 5 多 2．满足除以 3 余 1，除以 4 少 1 的数最小是 7，7 刚好除以 5 余 2，有因为苹果数大于 12．设苹果总数为 N ，N −7=[3,4,5]=60，N =67．15. —个自然数被 3 除余 2，被 5 除余 4，并且这个数大于 100 且小于 125，那么这个数是 ．【答案】 104 或 119【分析】 被 3 除余 2，被 5 除余 4，求出 3 和 5 的最小公倍数 15，估算 15 的哪一个倍数大于 100 小于 125，经计算可知，105 和 120 介于 100 到 125 之间，再用 105 和 120 分别减 1 即可，这个自然数是 104 或 119．16. 两个自然数的最小公倍数是 60，最大公约数是 6，这两个数的和是 42，那么这两个数的差是 ．【答案】 18【分析】 详解：由最大公约数是 6，可设这两个数分别为 6x 和 6y(x ⩾y,且x,y 互质)，那么x ×y =60÷6=10，x +y =42÷6=7，不难看出 {x =5y =2，所以两个自然数分別为 30 和 12，差为 18．17. 甲、乙两数的最小公倍数是 170，甲、丙两数的最小公倍数是 204，乙、丙两数的最小公倍数是 60，那么甲、乙、丙三个数的和最小是 ．【答案】 39【分析】 详解：从约数方面考虑，甲既要是 170 的约数，又要是 204 的约数，所以甲是 (170,204)=34 的约数；类以的，乙是 10 的约数，丙是 12 的约数．另一方面，甲、乙的最小公倍数是 170，要求甲有约数 17，乙有约数 5，且甲、乙至少一个是 2 的倍数；甲、丙的最小公倍数是 204，说明丙一定是 12 的倍数，只能是 12，于是甲、乙、丙三个数的和最小是 17+5×2+12=39．18. 我国南宋数学家杨辉在其?续古摘奇算法?上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七 数余三，九数余四，问本数．〞用现代语言表述就是：“有一个数用 2 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3，用 9 除余 4，问这个数是多少？〞请将满足条件的最小的自然数写在这里 ．【答案】157【分析】〔解法一〕先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4；用剩余定理得5×7×5+5×9×1+7×9×4=472[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−315=157，且也符合除以2余1．〔解法二〕除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；除以7余3的数有：3，10，17⋯；所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3〞的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17〔n为自然数〕此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70⋯2+17=15719. 某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1,2,⋯⋯,30；他们手中的电影票恰好为某排的1号，2号，⋯⋯，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，假设甲的学号能被乙的学号整除，那么甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有种不同的发放方式．【答案】48【分析】1号学生有29人是其倍数，故1号学生只能拿1号电影票；2号学生有14人是其倍数，故2号学生只能拿2号电影票；3号学生有9人是其倍数，故3号学生只能拿3号电影票；4号学生有6人是其倍数，故4号学生只能拿4号电影票；5号学生有5人是其倍数，故5号学生只能拿5号电影票；6号学生有4人是其倍数，故6号学生只能拿6号电影票；7号学生有3人是其倍数，故7号学生只能拿7号电影票；8号学生必须是2号学生〔2〕的倍数，也必须是4号学生〔4〕的倍数，同时有2人是其倍数，综上，8号学生只能拿8号电影票；9号学生必须是3号学生〔3〕的倍数，还不能是6，同时有2人是其倍数，综上，9号学生只能拿9号电影票；10号学生必须是2号学生〔2〕的倍数，也必须是5号学生〔5〕的倍数，同时有2人是其倍数，综上，10号学生只能拿10号电影票；12号学生必须是3号学生〔3〕的倍数，也必须是4号学生〔4〕的倍数，同时有1人是其倍数，综上，12号学生只能拿12号电影票；同时24号学生只能拿24号电影票；14号学生必须是2号学生〔2〕的倍数，也必须是7号学生〔7〕的倍数，同时有1人是其倍数，综上，14号学生只能拿14号电影票；同时28号学生只能拿28号电影票；15号学生必须是3号学生〔3〕的倍数，也必须是5号学生〔5〕的倍数，同时有1人是其倍数，综上，15号学生只能拿15号电影票；同时30号学生只能拿30号电影票；之后的数，[2,9]=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=[4,5]，20 必拿 20；21=[3,7]，21 必拿 21 号；24=[3,8]，24 必拿 24，同时是 8的倍数的 16 号只能拿 16；28=[4,7], 28 必拿 28；30=[5,6], 30 必拿 30，同时是 5 的倍数的 25 号只能拿 25 号．目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、29 号．11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26 号拿 22．17、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A 44=24(种) 拿法．故共有 2×24=48(种) 拿法．20. 在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是 ．【答案】 32340【分析】 是 20 的倍数也是 14 的倍数，那么这些数是 [14,20]=140 的倍数．最小的是 0，最大的是 2940，有 (2940−0)÷140+1=22 个．所以这些数的和是(0+2940)×22÷2=32340.21. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，那么每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，那么每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，那么每只猴子可得 20 粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【答案】 5 粒【分析】 依题意得：花生总粒数 =12× 第一群猴子只数 =15× 第二群猴子只数 =20× 第三群猴子只数，由此可知，花生总粒数是 12，15，20 的公倍数，其最小公倍数是 60．花生总粒数是 60，120，180，⋯，那么：第一群猴子只数是 5，10，15，⋯；第二群猴子只数是 4，8，12，⋯；第三群猴子只数是 3，6，9，⋯；所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，⋯ 因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是 5 粒．22. 有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟行走 120 米，乙每分钟行走 100 米，丙每分钟行走 70 米．