19.1平行四边形测试
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数学:19.1平行四边形课时练(人教新课标八年级下)课时一平行四边形的性质(一) 一、选择题1.平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定2.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边的差为2cm ,则平行四边形的各边长为( ) A.4cm ,4cm ,8cm ,8cm B.5cm ,5cm ,7cm ,7cm C.5.5cm ,5.5cm ,6.5cm ,6.5cm D.3cm ,3cm ,9cm ,9cm3. 如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,∠D =120°,∠CAD =32° .则∠ABC 、∠CAB 的度数分别为( )A.28°,120°B.120°,28°C.32°,120°D.120°,32° 4. 在□ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )DA.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1 5下面的性质中,平行四边形不一定具有的是( )A.对角互补B.邻角互补C.对角相等D.对边相等.6.在□ABCD 中,∠A 的平分线交DC 于E ,若∠DEA=30°,则∠B =( ) A100° B.120° C.135° D.150° 二、填空题7. .如图所示,A ′B ′∥AB ,B ′C ′∥BC ,C ′A ′∥CA ,图中有 个平行四边形8. 已知:平行四边形一边AB =12 cm,它的长是周长的61,则BC =______ cm,CD =______ cm. 9.平行四边形的一组对角度数之和为200°,则平行四边形中较大的角为 . 10.. ABCD 中,若∠A ∶∠B =1∶3,那么∠A =________,∠B =________, ∠C =________,∠D =________.11. 如图所示,,在ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,图中全等三角形共有________对12.如图所示,在ABCD 中,∠B =110°,延长AD 至F ,CD 至E ,连结EF ,则∠E+∠F= 三、解答题13. 在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A =∠C ,求证:四边形ABCD 是平行四边形. 14. 在□ABCD 中, ∠A+∠C=160°, , 求∠A,∠C,∠B,∠D 的度数第3题图 第7题图 第11题图 第12题图第14题图15. .如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,BD ⊥AD ,求BC ,CD 及OB 的长.16. 如图,在□ABCD 中,E 、F 分别是BC 、AD 上的点,且AE ∥CF ,AE 与CF 相等吗?说明理由.课时一答案:一、1.B ,提示:平行四边形的两邻角的和为180°,所以它们的角平分线的夹角为90°;2.B ,提示:设相邻两边为,,ycm xcm 根据题意得⎩⎨⎧=-=+212y x y x ,解得⎩⎨⎧==57y x ;3. B ,提示:根据平行四边形的性质对角相等得∠D =∠ABC=120°,邻角互补得∠CAB +∠CAD+∠D =180°,则∠CAB =180°-32°-120°=28°;4. D ,提示:根据平行四边形的对角相等,得对角的比值相等故选D ;5.A ;6.B ,由题意得∠A =60°,根据平行四边形的邻角互补,得∠B =180°-60°=120°; 二、7.3个即四边形ABCB ′,C ′BCA ,ABA ′C 都是平行四边形;8.24 ,CD =12;9.100°,提示:先求出对角为100°,另一组对角为80°,所以较大的为100°;10.45°,135°,45°,135°11.4;15.70°,提示:根据平行四边形的对角互补得∠B=∠ADC=110°,则∠FDC=70°,再根据三角形的外角等于其不相邻的两个角的和,故为∠E+∠F=70°;三、13. 证明:∵AB ∥CD ,∴∠A+∠D=180°,又∵∠A =∠C,∴∠C+∠D=180°, ∴AD ∥CB, ∴四边形ABCD 是平行四边形.. 14.解:在□ABCD 中, ∠A =∠C,又∵∠A+∠C=160°∴∠A =∠C=80°∵在□ABCD 中AD ∥CB,∴∠A+∠B=180°, ∴∠B =∠D=180°-∠A=180°-80°=100° 15. 解:∵ABCD ,∴BC =AD =12,CD =AB =13,OB=21BD ∵BD ⊥AD ,∴BD =22AD AB -=221213-=5∴OB =25 16. AE =CF ;证明∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AF ∥CE ,又∵AE ∥CF ∴四边形AECF 为平行四边形,AE=CF ;第15题图 第16题图课时二:平行四边形的性质(二)1. 如图所示,如果该平行四边形的一条边长是8,一条对角线长为6,那么它的另一条对角线长x 的取值范围是________.2.如图,□ABCD 中,EF 过对角线的交点O ,AB =4,AD =3,OF =1.3,则四边形BCEF 的周长为( )A.8.3B.9.6C.12.6D.13.63. 如图,在□ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,MN 是过O 点的直线,交BC 于M ,交AD 于N ,BM =2,AN =2.8,求BC 和AD 的长.4.平行四边形的周长为25cm ,对边的距离分别为2cm 、3cm为( )A.15cm 2B.25cm 2C.30cm 2D.50cm 25. 如图所示,已知ABCD 的对角线交于O ,过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ,求证:OE =OF .6. 如图所示,在□ABCD 中,O 是对角线AC 、BD 的交点,BE ⊥AC ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F .那么OE 与OF 是否相等?为什么?7.已知O 为平行四边形ABCD 对角线的交点,△AOB 的面积为1,则平行四边形的面积为( )第1题图第2题图 第3题图 第5题图 第6题图A.1B.2C.3D.48.平行四边形的对角线分别为y x ,,一边长为12,则y x ,的值可能是下列各组数中的( ) A.8与14 B.10与14 C.18与20 D.10与28 9. □ABCD 中,若,6,10,30cm AB cm BC B ===∠ο则□ABCD 的面积是 .10. 如图,在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,∠EAF =45°,且AE+AF =22,则平行四边形ABCD 的周长是 .11.如图所示,已知D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点,点E ,F 分别在AC,AB 上,且DE ∥AB ,DF ∥AC 求证:DE+DF=AB12. 如图,□ABCD O 为D 的对角线AC 的中点,过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ,•点E 、F 在直线MN 上,且OE=OF .(1)图中共有几对全等三角形,请把它们都写出来; (2)求证:∠MAE=∠NCF .课时二答案:1. 10<x <22,提示:根据三角形的三边关系得11215<<x ,解得2210<<x ;2. B ;3. BC =AD =4.8;4.A ;提示:根据面积法求出邻边的比为3∶2,则邻边为7.5,5,则面积为7.5×2=15cm 2;5. 证明:∵ABCD ,∴OA =OC ,DF ∥EB ∴∠E =∠F ,又∵∠EOA =∠FOC ∴△OAE ≌△OCF ,∴OE =OF ;6. OE =OF , 在□ABCD 中,OB=OD ,∵BE ⊥AC ,DF ⊥AC ∴∠BEO =∠DFO ,又∠BOE =∠DOF ,∴△BOE ≌△DOF ,∴OE =OF .7.D ,提示:因为平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的4个小三角形,所以平行四边形的面积为4;8.C ,提示:根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三第10题图 第11题图边,若y x >,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+12221222yx yx ,所以符合条件的y x ,可能是18与20;9.302cm ;10.8;11.证明:∵DE ∥AB ,DF ∥AC∴四边形AEDF 是平行四边形,∴DF=AE ,又∵DE ∥AB ,∴∠B=∠EDC ,又∵AB=AC,∴∠B=∠C ,∴∠C=∠EDC ,∴DE=CE ,∴DF+DE=AE+CE=AC=AB. 12. 解:(1)有4对全等三角形.分别为△AMO ≌△CNO ,△OCF ≌△OAE ,△AME ≌△CNF ,△ABC ≌△CDA . (2)证明:∵OA=OC ,∠1=∠2,OE=OF , ∴△OAE ≌△OCF ,∴∠EAO=∠FCO . 在YABCD 中,AB ∥CD ,∴∠BAO=∠DCO ,∴∠EAM=∠NCF . 课时三平行四边形的判定(一) 一、选择题1.下列条件中不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( ) A.AB=CD,AD=BC B.AB ∥CD ,AB=CD C.AB=CD ,AD ∥BC D. AB ∥CD ,AD ∥BC2.已知:四边形ABCD 中,AD ∥BC ,分别添加下列条件之一:①AB ∥CD ;② AB=CD, ③AD=BC ,④∠A=∠C ,⑤∠B=∠D ,能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形,可拼成的不同平行四边形的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.44. 在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,如果只给出条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下六个说法中,正确的说法有( )(1)如果再加上条件“AD ∥BC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (2)如果再加上条件“AB =CD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(3)如果再加上条件“∠DAB =∠DCB ”那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (4)如果再加上“BC =AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (5)如果再加上条件“AO =CO ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (6)如果再加上条件“∠DBA =∠CAB ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、填空题5.已知:四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要使四边形ABCD 为平行四边形, 需要增加条件 .(只需填上一个你认为正确的即可).6.如图所示,ABCD 中,BE ⊥CD,BF ⊥AD,垂足分别为E 、F ,∠EBF=60°AF=3cm ,CE=4.5cm ,则∠C= ,AB= cm ,BC= cm .7.如图所示,在ABCD 中,E,F 分别是对角线BD 上的两点, 且BE=DF ,要证明四边形AECF 是平行四边形,最简单的方法 是根据 来证明.第6题图第7题图8. 将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形,可拼成的不同的平行四边形的个数为______. 三、解答题9.已知:如图所示,在ABCD 中,E 、F 分别为AB 、CD 的中点,求证四边形AECF 是平行四边形.10. 如图所示,BD 是ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,求证:四边形AECF 为平行四边形.11. 如图所示,平行四边形ABCD 的对角线A C 、BD 相交于点O,E 、F 是直线AC 上的两点,并且AE=CF,求证:四边形BFDE 是平行四边形.12. 如图,E F ,是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点,CE AF .请你猜想:BE 与DF 有怎样的位置..关系和数量..关系? 并对你的猜想加以证明:课时三答案:一、1.C ;2.B ,提示:AD ∥BC ,添加条件①③④能使四边形ABCD 成为平行四边形;3.C ;4.B ;二、5. AD =BC (或AB ∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D );6.30°,6,9;7.对角线互相平分;8. 3; 三、9.在ABCD 中,AD=CB,AB=CD,∠D =∠B ,∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点,∴DF=BE , 又∵AB ∥CD ,AB=CD ,∴AE=CF ,∴四边形AECF 是平行四边形. 10. 证明:∵ABCD∴AB =CD ,AB ∥CD ∴∠1=∠2AE ⊥BD ,CF ⊥BD第9题图 第10题图 第11题图ABC DE F第12题图∴∠AEB =∠CFD =90°,AE ∥CF ∴△AEB ≌△CFD ,∴AE =CF ∴AECF 为平行四边形11. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD又∵AE=CF ,∴OE=OF ∴四边形BFDE 是平行四边形. 12. 猜想:BE DF ∥,BE DF = 证明:证法一:如图第12-1.Q 四边形ABCD 是平行四边形. BC AD ∴= 12∠=∠ 又CE AF =Q BCE DAF ∴△≌△ BE DF ∴= 34∠=∠BE DF ∴∥证法二:如图第12-2.连结BD ,交AC 于点O ,连结DE ,BF . Q 四边形ABCD 是平行四边形 BO OD ∴=,AO CO = 又AF CE =Q AE CF ∴= EO FO ∴=∴四边形BEDF 是平行四边形BE DF ∴∥ 课时四平行四边形的判定(二)1.如图所示,D 、E 、F 为△ABC 的三边中点, 则图中平行四边形有( ) A.1个 B2个 C 3个 D.4个2. D 、E 、F 为△ABC 的三边中点,L 、M 、N 分别是△DEF 三边的中点,若△ABC 的周长为20cm ,则△LMN 的周长是( ) A.15cm B.12cm C.10cm D.5cm3.已知等腰三角形的两条中位线长分别为3和5, 则此等腰三角形的周长为 .4.□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 、F 分别是OB 、OD 的中点,四边形AECF 是_______.5. 如图,DE ∥BC ,AE =EC ,延长DE 到F ,使EF =DE , 连结AF 、FC 、CD ,则图中四边形ADCF 是______.ABCDEF第12-2OAB CDE F 第12-1 2 3 4 1第1题图第5题图6. 如图,在□ABCD 中,点E 是AD 的中点,BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F (1)求证:△ABE ≌△DFE ;(2)试连结BD 、AF ,判断四边形ABDF 的形状,并证明你的结论.7. 如图所示,某城市部分街道示意图,AF ∥BC ,EC ⊥BC ,BA ∥DE ,BD ∥AE ,EF=FC ,甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站,甲乘1路车,路线是B →A →E →F ,乙乘2路,路线是B →D →C →F ,假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F 站,请说明理由.8. 如图所示,已知AD 与BC 相交于E ,∠1=∠2=∠3,BD=CD ,∠ADB=90°,CH ⊥AB 于H ,CH 交AD 于F . (1)求证:CD ∥AB ; (2)求证:△BDE ≌△ACE ; (3)若O 为AB 中点,求证:OF=12BE .9.. 已知如图:在ABCD 中,延长AB 到E ,延长CD 到F ,使BE =DF ,则线段AC 与EF 是否互相平分?说明理由.第6题图 第7题图 第8题图 第9题图10. 如图所示,□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ,EF 过点O 交AD 于E ,交BC 于F ,G 是OA 的中点,H 是OC 的中点,四边形EGFH 是平行四边形,说明理由.11.