高三一轮复习--67几何概型

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

第五章 概率第2讲 几何概型一、必记2个知识点1．几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积二、必明1个易误区易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．三、必会3个方法几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)1．(2013·石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.32解析：选C 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r 2，设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r 2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上变化，所以所求概率P ＝r 2r ＝12. 2.(2013·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：163．(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．解析：因为0≤a≤1，由3a －1>0得13<a≤1，由几何概型的概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：23[类题通法]求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)[典例] 过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.2764[解析] 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝－43＝18.[答案] A [针对训练]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 解析：选B 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2013·陕西高考)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π4－1 C ．2－π4 D.π4解析：选A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4. 角度二 与平面向量的线性运算交汇命题的问题3．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析：选D 由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P(D)＝S △PBC S △ABC ＝12. 课后作业[试一试]1．在长为6 m 的木棒AB 上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离大于2 m ，∴P ＝26＝13. 2．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8D ．1－π8解析：选B 如图，要使图中的点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4. [练一练]1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________． 解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x≤0，－1≤y≤2，x －y －1≥0，表示的平面区域为M ，(x －4)2＋y2≤1表示的平面区域为N ，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 内的概率是________．解析：如图所示：P ＝12×π×1212＋＝π15.答案：π15 [做一做]1．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选C 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE(不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF(不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 2．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x2＋ax －a2<0的一个解的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：选D 由已知得2＋a －a2<0，解得a>2或a<－1.故当a ∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x 的不等式2x2＋ax －a2<0的一个解．故所求概率为P ＝－1＋＋－5－－＝710＝0.7. 3．(2014·淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )A.14B.13C.427D.415解析：选A 正方形的面积为36 cm2时，边长AM ＝6，面积为81 cm2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312＝14.4．(2013·海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．解析：根据题几何概型得所求的概率为P ＝＝π25.答案：π255．(2013·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y)．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y.基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16. (2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x≠2y.基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧ ，⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2，－1≤y≤1.B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2，－1≤y≤1，2x ＋y ＜0，x≠2y.则由图可知，P(B)＝μB μΩ＝1212＋323×2＝13. 即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. [提升考能]1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13 D.12解析：选B 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15. 2．函数f(x)＝x2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是( )A ．1 B.23 C.310 D.25解析：选C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率P ＝2－－5－－＝310. 3.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22×π＝12.4.如图，圆的直径是正方形边长的一半，圆位于正方形的内部．现随意地将飞镖掷向正方形内，则飞镖击中圆面部分的概率是( )A.16B.13C.π12D.π16解析：选D 设圆的半径为1，则正方形的边长为4，有正方形的面积为16，圆的面积为π，根据题意，飞镖击中圆面部分的概率即圆的面积与正方形的面积比，即其概率为π16，选D.5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132解析：选B 方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧ a2＞b2，e ＝c a ＝a2－b2a ＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a2＞b2，a2＜4b2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ， 又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532. 6．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．解析：要使2x2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax≤2x2＋8，即a≤2x ＋8x在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a≤8，因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.答案：45 7．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b.(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x2＋y2＞(a －b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2. (2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t)，(s ，k)，(s ，h)，(t ，s)，(t ，k)，(t ，h)，(k ，s)，(k ，t)，(k ，h)，(h ，s)，(h ，t)，(h ，k)，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k)，(s ，h)(k ，s)，(h ，s)．所以所求概率为P(A)＝412＝13. (ⅱ)记“x2＋y2＞(a －b)2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x2＋y2＞4恒成立”，(x ，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x ，y ∈R}，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y)|x2＋y2＞4，(x ，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－π4.。

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 【答案】 23【解析】 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【解析】 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48.(2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P＝SS △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】 12【解析】 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0， 所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC内的概率为S △PBCS △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. （2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．【答案】16【解析】因为1A A BDV-＝1A ABDV-＝13AA1×S△ABD＝16×AA1×S矩形ABCD＝16V长方体，故所求概率为1A A BDVV-长方体＝16.考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【答案13【解析】因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.【举一反三】【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ， 因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【答案】C【解析】如下图所示：【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积21182223123323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：823334234p ππ-==-⨯本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A【解析】当a b > 时2223142a b a b a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2ba <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.4．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．25 B ．35 C ．15 D ．23【答案】A【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得25d P D ==，应选答案A 。

