高三数学一轮复习精品教案1：几何概型教学设计

2013年高考数学一轮复习精品教学案11.3 几何概型（新课标人教版，教师版）1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．【例题精析】考点一 与长度、角度有关的几何概型例1.（2009年高考山东卷理科11） 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（ ） A. 31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A【解析】当10cos 22xπ<<时，在区间[]1,1-上，只有223x πππ-<<-或322x πππ<<，即22(1,)(,1)33x ∈--，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13.【名师点睛】本小题主要考查与三角函数结合的有关长度的几何概型的计算，熟练基本概念是解决本类问题的关键.【变式训练】1.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．考点二 与面积、体积有关的几何概型例2. (2012年华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【变式训练】2.(2012年高考北京卷文科3)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【易错专区】问题：综合应用例.(2012年高考陕西卷理科10)右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）（A ） 1000N P =（B ） 41000N P = （C ） 1000M P = （D ） 41000M P =1.（2009年高考山东卷文科第11题）在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为（ ） A.31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A 【解析】当10cos 2x <<时，在区间[,]22ππ-上，只有23x ππ-<<-或32x ππ<<，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13. 2. (湖南省十二校2011届高三第二次联考) 在区间[-3，5]上随机取一个数x ，则[1，3]的概率为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】本题考查几何概型,所求的概率为2184=,故选C. 3．（2010年高考湖南卷文科11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。

几何概型一轮复习教学设计一、教学设计背景与目标几何学作为数学的重要分支之一，是培养学生空间想象力和逻辑思维的关键。

然而，由于内容较为抽象和复杂，学生在学习过程中常常遇到困难。

因此，为了帮助学生夯实几何概型的复习内容，本教学设计旨在通过一轮复习来加深学生对几何概型知识的理解和应用能力。

本教学设计的目标如下：1. 复习几何概型的基本概念和定理，加深学生对几何学的理解。

2. 提升学生的几何概型解题能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

3. 培养学生复习和总结的能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、教学内容与方法1. 复习内容：（1）基本几何概念：点、线、面、角等；（2）方向与位置关系：平行、垂直、相交等；（3）三角形的性质与分类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形等；（4）四边形的性质与分类：矩形、正方形、菱形等；（5）圆的性质与计算：半径、直径、弧长、扇形面积等。

2. 教学方法：（1）总结与分析法：通过教师讲解，引导学生总结几何概型知识点，并分析其应用场景和解题方法。

（2）示范与练习法：教师通过示范解题，引导学生进行相关题目的练习，巩固知识点的理解和应用能力。

（3）互动与合作法：组织学生进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。

三、教学过程安排1. 教学引入（10分钟）教师通过提问和教学课件等方式，引导学生回顾几何概型的基本概念，并与现实生活中的物体进行联系。

例如，提问：你身边有哪些物体涉及到几何概型？2. 概念与定理复习（30分钟）教师通过讲解的方式复习几何概型的基本概念和定理，引导学生思考其应用场景和解题方法。

例如，讲解角的概念时可用手势示范，并引导学生找出周围环境中涉及到角的例子。

3. 解题示范与练习（40分钟）教师通过解题示范，引导学生分析解题步骤和思考方法。

然后，组织学生进行相关题目的练习，并在过程中及时给予指导和反馈。

4. 小组合作学习（30分钟）教师组织学生分组进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。

教学设计,靶心直径为 cm 运动员在70 m 外射箭假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的问射中黄心的概率为多少？3问题12中的基本事件有什么特点两事件的本质区别是什么 4什么是几何概型它有什么特点5如何计算几何概型的概率有什么样的公式 6古典概型和几何概型有什么区别和联系活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括讨论结果：1硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）每种结果出现的概率相等,214141=+的绳子上的任意一点第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率31412的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π× cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ教学设计学过程及方法区域长度有关。

例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率分析：见教材136页解：（略）三、随堂练习1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）解：,则某人到站的一切可能时刻为Ω=a,a5,记A g={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=a2,a5中的任一时刻,故PA g=53=Ω的长度的长度g点评：通过实例初步体会几何概型的意义2、在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率教学小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例课后反。