如图所示,平行四边形ABCD 中,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,连结AN 、DN 、BM 、CM ,且AN 、BM 交于点P ,CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗?为什么?课时四答案:1.C;2.D ,提示:根据三角形中位线的性质定理:;21,21DEF LMN ABC DEF L L L L ∆∆∆∆==3.26或22,提示:当两腰上的中位线长为3时,则底边长为6,腰长为10,三角形的周长为26,当两腰上的中位线长为5时,则底边长为10,腰长为6,三角形的周长为22;4.平行四边形 ;5.平行四边形;6.证明:(1)∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CF . ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∵E 是AD 的中点,∴ AE=DE . ∴△ABE ≌△DFE .(2)四边形ABDF 是平行四边形.∵△ABE ≌△DFE ∴AB=DF 又AB ∥CF .∴四边形ABDF 是平行四边形. 7.解:∵BA ∥DE ,BD ∥AE ,∴四边形ABDE 是平行四边形 ∴AB=DE ,BD=AE ,又EF=FC 且AF ∥BC ,EC ⊥BC ,∴DE=DC , ∴EA+AE+EF=BD+DC+CF ,∴二人同时到达F 站.8.证明:(1)∵BD=CD ,∴∠BCD=∠1.∵ ∠l=∠2,∠BCD=∠2.∴CD ∥AB . (2) ∵ CD ∥AB ∴∠CDA=∠3.第10题图第10题图 第11题图∠BCD=∠2=∠3.且BE=AE.且∠CDA=∠BCD.∴DE=CE.在△BDE和△ACE中,DE=CE,∠DEB=∠CEA,BE=AE.∴△BDE≌△ACE (3) ∵△BDE≌△ACE∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°.∴∠ACH=90°一∠BCH又CH⊥AB,.∴∠2=90°一∠BCH∴∠ACH=∠2=∠1=∠4.AF=CF∵∠AEC=90°一∠4,∠ECF=90°一∠ACH∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF.CF=EF.∴EF=AFO为AB中点,OF为△ABE的中位线∴OF=12BE9.线段AC与EF互相平分.理由是:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD,即AE∥CF,AB=CD,∵BE=DF,∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形,∴AC与EF互相平分.10.是平行四边形,△AOE≌△COF.11是平行四边形,四边形AMCN、BMDN是平行四边形.。
八年级数学(学科)训练单
第周第3 课时总课时第节主题19.1.2(一)平行四边形的判定设计人刘慧香授课人课型问题解决授课时间
1、如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=___ _cm,CD=___ _cm时,四边形ABCD为平行四边形;(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=__ _cm,DO=__ _cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:如图,ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:EO=OF.
3、已知:如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥BC,
求证:BE=CF
4、如图:由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察,分析发现:
①第4个图形中平行四边形的个数为___ __.(6个)
②第8个图形中平行四边形的个数为___ __.(20个)。
平行四边形的判定练习题(有答案)平行四边形的判定练题1.用边长为2cm,3cm,4cm的两个全等三角形拼成四边形,可以拼成6个四边形,其中3个为平行四边形。
2.在四边形ABCD中,若AB=CD且AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形。
3.延长△ABC的中线AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,则有AB=CE,AC=BE。
4.若四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,要判定它为平行四边形,从角的关系看应满足相邻角之和为180度,从对角线的关系看应满足对角线互相平分。
5.四边形EFGH为平行四边形,且其边长分别为AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H。
6.能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是AB∥CD,AD=BC。
7.选法有6种。
8.正确的结论是一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
9.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是AB=CD,AD∥BC。
10.添加条件①或②可以使四边形AFCE为平行四边形。
11.正确的说法有3个,即DE∥AF,FD∥CE,EF∥BD。
12.在四边形ABCD中,点E和F分别在BD上,且BF=DE。
证明四边形AECF是平行四边形,可以使用两种方法。
14.在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O。
过点O作两条直线分别与AB、BC、CD、AD相交于点G、F、H、E。
证明四边形EGFH是平行四边形。
15.在△ABC中,以BC、AC、AB为边长分别作等边三角形ABD、BCE、ACF,连接DE和EF。
证明四边形ADEF是平行四边形。
16.在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E和F,点G和H分别为AD和BC的中点。
证明EF和GH互相平分。
17.在△ABC中,P是内部任意一点。
过点P作EF∥AB分别交AC和BC于点E和F,作GH∥BC分别交AB和AC于点G和H,作MN∥AC分别交AB和BC于点M和N。
猜想EF+GH+MN的值是多少,并说明理由。
数学平行四边形测试试题附解析一、选择题1.如图,ABCD □中,4,60AB BC A ==∠=︒,连接BD ,将BCD 绕点B 旋转,当BD (即BD ')与AD 交于一点E ,BC (即BC ')与CD 交于一点F 时,给出以下结论:①AE DF =;②60BEF ∠=︒;③DEB DFB ∠=∠;④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A .①②③B .①②④C .②③④D .①③④ 2.如图,在Rt △ABC 中,∠A=30°,BC=2,点D ,E 分别是直角边BC ,AC 的中点,则DE的长为( )A .2B .3C .4D .233.如图,E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点,且AB =CD .结论:①EG ⊥FH ;②四边形EFGH 是矩形;③HF 平分∠EHG ;④EG 12=BC ;⑤四边形EFGH 的周长等于2AB .其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .44.正方形ABCD ,正方形CEFG 如图放置,点B 、C 、E 在同一条直线上,点P 在BC 边上,PA =PF ,且∠APF =90°,连接AF 交CD 于点M .有下列结论:①EC =BP ;②AP =AM :③∠BAP =∠GFP ;④AB 2+CE 2=12AF 2;⑤S 正方形ABCD +S 正方形CGFE =2S △APF ,其中正确的是( )A .①②③B .①③④C .①②④⑤D .①③④⑤5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ,小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ,再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ,再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ,又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ,再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ,一共走了312m ,则长方形花坛ABCD 的周长是( )A .36mB .48mC .96mD .60m6.下列命题:①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形;②一组邻角相等的平行四边形是矩形;③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形;④如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形.其中真命题个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个7.如图所示,在Rt ABC ∆中,90ABC ︒∠=,30BAC ︒∠=,分别以直角边AB 、斜边AC 为边,向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆,F 为AC 的中点,DE 与AC 交于点O ,DF 与AB 交于点G .给出如下结论:①四边形ADFE 为菱形;②DF AB ⊥;③14AO AE =;④4CE FG =;其中正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④ 8.如图,正方形ABCD 的边长为10,8AG CH ==,6BG DH ==,连接GH ,则线段GH 的长为( )A 83B .2C .145D .1052-9.如图,在ABC 中,AB =AC =6,∠B =45°,D 是BC 上一个动点,连接AD ,以AD 为边向右侧作等腰ADE ,其中AD =AE ,∠ADE =45°,连接CE .在点D 从点B 向点C 运动过程中,CDE △周长的最小值是( )A .62B .626+C .92D .926+10.如图,在边长为2的等边三角形ABC 中,D 为边BC 上一点,且12BD CD =.点E ,F 分别在边,AB AC 上,且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点,连接CM 交DF 于点N .若//DF AB ,则CM 的长为( )A .233B .334C .536D .3二、填空题11.如图,在矩形ABCD 中,4AB =,2AD =,E 为边CD 的中点,点P 在线段AB 上运动,F 是CP 的中点,则CEF ∆的周长的最小值是____________.12.如图,某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ,B 两点,“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行,若AB =100m ,∠A =∠B =60°,则此“九曲桥”的总长度为_____.13.如图,以Rt ABC 的斜边AB 为一边,在AB 的右侧作正方形ABED ,正方形对角线交于点O ,连接CO ,如果AC=4,CO=62BC=______.14.如图,在正方形ABCD 中,点,E F 将对角线AC 三等分,且6AC =.点P 在正方形的边上,则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个.15.如图,在等边ABC 和等边DEF 中,FD 在直线AC 上,33,BC DE ==连接,BD BE ,则BD BE +的最小值是______.16.如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ,则D 点坐标是_______;在y 轴上有一个动点M ,当MDC △的周长值最小时,则这个最小值是_______.17.如图,在菱形ABCD 中,AC 交BD 于P ,E 为BC 上一点,AE 交BD 于F ,若AB=AE ,EAD 2BAE ∠∠=,则下列结论:①AF=AP ;②AE=FD ;③BE=AF .正确的是______(填序号).18.如图,四边形ABCP 是边长为4的正方形,点E 在边CP 上,PE =1;作EF ∥BC ,分别交AC 、AB 于点G 、F ,M 、N 分别是AG 、BE 的中点,则MN 的长是_________.19.如图,矩形纸片ABCD ,AB =5,BC =3,点P 在BC 边上,将△CDP 沿DP 折叠,点C 落在点E 处,PE ,DE 分别交AB 于点O ,F ,且OP =OF ,则AF 的值为______.20.如图,在四边形ABCD 中, //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,当运动时间为t 秒时,以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形,则t 的值等于_______.三、解答题21.如图,在正方形ABCD 中,点G 在对角线BD 上(不与点B ,D 重合),GE ⊥DC 于点E ,GF ⊥BC 于点F ,连结AG .(1)写出线段AG ,GE ,GF 长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD 的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG 的长.22.如图,在矩形ABCD 中,AD nAB =,E ,F 分别在AB ,BC 上.(1)若1n =,①如图,AF DE ⊥,求证:AE BF =;②如图,点G 为点F 关于AB 的对称点,连结AG ,DE 的延长线交AG 于H ,若AH AD =,猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系,并证明你的猜想.(2)如图,若M 、N 分别为DC 、AD 上的点,则EM FN的最大值为_____(结果用含n 的式子表示);(3)如图,若E 为AB 的中点,ADE EDF ∠=∠.则CF BF的值为_______(结果用含n 的式子表示).23.综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:(1)研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______.②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由. (2)拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥.24.正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点(点P 不与点B ,O ,D 重合),连接CP 并延长,分别过点D ,B 向射线作垂线,垂足分别为点M ,N .(1)补全图形,并求证:DM =CN ;(2)连接OM ,ON ,判断OMN 的形状并证明.25.在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使点B 落在边AD (含端点)上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于点F (如图1和图2),然后展开铺平,连接BE ,EF .(1)操作发现:①在矩形ABCD 中,任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形;②当折痕经过点A 时,BE 与AE 的数量关系为 .(2)深入探究:在矩形ABCD 中,AB =3,BC =23.①当△BEF 是等边三角形时,求出BF 的长;②△BEF 的面积是否存在最大值,若存在,求出此时EF 的长;若不存在,请说明理由.26.如图1,已知四边形ABCD 是正方形,E 是对角线BD 上的一点,连接AE ,CE .(1)求证:AE =CE ;(2)如图2,点P 是边CD 上的一点,且PE ⊥BD 于E ,连接BP ,O 为BP 的中点,连接EO .若∠PBC =30°,求∠POE 的度数;(3)在(2)的条件下,若OE 2,求CE 的长.27.已知在ABC 和ADE 中, 180ACB AED ∠+∠=︒,CA CB =,EA ED =,3AB =.(1)如图1,若90ACB ∠=︒,B 、A 、D 三点共线,连接CE : ①若522CE =,求BD 长度; ②如图2,若点F 是BD 中点,连接CF ,EF ,求证:2CE EF =; (2)如图3,若点D 在线段BC 上,且2CAB EAD ∠=∠,试直接写出AED 面积的最小值.28.