不等式选讲之不等式证明与数学归纳法考前冲刺专题练习(六)带答案新高考高中数学

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.评卷人得分 二、解答题3．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.4．已知非负实数x ，y ，z 满足41332222=+++++z y x z y x ，求z y x ++的最大值.5．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+。

6．(1)设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证m a a a 9111321≥++； （2）已知a,b 都是正数，x,y ∈R ，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2.7．已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．8．设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分二、解答题3． 4．5．6．（1）因为321,,a a a 均为正数，所以，321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a m m m 9)2223(1=+++≥； 当且仅当3321m a a a ===时，等号成立. （2）ax 2+by 2=(ax 2+by 2)(a+b) =a 2x 2+b 2y 2+ab(x 2+y 2)≥a 2x 2+b 2y 2+2abxy=(ax+by)2.7．证明：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2+ ⎝⎛⎭⎫b c －c a 2+ ⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得 2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(a b ＋b c ＋c a )≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．……………………10分8．证明： ∵a 、b 、c 均为实数， ∴21（a 21＋b 21）≥ab 21≥b a +1，当a =b 时等号成立；……………………4分 21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立；……………………6分 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1．……………………8分 三个不等式相加即得a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1， 当且仅当a =b =c 时等号成立. ……………………10分。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz+=的最小值为________2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．4．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉.(1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.5．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且2221,1a b c a b c ++=++=，求证：413a b <+<6．已知0,0,a b >>且21a b +=，求2224S ab a b =--的最大值．7．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥8．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b +1b －c +1c －d ≥9a －d【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．42．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3． 解：因 a 、b 、c ＞0，故(111a b c +++++)2 = (111111a b c +⋅++⋅++⋅)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分 于是111a b c +++++≤23， 当且仅当111a b c +=+=+，即a =b =c =13时，取“=”． 所以，111a b c +++++的最大值为23．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4．解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为35．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝222()()2a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－13＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞23， …………………………8分 又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分6．0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ………………………………………………………………2分 且1222a b ab =+≥，即24ab ≤，18ab ≤, ……………………………………………………5分 ∴2224S ab a b =--2(14)ab ab =--241ab ab =+-212-≤, 当且仅当11,42a b ==时，等号成立．…………………………………………………………………10分7．选修4－5（不等式选讲）证明：因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， ……………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥． …………10分 8．。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______. 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．4．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥. 5．设123,,a a a 均为正数, 且123a a a m ++=, 求证:12233111192a a a a a a m ++≥+++.6．已知对于任意非零实数m ，不等式|)32||1(||||1||12|+--≥-+-x x m m m 恒成立，求实数x 的取值范围．7．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+。

8．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z ++++≥【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．3147 2． 评卷人得分 二、解答题3． 选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24ba b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024ba b ++>，2()0a b ->， 所以2223()[()]24b a b a b -++>，即有44a b a b a b+>+（）． …………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．5．证明: 因为122331111()a a a a a a +++++122331[()()()]a a a a a a ⋅+++++ 31223311113a a a a a a ≥⋅⋅+++·31223313()()()a a a a a a +⋅+⋅+=9……………………………… 6分 当且仅当1233m a a a ===时等号成立, 则由122331111()a a a a a a +++++29m ⋅≥, 知12233111192a a a a a a m++≥+++………………………………………………………………… 10分(注: 此题也可以用柯西不等式证明)6．选修4－5：不等式选讲 解：211123m m x x m-+---+≤恒成立， ………………4分 211m mm-+-=11211m m -+-≥,∴只需1231x x --+≤, 综上x 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞． ………………10分7．8．选修4－5（不等式选讲）证明：因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， ……………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥． …………10分。

