华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_40

华东师大版九年级数学一课一练九年级数学一课一练一、函数1、图像：画出函数 $$y = (x + 4)^2 - 5$$ 在 [-6, 5] 上的图形。

2、求函数 $$y=2x^{2} - 7x + 5$$当 $$x=2$$ 是 $$y$$ 的值。

3、求 $$ y=\frac{1}{x}+5x^{2} $$ 的定义域。

二、极限1、求极限 $$ \lim_{x \to 4}\frac{2x - 4}{\sqrt{7x - 3} - \sqrt{11x + 19}} $$2、判断极限 $$ \lim_{x\to 0}1-\cos(x)$$ 是否存在？三、导数1、求函数 $$ y = x^{3} + 6x^{2} - 7x + 3 $$ 的导数 $ \frac{d}{dx}y $.2、已知函数 $$ f(x)=\ln x,\quad x>0 $$ 的导数为$$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{1}{x} $$,求$$x$$ 为何时时值，函数 $$ f(x) $$取极大值？四、微积分1、求不定积分 $$ \int\dfrac{x-2}{x^2+7x+6}\,dx $$2、对于定积分 $$ \int_{a}^{b}\dfrac{3x+6}{x^3-x-6}\,dx , $$ 求定积分的值。

五、空间解析几何1、以 $$ O(3, 0, -6) $$ 为顶点，且与直线 $$ 3x+2y-z-8=0 $$ 垂直的平面方程是什么？2、求出 $$ABCD$$ 所围的三棱锥的体积，若 $$AB=AC=2, AA'=3, BC=4, BD=AD=\sqrt{5},D'E=2, D'C=3. $$六、几何概念1、证明：若圆内一点到圆上两点的距离之和等于这两点间的距离，则该点为圆心。

2、设圆 $$C1$$ 已知 $$C1: x^2+y^2+8x+4y-9=0 $$，点 $$ P=(0,-3) $$ 在圆 $$ C1 $$ 上，求圆 $$ C1 $$ 的方程。

21．1 第1课时二次根式的概念知识点1 二次根式的概念1．如果－x是二次根式，那么－x________0，则x________0. 2．下列各式中，一定是二次根式的是( )A.35B.32 C.－2 D.x3．下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是？为什么？3，35，－16，－7，x2(x≥0)，||－8，a－2.知识点2 二次根式有意义的条件4．如果二次根式3x－1在实数范围内有意义，那么必须使3x－1________0，所以当x________时，二次根式3x－1在实数范围内有意义．5．如果x－1无意义，那么字母x的取值范围是( )A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜16．求使下列各式有意义的字母x的取值范围．(1)5－2x；(2)2x＋1 2；(3)1x－1；(4)2x＋1.7．当a为任意实数时，下列各式中是二次根式的是( )①a＋1；②5a2；③|a|；④－a2－2；⑤（a－1）2. A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤8．［2017·绵阳］使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有( )A．5个B．4个C．3个D．2个9．写出一个只含有字母x的二次根式，使它同时满足以下要求：(1)要使此式有意义，字母x必须取大于或等于2的实数；(2)此式的值恒为非正数．这个二次根式可以是__________ .10．［教材练习第2题变式］当x取何值时，下列各式有意义？(1)3－x＋12x－1；(2)x＋3|x|－4.11．若x，y为实数，且2x－1＋1－2x＋y＝8，求xy的值．1．≥ ≤ 2.A3．解：3，－16，x 2(x ≥0)，|－8|是二次根式；35，－7，a －2不是二次根式．理由：3，－16，x 2(x ≥0)，|－8|符合二次根式的概念，故是二次根式.35的根指数是3，故不是二次根式；－7的被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；a －2的被开方数a －2的正负不能确定，故也不一定是二次根式．4．≥ ≥135.D6．(1)x ≤52 (2)x ≥－12 (3)x>1 (4)x>－17． D8．B 9．答案不唯一，如－x －210．解：(1)由原式有意义可得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，2x －1＞0，∴12＜x ≤3.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，①|x|－4≠0，②由①得x ≥－3，由②得x ≠±4，故当x ≥－3且x ≠4时，原式有意义．11．解：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，1－2x ≥0，∴x ＝12，∴y ＝8，∴xy ＝4.21.1 第2课时 二次根式的性质 知识点 1 二次根式的非负性 1．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2018＝( )A ．－1B ．1C ．32018D ．－32018 2．若|x －y|＋y －2＝0，则x y －3的值为________．知识点 2 二次根式的性质(a)2＝a(a ≥0)3．计算(15)2的结果是( )A ．225B ．15C ．±15D ．－15 4．把414写成一个正数的平方的形式是( )A ．(212)2 B ．(174)2 C ．(±212)2 D ．(±174)2 5．计算： (1)(11)2； (2)(－ 20)2.知识点 3 二次根式的性质a 2＝|a|6．计算：（－2）2＝|________|＝________．7．下列计算正确的是( ) A ．(5)2＝25 B ．