2018-2019学年度九年级数学上册 21.1 一元二次方程一课一练 (新版)新人教版

一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一——直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即，所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解： 设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ． 那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31 把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解配套练习题BCAQP 12121232323232一、选择题1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程3x 2+9=0的根为（ ）．A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根 3．用配方法解方程x 2-x+1=0正确的解法是（ ）． A ．（x-）2=，x=± B ．（x-）2=-，原方程无解C ．（x-）2=，x 1=x 2=D ．（x-）2=1，x 1=，x 2=-二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a 、b +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______． 三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；2313891331389235923235313（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x 的方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 解：略例2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 根据题意，得：（8-x ）（6-x ）=××8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 例3．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y 则3x+4=y+，x+1=y- 12C A QP1212121212161612121616依题意，得：y 2（y+）（y-）=6 去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72（y 2-）2= y 2-=±y 2=9或y 2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-所以，原方程的根为x 1=-，x 2=-例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-）2= B ．（x-）2=0C ．（x-）2=D ．（x-）2=2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）． A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 5．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x 的值为________．12121616122894121722353235343138923138913109122221x x x ---3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 22．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 3．如果x2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b^2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac ）}/2a 来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=，x 2=222x yx y -+2b a-(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=- 配方，得：x 2+x+（）2=-+（）2即（x+）2= ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0∴（x+）2=()2直接开平方，得：x+=± 即x=∴x 1=，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

21．1一元二次方程01基础题知识点1一元二次方程的定义及一般形式1．(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A)A．3(x＋1)2＝2(x－1) B.1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝(x＋1)(x－1)2．下列一元二次方程中，常数项为0的是(D)A．x2＋x＝1B．2x2－x－12＝0C．2(x2－1)＝3(x－1)D．2(x2＋1)＝x＋23．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)2x2＝8；解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)2x2＋5＝4x；解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.(3)4y(y＋3)＝0；解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y＝0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.(4)(x－2)(2x＋1)＝x2＋2.解：去括号，得2x2＋x－4x－2＝x2＋2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：x2－3x－4＝0.其中二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4.知识点2一元二次方程的根5．下列是方程3x2＋x－2＝0的解的是(A)A．x＝－1 B．x＝1C．x＝－2 D．x＝26．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(D)A.x＝－1 B．x＝0C．x＝2 D．x＝－1或x＝27．(山西第二次质量评估)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为1．知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C)A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝1809．(教材P2问题1变式)(阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为(C)A．(80－x)(70－x)＝3 000B．80×70－4x2＝3 000C．(80－2x)(70－2x)＝3 000D ．80×70－4x 2－(70＋80)x ＝3 00010．有一根20 m 长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m 2的矩形？设矩形的长为x m ，依题意可得方程为x(10－x)＝24．11．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)x 支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了15场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：(1)6x 2＝36. 一般形式为6x 2－36＝0. (2)12x(x －1)＝15. 一般形式为12x 2－12x －15＝0或x 2－x －30＝0.易错点 忽视一元二次方程二次项的系数不为零12．若(m ＋1)x |m|＋1＋6x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为1．02 中档题13．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2 018－a －b 的值是(A)A ．2 023B ．2 013C ．2 018D ．2 01214．(阳泉市盂县期末) 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为(C)A ．－1B ．0C ．1D ．－2 15．若关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－(a 2－4)x ＋8＝0不含一次项，则a ＝－2．16．小明用30 cm 的铁丝围成一斜边长等于13 cm 的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x cm ，则另一直角边长为(17－x) cm ，列方程得x 2＋(17－x)2＝132．17．如果－5是一元二次方程x 2＝c 2的一个根，那么常数c 是±5，方程的另一根是5．18．(临汾市襄汾县期末)已知a ，b 是方程x 2－2x －1＝0的两根，且a 2－2b 2－2a ＋4b ＋m ＝0，则m ＝1． 19．根据下面的问题列出关于x 的方程，并将方程化成一般形式：在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了870张，求九(四)班有多少名同学．解：设九(四)班有x 名同学，根据题意，得 x(x －1)＝870.将方程化成一般形式为x 2－x －870＝0.20．已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0. (1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)由题意，得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0， 所以m －3＝0，即m ＝3.(2)由题意，得(m ＋3)(m －3)≠0，即m ≠±3.03 综合题21．若x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a ，b 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件． 解：张敏的这种想法不全面．由x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2.。