在平面直角坐标中,四边形OCNM 为矩形,如图1,M 点坐标为(m ,0),C 点坐标为(0,n ),已知m ,n 满足550n m -+-=.(1)求m ,n 的值;(2)①如图1,P ,Q 分别为OM ,MN 上一点,若∠PCQ =45°,求证:PQ =OP+NQ ; ②如图2,S ,G ,R ,H 分别为OC ,OM ,MN ,NC 上一点,SR ,HG 交于点D .若∠SDG =135°,55HG =,则RS =______; (3)如图3,在矩形OABC 中,OA =5,OC =3,点F 在边BC 上且OF =OA ,连接AF ,动点P 在线段OF 是(动点P 与O ,F 不重合),动点Q 在线段OA 的延长线上,且AQ =FP ,连接PQ 交AF 于点N ,作PM ⊥AF 于M .试问:当P ,Q 在移动过程中,线段MN 的长度是否发生变化?若不变求出线段MN 的长度;若变化,请说明理由.29.探究:如图①,△ABC 是等边三角形,在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ,连结MC 、AN ,延长MC 交AN 于点P .(1)求证:△ACN ≌△CBM ;(2)∠CPN = °;(给出求解过程)(3)应用:将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ,如图②、③,在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ,连结MC 、DN ,延长MC 交DN 于点P ,则图②中∠CPN = °;(直接写出答案)(4)图③中∠CPN = °;(直接写出答案)(5)拓展:若将图①的△ABC 改为正n 边形,其它条件不变,则∠CPN = °(用含n 的代数式表示,直接写出答案).30.已知,矩形ABCD 中,4,8AB cm BC cm ==,AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、,垂足为O .(1)如图1,连接AF CE 、,求证:四边形AFCE 为菱形;(2)如图2,动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发,沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周,即点P 自A F B A →→→停止,点O 自C D E C →→→停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,则t =____________.②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 (单位:,0cm ab ≠),已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,则a 与b 满足的数量关系式为____________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【解析】【分析】根据题意可证△ABE ≌△BDF ,可判断①②③,由△DEF 的周长=DE +DF +EF =AD +EF =4+EF ,则当EF 最小时△DEF 的周长最小,根据垂线段最短,可得BE ⊥AD 时,BE 最小,即EF 最小,即可求此时△BDE 周长最小值.【详解】解:∵AB =BC =CD =AD =4,∠A =∠C =60°∴△ABD ,△BCD 为等边三角形,∴∠A =∠BDC =60°,∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置,∴∠ABD'=∠DBC',且AB=BD,∠A=∠DBC',∴△ABE≌△BFD,∴AE=DF,BE=BF,∠AEB=∠BFD,∴∠BED+∠BFD=180°,故①正确,③错误;∵∠ABD=60°,∠ABE=∠DBF,∴∠EBF=60°,故②正确∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,∴当EF最小时,∵△DEF的周长最小.∵∠EBF=60°,BE=BF,∴△BEF是等边三角形,∴EF=BE,∴当BE⊥AD时,BE长度最小,即EF长度最小,∵AB=4,∠A=60°,BE⊥AD,∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确,综上所述:①②④说法正确,故选:B.【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,平行四边形的性质,最短路径问题,关键是灵活运用这些性质解决问题.2.A解析:A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB,根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解:在Rt△ABC中,∠A=30°,∴AB=2BC=4,∵D,E分别是直角边BC,AC的中点,∴122DE AB==,故选:D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质,三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.3.C解析:C【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形,然后根据菱形的对角线互相垂直平分,并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案.【详解】∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,∴EF=12CD,FG=12AB,GH=12CD,HE=12AB,∵AB=CD,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形,故②错误,∴EG⊥FH,HF平分∠EHG;故①③正确,∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB,故⑤正确,没有条件可证明EG=12BC,故④错误,∴正确的结论有:①③⑤,共3个,故选C.【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质,根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键.4.D解析:D【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP,由此即可得出EF=BP,再根据正方形的性质即可得出①成立;②没有满足证明AP=AM的条件;③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF,再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立;④在Rt△ABP中,利用勾股定理即可得出④成立;⑤结合④即可得出⑤成立.综上即可得出结论.【详解】①∵∠EPF+∠APB=90°,∠APB+∠BAP=90°,∴∠EPF=∠BAP.在△EPF和△BAP中,有EPF BAPFEP PBA PA PF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△EPF≌△BAP(AAS),∴EF=BP,∵四边形CEFG为正方形,∴EC=EF=BP,即①成立;②无法证出AP=AM;③∵FG∥EC,∴∠GFP=∠EPF,又∵∠EPF=∠BAP,∴∠BAP=∠GFP,即③成立;④由①可知EC=BP,在Rt△ABP中,AB2+BP2=AP2,∵PA=PF,且∠APF=90°,∴△APF为等腰直角三角形,∴AF2=AP2+EP2=2AP2,∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=12AF2,即④成立;⑤由④可知:AB2+CE2=AP2,∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF,即⑤成立.故成立的结论有①③④⑤.故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理,解题的关键是逐条分析五条结论是否正确.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键.5.C解析:C【解析】设正方形O3KJP的边长为a,根据正方形的性质知:O3O4a,正方形O2IHJ的边长为2a,O2O3a,正方形O1GFH的边长为4a,O1O2a,正方形OCDF的边长为8a,OO1a,∵AO=2OO1am,∴,解得:a=2m,∴FD=8a=16m,∴长方形花坛ABCD的周长是2×(2FD+CD)=6FD=96m,故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线与边长的关系,正方形的倍,熟记性质是解题的关键.6.B解析:B【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断;根据矩形的判定方法对②进行判断即可;根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断;根据正方形的判定方法对④进行判断.【详解】解:①错误,反例为等腰梯形;②正确,理由一组邻角相等,且根据平行四边形的性质,可得它们都为直角,从而推得矩形;③正确,理由:得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半;④正确.故答案为B.【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握.7.D解析:D【分析】由题意得出条件证明△ABC≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF≌△DFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.【详解】∵△ABD是等边三角形,∴∠BAD=60°,AB=AD,∵∠BAC=30°,知∴∠FAD=∠ABC=90°,AC=2BC,∵F为AC的中点道,∴AC=2AF,∴BC=AF,∴△ABC≌△DAF,∴FD=AC,∴∠ADF=∠BAC=30°,∴DF⊥AB,故②正确,∵EF⊥AC,∠ACB=90°,∴FG∥BC,∵F是AB的中点,∴GF=12 BC,∵BC=12AC,AC=CE,∴GF=14CE,故④说法正确;∵AE=CE,CF=AF,∴∠EFC=90°,∠CEF=30°,∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°,∴∠EFC=∠DAF,∵DF⊥AB,∴∠ADF=30°,∴∠CEF=∠ADF,∴△ECF≌△DFA(AAS),∴AD=EF,∵FD=AC,∴四边形属ADFE为平行四边形,∵AD≠DF,∴四边形ADFE不是菱形;故①说法不正确;∴AO=12 AF,∴AO=12 AC,∵AE=AC,则AE=4AO,故③说法正确,故选D.【点睛】本体主要考查平行四边形的判定,等边三角形,三角形全等的判定,关键在于熟练掌握基础知识,根据图形结合知识点进行推导.8.B解析:B【分析】延长DH交AG于点E,利用SSS证出△AGB≌△CHD,然后利用ASA证出△ADE≌△DCH,根据全等三角形的性质求出EG、HE和∠HEG,最后利用勾股定理即可求出HG.【详解】解:延长DH交AG于点E∵四边形ABCD为正方形∴AD=DC=BA=10,∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG +∠DAE=90°∴∠DCH +∠DAE=90°∴CH 2+DH 2=82+62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形,∠CHD=90°∴∠DCH +∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ,∵∠CDH +∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6,DE=CH=8,∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG -AE=2,HE= DE -DH=2,∠GEH=180°-∠AED=90°在Rt △GEH 中,=故选B .【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理,掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.9.B解析:B【分析】如图(见解析),先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90,BAC DAE BC DE ∠=∠=︒==,再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =,从而可得CDE △周长为BC +,然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值,由此即可得.【详解】在ABC 中,6,45AB AC B ==∠=︒,ABC ∴是等腰直角三角形,90,BAC BC ∠=︒==在ADE 中,,45AD AE ADE =∠=︒,ADE ∴是等腰直角三角形,2290,2DAE DE AD AEAD ∠=︒=+=,90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒,BAD CAE ∴∠=∠,在ABD △和ACE △中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ABD ACE SAS ∴≅,BD CE ∴=,CDE ∴周长为622CD CE DE CD BD DE BC DE AD ++=++=+=+, 则当AD 取得最小值时,CDE △的周长最小,由垂线段最短可知,当AD BC ⊥时,AD 取得最小值,AD ∴是BC 边上的中线(等腰三角形的三线合一),1322AD BC ∴==(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半), CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+,故选:B .【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点,正确找出两个全等三角形是解题关键.10.C解析:C【分析】根据等边三角形边长为2,在Rt BDE ∆中求得DE 的长,再根据CM 垂直平分DF ,在Rt CDN ∆中求得CN ,利用三角形中位线求得MN 的长,最后根据线段和可得CM 的长.【详解】解:等边三角形边长为2,12BD CD =, ∴23BD =,43CD =, 等边三角形ABC 中,//DF AB ,60FDC B ∴∠=∠=︒,90EDF ∠=︒,30BDE ∴∠=︒,DE BE ∴⊥, 1123BE BD ∴==,2222213()33DE BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, 如图,连接DM ,则Rt DEF ∆中,12DM EF FM ==,60FDC FCD ∠=∠=︒,CDF ∴∆是等边三角形,43CD CF ∴==, CM ∴垂直平分DF ,30DCN ∴∠=︒,Rt CDN ∴∆中,43DF =,32DN =,23CN =, ∵EM =FM ,DN =FN , ∴132MN ED =, 23353CM CN MN ∴=+. 故选:C .【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用,解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等.熟练掌握这些性质是解题的关键.二、填空题11.222【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD ,得到C △CEF =CE+CF+EF=CE+12(CP+PD )=12(CD+PC+PD )=12C △CDP ,当△CDP 的周长最小时,△CEF 的周长最小;即PC+PD 的值最小时,△CEF的周长最小;并作D关于AB的对称点D′,连接CD′交AB于P,进而分析即可得到结论.【详解】解:∵E为CD中点,F为CP中点,∴EF=12 PD,∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12(CP+PD)=12(CD+PC+PD)=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时,△CEF的周长最小;即PC+PD的值最小时,△CEF的周长最小;如图,作D关于AB的对称点T,连接CT,则PD=PT,∵AD=AT=BC=2,CD=4,∠CDT=90°,∴22224442CT CD DT++=∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC,∵PT+PC≥CT,∴PT+PC≥42∴PT+PC的最小值为2,∴△PDC的最小值为4+42∴C△CEF=12C△CDP=222.故答案为:222.