如果 3 个人同时同向，从同地出发，沿周长是 300 米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3 人又可以相聚在跑道上同一处？【答案】 30【分析】 由题意知道：甲走完一周需要时间为 300÷120=52(分钟)；乙走完一周需要时间为 300÷100=3(分钟)；丙走完一周需要时间为 300÷700=307(分钟)；那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：[52,307,3]=[5,30,3](2,7,1)=301=30(分钟).23. 甲、乙两数的最小公倍数是60，乙、丙两数的最小公倍数是70，甲、丙两数的最小公倍数是84，那么甲数是多少？【答案】12【分析】简答：甲、乙两数的最小公倍数是22×3×5，乙、丙两个数的最小公倍数是2×5×7，甲、丙两数的最小公倍数是22×3×7，比照三个条件可知甲数为22×3=12．24. 15和35的最小公倍数是多少？25和150的最小公倍数是多少？15，25，35的最小公倍数是多少？【答案】105；150；525【分析】用短除法，得105．25是150的约数，所以最小公倍是150．15，25，35的最小公倍是525=5×(3×5×7).25. 三个正整数a、b、c，a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是5b、28和300，那么a 的值是多少？【答案】726. 甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126．请问：甲数是多少？【答案】18【分析】详解：90=2×32×5，105=3×5×7，126=2×32×7．首先可知这三个数的质因数只有2、3、5、7，而且甲中没有7，没有5；乙中没有2，没有7，最多有1个3．因为甲、乙的最小公倍数是90，而乙中没有2，最多有1个3，可以判断出甲中有1个2，2个3，甲是18．27. 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？【答案】40【分析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差120−80=40(米)，那么需要400÷40=10(分钟)乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走 120−70=50(米)，那么需要 400÷50=8(分钟) 乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走 80−70=10(米)，那么需要 400÷10=40(分钟) 甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间那么为 10，8，40 的公倍数．因为 [10,8,40]=40，所以三人相聚需要过 40 分钟，即 40 分钟后，三个人可以首次相聚．28. 一堆石子，2 个 2 个数余 1 个，3 个 3 个数余 2 个，5 个 5 个数余 4 个，这堆石子至少有多少个？【答案】 29【分析】 观察这些数，我们发现，如果再多一个石子，那么就可以被 2，3，5 整除．[2,3,5]=30．去掉那一个，这堆石子至少有 29 个．29. 两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为 114，求这两个自然数．【答案】 24，30【分析】 设这两个自然数分别是 ma 、mb ，其中 m 为它们的最大公因数，a 与 b 互质〔不妨设 a ⩽b 〕，根据题意有：{mb +ma =m(a +b)=54mab −m =m(ab −1)=114所以可以得到 m 是 54 和 114 的公因数，所以是 (54,114)=6 的因数．m =1,2,3或6．如果 m =1，由 m ×(a +b)=54，有 a +b =54；又由 m ×(ab −1)=114，有 ab =115． 115=1×115=5×23，但是 1+115=116≠54，5+23=28≠54，所以 m ≠1．如果 m =2，由 m ×(a +b)=54，有 a +b =27；又由 m ×(ab −1)=114，有 ab =58． 58=1×58=2×29，但是 1+58=59≠27，2+29=31≠27，所以 m ≠2．如果 m =3，由 m ×(a +b)=54，有 a +b =18；又由 m ×(ab −1)=114，有 ab =39． 39=1×39=3×13，但是 1+39=40≠18，3+13=16≠18，所以 m ≠3．如果 m =6，由 m ×(a +b)=54，有 a +b =9；又由 m ×(ab −1)=114，有 ab =20． 20 表示成两个互质的数的乘积有两种形式：20=1×20=4×5，虽然 1+20=21≠9，但是有 4+5=9，所以取 m =6 是适宜的，此时 a =4，b =5，这两个数分别为 24 和 30．30. 3 条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3 人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长 15 千米，中圈跑道长 14 千米，外圈跑道长 38 千米．甲每小时跑 312 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米．问他们同时出发，几小时后，3 人第一次同时回到出发点？【答案】 6 小时【分析】 甲跑完一圈需 15÷312=235 小时，乙跑一圈需 14÷4=116 小时，丙跑一圈需 38÷5=340 小时，他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为 235，116，340 的倍数，即为它们的公倍数．而[235,116,340]=[2,1,3](35,16,40)=61=6.所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．31. 假设两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，那么这两个数是多少？【答案】14、21【分析】根据短除模型，这两个数的最大公约数是49的约数，从而最大公约数为1或7．如果最大公约数为1，那么最小公倍数为48，可能为1和48或3和16，这两种情况都不符合平方和为637；如果最大公约数为7，那么最小公倍数为42，可能为7和42或14和21，此时142+212=637，满足题意，所以这两个数分别为14和21．32. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳412米，黄鼠狼每次跳234米，它们每秒钟都只跳一次．在比赛道路上，从起点开始每隔1238米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？【答案】40.5米．【分析】我们发现，狐狸、黄鼠狼每次跳的路程以及两个陷阱之间的距离都是18米的整数倍，因而定义一个新的单位“新米〞，规定：18米=1新米．于是狐狸每次跳36新米，黄鼠狼每次跳22新米，每隔99新米有一个陷讲．[36,99]=396新米，[22,99]=198新米，也就是说狐狸跳了396÷36=11秒后掉坑里，黄鼠狼跳了198÷22=9秒后掉坑里．所以黄鼠狼先掉坑里，这时候狐狸跳了36×9=324新米，合324÷8=40.5米．33. 鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞．鼹鼠每隔三米挖一个洞，老鼠每隔5米挖一个洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖．〞这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？