高中数学第二章概率2.1.3超几何分布学案新人教B版选修2_3

2.1.3 超几何分布课时目标1.理解超几何分布并会简单应用.2.加深对离散型随机变量分布列的理解．1．超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝________________(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布列X 01…mP ____________…________一、选择题1．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)2．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为( )A.949B.2245C.47245D.2493．现有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是( )A.C116C24C320B.C216C14C320C.C216C14＋C316C320D．以上均不对4．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C480C610C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C101005．把X、Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X、Y两种基因各失效1个单位的概率是( )A.2449B.125C.130D.1600二、填空题6．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为______．7．盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，请填写下面ξ的分布列：8.从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则P(ξ≤1)＝________.三、解答题9．从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加抗震救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．10．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．能力提升11．为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； (2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．1．在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率P (X ＝m )，从而列出X 的分布列．2．要理解超几何分布中各个字母的含义，不要机械地去记公式．2.1.3 超几何分布答案知识梳理 1.C m M C n －mN －M C n N2.C 0M C nN －M C n N C 1M C n －1N －M C n N C m M C n －mN －M C n N作业设计1．C [A 中P (ξ＝2)＝C 27C 88C 1015；B 中P (ξ≤2)＝P (ξ＝2)≠C 47C 68C 1015；C 中P (ξ＝4)＝C 47C 68C 1015；D中P (ξ≤4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)>P (ξ＝4)．]2．C [设抽到的次品数为X ，则X 服从超几何分布，其中，N ＝50，M ＝5，n ＝2.于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245.]3．D [P ＝C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320.] 4．D 5．A 6.45解析 设所选女生数为随机变量X ，X 服从超几何分布， P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.7.128 37 1528解析 P (ξ＝2)＝C 22C 28＝128，P (ξ＝3)＝C 16C 12C 28＝37，P (ξ＝4)＝C 26C 28＝1528.8.319325解析 ∵P (ξ＝0)＝C 222C 226，P (ξ＝1)＝C 122C 14C 226，∴P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 222＋C 122C 14C 226＝319325. 9．解 依题意可知随机变量X 服从超几何分布，所以 P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310＝0.3(或P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．故随机变量X 的分布列为10．解 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布，其中N ＝8，M ＝3，n ＝3， 所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528；P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528；P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556；P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156.从而随机变量X 的分布列为所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝28＋28＝7.11．解 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A 1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”； 事件A 2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”． P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 19C 221C 336＋C 19C 16C 121C 336＝934＋27170＝3685. 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 33C 39＝184，P (ξ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (ξ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (ξ＝3)＝C 36C 39＝521.所以ξ的分布列为。

§2.1.3超几何分布学习目标1.通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握求解超几何分布列的方法，并能简单的应用．学习过程【任务一】问题分析问题1：假定一批产品共6件，其中有4件不合格品，从中随机取出3件产品；（1）求取出3件产品时，不合格品的件数是2的取法有多少种？（2）求取出的3件产品中不合格品的件数是2的概率？（3）如果X 表示取出的3件产品中不合格品的件数，那么X 是一个随机变量吗？ 如果是，则X 可以取到那些值？你能求出X 的分布列吗？问题2：有N 件产品，其中M （M ≤N ）件次品，从中任取n （n ≤N ）件产品，X 表示取出次品的件数，那么 ()P X k == ，（其中k 为非负整数）【任务二】概念理解1.超几何分布：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为),0()(中较小的一个和为M n l l m C C C m X P n Nm n M N m M ≤≤==--。

说明：（1）超几何分布的模型是无放回抽样；（2）超几何分布中的参数是n M N ,,。

【任务三】典型例题分析例1：高二年级的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球就中一等奖，求中一等奖的概率．（2）若至少摸到3个红球就能中奖，求中奖的概率．例2：生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？【任务四】课后作业1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是 A 4237 B 4217 C 2110 D 2117 2.一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽取的为1件次品的概率是A 0.078B 0.78C 0.0078D 0.0783.从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是A 0.1B 0.3C 0.6D 0.24.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛(1)求所选3人恰有1名女生的概率？（2）设X 表示所选女生人数，求其分布列。

2.1。

3 超几何分布1。

理解超几何分布及其推导过程。

(重点、难点)2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题。

（难点)［基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P44～P45例1以上部分，完成下列问题.设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N），这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,它取值为m时的概率为P(X＝m）＝错误!（0≤m≤l，l为n和M中较小的一个),则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布。