§12.3 几何概型考纲展示1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解几何概型的意义．考点1 与长度(角度)有关的几何概型 第1步 回顾基础 一、自读自填 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果________； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有________． 3．几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).提醒：求解几何概型问题注意数形结合思想的应用． 二、链接教材在区间『－3,5』上随机取一个数x ，则x ∈『1,3』的概率为__________． 三、易错问题几何概型的特点：等可能性；无限性． 给出下列概率模型：①在区间『－5,5』上任取一个数，求取到1的概率；②在区间『－5,5』上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③在区间『－5,5』上任取一个整数，求取到大于1的数的概率；④向一个边长为5 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 与正方形ABCD 的中心的距离不超过1 cm 的概率．其中，是几何概型的有__________．(填序号) 第2步 自主透练典题1 (1)在区间『0,2』上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12 ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14(2)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．点石成金1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解． 2.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段． 考点2 与体积有关的几何概型 第1步 师生共研典题2 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．点石成金与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 第2步 跟踪训练1.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．2．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是________．考点3与面积有关的几何概型第1步回顾基础一、链接教材(1)如图所示，圆中阴影部分的圆心角为45°，某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为________．(2)如图所示，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为__________．三、通性通法几何概型：构成事件区域的长度(面积或体积)；几何概型的概率公式．设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数，则斜边长小于34的概率为__________．第2步多角探明考情聚焦与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．主要有以下几个命题角度：角度一与平面图形面积有关的问题典题3(1)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A.3＋316πB.3＋34πC.4π3＋3D.16π3＋3(2)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12角度二 与线性规划交汇命题的问题典题4 (1)在区间『0,1』上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜12B ．p 2＜12＜p 1 C.12＜p 2＜p 1D ．p 1＜12＜p 2(2)在区间『1,5』和『2,6』内分别取一个数，记为a 和b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a <b )表示离心率小于5的双曲线的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132角度三 与定积分交汇命题的问题典题5 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．点石成金求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.第3步课堂归纳方法技巧判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．易错防范1.准确把握几何概型的“测度”是解题的关键几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．——★ 参 考 答 案 ★——考点1 与长度(角度)有关的几何概型 第1步 回顾基础(1)有无限多个 (2)等可能性 二、链接教材 『答案』14『解析』记“x ∈『1,3』”为事件A ，则由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝3－15＋3＝14.三、易错问题 『答案』①②④『解析』①在区间『－5,5』内有无限多个数，取到1这个数的概率为0，故是几何概型； ②在区间『－5,5』和『－1,1』内有无限多个数(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型；③在区间『－5,5』内的整数只有11个，不满足无限性，故不是几何概型；④在边长为5 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且点P 落在这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型． 第2步 自主透练 典题1 (1)『答案』 A『解析』 不等式－1≤log 12 x ＋12≤1可化为log 12 2≤log 12 ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，即12≤x ＋12≤2， 解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式，得P ＝32－02－0＝34.(2)『答案』 C『解析』 设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ， 所以x (12－x )>20，解得2<x <10， 故所求概率P ＝10－212＝23.(3)『答案』 16『解析』 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的， 所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.考点2 与体积有关的几何概型 第1步 师生共研 典题2 『答案』 16『解析』 设事件M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， P (M )＝V 三棱锥A －A 1BD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16.第2步 跟踪训练 1.『答案』1－π12『解析』正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12.2．『答案』23『解析』由题意可知，V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同． 作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ， 则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高， 所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13， 故所求的概率为23(即为长度之比)．考点3 与面积有关的几何概型 第1步 回顾基础 一、链接教材 (1)『答案』18『解析』所求概率为45°360°＝18.(2)『答案』ma 2n『解析』由题意知，不规则图形Ω的面积∶正方形的面积＝m ∶n ，所以不规则图形Ω的面积＝m n ×正方形的面积＝m n ×a 2＝ma 2n .三、通性通法 『答案』9π64『解析』设两条直角边长分别为a ，b ，由已知可知a 2＋b 2< ⎝⎛⎭⎫342，如图所示，所以所求概率P ＝14π×⎝⎛⎭⎫3421×1＝9π64.典题3 (1)『答案』 B『解析』 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102×sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝253＋3102π＝3＋34π. (2)『答案』 B『解析』 由图形知C (1,2)，D (－2,2)， ∴S 矩形ABCD ＝6. 又S 阴＝12×3×1＝32，∴P ＝326＝14.典题4 (1)『答案』 D『解析』 如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1. 事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18＜12；事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，则p 1＜12＜p 2，故选D.(2)『答案』 B『解析』 ∵e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2<5， ∴⎝⎛⎭⎫b a 2<4，∴b a<2，即a <b <2a . 作出⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤5，2≤b ≤6表示的区域如图，并作出直线b ＝2a 与b ＝a .∴S 阴＝4×4－12×3×3－12×4×2＝152，∴所求概率P ＝S 阴S 正方形＝1524×4＝1532.典题5 『答案』512『解析』 ∵S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝＝53，∴ 所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.。

