小学五年级奥数 因数与倍数(一)

五年级奥数倍数问题 Last revision date: 13 December 2020.五年级奥数训练——倍数问题（一）姓名：例１两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。

原来两根铁丝各长多少厘米？练习一两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。

这两个加数各是多少？例2甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。

原来甲组有图书多少本？练习二原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。

原来二人各有多少张画片？例3幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。

大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。

大班共有多少个同学？练习三高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。

如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。

两种树苗原来各有多少棵？例4有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。

甲、乙两筐原来各有多少个桔子？练习四甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。

原来两仓各存货物多少吨？例5甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。

若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。

甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？练习五果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。

果园里有桃树和梨树各多少棵？课堂练习1、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。

原来两筐水果一共有多少个？2、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。

因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。

你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。

因数与倍数相关习题（1）一、填空题1．28的所有因数之和是_____.2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10. 含有6个因数的两位数有_____个.11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14. 已知a 与b 的最大公因数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组?(例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2⨯2⨯7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23⨯29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5. 40或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36÷36=1(只)每个小朋友可分得桔子: 108÷36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.因为48=2⨯2⨯2⨯2⨯3,42=2⨯3⨯7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)⨯(42÷6)=8⨯7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)⨯(45÷9)⨯(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有6个因数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么5a M =或b a M ⨯=2因为M 是两位数，所以M = a 5只有一种可能M =25，而M = a 2⨯b 就有以下15种情况：72,52,32222⨯=⨯=⨯=M M M ，172,132,112222⨯=⨯=⨯=M M M ，23,232,192222⨯=⨯=⨯=M M M ，113,73,53222⨯=⨯=⨯=M M M ，27,35,25222⨯=⨯=⨯=M M M .所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得1111=11⨯101最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101⨯2,101⨯3,101⨯5,它们的和恰好是101⨯(1+2+3+5)=101⨯11=1111,它们的最大公因数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是432与8312的“最小公倍数”499，即跳了499411÷=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是214和8312的“最小公倍数”299，即跳了299÷29=11次掉进陷井. 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是214⨯9=40.5(米). 14. 先将12、300分别进行质因数分解：12=22⨯3300=22⨯3⨯52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12⨯5(=60)或12⨯25(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或12⨯5,或12⨯25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，52⨯2，52⨯22，52⨯3，52⨯2⨯3，52⨯22⨯3，即25，50，100，75，150，300. 所以满足条件的自然数a、b、c共有5⨯6=30（组）因数与倍数相关习题（2）一、 填空题1．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.8． 能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1, 那么至少要分成_____组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用285、5615、2011分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数最小是几?14. 有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答 案——————————————————————答 案:1. 9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数. 2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2⨯8⨯7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板1416112112⨯⨯=7⨯8=56(块) 4． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块769126126126⨯⨯⨯⨯=14⨯21⨯18=5292(块) [注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12⨯第一群猴子只数=15⨯第二群猴子只数=20⨯第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7. 421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为999999÷1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2⨯13,91=7⨯13,143=11⨯13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成3组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3⨯5，21=3⨯7，35=5⨯7，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数⨯甲乙的最大公因数=甲数⨯乙数”，将210⨯330分解质因数，再进行组合有210⨯330=2⨯3⨯5⨯7⨯2⨯3⨯5⨯11=22⨯32⨯52⨯7⨯11=（2⨯3⨯5）⨯（2⨯3⨯5⨯7⨯11）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7⨯11=77（倍）.11. 根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00至20:00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.60⨯14÷80=10…40分钟由此可知,20:00前40分钟,即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数⨯乙数=倍⨯约约约乙数甲数⨯⨯=约约约倍⨯⨯，所以：约乙数约甲数⨯=约倍，约乙数约甲数⨯=12 将12变成互质的两个数的乘积：①12=4⨯3，②12=1⨯12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的4倍，一个是它们最大公因数的3倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.18÷(4-3)=18甲乙两数,一个是:18⨯3=54，另一个是：18⨯4=72.再看②,18÷(12-1)=1171,不符合题意,舍去. 13. 依题意,设所求最小分数为N M ,则 285÷N M =a 5615÷N M =b 2011÷N M =c 即528⨯N M =a 1556⨯N M =b 2120⨯N M =c 其中a ,b ,c 为整数. 因为NM 是最小值,且a ,b ,c 是整数,所以M 是5,15,21的最小公倍数,N 是28,56,20的最大公因数,因此,符合条件的最小分数: N M =4105=4126 14. (1)根据2号~15号同学所述结论,将合数4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2⨯3,8=23,9=32,10=2⨯5,12=22⨯3,14=2⨯7,15=3⨯5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是22⨯3⨯5⨯7⨯11⨯13=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.。