课时跟踪检测(六十七) 几何概型第Ⅰ组：全员必做题1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13 D.122．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是( ) A ．1 B.23 C.310 D.253.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.124.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512 B.12C.23D.345．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12B.1532C.1732D.31326．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．9．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．10.(创新题)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．第Ⅱ组：重点选做题1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π42．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S -APC 的体积大于V3的概率是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15.2．选C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0，则所求概率P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.3．选D 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22×π＝12.4．选C 图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32|40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C. 5.选B 方程x 2a 2＋y 2b 21表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞b 2，a 2＜4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.6．解析：要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8x 在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x ≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.答案：457．解析：由题知该点落在半圆内的概率为S 半圆S 正方形＝π8.答案：π88．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：39．解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.(ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.10．解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时ax ＋bx 在⎝⎛⎭⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎫b a，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫2＋114×33×3＝1924，故所求的概率是1924.第Ⅱ组：重点选做题1.选D 根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.2.解析：由题意可知V S -APCV S -ABC >13，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S -APC V S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．答案：23。

第三节几何概型[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19. ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D ．1B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．] 4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．12[在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.]2．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.][规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法,求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12D.π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2与线性规划知识交汇命题的问题【例2】在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P 的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()A.14 B.12C.23 D.34A[依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影S正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－π4B.π4C.π－32 D.π2－1(2)在满足不等式组⎩⎨⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0－2x0”，那么事件A发生的概率是()A.14 B.34C.13 D.23(1)A(2)B[(1)方程有实数根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面区域即△ABC，其面积为4，且事件A＝“y0＜2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是34.]与体积有关的几何概型P，使得V P-ABC＜12V S-ABC的概率是()A.78 B.34C.12 D.14A[当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为()A.34 B.23C.13 D.12D[由题图可知V F-AMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，V ADF-BCE＝12a3，所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312a3＝12.][规律方法]求解与体积有关的几何概型的注意点,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13 B.12C.23 D.34B[如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝20 40＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310B[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4m nD.2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4m n .]。

高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题知，以AB为直径的圆的半径为1，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=，故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为×1×2=1，∴所求的概率为，故选B．考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝．4.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝．∴所求事件的概率为P＝＝＝．5.在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x，故只要x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝．6.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求输出数对(x，y)的概率．【答案】【解析】可行域为中心在原点，顶点在坐标轴上的正方形(边长为)，x2＋y2≤表示半径为的圆及其内部，所以所求概率为＝．7.在长为的线段上任取一点，并且以线段为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：边长为的正三角形的面积为，由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M，则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（2）（1）由题意可得是几何概型，设，该同学一次投掷投中环的概率为；（2）由题意可知可能的值为、、、，，，，，的分布列为环，答：的数学期望为环.【考点】1.几何概型；2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.【答案】；【解析】四边形为矩形且。

2021年高考数学一轮复习几何概型教学案一、考点要求：学习目标：了解几何概型的特点，会进行简单的几何概型的运算，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

二、知识要点：2．几何概率计算公式：一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率，把这种概率模型称为几何概型。

三、基础回顾：1. 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为_________2. 如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________3. 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为。

4．如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________四、例题探究：例1：如图，单位正方形ABCD，在正方形内（包括边界）任取一点M，求：（1）△AMB面积大于等于1/4的概率；（2）求AM长度不小于1的概率。

内容要求A B C概率几何概型√例2：在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率。

变式：在等腰直角三角形中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率。

例3：已知三个正数.(1)若是从中任取的三个数，且，求能构成三角形三边长的概率；(2)若是从中任取的三个数，且，求能构成三角形三边长的概率.★★★例4：(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。

求二人能会面的概率。

五、课堂小结：六、感悟反思：1. 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S/2的概率是_____2．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________3．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为4. 已知右图所示的矩形其长为12，宽为5，在矩形内随机微下1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________七、千思百练：1．如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机撒一粒豆子，则它落在阴影部分的概率为________2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为 。