【答案】10个【分析】因为157除以5的余数是2，可得以下图：由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A点12米处．因为[ 3，5 ] =15，(157−12)÷15=145÷15=9⋯10，所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9+1=10(个)．34. 甲乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450，假设它们的差最小，求这两个数．【答案】150、225【分析】短除模型，设这两个数是a、b，a=75x，b=75y，那么有\[ \left\{\begin{gathered}\left( {x,y} \right) = 1 \hfill \\75xy = 450 \hfill \\\end{gathered} \right. \]得x、y两数是2、3或1、6〔舍去〕，故a、b是150和225．35. 两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60，那么这两个数分别是多少？【答案】12和20【分析】简答：最大公约数是240÷60=4，然后设两个数为4a和4b，且a、b互质，求解即可．36. 求下面各组数的最大公约数和最小公倍数．48和36；35和65；120和80．【答案】48和36最大公约数12，最小公倍数144．35和65最大公约数5，最小公倍数455．120和80最大公约数40，最小公倍数240．【分析】48和36最大公约数12，最小公倍数144．35和65最大公约数5，最小公倍数455．120和80最大公约数40，最小公倍数240．37. 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？【答案】下午3点【分析】简答：[9,60]=180，再过180分钟既响铃又亮灯．38. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？【答案】42【分析】详解：设这两个自然数分别是6a和6b，且a和b互质，那么有6ab=420，6a−6b=18〔不妨设a比b大〕，可解出a10，b=7，较小的数是42．39. 恰好能被6，7，8，9整除的五位数有多少个？【答案】179【分析】6、7、8、9的最小公倍数是504，五位数中，最小的是10000，最大为99999．因为10000÷504=19⋯⋯424，99999÷504=198⋯⋯207．所以，五位数中，能被504整除的数有198−19=179(个)．所以恰好能被6，7，8，9整除的五位数有179个．40. 两个自然数的最大公因数是13，最小公倍数是78，求这两个数【答案】13，78或26，39【分析】假设这两个数是13a和13b且(a,b)=1, 易得13×a×b=78,所以a×b=6, 又a,b互质，那么就有6=1×6=2×3两种情况，所以这两个数为13×1=13, 13×6= 78或13×2=26, 13×3=39．41. 一个数被5除余3，被7除余4，被9除余5，这个数最小是几？【答案】158【分析】在7和9的公倍数中，除以5余1的最小数是126；在5和9的公倍数中，除以7余1的最小数是225；在5和7的公倍数中，除以9余1的最小数是280；那么126×3+225×4+280×5=2678．[5,7,9]=315．所以，最小的数为2678−315×8=158．42. 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长．【答案】2160厘米【分析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为[54,72]=216厘米．在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216÷54=4(个)，216÷72=3(个)，由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4+3−1=6(个)脚印．60÷6=10，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216×10=2160(厘米)．43. 加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？【答案】10名【分析】为了使生产均衡，那么三道工序每小时生产的零件个数应相等，应为6，10，15的最小公倍数，即[6,10,15]=30．30÷6=5，30÷10=3，30÷15=2．所以三道工序最少共需要5+3+2=10(名)工人．44. 有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(>1)与余数(>0)之和都相等，这样的数最小可能是多少？【答案】1081【分析】设这个数为A，根据题意可得：〔1〕A=15a+b，A=17c+d，A=19e+f；〔2〕a+b=c+d=e+f；有前两个条件可得14a=16c=18e,最小公倍数为1008，所以a=72，c=63，e=56；而b最小为1时，d=10，f=17，A=15×72+1=1081．45. 两个数的最小公倍数是420，这两个数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是9，这两个整数是多少？【答案】60和210【分析】设这两个数分别为ma，mb〔m为a,b的最大公约数〕，那么a,b互质，所以有mab=420，a+b=9．420=2×2×3×5×7，因为2+7=9，所以它们的最大公约数是：2×3×5=30；所以一个整数是：2×3×5×2=60，另一个整数是：2×3×5×7=210．46. 兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次．兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？【答案】10月25日．【分析】同时团结一次需要[6,8,12]=24天．十月一日再过24天，就是10月25日．47. 两个正整数的差是21，它们最大公约数与最小公倍数的和为287，那么这两个数的和是多少？【答案】91【分析】设这两个数为A、B，它们的最大公约数为d，A=dx，B=dy，由题有：$\left\{ \begin{gathered}dx - dy = 21 \hfill \\d + dxy = 287 = 7 \times 41 \hfill \\\end{gathered} \right.$，所以可得d=7，进而解得 $\left\{ \begin{gathered}x = 8 \hfill \\y = 5 \hfill \\\end{gathered} \right.$，故而这两个数的和为7×(8+5)=91．48. 计算：(28,72)，[28,72]；(28,44,260)，[28,44,260]．【答案】4，504；4，2002049. 甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，甲、乙两数可以各是多少？【答案】6,36或12,18【分析】设两数分别为6a,6b，那么(a,b)=1，且a×b=36÷6=6，6分解成两个互质的数有两种情况即1和6、2与3，所以这两个数有几种情况：6×1=6、6×6=36〔符合题意〕，6×2=12、6×3=18〔符合题意〕．50. a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c．【答案】60，24，15或120，12，15．【分析】因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15]=60的倍数．再由[a,b,c]=120知，a只能是60或120．