第二周因数和倍数（一）1.因数和倍数（一）[题型概述]大家都知道，求一个数的因数可以采用列举的方法，通过找因数，我们还能解决一些有趣的问题。

今天，我们学习与因数有关的知识。

[典型例题]求80和144的因数各有多少个?思路点拨我们不妨从1开始，慢慢地进行列举。

80=1×80=2×40=4×20=5×16=8×10。

因此，80的因数有2×5=10个。

同样道理，144=1×144=2×72=3×48=4×36=6×24=8×18=9×16=12×12。

最后的“12×12”只能算144有12这个因数。

所以，144的因数有2×7+1=15个。

同学们需要注意：80的因数有双数个；144是完全平方数，它的因数有单数个。

所以，完全平方数的因数有单数个，其他数的因数都有双数个，这个结论非常重要。

[举一反三]1.求60和90的因数各有多少个？2.求196的因数有多少个？3.甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。

[拓展提高]一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数的因数中，最大的是几？思路点拨根据题意，这个数为5322357⨯⨯⨯。

在从大到小的两位数中，由于22⨯⨯，所以，它们都不是这个数的因数，97也不是。

99=311,98=275⨯，因此，96是这个数的因数，并且没有比96更大的两位数的因数96=23了。

所以，这些两位数的因数中最大的是96。

[奥赛训练]4.把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。

5.和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78日元；秋刀鱼，每条104日元。

每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。

第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。

解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7，若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。

例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。

解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n −1=M n 。

解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。

因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1，所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。

第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。

例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。

例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。

2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。

最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。

3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数。

③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。

1. 五年级奥数约数与倍数（一）学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念[1]约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；[2]公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；[3]最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；[4]0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．[如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的]．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数[1]倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数[2]公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数[3]最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

因数与倍数专题提高（3月5日）
专题精华
几个自然数a,b 的最大公因数记作（a,b）,若（a,b）=1,则a和b互质。

自然数a,b的最小公倍数可以记作[a,b],当（a,b）=1时，[a,b]=axb。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数x最小公倍数=两数的乘积。

掌握以上数量关系，根据题目中的已知条件，就可以解决因数与倍数的问题。

教材深化：
1.1 小张，小王，小李三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，小张3天去一次，小王4天去一次，小李5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会。

问至再过多少天他们三人又在图书馆相会？
1.2 某市3路，5路，8路车都从东站出发，3路车每隔10分钟发一次车，5路车每隔15分钟发一次车，而8路车每隔20分钟发一次车。

当这三种路线的车同时发车后，至多少分钟后这三种路线又同时发车？
1.3 大雪后的一天，小轩与爸爸共同步测一个圆形花园的周长。

他们走的起点，路线，方向完全相同。

小轩的步长为54厘米，爸爸的步长为72厘米。

由于两人的脚印有重合，所以雪地只留下60个脚印。

这个花坛的周长是多少？
1.4 四个连续的自然数，它们从小到大一次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。

这四个连续自然数的和最小是多少？
2.1两个数的最大公因数是10，最小公倍数为140。

已知其中一个数为70，则另一个数是
多少？
2.2 现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使4个数的公因数尽可能大，那么四个数的公因数最大可能是多少？
生活数学：
感受奥赛：。

因数和倍数奥数辅导讲义
能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？
拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？
拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？
拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？
例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？
拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？
拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。

能够经过若干次翻动，使硬币正面全部朝下，反面全部朝上？。

五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。

例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。

例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。

2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。

最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。

3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。

4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。

② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。

③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。

5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。

例如：三个连续自然数的乘积是不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的素数，用这些素数去除p，如没有能够除尽的那么p就为素数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性素149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是素数.四、最大公约数1、公约数思考：六一儿童节这天，老师带着24名女生和32名男生做游戏，要求把这些学生分成人数相等的若干组，每小组中男生和女生人数都相同，最多可分成几组？上面中间数字1、2、4、8就是这两部分共有的因数，我们就叫做公因数，其中8是最大的因数，就叫做最大公因数。