第26课时 几何概型【考点点知】知己知彼，百战不殆几何概型是新课标新增添内容，所以高考在考查上可能会有所侧重，当然由于课时所限，也不会占分太多，由于几何命题的空间较为广阔,因而此部分的考题也相当的丰富．复习时应理解好基本概念，注意培养用几何度量来理解概率问题的习惯．1.几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 2.很多概率问题可以归结为几何概型.对于几何概型,随机事件A 的概率P (A )与表示它的区域(面积、长度或体积)成正比,而与区域的位置和形状无关.只要表示两个事件的区域有相同的长度、面积或体积,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.由此可知,利用公式求概率的关键在于求解产生指定范围内的随机数或指定范围内的面积、体积、长度等的计算.【小题热身】明确考点，自省反思1. (2008江苏卷)在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是2.（湖南卷）在区间[-1，2]上随机取一个数x ，则1||≤x 的概率为 ．3.（2009山东卷）在区间[,22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.设点A 是圆O 上一定点，点B 是圆O 上的动点，6,πθθ≤则与的概率为 .思路透析:如右图所示, 当点B 在劣弧 CD上运动时, 6AO AB πθ≤ 与的夹角为, 此时∠DOC=22263ππ⨯⨯=, 则6πθ≤的概率 21323R CD P R ππ==劣弧长=圆周长. 点评:在本题中，构造几何图形，找出两“弧长”，套用几何概型公式.此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率.例2.如图，60AOB ∠= ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则A O C ∆为钝角三角形的概率是____________.思路透析:如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时， AOC ∆为钝角三角形 记”AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++=== 即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4． 点评:求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例3.在线段[0,a ]上随机地取三个点，则由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率为 .思路透析:令A =“三线段能构成一个三角形”.设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a }.因为三线段构成一个三角形的条件是:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ;所以事件A 构成集合A ={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a }，表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体，其体积等于a 3－3·31·22a ·a =21a 3. 从而P (A )=的体积的体积ΩA =3321aa =0.5. 点评:在必修2中我们学习了空间直角坐标系,本题中引入了三个随机变量,其变量的轨迹为正方体,而符合条件的随机事件为六面体,该几何概型为的概率为两个几何体的体积之比.你还能用其它方法解决这一问题吗?例4.设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思路透析:设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)，，，，，，，，，，(12)(20)(21)，，，，，，(22)(30)(31)(32)，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯． 点评:本题中不少考生将区域约束条件不等式列式错误,导致平面区域的面积求解出现偏差.在几何概型问题的分析中,试验的构成区域决定着概率运算的正确性,因而列式时要注意范围列式中边界值的确定依据.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 二次方程042=++b x a x )2,0(,(∈b a ）的两根都是实数的概率为( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 在圆心为90o 的扇形O A B 中,以圆心O 为起点任作射线OC ,OD ,则使得30o AOC BOD ∠+∠<的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 153. 如图，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 154. 公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，乘客候车不超过3 min 的概率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则方程2220x ax b -+=有实数解的概率为 . 2. 在区间(0，L )内任取两点，则两点之间的距离小于3L 的概率为 . 3. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形.这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 . 4. 若不等式组240y x y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，221x y +≤所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为___________.5.已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内任取点M ，则使点M 到底面ABC ∆的距离小于2h 的概率为 . 6.在ABC ∆中， 45,60=∠=∠C B ，高3=AE ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M ，则BM ＜1的概率为 .二、解答题:7.在地面上画一正方形框，其边长为一枚硬币半径的4倍，向框中投硬币（硬币完全落在正方形外的不计），试求硬币与正方形框相交的概率．8.如左下图,在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.第26课时 几何概型参考答案【小题热身】 1. 16π 2. 23 3.31【即时测评】1. A2. B3. A4. C 【课后作业】一、填空题:1. 122. 953. 414. 364π5. 876. 25二、解答题:7.解析:这是一道二维几何概型问题，设硬币半径为r ，则正方形框的边长为r 4，将硬币视为一几何点，则问题转化为：以正方形上任一点为圆心，与圆心距离小于等于r 的平面区域是有利场合的测度d ，而正方形的面积加上有利场合中正方形外的测度就是基本事件空间的测度D ， 于是3228])4()4(4[)2(])4()4(4[22222++=+⨯⨯+-+⨯⨯+=ππππr r r r r r r r r D d . 8.解析:设三条线段的长度分别为x 、y ,1－x －y ,则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<,110,10,10y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<.10,10x y x 在平面上建立如右上图所示的直角坐标系,直线x =0,x =1,y =0,y =－x +1围成如右上图所示的三角形区域G ,每一对(x ,y )对应着G 内的点(x ,y ).由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.三条线段能构成三角形当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+,1,1,1y y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->.21,21,21y x x y 因此图中的阴影区域g 就表示“这三条线段能构成三角形”.容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,由几何概型的概率计算公式,“这三条线段能构成三角形”的概率 P (这三条线段能构成三角形)=的面积的面积G g =41.。