[a,c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15．因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，(a,b)=12，[a,b]=120，求a,b．〞当a=60时，b=(a,b)×[a,b]÷a=12×120÷60=24;当a=120时，b=(a,b)×[a,b]÷a=12×120÷120=12.所以a，b，c为60，24，15或120，12，15．51. 两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．【答案】4和60或12和20【分析】由于两个自然数的积=两数的最大公因数×两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是240÷60=4，设这两个数分别为4a、4b，那么(a,b)=1，且a×b=60÷4=15，所以a和b可以取1和15或3和5，所以这两个数是4和60或12和20．52. A、B两个数的最小公倍数是1000；A、C两数的最小公倍数和B、C两个数的最小公倍数都是2000；满足这个要求的数C有四个，分别是多少？【答案】2000、400、80、16【分析】根据题意可知：1000=8×125,2000=2×8×125说明C一定多乘1个2，即C应该是16的倍数．所以16×125=2000；c=16×25=400；c=16×5=80；c=16×1=16，所以满足要求的数C分别是：2000，400，80，16．53. 〔1〕两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数．〔2〕假设两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数．【答案】〔1〕16和27〔2〕180和225【分析】简答：互质的两数的乘积是432，只能是16和27；〔2〕设两个自然数分别是45a和45b，且a、b互质，然后列方程即可．54. 试求120、180、300的最小公倍数．【答案】1800【分析】(120,180,300)=30×2×2×3×5=1800.55. 63，105和165的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？【答案】3；3465【分析】63=7×9，105=3×5×7，165=3×5×11．三者的最大公约数是3，最小公倍数是7×5×9×11=3465.56. a与b的最大公因数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100，而且a⩽b．满足条件的自然数a、b、c共有多少组？【答案】9【分析】设a=4m,b=4n，[a,c]=100,[b,c]=100，100=22×52，100÷4=25，m∣25，m为1、5或25，同理n为1、5或25；因为a⩽b，所以m⩽n．当m=1时，n=5，a=4,b=20，c可能为52、52×2、52×4；当m=5时，n=25，a=20,b=100，c可能为52、52×2、52×4；当m=n=1时，a=b=4，c可能为52、52×2、52×4，一共有3+3+3=9〔组〕．57. 甲数是36，甲、乙两数最大公因数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？【答案】32【分析】根据两个自然数的积=两数的最大公因数×两数的最小公倍数，有：甲数×乙数=4×288，所以，乙数=4×288÷36=32．58. 两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【答案】147或105【分析】假设这两个数是21a和21b，易得21×a×b=126，所以a×b=6，由a和b 互质，那么就有6=1×6=2×3两种情况．所以甲、乙是：21×1=21，21×6=126或21×2=42，21×3=63两种情况．它们的和是147或105．59. 在A到B的公路段上，每30千米设一个慢车站，每50千米设一个快车站，如果相邻两个车站间的路程大于15千米，那么在这段路程的中点设一个维修点．如果一个车站既是慢车站也是快车站，那么在这个车站设一家商店．从A到B共设有7家商店，A和B既是慢车站也是快车站．问：〔1〕从A到B的路程有多少千米？〔2〕从A到B的途中共设有多少个维修点？【答案】900；30【分析】〔1〕计算从A到B的路程和快车站、慢车站的站数．易知A是第1个商店，其余各商店到A的路程是30和50的公倍数，而[30,50]=150，B是第7个商店，所以，从A到B的路程是(7−1)×150=6×150=900(千米)．〔2〕途中的5个商店将全路程等分成6等份，每个等份中快车站、慢车站的设置完全相同，由于A是第1个商店，因此只要考虑从A到第2个商店这一段150千米的路程上的快车站与慢车站的分布情况就可以了．设第2个商店为C点，那么AC=150千米．在AC这一段上〔不包括A,C〕，有4个慢车站，2个快车站，如以下图所示，▫表示快车站，△表示慢车站．从图上可以看出：相邻两站的路程为30千米的路段有3段；相邻两站的路程为20千米的路段有2段；相邻两站的路程为10千米的路段也有2段．其中相邻两站的路程大于15千米的路段共有5段，因此在AC这一路段上应该设有5个维修站点．从A到B全路程上应该设有5×6=30(个)维修站点．60. 计算：(36,99)，[36,99]；(24,28,42)，[24,28,42]．【答案】9，396；2，16861. 两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和是16，这两个整数分别是多少？【答案】175和385【分析】设这两个数分别为ma，mb〔m为a,b的最大公约数〕，那么a,b互质，所以有mab=1925，a+b=16．因为1925=5×5×7×11，由于商的和是16，看约数情况，这里只能是11+5=16；所以2个商应该是11和5，所以这两个数应该是5×7×5和5×7×11；这样除以最大公约数5×7就剩下5和11；所以这两个数就是5×7×5=175和5×7×11=385．62. 恰好能同时被4、5、6整除的三位数有多少个？【答案】15．【分析】4,5,6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有999÷60−1≈15个．63. 甲乙两数的乘积是120，甲、乙两数最大公因数是2，那么甲乙两数的最小公倍数是多少？【答案】60【分析】根据两个自然数的积=两数的最大公因数×两数的最小公倍数，有最小公倍数= 120÷2=60；64. 两个自然数的和是72，它们的最大公因数与最小公倍数的和是216，这两个数分别是几？〔按由小到大的顺序写出〕【答案】30、42【分析】设这两个自然数分别是ad和bd，其中d是这两个自然数的最大公因数．由题意有(a+b)d=72，(1+ab)d=216．所以1+ab=3(a+b)，化简得(a−3)(b−3)=8．由于a+b必是72的因数．所以a=5,b=7,d=6，所以这两个自然数分别是5×6=30和7×6=42．65. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？【答案】36【分析】运用公式，可知4×252÷28=36.66. 设a，b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对(a,b)共有几组．【答案】231【分析】9504=25×33×11，(a,b)所含2的幂的情况可能是(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5);(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有11×7×3＝231(种).67. 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？。