2、最大公约数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

3、求最大公因数的方法（1）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；（2）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；6003151285÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；315285130÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；28530915÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；301520÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；所以1515和600的最大公约数是15．五、最小公倍数1、公倍数思考：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，早上6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？像上面12、24等就是3和4的公倍数，其中12是最小的，就叫做最小公倍数。

可编辑修改精选全文完整版教学内容因数与倍数（一）1、理解倍数、因数、质数、合数的概念教学目标2、掌握质因数的分解重点：理解倍数、因数、质数、合数的概念教学重、难点难点：掌握质因数的分解1、右边的三个图形分别是从什么方向看到的？填一填。

2、在5 9 14 18 15 20 21 24 90 45 2 19这些数中，①奇数有（）；偶数有（）；质数有（）；合数有（）；②2的倍数有（）；3的倍数有（）；③既是2的倍数也是5的倍数有（）；④既是2和5的倍数，又有因数3的有（）。

一、知识点归纳因数与倍数、质数与合数（1）一个因数的个数是（），其中最小的因数是（），最大的因数是（）（2）一个数的倍数是的个数是（），一个数的最小的倍数是（），（）最大的倍数。

（3）2的倍数的特征：（）（4）5的倍数的特征：（）（5）3的倍数的特征：（）（6）一个数，如果只有（）和（）两个因数，这样的数叫质数，一个数，如果除了（）和（）还有别的因数，这样的数叫合数（7）因为4×5=20，所以（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。

（8）6的全部因数有（），50以内6的倍数有（）。

（9）如果a、b是不为0的自然数，且b÷a=5，那么a是b的（），b是a的（）。

二、例题剖析1.倍数和因数例1: 根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。

例2:写出因数与倍数（1）写出100以内，所有9的倍数（）（2）50以内，所有4的倍数（）（3）写24的全部因数：（）100以内所有的8的倍数：（）既是24的因数又是8的倍数：（）例3:从0、5、6、7四个数中，选择两个数组成两位数。

2的倍数（）共5个。

2．玲玲今年11岁，爷爷今年74岁。

再过几年，爷爷的年龄是玲玲年龄的4倍？3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。

符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？4、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。

五年级倍数与因数知识点在五年级的数学学习中，倍数与因数是一个重要的概念，它为我们后续学习数学知识打下了坚实的基础。

下面就让我们一起来深入了解一下吧！一、什么是因数因数，简单来说，就是能够整除一个数的数。

比如 6 ÷ 2 ＝ 3，2 和3 就是 6 的因数。

又比如 12 ÷ 3 ＝ 4，3 和4 就是 12 的因数。

要找出一个数的因数，可以从1 开始，依次用这个数除以每个整数，如果能整除，那么除数和商就是这个数的因数。

以 18 为例，18 ÷ 1 ＝18，18 ÷ 2 ＝ 9，18 ÷ 3 ＝ 6，所以 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。

因数有一些特点需要我们注意。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。

二、什么是倍数倍数则是指一个数乘以整数所得到的结果。

比如 3 × 5 ＝ 15，15 就是 3 的 5 倍。

同样，4 × 6 ＝ 24，24 就是 4 的 6 倍。

如果说一个数是另一个数的倍数，那么这个数一定能被另一个数整除。

例如 20 是 5 的倍数，因为 20 ÷ 5 ＝ 4。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

三、因数和倍数的关系因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说一个数是因数或者一个数是倍数，应该说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

比如 6 ÷ 2 ＝ 3，我们可以说 2 和 3 是 6 的因数，6 是 2 和 3 的倍数。

四、常见的倍数特征1、 2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。

比如 10、12、14 等等。

2、 3 的倍数特征：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。

例如 12，1 ＋ 2 ＝ 3，3 是 3 的倍数，所以 12 是 3 的倍数。

3、 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。

五年级因数倍数奥数一，判断1，两个质数的积是39，这两个质数的和是40.（）,2，在11到20的10个数中，所有的质数和是70（）3，一个奇数和一个偶数（0除外），它俩的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是合数。