【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题.12.200m【分析】如图,延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形,△ABC是等边三角形,由此即可解决问题.【详解】如图,延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M由题意可知,四边形EDHF ,四边形MNCF ,四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A =∠B =60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED =FM+MK+KH =CN+JG+HK ,EC =EF+FC =JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB =2AB =200m故答案为:200m .【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识;解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质,从而完成求解.13.8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ,证明△COG 为等腰直角三角形,利用勾股定理求出CG 后,即可求出BC 的长.【详解】如图,延长CB 到点G ,使BG=AC .∵根据题意,四边形ABED 为正方形,∴∠4=∠5=45°,∠EBA=90°,∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形,AB 为斜边,∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4,故∠CAO =∠GBO ,在△CAO 和△GBO 中,CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ,∴CO =GO=7=∠6,∵∠7+∠8=90°,∴∠6+∠8=90°,∴三角形COG 为等腰直角三角形,∴, ∵CG=CB+BG ,∴CB=CG -BG=12-4=8,故答案为8.【点睛】本题主要考查正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质是解答本题的关键.14.8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ,连接FM 交BC 于点N ,连接EM ,交BC 于点H ,可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小,可求最小值,即可求解.【详解】如图,作点F 关于BC 的对称点M ,连接FM 交BC 于点N ,连接EM ,交BC 于点H , ∵点E ,F 将对角线AC 三等分,且AC =6,∴EC =4,FC =2=AE ,∵点M 与点F 关于BC 对称,∴CF =CM =2,∠ACB =∠BCM =45°,∴∠ACM =90°,∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5,在点H 右侧,当点P 与点C 重合时,则PE +PF =4+2=6,∴点P 在CH 上时,PE +PF ≤6,在点H 左侧,当点P 与点B 重合时,∵FN⊥BC,∠ABC=90°,∴FN∥AB,∴△CFN∽△CAB,∴FN CN CF1===AB CB CA3,∵AB=BC=22AC=32,∴FN=13AB=2,CN=13BC=2,∴BN=BC-CN=22,BF=22FN+BN=2+8=10,∵AB=BC,CF=AE,∠BAE=∠BCF,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴BE=BF=10,∴PE+PF=210,∴点P在BH上时,25<PE+PF<210,∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=5,同理在线段AB,AD,CD上都存在两个点使PE+PF=5.即共有8个点P满足PE+PF=5,故答案为8.【点睛】本题考查了正方形的性质,最短路径问题,在BC上找到点H,使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键.1537【分析】如图,延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,DW,过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求DT+DW的最小值.【详解】解:如图,延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,DW,过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K.∵△ABC,△DEF都是等边三角形,BC=3DE=3,∴BC=AB=3,DE=1,∠ACB=∠EDF=60°,∴DE∥TC,∵DE=BT=1,∴四边形DEBT是平行四边形,∴BE=DT,∴BD+BE=BD+AD,∵B,W关于直线AC对称,∴CB=CW=3,∠ACW=∠ACB=60°,DB=DW,∴∠WCK=60°,∵WK⊥CK,∴∠K=90°,∠CWK=30°,∴CK=12CW=32,333,∴TK=1+3+32=112,∴2222113322TK WK⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭37∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW,∴37∴BD+BE37,37.【点睛】本题考查轴对称-最短问题,等边三角形的性质,解直角三角形,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.16.(3,2)-517【分析】如图(见解析),先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标,从而可得OA 、OB 、AB 的长,再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒,DA AB =,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==,由此即可得出点D 的坐标;同样的方法可求出点C 的坐标,再根据轴对称的性质可得点C '的坐标,然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时,点M 的位置,最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得.【详解】如图,过点D 作DE x ⊥轴于点E ,作点C 关于y 轴的对称点C ',交y 轴于点F ,连接C D ',交y 轴于点M ',连接C M ',则CF y ⊥轴 对于112y x =+ 当0y =时,1102x +=,解得2x =-,则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时,1y =,则点B 的坐标为(0,1)B2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒,CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中,90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证:CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得:点C '的坐标为(1,3)C ',且CM C M '=MDC ∴△的周长为CD DM CM DM C M '++=+由两点之间线段最短得:当点M 与点M '重合时,DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-DC '∴==则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为:(3,2)-,517+.【点睛】本题是一道较难的综合题,考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点,正确找出MDC △的周长最小时,点M 的位置是解题关键.17.②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ,所以在Rt △AFP 中,AF 一定大于AP ,从而判断①;设∠BAE=x ,然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ,再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ,根据三角形内角和定理列出方程,求出x 的值,求出∠BFE 和∠BE 的度数,从而判断②③.【详解】解:在菱形ABCD 中,AC ⊥BD ,∴在Rt △AFP 中,AF 一定大于AP ,故①错误;∵四边形ABCD 是菱形,∴AD ∥BC ,∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°,设∠BAE=x°,则∠EAD=2x°,∠ABE=180°-x°-2x°,∵AB=AE ,∠BAE=x°,∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°,由三角形内角和定理得:x+180-x-2x+180-x-2x=180,解得:x=36,即∠BAE=36°,∠BAE=180°-36°-2×36°=70°,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°, ∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°,∴∠BEF=180°-36°-72°=72°,∴BE=BF=AF .故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°,∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD ,故②正确∴正确的有②③故答案为:②③【点睛】本题考查了菱形的性质,等腰三角形的性质,熟记各性质并列出关于∠BAE 的方程是解题的关键,注意:菱形的对边平行,菱形的对角线平分一组对角.18.5【分析】先判断四边形BCEF 的形状,再连接FM FC 、,利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形,再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可. 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形,//EF BC ,∴四边形BCEF 是矩形,∵1PE =,∴3CE =,连接FM FC 、,如图所示:∵四边形ABCP 是正方形,∴=45BAC ∠ ,AFG 是等腰直角三角形,∵M 是AG 的中点,即有AM MG = ,∴FM AG ⊥,FMC 是直角三角形,又∵N 是FC 中点,12MN FC =, ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =,故答案为:2.5 .【点睛】本题考查了正方形的性质,矩形的判定,等腰三角形和直角三角形的性质,解题的关键在于合理作出辅助线,通过直角三角形的性质转化求解.19.207【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ,由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ,可得出OE=OB 、EF=BP ,设EF=x ,则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ,进而可得出AF=2+x ,在Rt △DAF 中,利用勾股定理可求出x 的值,即可得AF 的长.【详解】解:∵将△CDP 沿DP 折叠,点C 落在点E 处,∴DC =DE =5,CP =EP .在△OEF 和△OBP 中,90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP (AAS ),∴OE =OB ,EF =BP .设EF =x ,则BP =x ,DF =DE -EF =5-x ,又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ,PC =BC -BP =3-x ,∴AF =AB -BF =2+x .在Rt △DAF 中,AF 2+AD 2=DF 2,∴(2+x )2+32=(5-x )2,∴x =67∴AF =2+67=207故答案为:207 【点睛】本题考查了翻折变换,矩形的性质,全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用,解题时常常设要求的线段长为x ,然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.20.2或3.5【分析】分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案.【详解】如图,∵E是BC的中点,∴BE=CE= 12BC=9,①当Q运动到E和B之间,则得:3t﹣9=5﹣t,解得:t=3.5;②当Q运动到E和C之间,则得:9﹣3t=5﹣t,解得:t=2,∴当运动时间t为2秒或3.5秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.【点睛】“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.三、解答题21.(1)AG2=GE2+GF2,理由见解析;(2326+【分析】(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,3,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(3x)2,解得62-,推出62+BG=BN÷cos30°即可解决问题.【详解】解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,∵点G在BD上,∴GA=GC,∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC 是矩形,∴CF=GE ,在Rt △GFC 中,∵CG 2=GF 2+CF 2,∴AG 2=GF 2+GE 2.(2)作BN ⊥AG 于N ,在BN 上截取一点M ,使得AM=BM .设AN=x .∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,∴∠AMN=30°,∴AM=BM=2x ,MN=3x , 在Rt △ABN 中,∵AB 2=AN 2+BN 2,∴1=x 2+(2x+3x )2,解得x=62-, ∴BN=62+, ∴BG=BN÷cos30°=326+.【点睛】本题考查正方形的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,直角三角形30度的性质.22.(1)①见解析;②AG FB AE =+,证明见解析;(221n ;(3)241n -【分析】(1)①证明△ADE ≌△BAF (ASA )可得结论.②结论:AG=BF+AE .如图2中,过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ,证明AE=BK ,AG=GK ,即可解决问题.(2)如图3中,设AB=a ,AD=na ,求出ME 的最大值,NF 的最小值即可解决问题. (3)如图4中,延长DE 交CB 的延长线于H .设AB=2k ,则AD=BC=2kn ,求出CF ,BF 即可解决问题.【详解】(1)①证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,n=1,∴AD=AB,∴四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=∠B=90°,∵AF⊥DE,∴∠ADE+∠DAF=90°,∠DAF+∠BAF=90°,∴∠ADE=∠BAF,∴△ADE≌△BAF(ASA),∴AE=BF;②结论:AG=BF+AE.理由:如图2中,过点A作AK⊥HD交BC于点K,由(1)可知AE=BK,∵AH=AD,AK⊥HD,∴∠HAK=∠DAK,∵AD∥BC,∴∠DAK=∠AKG,∴∠HAK=∠AKG,∴AG=GK,∵GK=GB+BK=BF+AE,∴AG=BF+AE;(2)如图3中,设AB=a,AD=na,当ME 的值最大时,NF 的值最小时,ME NF 的值最大, 当ME 是矩形ABCD 的对角线时,ME 的值最大,最大值=()222na 1a n +=+•a ,当NF ⊥AD 时,NF 的值最小,最小值=a ,∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +, 故答案为:21n +;(3)如图4中,延长DE 交CB 的延长线于H .设AB=2k ,则AD=BC=2kn ,∵AD ∥BH ,∴∠ADE=∠H ,∵AE=EB=k ,∠AED=∠BEH ,∴△AED ≌△BEH (ASA ),∴AD=BH=2kn ,∴CH=4kn ,∵∠ADE=∠EDF ,∠ADE=∠H ,∴∠H=∠EDF ,∴FD=FH ,设DF=FH=x ,在Rt △DCF 中,∵CD 2+CF 2=DF 2,∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2,∴2142n x k n+=⋅,∴221441 422n nCF kn k kn n+-=-⋅=⋅,241222n kBF kn kn n-=-⋅=,∴22412412nkCF nnkBFn-⋅==-,故答案为:241n-.【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题.23.(1)①=CF BD,CF BD⊥;②当点D在BC的延长线上时①中结论仍成立,详见解析;(2)45︒【分析】(1)①结论:CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD≌△CAF,即可解决问题;②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.证明方法类似;(2)过点A作AG⊥AC交BC于点G,理由(1)中的结论即可解决问题.【详解】解:(1)①相等(或=CF BD),互相重直(或CF BD⊥)理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD和△CAF中,BA CABAD CAFDA FA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF⊥BD,CF=BD,故答案为CF⊥BD,CF=BD.②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.。