(－3)2＝3 C.（－3）2＝－3 D.02＝08．计算： (1)916； (2)（－7）2.9．若x－2＋3＋y＝0，则(x＋y)2019的值为( ) A．5 B．－5 C．1 D．－110．若（x－3）2＝3－x，则x的取值范围是________．11．［教材习题第2题变式］计算：(1)⎝⎛⎭⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－232；(2)（a＋3）2－a2(a>0)．12．阅读材料，解答问题．例：若代数式（2－a）2＋（a－4）2的值是常数2，求a的取值范围．分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离，|a－4|表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．图21－1－1解：原式＝|a－2|＋|a－4|.在数轴上看，应分三种情况讨论：①当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a；②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2；③当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6.通过分析可得a的取值范围是2≤a≤4.(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？(2)化简：（3－a）2＋（a－7）2.1．B 则原式＝(－1)2018＝1. 2. 12 3．B4．B 5．(1)11 (2)20 6.－2 2 7.D 8．(1)34 (2)79． D 10． x ≤311．解：(1)原式＝3＋23＝323.(2)原式＝a ＋3－a ＝3.12．解：(1)数形结合思想，分类讨论思想． (2)原式＝|3－a|＋|a －7|.①当a ＜3时，原式＝3－a ＋7－a ＝10－2a ； ②当3≤a ≤7时，原式＝a －3＋7－a ＝4； ③当a ＞7时，原式＝a －3＋a －7＝2a －10.21.2.1 二次根式的乘法 知识点 1 ab ＝a ·b 成立的条件1．如果等式x ＋1·1－x ＝1－x 2成立，那么有x ＋1________0，1－x________0，所以x 的取值范围是__________．2．若a ·b ＝ab 成立，则下列说法正确的是( )A ．a ≥0，b ≥0B ．a>0，b>0C ．a ≤0，b ≤0D ．a<0，b<0 知识点 2 二次根式的乘法法则的应用3．计算：8×12＝____________．4．下列计算正确的是( ) A.2×5＝7 B.2×5＝10 C.5×6＝11 D.12×12＝25．［教材例1变式］计算： (1)3×5； (2)13×108；(3)68×(－32); (4)6×34×8.6．下列运算正确的是( ) A ．23×32＝65 B.2a ·8a ＝4a C.（a 3）2＝a 3 D.5×920＝327．阅读下列解答过程，在括号中填入恰当的内容． (－a)2＝－a ×－a ①＝（－a）×（－a）②＝（－a）2③＝a2④＝a. ⑤(1)由上述过程可知a的取值范围为________；(2)上述解答过程有错误的是第________步，正确结果为________．8．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于学生进行实地考察．为了考查学生的数学应用能力，他把长方形基地的长设计为8020米，宽设计为3 45米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？9．比较前后两个算式计算结果的大小(填“>”“<”或“＝”)：(1)2＋12________2×2×12；(2)3＋3________2×3×3；(3)9＋16________2×9×16；…通过观察与归纳，写出其中的规律，并说明理由．教师详答1．≥ ≥ －1≤x ≤1 2. A 3. 812 4 24． B 5．(1)原式＝3×5＝15.(2)原式＝13×108＝36＝6.(3)原式＝6×(－3)×8×2＝－18×4＝－72.(4)原式＝6×34×8＝36＝6.6. D7． (1)a ≤0 (2)⑤ －a 8．解：8020×3 45＝(80×3)×20×45＝240×900＝7200(米2)．9．解：(1)> (2)＝ (3)> 规律：a ＋b ≥2 a ·b(a ≥0，b ≥0)． 理由：∵a ＝(a)2，b ＝(b)2(a ≥0，b ≥0)， ∴a ＋b －2 a ·b ＝(a)2－2a ·b ＋(b)2＝(a －b)2≥0，∴a ＋b ≥2 a ·b(a ≥0，b ≥0)．21.2.2 积的算术平方根 知识点 1 ab ＝a ·b 成立的条件1．若等式a 2－64＝a ＋8·a －8成立，则有________≥0，________≥0，所以a 的取值范围是________．2．若－ab ＝a ·－b 成立，则( )A ．a ≥0，b ≥0B ．a ≥0，b ≤0C ．a ≤0，b ≥0D ．ab ≥0 知识点 2 积的算术平方根的应用3.100×14＝______×______＝______．4．二次根式（－2）2×6的计算结果是( )A ．26 B ．－26 C ．6 D ．125．计算： (1)30×6； (2)（－100）×（－4）；(3)121169×81100； (4)（－5）2×（－7）2.6．［教材例2变式］化简： (1)－75； (2)a 5. 7．有下列各式：①54×12＝32；②412－402＝9；③（－3）×（－5）＝－3×－5；④8＝22；⑤（－3）2×（－5）2＝15；⑥32＋42＝7.其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．若一个长方体的长为26 cm ，宽为3 cm ，高为2 cm ，则它的体积为________ cm3.9．若20n是整数，则正整数n的最小值为________．10. 已知a＝2，b＝5，用只含a，b的代数式表示20，这个代数式是__________．