高中数学《几何概型》教案一、教学目标1、建立几何概型的概念，了解点、线、面、几何体的基本概念。

2、学习古希腊的几何概型理论，理解“公理化”证明的基本方法。

3、掌握平面几何的基本定理，如欧氏几何五大公设、垂线、角平分线定理等。

4、培养学生思维的逻辑性，进一步提高分析解决问题的能力，以及形象思维的能力和几何思维的能力。

二、教学重点和难点1、平面几何的基本定理。

2、学习古希腊几何学的公理化方法，认识并应用公理、定义、定理、证明等，进一步提高学生的推理思维。

三、教学方法1、理论结合实践，通过练习掌握平面几何的基本定理，培养学生的推导思维。

2、利用黑板画图辅助教学，加强学生的形象思维。

3、倡导学生积极参与课堂讨论，相互分享探讨问题，提高学习效果。

四、教学内容与步骤第一节、几何概念的复习1、点、线、面、几何体的基本概念。

2、点、线、面的分类。

3、几何图形的构造方法。

4、几何问题的解决方法。

第二节、平面几何基本定理1、欧氏几何五大公设的理解和应用。

2、角平分线的定理及其应用。

3、垂线定理及其应用。

4、圆的性质与应用。

5、全等三角形的性质。

第三节、公理化证明的基本方法1、公理与定义的概念及其作用。

2、定理的定义和证明方法。

3、数学证明思路的讲解。

4、实例分析与案例练习。

五、教学手段黑板，笔，直尺，量角器，地球仪等。

六、教学评价1、通过课堂练习加深对平面几何的了解和掌握。

2、通过提高几何思维的能力和推理逻辑的能力，进一步提高学生的数学水平和思维能力。

3、根据课堂互动、单词测试和综合评定等方式，对学生的学习情况进行评价。

高中数学几何概型教案一、教学目标1. 让学生理解几何概型的概念，掌握几何概型的基本性质和特点。

2. 培养学生运用几何概型解决实际问题的能力。

3. 通过对几何概型的学习，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 几何概型的定义与特点2. 几何概型的分类3. 几何概型的概率计算方法4. 几何概型在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：几何概型的概念、特点和概率计算方法。

2. 难点：几何概型在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究几何概型的相关知识。

2. 利用多媒体课件，辅助教学，增强学生对几何概型的空间想象力。

3. 结合实际例子，让学生感受几何概型在生活中的应用。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的抽奖活动，引导学生思考抽奖活动的概率问题，从而引入几何概型的概念。

2. 自主学习：让学生阅读教材，理解几何概型的定义与特点。

3. 课堂讲解：讲解几何概型的分类和概率计算方法。

4. 课堂练习：让学生完成一些有关几何概型的练习题，巩固所学知识。

5. 应用拓展：结合实际例子，让学生运用几何概型解决实际问题。

六、教学评价1. 评价学生对几何概型的概念、特点和概率计算方法的掌握程度。

2. 评价学生运用几何概型解决实际问题的能力。

3. 评价学生在课堂练习中的表现，包括解题速度和正确率。

4. 评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。

七、教学资源1. 教材：高中数学几何概型相关内容。

2. 多媒体课件：用于展示几何概型的图形和实例。

3. 练习题库：用于课堂练习和课后作业。

4. 实际案例：用于引导学生将几何概型应用于实际问题。

八、教学进度安排1. 第一课时：介绍几何概型的概念和特点。

2. 第二课时：讲解几何概型的分类和概率计算方法。

3. 第三课时：课堂练习和应用拓展。

九、教学反思1. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。

2. 反思教学方法是否有效，是否能够激发学生的兴趣和参与度。

《必修三《几何概型》教案教案：几何概型一、教学目标1.知识与技能：-了解几何概型的基本概念和相关属性；-掌握计算几何概型的可能性和概率；-能够运用几何概型解决实际问题。