初中数学试卷 马鸣风萧萧新人教版数学九年级上册21.1一元二次方程课时练习一、选择题（共15小题）1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --= 答案： C知识点：一元二次方程的定义解析：解答：A 、错误，是分式方程；B 、错误，当a=0时，是一元一次方程；C 、正确，符合一元二次方程的定义；D 、错误，是二元二次方程.故选C ．分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．2、一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根答案：A知识点：根的判别式解析：解答：原方程变形为：x 2-2x=0，∵△=（-2）2-4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A ．分析：先把原方程变形为：x 2-2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．3、关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值（ ）A ．0B ．8C ．42±D ．0或8 答案：D知识点：根的判别式; 解一元二次方程-因式分解法解析：解答：∵一元二次方程x 2+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m-2）2-4×1×（m+1）=0，整理，得m 2-8m=0，解得m 1=0，m 2=8．故选D ．分析：根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x 2+（m-2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m 的方程，解方程即可．4、已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）A.1B.2C.-2D.-1答案：C知识点：根与系数的关系解析：解答：∵x=1是方程x 2+bx-2=0的一个根，∴x 1x 2 =-2，∴1×x 2=-2，则方程的另一个根是：-2，故选C ．分析：根据根与系数的关系得出x 1x 2=c a=-2，即可得出另一根的值． 5、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2 答案：D知识点：一元二次方程的解; 解一元二次方程-因式分解法解析：解答：x （x-2）=2-x ，x 2-2x=2-x ，x 2-2x+x-2=0，x 2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，x-2=0或x+1=0，解得x 1=2，x 2=-1；故选D.分析：先去括号，再移项，合并同类项，再因式分解即可，从而得出两个一元一次方程，求解即可．6、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -= 答案：C知识点：解一元二次方程-配方法解析：解答：移项得，x 2-2x=5，配方得，x 2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6，故答案为C分析：在本题中，把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．7、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2答案：A知识点：一元二次方程的解；等式的性质解析：解答：∵方程x 2+bx+a=0有一个根是-a （a≠0），∴（-a ）2+b （-a ）+a=0，∴等式的两边同除以a ，得a-b+1=0，故a-b=-1．故选A.分析：本题根据一元二次方程的根的定义，把x=-a 代入方程，即可求解．8、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种答案：B知识点：根的判别式解析：解答：∵关于x 的方程x 2+2kx+k-1=0中△=（2k ）2-4×（k-1）=4k 2-4k+4=（2k-1）2+3，∵（2k-1）2≥0，∴（2k-1）2+3＞0，∴k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B ．分析：本题需先求出方程的根的判别式的值，然后得出判别式大于0，从而得出答案．9、已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2·答案：C知识点：一元二次方程的定义；根的判别式解析：解答：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×（a-1）=4-4a+4=8-4a ＞0，又∵方程（a-1）x 2-2x+1=0为一元二次方程，∴a-1≠0，即a≠1，故选C ．分析：根据题意得出判别式大于0，从而解得a ＜2，一元二次方程二次项系数不为0解得a≠1.10、若a 为方程（x-17）2=100的一根，b 为方程（y-4）2=17的一根，且a 、b 都是正数，则a-b 之值是（ ）A ．5B ．6C ．83D ．10-17答案：B知识点：解一元二次方程-直接开平方法解析：解答：解方程（x-）2=100， 得x-=±10， ∴x=±10， 解方程（y-4）2=17，得y-4=±，∴y=4±．∵a 、b 都是正数，∴a=+10，b=4+， ∴a-b=（+10）－（4+）=6． 故选B ．分析：先解方程，分别求出a 与b 的值，再代入，即可得出a-b 的值．11．下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2430x x+-=；③2540x x -+=；④23x x =中，一元二次方程的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：A知识点：一元二次方程的定义解析：解答：①不能保证二次项的系数不为0，故不是一元二次方程；②不是整式方程，故不是一元二次方程；③最高次数是5，故不是一元二次方程；④是一元二次方程；是一元二次方程的有一个，故选A ．分析：找到未知数的最高次数为2次，2次项系数不等于0的整式方程的个数即可．12．若2530ax x -+=是关于x 的一元二次方程，则不等式360a +>的解集是（ ）A ．2a >-B ．2a <-C ．2a >-且0a ≠D ．12a > 答案：C 知识点：解一元一次不等式；一元二次方程的定义解析：解答：不等式移项，得3a ＞-6，系数化1，得a ＞-2；又∵ax 2-5x+3=0是一元二次方程，∴且a≠0；所以，a ＞-2且a≠0；故选：C分析：由于ax 2-5x+3=0是一元二次方程，故a≠0；再解不等式即可求得a 的取值范围；这样即可求得不等式的解集．13．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12答案：B知识点：一元二次方程的定义；一元二次方程的解解析：解答：把x=0代入方程得：a 2-1=0，解得：a=±1，∵（a-1）x 2+ax+a 2-1=0是关于x 的一元二次方程，∴a-1≠0，即a≠1，∴a 的值是-1，故选B ．分析：根据一元二次方程和一元二次方程的解得出a-1≠0，a 2-1=0，求出a 的值即可．14．已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则21a -的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C知识点：一元二次方程的解解析：解答：根据题意，得×22-2a=0，解得，2a=6；∴2a-1=6-1=5．故答案是：C分析：将x=2代入已知方程，列出关于a 的新方程，通过解新方程即可求得a 的值．15．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）A ．x （x+1）=182B ．x （x-1）=182C ．2x （x+1）=182D ．x （x-1）=182×2答案：B知识点：一元二次方程的应用解析：解答：设全组有x 名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x 名同学共赠：x （x-1）件，所以，x （x-1）=182．故选B ．分析：先求每名同学赠的标本，再求x 名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．二、填空题（共5小题）1、方程2x 2+5x -3=0的解是 。

21.1 一元二次方程一．选择题1．下面关于x的方程中:①ax2+bx+c=0;②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1③x2++5=0；④x2﹣2+5x3﹣6=0；⑤3x2=3（x﹣2）2；⑥12x﹣10=0是一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若关于x的方程(m﹣3）x2+mx﹣1=0是一元二次方程．则m的取值范围是（)A．m≥3B．m≠3C．m=3 D．m≠03．下面关于x的方程中:①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣(x+1）2=1；③x+3=;④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．下列方程是关于x的一元二次方程的是（)A．2x+1=0 B．y2﹣2x+1=0 C．D．3（x+1）2=2（x+1）5．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（）A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x,﹣2 D．3x2，26．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9=0的常数项是0，则m等于（)A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．97．方程x（x﹣2)=6化为ax2+bx+c=0形式后，a、b、c的值分别为（）A．1、﹣2、12 B．1、2、﹣6 C．1、﹣2、﹣6 D．﹣1、2、﹣68．一元二次方程（4x+1）(2x﹣3）=5x2+1化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）后a，b，c的值分别为（）A．3，﹣10,﹣4 B．3，﹣12，﹣2 C．8,﹣10，﹣2 D．8，﹣12,4 9．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为( ）A．﹣13 B．﹣9 C．6 D．010．已知x=1是二次方程(m2﹣1）x2﹣mx+m2=0的一个根，那么m 的值是（）A．或﹣1 B．﹣或1 C．或1 D．﹣11．已知x=2是关于x的方程x2﹣（m+4)x+4m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或1012．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二．填空题13．若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a 的值为．14．已知方程mx﹣(m+1)x+m2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为．15．将一元二次方程3x2﹣2x=5x+6化成一般形式为．16．一元二次方程2x2﹣x=1的一次项系数是．17．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008)（n2+2007n﹣2010）的值为．18．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是．19．若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：a2﹣3a+= ．三．解答题(共3小题)20．若关于x的二次方程(m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．21．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2（1)是一元二次方程；（2)是一元一次方程；（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．22．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣x+a2﹣2a﹣2=0有一根是1，求a的值．参考答案一．选择题（共12小题) 1．A．2．B．3．B．4．D．5．B．6．B．7．C．8．A．9．A．10．D．11．C．12．D．二．填空题（共7小题)13．3．14．﹣1．15．3x2﹣7x﹣6=016．﹣1．17．﹣1．18．．19．0．三．解答题（共3小题）20．解:∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0，∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4)(m+1）=0，解得：m=4或m=﹣1，当m=﹣1时,方程为5x=0，不合题意;则m的值为4．21．解：原方程可化为(m2﹣1)x2+（m﹣1）x﹣4=0，（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程;（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时,是一元一次方程；（3）x=﹣2时,原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，解得，m1=，m2=﹣1．22．解:将x=1代入,得：(a+1）﹣1+a2﹣2a﹣2=0，解得：a1=﹣1，a2=2．∵a+1≠0,∴a≠﹣1，∴a=2．。