11．计算下列各式：(1)2 4a3b2c(a>0，b>0)；(2)a4＋a6b2.12．已知m＝(－33)×(－2 21)，则有( )A．5.0＜m＜5.1 B．5.1＜m＜5.2C．5.2＜m＜5.3 D．5.3＜m＜5.413．［阅读思考］阅读探究：4×9×16＝24，4×9×16＝24；0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018，0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018.(1)根据上述具体数据，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0时，a·b·c与a·b·c的关系是什么？(2)根据以上式子，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f可以转化为什么？教师详答1．a＋8 a－8 a≥82．B3．100 14101254. A5．解：(1)原式＝5×6×6＝5×62＝6 5.(2)原式＝100×4＝100×4＝10×2＝20.(3)原式＝121169×81100＝1113×910＝99130.(4)原式＝25×49＝25×49＝5×7＝35.6．解：(1)－75＝－3×25＝－5 3.(2)a5＝a4·a＝a4·a＝a2 a.7．B8．129．5 10.a2b 11．解：(1)原式＝2×2ab ac＝4ab ac.(2)原式＝a4（1＋a2b2）＝a4·1＋a2b2＝a21＋a2b2. 12．C [13．解：(1)a·b·c＝a·b· c.(2)当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f＝a·b·c·…· f.21.2.3 二次根式的除法知识点1 ab＝ab成立的条件1．若xx＋1＝xx＋1成立，则有x________0，x＋1________0，所以x的取值范围是________．2．等式－ba＝－ba成立的条件是( )A．a，b异号B．a>0，b>0 C．a≥0，b≥0 D．a>0，b≤0 知识点2 二次根式的除法3．计算：483＝（）（）＝________．4．计算：(1)183；(2)328；(3)315÷135；(4)3ab32ab2.知识点3 商的算术平方根5．计算：29＝（）（）＝________．6．若3＋x3－x＝3＋x3－x成立，则x的取值范围是( )A．－3≤x＜3 B．x＜3 C．x＞－3 D．－3＜x≤3 7．化简：(1)916；(2)325；(3)549；(4)－11－36.知识点4 最简二次根式8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A．－ 2 B.12 C.15D.a29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个．①x2；②0.3；③118；④2x2＋1.10．化简：(1)17；(2)113；(3)510；(4)438.11．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b中，正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③12．若 2m＋n－2和 33m－2n＋2都是最简二次根式，则m n＝________．13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47；(2)113÷223×135；(3)3 223÷1225×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1815.14．王聪学习了二次根式的除法公式ab＝ab后，他认为该公式逆过来a b ＝ab也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x－1x－1÷1x2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，….(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥0 2. D3. 48 3 16 4 4．(1) 6 (2)2 (3)2 (4)32b 5.2 9236．A7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35.(3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116.8．A 9．310．解：(1)17＝77×7＝77.(2)113＝43＝4×33×3＝233. (3)510＝51010×10＝51010＝102.(4)438＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6.11． B12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝354 2.(2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝25 5.(3)原式＝9×83÷121025×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1815 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对．理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义．改正：－27－3＝273＝9＝3.15．解：由题意得x>1, 所以原式＝x －1x －1·x ()x －1＝()x －12x x －1＝x －1x －1x ＝x.代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2.当x＝9时，原式＝3.16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝516，5＋17＝617，6＋18＝718.