1.判断（正确的打“√”，错误的打“×"）（1）超几何分布的模型是不放回抽样.(√)（2）超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.(×）（3)超几何分布中的参数是N，M，n。

（√)（4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成。

（√）2。

设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件,则错误!表示（）A。

5件产品中有3件次品的概率B.5件产品中有2件次品的概率C。

5件产品中有2件正品的概率D。

5件产品中至少有2件次品的概率【解析】根据超几何分布的定义可知C2，3表示从3件次品中任选2件,C错误!表示从7件正品中任选3件，故选B。

【答案】B［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3:解惑：［小组合作型]超几何分布概率公式的应用从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球,规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.【精彩点拨】摸出5个球得7分,即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.【自主解答】设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球,得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P（X＝2）＝错误!≈0。

word2.1.3 超几何分布【教学目标】①理解超几何分布及其特点②通过超几何分布的推导过程，能加深对超几何分布对理解并会简单应用，求出简单随机变量的概率分布.【教学重点】对超几何分布的理解【教学难点】超几何分布的应用一、 课前预习问题1、一个班级有30名学生，其中有10名女生。

现从中任选3名学生当班委，令变量X 表示3名班委中女生的人数。

试求X 的概率分布。

问题2 设50件商品中有15件一等品，其余为二等品。

现从中随机选购2件，用X 表示所购2件中的一等品件数，写出X 的概率分布。

【归纳总结】：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为==)(m X P 。

随机变量X 的分布列为：则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为n M N ,,的超几何分布.二、 课上学习word例1、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.例2、某车间生产产品50件，其中5件次品,45件正品，今从这批产品中任意抽取2件，求抽到次品的概率。

例3、老师要从10首古诗中随机抽3首让学生背诵，规定至少要背出其中2首才能及格。

某同学只能背诵其中的6首。

试求：(1)抽到他能背诵的数量的分布表；(2)他能及格吗？及格的概率有多大？三、课后练习1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，（1）求抽出1个白球和2个红球的概率；（2）设其中含有白球的个数为X，求X的分布列.2.从一副不含大小王的52X扑克牌中任意抽出5X，求至少有3XA的概率。