（）4，两个合数一定不是互质数（）。

,5，最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7（）6，六位数MNNNMN，其中N=6.要使这个六位数既是2的倍数又是3的倍数，那么代表M的数字只能是6.（）7，相邻的两个奇数一定是互质数。

（）。

8，是12的倍数的数一定是12的因数的倍数。

（）9，a,b,c是三个不同的非零的自然数，如果a/b=c,那么，a的因数至少有 3个。

（）10，甲数是乙数的的2倍，乙数一定是甲数的因数。

（）。

二，填空1，三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。

2，三个连续自然数的和是33，这三个数的最小公倍数是（）。

3，三个质数的最小公倍数是105，这三个质数是（）。

4，1路汽车每3分钟发一次，3路汽车每5分钟发一次，两辆汽车同时发车，至少再过（）分钟后有同时发。

5，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，丙每秒跑4米，三人沿着600米的环形跑道从同一点同时同向跑步，经过（）秒三人有同时从出发点出发。

6，AB两只青蛙进行跳跃比赛，A每次跳10cm,B每次跳15cm，他们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，再比赛途中，每隔12米有一陷阱，当他们中第一只掉进陷阱时，另一只距离它最近的陷阱（）cm.7,在1×2×3×4×5×·····×2002的积中，末尾有（）连续的0.一，判断1，两个质数的积是39，这两个质数的和是40.（）,2，在11到20的10个数中，所有的质数和是70（）3，一个奇数和一个偶数（0除外），它俩的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是合数。

（）4，两个合数一定不是互质数（）。

五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。

不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。

XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。

可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。

已知小船最初在南岸。

1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。

他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。

你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。

因数与倍数（一）【课本同步】1、一只框内共有100个苹果，如果不一次拿出，也不一个个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么一共有多少种不同的拿法？2、四个连续自然数的积是3024，求这四个数。

3、一个同学在公园游玩，他在湖的左右岸之间来回划船，如果他最初在左岸，经过若干次后，他到了右岸，那么这个同学横渡湖面的次数是奇数还是偶数？4、1+2+3+4+5+……999+1000的和是奇数还是偶数？5、将1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，那么乘积中的偶数多还是奇数多？6、四个连续奇数的平均数是8，这四个奇数分别是多少？7、15个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？【奥数训练】8、有一列数：1、1、2、3、5、8、13、21……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，那么在前2000个数中有几个偶数？9、桌上放着5枚正面朝上的硬币，小明开始翻硬币，每次随意翻转2枚，翻转若干次后，小明捂住其中1枚硬币，这时另外的4枚硬币正好是两反两正，那么小明捂住的那枚硬币哪面朝上？10、能不能把2000写成10个连续自然数之和（如55可以写成55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）？如果能，把它写出来；如果不能，请说明理由？11、某班同学参加学校的数学竞赛，试题共20道，评分标准是答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分，请说明：不管情况如何，这个班的得分总数一定是偶数。

12、一间会议室有9盏灯，从1—9依次编号，开始时，只有编号是2、6、9的是灯亮着的，一个同学按1—9，再从1—9的顺序不停地拉开关，一共拉了300下，这时编号是几的灯不是亮着的？13、有20个自然数，它们的和是1999，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多，那么这些数里偶数至少有多少个？14、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且它们年龄相乘的积是360，那么其中年龄最大的一个是多少岁？15、在算式 +91= 中，已知盖住的是一个能被9整除的两位数，盖住的是7的倍数，问盖住的数是多少？16、四个连续奇数的乘积是19305，这四个奇数中最大的一个是多少？17、红红买了3支铅笔，5支圆珠笔，8本笔记本和12块橡皮作为奖品奖励给班上同学，已知铅笔0.8元一支，圆珠笔1.8元一支，其余的单价红红忘了，售货员阿姨让红红付42.4元钱，售货员阿姨有没有算错，为什么？（笔记本和橡皮的单价均为整元数）18，从1 ——100的自然数中，所有不能被8整除的数之和是多少？19，一个三位数能被9整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是7的倍数，这样的三位数中最大是几？20，一个七位数“2009 ”能同时被4,9,5整除，里各应填什么数？21，一个有199位数字的整数：1001001001001……1001，被13除，余数是多少？22，有一个六位数，前四位是2857，即2857 ，这个数能被11和13整除，请写出后两位数。