(2)规律：n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋2.证明：n＋1n＋2＝n（n＋2）＋1n＋2＝n2＋2n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋2.21.3 二次根式的加减知识点1 同类二次根式1．下面与2是同类二次根式的是( )A. 3B.12C.8D.202．［2016·巴中改编］下列二次根式中，能与3合并的是( )A.18B.13C.24D.0.33．下列二次根式中，属于同类二次根式的是( )A．2 3与 6 B. 13与23C. 18与12D. 4a与8a4．已知最简二次根式3a－8与17－2a是同类二次根式，求a的值．知识点2 二次根式的加减5．计算：27＋3＝________＋3＝(________＋________)3＝________．6．计算8－612的结果是________．7．计算414＋313－8的结果是__________．8．计算：(1)1048－627＋312；(2)13－12＋273；(3)45＋45－8＋4 2.知识点 3 二次根式的混合运算 9．计算：(3＋2)(3－2)＝________．10．［教材练习第2题变式］计算： (1)(5＋2)2; (2)(23－2)2.11．下列各数中，与2－3的积为有理数的是( ) A ．2＋3 B ．2－ 3C ．－2＋3 D.312．若a ，b 为有理数，且4＋18＋18＝a ＋b 2，则ab 的值为( )A.34B.134C.132 D ．2 13．已知a －b ＝23－1，ab ＝3，则(a ＋1)(b －1)的值为________． 14．若等腰三角形的两边长分别为2 3和52，则这个等腰三角形的周长是__________．15．若a ，b 分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a －b 的值是________．16．计算：(1)20＋55－13×12；(2)(3 2＋4 3)(4 2－3 3)； (3)(1048－624＋412)÷6；(4)⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－5102－(－210)．17．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a ＋b a －b，例如：3※2＝3＋23－2＝ 5.求4※1＋8※12的值．18．若a ＝3－10，求代数式a 2－6a －2的值．19．如图21－3－1，有一张边长为62 cm 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2 cm.求：(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积．图21－3－1 20．已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求(23x9x ＋y 2xy 3)－(x 21x －5x y x)的值．1．C2. B3. C4．解：由已知可得3a－8＝17－2a，解得a＝5.5．3 3 3 1 4 36．－ 27. 2＋3－2 28．解：(1)原式＝10×4 3－6×3 3＋3×2 3＝(40－18＋6)3＝28 3.(2)原式＝33－2 3＋3＝－2 33.(3)原式＝4 5＋3 5－2 2＋4 2＝7 5＋2 2. 9．710．解：(1)原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5.(2)原式＝12－4 6＋2＝14－4 6.11．A 12．C13．－ 3 14．10 2＋2 315．1316．解：(1)原式＝2 5＋55－13×12＝3－2＝1.(2)原式＝3 2×4 2－3 2×3 3＋4 3×4 2－4 3×3 3＝24－9 6＋16 6－36＝7 6－12.(3)原式＝10 486－6246＋4 126＝10 8－6 4＋4 2＝20 2－12＋4 2＝24 2－12. (4)原式＝5－2 5×510＋2510＋2 10＝5－52＋52＋210＝152－52＋210.17．解：4※1＝4＋14－1＝53，8※12＝8＋128－12＝－204＝－52，所以4※1＋8※12＝53－52＝－56.18．解：解法一：原式＝(3－10)2－6×(3－10)－2＝9－610＋10－18＋610－2＝－1.解法二：因为a ＝3－10，所以a －3＝－10，两边同时平方，得a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＝1，所以a 2－6a －2＝－1.19．解：(1)制作长方体盒子的纸板的面积： (62)2－4×(2)2＝64(cm 2)．(2)长方体盒子的体积： (62－22)×(62－22)×2＝322(cm 3)．20．解：∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0， ∴(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 9x ＋y 2x y 3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 21x－5xy x ＝⎝⎛⎭⎫2x x ＋xy －(x x －5xy)＝2xx ＋xy －xx ＋5xy＝x x＋6 xy.当x＝12，y＝3时，原式＝1212＋632＝24＋3 6.22.1～22.2一、选择题(每小题3分，共27分)1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.()x ＋82＝x ＋8 B ．x 2＋18x＝6 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋x ＋1＝x 2 2．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根3. 