数学平行四边形测试试题含答案一、解答题1.如图,在正方形ABCD 中,点G 在对角线BD 上(不与点B ,D 重合),GE ⊥DC 于点E ,GF ⊥BC 于点F ,连结AG .(1)写出线段AG ,GE ,GF 长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD 的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG 的长.2.如图,在矩形ABCD 中,点E 是AD 上的一点(不与点A ,D 重合),ABE ∆沿BE 折叠,得BEF ,点A 的对称点为点F .(1)当AB AD =时,点F 会落在CE 上吗?请说明理由.(2)设()01AB m m AD=<<,且点F 恰好落在CE 上. ①求证:CF DE =.②若AE n AD=,用等式表示m n ,的关系. 3.在四边形ABCD 中,90A B C D ∠∠∠∠====,10AB CD ==,8BC AD ==.()1P 为边BC 上一点,将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1,当点E 落在CD 边上时,利用尺规作图,在图1中作出满足条件的图形(不写作法,保留作图痕迹,用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______;②如图2,若点P 为BC 边的中点,连接CE ,则CE 与AP 有何位置关系?请说明理由; ()2点Q 为射线DC 上的一个动点,将ADQ 沿AQ 翻折,点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处,则DQ =______; 4.已知,在△ABC 中,∠BAC =90°,∠ABC =45°,D 为直线BC 上一动点(不与点B ,C 重合),以AD 为边作正方形ADEF ,连接CF .(1)如图1,当点D 在线段BC 上时,BC 与CF 的位置关系是 ,BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ;(2)如图2,当点D 在线段BC 的延长线上时,其他条件不变,请猜想BC 与CF 的位置关系BC ,CD ,CF 三条线段之间的数量关系并证明;(3)如图3,当点D 在线段BC 的反向延长线上时,点A ,F 分别在直线BC 的两侧,其他条件不变.若正方形ADEF 的对角线AE ,DF 相交于点O ,OC =132,DB =5,则△ABC 的面积为 .(直接写出答案)5.如图所示,四边形ABCD 是正方形, M 是AB 延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D ,且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合),另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F .(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1),当点E 在AB 边的中点位置时,猜想DE 与EF 的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图(2),当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时,猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系,并证明你的猜想.6.已知在平行四边形ABCD 中,AB BC ≠,将ABC 沿直线AC 翻折,点B 落在点尽处,AD 与CE 相交于点O ,联结DE .(1)如图1,求证://AC DE ;(2)如图2,如果90B ∠=︒,3AB =6=BC OAC 的面积;(3)如果30B ∠=︒,23AB =,当AED 是直角三角形时,求BC 的长.7.如图1,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,过点O 作直线EF ⊥BD ,且交AC 于点E ,交BC 于点F ,连接BE 、DF ,且BE 平分∠ABD .(1)①求证:四边形BFDE 是菱形;②求∠EBF 的度数.(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究,如图2,G ,I 分别在BF ,BE 边上,且BG =BI ,连接GD ,H 为GD 的中点,连接FH ,并延长FH 交ED 于点J ,连接IJ ,IH ,IF ,IG .试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系,并说明理由;(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究,如图3,矩形ABCD 满足AB =AD 时,点E 是对角线AC 上一点,连接DE ,作EF ⊥DE ,垂足为点E ,交AB 于点F ,连接DF ,交AC 于点G .请直接写出线段AG ,GE ,EC 三者之间满足的数量关系.8.如图,四边形ABCD 为矩形,C 点在x 轴上,A 点在y 轴上,D(0,0),B(3,4),矩形ABCD 沿直线EF 折叠,点B 落在AD 边上的G 处,E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1,4).(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上,直线EF 上是否存在点M ,使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出M 点坐标;若不存在,请说明理由9.如图,在矩形 ABCD 中, AB =16 , BC =18 ,点 E 在边 AB 上,点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点,把△EBF 沿 EF 折叠,点B 落在点 B' 处.(I)若 AE =0 时,且点 B' 恰好落在 AD 边上,请直接写出 DB' 的长;(II)若 AE=3 时,且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形,试求 DB' 的长;(III)若AE=8时,且点 B' 落在矩形内部(不含边长),试直接写出 DB' 的取值范围.10.如图,已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置,连接AG,AE.(1)求证:AG AE=(2)过点F作FP AE⊥于P,交AB、AD于M、N,交AE、AG于P、Q,交BC于H,.求证:NH=FM【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、解答题1.(1)AG2=GE2+GF2,理由见解析;(2326+【分析】(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,3,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(3x)2,解得62-,推出62+BG=BN÷cos30°即可解决问题.【详解】解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:连接CG .∵四边形ABCD 是正方形,∴A 、C 关于对角线BD 对称,∵点G 在BD 上,∴GA=GC ,∵GE ⊥DC 于点E ,GF ⊥BC 于点F ,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC 是矩形,∴CF=GE ,在Rt △GFC 中,∵CG 2=GF 2+CF 2,∴AG 2=GF 2+GE 2.(2)作BN ⊥AG 于N ,在BN 上截取一点M ,使得AM=BM .设AN=x .∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,∴∠AMN=30°,∴AM=BM=2x ,MN=3x , 在Rt △ABN 中,∵AB 2=AN 2+BN 2,∴1=x 2+(2x+3x )2,解得x=624-, ∴BN=624+, ∴BG=BN÷cos30°=326+.【点睛】本题考查正方形的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,直角三角形30度的性质.2.(1)不会,理由见解析;(2)①见解析;②²²20m n n =+-【分析】(1)根据BEF BEA ≅得到BF BA =,根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=,与已知矛盾;(2)①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ,利用AAS 证得BCF CED ≅,根据全等三角形的性质即可证明;②设1AD =,则可表示出AE 和AB ,然后根据等角对等边证得CE=CB ,然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解.【详解】(1) 由折叠知BEF BEA ≅ ,所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒, .若点F 在CE 上,则90BFC ∠=︒,BC BF BA >=,与AB AD =矛盾,所以点F 不会落在CE 上.(2)①因为()01AB m m AD=<<,则AB AD < , 因为点F 落在CE 上,所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ,所以BF BA CD == .因为//AD BC ,所以DEC FCB ∠=∠ ,所以BCF CED ≅ ,所以CF DE =.②若AE n AD=,则AE nAD =. 设1AD =,则AE n AB m ==,.因为//AD BC ,所以BEA EBC ∠=∠ .因为BEF BEA ∠=∠ ,所以EBC BEC ∠=∠ ,所以1CE CB AD === .在Rt CDE ∆中,11DE n CE CD m ===一,, ,所以22211()n m -+= ,所以²²20m n n =+-.故答案为(1)不会,理由见解析;(2)①见解析;②²²20m n n =+-.【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定,和等边对等角,此题属于矩形的折叠问题类综合题,熟练掌握三角形全等的性质,和做出示意图是本题的关键.3.(1)①6;②结论://P EC A ;(2)为4和16.【分析】()1①如图1中,以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ,作EAB ∠的平分线交BC 于点P ,点P 即为所求.理由勾股定理可得DE .②如图2中,结论:EC//PA.只要证明PA BE ⊥,EC BE ⊥即可解决问题. ()2分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:()1①如图1中,以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ,作EAB ∠的平分线交BC 于点P ,点P 即为所求.在Rt ADE 中,90D ∠=,10AE AB ==,8AD =, 22221086DE AE AD ∴=-=-=,故答案为6.②如图2中,结论://P EC A .理由:由翻折不变性可知:AE AB =,PE PB =,PA ∴垂直平分线段BE ,即PA BE ⊥,PB PC PE ==,90BEC ∠∴=,EC BE ∴⊥,//EC PA ∴.()2①如图31-中,当点Q 在线段CD 上时,设DQ QD'x ==.在Rt AD'B 中,AD'AD 8==,AB 10=,AD'B 90∠=, 22BD'AB AD'6∴=-=, 在Rt BQC 中,222CQ BC BQ +=, 222(10x)8(x 6)∴-+=+,x 4∴=,DQ 4∴=.②如图32-中,当点Q 在线段DC 的延长线上时,DQ //AB ,DQA QAB ∠∠∴=,DQA AQB ∠∠=,QAB AQB ∠∠∴=,AB BQ 10∴==,在Rt BCQ 中,CQ BQ 6==,DQ DC CQ 16∴=+=,综上所述,满足条件的DQ 的值为4或16.故答案为4和16.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了矩形的性质,翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.4.(1)BC ⊥CF ,CF +CD =BC ;(2)CF ⊥BC ,CF ﹣CD =BC ,证明详见解析;(3)494. 【分析】 (1)△ABC 是等腰直角三角形,利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ,从而证得CF =BD ,据此即可证得;(2)同(1)相同,利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ,从而证得BD =CF ,即可得到CF ﹣CD =BC ;(3)先证明△BAD ≌△CAF ,进而得出△FCD 是直角三角形,根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长,再求出CD ,BC 即可解决问题.【详解】(1)如图1中,∵∠BAC =90°,∠ABC =45°,∴∠ACB =∠ABC =45°,∴AB =AC ,∵四边形ADEF 是正方形,∴AD =AF ,∠DAF =90°,∵∠BAD =90°﹣∠DAC ,∠CAF =90°﹣∠DAC ,∴∠BAD =∠CAF ,∵在△BAD 和△CAF 中,AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAD ≌△CAF (SAS ),∴BD =CF ,∠ABD =∠ACF =45°,∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°,即CF ⊥BC ,∵BD +CD =BC ,∴CF +CD =BC ;故答案为:CF ⊥BC ,CF +CD =BC .(2)结论:CF ⊥BC ,CF ﹣CD =BC .理由:如图2中,∵∠BAC =90°,∠ABC =45°,∴∠ACB =∠ABC =45°,∴AB =AC ,∵四边形ADEF 是正方形,∴AD =AF ,∠DAF =90°,∵∠BAD =90°+∠DAC ,∠CAF =90°+∠DAC , ∴∠BAD =∠CAF ,∵在△BAD 和△CAF 中,AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAD ≌△CAF (SAS ),∴BD =CF ,∠ABD =∠ACF =45°,∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°,即CF ⊥BC , ∴BC +CD =CF ,∴CF ﹣CD =BC ;(3)如图3中,∵∠BAC =90°,∠ABC =45°,∴∠ACB =∠ABC =45°,∴AB =AC ,∵四边形ADEF 是正方形,∴AD =AF ,∠DAF =90°,∵∠BAD =90°﹣∠BAF ,∠CAF =90°﹣∠BAF , ∴∠BAD =∠CAF ,∵在△BAD 和△CAF 中,AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAD ≌△CAF (SAS ),∴∠ACF =∠ABD ,BD =CF =5,∵∠ABC =45°,∴∠ABD =135°,∴∠ACF =∠ABD =135°,∴∠FCD =135°﹣45°=90°,∴△FCD 是直角三角形.