经典奥数：因数与倍数（专项试题）一．选择题（共6小题）1．有两根绳子，一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余，每小段最长（）厘米．A．24B．6C．122．红旗小学六年级有男生48人，女生36人．男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有（）人．A．4B．6C．12D．163．有一张长方形纸，长70cm，宽50cm．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是（）厘米．A．5B．10C．15D．204．学校图书室新购进一些图书，如果每24本一包，能够正好包完．如果每16本一包，也能正好包完．图书室至少买了（）本图书．A．48B．64C．96D．245．淘气与笑笑同时从环形跑道的起点出发，淘气跑一圈需要4分钟，笑笑跑一圈需要6分钟，至少（）分钟后两人还能在起点相遇．A．8B．10C．12D．246．如果把两根长度分别为40厘米和56厘米的塑料管截成长度相等的吸管，并且都没有剩余，每根吸管最长是（）厘米．A．1B．2C．4D．8二．填空题（共6小题）7．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒黄灯5秒，红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时千米的速度行驶．8．暑期，东东和明明到图书馆看书，东东每4天去一次，明明每6天去一次．8月13日两人在图书馆相遇，8月日他们下次相遇．9．六一班有学生48人，六二班有学生54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组去大扫除，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多人．10．王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支。

王老师这盒铅笔至少有。

11．有些自然数。

它加1是2的倍数，它的2倍加1是3的倍数，它的3倍加1是5的倍数，那么所有这样的自然数中最小的一个是。

小学五年级奥数倍数问题倍数问题（一）一、知识要点倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。

解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。

二、精讲精练【例题1】两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。

原来两根铁丝各长多少厘米？【思路导航】由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。

因此，8÷（3－1）=4（厘米）。

就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26=30厘米。

练习1：1.两个数的和是682.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。

这两个加数各是多少？2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。

两根绳子原来各长多少米？【例题2】甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。

原来甲组有图书多少本？【思路导航】甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。

事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。

因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有12＋6=18本，甲组原来有18×3=54本。

练习2：1.原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。

原来二人各有多少张画片？2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。

从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。

原来下层有多少本书？【例题3】幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。

大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。

五年级奥数因数倍数进阶因数倍数进阶知识引入1、因数和倍数如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b=c，那么a 和b都是c的因数，c是a和b的倍数。

[注：在研究因数和倍数的时候，小学阶段所涉及的数指的是自然数（一般不包括）]一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

2、因数和倍数的关系二者是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。

3、求一个数的因数和倍数的方法（1）求一个数的因数的方法：找一个数的因数时，应从最小的因数找起，一直找到它本身；也可以一对一对地找，如12的因数有：1、12、2、6、3、4。

一个数的因数的个数是有限的。

（2）求一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4…所得的积就是这个数的倍数。

没有大小限制时，一个数的倍数的个数是无穷的。

4、求因数个数与所有因数的和（1）求任一整数因数的个数一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为23527，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。

(包括1和1400本身)难点在于公式的逆推，有相称一部分常考的偏困难型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有几何个因数，然后再结合其他几个前提将原数“复原构造”出来，大概是“构造出可能的最值”。

（2）求任一整数的所有因数的和一个整数的所有因数的和是在对其严厉分化质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂乞降，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。

如：233537，所以所有因数的和为(122223)(13)(155253)(17)此公式没有第一个公式经常使用，推导进程相对复杂，需要很多步提取公因式，规律性的记忆即可。