用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝24．下面是四名同学在解方程x(x ＋3)＝x 时的答案，结果正确的是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝0C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－25．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可能是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝06．若关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0无实数根，则一次函数y ＝(m －1)x －m 的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0有一个根为0，则m的值为( )A．0 B．1或2C．1 D．28．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－(2k＋1)x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＞－18B．k＞－18且k≠1C．k＜－18D．k≥－18且k≠09．已知m，n是方程x2＋3x－2＝0的两个实数根，则m2＋4m＋n＋2mn的值为( )A．1 B．3 C．－5 D．－9二、填空题(每小题4分，共20分)10．若关于x的方程ax2＋3x＝2x2＋4是一元二次方程，则a应满足的条件是________．11．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为__________．12．若代数式4x2＋5x＋6与－3x2－2的值互为相反数，则x的值为________．13．有一个数值转换机，其流程如图1－G－1所示．若输入a＝－6，则输出的x的值为________．图1－G－114．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．三、解答题(共53分)15．(12分)解下列方程：(1)(x－2)2＝4; (2)x2－2x＝0；(3)(x＋2)2－9x2＝0; (4)x2－10x＋21＝0；(5)4x2＋8x＋1＝0; (6)x2－2x＝－4＋2x.16. (10分)已知关于x的方程x2＋2(2－m)x＋3－6m＝0.(1)若1是此方程的一个根，求m的值及方程的另一个根；(2)试说明：无论m取任何实数，此方程总有实数根．17．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－ax＋2＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＝x1＋x2－2.(1)求a的值；(2)求该一元二次方程的两实数根．18．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．19．(11分)已知关于x的一元二次方程tx2－(3t＋2)x＋2t＋2＝0(t＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，若y是关于t的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的表达式，并画出函数图象；(3)观察(2)中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．1．A 2．C 3．D 4.D 5.B 6.B 7.D8．B 9．C 10．a≠211．4 12．－1或－413．无解14．答案不唯一，如a＝1，b＝215．解：(1)∵x－2＝±4，∴x＝2±2，∴x1＝4，x2＝0.(2)原方程可化为x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2.(3)原方程可化为(x＋2)2－(3x)2＝0，∴(x＋2＋3x)(x＋2－3x)＝0，∴－4(2x＋1)(x－1)＝0，∴x1＝－12，x2＝1.(4)移项，得x2－10x＝－21，∴x2－10x＋25＝－21＋25，∴(x－5)2＝4，∴x－5＝±4，∴x＝5±2，∴x1＝7，x2＝3.(5)∵a＝4，b＝8，c＝1，∴b2－4ac＝82－4×4×1＝48>0，∴x ＝－8±482×4， ∴x 1＝－2＋32，x 2＝－2－32.(6)原方程可化为x 2－2x －2x ＋4＝0，即x 2－4x ＋4＝0，∴(x －2)2＝0，∴x 1＝x 2＝2.16．解：(1)把x ＝1代入方程，得1＋4－2m ＋3－6m ＝0，∴m ＝1.故方程为x 2＋2x －3＝0.设方程的另一个根是t ，则1·t ＝－3，∴t ＝－3.故m ＝1，方程的另一个根为－3.(2)∵在关于x 的方程x 2＋2(2－m)x ＋3－6m ＝0中，Δ＝4(2－m)2－4(3－6m)＝4(m ＋1)2≥0，∴无论m 取任何实数，此方程总有实数根．17．解：(1)∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2，又x 1x 2＝x 1＋x 2－2，∴2＝a －2，∴a ＝4.(2)原方程为x 2－4x ＋2＝0，∴(x－2)2＝2，∴x－2＝±2，∴x1＝2＋2，x2＝2－ 2.18．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k>0，∴k<5 2 .(2)∵k为正整数，∴0<k<52且k为整数，即k的值为1或2.∵x1，2＝－1±5－2k，且方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3，不是完全平方数；当k＝2时，5－2k＝1，是完全平方数，∴k＝2.19．