2.态度与价值观：-培养学生对几何概型的兴趣和好奇心；-培养学生合作、探究和创新精神。

二、教学重点和难点1.重点：-几何概型的基本概念和相关属性；-计算几何概型的可能性和概率。

2.难点：-运用几何概型解决实际问题。

三、教学过程1.教学准备：-教师准备PPT、绘制几何概型相关图形。

2.导入与引入：-向学生提问：“大家了解什么是几何概型吗？”-学生回答后，教师进行引导，介绍几何概型的基本概念和相关属性。

3.概念讲解：-讲解几何概型的基本概念，例如：平面上点、线、面，三维空间中体等；-讲解几何概型的相关属性，例如：相似、相等等；-通过示例和图像说明几何概型的应用，如建筑设计、工程测量等。

4.练习与讨论：-让学生通过绘制几何概型图形，进行练习；-学生分组讨论几何概型的相关问题，例如：如何计算不同形状的房屋占地面积等。

5.案例分析：-教师给出一个实际生活中的案例，例如：如何计算一个无规则形状的花坛的面积；-学生利用几何概型的知识和技巧，分析并解决这个问题；-学生分组展示自己的解决过程和答案，并进行讨论。

6.解决问题与拓展：-继续给学生出一些难度适中的问题，让学生运用几何概型的知识和技巧解决；-引导学生思考如何拓展几何概型的应用领域，发现几何概型在日常生活中的其他应用。

四、课堂小结-教师对本课的教学内容和学生的表现进行总结；-检查学生对几何概型的掌握情况，回答学生提出的问题；-引导学生对几何概型的学习进行反思和思考。

五、作业布置-布置相关练习题，要求学生运用几何概型的知识和技巧解答；-要求学生写一篇小结，总结几何概型的基本概念和相关属性。

六、教学反思-分析课堂教学过程中的不足和问题；-总结有效的教学方法和策略，为下一节课的教学做好准备。

1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(________或________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________________． 2．几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝________________________________________________________________________. 3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有________________； (2)等可能性：每个结果的发生具有________________． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN 作为所求概率的近似值．『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) (6)从区间『1,10』内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( )1．(教材改编)在线段『0,3』上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D ．12．(2015·山东)在区间『0,2』上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13D.143．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )4．(2017·南昌月考)一个边长为3πcm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于________．5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38D.310(2)(2017·太原调研)在区间『－π2，π2』上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间『0,1』随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m nD.2m n命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825D.925(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．题型三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S－ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．16．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( ) A.14 B.12C.34D.78错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°，∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错：纠错心得：提醒：完成作业 第十二章 §12.3答案精析基础知识 自主学习知识梳理1．长度 面积 体积 几何概型2.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．(1)无限多个 (2)等可能性思考辨析(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×考点自测1．B 2.A 3.A 4.12 5.π4题型分类 深度剖析例1 (1)B (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x ≤π2时， 由0≤cos x ≤12， 得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2， 根据几何概型概率公式得所求概率为13. (3)解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°. 记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25. 引申探究1．解 当－π2≤x ≤π2时， 由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2， 根据几何概型概率公式得所求概率为23. 2．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 跟踪训练1 (1)B (2)16例2 C 例3 78例4 512跟踪训练2 (1)D (2)2e2 例5 (1)C (2)A跟踪训练3 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V 3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V 3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B .从而P (M )＝P ′B AB ＝23. 现场纠错系列现场纠错 (1)33(2)C 解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为 P ＝1－2×12×12×121＝34. 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．。