第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散型随机变量的分布列第2课时 两点分布与超几何分布[学习目标] 1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用（重点）；2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题（重点、难点）．课前⋅自主学习 研读提炼⋅思考尝试【知识提炼⋅梳理】 1. 两个特殊分布（1）两点分布：如果随机变量X 的分布列为：则称离散型随机变量X 服从 两点分布 ，称(1)p P X ==为 成功概率 ．（2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()k n kM N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中min{,}m M n =，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为 超几何分布列 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 超几何分布 .温馨提示：两点分布的随机变量X 只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布. 【思考尝试⋅夯基】1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）随机变量X 只取两个值的分布是两点分布. （ ）（2）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究.（ ） （3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布. （ ）[解析] （1）错，只有随机变量取0或1的分布才是二项分布. （2）对，根据两点分布的概念知，该说法正确.超几何分布.[答案] （1）×（2）√（3）√2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ）A .150B .125C .1825D .14 950 [解析]依题意2421001825C P C ==.[答案] C3．若随机变量X 服从两点分布，且(0)0.8P X ==，(1)0.2P X ==.令32Y X =-，则(2)P Y =-= （ ）A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1 [解析]因为32Y X =-，所以1(2)3X Y =+，当2Y =-时，0X =，所以(2)P Y =-= (0)0.8P X ==.[答案] A4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述1次试验的成功次数，则(1)P X == ( )[解析]设失败率为p ，则成功率为2p ， 由p ＋2p ＝1，得p ＝13，所以223p =.[答案]235．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )[解析] 出现次品的概率为245250454447115049245C P C ⨯=-=-=⨯. [答案]47245课堂⋅师生互动 典例解惑⋅探究突破类型1 两点分布（自主研析）【典例1】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X=⎩⎪⎨⎪⎧0 (两球全红)，1 (两球非全红)，求X 的分布列．[自主解答]因为X 服从两点分布，所以则24291(0)6C P X C ===，15(1)166P X ==-=.所以X 的分布列为【归纳升华】（1点分布，如随机变量ξ的分布列如下表它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令0(2)1(3)Y ξξ=⎧=⎨=⎩，则随机变量Y 服从两点分布，分布列为：（2）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其它一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．[变式训练]在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．[解] 随机变量η可以定义为：η＝⎩⎪⎨⎪⎧1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4. 显然η只取0，1两个值． 且31(1)62P η===，故η的分布列为类型2 超几何分布【典例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； （2）他能及格的概率．[解] （1）设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则364310()(0,1,2,3)r r C C P X r r C -===． 所以03643101(0)30C C P X C ===，12643103(1)30C C P X C ===， 21643101(2)2C C P X C ===，30643101(3)6C C P X C ===.所以X 的概率分布为【可直接运用相关公式或结论求解．（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． [变式训练] 设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[解] ξ的可能取值为0，1，2，3.这有0537510211(0)25212C C P C ξ====， 14375101055(1)25212C C P C ξ====，23375101055(2)25212C C P C ξ====，3237510211(3)25212C C P C ξ====.所以ξ的分布列为类型3 分布列的实际应用【典例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列．[解]（1）方法一 0246210121133C C P C =-=-=. 方法二 11204646210302453C C C C P C +===. 即该顾客中奖的概率为23. （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ===；11362102(10)5C C P X C ===； 232101(20)15C P X C ===；11162102(50)15C C P X C ===；11132101(60)15C C P X C ===.故X 的分布列为【归纳升华】此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．[变式训练] 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．[解] 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则2ξ=，6，10.2821028(2)45C P C ξ===，118221016(6)45C C P C ξ===，222101(10)45C P C ξ===. 故ξ的分布列为[课堂小结]1. 两点分布的几个特点：（1）两点分布的变量X 只取0和1；（2）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（3）由对立事件概率的求法可知，已知(0)P X =与(1)P X =中的一个即可求出另一个.2．解决超几何分布问题的两个关键点：（1）超几何分布是一种重要的概率分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解；（2）超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率()P X k =，从而求出X 的分布列.课后⋅演练提升A 级 基础巩固 一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为 （ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5[解析] 可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7. [答案]B2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X =⎩⎪⎨⎪⎧1 取出白球0 取出红球 D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X [解析]选项A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布. [答案]A3．设随机变量ξ的概率分布为()1cP k k ξ==+，0k =、1、2、3，则c = （ ） A ．1425 B ．1325 C ．1225 D ．1125 [解析]依题意1234c c c c +++=，所以1225c =.[答案]C4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（ ）A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品[解析]设取到一等品的件数是ξ，则0ξ=，1，2，(0)P ξ==023225110C C C =，(1)P ξ== 113225610C C C =，(2)P ξ==203225310C C C =，因为7(0)(1)10P P ξξ=+==，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”． [答案] D5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C ⋅的是 ( ) A ．(2)P ξ= B ．(2)P ξ≤ C ．(4)P ξ=D ．(4)P ξ≤[解析]因为28781015(2)C C P C ξ==，(2)(0)(1)(2)P P P P ξξξξ≠==+=+=≠28781015C C C ， 46781015(4)C CP C ξ==，(4)(2)(3)(4)(4)P P P P P ξξξξξ≤==+=+=>=，所以选项C正确. [答案]C二、填空题6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则(1)P X ==________.[解析]设不命中的概率为p ，则命中的概率为3p ，有31p p +=，即14p =.(1)P X =是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率． [答案]347．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为[解析] 0232251(0)10C C P C ξ===，322563(1)105C C P C ξ====，2032253(2)10C C P C ξ===. [答案]110 35 3108．已知离散型随机变量X 的分布列()15kP X k ==，1k =、2、3、4、5，令22Y X =-，则(0)P Y >=________.[解析]由已知Y 取值为0、2、4、6、8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415.[答案]1415三、解答题9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．[解] （1）因为摸出红球的概率为14174(1)7C P X C ===，所以X 的分布列为（2）因为23271(0)7C P X C ===，所以X 的分布列为10. 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？[解]以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即(1)P X ≤0514248248555050243245C C C C C C =+=. 答：该批产品被接收的概率是243245． B 级 能力提升1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[解析]设10件产品中有x 件次品，则1110210(10)16(1)4545x xC C x x P C ξ--====，解得2x = 或8.因为次品率不超过40%，所以2x =，所以次品率为220%10=. [答案]B2. 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[解析]将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中50N =，15M =，2n =.依题意所求概率为1211550152503(1)7C C P X C --===.[答案]3 73．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布．[解]（1）记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则311152223102()3C C C CP AC==.（2）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，211222223101(2)30C C C CPCξ+===，211242423102(3)15C C C CPCξ+===，211262623103(4)10C C C CPCξ+===，211282823108(5)15C C C CPCξ+===.所以随机变量ξ的分布列为：。