2018年秋人教版数学九年级上册同步练习21.1一元二次方程一选择题（共12小题）1下列方程中，不是一元二次方程的是（）A BC D2无论a取何值，下列方程总是x的一元二次方程的是（）A（a2+1）x2=4B（a﹣2）x2=2C ax2+3x﹣2=0D2x2+ax﹣1=2x2 3下列方程中：①4x2=3x；②（x2﹣2）2+3x﹣1=0；③+4x﹣=0；④x2=0；⑤=2；⑥6x（x+5）=6x2其中一元二次方程的个数是（）A1B2C3D44关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A a≠±1B a=1C a=﹣1D a=±15方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A6，2，9B2，﹣6，9C2，﹣6，﹣9D﹣2，6，96若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m 等于（）A0B1C2D1或27一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是（）A3、﹣4、﹣2B3、﹣3、2C3、﹣2、2D3、﹣4、28把一元二次方程（x+2）（x﹣3）=4化成一般形式，得（）A x2+x﹣10=0B x2﹣x﹣6=4C x2﹣x﹣10=0D x2﹣x﹣6=09已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（）A﹣2B2C﹣4D410若关于x的方程x2+x+m=0的一个根为﹣2，则m的值为（）A﹣2B2C﹣1D111已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A9B12C9或12D6或12或1512已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A﹣1B2C22D30二填空题（共7小题）13下列方程中，一定是一元二次方程的有（填序号）①x2=0；②（a2+1）x2+3x+1=0（a为常数）；③ax2+bx+c=0（a，b，c为常数）；④；⑤x2+mx+n=0（m，n为常数）；⑥18x2﹣172﹣9=014已知（m﹣1）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则实数m的取值范围是15方程2x2+3x=3的二次项是，一次项是，常数项是16方程（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）=（x+3）2化为一般形式是，其中二次项是，一次项系数，常数项17已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2+m﹣2=0有一个根为0，则m=18若关于x的方程2x2+3ax﹣2a=0有一根为x=2，则关于y的方程y2+a=7的解是19下列数中﹣1，2，﹣3，﹣2，3是一元二次方程x2﹣2x=3的根是三解答题（共3小题）20把下列方程化为一元二次方程的一般形式（1）（1﹣2x）（x﹣1）=0；（2）2（x﹣l）+6x﹣7=2x221k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k+1）x+3（k﹣1）=0（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？22已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣5m+4=0有一根为2，求m参考答案一选择题（共12小题）1D2A3C4C5C6B7A8C9 B10A11B12D二填空题（共7小题）13①，②，⑤，⑥14m≠1，15二次项是2x2，一次项是3x，常数项是﹣3162x2﹣10x﹣8=0；2x2；﹣10；﹣817﹣218±319﹣1，3三解答题（共3小题）20（1）方程整理得：﹣2x2+3x﹣1=0；（2）方程整理得：2x2﹣8x+9=021（1）∵要使方程是一元一次方程，则k2﹣1=0且2（k+1）≠0，∴k=±1且k≠﹣1，∴k=1；（2）要使方程是一元二次方程，则k2﹣1≠0，∴k≠±122∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣5m+4=0有一根为2，∴（m﹣1）×22+3×2﹣5m+4=0，解得，m=6。

人教版九年级数学上册一课一练练习题第二十一章一元二次方程21. 1 一元二次方程1．只含有________未知数(元)，未知数的次数都是________，等号两边都是________，这样的方程叫做一元一次方程．2．下列方程中，是一元一次方程的是()A．x2－4x＝3B．3x－1＝x 2C．x＋2y＝1D．xy－3＝23．若x＝1是一元一次方程2x＋a＝6的解，则a的值为________．1．等号两边都是________，只含有一个______，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式为________________．使方程左右两边相等的________的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的________．2．[2023邯郸期中]下列方程中,是一元二次方程的是()A．4x－x2＝0 B．3x2－y－1＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x＋1x＝03．填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x2－4x－3＝02x2＝012x2＝3(2y－3)2＝y(y＋2)4.将方程(3x－1)(2x＋4)＝2化为一般形式为______________，其中二次项系数为________，一次项为________．5．2023定西期中已知(m－1)x|m|＋1－3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．知识点1一元二次方程的定义[2023廊坊期末]下列方程是关于x 的一元二次方程的是()A．ax2－6x＋m＝0B．3x(x－1)＝2x－2C.2x ＋3－1x－1＝0D．x2－4y＋7＝0 变式[2023保定期末]关于x的方程xa2－7－3x－2＝0是一元二次方程，则a＝______．知识点2一元二次方程的一般形式方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次项系数是________，一次项系数是______，常数项是________．变式[2023北京海淀区月考]方程x2－6x－1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A．1，－6，－1B．1，6，1 C．0，－6，1 D．0，6，－1知识点3一元二次方程的根[2023保定月考]关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为()A．1B．－1C．1或－1 D.12变式[2023石家庄二十三中校考]若m是方程x2＋x－1＝0的根，则2m2＋2m＋2 022的值为()A．2 024B．2 023C．2 022 D．2 021知识点4根据实际问题列一元二次方程某中学组织篮球比赛(每两队之间都赛一场)，共进行45场比赛，设这次参加比赛的球队个数为n，根据题意列方程为____________________．变式4[2023宁波期末]某公司计划用长为36 m的材料沿墙(可利用)建造一个面积为154 m2的仓库(如图)，设仓库与墙平行的一边的长为x m，则下列方程中正确的是()A．x(36－x)＝154B．x(18－12x)＝154C．x(36－2x)＝154D．x(18－x)＝154第二十一章一元二次方程21. 2 解一元二次方程21. 2. 1 配方法第1课时直接开平方法1．如果x2＝a，则x叫做a的________．2．如果x2＝a(a≥0)，则x＝________．3．4的平方根是()A．±4B．±2C．±2 D. 2 4．[2023西安月考]求4x2－16＝0中x的值．1．一般地，对于方程x2＝p①.(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个________的实数根________________；(2)当p＝0时，方程①有两个________的实数根____________；(3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2________0，所以方程①________实数根.2．一般地，对于方程(mx＋n)2＝p②.(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根_____________________________________；(2)当p＝0时方程②有两个________的实数根______________；(3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2________0，所以方程②________实数根．3．[2023天津期末]一元二次方程x2＝2的解为()A．x1＝2，x2＝－ 2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝x2＝ 2 D．x1＝x2＝－ 24．[2023广州模拟]解方程：(x＋1)2＝49.知识点1形如x2＝p(p≥0)的方程的解法解方程：(1)x2－81＝0；(2)25x2＝16.变式1－1一元二次方程x2－1＝0的根为() A．x＝1B．x＝－1C．x＝12D．x1＝1，x2＝－1变式1－2方程2x2－8＝0的根是() A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4知识点2形如(x＋m)2＝p(p≥0)的方程的解法解方程：(1)4(x－1)2－36＝0；(2)(2x－3)2－9＝0.变式2－1一元二次方程(x－2)2＝0的根是() A．x＝2B．x1＝x2＝2C．x1＝－2，x2＝2 D．x1＝0，x2＝2变式2－2解方程：(1)2(x－1)2＝32；(2)x2－6x＝－9.第二十一章一元二次方程21. 2 解一元二次方程21. 2. 1 配方法第2课时配方法1．完全平方公式：(a±b)2＝________________．2．在下列等式内填上适当的数，使等式成立：(1)x2＋2x＋____＝(x＋____)2；(2)x2－4x＋____＝(x－2)2；(3)x2＋3x＋____＝(x＋____)2；(4)x2－____x＋9＝(x－____)2.3．因式分解：(1)x2－14x＋49；(2)－4x3＋8x2－4x；(3)(4x－x2)2＋8(x2－4x)＋16.1．配方法解方程是通过________将方程转换成一个完全平方式等于一个常数的形式，然后利用直接开平方法解出方程．其中配方是为了________，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．2．[2023张家口期中]若a的值使x2＋6x＋a＝(x＋3)2成立，则a的值为() A．1B．4C．9D．163．若4x2－20x＋________＝(2x____)2，则横线上应分别填() A．52，－5 B．52，＋5 C．102，＋10 D．102，－104．用配方法解方程：x2－4x－3＝0.知识点1二次三项式的配方填空：(1)x2＋4x＋______＝(x＋______)2;(2)x2－23x＋______＝(x－______)2.变式1[2023淄博期中]若x2＋mx＋81是完全平方式，则m的值是() A．±18B．±9C．9 D．18知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程[2023阜阳期中]解方程：x2＋x－1＝0.变式2－1将方程x2－6x－5＝0整理成(kx＋p)2＝q的形式为________________．变式2－2用配方法解方程：x2－10x＋8＝0.知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.变式3－1[2023石家庄模拟]用配方法解一元二次方程3x 2＋6x －1＝0时，将它化为(x ＋a )2＝b 的形式，则a ＋b 的值为( ) A.103 B.73 C ．2 D.43变式3－2用配方法解方程：3x 2－6x －1＝0.第二十一章 一元二次方程 21. 2 解一元二次方程21. 2. 2 公式法1．[2023六安期中]把一元二次方程(x －1)2＝3x －2化为一般形式，则一次项系数和常数项分别为( )A ．－3和3B ．－3和1C ．－5和3D ．－5和12．请同学们回顾配方法的解答过程，并用配方法解方程：4x －x 2＋2＝0.1．根的判别式Δ＝________，用求根公式解方程x 2＋3x ＝－1，求得________________________________________________________________________．