第二讲倍数与因数(最小公倍数与最大公因数(1))ʌ知识概述ɔ如果一个非零自然数a能被非零自然数b整除,我们就可以说a是b的倍数,b是a的因数㊂几个自然数公有的倍数称为这几个数的公倍数㊂公倍数中除零以外的最小的一个大于零的公倍数,叫做这几个数的最小公倍数㊂一般用[a,b]表示a㊁b的最小公倍数,例如[4,6]=12, [6,8,12]=24㊂几个自然数公有的因数,叫做这几个自然数的公因数㊂公因数中最大的一个数,称为这几个数的最大公因数㊂一般用(a,b)表示a㊁b的最大公因数㊂如(6,9)=3,(6,8,12)=2㊂若(a,b)=1,称a与b互质㊂例题精学例1五年级三个班分别有30㊁24㊁42人参加课外科技活动,现在要把参加的人分成人数相等的小组,且各班同学不能打乱,那么每组最多多少人?此时一共可以分成多少个小组?ʌ思路点拨ɔ第一个班有30人参加活动,要把这30人分成人数相等的小组,那么每组的人数必须是30的因数㊂同样道理,第二㊁三班每组的人数也应该是24和42的因数㊂那么要想每组人数尽量多,所以每组人数必须是30㊁24㊁42的最大公因数㊂而30=2ˑ3ˑ524=23ˑ342=2ˑ3ˑ7所以(30,24,42)=2ˑ3=6,每组最多应有6人㊂137同步精练1.求(180,840,150)㊂2.某厂召开职工代表大会,三个车间分别有32人㊁40人㊁24人参加㊂现在大会要编成若干组进行讨论交流,编组时各车间人员不打乱而且每组人数要相等,每组最多有几人?要编成多少组?3.有336个苹果㊁252个梨子㊁210个桔子,用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,三种水果各有多少个?138例2有一种长16厘米㊁宽12厘米的塑料扣板,如果用这种扣板拼成一个正方形,最少需要多少块?ʌ思路点拨ɔ用若干块这样的扣板拼成一个正方形后,这个正方形边长的厘米数应该是长方形长的厘米数的倍数,也是长方形宽的厘米数的倍数㊂从而,正方形边长的厘米数就是长和宽厘米数的公倍数,要使用的长方形扣板块数最少,边长应是长与宽厘米数的最小公倍数,即[16,12]= 48(厘米)㊂同步精练1.求56,36,284的最小公倍数㊂2.三个人绕环行跑道练习骑自行车,他们骑一圈的时间分别是半分钟㊁45秒和1分15秒㊂三人同时从起点出发,最少需要多长时间才能再次同时在起点相会?3.晨风机械厂加工一批机器零件,要经过三道工序㊂第一道工序每人每小时做18件;第二道工序每人每小时做12件;第三道工序每人每小时做24件㊂各道工序上最少应安排多少人,才能使生产顺利进行(不在某道工序上出现积压或等待)?139例3甲对乙说: 我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍㊁4倍㊁3倍㊁2倍㊂ 试求出甲㊁乙现在的年龄㊂ʌ思路点拨ɔ甲和乙的年龄变化时,他们的年龄差始终不会改变㊂甲现在的年龄是乙的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数;同理,他们的年龄差也是5,4,3,2的倍数㊂由此可见,甲㊁乙的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数㊂[6,5,4,3,2]=60,说明甲㊁乙的年龄差应是60的整数倍,考虑到年龄的实际情况,甲和乙的年龄差应是60岁㊂同步精练1.有一个钟,每走9分钟亮一次灯,每到整点时响一次铃㊂中午12点时,既响铃又亮灯㊂问:下一次既响铃又亮灯是几点钟?2.一段长90厘米的绳子,每隔2厘米点一个点,再每隔3厘米点一个点,最后在有点的地方将绳子剪断,共剪成了多少段?3.有两个相互啮合的齿轮,小齿轮有200个齿,大齿轮有300齿,当小齿轮比大齿轮多转15转时,大㊁小齿轮各转了多少转?140141例4 写出三个小于20的自然数,它们的最大公因数为1,但两两均不互质,共有几组?ʌ思路点拨ɔ 这三个数两两均不互质,所以每两个数的最大公因数都大于1,每两个都有公共的质因数㊂设p 是第一个数与第二个数的质因数,q 是第二个数与第三个数的质因数,r 是第一个数与第三个数的质因数㊂由于三个数的最大公因数是1,所以p ㊁q ㊁r 各不相同,第一个数被p r 整除,第二个数被p q 整除,第三个数被q r 整除㊂这三个数都小于20,所以p ㊁q ㊁r 只能是2,3,5(3ˑ7已经大于20),三个数是10=2ˑ5,6=2ˑ3,15=3ˑ5或10㊁12㊁15;10㊁18㊁15㊂同步精练1.