∵OD =OF ,∴DF =2OC =13,∴Rt △CDF 中,CD =2222135DF CF-=-=12,∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7,∴AB =AC =72, ∴S △ABC 17272492224=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理,正方形的性质以及全等三角形的判定与性质,判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键.5.(1)详见解析;(2)DE EF =,理由详见解析;(3)DE EF =,理由详见解析【分析】(1)根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒,等量代换即可证明;(2)DE=EF ,连接NE ,在DA 边上截取DN=EB ,证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案;(3)在DA 边上截取DN EB =,连接NE ,证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案.【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒,∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图,取AD 的中点N ,连接NE ,∵四边形ABCD 为正方形,∴AD AB = ,∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====, ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒,又∵90CBM ∠=︒,BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒.∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌,∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图,在DA 边上截取DN EB =,连接NE ,∵四边形ABCD 是正方形, DN EB =,∴AN AE =,∴AEN △为等腰直角三角形,∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒,∵BF 平分CBM ∠, AN AE =,∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒,∴DNE EBF ∠=∠,在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌,∴DE EF =.【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识,解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF .6.(1)见解析;(2)8;(3)4或6 【分析】(1)由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠,BC EC =,由平行四边形的性质得AD BC =,//AD BC .则EC AD =,ACB CAD ∠=∠,得ACE CAD ∠=∠,证出OA OC =,则OD OE =,由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠,证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠,即可得出结论;(2)证四边形ABCD 是矩形,则90CDO ∠=︒,==CD ABAD BC ==OA OC x ==,则OD x ,在Rt OCD ∆中,由勾股定理得出方程,求出OA =,由三角形面积公式即可得出答案;(3)分两种情况:90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒,需要画出图形分类讨论,根据含30角的直角三角形的性质,即可得到BC 的长.【详解】解:(1)证明:由折叠的性质得:ABC ∆≅△AEC ∆,ACB ACE ∴∠=∠,BC EC =,四边形ABCD 是平行四边形,AD BC ∴=,//AD BC .EC AD ∴=,ACB CAD ∠=∠,ACE CAD ∴∠=∠,OA OC ∴=,OD OE ∴=,ODE OED ∴∠=∠,AOC DOE ∠=∠,CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠,//AC DE ∴;(2)平行四边形ABCD 中,90B ∠=︒,∴四边形ABCD 是矩形,90CDO ∴∠=︒,==CD ABAD BC ==由(1)得:OA OC =,设OA OC x ==,则6OD x =-, 在Rt OCD ∆中,由勾股定理得:222(3)(6)x x +-=,解得:364x =, 36OA ∴=, OAC ∴∆的面积113692322OA CD =⨯=⨯⨯=; (3)分两种情况:①如图3,当90EAD ∠=︒时,延长EA 交BC 于G ,AD BC =,BC EC =,AD EC ∴=,//AD BC ,90EAD ∠=︒,90EGC ∴∠=︒,30B ∠=︒,23AB =,30AEC ∴∠=︒,1122GC EC BC ∴==, G ∴是BC 的中点,在Rt ABG ∆中,33BG AB ==, 26BC BG ∴==;②如图4,当90AED ∠=︒时AD BC =,BC EC =,AD EC ∴=,由折叠的性质得:AE AB =,AE CD ∴=,在ACE ∆和CAD ∆中,AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()ACE CAD SSS ∴∆≅∆,ECA DAC ∴∠=∠,OA OC ∴=,OE OD ∴=,OED ODE ∴∠=∠,AED CDE ∴∠=∠,90AED ∠=︒,90CDE ,//AE CD ∴,又//AB CD ,B ∴,A ,E 在同一直线上,90BAC EAC ∴∠=∠=︒,Rt ABC ∆中,30B ∠=︒,23AB =,32AC AB ∴==,24BC AC ==; 综上所述,当AED ∆是直角三角形时,BC 的长为4或6.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识;本题综合性强,熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键.7.(1)①证明见解析;②60EBF ∠=︒;(2)3IH FH =;(3)222EG AG CE =+. 【分析】(1)①由DOE BOF ∆≅∆,推出EO OF =,OB OD =,推出四边形EBFD 是平行四边形,再证明EB ED =即可.②先证明2ABD ADB ∠=∠,推出30ADB ∠=︒,延长即可解决问题.(2)3IH FH =.只要证明IJF ∆是等边三角形即可.(3)结论:222EG AG CE =+.如图3中,将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆,先证明DEG DEM ∆≅∆,再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)①证明:如图1中,四边形ABCD 是矩形,//AD BC ∴,OB OD =,EDO FBO ∴∠=∠,在DOE ∆和BOF ∆中,EDO FBO OD OBEOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, DOE BOF ∴∆≅∆,EO OF ∴=,OB OD =,∴四边形EBFD 是平行四边形,EF BD ⊥,OB OD =,EB ED ∴=,∴四边形EBFD 是菱形.②BE 平分ABD ∠,ABE EBD ∴∠=∠,EB ED =,EBD EDB ∴∠=∠,2ABD ADB ∴∠=∠,90ABD ADB ∠+∠=︒,30ADB ∴∠=︒,60ABD ∠=︒,30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒,60EBF ∴∠=︒.(2)结论:3IH FH =.理由:如图2中,延长BE 到M ,使得EM EJ =,连接MJ .四边形EBFD 是菱形,60B ∠=︒,EB BF ED ∴==,//DE BF ,JDH FGH ∴∠=∠,在DHJ ∆和GHF ∆中,DHG GHF DH GHJDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, DHJ GHF ∴∆≅∆,DJ FG ∴=,JH HF =,EJ BG EM BI ∴===,BE IM BF ∴==,60MEJ B ∠=∠=︒,MEJ ∴∆是等边三角形,MJ EM NI ∴==,60M B ∠=∠=︒在BIF ∆和MJI ∆中,BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,BIF MJI ∴∆≅∆,IJ IF ∴=,BFI MIJ ∠=∠,HJ HF =,IH JF ∴⊥,120BFI BIF ∠+∠=︒,120MIJ BIF ∴∠+∠=︒,60JIF ∴∠=︒,JIF ∴∆是等边三角形,在Rt IHF ∆中,90IHF ∠=︒,60IFH ∠=︒,30FIH ∴∠=︒, 3IH FH ∴=.(3)结论:222EG AG CE =+.理由:如图3中,将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆,90FAD DEF ∠+∠=︒,AFED ∴四点共圆,45EDF DAE ∴∠=∠=︒,90ADC ∠=︒,45ADF EDC ∴∠+∠=︒,ADF CDM ∠=∠,45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠,在DEM ∆和DEG ∆中,DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DEG DEM ∴∆≅∆,GE EM ∴=,45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒,AG CM =,90ECM ∴∠=︒222EC CM EM ∴+=,EG EM =,AG CM =,222GE AG CE ∴=+.【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,学会转化的思想思考问题,属于中考压轴题.8.(1)G (0,2)4y =++3)234,,(1,4M M M -+⎝⎝⎝. 【解析】【分析】1(1)由F (1,4),B (3,4),得出AF=1,BF=2,根据折叠的性质得到GF=BF=2,在Rt △AGF中,利用勾股定理求出AG =,那么OG=OA-AG=4-,于是G (0,);(2)先在Rt △AGF中,由tan AG AFG AF ∠===,得出∠AFG=60°,再由折叠的性质得出∠GFE=∠BFE=60°,解Rt △BFE ,求出BE=BF tan60°,那么CE=4-2E (3,.设直线EF 的表达式为y=kx+b ,将E (3,F (1,4)代入,利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.(3)因为M 、N 均为动点,只有F 、G 已经确定,所以可从此入手,结合图形,按照FG 为一边,N 点在x 轴上;FG 为一边,N 点在y 轴上;FG 为对角线的思路,顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后,利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.【详解】解:(1)∵F (1,4),B (3,4),∴AF=1,BF=2,由折叠的性质得:GF=BF=2,在Rt △AGF 中,由勾股定理得, 223AG GF AF =-= ∵B (3,4),∴OA=4,∴OG=4-3,∴G (0,4-3);(2)在Rt △AGF 中,∵3tan 3AG AFG AF ∠=== , ∴∠AFG=60°,由折叠的性质得知:∠GFE=∠BFE=60°,在Rt △BFE 中,∵BE=BF tan60°=23, .CE=4-23,.E (3,4-23).设直线EF 的表达式为y=kx+b ,∵E (3,4-23),F (1,4),∴34234k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得343k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ∴343y x =-++ ;(3)若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形,则分如下四种情况: ①FG 为平行四边形的一边,N 点在x 轴上,GFMN 为平行四边形,如图1所示. 过点G 作EF 的平行线,交x 轴于点N 1,再过点N :作GF 的平行线,交EF 于点M ,得平行四边形GFM 1N 1.∵GN 1∥EF ,直线EF 的解析式为343,(0,43)y x G =+ ∴直线GN 1的解析式为34-3y x =当y=0时,1433433,,0x N ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. ∵GFM 1N 1是平行四边形,且G (0,4-3),F (1,4),N 1(433- ,0), ∴M ,(43 ,3);②FG 为平行四边形的一边,N 点在x 轴上,GFNM 为平行四边形,如图2所示. ∵GFN 2M 2为平行四边形,∴GN ₂与FM 2互相平分.∴G (0,3N2点纵坐标为0∴GN :中点的纵坐标为32-, 设GN ₂中点的坐标为(x ,32. ∵GN 2中点与FM 2中点重合,∴33432x +=-439+ ∵.GN 2的中点的坐标为(4393,262-), .∴N 2439+0). ∵GFN 2M 2为平行四边形,且G (0,3F (1,4),N 2439+,0), ∴M 24363+③FG为平行四边形的一边,N点在y轴上,GFNM为平行四边形,如图3所示.∵GFN3M3为平行四边形,.∴GN3与FM3互相平分.∵G(0,4-3),N2点横坐标为0,.∴GN3中点的横坐标为0,∴F与M3的横坐标互为相反数,∴M3的横坐标为-1,-⨯-++=+,当x=-1时,y=3(1)43423∴M3(-1,4+23);④FG为平行四边形的对角线,GMFN为平行四边形,如图4所示.过点G作EF的平行线,交x轴于点N4,连结N4与GF的中点并延长,交EF于点M。