2．(1)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ______0时，方程有两个________的实数根；当Δ______0时，方程有两个________的实数根；当Δ______0时，方程没有实数根．特别地，当________时，一元二次方程有实数根．(2)[2023沧州期末]一元二次方程2x2＋x＋1＝0的根的情况是()A．无实数根B．有两个相同的实数根C．有两个不同的实数根D．无法判断3．解方程：2x2－x－3＝0.知识点1一元二次方程根的判别式[2023广东惠州月考]方程x2－2x＝0的判别式Δ＝________．变式1方程x2－5x－1＝0根的判别式的值为________．知识点2一元二次方程根的判别式的应用[2023石家庄期末]一元二次方程x2－2x－6＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根为0D．没有实数根[2023济南期末]若关于x的一元二次方程x2－6x＋m＝0有解，则m的取值范围是()A．m≤9B．m＜9C．m≥9 D．m＞9变式2下列方程有两个相等的实数根的是()A．x2＋x＋12＝0B．－x2＋2x－1＝0C．2x2－x－1＝0 D.x22－14x＝0变式3－1[2023宿迁期中]关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0无实数解，则k的取值范围是________．变式3－2[2023天津期末]若关于x的一元二次方程mx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的整数m的值：__________．知识点3用公式法解一元二次方程[2023石家庄期末]解方程：2x2－5x－1＝0.变式4用公式法解方程：(1)3x2－5x＋1＝0；(2)x2－2x＋7＝2x＋10.第二十一章一元二次方程21. 2 解一元二次方程21. 2. 3 因式分解法1．因式分解的定义和方法：(1)因式分解是把一个多项式化为____________的积的形式；(2)分解因式的常用方法有____________、____________；(3)在用公式法时，若是两项，可考虑用________；若是三项，可考虑用________________；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式．2．[2023益阳期末]多项式2x2－4xy＋2x提取公因式2x后，另一个因式为____________．3．3m(a－b)－9n(a－b)的公因式是____________．4．[2023黄石中考] 因式分解：x(y－1)＋4(1－y)＝________________．5．分解因式：(1)mx2－my2；(2)(a－3)2＋2a－6；(3)y2－9(x＋y)2.1．解一元二次方程的基本思路就是________，而因式分解法是将方程右边________，左边可以____________，将方程左边转化为____________的乘积，从而达到________的目的．2．解方程：(1)(x－1)2－16＝0；(2)x(x－7)＝8(7－x)；(3)(x－1)2＝2x(1－x)．知识点1用因式分解法解一元二次方程解下列方程：(1)(x－3)2＋2x(x－3)＝0；(2)(2x－1)2－x2＝0.变式1－1方程3x2＝0和3x2＝3x的解()A．都是x＝0B．有一个相同，且这个相同解为x＝0C．都不相同D．以上答案都不对变式1－2[2023邢台期末]解方程：3x(x＋1)－6(x＋1)＝0.知识点2用适当方法解一元二次方程用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2－8x＋1＝0;(2)3x(x－1)＝2x－2.变式2[2023北京海淀区期末]用适当的方法解方程：(1)x2－4x－3＝0；(2)2x(x－1)－(x－1)＝0.第二十一章一元二次方程21. 2 解一元二次方程*21. 2. 4 一元二次方程的根与系数的关系1．[2023承德期末]填空：(1)把方程的解填写在横线上．方程解x2＋4x＋3＝0 x1＝－1，x2＝－3x2－4x＋3＝0 ________________x2＋4x－5＝0 x1＝1，x2＝－5x2－4x－5＝0 ________________(2)如果关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根为x1和x2，你发现x1＋x2＝________，x1x2＝________．2．[2023衡阳期中]已知a－b＝3，ab＝10.(1)求a2＋b2的值；(2)求a＋b的值．1．写出下列一元二次方程(方程的根为x1，x2)的两实数根的和与两实数根的积．(1)x2－3x＋1＝0，x1＋x2＝________，x1x2＝________；(2)3x2－2x－2＝0，x1＋x2＝________，x1x2＝________；2．[2023北京朝阳区期中]已知x1，x2是方程x2－x－1＝0的两个实数根．(1)x1＋x2＝________，x1x2＝________；(2)求代数式x12＋x22的值．知识点1一元二次方程的根与系数的关系已知一元二次方程x2－3x－5＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为() A．2B．－2C．8D．－8变式1－1[2023长沙期末]已知x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值为()A．－2B．－4C．4D．2变式1－2已知1是方程x2＋kx＋4＝0的一个根，则方程的另一个根为() A．－1 B．4 C．5 D．－4知识点2根与系数关系的应用[2023运城月考]已知a，b是方程2x2＋7x＋2＝0的两个实数根，求下列各式的值．(1)2a2＋8a＋b；(2)ab＋ba.变式2－1关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为()A．－3，1B．－3，－1 C．3，－1 D．3，1变式2－2已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．第二十一章一元二次方程21. 3 实际问题与一元二次方程第1课时传播问题、握手问题与数字问题1．解答应用题的一般步骤是什么？2．[2023天津和平月考]某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是133.若设每个枝干长出x个小分支，则①主干的数目为________；②从主干长出的枝干的数目为________(用含x的式子表示)；③从枝干长出的小分支的数目为__________(用含x的式子表示)．3．一次有n个人参加的聚会上，规定：初次相遇的两个人握手并交换名片．那么，每个人发出的名片数量和握手的次数分别是________张、________次，n个人一共发出名片数量是________张，握手的总次数是________次．4．有两个连续偶数，其中较小的偶数记为a，则较大的偶数为________．1．对复习回顾的几个问题情境的条件进行增删，试着完成下面的填空：(1)有n个人参加的聚会上初次相遇的两个人握手，n个人共握手55次，则可列方程为____________，聚会人数n为________；(2)有两个连续偶数的乘积为728，则这两个偶数的值分别为____________．2．[2023上海黄浦区期中]一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？知识点1传播问题某教育研究院下发了一个通知，1名研究员看到该通知后，将该通知转发给了几名研究员，这几名研究员又将该通知转发给了其余不知道该通知的研究员，至此研究院21名研究员都收到了该通知．若设平均每名研究员将该通知转发给了x名研究员，则下列符合题意的方程是()A．x＋x2＝21B．1＋x＋2x＝21C．1＋x＋x2＝21 D．1＋x＋(1＋x)2＝21变式1[2023合肥期中]随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有13会将其再转发给其他没有收到此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮将信息转发给几个人？知识点2握手问题[2023邢台期末]某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为____________，参加这次会议的人数为________．变式2某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级的班级个数为()A．5B．6C．7D．8知识点3数字问题[2023忻州月考]一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，则原来的两位数为________．变式3小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为________．第二十一章一元二次方程21. 3 实际问题与一元二次方程第2课时变化率与营销问题1．嘉淇学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考]数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，她第二次月考数学成绩是________分，第三次月考数学成绩是________分．2．国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价是a元，第一次价格降低了15%，第二次价格又降低了15%，第一次促销活动中该上衣的价格是__________元，第二次促销活动中该上衣的价格是________元．3．某酒店每个房间每天房价为200元时，30间房可以全部租出，房价每涨10元，平均每天少租出1间，据此规律，请回答：若每个房间每天房价为220元，则酒店可以租出________间客房，酒店每天的总收入为________元；若每间房定价为x元，则酒店可以租出________间客房．1．继续复习回顾第1题中的问题，如果知道嘉淇第一次月考发挥失常，成绩为72分，第三次月考成绩为98分，第二次和第三次月考成绩的增长率均为n，那么n的值是多少？2．对于复习回顾第3题中的问题，若要使得酒店每天的总收入为6 160元，那么每间房的定价应是多少？知识点1变化率问题某楼盘在2022年开盘时售价为22 500元/m2，受多种因素的影响，2024年该楼盘的售价为14 400元/m2，则这两年该楼盘售价的年平均降价率为________．变式1[2023广州模拟]据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．(1)求该品牌电动自行车月销售量的平均增长率．(2)假设每月的增长率相同，预计4月份的销量会达到300辆吗？知识点2营销问题[2023邯郸期末]水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售．水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为________元．变式2[2023唐山期末]某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，每个水杯的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．若月销售利润恰好为10 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个水杯的售价为________．第二十一章一元二次方程21. 3 实际问题与一元二次方程第3课时几何图形问题1．底为a，底上的高为h的平行四边形面积为________；上底为a，下底为b，高为h的梯形面积为____________；对角线长分别为m，n的菱形面积为________；长为a，宽为b的长方形面积为________；边长为a的正方形面积为________．2．已知一个正方形的周长为c，则这个正方形的边长为________，面积为________；若已知一个长方形的周长为m，宽为a，则其长为________，面积为________．1．如图，嘉嘉暑假回爷爷家，爷爷想用长为70 m的栅栏，借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．(1)当CD的长为20 m时，BC的长为______m，能围成一个面积为________m2的羊圈．(2)若设羊圈垂直于外墙的边AB的长为x m，要想围成一个面积为646 m2的羊圈，则x的值应为多少？