用一个数去除31,61,76都余1,这个数最大是多少?2.能同时被6,7,8,9整除的五位数有多少个?3.在被除数小于100的条件下,在方格中填上适当的数㊂ ː =4 4 =5 5 =6 6ìîíïïïïï练习卷1.求[60,75,90];(48,36,84)㊂2.把一张长120厘米㊁宽80厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸(纸不能有剩余),至少能裁成多少张?3.育才中学初一(3)班有男同学27人,女同学18人,全班同学去划船(每条船不超过6人),要保证每条船上男㊁女同学都分别相等,至少应该租几条船?4.有一种地板砖,长20厘米,宽15厘米,至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形?1425.小红㊁小明和小李三名同学沿环形跑道跑步,小红跑完一圈需6分钟,小明跑完一圈需4分钟,小李跑完一圈需7分钟,三人同时从A地同向出发,几分钟后,三人又会在A地相会?6.一条路长96米,从一端起,在一侧每隔4米栽一棵松树(两端都栽)㊂现在再每隔6米栽一棵柏树,已栽上松树的地方就不再栽柏树,这条路上一共需栽多少棵树?7.一箱鸡蛋,四个四个数多3个,五个五个数多4个,七个七个数多6个,这箱鸡蛋至少有多少个?1438.有一个班的同学包车旅游,如果增加一辆车,正好每辆车坐10人,如果减少一辆车,正好每辆车坐15个,这个班共有多少人?9.在1000~10000之间,能同时被12,16,24,28整除的数有多少个?10.从0~9这9个数字中选出四个数字组成四位数,使它能被3,5, 7,11整除,这四个数最大是多少?144293次数之和是1+1=2㊂故知,不管是多少人参加象棋比赛,也不管比赛了多少盘,所有参加比赛的人比赛盘数之和都是2的倍数,即为偶数㊂但6+5+6+4+3+2+5=31是个奇数,故知统计员肯定统计错了㊂9.根据 奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数 及第一个数4是偶数,第二个数5是奇数,按照这列数的组成规律知,这列数的奇偶性依次为:偶㊁奇㊁奇㊁偶㊁奇㊁奇㊁偶㊁奇㊁奇㊁可见,这列数的排列规律是以3个数为一组,其中第一个是偶数,后两个是奇数㊂1000ː3=333 1333+1=334(个)故知这列数前1000个数(含1000)中偶数有334个㊂10.分析:设某个五位数为a b c d e ,它改变数字顺序得到新的五位数是a 1b 1c 1d 1e 1㊂如果 a b c d e +a 1b 1c 1d 1e 199999因为e ,e 1最大只能是9,所以e +e 1=18<19,所以个位相加不可能进位,即e +e 1=9,同理d +d 1=9,c +c 1=9,b +b 1=9,a +a 1=9,又因为这两个数只是五个数字调换顺序,因此2ˑ(a +b +c +d +e )=(a +b +c +d +e )+(a 1+b 1+c 1+d 1+e 1)=9+9+9+9+9=45显然2ˑ(a +b +c +d +e )是偶数,而45是奇数,因为奇数ʂ偶数,所以这两个数的和不能是99999㊂解:如果两数的和为99999,各位数相加必没有向前进位,又因为这两个五位数只是五个数字的顺序不同,因此这两个五位数的各位数字和一定是偶数,而9+9+9+9+9=45是奇数,奇数ʂ偶数,所以这两个数的和不可能是99999㊂第二讲 倍数与因数(最小公倍数与最大公因数(1))例1 (30,24,42)=6,(30+24+42)ː6=16(组)㊂答:每组最多6人,一共可以分成16组㊂[同步精练]1.180=22ˑ32ˑ5,840=23ˑ3ˑ5ˑ7,150=2ˑ3ˑ52,(180,840,150)=2ˑ3ˑ5=30㊂2.(32,40,24)=8,(32+40+24)ː8=12(组)㊂答:每组最多有8人,要编成12组㊂3.(336,252,210)=42(份),336ː42=8(个),252ː42=6(个),210ː42= 5(个)㊂答:最多可以分成42份同样的礼物,在每份礼物中苹果有8个,梨子有6个,桔子有5个㊂例2[16,12]=48(厘米),(48ː16)ˑ(48ː12)=3ˑ4=12(块)㊂答:至少需要12块㊂[同步精练]1.