平行四边形的判定及中位线知能点1 平行四边形的判定方法1.能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是().A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD2.具备下列条件的四边形中,不能确定是平行四边形的为().A.相邻的角互补 B.两组对角分别相等C.一组对边平行,另一组对边相等 D.对角线交点是两对角线中点3.如下左图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是().A.若AO=OC,则ABCD是平行四边形;B.若AC=BD,则ABCD是平行四边形;C.若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平行四边形;D.若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平行四边形4.如上右图所示,对四边形ABCD是平行四边形的下列判断,正确的打“∨”,错误的打“×”.(1)因为AD∥BC,AB=CD,所以ABCD是平行四边形.()(2)因为AB∥CD,AD=BC,所以ABCD是平行四边形.()(3)因为AD∥BC,AD=BC,所以ABCD是平行四边形.()(4)因为AB∥CD,AD∥BC,所以ABCD是平行四边形.()(5)因为AB=CD,AD=BC,所以ABCD是平行四边形.()(6)因为AD=CD,AB=AC,所以ABCD是平行四边形.()5.已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加条件________.6.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,问四边形ABCD是不是平行四边形.7.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,E,F为对角线AC上的点,且AE=CF,求证:BE=DF.8.如图所示,D为△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,且AE=CE,FC∥AB.求证:CD=AF.9.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,在AB的延长线上截取BE=•AB,BF=BD,连接CE,DF,相交于点M.求证:CD=CM.10.如图所示,在四边形ABCD中,DC∥AB,以AD,AC为边作□ACED,延长DC•交EB于F,求证:EF=FB.知能点2 三角形的中位□线11.如图所示,已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连接OF,求证:AB=2OF.12.如图所示,在ABCD中,EF∥AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE,BF•交于点M,连接CF,DE交于点N,求证:MN∥AD且MN=12 AD.13.如图所示,DE是△ABC的中位线,BC=8,则DE=_______.14.如图所示,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OE∥BC交CD•于E,•若OE=3cm,则AD的长为(). A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm15.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,•则四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?16.如图所示,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求△DEF的面积.规律方法应用17.如图所示,A,B两点被池塘隔开,在A,B外选一点C,连接AC和BC,•并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离是多少?18.如图所示,在□ABCD中,AB=2AD,∠A=60°,E,F分别为AB,CD的中点,EF=1cm,那么对角线BD 的长度是多少?你是怎样得到的?19.如图所示,在△AB C中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.•试说明:(1)DE∥BC.(2)DE=12(BC-AC).开放探索创新20.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD•于E,EF∥BC交AC于F,那么AE与CF相等吗?请验证你的结论.中考真题实战21.(长沙)如下左图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD•为平行四边形,则应添加的条件是________.(添加一个即可)22.(呼和浩特)如上右图所示,已知E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,•则S四边形EFGH:S四边形ABCD的值是_________.23.(南京)已知如图19-1-55所示,在Y ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证:(1) △AFD≌△CEB.(2)四边形AECF是平行四边形.答案:1.C 2.C 3.D4.(1)× (2)× (3)∨ (4)∨ (5)∨ (6)× 5.AD=BC或AB∥CD6.解:∵∠1=∠2,∴AD∥BC.又∵∠3=∠4,∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.7.证明:∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.又∵AE=CE,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴BE=EF.8.证明:∵FC∥AB,∴∠DAC=∠ACF,∠ADF=∠DFC.又∵AE=CE,∴△ADE≌△CF E(AAS),∴DE=EF.∵AE=CE,∴四边形ADCF为平行四边形.∴CD=AF.9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB//DC.又∵BE=AB,∴BE//DC,∴四边形BDCE是平行四边形.∵DC∥BF,∴∠CDF=∠F.同理,∠BDM=∠DMC.∵BD=BF,∴∠BDF=∠F.∴∠CDF=∠CMD,∴CD=CM.10.证明:过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G,连接EG.∵DC∥AB,∴ABGD是平行四边形,∴BG// AD.在□ACED中,AD//CE,∴CE//BG.∴四边形BCEG为平行四边形,∴EF=FB.11.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AD=BC.∵CE=CD,∴AB//CE,∴四边形ABEC为平行四边形.∴BF=FC,∴OF//12AB,即AB=2OF.12.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC.又∵EF∥AB,∴EF∥CD.∴四边形ABEF,ECDF均为平行四边形.又∵M,N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点.∴M为AE的中点,N为DE的中点,即MN为△AED的中位线.∴MN∥AD且MN=12 AD.13.4 14.B15.解:EFGH是平行四边形,连接AC,在△ABC中,∵EF是中位线,∴EF//12 AC.同理,GH//12 AC.∴EF//GH,∴四边形EFGH为平行四边形. 16.解:∵EF,DE,DF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,DE=12AC,DF=12BC.又∵AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,∴EF=5cm,DE=3cm,DF=4cm,而32+42=25=52,即DE2+DF2=EF2.∴△EDF为直角三角形.∴S△EDF=12DE·DF=12×3×4=6(cm2).17.解:∵M,N分别是AC,BC的中点.∴MN是△ABC的中位线,∴MN=12 AB.∴AB=2MN=2×20=40(m).故A,B两点间的距离是40m.18.解:连接DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD.∵DF=12CD,AE=12AB,∴DF//AE.∴四边形ADFE是平行四边形.∴EF=AD=1cm.∵AB=2AD,∴AB=2cm.∵AB=2AD,∴AB=2AE,∴AD=AE.∴∠1=∠4.∵∠A=60°,∠1+∠4+∠A=180°,∴∠1=∠A=∠4=60°.∴△ADE是等边三角形,∴DE=AE.∵AE=BE,∴DE=BE,∴∠2=∠3.∵∠1=∠2+∠3,∠1=60°,∴∠2=∠3=30°.∴∠ADB=∠3+∠4=90°.222221AB AD-=-3cm). 19.解:延长AD交BC于F.(1)∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠FDC=90°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCD.在△ACD与△FCD中,∠ADC=∠FDC,DC=DC,∠ACD=∠FCD.∴△ACD≌△FCD,∴AC=FC,AD=DF.又∵E为AB的中点,∴DE∥BF,即DE∥BC.(2)由(1)知AC=FC,DE=12 BF.∴DE=12(BC-FC)=12(BC-AC).20.解:AE=CF.理由:过E作EG∥CF交BC于G,∴∠3=∠C.∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=90°.∴∠C=∠BAD,∴∠3=∠BAD.又∵∠1=∠2,BE=BE,∴△ABE≌△GBE(AAS),∴AE=GE.∵EF∥BC,EG∥CF,∴四边形EGCF是平行四边形,∴GE=CF,∴AE=CF.21.答案不唯一,如AB=CD或AD∥BC.22.1 223.解:(1)在□ABCD中,AD=CB,AB=CD,∠D=∠B.∵E,F分别为AB,CD的中点,∴DF=12CD,BE=12AB,∴DF=BE,∴△AFD≌△CEB.(2)在□ABCD中,AB=CD,AB∥CD.由(1)得BE=DF,∴AE=CE,∴四边形AECF是平行四边形.。
119.1.1 平行四边形及其性质(一)1.填空: (1)在ABCD 中,∠A=︒50,则∠B= 度,∠C= 度,∠D= 度.(2)如果ABCD 中,∠A —∠B=240,则∠A= 度,∠B= 度,∠C= 度,∠D= 度. (3)如果ABCD 的周长为28cm ,且AB :BC=2∶5,那么AB= cm ,BC= cm ,CD= cm ,CD= cm .2.如图4.3-9,在ABCD 中,AC 为对角线,BE ⊥AC ,DF ⊥AC , E 、F 为垂足,求证:BE =DF .3.(选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是( ). (A )对角相等 (B )对角互补 (C )邻角互补 (D )内角和是︒360 4.在ABCD 中,如果EF ∥AD ,GH ∥CD ,EF 与GH 相交与点O ,那么图中的平行四边形一共有( ).(A )4个 (B )5个 (C )8个 (D )9个5.如图,AD ∥BC ,AE ∥CD ,BD 平分∠ABC ,求证AB=CE .6、如图,在平行四边形ABCD 中,AE=CF ,求证:AF=CE .19.1.1 平行四边形的性质(二)1.在平行四边形中,周长等于48, ① 已知一边长12,求各边的长 ② 已知AB=2BC ,求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ,△AOD 与△AOB 的周长的差是10,求各边的长2.如图,ABCD 中,AE ⊥BD ,∠EAD=60°,AE=2cm ,AC+BD=14cm ,则△OBC 的周长是____ ___cm .3.ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5,cm 7的两条线段,则ABCD 的周长是__ ___cm .4.判断对错 (1)在ABCD 中,AC 交BD 于O ,则AO=OB=OC=OD . ( )(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( ) (3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( ) (4)平行四边形是轴对称图形. ( ) 5.在 ABCD 中,AC =6、BD =4,则AB 的范围是__ ______.6.在平行四边形ABCD 中,已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和16,则这个四边形的周长是 .7.公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB =15cm ,AD =12cm ,AC ⊥BC ,求小路BC ,CD ,OC 的长,并算出绿地的面积.8、 已知:如图4-21,ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证:OE =OF ,AE=CF ,BE=DF .※【引申】若例1中的条件都不变,将EF 转动到图b 的位置,那么例1的结论是否成立?若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c 和图d ),例1的结论是否成立,说明你的理由.19.1.2(一)平行四边形的判定1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,(1)若A D=8cm,AB=4cm,那么当BC=___ _cm,CD=___ _cm时,四边形ABCD为平行四边形;(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=__ _cm,DO=__ _cm时,四边形ABCD为平行四边形.2.已知:如图,ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:EO=OF.3.灵活运用课本P89例题,如图:由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察,分析发现:①第4个图形中平行四边形的个数为___ __.(6个)②第8个图形中平行四边形的个数为___ __.(20个)4.(选择)下列条件中能判断四边形是平行四边形的是().(A)对角线互相垂直(B)对角线相等(C)对角线互相垂直且相等(D)对角线互相平分5.已知:如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥BC,求证:BE=CF19.1.2(二)平行四边形的判定1.(选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是().(A)AB∥CD,AD=BC (B)∠A=∠B,∠C=∠D(C)AB=CD,AD=BC (D)AB=AD,CB=CD2.已知:如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.3.已知:如图,在ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.求证:四边形AFCE是平行四边形.4.判断题:(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形;()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;()(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;()(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;()(5)对角线相等的四边形是平行四边形;()(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形.()5.延长△ABC的中线AD至E,使DE=AD.求证:四边形ABEC是平行四边形.6.在四边形ABCD中,(1)AB∥CD;(2)AD∥BC;(3)AD=BC;(4)AO=OC;(5)DO=BO;(6)AB =CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对.(共有9对)7、已知:如图,ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF是平行四边形.19.1.2(三)平行四边形的判定——三角形的中位线1.(填空)如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20 m,那么A、B两点的距离是m,理由是.2.已知:三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ,求连结各边中点所成三角形的周长.3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,(1)若EF=5cm,则AB= cm;若BC=9cm,则DE= cm;(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想.24.(填空)一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.5.(填空)已知:△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是cm.6.已知:如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.7、已知:如图(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.19.2.1 矩形(一)1.(填空)(1)矩形的定义中有两个条件:一是,二是.(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为cm,cm,cm,cm.2.(选择)(1)下列说法错误的是().(A)矩形的对角线互相平分(B)矩形的对角线相等(C)有一个角是直角的四边形是矩形(D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().(A)2对(B)4对(C)6对(D)8对3.已知:如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.4.(选择)矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm,较短边的长为().(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm5.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=2AC,求∠A、∠B的度数.6.已知:矩形ABCD中,BC=2AB,E是BC的中点,求证:EA⊥ED.7.