教学内容古_典_概_型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0. [试一试]1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是________．古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同． [练一练]从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为________．考点一古典概型1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．2．(2014·温州调研)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．3．(2014·深圳第一次调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？[类题通法]计算古典概型事件的概率可分三步(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；(3)代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有： (1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合. 角度一 古典概型与平面向量相结合1．(2014·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．角度二 古典概型与直线、圆相结合2．连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2－(y －b )2＝4相切的概率为________．角度三 古典概型与函数相结合3．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[课堂练通考点]1．(2014·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿几_何_概_型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．[试一试]1．在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是________．2．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．几何概型的常见类型的判断方法1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3．与体积有关的几何概型．(方法参见考点二“类题通法”) [练一练]1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，－1≤y ≤2，x －y －1≥0，表示的平面区域为M ，(x －4)2＋y 2≤1表示的平面区域为N ，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 内的概率是________．考点一与长度、角度有关的几何概型1．(2014·石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为________．2.(2014·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．3．(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．[类题通法]求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．考点二与体积有关的几何概型[典例](2013·深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[类题通法]对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[针对训练]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积的有关问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题.角度一与三角形、矩形、圆等平面图形面积的有关问题1．(2013·陕西高考改编)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．角度二与线性规划交汇命题的问题2．(2013·四川高考改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．角度三与平面向量的线性运算交汇命题的问题3．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．[类题通法]求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．[课堂练通考点]1．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________．2．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为________．3．(2014·淄博模拟)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是________．2．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．3.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．4.如图，圆的直径是正方形边长的一半，圆位于正方形的内部．现随意地将飞镖掷向正方形内，则飞镖击中圆面部分的概率是________．5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________．6．(2014·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．8.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体。

高中数学几何概型教案
教学重点：掌握概型相关概念和性质，能够熟练运用概型解决几何问题。

教学难点：灵活运用概型解决实际问题，结合实际情境进行概型应用。

教学方法：讲授、举例、演示、讨论。

教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、计算器。

教学过程：
一、导入（5分钟）
引导学生回顾前一节课的内容，概述几何相关知识，并提出问题引起学生思考。

二、讲解概型概念和性质（15分钟）
1. 讲解概型的定义和基本性质。

2. 举例说明不同类型的概型，引导学生思考。

3. 解释概型在数学中的应用，并讨论实例。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 给学生发放练习题，让学生自主练习。

2. 学生互相讨论解题思路，分享解题方法。

3. 收集学生答案，讨论解题过程和答案。

解决学生疑惑。

四、实践运用（10分钟）
1. 提供实际问题，让学生结合几何知识和概型解决问题。

2. 学生在小组中合作，共同讨论解决方案。

3. 学生上台汇报解题过程和答案。

五、总结和作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的内容，强调要点。

2. 布置相关练习作业，鼓励学生多练习、巩固知识。

教后反思：本节课主要通过讲解、练习和实践运用，使学生对几何概型有了更深入的理解，并能够运用概型解决实际问题。

在实践运用环节，让学生在小组中合作，培养了学生的团
队合作能力和解决问题的能力。

待下次课程中再次引导学生灵活运用概型解决实际问题。

高中数学《几何概型》教案、教学设计
一、教学目标
【知识与技能】
理解几何概型的特点，掌握几何概型的概率计算公式，并能应用公式解决实际问题。

【过程与方法】
经历归纳几何概型的特点以及推导几何概型的概率计算公式的过程，提升抽象概括能力与逻辑推理能力。

【情感、态度与价值观】
体会数学与生活的联系，养成良好的数学思维习惯。

二、教学重难点
【重点】几何概型的特点以及概率计算公式。

【难点】几何概型特点的归纳以及概率计算公式的推导。

三、教学过程
(一)导入新课
回顾古典概型。

出示问题情境：往一方格中投一个石子。

请学生思考石子可能落在哪里，如何求概率。

在学生明确事件所有的可能结果是无限个，无法用古典概型求解的情况下，说明今天这节课将解决这样的问题。

引出课题。

(二)讲解新知
出示问题情境：如图有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向
区域时，甲获胜，否则乙获胜。