知识点1面积问题[2023北京海淀区期末]用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长为42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边的长不超过7米，围栏宽忽略不计，若生态园的面积为144平方米，则生态园垂直于墙的一边长为________米．变式1[2023佛山月考]如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少米时，猪舍面积为80平方米？知识点2甬道问题[2023广州期末]如图，有一块长为30米，宽为20米的矩形场地，计划在该场地上修建两条互相垂直的小道，横向小道与竖向小道的宽度比为2∶3，余下矩形场地建成草坪，草坪的面积为486平方米，则横向小道的宽为________米．变式2[2023合肥期中]如图，某市近郊有一块长为60 m、宽为50 m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域(一边长均为a m)将铺设塑胶地面作为运动场地．(1)设通道的宽为x m，则a＝________；(用含x的代数式表示)(2)若塑胶运动场地总占地面积为2 430 m2，则通道的宽为________m.第二十二章二次函数22. 1 二次函数的图象和性质22. 1. 1 二次函数1．下列函数：①y＝kx＋b；②y＝2x；③y＝－3x；④y＝13x＋3；⑤y＝x2－2x＋1.其中是一次函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．[2023晋中期中]若函数y＝(m－3)x4－|m|＋m＋7是一次函数，则m＝________．3．[2023汉中期中]已知y与(x－1)成正比例函数关系，且当x＝－2时，y＝6.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)求当x＝－3时，y的值；(3)求当y＝4时，x的值．1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是________，________，________．2．二次函数y＝x2＋2x＋1的常数项是()A．1 B．2 C．－1 D．03．[2023张家口期末]若函数y＝(a＋1)x2＋x＋1是关于x的二次函数，则a的取值范围是()A．a≠0 B．a≥1 C．a≤－1 D．a≠－14．某市即将举行一次篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)，那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为______________．(列出函数关系式)5．[2023淮北月考]已知函数y＝(|m|－1)x2＋(m－1)x－m－1.(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．知识点1二次函数的定义下列函数：①y＝5x－5；②y＝3x2－1；③y＝4x2－3x；④y＝2x2－2x＋1；⑤y＝1x2.其中是二次函数的有________．(填序号) 变式1下列函数中，是二次函数的是()A．S＝2t－3B．y＝1 x2C．y＝2x2D．y＝kx＋b知识点2二次函数的一般形式二次函数y＝5x(x－1)的一次项系数是()A．1B．－1C．5D．－5变式2在二次函数y＝－x2＋1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为________．知识点3实际问题中列二次函数关系式为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另外三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2，则y与x之间的函数关系式是________________，自变量x的取值范围是________________．变式3－1[2023邯郸期末]正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数关系式为()A．y＝x2＋16B．y＝(x＋4)2C．y＝x2＋8x D．y＝16－4x2变式3－2[2023自贡期末]一部售价为4 000元的手机，一年内连续降价两次，如果每次降价的百分率都是x，则降价两次后的价格y(元)与每次降价的百分率x 之间的函数关系式是()A．y＝4 000(1－x) B．y＝4 000(1－x)2C．y＝8 000(1－x) D．y＝8 000(1－x)2第二十二章二次函数22. 1 二次函数的图象和性质22. 1. 2 二次函数y＝ax2的图象和性质1．用描点法画函数图象的步骤依次是：________、________、________．2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过________的一条________，k＞0时，y随x的增大而________；k＜0时，y随x的增大而________．1．一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2的开口________，对称轴是________，顶点是________，顶点是抛物线的________，a越大，抛物线的开口________．2．一般地，当a<0 时，抛物线y＝ax2的开口________，对称轴是________，顶点是________，顶点是抛物线的________，|a|越大，抛物线的开口________．3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a>0，当x＜0时，y随x的增大而________，当x＞0时，y随x的增大而________；如果a<0，当x＜0时，y 随x的增大而________，当x＞0时，y随x的增大而________．4．[2023唐山期中]抛物线y＝x2开口方向是()A．向上B．向下C．向左D．向右5．下列抛物线中，开口最小的是()A．y＝－x2B．y＝－2x2C．y＝3x2D．y＝5x2 6．二次函数y＝6x2图象的顶点坐标是________．7．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．(1)求k的值；(2)直接写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．知识点1二次函数y＝ax2的图象二次函数y＝2x2的图象大致是()变式1在同一平面直角坐标系中作y＝3x2，y＝－3x2，y＝13x2的图象，它们的共同特点是()A．关于y轴对称，抛物线开口向上B．关于y轴对称，抛物线开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点知识点2二次函数y＝ax2的性质下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是()A．y有最大值B．函数图象的对称轴是y轴C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．函数图象的顶点是原点变式2－1已知a＞1，点A(a－1，y1)，B(a，y2)，C(a＋1，y3)都在二次函数y＝－2x2的图象上，则()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3变式2－2已知二次函数y＝(m＋2)x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()A．m＜－2B．m＞－2C．m≠－2 D．m＜2第二十二章二次函数22. 1 二次函数的图象和性质22. 1. 3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．根据二次函数y＝ax2的图象和性质填表：a>0 a<0开口方向向上大小|a|越大,____________顶点_______________对称轴___________或直线x=0增减性x<0 y随x增大而_________ y随x增大而_________x>0 y随x增大而_________ y随x增大而_________1．根据二次函数y＝ax2＋k的图象和性质填表：y＝ax2＋k开口方向对称轴顶点坐标增减性最值a＞0 ________ ______ ________ __________ ________ a＜0 ________ _____ ________ __________ ________2.函数y＝－12x2－3的图象的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________，这个顶点是图象的最________点．(填“高”或“低”)3．函数y＝－12x2－3的图象是由函数y＝－12x2的图象向________平移________个单位长度得到的．4．[2023广州期末]已知函数y＝(m＋3)xm2＋4m－3＋5是关于x的二次函数．(1)求m的值．(2)函数图象上的两点A(1，y1)，B(5，y2)，若满足y1＞y2，则此时m的值是多少？知识点1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质二次函数y＝－x2－1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．开口向上B．函数的最大值是－1C．对称轴是直线x＝1D．抛物线与x轴有两个交点变式1－1[2023北京海淀区月考]若点A(－1，y1)，B(3，y2)都在抛物线y＝x2－1上，则y1________y2.(填“＞”“＝”或“＜”)变式1－2形状与开口方向都与抛物线y＝－2x2相同，顶点坐标是(0，5)的抛物线对应的函数解析式为________________．知识点2抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的关系在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是()A．开口方向相同B．对称轴相同C．顶点的横坐标相同D．顶点的纵坐标相同变式2－1将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，则平移后所得图象对应的函数解析式为____________________．变式2－2抛物线y＝3x2向上平移5个单位后对应的解析式是______________，顶点坐标是________．第二十二章二次函数22. 1 二次函数的图象和性质22. 1. 3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1．根据二次函数y＝ax2＋k的图象和性质填表：a>0 a<0方向向上开口大小|a|越大,___________顶点对称轴__________或直线x=0x<0 y随x增大而________ y随x增大而_____增减性x>0 y随x增大而______ y随x增大而_______1．(1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2的开口________，对称轴是直线________，顶点坐标是________，当x＝h时，y有最________值为0.当x＜h时，y随x 的增大而________；当x＞h时，y随x的增大而________．(2)当a＜0时，抛物线y＝a(x－h)2的开口________，对称轴是直线________，顶点坐标是________，当x＝h时，y有最________值为0.当x＜h时，y随x的增大而________；当x＞h时，y随x的增大而________．2．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是()A．(1，0)B．(0，0)C．(0，1)D．(1，1)3．抛物线y＝a(x－h)2相当于把抛物线y＝ax2________(h＞0)或________(h＜0)平移________个单位长度．4．抛物线y＝a(x－2)2经过点(1，－1)．(1)求a的值；(2)写出该抛物线的顶点坐标、对称轴．知识点1二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质[2023浙江期末]二次函数y＝3(x－2)2的大致图象是()变式1－1[2023哈尔滨期中]对于二次函数y＝－2(x＋3)2的图象，下列说法正确的是()A．开口向上B．对称轴是直线x＝－3C．当x＞－4时，y随x的增大而减小D．点(－2，2)在此函数图象上变式1－2[2023北京朝阳区期中]已知(3，y1)，(1，y2)在二次函数y＝(x－1)2的图象上，则y1________y2.(填“>”“<”或“＝”)知识点2抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系抛物线y＝(x－3)2是由抛物线y ＝x2平移得到的，下列平移过程正确的是()A．