学习资料2022版高考数学一轮复习第十章概率（文）第三讲几何概型（文）第六讲几何概型学案（理，含解析）新人教版班级：科目：第三讲几何概型(文) 第六讲几何概型(理）知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度（面积或体积）__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P（A）＝__错误!__．知识点四随机模拟方法（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A）＝错误!作为所求概率的近似值．错误!错误!错误!错误!几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3）与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√）(3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）（5）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（×)（6）从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝错误!．（×）题组二走进教材2．(P140T1）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分,则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)［解析]∵P(A)＝错误!，P(B)＝错误!，P(C)＝错误!，P（D）＝错误!,∴P(A)＞P(C)＝P（D）＞P（B)．故选A．3．（P146B组T4)设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4,而阴影部分(不包括错误!)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是错误!，故选D．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（B)A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!［解析] 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知,所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!．故选B ．5．（2019·全国）在Rt △ABC 中,AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ,则∠BAP ＜30°的概率为（ B ）A ．12B ．错误!C ．错误!D ．错误![解析] 在Rt △ABC 中,AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形,令AB ＝BC ＝1，则AC ＝错误!;在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝错误!,在BC 边上随机取点P ,则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝错误!＝错误!，故选B ．考点突破·互动探究考点一 与长度有关的几何概型——自主练透例1 （1）（2021·山西运城模拟）某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8:15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是（ D ）A ．错误!B ．错误!C ．13D ．错误!(2)(2021·福建龙岩质检）在区间错误!上随机取一个实数x,使cos x≥错误!的概率为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）（2020·山东省青岛市模拟)已知圆C:x2＋y2＝1和直线l：y＝k（x＋2）,在（－错误!，错误!）上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相交"发生的概率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8:15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得,该职工能正常刷卡上班的概率P＝错误!＝错误!．故选D．(2)由y＝cos x在区间错误!上单调递增，在错误!上单调递减，则不等式cos x≥错误!在区间错误!上的解为－错误!≤x≤错误!,故cos x≥错误!的概率为错误!＝错误!．(3）直线l与C相交⇒错误!＜1⇒－错误!＜k＜错误!．∴所求概率P＝错误!＝错误!．故选C．［引申］本例(3)中“圆上到直线l的距离为错误!的点有4个”发生的概率为__错误! __．[解析］圆上到直线l的距离为错误!的点有4个⇔圆心到直线l的距离小于错误!⇔错误!＜错误!⇔－错误!＜k＜错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P（A)＝错误!．〔变式训练1〕（1）（2017·江苏卷）记函数f（x)＝6＋x－x2的定义域为D．在区间［－4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是__错误!__．（2)（2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f（x）＝sin x＋错误!cos x，当x∈[0，π］时,f（x）≥1的概率为（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]（1)D＝｛x|6＋x－x2≥0｝＝［－2，3]，∴所求概率P＝错误!＝错误!．(2)由f(x）＝2sin错误!≥1，x∈［0，π]得x∈错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!，故选D．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例 2 （1）(2021·河南商丘、周口、驻马店联考）如图，AC,BD上分别是大圆O 的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA，OB，OC，OD，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）设复数z＝(x－1）＋y i（x，y∈R），若|z｜≤1，则y≥x的概率为（C）A．错误!＋错误!B．错误!＋错误!C．错误!－错误!D．错误!－错误!［解析](1)不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S，由图形的对称性知，S阴影＝8S．又S＝错误!π×12－错误!×2＝1,则所求概率为错误!＝错误!，故选D．(2)∵|z｜＝错误!≤1，∴(x－1）2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0）为圆心，1为半径的圆面,如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分,故P＝错误!＝错误!－错误!．［引申]本例（1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__错误!__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P＝错误!＝错误!．角度2与线性规划交汇的问题例3 在满足不等式组错误!的平面点集中随机取一点M（x0，y0）,设事件A为“y0＜2x0”,那么事件A发生的概率是（B)C．错误!D．错误作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝错误!V S －ABC ， 则三棱锥P －ABC 的高等于错误!SO ，P 点落在平面EFD 上，且错误!＝错误!＝错误!＝错误!, 所以错误!＝错误!， 故V S －EFD ＝错误!V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－错误!＝错误!．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积(事件空间）,对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( C ）A ．4π81B ．错误!C．错误!D．错误![解析］由已知条件可知,蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝错误!＝错误!．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行"，则蜜蜂“安全飞行"的概率为__1－错误!__．[解析］所求概率P＝错误!＝1－错误!．考点四，与角度有关的几何概型-—师生共研例5 （1)(2021·南岗区校级模拟）已知正方形ABCD的边长为错误!，以A为顶点在∠BAD内部作射线AP,射线AP与正方形ABCD的边交于点M,则AM＜2的概率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则AD＜AC的概率为__错误!__．[解析］(1)正方形ABCD的边长为错误!,以A为顶点在∠BAD内部作射线AP，射线AP 与正方形ABCD的边交于点M，如图所示：己知AD＝AB＝BC＝CD＝错误!，DM＝1，所以AM＝错误!＝2．所以∠DAM ＝错误!． 根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝错误!＝错误!，故选D ． (2）在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝180°－45°2＝67。