请学生在两种情况下分别求出甲获胜的概率是多少。

(四)小结作业
小结：今天有什么收获?回顾几何概型的特点以及概率计算公式。

作业：从几何概型的角度思考，是否概率为0的事件都是不可能事件，概率为1的事件都是必然事件?
四、板书设计。

高中数学几何概型优秀教案
目标：通过本节课的学习，学生能够了解射影几何的概念，掌握相关定理，并能运用所学
知识解决相关问题。

教学重点：射影几何的基本概念、相关定理及应用。

教学难点：理解射影几何的概念及解决相关问题时的思维逻辑。

教具准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、幻灯片、教材
教学安排：
一、导入（5分钟）
教师简单介绍射影几何的概念，并通过图像展示让学生初步了解射影几何的特点。

二、课堂讲解及示范（15分钟）
1. 教师讲解射影几何的基本概念，如射影平面、射影圆、射影线等，并通过实例进行说明。

2. 教师讲解射影几何的相关定理，如射影线的夹角定理、射影线与射影圆的位置关系等。

三、学生实践操作（20分钟）
学生们根据教师的示范，自行完成几道射影几何相关问题，加深对射影几何概念的理解，
并培养解决问题的能力。

四、讲解案例及讨论（10分钟）
学生们将自己的解答展示出来，教师进行点评和讲解，通过案例讨论加深学生对射影几何
的理解。

五、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的学习内容进行总结，并强化射影几何的重要性。

六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固所学知识。

教学方式：板书教学、案例教学、互动探讨
教学评价：学生学习兴趣、参与度、主动性、学习成绩
教学反思：根据学生反馈和实际教学情况，不断优化教学方案，提高教学效果。

§12.2 几何概型一、考点要求：学习目标：了解几何概型的特点，会进行简单的几何概型的运算，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

二、知识要点：2．几何概率计算公式：一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率P(A) ，把这种概率模型称为几何概型。

三、基础回顾：1. 两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率 为_________2. 如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________3. 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为 。

4．如图所示，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'， 它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________ 四、例题探究：例1：如图，单位正方形ABCD ，在正方形内（包括边界）任取一点M ，求： （1）△AMB 面积大于等于1/4的概率； （2）求AM 长度不小于1的概率。

例2：在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AC AM <的概率。

变式：在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AC AM <的概率。

例3：已知三个正数c b a ,,. (1)若c b a ,,是从12345,,,,1010101010⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任取的三个数，且c b a <<， 求c b a ,,能构成三角形三边长的概率；(2)若c b a ,,是从)1,0(中任取的三个数，且1=++c b a ， 求c b a ,,能构成三角形三边长的概率.★★★例4：(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。

几何概型教学设计【教材分析】1、“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。

几何概型概念的引入过程就是问题解决的过程，以此为载体，提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

2．学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。

这充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源于生活，而又高于生活；同时说明了它在概率论中的重要作用，为高校的进一步学习奠定了基础。

【教学目标】知识与技能：1、初步体会几何概型的意义；2、会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3、让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型，并进行分析、解决。

过程和方法：1、问题和设问，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，并理解几何概型的概念。

2、通过将一些实际问题转化为几何概型的解题过程，学会应用几何概型的概率计算公式解决问题，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识。

情感态度与价值观：1、通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用；2、培养严谨的思维习惯。

【教学重点】理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题。

【教学难点】几何概型的判断和具有实际背景的随机事件与几何区域联系的建立；解题中准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度【教学过程】一、回顾复习1、古典概型的特征（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等2、公式基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P )(二、提出问题： 问题1：取1根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1m 的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题2：下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm ，黑心半径为1cm,现一人随机射箭，假设每靶都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，请问射中黑心的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题3：在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是500ml水中的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？设计意图：1、引导学生发现试验的结果是等可能的和无限的，归纳几何概型的特征；2、激励学生寻求解决问题的方法.三、几何概型1、归纳共同特征：(1)一次试验可能出现的结果有无限多个；(2) 每个结果的发生都具有等可能性．老师：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.老师：如何求解上述三个问题？同学们有好的解决方吗？问题1：1m1m3m学生分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，机会是均等的，基本事件形成的集合是一线段，设事件A:剪得的两段长都不小于1m.则31)(=A P )(长度全部结果所构成的区域的区域长度构成事件A设计意图：让学生体会解决问题的实质就是将原来具有无限性的基本事件集合进行了度量，即一维空间时用长度度量．问题2：学生分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合是整个靶面，设事件B ：射中黑心01.0101)(22=⨯⨯=ππB P)(面积全部结果所构成的区域的区域面积构成事件B问题3:学生分析：草履虫出现的每一个位置都是一个基本事件,草履虫出现位置可以是500ml水中的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合为500ml 的水，设事件C:2ml 的水样中发现草履虫25015002)(==C P)(体积全部结果所构成的区域的区域体积构成事件C设计意图：让学生意识到试验的结果均匀分布在几何区域内的任意一点，事件A 的概率只与事件A 构成的区域的面积或体积有关，与所在区域的位置、形状无关.让学生明确具有无限性基本事件集合,二维时用面积度量,三维时用体积度量.2、建构概念（1）定义如果每个事件发生的概率只与构成该区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