向上平移3个单位长度B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度D．向右平移3个单位长度变式2将二次函数y＝－12(x＋2)2的图象向左平移6个单位长度，则平移后的抛物线对应的函数解析式为______________．第二十二章二次函数22. 1 二次函数的图象和性质22. 1. 3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第3课时二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质1．函数y＝4(x＋1)2的图象是由函数y＝4x2的图象向________平移________个单位长度得到的；函数y＝4x2＋3的图象是由函数y＝4x2的图象向________平移________个单位长度得到的．2．抛物线y＝－2(x－1)2的开口向________，其顶点坐标是________，对称轴是________，当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而________．1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的________相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向______________平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：(1)当a________时，开口向上；当a________时，开口向下．(2)对称轴是________，顶点坐标是________．2．从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：(1)如果a>0，当x＜h时，y随x的增大而________，当x>h时，y随x的增大而________；(2)如果a<0，当x＜h时，y随x的增大而________，当x>h时，y随x的增大而________．3．[2023保定期末]关于二次函数y ＝－(x －1)2＋1的最值，下列说法正确的是( )A ．有最大值，最大值为－1B ．有最大值，最大值为1C ．有最小值，最小值为1D ．有最小值，最小值为－14．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为____________________．5．[2023河池期中]已知抛物线y ＝13(x －1)2－2. (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴．(2)函数y ＝13(x －1)2－2有最大值还是最小值？并求出这个最大(或最小)值． (3)设抛物线与y 轴的交点为P ，求点P 的坐标．知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质已知抛物线y ＝(x －2)2－1. (1)其开口________； (2)顶点坐标为________；(3)当x ________时，y 随x 的增大而增大；(4)该抛物线对应函数的最______(填“大”或“小”)值为______．变式1－1[2023石家庄期末]关于二次函数y ＝－(x ＋1)2＋3的图象，下列说法错误的是( ) A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝－1C ．当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝－1时，函数有最小值，最小值为3变式1－2抛物线y ＝－2(x －1)2＋3上有三个点(－1，y 1)，(0，y 2)，(4，y 3)，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y1＝y3＜y2C．y1＝y2＜y3D．y2＞y1＞y3知识点2抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝(x－6)2＋3，下面对于平移过程的叙述正确的是()A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移6个单位，再向下平移3个单位变式2[2023张家口期末]将抛物线y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线对应函数的解析式为()A．y＝2x2B．y＝2x2＋6C．y＝2(x－2)2D．y＝2(x－2)2＋6第二十二章二次函数22. 1 二次函数的图象和性质22. 1. 4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．填空：(1)x2＋4x＋______＝(x＋______)2；(2)x2－6x＋______＝(x－______)2；。

21.1一元二次方程基础导练1.把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.2.若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－13．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2能力提升4．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.5．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．参考答案1.x2－6x＋4＝0 x2－6 42.B3.B4.25.－1 26．解：把x＝－1代入原方程，得2m－1－3m＋5＝0，解得m＝4.21.2.1配方法基础导练1.下列方程中，一定有实数解的是（ ）A.210x +=B.2(21)0x +=C.2(21)30x ++=D.21()2x a a -= 2.若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）A.p =4，q =2B.p =4，q =-2C.p =-4，q =2D.p =-4，q =-23.若28160x -=，则x 的值是_________．能力提升4.无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数（填“正”或“负”）．5.如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是 ．6.解一元二次方程22(3)72x -=．7.如果a 、b b 2-12b +36=0，求ab 的值．参考答案1.B2.B3.正 5.x -y =-54 6.解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．7.2(6)0b -=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43a =-，6b =，∴8ab =-. 21.2.2公式法基础导练1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________. 能力提升4.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.5.用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.6.求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．参考答案 1.B 2.C 3.94m ≤4.1k <-5.解：（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x -±-±==⨯，∴142x -+=，242x --=． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x ==1x =2x =． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =1101420.36--±=⨯，∴14y =-，223y =．6. 证明：∵∆＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．21.2.3一元二次方程的根与系数的关系基础导练1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－32．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,33．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________． 能力提升4．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m 的值是______．5．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －3＝0的两根，不解方程可求得x 21＋x 22＝________.6.已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.参考答案1．B 2.A 3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156.解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 21.3实际问题与一元二次方程基础导练1.一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元2.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A ．2002(1%)a +=148B ．2002(1%)a -=148C ．200(12%)a -=148D ．2002(1%)a -=1483.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2012年用于绿化投资20万元，2014年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=能力提升4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.A ．12B ．10C ．9D ．85.某县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A ．2)1(x a +B ．2%)1(x a +C ．2%)1(x +D ．2%)(x a a +6.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，三月份生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．7.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是10(1)x +，三月份的营业额应是102(1)x +．）参考答案1.B2.B3.C4.C5.B6.215(1)60x +=7.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得：21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2.56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．。