因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。

倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。

“我是老大呀。

” “你是老大？为什么”“你说，一个数的倍数有多少个呀？” “这我知道，一个数的倍数有无数个。

”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。

而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。

你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。

再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。

只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。

刚才是我不对，我向你道歉了。

”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。

在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。

没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。

因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。

课前预习知识框架因数与倍数一、 约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；ba即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,](,)a ba b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；ba 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究。

解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。

乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米丙队：400－160=240（米）答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。

【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解:因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，即是以乙队植树棵数为1倍量，乙队比丙队少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵，所以，三个队植树的总棵数是乙队的（1+1+2=）4倍多300棵，如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍所以乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵）甲队植树棵数=400×2=800（棵）丙队植树棵数=400+300=700（棵）。

答：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。

例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。

这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？分析：徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。

五年级数学倍数与因数试题答案及解析1.既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少？最大两位数又是多少呢？【答案】10，90．【解析】既是2的倍数，又是5的倍数的特征是个位上必须是0，既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少10，最大两位数是90．解：既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少10，最大两位数是90．答：既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少10，最大两位数是90．【点评】此题考查的目的是掌握2、5的倍数的特征．2.分一分，填一填．15、16、20、28、24、17、23、12、21、39．【答案】见解析【解析】根据是2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；不是2的倍数的特征：个位上是1、3、5、7、9的数；写出符合条件的数即可．解：能被2整除的数：16、20、28、24、12；不能被2整除的数：15、17、23、21、39；故答案为：【点评】此题主要考查2的倍数特征，关键是用给出的三个数字写出所以的三位数，进而分类得解．3.说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数．32×2=6442÷3=14 ．【答案】64是2和32的倍数，2和32是64的因数；42是3和14的倍数，3和14是42的因数．【解析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．解：因为32×2=64，即64÷2=32，所以64是2和32的倍数，2和32是64的因数；因为42÷3=14，所以42是3和14的倍数，3和14是42的因数；故答案为：64是2和32的倍数，2和32是64的因数；42是3和14的倍数，3和14是42的因数．【点评】此题考查的是倍数和因数的关系，注意基础知识的积累．4.猜猜我是谁？两个数都是质数，两数之和是8，两数之积是15，这两个数是和．两个数都是质数，两数之和是15，两数之积是26，这两个数是和．【答案】3，5，13，2．【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；然后结合题意，进行依次解答即可．解：（1）两个数都是质数，两数之和是8，两数之积是15，这两个数是3和5；（2）两个数都是质数，两数之和是15，两数之积是26，这两个数是13和2；故答案为：3，5，13，2．【点评】明确质数的含义，是解答此题的关键．5.一个数的倍数一定比它的因数大．（判断对错）【答案】×【解析】根据因数、倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．据此判断即可．解：因为一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，如：6的最大因数是6，6的最小倍数是6．所以，一个数的倍数一定比它的因数大的说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，明确：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身．6.在方格纸上画长方形，使它的面积是18cm2，边长要是整厘米数．（每个小方格的边长是1cm）【答案】见解析【解析】因为18=18×1=9×2=6×3，所以长方形的长和宽可以分别是18厘米和厘米，9厘米和2厘米，6厘米和3厘米，据此即可画出符合要求的长方形．解：据分析画图如下：【点评】此题主要考查长方形的面积公式的灵活应用，以及长方形的画法．7.一个三位数既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是，这个数的因数有．【答案】105，1，3，5，7，15，21，35，105．【解析】根据5的倍数的特征可知：个位上是0，5的数是5的倍数；而且是奇数；据此找到其中最小的三位数解答；然后根据找一个数因数的方法，进行列举即可．解：一个三位数既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是105；这个数的因数有1，3，5，7，15，21，35，105．故答案为：105，1，3，5，7，15，21，35，105．【点评】本题主要考查5的倍数的特征和找一个数因数的方法，注意熟练掌握．8.在1、2、4、5、8、17、20、51这几个数中，奇数有，偶数有，质数有，合数有．【答案】1、5、17、51；2、4、8、20；2、5、17；4、8、20、51．【解析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，本题中的1、5、17、51不是2的倍数，是奇数；是2的倍数的数叫做偶数，本题中的2、4、8、20是2的倍数，是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，本题中的2、5、17只有1和它本身两个因数，是质数；一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如本题中的4.8.20.51除了1和它本身还有其它因数，是合数．解：由奇数、偶数、质数、合数的意义可知：奇数有：1、5、17、51；偶数有：2、4、8、20；质数有：2、5、17；合数有：4、8、20、51．故答案为：1、5、17、51；2、4、8、20；2、5、17；4、8、20、51．【点评】本题重点考查奇数、偶数、质数、合数的意义，只要掌握了意义，是很容易求出答案的．9. 30、50、96这三个数中，既是2的倍数又是5的倍数，既是2的倍数又是3的倍数．【答案】30、50，30、96．【解析】既是2的倍数，又是5的倍数，则是2和5的最小公倍数10的倍数，即只要个位数字是0；个位上的数是0、2、4、6、8且各个数位上的数的和是3的倍数；据此得解．解：30、50、96这三个数中，30、50既是2的倍数又是5的倍数，30、96既是2的倍数又是3的倍数．故答案为：30、50，30、96．【点评】本题主要考查2、5和3的倍数特征，注意牢固掌握2、5和3的倍数特征，灵活运用．10.把72分解质因数为．【答案】72=2×2×2×3×3．【解析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．解：72=2×2×2×3×3，故答案为：72=2×2×2×3×3．【点评】此题考查了求一个数的因数与分解质因数的方法．11.在1﹣20的自然数中，奇数有，偶数有质数有，合数有．【答案】1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；2，3，5，7，11，13，17，19；4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20．【解析】根据偶数及奇数的排列规律可知，奇数与偶数互邻，所以1～20的自然数中奇数有 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19偶数为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；根据质数与合数的定义可知，质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．解：1～20的自然数中奇数有1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，偶数为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．故答案为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；2，3，5，7，11，13，17，19；4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20．【点评】在自然数中，奇数与偶数的排列是有规律的，质数与合数的排列没有规律．12.一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是．【答案】106．【解析】求出3、5、7的最小公倍数再加1即可．解：因为3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105；所以一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是105+1=106；故答案为：106．【点评】本题主要是灵活利用求最小公倍数的方法解决问题．13.除2以外所有的质数都是奇数．．（判断对错）【答案】√【解析】质数是除了一和本身以外没有别的约数．解：因为二是最小的质数，除2以外所有的质数都是奇数．故此题答案√．【点评】此题考查目的是：①质数的定义．②奇数的定义．③质数与奇数的区别．14.一个数，既是48的因数，又是16的倍数，这个数最小是；30以内既是合数又是奇数，这样的数有个．【答案】16，5【解析】①根据“一个数的最大的因数是它本身”可得：这个数最大是48；根据“一个数最小的倍数是它本身”可得：这个数最小是16；②根据奇数、合数的意义，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做合数．30以内既是奇数又是合数的数是9、15、21、25、27．解：①由分析知：一个数既是16的倍数，又是48的因数，这个数最大是48，最小是16；②30以内既是奇数又是合数的数是9、15、21、25、27共5个．故答案为：16，5．【点评】①此题根据因数和倍数的意义进行解答；②此题考查的目的是理解奇数、合数的意义，掌握奇数与合数的区别．15. 2 的所有因数有( )，从小到大15的5个倍数是( )。