解：(1)证明：Δ＝(3t＋2)2－4t(2t＋2)＝(t＋2)2. ∵t＞0，∴(t＋2)2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x＝3t＋2±（t＋2）2t，∵t＞0，∴x1＝1，x2＝2＋2 t ，∴y＝x2－2x1＝2＋2t－2×1＝2t，即y＝2t(t＞0)．函数图象如图：(3)当y≥2t时，0＜t≤1.22．1 一元二次方程知识点1 一元二次方程的定义及一般形式1．下列方程中是一元二次方程的是( ) A．2x＋1＝0 B．y2＋x＝0C．x2－x＝0 D. 1x＋x2＝02．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)2y2＝8；(2)3x2－2＝x；(3)2y(4y＋3)＝13; (4)(3x－1)(x＋2)＝1.知识点2 一元二次方程的解3．已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一个根是－1，把x＝－1代入原方程得到关于m的方程为____________，解得m＝________．4．若关于x的方程32x2－2a＝0的一个根是2，则2a－1的值是多少？知识点3 根据实际问题列一元二次方程5．［教材“问题2”变式题］［2017·辽阳］共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋4406．［2017·兰州］王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图22－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程_______________________________．图22－1－17．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若a＋b＋c＝0，则方程必有一根是( )A．－1 B．1 C．0 D．±18．已知m是一元二次方程x2＋2x－1＝0的一个根，则3m(m＋2)－2的值为________．9．［教材习题22.1第2题变式］已知关于x的方程(k－3)x|k|－3－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．10．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项．1．C2．解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2y2－8＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2－x－2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为－2.(3)整理，得一元二次方程的一般形式为8y2＋6y－13＝0，其中二次项系数为8，一次项系数为6，常数项为－13.(4)整理，得一元二次方程的一般形式为3x2＋5x－3＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为－3.3．2＋3m－5＝0 14．解：因为关于x的方程32x2－2a＝0的一个根是2，所以6－2a＝0，解得a＝3.当a＝3时，2a－1＝2×3－1＝5.5．A6．(80－2x)(70－2x)＝3000 [解析] 根据题意可知裁剪后的底面的长为(80－2x)cm，宽为(70－2x)cm，根据长方形的面积＝长×宽，可以列出方程(80－2x)(70－2x)＝3000.7．B8．1 [解析] 把x＝m代入方程x2＋2x－1＝0中，得m2＋2m－1＝0，变形得m2＋2m＝1，所以3m(m＋2)－2＝3(m2＋2m)－2＝3×1－2＝1.9．解：∵关于x的方程(k－3)x|k|－3－x－2＝0是一元二次方程，∴|k|－3＝2且k－3≠0，解得k＝±5.①当k ＝5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为5x －2×5＋6≤0，解得 x ≤45. ②当k ＝－5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为－5x ＋2×5＋6≤0，解得 x ≥165. 10．解：(1)当k ＝1时，此方程为一元一次方程；方程的根为x ＝1.(2)当k ≠±1时，此方程为一元二次方程；方程的二次项系数为k 2－1，一次项系数为k ＋1，常数项为－2.22.2.1 第1课时直接开平方法知识点1 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程1．解方程：x2＝25.因为x是25的平方根，所以x＝________．所以原方程的解为x1＝________，x2＝________．2．一元二次方程x2－4＝0的解是( )A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2C．x＝2 D．x1＝2，x2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x2－5＝0; (2)16x2＝81；(3)5x2－125＝0; (4)x2－5＝4 9 .知识点2 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程4．将方程(2x－1)2＝9的两边同时开平方，得2x－1＝________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，x2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0C．x2＋2＝0 D．(x－1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x＋2)2＝27；(2)(x－3)2－9＝0；(3)(2x－8)2＝16；(4)9(3x－2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( ) A ．