几何概型教案 教学目标： 1.了解几何概型的定义 2.会求简单的几何概型的概率问题 3.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力 教学重点关于几何概型的概率计算教学难点：准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度。

教学过程：一、创设情景，引入新课玩一个转盘游戏提问：在转盘游戏中，当指针停止时，为什么指针指向代号为B 的区域的可能性大？（因为代号为B 的区域的面积大，所以指针落在代号为B 的区域可能性大。

）二、学生活动（分组讨论）问题1．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。

金色靶心叫“黄心”。

奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运 动员在70m 外射。

假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点.如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段落的长度等于绳子长的31,于是事件A 发生的概率P(A)= 31 分析2:在问题2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点. 如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为212241⨯⨯π的大圆内,而当中靶点落在面积为22.1241⨯⨯π的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为P(B)=01.0122412.124122=⨯⨯⨯⨯ππ 归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那怎样处理呢?三、数学建构几何概型定义1.从上面的分析和解题可知,对于一个随机试验,我们将每个基本事件理3m1m 1m122c m 3m解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.古典概型的本质特征：1、样本空间中样本点个数有限，2、每一个样本点都是等可能发生的。

高三一轮立体几何复习课教案教案标题：高三一轮立体几何复习课教案教案目标：1. 复习高三一轮学习的立体几何基础知识；2. 强化学生对常见立体几何概念的理解和应用；3. 提高学生的解题能力和问题解决能力。

教学重点：1. 复习并掌握常见立体几何概念，如平行四边形、柱体、锥体等；2. 强化立体几何的思维方式和问题解决方法；3. 训练学生解决高难度立体几何题目的能力。

教学准备：1. 教学课件或者白板、黑板等；2. 学生练习册或习题集；3. 成绩单和学生笔记。

教学过程：一、引入（5分钟）1. 利用教学课件或黑板，引入本节课的主题，并激发学生对立体几何的兴趣和热情；2. 老师可以提出一个与立体几何相关的问题或者引用一个实际问题来引导学生思考；二、复习基础知识（15分钟）1. 复习并强化学生对立体几何基础概念的理解，例如平行四边形的性质、柱体的表面积和体积公式等；2. 提供简单的练习题，让学生回顾并解答，鼓励他们回忆相关的知识点；三、强化概念应用（25分钟）1. 回顾并讲解一些与立体几何相关的典型问题，例如求解线段比例、求解表面积和体积等；2. 给学生一些有挑战性的练习题，鼓励他们应用所学概念解决实际问题；3. 指导学生分析问题、确定解题方法，并辅导他们解题的思路和步骤；四、解题方法分享（15分钟）1. 学生进行小组活动，交流并分享解答问题的方法和思路；2. 老师对学生的分享进行点评和总结，同时指导他们在解题过程中的注意事项；3. 提供一些高难度问题，鼓励学生结合所学知识和解题方法进行探索和解答；五、课堂练习与梳理（15分钟）1. 发放练习册或习题集，让学生进行课堂练习；2. 在学生进行练习的同时，教师可以对学生的解题过程进行辅导和指导；3. 收集学生的成绩单，并提醒学生及时梳理和复习今日所学的知识点。

六、课堂总结与反思（5分钟）1. 对本节课的重点、难点进行总结，并强调学生的进步和知识提高；2. 鼓励学生提出问题、反思自己在学习过程中的困惑和不足之处；3. 鼓励学生积极参与课后的巩固练习，并准备下节课的复习内容。