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《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关
检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.
2．考察下列一组不等式：33224433
252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．
4．若⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz +=的最小值为________ 评卷人得分 二、解答题3．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．4．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分） 已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥． 5．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥. 6．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．7．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.8．已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，求证：22cos sin a b c θθ+<【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．2．4 评卷人得分 二、解答题3．1()21+-=-+-x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．【结束】4． （选修4-5：不等式选讲）证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c -++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．…………………………………5分 故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39． 又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分同理2211a b ++++≥，…………………………………………………………………5分所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca++++++++++)≥≥． 所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分5．6．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分7．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ …………………2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ ……………………………………8分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. (10)分8．解：由柯西不等式，得22cos sin a b θθ+ 11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ≤++1222(cos sin )a b c θθ=+<． ………………………………10分。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.评卷人得分二、解答题3．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++++≥．4．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．5．已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 6．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）. （1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．7．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．8．设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．；2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分 解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分二、解答题3．4． 选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分 由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 5．6．（选修4－5：不等式选讲） （1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分（2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分7．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分8．解:∵2222222()(112)2)36x y z x y z ++++++=≥(, ………………………5分 ∴2226()x y z ++≥，当且仅当2zx y ==时取等号, ………………………8分 ∵26x y z ++=，∴1,1,2x y z ===．∴222x y z ++的最小值为6,此时1,1,2x y z ===．………………………10分。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6-6数学归纳法课时提升作业理(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016·郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.3.(2016·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是( )A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.4.(2016·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少应取8.【加固训练】1.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一个取值应是3.2.用数学归纳法证明不等式++…+>(n>2)的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边( )A.增加了一项:B.增加了两项:,C.增加了两项:,,又减少了一项:D.增加了一项:,又减少了一项:【解析】选C.当n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++.5.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )A.n+1B.2nC. D.n2+n+1【解析】选 C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=(个)区域.6.(2016·南宁模拟)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在正整数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )A.18B.36C.48D.54【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(2k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2016·淮安模拟)当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k-1时命题为真,进而需验证n= ,命题为真.【解析】当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,用数学归纳法证明时,第二步假设n=2k-1时命题为真,进而需要验证n=2k+1时命题为真.答案:2k+18.(2016·九江模拟)已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为.【解析】因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2,n∈N*).答案:f(2n)>(n≥2,n∈N*)9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5,猜想f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n>4).答案:5 (n+1)(n-2)(15分钟30分)1.(5分)(2016·天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.选项A,B与题设中不等号方向不同,故A,B错;选项C中,应该是k≥3时,均有f(k)≥k2成立;选项D符合题意.2.(5分)用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”,在验证n=1时,左端计算所得为( )A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3【解析】选C.因为等式的左端为1+a+a2+…+an+1,所以当n=1时,左端=1+a+a2.3.(5分)利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*”时,从假设n=k推证n=k+1成立时,可以在n=k时左边的表达式上再乘一个因式,多乘的这个因式为.【解析】当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)+…+(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),故所乘的因式为=2(2k+1).答案:2(2k+1)4.(15分)(2016·常德模拟)设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式.(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(n∈N*).(2)①当n=1时,a1=1猜想正确.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时猜想正确,则ak=.则ak+1=f(ak)====.这说明,n=k+1时猜想正确.由①②知,对于任何n∈N*,都有an=.【加固训练】 1.(2016·深圳模拟)已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*)且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.所以b2==.a2=a1·b2=.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2x+y=1.(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1成立,则2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=(2ak+1)===1,所以当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对n∈N*,都有2an+bn=1,即点Pn都在直线l上.2.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:++…+<.【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1)(n∈N*),bn=(n+1)2(n∈N*).用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1===(k+2)2,所以当n=k+1时,结论也成立.由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)①当n=1时,=<.②当n≥2时,由(1)知an+bn=n(n+1)+(n+1)2=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.所以<,故++…+<+[++…+]=+(-+-+…+-)=+<+=.由①②可知原不等式成立.。

高中数学专题复习
《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关
检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 评卷人
得分 二、解答题
3．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设2
()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．
4．选修4—5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．
5．对于实数y x ,，若,12,11≤-≤-y x 求1+-y x 的最大值.。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分二、解答题3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c +++++≥．4．已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5．已知12,n a a a ⋅⋅⋅都是正数，且12n a a a ⋅⋅⋅⋅=1，求证：12(2)(2)(2)3n n a a a ++⋅⋅⋅+≥6．已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值；7．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b +1b －c +1c －d ≥9a －d8．已知实数,0m n >．(Ⅰ）求证：222()a b a b m n m n +++≥；（Ⅱ）求函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．[]0,42．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b am n n m n m nm评卷人得分二、解答题3． （选修4-5：不等式选讲） 证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39．又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分 同理2211a b++++≥，…………………………………………………………………5分所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++++++++++)≥≥．所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分4．由柯西不等式，222222211()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥， 当且仅当2311123x y z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分5．因为1a 是正数，所以31112113a a a +=++≥，……………………………5分同理32113(2,3,)j j ja a a j n +=++=≥， 将上述不等式两边相乘，得31212(2)(2)(2)3n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥，因为121n a a a ⋅⋅⋅=，所以12(2)(2)(2)3n n a a a +++≥．………………………10分6．由柯西不等式可知：222222211()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤…………………………………………5分 故222242311x y z ++≥，当且仅当2311123x y z==，即：6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为2411…………………………………………10分 7．8．（选修4—5：不等式选讲）证明：（Ⅰ）因为,0m n >，利用柯西不等式，得222()()()a b m n a b m n+++≥，所以22()a b a b m n m n +++≥． ……………………………………………………………………5分(Ⅱ）由（Ⅰ），函数2222923(23)25122122(12)y x x x x x x +=+=+=--+-≥， 所以函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值为25，当且仅当15x =时取得．……………10分。