五年级数学倍数与因数试题答案及解析1.一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时8人坐一个车也刚好．问这个班最少有多少人？【答案】24人【解析】分析：即求12和8的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：8=2×2×2，12=2×2×3，8和12的最小公倍数是2×2×2×3=24，即这个班至少有24人；答：这个班最少有24人．【考点】求几个数的最小公倍数的方法．2. 1～20的自然数中奇数有个，偶数有个，质数有个，合数有个．【答案】10，10，8，11．【解析】解：1～的自然数中奇数有 20÷2=10（个），偶数为20÷2=10（个）；质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．所以1～20的自然数中奇数有10个，偶数有10个，质数有8个，合数有11个．故答案为：10，10，8，11．【点评】在自然数中，奇数与偶数的排列是有规律的，质数与合数的排列没有规律．3.有一篮子鸡蛋，二个一起拿，三个一起拿，五个一起拿都正好那完，这筐鸡蛋至少有（）A．30个 B．60个 C．120个【答案】A【解析】要求这筐鸡蛋最少有几个，根据题意，也就是求2、3和5的最小公倍数．解：因为2、3和5的最小公倍数是：2×3×5=30．答：这筐鸡蛋最少有30个．故选：A．【点评】关键是把生活问题转化成数学问题，2个2个拿，3个3个拿，5个5个拿，都正好拿完，求最少，也就是求2、3和5的最小公倍数．4.两个相邻自然数的公因数是1．．（判断对错）【答案】√【解析】相邻的两个自然数（0除外）它们的公因数只有1，举例证明．解：4和5、2和3、9和10都是连续的自然数，它们的公因数只有1，所以两个相邻自然数的公因数是1是正确的；故答案为：√．【点评】本题主要考查公因数的意义，注意两个连续自然数（0除外）它们的公因数只有1．5.将全班同学分成7人一组，8人一组，9人一组都差了一人，问全班有同学多少人？【答案】493人【解析】根据每7人一组，8人一组，9人一组都差了一人，要求全班至少有多少人，求出7、8、9的最小公倍数，然后减1即可．解：7、8、9的最小公倍数是7×8×9=494全班至少一共有494﹣1=493（人）答：全班一共有493人．【点评】完成此题，注意如果两个数是互质数，这两个数的最小公倍数就是它们的积．6.一个合数至少有（）个因数．A．2 B．3 C．4【答案】B【解析】自然数中，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．由此可知，一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数即至少有3个因数，如4，共有1，2，4三个因数．解：根据合数的意义可知，一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数，即至少有3个因数．故选：B．【点评】本题重点考查了学生对于合数意义的理解．7.自然数中除了质数就是合数．．（判断对错）【答案】×【解析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数．据此判断即可．解：因为1既不是质数也不是合数，所以自然数中除了质数就是合数．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数．8.两个奇数相加的和一定是的倍数．【答案】2【解析】根据奇数、偶数的性质：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，据此解答．解：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，奇数+奇数=偶数，因此，任意两个奇数的和都是2的倍数．故答案为：2．【点评】此题考查的目的是理解偶数的意义，掌握奇数、偶数的性质．9.因为2是偶数，所以2的倍数一定是合数．（判断对错）【答案】×【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，由此可知，最小的质数是2，而2是2的最小的倍数，所以2的倍数一定是合数说法错误．解：由于最小的质数是2，而2是2的最小的倍数，所以2的倍数一定是合数说法错误．故答案为：×．【点评】明确2是最小的质数同是也是2的倍数，是完成本题的关键．10.一个不为0的自然数不是质数就是合数．．【答案】×【解析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是质数也不是合数．由此解答．解：自然数根据因数个数的多少可以分为：质数、合数和1三类．因此，一个不为0的自然数不是质数就是合数．此说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数．11.三个连续的自然数中一定有一个合数．．（判断对错）【答案】×【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是1，则三个连续的自然数1，2，3都不是合数，所以三个连续的自然数中一定有一个合数是错误的．解：最小的质数是2，最小的合数是1，则三个连续的自然数1，2，3都不是合数，所以三个连续的自然数中一定有一个合数是错误的．故答案为：×．【点评】自然数中从2开始，三个连续的自然数中一定有一个合数是正确的．12.若A=5B（A、B都是非零自然数），下列说法正确的是（）A．A和B的最大公因数是AB．A和B的最小公倍数是BC．A能被B整除，A含有因数5【答案】C【解析】A=5B（A、B都是非零的自然数），说明A是B的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可．解：由题意得，A=5B（A、B都是非零的自然数），可知A是B的倍数，所以：A 和B的最大公约数是B；A 和B的最小公倍数是A；A能被B整除，A含有约数5．只有C说法正确．故选：C．【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．13.老师分糖，可以每人分5颗，可以每人分7颗，可以每人分9颗，那么老师最少有颗糖．【答案】315【解析】因为可以每人分5颗，可以每人分7颗，可以每人分9颗，所以糖的总颗数是5、7、9的最小公倍数，据此解答即可．解：因为5、7、9，两两互质，所以5、7、9的最小公倍数为5×7×9=315，答：老师最少有315颗糖．故答案为：315．【点评】此题属于求两个数的最小公倍数问题，求三个数的最小公倍数，先把这三个数分解质因数，它们公有质因数和独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数．由此解决问题．14.玫瑰花每6天浇一次水，兰花第8天浇一次水，仙人球30天才浇一次水，花匠今天给三种植物浇了水，至少要过多少天后才能给这三种花同时浇水？【答案】至少120天后才能给这三种花同时浇水【解析】此题属于最小公倍数问题，花匠今天给，三种花同时浇了水，求至少多少天后给这三种花同时浇水．也就是求6、8和30的最小公倍数．由此解答．解：6=2×38=2×2×230=2×3×56、8、30的最小公倍数是2×2×2×3×5=120；答：至少120天后才能给这三种花同时浇水．【点评】此题属于求两个数的最小公倍数问题，求三个数的最小公倍数，先把这三个数分解质因数，它们公有质因数和独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数．由此解决问题．15.能同时被2、3、5整除的数中，最小的两位数是，最大的三位数是．【答案】30，990【解析】（1）互质数的最小公倍数是它们的乘积，2、3、5三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，据此求出即可．（2）能同时被2、3、5整除的数中，最大的三位数的末尾应当是0，前两位应当是最大的自然数，据此求出即可．解：2×3×5=30，能同时被2、3、5整除的数中，最大的三位数的末尾应当是0，前两位应当是最大的自然数9，即990，恰好能被3整除；所以能同时被2、3、5整除的数中，最小的两位是30，最大的三位数是990．故答案为：30，990．【点评】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．16.最小的三位数合数是最小的质数的50倍．．（判断对错）【答案】√【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．则最小的质数是2，最小的三位数合数是100，所以最小三位数合数是最小质数的100÷2=50倍．解：最小的质数是2，最小的三位数合数是100，100÷2=50所以最小的三位数合数是最小的质数的50倍说法正确．故答案为：√．【点评】首先根据质数与合数的意义确定最小的质数与最小的三位数合数是几是完成本题的关键．17.自然数（0除外），按照因数的个数可分为、和三类．【答案】1，质数，合数【解析】一个自然数（0除外），只有1个因数的数是1，只有两个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数；进而得出结论．解：由分析知：自然数（0除外）按它的因数的个数可以分为1，质数和合数；故答案为：1，质数，合数．【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义，进行分析、解答即可．18.把一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，最多可裁多少个？【答案】20个【解析】求长方形长与宽的最大公因数作为大正方形的边长，20与16的最大公因数是4，所以用4厘米作为大正方形的边长，长边可裁5个，宽可裁4个边长，本题可以裁20个．解：裁成的正方形的边长是20与16的最大公因数：所以正方形的边长是4厘米，20÷4=5（列），16÷4=4（行），5×4=20（个）．所以画图如下：答：最多可裁20个．【点评】考查了公约数问题，本题关键是运用求最小公因数的方法，求出最大正方形的边长的长度．19.有两个质数，和是18，积是65，这两个质数是（）。

五年级数学倍数与因数试题答案及解析1.（）叫做质数．A．只有一个因数的数B．只有两个因数的数C．有两个因数以上的数【答案】B【解析】质数的定义为：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．解：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数叫做质数，所以质数只有两个因数；故选：B．【点评】本题考查了学生对于质数意义的理解．2.在1~20的自然数中，最大的质数是（）；最下的合数是（）；是偶数但不是合数的是（）；是奇数也是合数的是（）。