[56,36,284]=357842.[30,45,75]=450(秒)=7分30秒㊂答:三人最少需要7分30秒才能再次同时在起点相会㊂3.[18,24,12]=72,第一道工序要安排72ː18=4(人),第二道工序应安排72ː12=6(人),第三道工序应安排72ː24=3(人)㊂例3[6,5,4,3,2]=60,60ː(7-1)=10(岁),10ˑ7=70(岁)㊂答:甲现在70岁,乙现在10岁㊂[同步精练]1.[9,60]=180(分)=3(时)㊂答:下一次既响铃又亮灯是下午3时㊂2.90ː2=45(段),90ː3=30(段),[2,3]=6(厘米),90ː6=15(段),45+30-15=60(段)㊂答:共可剪成60段㊂3.[200,300]=600(齿),600ː200=3(转),600ː300=2(转),3-2=1(转),3ˑ(15ː1)=45(转),45-15=30(转)㊂答:大齿轮转了30转,小齿轮转了45转㊂例410㊁6㊁15或10㊁12㊁15或10㊁18㊁15共3组㊂[同步精练]1.这个数是31-1=30,61-1=60,76-1=75的最大公因数15㊂2.[6,7,8,9]=504,504ˑ20=10080,504ˑ198=99792,198-20+1=179㊂共有179个㊂3.60ː14=4 4,60ː11=5 5,60ː9=6 6练习卷1.[60,75,90]=900,(48,36,84)=122.(120,80)=40,(120ː40)ˑ(80ː40)=3ˑ2=6(张)㊂答:至少能裁6张㊂3.(27,18)=9(条)㊂答:至少要租9条船㊂4.[20,15]=60(厘米),(60ː20)ˑ(60ː15)=12(块)㊂答:至少要12块才能拼成一个实心的正方形㊂5.[6,4,7]=84(分)㊂答:84分钟后,三人又会在A地相会㊂6.96ː4+1=25(棵),[4,6]=12,96ː6-96ː12=8(棵),25+8=33(棵)㊂答:294这条路上一共需栽33棵树㊂7.[4,5,7]=140(个),140-1=139(个)㊂答:这箱鸡蛋至少有139个㊂8.[10,15]=30(人),30ː10=3(辆),30ː15=2(辆),(1+1)ː(3-2)=2,30ˑ2=60(人)㊂答:这个班共60人㊂9.[12,16,24,28]=336,336ˑ3=1008,336ˑ29=9744,29-3+1=27(个)㊂答:共有27个㊂10.[3,5,7,11]=1155,1155ˑ8=9240㊂答:这个四位数最大是9240㊂第三讲倍数与因数(最小公倍数与最大公因数(2))例14ˑ252ː28=36,答:另一个数是36㊂[同步精练]1.4ˑ168ː24=28㊂答:另一个数是28㊂2.90ː6=15=3ˑ5,5ˑ6=30,3ˑ6=18㊂答:这两个数是18和30㊂3.6435=3ˑ3ˑ5ˑ11ˑ13㊂答:最大的奇数是13㊂例235-15=20或45-5=40㊂答:这两个数的差是20或40㊂[同步精练]1.设这两个数为7a,7b(a与b互质),7a+7b=56,a+b=8,a=1,b=7或a=3, b=5㊂这两个数为7和49或21和35㊂2.设这两个数为31a,31b(a与b互质),31aˑ31b=5766,aˑb=6,a=1,b=6或a=2,b=3,这两个数为31和186或62和93㊂3.设这两个数为7a,7b(a与b互质),7a+7b=70,a+b=10,a=1,b=9或a= 3,b=7,7ˑ9-7ˑ1=56,7ˑ7-7ˑ3=28,这两个数的差为56或28㊂例321+126=147或42+63=105,这两个数的和是147或105㊂[同步精练]1.设这两个数为7a,7b(a与b互质),7a+7b=77,7aˑ7b=7ˑ210㊂化简得a+b=11,aˑb=30,a=5,b=6,这两个数是35和42㊂2.设这两个数为12a,12b(a与b互质),12aˑ12b=12ˑ72,aˑb=6,a=1,b= 6或a=2,b=3,这两个数是12和72或24和36㊂这两个数的和是84或60㊂3.设这两个数为18a,18b(a与b互质且a>b),18aˑ18b=18ˑ180,18a-18b =54,化简得aˑb=10,a-b=3,a=5,b=2,这两个数是90和36㊂所以,这两个数的和是126㊂例424和30㊂[同步精练]1.这两个数为18和14㊂295。