－5 B ．－4 C ．1 D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x2＝5，x＝±5，即x1＝5，x2＝－ 5.(2)∵x2＝8116，∴x＝±8116，即x1＝94，x2＝－94.(3)∵5x2＝125，∴x2＝25，∴x＝±5，即x1＝5，x2＝－5.(4)x2－5＝49，x2＝499，解得x1＝73，x2＝－73.4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x2－3＝0移项得x2＝3，可用直接开平方法求解；(x－1)2－4＝0移项得(x－1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x－1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x＋2＝±27，∴x＝－2±3 3，∴x1＝－2＋3 3，x2＝－2－3 3.(2)∵(x－3)2－9＝0，∴(x－3)2＝9，∴x－3＝±3，∴x1＝6，x2＝0.(3)∵2x－8＝±16，∴2x＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83， 解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a>b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3.10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x－1)2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.综上所述，x的值为2或－1.22.2.1 第2课时因式分解法知识点1 解形如ab＝0的方程1．因为(x－1)(x＋2)＝0，所以x－1________0或x＋2________0，解得x1＝________，x2＝________．2．下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( )A．(x＋5)(x＋7)＝0 B．(x－5)(x－7)＝0C．(x＋5)(x－7)＝0 D．(x－5)(x＋7)＝0知识点2 利用提公因式法解一元二次方程3．将方程4x2－3x＝0左边提公因式后，得x(4x－3)＝0，必有________＝0或________＝0，解这两个方程，得原方程的根为x1＝________，x2＝________．4．方程x2＝2x的根是( )A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0C．x1＝2，x2＝0 D．x＝05．方程x(x－2)＋x－2＝0的根是( )A．x＝2 B．x1＝－2，x2＝1C．x＝－1 D．x1＝2，x2＝－16．用因式分解法解下列方程：(1)x(x－2)＝x；(2)3x(x－2)＝2(2－x)．知识点3 利用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程7．由4y2－9＝0，可得(______)2－32＝0，则(2y＋3)(______)＝0，所以______＝0或______＝0，解得y1＝________，y2＝________．8．方程x2－4x＋4＝0的解是____________．9．运用平方差公式或完全平方公式解方程：(1)9y2－16＝0; (2)16(x－1)2＝225；(3)2x2－4x＝－2; (4)25x2＝10x－1.10．定义一种新运算：a▲b＝a(a－b)，例如4▲3＝4×(4－3)＝4.若x▲2＝3，则x的值是( )A．x＝3 B．x＝－1C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－111．已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为2和－5，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )A．(x＋2)(x－5) B．(x－2)(x＋5)C．(x＋2)(x＋5) D．(x－2)(x－5)12．［2016·青海改编］已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x－2)(x－4)＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为( )A．8 B．10C．8或10 D．1213．关于x的一元二次方程m(x－p)2＋n＝0(m，n，p均为常数，m≠0)的根是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x－p＋5)2＋n＝0的根是____________．14．用因式分解法解下列方程：(1)［教材例2(2)变式］3(x－2)＝5x(2－x)；(2)［教材例3(2)变式］12(2x－5)2－2＝0；(3)x2＋3＝2(x＋1)；(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.15．小红解方程x(2x －5)＋4(5－2x)＝0的过程如下：先将方程变为x(2x －5)－4(2x －5)＝0，移项得x(2x －5)＝4(2x －5)，方程两边都除以(2x －5)得x ＝4.请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请给出正确解法．16．先化简，再求值：x －1x ＋2·x 2－4x 2－2x ＋1÷1x 2－1，其中x 2－x ＝1. 17．如果方程ax 2－bx －6＝0与方程ax 2＋2bx －15＝0有一个公共根是3，求a ，b 的值，并分别求出两个方程的另一个根.18．阅读下面的材料，并回答问题．