如图,矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=AE,求证:∠CBE的度数.8、已知:如图,矩形ABCD,AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.分析:(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.9、已知:如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:CE=EF.分析:CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.又AD=AE,∴△ABE≌△DFA(AAS).∴AF=BE.∴EF=EC.此题还可以连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=E319.2.1 矩形(二)1.(选择)下列说法正确的是().(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形(C)对角线互相平分的四边形是矩形(D)对角互补的平行四边形是矩形2.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°, CD为中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;⑵摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:;⑶将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:;4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,求∠A、∠B的度数.5、下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么?(1)有一个角是直角的四边形是矩形;()(2)有四个角是直角的四边形是矩形;()(3)四个角都相等的四边形是矩形;()(4)对角线相等的四边形是矩形;()(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;()(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;()(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;()(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;()(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.( )6、已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4 cm,求这个平行四边形的面积.分析:首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值.解:7、已知:如图(1),ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH 是矩形.分析:要证四边形EFGH是矩形,由于此题目可分解出基本图形,如图(2),因此,可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.证明:19.2.2 菱形(一)1.若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为.2.已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ,求菱形的周长和面积.3.已知菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1∶2,求菱形的对角线的长和面积.4.已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.5.菱形ABCD中,∠D∶∠A=3∶1,菱形的周长为8cm,求菱形的高.6.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm,求(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.419.2.2 菱形(二)1.填空:(1)对角线互相平分的四边形是;(2)对角线互相垂直平分的四边形是________;(3)对角线相等且互相平分的四边形是________;(4)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形.2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:四边形OCED是菱形。
19.1.1 平行四边形及其性质(一)学习目标:理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证.学习重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用.学习难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.学习过程:一、自主预习(10分钟)1.由__ _条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形;四边形有 _条边,_ __个角,四边形的内角和等于_____度;2.如图AB与BC叫_ __边, AB与CD叫__ _边;∠A与∠B叫_ __角,∠D与∠B叫_ __角;1.多边形中不相邻顶点的连线叫对角线,如图四边形ABCD中对角线有__ _条,它们是______自学课本P83~P84,1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形,平行四边形用“______”表示,平行四边形ABCD记作__________。
2.如图□ABCD中,对边有______组,分别是___________________,对角有_____组,分别是_________________,对角线有______条,它们是___________________。
你能归纳ABCD的边、角各有什么关系吗?并证明你的结论。
二、合作解疑(25分钟)如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地,其中一条边AB长为8m,其他三条边各长多少?个平行四边形的一个外角是38°,这个平行四边形的各个内角的度数分别是:(3) ABCD有一个内角等于40°,则另外三个内角分别为:(4)平行四边形的周长为50cm,两邻边之比为2:3,则两邻边分别为: 1. ABCD中,∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰42. ABCD 的周长为40cm,△ABC的周长为27cm,AC的长为()A.13cmB.3 cmC.7 cmD.11.5cm综合应用拓展1. 如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证AB=CE.三、限时检测(10分钟)1.填空:50,则∠B= 度,∠C= 度,∠D= 度.(1)在ABCD中,∠A=1.两组对边分别______的四边形叫做平行四边形.它用符号“□”表示,平行四边形ABCD 记作__________。
19.1.2平行四边形的判定(1)一、自学教材86页—88页例四以前内容,明确目标 1、理解掌握平行四边形的判定方法。
2、会用平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形,3、培养观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
二研读教材,解读目标:1、 从定义出发可知两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
除此之外,我们可以通过研究平行四边形性质定理的逆命题得到平行四边形的其他判定方法:2、 判定定理1: 。
模式表示为: 。
3、 判定定理2: 。
模式表示为: 。
4、 判定定理3: 。
模式表示为:5、 判定定理4: 。
模式表示为: (以上定理要会证明)三、巩固训练,达成目标(独立完成91—92四、交流展示,巩固提高:1、已知:如图,E 、F 求证:21∠=∠2、 已知如图,E 、F 、G 、H 点,且AE =CG ,BF =DH 。
求证:四边形EFGH 是平行四边形3、延长三角形ABC 的中线BD 至E ,使求证:∠BAE=∠BCE 。
4、下列给出的条件中,能判定四边形ABCD 是平行四边形的为( )A . AB=BC,AD=CD B. AB=CD,A D ∥BCC. ∠A=∠B, ∠C=∠DD.AB ∥CD, ∠A=∠C5、将两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形,平行四边形个个数是( )A. 1个B.2个C.3个D.4个6、A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD;这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有()(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种7.已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“BCD=∠”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;BAD∠(3)如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“CAB=∠”,那么四边形ABCD一定是平行四边形DBA∠其中正确的说法是 ( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4)8、如图,E、F是四边形ABCD对角线AC上两点,AF=CE,DF∥BE,DF=BE.求证:四边形ABCD是平行四边形。
八年级数学《19.1 平行四边形的性质与判定》自测题班级____________姓名____________(本卷满分100分,20120405)一、填一填(每题3分,共30分)1.已知□ABCD的周长为28,AB:BC=3:4,则CD=.2.已知E、F、G、H分别为□ABCD各边的中点,则四边形EFGH为_______________形。
3.在四边形ABCD中,若AB=CD,再添加一个条件为__________,就可以判定四边形ABCD为平行四边形。
4.在□ABCD中,∠A=30°,AB=7 cm,AD=6 cm,则=____________.5.平行四边形的边长等于5和7,这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长____________.6.□ABCD中,周长为20,对角线AC交BD于点O,△OAB比△OBC的周长多4,则边BC=____________.7. 平行四边形邻边长是4 cm和8cm,一边上的高是5 cm,则另一边上的高是____________.8.用边长分别为2,3,4的两个全等三角形拼成四边形,共能拼成_________个为平行四边形。
9.平行四边形两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,则平行四边形的面积是____________.10.一个平行四边形的一边长是8,一条对角线长是6,则它的另一条对角线x的取值范围为________.二、选一选(每题3分,共24分)11.能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是()A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD12.点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD,②AB=CD,③BC∥AD,④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()A.3种B.4种C.5种D.6种13.下列结论正确的是()A.对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B.一边长为5cm,两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是平行四边形14.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是()A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CDC.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC15.如图19-1-26,在□ABCD中,E,F分别在BC,AD上,若想使四边形AFCE为平行四边形,须添加一个条件,这个条件可以是()。
平行四边形测试题 姓名:
一、选择题
( )1.若平行四边形ABCD 的周长是40cm ,△ABD 的周长是27cm , 则BD 的长为 A .13cm B .3cm C .7cm D .13.5 cm
( )2.已知平行四边形周长为28cm ,相邻两边的差是4cm ,则两边的长分别为 A .4cm 、10cm B .5cm 、9cm C .6cm 、8cm D .5cm 、7cm ( )3.下列条件中,能判定一个四边形是平行四边形的是
A .一组对边平行,另一组对边相等
B .一组对边平行,一组对角相等
C .一组邻边相等,一组对角相等
D .一组对边平行,一组对角互补 ( )4.已知平行四边形某边长为14,下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是 A .10与6 B .12与16 C .20与22 D .10与18
( )5.四边形ABCD 中,AD ∥BC ,当满足哪个条件时,四边形ABCD 是平行四边形 A .∠A +∠C =︒180 B .∠B +∠D =︒180
C .∠A +∠B =︒180
D .∠A +∠D =︒180 二、填空题
6.一个平行四边形的周长为80,两邻边的比为3∶5,则四边形的长为_________.
7.一个平行四边形的一个内角比它的邻角大︒24,则这个四边形的四个内角分别是_____________. 9.在平行四边形ABCD 中,对角线BD = 8cm ,∠DBC =︒30,BC = 5cm ,则平行四边形ABCD 的面积为___________.
10.如图平行四边形ABCD 中,AE 、BF 分别平分∠DAB 、∠CBA ,AD=4,AB=5,则EF=________ 11.如图平行四边形ABCD 中,EF 过对角线交点O ,交CD 、AB 于E 、F ,若AB = 4cm ,AD = 3cm ,
OF = 1.3cm ,则四边形BCEF 周长为_______.
12.如图点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点,若△DEF 的周长为10cm 则ABC C ∆=_____________
13. 如图平行四边形ABCD 中CE 垂直对角线BD ,CE=3,BD=10,BC=5。
AD 与BC 间的距离为 。
14.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长为_____.
三、解答题:
15.平行四边形ABCD 中,∠EAF=80°,AE ⊥BC ,AF ⊥CD 。
求:平行四边形ABCD 各内角的度数。
16.在△ABC 中,AD 平分∠BAC,点M,E,F 分别是AB,AD,AC 上的点,四边形BEFM 是平行四边形。
求证:AF=BM
17.已知如图,H 、E 、F 、G 分别是DA 、AB 、BC 、CD 的中点.
求证:四边形HEFG 是平行四边形.
18.如图AB 、CD 相交于点O, AC//DB, AO=BO, E 、F 分别为OC 、OD 的中点,连接AF 、BE 。
求证:AF//BE.
19.已知:如图 ABCD 中,AE 平分∠BAD,交DC 的延长线于点E,CF 平分∠BCD,交BA 的延长线于F.
求证:四边形AECF 是平行四边形.
21.平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,AC = 10,BD = 8,则AD 的取值范围是( ) A .AD >1 B . AD <9 C .1<AD <9 D .AD >920.
22.平行四边形周长等于68cm ,被两条对角线分成两个不同的三角形的周长和等于80cm ,两对角线的长度之比是2∶3,两条对角线的长度为 .
23.如图,AD 、BC 垂直相交于点O ,AB ∥CD ,又BC = 8,AD = 6,求:AB +CD 的长.
24.如图,某村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树,这村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问这村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.
备用图。