第二十一章一元二次方程21． 1一元二次方程1基础题知识点 1一元二次方程的定义及一般形式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是2 ax＋ bx＋ c＝0(a ≠0) ，其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项．b5E2RGbCAP 1．下列方程是一元二次方程的是( D)A．ax2＋bx＋c＝ 0 B ． 2x2－ 3x＝ 2( x2－2)C．x3－ 2x＋ 7＝ 0 2．关于 x 的方程D ． ( x－2) 2－ 4＝0 2a 的取值范围是( B)A．a＞0 B ．a≠0 C．a＝1 D ．a≥03．将一元二次方程2解： 2y － 3＝2y2y2－ 3＝2y的一般形式是化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．22y －2y－ 3＝ 0，其中二次项系数是2，一次项系数是－p1EanqFDPw2 ，常数项是－3. DXDiTa9E3d知识点 2一元二次方程的根使一元二次方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．4．下列是方程A．x＝－ 1 3x 2＋x－2＝0的解的是B ．x＝ 1( A)C．x＝－ 2 5．( 遵义桐梓县期末A． 1D．x＝ 2) 已知关于x 的一元二次方程B．－ 8x2＋ mx－ 8＝0 的一个根为1，则m的值为( D)C．－ 7 D． 7知识点 3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系26．某广场准备修建一个面积为200 m的矩形草坪，它的长比宽多10 m，设草坪的宽为x m，则可列方程为( D) RTCrpUDGiT A．x( x－ 10) ＝ 200B． 2x＋ 2( x－ 10) ＝ 200C． 2x＋ 2( x＋ 10) ＝ 200D．x( x＋ 10) ＝ 200易错点忽视二次项系数不为02 A．－ 1B．1 m的值为( B)C．± 1 D．无法确定02中档题8．若关于x 的一次二元方程A． 2 022ax2＋ bx＋ 5＝0(a ≠0) 的其中一个解是B． 2 018x＝1，则 2 017 － a－ b 的值是( A) 5PCzVD7HxAC． 2 017D． 2 0162 22 210．若关于 x 的一元二次方程(a － 2)x －(a － 4)x ＋8＝ 0 0，则 a＝ 1．不含一次项，则a＝－ 2．11．一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，设斜边的长为x，则可列方程为x2－6x＋ 5＝ 0．( 要求整理成一般形式 ) jLBHrnAILg12．根据下面的问题列出关于x 的方程，并将方程化成一般形式：在圣诞节到来之际，九(4) 班所有同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了 1 980 张，求九 (4) 班有多少名同学？xHAQX74J0X解：设九 ( 4) 班有 x 名同学，根据题意，得x( x－ 1) ＝1 980.将方程化成一般形式为x2－x－ 1 980 ＝0.21.2 解一元二次方程 21．2.1配方法 第 1 课时直接开平方法1基础题知识点用直接开平方法解一元二次方程解形如 x 2＝ p 或(mx ±n) 2＝p(p ≥0) 的一元二次方程，先根据平方根的意义，把一元二次方程“开平方”转化为两个一元一次方程，再求解． LDAYtRyKfE如：解方程 (x ＋1) 2＝ 9，方程左边开平方得到两个一元一次方程 x ＋ 1＝ 3 和 x ＋1＝－ 3．1．下列方程能用直接开平方法求解的是( C)A ． 5x 2＋2＝ 0B ． 4x 2－2x ＋ 1＝ 0C ． ( x － 2) 2＝ 4D ． 3x 2＋4＝ 22．( 遵义期末 ) 一元二次方程 x 2－4＝ 0 的解是 ( C)A ． x ＝2B ． x ＝－ 2C ． x 1＝ 2， x 2＝－ 2D ． x 1＝ 2， x 2＝－ 23．一元二次方程 (x －2) 2＝ 9 的两个根分别是 ( D)A ． x ＝ 1， x ＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x ＝－ 5122C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 54．若关于 x 的一元二次方程 (x ＋ 3) 2＝ m 有实数解，则 m 的取值范围是 ( C) A ． ≤0 B ． ＞0mmC ． m ≥0D ． m ≥25．用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2＝1;(2)(x ＋ 1) 2－ 49＝ 0； 11解： x 1＝2， x 2 ＝－ 2.解： x 1 ＝6， x 2＝－ 8. Zzz6ZB2Ltk(3)(3x ＋ 2) 2＝ 25; (4)4(x － 2) 2－ 36＝ 0.解： x ＝1， x ＝－7 解： x ＝5， x ＝－ 1.3.121202中档题6．若一元二次方程2的两个根分别是bdvzfvkwMI17．用直接开平方法解下列方程：2(1)x ＋ 6x ＋ 9＝ 25；2解： ( x ＋ 3) ＝ 25， x ＋ 3＝ ±5， ∴x 1＝ 2， x 2＝－ 8.(2)4(3x－ 1) 2－ 9(3x ＋ 1) 2＝ 0.解：移项 ，得 4( 3x － 1) 2＝ 9( 3x ＋1) 2，即 [ 2( 3x － 1)] 2＝ [ 3( 3x ＋ 1)]2， ∴2( 3x －1) ＝ ±3( 3x ＋1) ，即 2( 3x － 1) ＝ 3( 3x ＋1) 或 2( 3x －1) ＝－ 3( 3x ＋1) ． ∴3x ＋ 5＝0 或 15x ＋1 ＝0.5 1∴x 1＝－，x 2 ＝－.3158．若 2(x 223＋ x的值．＋3) 的值与 3(1 － x ) 的值互为相反数，求 x 2解：由题意 ，得 2( x 2＋ 3) ＋ 3( 1－ x 2) ＝ 0， 2∴x＝ 9. ∴x 1＝3， x 2＝－ 3.3＋ x 2 ∴x 2 的值为 3或 0.9．自由下落物体的高度 h( ) 与下落的时间 t( s ) 的关系为 h ＝ 4.9t 2，现有一铁球从离地面 19.6高的建筑物的顶mm部自由下落，到达地面需要多少秒？ rqyn14ZNXI2∴t 1＝ 2， t 2＝－ 2( 不合题意 ，舍去 ) ． ∴t＝ 2.答：到达地面需要2 s.第 2课时 配方法1基础题 知识点 1 配方将一个多项式配成完全平方的形式，叫做配方．如： x 2＋2x ＋ 1 可变形为 ( x ＋ 1) 2， x 2＋ 2x －3 可变形为 ( x ＋ 1) 2－4．22m 的值是 ( C)1．若 x ＋ 6x ＋ m 是一个完全平方式，则 A ． 3 B ．－ 3C ．± 3D ．以上都不对2．用适当的数填空：(1)x 2－ 4x ＋ 4＝ (x － 2) 2；2932(2)m ± 3m ＋ 4＝(m ± 2) . 3．( 遵义期末 ) 方程 x 2＋ 2x － 1＝0 配方得到 (x ＋ m)2＝2，则 m ＝1．知识点 2 一元二次方程的根用配方法解一元二次方程ax 2＋ bx ＋ c ＝0(a ≠0) 的一般步骤：①化：化二次项系数为 1； ②移：将常数项移到等号右边；③配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为 (x ＋ m)2＝ n 的形式；④解： n ≥ 0 时，用开平方的方法求出方程的解； n ＜0 时，方程无解．4．( 遵义期中 ) 用配方法解方程 x 2＋ 8x ＋ 9＝ 0，变形后的结果正确的是( C)A ． ( x ＋ 4) 2＝－ 7B ． ( x ＋ 4) 2＝－ 9C ． ( x ＋ 4) 2＝ 7D ． ( x ＋ 4) 2＝255．( 柳州中考 ) 你认为方程 x 2＋2x － 3＝ 0 的解应该是 ( D)A ． 1B ．－ 3C ． 3D ．1 或－ 36．解方程： 2x 2－ 3x －2＝ 0. 为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x 2－ 3x ＝ 2；再把二次项系数化为 1，得 x 2 3233 23 23225－ 2x ＝ 1 ；然后配方，得x － 2x＋( 4) ＝1＋(4) ；进一步得 (x － 4) ＝16 ，解得方程的两个根为x 1＝ 2， x 2＝－12． EmxvxOtOco7．完成下面的解题过程：27用配方法解方程： x － x － 4＝ 0.解：配方，得 x 2 －x ＋ ( 1) 2－ ( 1) 2 －7＝ 0． SixE2yXPq52 2 41 2即 ( x －2) ＝ 2．12．开平方，得 x － ＝ ±2∴x＝ 2＋ 2， x ＝－ 2＋2． 6ewMyirQFL 11 2 18．用配方法解下列方程：(1)x 2－ 2x － 1＝ 0；解：配方 ，得 x 2 －2x ＋ 1＝ 2，即 ( x － 1) 2＝2， ∴x－ 1＝± 2. 解得 x 1＝1＋2， x 2 ＝1－ 2.23(2)x －2x － 3＝ 0；3 2 57 解：配方 ，得 ( x －4) ＝ 16，∴x＝ 3＋ 57 ， x ＝ 3－ 57 . 1 4 24(3)2x 2－4x － 5＝ 0.25解： x －2x － ＝ 0，27配方 ，得 x － 2x ＋ 1＝ ，27即 ( x －1) ＝ 2.14∴x－ 1＝± 2 .解得 x 1＝ 2＋ 14 2－ 14，x 2＝ .2 2易错点配方时符号易出错9．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B)A ． x 2－ 2x － 99＝ 0 化为 ( x －1) 2＝ 100B ． x 2＋ 8x ＋ 9＝ 0 化为 ( x ＋4) 2＝ 25C ． 2t 2－7t － 4＝ 0 化为 ( t －7) 2＝814 16D ． 3x 2－4x － 2＝ 0 化为 ( x －23) 2＝ 1092 中档题10．用配方法解一元二次方程ax 2＋ bx ＋c ＝0(a ≠0) ，此方程可变形为( A)b2b 2－ 4acA ． ( x ＋ 2a ) ＝ 4a 2 b 2 4ac － b 2B ． ( x ＋ 2 ) ＝4 2aab22－ 4bacC ． ( x － 2a ) ＝ 4a2 b 2 4ac － b 2 D ． ( x － 2a ) ＝ 4a211．若方程 4x 2－ (m － 2)x ＋ 1＝0 的左边是一个完全平方式，则m 等于( B)A ．－ 2B ．－2或 6C ．－2或－6D ．2或－612． ( 遵义汇川区月考 ) 三角形两边长为 3 和 7，第三边满足方程x 2－ 10x ＋ 21＝ 0，则三角形的周长是 ( C) kavU42VRUsA ．12B ．13C ．17D ．13 或 1713．用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x － 4＝ 0；7281解： ( x ＋ 4) ＝ 16，1x 1＝ 2， x 2＝－ 4.(2)3x 2－x － 5＝ 0；解： x 2－13x ＝ 53，1 261( x － 6) ＝ 36， x － 1＝ ± 61，6 6x 1＝ 1＋ 61 ， x 2＝ 1－ 61 .6 6(3)x 2－ 2x － 6＝ x －11；解： ∵ ( x －32) 2＝－ 114<0，∴ 原方程无实数解．(4)x(x ＋ 4) ＝ 6x ＋ 12.2解： ( x － 1) ＝ 13， x 1＝ 1＋ 13， x 2＝ 1－ 13.3综合题214．要用一根长 20 cm 的铁丝，折成一个面积为 16 cm 的矩形方框，应该怎样折呢？ 解：设折成的矩形的长为 x cm ，则宽为 ( 10－x ) cm ，由题意，得 x( 10－ x) ＝16. 解得 x 1＝2， x 2＝ 8.∴ 矩形的长为 8 cm ，宽为 2 cm.。

线 2 .若关于x 的方程(a+1) x 2- 2x - 1=0是一元二次方程，则 a 的取值范围是()A. a ^― 1B. a > 1 C . a v 1 D . a z 03 .若方程(m- 1) x m2+1-( m+D x — 2=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为()A. 0 B .± 1 C. 1D.— 1- 4.方程2x 2— 6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）- A. 6, 2, 9B. 2, — 6, 9C. 2,— 6, — 9D.- 2, 6, 9订 一 2 2- 5.若关于x 的一兀二次方程（m- 2） x +3x+m — 3m+2=0的常数项为0,贝U m 等于（） 号-A. 0B . 1 C. 2 D. 1 或 2学--6 .将一兀二次方程-3x 2 — 2=— 4x 化成一般形式为（）二 2 2 2 2 - A. .3x 2 — 4x+2=0 B . .3x 2 — 4x — 2=0 C. .3x 2+4x+2=0 D. .3x 2+4x — 2=0- 7.—元二次方程 3x 2— 3x=x+2化为一般形式 ax 2+bx+c=0后，a 、b 、c 的值分别是（）11.关于x 的方程是(m - 1) X 2+ ( m- 1) X — 2=0,那么当m __________ 时，方程为一元二次方程； 当m _____ 时，方程为一元一次方程. 12 .将一元二次方程(x — 2) ( 2x+1) =x 2 — 4化为一般形式是 ______ ，二次项系数是 _______常数项是 _______ .13 .将一元二次方程 4x 2 — 3=8x 化成一般形式 _______ .14. ______________________________________________________________________________ 一元二次方程-2(x — 1) 2=x+3化成一般形式ax 2+bx+c=0后，若a=2,则b+c 的值是 __________________2 215. 