我们知道，把乘法公式(x ±y)2＝x 2±2xy ＋y 2和(x ＋y)(x －y)＝x 2－y 2的左右两边交换位置，就得到了因式分解的公式：x 2±2xy ＋y 2＝(x ±y)2和x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)．同样的道理，我们把等式(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab 的左右两边交换位置后，得到x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)，也就是说，一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)．所以在解方程x 2＋3x ＋2＝0时，可以把方程变形为(x ＋1)(x ＋2)＝0，所以x 1＝－1，x 2＝－2.请模仿这种解法，解下列方程：(1)x 2－2x －3＝0； (2)x 2－5x ＋4＝0.教师详答1．＝ ＝ 1 －22. D3．x 4x －3 0 344．B [解析] x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，所以x 1＝0，x 2＝2.故选B.5．D [解析] 提取公因式x －2，解方程即可．6．解：(1)移项，得x(x －2)－x ＝0，提公因式，得x(x －2－1)＝0，即x(x －3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.(2)由原方程，得(3x ＋2)(x －2)＝0，所以3x ＋2＝0或x －2＝0，解得 x 1＝－23，x 2＝2. 7．2y 2y －3 2y ＋3 2y －3 －32 328．x 1＝x 2＝29．解：(1)原方程可化为(3y ＋4)(3y －4)＝0，∴3y ＋4＝0或3y －4＝0，∴y 1＝－43，y 2＝43. (2)∵16(x －1)2－152＝0，∴[4(x －1)＋15][4(x －1)－15]＝0，∴4x ＋11＝0或4x －19＝0，∴x 1＝－114，x 2＝194. (3)原方程可化为2x 2－4x ＋2＝0，两边同时除以2，得x 2－2x ＋1＝0，所以()x －12＝0，解得x 1＝x 2＝1.(4)原方程可化为25x 2－10x ＋1＝0，∴(5x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝15. 10．D [解析] ∵x ▲2＝3，∴x(x －2)＝3，整理得x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，x －3＝0或x ＋1＝0，所以x 1＝3，x 2＝－1.故选D.11． B12． B[解析] ∵(x －2)(x －4)＝0，∴x 1＝4，x 2＝2.由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2， 所以该等腰三角形的周长是4＋4＋2＝10.故选B.13． x 1＝－8，x 2＝－3 [解析] ∵关于x 的一元二次方程m(x －p)2＋n ＝0(m ，n ，p 均为常数，m ≠0)的根是x 1＝－3，x 2＝2，将方程m(x －p ＋5)2＋n ＝0变形为m[(x ＋5)－p]2＋n ＝0，则此方程中x ＋5＝－3或x ＋5＝2，解得x ＝－8或x ＝－3.14．解：(1)原方程可化为3(x －2)＋5x(x －2)＝0， ∴(x －2)(3＋5x)＝0，∴x －2＝0或3＋5x ＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－35. (2)原方程可化为(2x －5)2－22＝0，∴(2x －5＋2)·(2x －5－2)＝0，∴(2x －3)(2x －7)＝0，∴2x －3＝0或2x －7＝0，∴x 1＝32，x 2＝72. (3)原方程可化为x 2－2x ＋1＝0，∴(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1.(4)原方程可变形为(x －2)2＝(3－2x)2，∴(x －2)2－(3－2x)2＝0， ∴[(x －2)＋(3－2x)][(x －2)－(3－2x)]＝0，即(1－x)(3x －5)＝0，∴1－x ＝0或3x －5＝0，∴x 1＝1，x 2＝53. 15．小红的解法不正确．正确解法如下：x(2x －5)＋4(5－2x)＝0，x(2x －5)－4(2x －5)＝0，(2x －5)(x －4)＝0，2x －5＝0或x －4＝0，∴x 1＝52，x 2＝4. 16．原式＝x －1x ＋2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2÷1（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2·(x ＋1)(x －1) ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2.∵x 2－x ＝1，∴原式＝1－2＝－1.17．把x ＝3分别代入两个方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －6＝0，9a ＋6b －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.把a ＝1，b ＝1代入ax 2－bx －6＝0，得 x 2－x －6＝0，即(x －3)(x ＋2)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2，所以方程ax 2－bx －6＝0的另一个根为－2. 把a ＝1，b ＝1代入ax 2＋2bx －15＝0，得 x 2＋2x －15＝0,即(x －3)(x ＋5)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－5，所以方程ax 2＋2bx －15＝0的另一个根为－5.18．解：(1)因为x 2－2x －3＝0， 所以(x －3)(x ＋1)＝0，即x 1＝3，x 2＝－1.(2)因为x2－5x＋4＝0，所以(x－1)(x－4)＝0，即x1＝1，x2＝4.。