【答案】19、4、2、9和15【解析】略3.在35的因数中，有（）个不同的质数。

A.1B.2C.3【答案】B。

【解析】质数是只有1和它本身两个约数的数，合数是除了1和它本身，还有别的约数的数，35的因数有1、5、7、35，其中1既不是质数也不是合数，根据质数、合数的意义可知：35的因数中有5、7两个质数。

4. 12的因数有（）。

16的因数有（）。

【答案】1、2、3、4、6、12；1、2、4、8、16.【解析】略5. 18的因数有（）个，倍数有（）个。

A.无数B.6C.4【答案】B，A【解析】略6.找朋友。

1 2 3 4 5 6 8 10 1216 18 20 24 32 36 42 56 60想一想：既是4的倍数又是60的因数的数是_________________ 。

【答案】答案如下：既是4的倍数又是60的因数的数是4、12、20、60。

【解析】用4乘非零自然数即可找出4 的倍数；所有能整除60的数都是60的因数，可利用短除法将60分解质因数，即可找出60的因数。

7.既是2的倍数又是5的倍数的最大两位数是（）。

【答案】90【解析】根据2、5的倍数的特征可知：这个两位数的个位上必须是0，因为个位上是0的数同时是2和5的倍数，然后从最大的个位是0的两位数找起，据此解答。

8.自然数按是不是2的倍数，可以分为（）和（）。

【答案】奇数，偶数【解析】略9.用哪种盒子正好可以把80块蛋糕全部装完？【答案】B或C。

小学奥数——因数与倍数与整数裂项一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.222.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.1803.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.304.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.185.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.247.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.28.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.59.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.2110.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.1811.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.1112.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.21513.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.3715.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.9017.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.2887035018.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.019.如果20132013201420142012nm⨯=⨯+（其中m与n为互质的自然数），那么m n+的值是()A.1243B.1343C.4025D.402920.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有()人上体育课.A.51B.50C.53D.5721.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有()个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.422.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.423.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.16624.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.1026.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.2428.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.9631.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.3732.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.433.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.534.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多535.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.11237.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.838.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.5339.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和2842.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用( )分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是( )A.30B.3C.28D.1544.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了( )A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有( )个.A.12B.10C.8D.646.一个木工锯一根长22米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长( )米.A.2B.3C.4D.547.把25分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为A ，把26分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为B ，则(A B ) A.2526 B.78 C.56 D.1848.把自然数154写成若干个连续自然数之和（最少有两个数），共有( )种不同写法.A.2B.3C.4D.549.如图所示，将15个点排成三角形点阵或者梯形点阵共有3种不同方法（规定：相邻两行的点数均差1).那么将2014个点排成三角形点阵或者梯形点阵（至少两层）共有( )种不同的方法.A.3B.7C.4D.950.式子20141x为整数，则正整数x有()种取值.A.6B.7C.8D.9参考答案与试题解析一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.22【解析】根据题意得⨯÷2044=÷804=（棵)20故选：C.2.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.180【解析】根据题意得+++⋯++⨯(1231212)2=⨯902=（下)180故选：D.3.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.30【解析】2446÷=（段)615-=（次)⨯=（分钟）5315⨯-=（分钟）2(51)815823+=（分钟）答：全部锯完需要23分钟.故选：A.4.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.18【解析】根据题意得(12159)3++÷=÷363=（棵)12故选：B.5.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对【解析】20.45÷=（段)÷-20(51)=÷204=（分)5÷=（段)20.54⨯-5(41)=⨯53=（分钟）15答：需要15分钟.故选：A.6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.24【解析】2(21)(61)÷-⨯-=÷⨯215=（分钟）10答：锯成6段要10分钟；故选：B.7.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.2【解析】如果把人看做一个点，120(811)÷-=÷120801.5=（米)所以应该是约1.5米，但不是1.5米答：相邻两个人约隔1.5米.故选：B.8.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.5【解析】1(31)(91)÷-⨯-=÷⨯128=（分钟）；4答：它从底楼走到9楼要用4分钟.故选：B.9.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.21【解析】18(101)2÷-=（分钟）÷+=（根)362119答：奶奶36分钟走到了第19根电线杆处.10.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.18【解析】根据分析可得，÷-⨯-，6(31)(71)=⨯，3618=（秒)；答：7点敲7下，18秒钟敲完.故选：D.11.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.11【解析】大桥一边挂彩灯的数量：2022101÷=（盏)灯与灯之间的间隔数：1011100-=（个)相邻2盏彩灯的距离：100010010÷=（米)，故选：C.12.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.215【解析】根据题意可得：①当分子是1时，分母可以从2到59，共58个；②当分子是2、3、5时，因为他们都是质数，因此分母必须大于分子，且不是分子的倍数，当分子是2时，在1到59之间有偶数29个130+=个数不符合条件，所以有593029-=个；当分子是3时，在1到59之间有3的倍数18个321+=个，所以有592138-=个；当分子是5时，在1到59之间是5的倍数的11个415+=个，所以591544-=个；③因为当分子是4时是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=，所以有593128-=个；④分子是6时，6是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=个，又不能是3的倍数，1至59之间不是偶数且是3的倍数有10个，则所以共有--=个.59311018所以分子不大于6而分母小于60的不可约真分数有：582938442818215+++++=（个).故选：D.13.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数【解析】A、比如1226=⨯，2和6不互质，所以b和c是互质数的说法错误；B、比如4886=⨯，8和6不是48的质因数，所以b和c都是a的质因数的说法错误；C、因为a b c=⨯，所以b和c都是a的因数，所以b和c都是a的约数的说法正确；D、比如4886=⨯，8就不是6的倍数，所以b一定是c的倍数的说法错误；故选：C.14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.37【解析】---÷++=(564135)(357)37故选：D.15.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖【解析】由题意，甲种糖一袋改3小袋，乙种糖一袋改4小袋，丙种糖一袋改5小袋，因为奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，而126能被3整除，104能被4整除，205能被5整除，所以甲、乙、丙三种糖的品种依次是奶糖、水果糖、酥糖，故选：B.16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.90【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19千米处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的最小公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955+⨯=千米.