已知 m 是方程3x — 6x — 2=0的一根，则 m -2m= ______ .三.解答题(每题 10分，总计50分)16. 已知关于 x 的方程(2k+1) x — 4kx+k —仁0(1) 问：k 为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根；(2) k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数，一次项系 数，常数项.2 2A. a （X 1 — X 2） =d B . a （X 2 — xj =d C . a （X 1 — X 2） =d D. a （X 1+X 2） =d 二、 填空题（每题4分，总计20分）-A. 3、— 4、— 2 B . 3、— 3、2 C. 3、— 2、2D. 3、— 4、2装 - &若2— 「是方程x 2— 4x+c=0的一个根，则c 的值是( )-A. 1B .；一冷‘：•：C. D.2- 9.若关于x 的方程x +x+m=0的一个根为-2，则m 的值为( ) - A.- 2 B . 2C.- 1D. 1-10.若关于x 的一元二次方程 a (x — X 1)( x — X 2)=0 (a z 0且X 1丰X 2)与关于x 的一元一次方 名 二 程dx+e=0 (d z 0)有一个公共解 x=X 1,且方程a(x — xj (x — X 2) +dx+e=0只有一个解，则( )姓-17.若关于x 的方程(m+3 严2亠丁+ (m- 5) x+5=0是一元二次方程，试求代数式5m+6itH-4 的值.2 2用你探究的规律，解下列方程x+102x - 36?18=0.19 .已知：关于x 的方程x (x - k ) =2 - k 的一个根为2. (1) 求k 的值；(2) 解方程：2y ( 2k - y ) =1.3解：•••关于x 的一元二次方程（m- 2） x 2+3x+n?-3m+2=0的常数项为0,2• m - 3m+2=Q m- 2工 0, 解得：m=1 故选：B.6.解：方程整理得：3x 2- 4x+2=0, 故选：A.7.解：一元二次方程 3x 2- 3x=x+2化为一般形式ax 2+bx+c=0后， 3x 2 - 4x - 2=0,则 a=3, b= - 4, c= - 2. 故选：A8.解：把 2-「代入方程 x 2- 4x+c=0 ,得（2- 一）2-4 （2- _） +c=0 ,解得c=1 ； 故选：A9.解：将x= - 2代入方程x 2+x+m=Q得 4 - 2+m=Q参考答案与试题解析 一•选择题（共10小题） 1.解：A 、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D.2.解：由题意可知：a+1丰0, 二 a 工―1 故选：A .3.、, 2解：由题意得：m+1=2, m- 1工0, 解得m=- 1, 故选：D.4.解：•••方程2x 2- 6x=9化成一般形式是 2x 2- 6x - 9=0, •••二次项系数为2，一次项系数为-6,常数项为-9.2 4解得，m=- 2.故选：A5 .10.解：•••关于x的一元二次方程 a (x - x i) (x - X2) =0与关于x的一元一次方程dx+e=0有一个公共解X=X i,■/ x=x i是方程 a (x- x i)( x - X2) +dx+e=0 的一个解.•••方程 a (x - x i)( x - X2) +dx+e=ax -( ax i+ax2—d) x+ax i?X2+e=0 只有一个解，-(ax t/• X i+X i=- ——: ------ - -----a整理得：d=a (X2 - X i).故选：B.二.填空题(共5小题)11.解：若方程是一元二次方程，则：m- i z 0••• nz± i若方程是一元一次方程，则：m i -仁0 且m- i z 0• m=- i.故答案分别是：m z±i, m=- i.12.解：(x - 2)( 2x+i) =x2- 4,去括号得：2x - 4x+x - 2=x - 4移项得：2x2- 4x+x - 2 - x2+4=0合并同类项得：x2- 3x+2=0,所以一般形式为：x2- 3x+2=0,52 6二次项系数为：i ,常数项是：2,故答案是：x 2- 3x+2=0; i ; 2.13.解：将一元二次方程 4x 2 - 3=8x 化成一般形式为：4x 2 - 8x - 3=0 故答案为：4x 2 - 8x - 3=0.14.解：-2 (x - i ) 2=X +3,2-2 (x - 2x+i ) =x+3,2-2x +4x - 2=x+3,2-2x +4x - 2 - x - 3=0,2-2x +3x - 5=0, 22x - 3x+5=0, 则 b= - 3, c=5, b+c= - 3+5=2 故答案为：2.15.解：把x=m 代入方程得：3n i - 6m- 2=0 即 3m - 6m=2 3 ( m - 2m ) =2 •卅-2m=3 2故答案是：〒.三.解答题(共5小题)解：（1）2k+ 仁0 即k=- 一时，（2k+1）x2- 4kx+k - 1=0 是一元一次方程，22x - '. =0,解得x=—;2 4- 2（2）2k+l M 0 即k 丰-=、时，（2k+1）x - 4kx+k - 1=0 是一元二次方程，二次项系数是（2k+1），一次项系数是-4k，常数项时k- 1.17.解：•••关于x的方程（m+3 ..." i'+ （m- 5）x+5=0是一元二次方程，2 —/• m - 7=2 且m+趺0,解得m=3.5时6 =5 冬3+6 =3 即5时6 =3：! - L:; 一 1 ：! -118.解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.19.解：(1 )将x=2 代入x (x- k) =2- k 得至U：2 (2 - k) =2 - k,解得：k=2; 解得：y=2+ 「或y=2- 」.2 220.2解：x - 6x- 27=0,(x+3)( x - 9) =0,所以，X1=—3, X2=9;第n个方程为：x2- 2nx - 3n2=0,方程的解是X1=- n, X2=3n;2•/ x +102x - 36?18=0,•••( x-6)( x+108) =0,.方程的解是X1=6, X2=- 108.故答案为-3, 9.7（2）当k=2时，方程变为：2y （4-y）=1, 28。

一元二次方程21.1__一元二次方程__[见A本P2]1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)A．x2＋1x2＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0【解析】A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)A．5，6，－8 B．5，－6，－8C．5，－6，8 D．6，5，－8【解析】5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则(B)A．a>0 B．a≠0C．a＝1 D．a≥0【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为(A)A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1. 5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则下列方程不正确的是(C)图21－1－1A．x(x＋5)＝25B．x2＋5x＝25C．x2＋5x－20＝0D．x(x＋5)－25＝0【解析】大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.6．下列关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有(C)①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打__x －1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__12x (x －1)__．根据题意，可列出方程__12x (x －1)＝28__．整理，得__12x 2－12x ＝28__．化为一般式，得__x 2－x －56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__．【解析】 设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x (x －1)． 根据题意，可列出方程12x (x －1)＝28. 整理，得12x 2－12x ＝28， 化为一般式为x 2－x －56＝0.二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如果设门的宽为x 尺，那么这个门的高为(x ＋6.8)尺，根据题意，得__x 2＋(x ＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x 2＋13.6x －53.76＝0__．10．教材或资料会出现这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：(1)下列式子中，有哪几个是方程12x 2－x ＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)__①②④⑤__．①12x 2－x －2＝0；②－12x 2＋x ＋2＝0；③x 2－2x ＝4；④－x 2＋2x ＋4＝0；⑤3x 2－23x －43＝0. (2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？解：(2)若设它的二次项系数为a (a ≠0)，则一次项系数为－2a 、常数项为－4a .11．若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2013－a －b 的值是( A )A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012【解析】∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0的一个根，∴a ·12＋b ·1＋5＝0，∴a ＋b ＝－5，∴2013－a －b ＝2013－(a ＋b )＝2013－(－5)＝2018.12．[2013·黔西南]已知x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则代数式a 2＋b 2＋2ab 的值是__1__.【解析】 ∵x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴12＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1∴a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝(－1)2＝1.13．若方程4x k －1＋3x ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则k 的值为__3__．【解析】 ∵此方程是一元二次方程，∴k －1＝2，∴k ＝3.14．翠湖公园有一块长为32 m ，宽为20 m 的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为x m ，剩下的空地面积为540 m 2，请列出关于x 的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．图21－1－2解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形．依题意得(32－x )(20－x )＝540，整理，得一般形式为x 2－52x ＋100＝0，二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100. 15．已知m 是方程x 2－2 013x ＋1＝0的一个根，试求代数式m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1的值． 解：∵m 为方程x 2－2 013x ＋1＝0的根，∴m 2－2 013m ＋1＝0，即m 2－2 013m ＝－1，m 2＋1＝2 013m ，∴m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1＝m 2－2 013m ＋m ＋2 0132 013m ＝－1＋m ＋1m .又由m 2－2 013m ＋1＝0， 两边同除以m 得m ＋1m＝2 013， ∴原式＝－1＋2 013＝2 012.。