故选：C.17.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.28870350【解析】（1）四个选项都是8位数；（2）四选项都是25的倍数，C的数字和是35不是3的倍数.排除C；（3）都满足条件；（4）都满足条件；（5）A，D相等不满足条件；（6）B满足条件.故选：B.18.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.0【解析】根据上面的分析可知：从1~11这11个整数中任意取出6个数，①其中必有两个数互质；此说法正确.③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.此说法正确.故选：B.19.如果20132013201420142012n m⨯=⨯+（其中m 与n 为互质的自然数），那么m n +的值是( )A.1243B.1343C.4025D.4029 【解析】2013201320136712014201420122016672n m ⨯===⨯+， 所以671n =，672m =，1343m n +=.故选：B .20.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有( )人上体育课.A.51B.50C.53D.57【解析】接近50的7的倍数有：49和56，49453+=，56460+=不符合题意，所以这个班有53人上体育课.故选：C .21.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有( )个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题意，可知这两个数分别是20和100；（1）201002000⨯=，所以两个数的乘积是2000，所以原说法正确的；（2）两个数都扩大10倍，最大公约数变为2010200⨯=，是扩大了10倍，所以原说法错误；（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数变为100101000⨯=，是扩大了10倍，所以原说法正确；（4）两个数都扩大10倍，变为200和1000，乘积变为200000，也即两个数乘积扩大100倍，所以原说法正确；正确的说法有3个.故选：C .22.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.4【解析】由分析可知，用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有36和6这两个数.故选：B.23.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.166【解析】每(21)(41)15+⨯+=人就会有1人拿到两种水果.先让12人拿到两种水果，并且在这一行中，两端的两人都拿到了两种水果，因此共：15111166⨯+=（人)；然后从两端去掉最少的人就可以了，要满足左方第一个是苹果，那么左方最少去掉3人，要满足右方第一个拿到橘子，那么右方最少去掉5人；所以最多有：16653158--=（人)；答：这些小朋友最多有158人.故选：C.24.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点【解析】因为9和60的最小公倍数是180，所以180分后既亮灯又响铃，180分钟3=小时；12时3=时；+时15答：在下午3点既亮灯又响铃.故选：B.25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.10【解析】从左往右每隔6厘米染的红点全是6的倍数，从右往左每隔5厘米染红点，100除以5能除尽，说明从左往右和从右往左是一样的，都是5的倍数.只要找出5厘米的倍数和6厘米的倍数就可以.100以内5的倍数是：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100.100以内6的倍数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，5的倍数和6的倍数相差1的是：5和6，24和25，36和35，54和55，65和66，84和85，95和96，所以共有7段长1cm的短木棍.故选：A.26.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段【解析】由于10、12、15的最小公倍数是60，假定这根木棍的长为60.于是，各等分的刻度线的标记处是：十等分：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60.十二等分：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60.十五等分：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60.这样，把有三个刻度线标记处重合的(60)去掉，把有两个刻度线标记处的(12、24、36、48、20、30、40)只算一个，然后在4、5、6、8、10、12、15、16、18、20、24、25、28、30、32、35、36、40、42、44、45、48、50、52、54、55、56处将木棍锯断，共锯了27次.根据植树问题的原理可知：这根木棍共锯成27128+=（段).故选：C.27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.24【解析】解；甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；÷=⋯（天)，36528131而每个28天中，第20天和第28天两人都休息，所以全年共有13226⨯=（天)需要聘请临时工.故选：A.28.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米【解析】因为157.5140117.5÷=⋯，14017.58÷=，所以140和157.5这两个数的最大公约数就是17.5.答：两树间距离最多有17.5米.故选：C.29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19km处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955km+⨯=.故选：C.30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.96【解析】8222=⨯⨯，=⨯⨯⨯⨯⨯，96222223所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2222232⨯⨯⨯⨯=和⨯⨯⨯=；222324这两个二位数的和是：322456+=；故选：A.31.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.37【解析】第一种安排：10个站点；第二种安排：12个站点；第三种安排：15个站点.其中，三种安排的起点终点是相同的，要减掉4个站点又，第一种安排和第二种安排有一个站点重合，减掉1个站点（因为10和12在100以内只有一个公倍数60)第二种安排和第三种安排有一怠伐糙和孬古茬汰长咯个站点重合，减掉1个站点（因为12和15在100以内只有一个公倍数60)第一种安排和第三种安排有三个站点重合，减掉2个站点(10和15在100以内有三个公倍数30、60、90，其中60已经减过一次）所以总共是29个站点.故选：B.32.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题干分析可得：=⨯⨯⨯，2102357符合题意的两个合数为：⨯；23⨯和57⨯；⨯和3725⨯；27⨯和35共有3对.故选：C.33.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.5【解析】a和b的公因数有1、3、7、21，共有4个；故选：C.34.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多5【解析】根据分析可得，树的总棵数5=⨯行数4+，即树的总棵数比5的倍数多4；故选：C.35.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定【解析】标有1到200的200张数字卡片，是3的倍数的有198366÷=个，可能性为：33 66200100÷=；答：号码是3的倍数的可能性是33 100；故选：A.36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.112【解析】7和8的最小公倍数是；7856⨯=；故选：B.37.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.8【解析】(7525)(75150)÷⨯÷35=⨯15=（块)；答：用这样的红砖拼成一个正方形最少需要15块.故选：A.38.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.53【解析】第一次：因为每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是2的倍数加上1；第二次：因为倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上，所以地砖数是3的倍数减去1；第三次：因为从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是5的倍数加上2；在答案39，40，47，49，53中，只有47符合要求；故选：C.39.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数【解析】A、因为a b c=⨯，所以a一定是b的倍数，正确；B、因为a b c=⨯，所以a b c÷=，a一定能被b整除，正确；=⨯，a一定是b和c的最小公倍数，不成立；C、a b cD、a b c=⨯，所以a b c÷=，b一定是a的约数.故选：C.40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍【解析】根据圆的周长和面积公式可知，圆的周长和半径成正比例，圆的面积与半径的平方成正比例，所以圆的直径缩小2倍，即圆的半径缩小2倍，则圆的周长缩小2倍，圆的面积就缩小2=倍，24故选：A.41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和28【解析】A，13是质数，91713=⨯，它们的最大公因数是13；B，2137=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是3；C，34217=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是17；D，1535=⨯，28227=⨯⨯，它们的公因数只有1.故选：D.42.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用()分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对【解析】3(51) 4⨯-344=⨯3=（分钟）答：用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用3分钟.故选：B.43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是()A.30B.3C.28D.15【解析】根据题意可知：花坛的周长15230=⨯=（米)；故选：A.44.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了()A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分【解析】1(51)4⨯-=（分钟）3515⨯=（分钟）2时30分4+分钟15+分钟2=时49分答：她折好第5个纸鹤时已经到了2时49分；故选：B.45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有(。