2.1.3超几何分布三维目标1、知识与技能（1）理解超几何分布及其推导过程（2）能用超几何分布解决一些简单的实际问题2、过程与方法通过具体事例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵3、情感、态度与价值观体会数学强学习数学的兴趣重点难点重点：利用超几何分布求概率难点：超几何分布的综合应用教学时引导学生结合学习过的概率，通过例题与练习加深对超几何分布的理解，通过观察、比较、分析找出超几何分布的特点及概率求法，以强化重点，化解难点教学方法教学时通过例题让学生们归纳总结超几何分布，通过独立自主和合作交流进一步理解超几何分布教学环节1、创设问题情境，提出问题通过引导学生回答问题，让学生掌握超几何分布2、通过例1及互动探究，掌握简单的超几何分布列的分布列的求法通过例2及变式训练掌握利用超几何模型，求相应事件的概率通过例3及变式训练掌握超几何分布的综合应用3、归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识4、完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正教案新课引入已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X表示选到的男生的人数思考1 X可能取哪些值？答案0,1,2,3思考2 “X＝2”表示的试验结果是什么？时的概率为＝错误!0≤m≤，为n和M中较小的一个，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．题型讲解类型一、超几何分布的简单应用例件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率：1至少有1件次品；2至多有1件次品．【思路探究】本题是超几何分布问题，可利用公式求解．【自主解答】1“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”．“2件都是正品”的概率为错误!＝错误!，所以“至少有1件次品”的概率为1－错误!＝错误!2“至多有1件次品”的对立事件为“2件都是次品”．“2件都是次品”的概率为错误!＝错误!，所以“至多有1件次品”的概率为1－错误!＝错误!规律方法1．超几何分布是一种很重要的概率模型，应用它可避免不必要的重复计算．应用公式的关键是正确确定M、N、n、2．“至少”“至多”等问题可以转化为求对立事件来解决．注意超几何分布的概率计算方法是：1确定所给问题中的变量服从超几何分布；2写出超几何分布中的参数N，M，n的值；3利用超几何分布公式，求出相应问题的概率．甲参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算及格．1求甲答对试题数X的概率分布；2求出甲及格的概率．【解】1依题意甲答对题数X的取值为0,1,2,3X＝0时，、n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后列表即可．注意1超几何分布模型的特征是总体由较明显的两部分组成，如男生，女生；正品，次品；优，劣等．2在计算超几何分布模型的分布列时，可以直接代入公式，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋，从而简化了解题过程．某食品厂生产的40件产品中，重量超过505克的产品有12件，现从这40件产品中任取2件．1设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；2求至多含有一件重量超过505克的产品的概率．【解】1由题意Y的可能取值为0,1,2505克时的概率，从而求出X的分布列．课堂练习1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是【解析】根据题意知该问题为古典概型，∴、n的超几何分布．【解析】由超几何分布的定义可知N、M、n分别为10,3,5【答案】10,3,54．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．【解】X的可能取值是1,2,3，PX＝1＝错误!＝错误!；PX＝2＝错误!＝错误!；PX＝3＝错误!＝错误!故X的分布列为。

课题《超几何分布》课型新授课授课人张日红学校瓦房店市第八高级中学课时 1
教学目标【知识与技能】通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

【过程与方法】通过探索、研究、归纳、总结形成较为科学的知识网，并掌握知识间的联系。

【情感、态度与价值观】结合教学内容培养学生学习数学的兴趣以及“用数学的意识”，激励学生勇于创新。

重点超几何分布的理解及其简单应用难点超几何分布的简单应用
教学方法从学生认识规律出发进行启发、诱导、探索，运用学案导学、问题驱动式教学法充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。

在讲授过程中要善于解疑、设疑、激疑。

教具多媒体演示、导学案与传统板书相结合
教学
环节
教学过程师生活动设计意图
创设情境（1）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲
比赛，设其中X表示这3人中所含女生的人数，则
时的概率为：
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为
超几何分布，也称X服从参数为
分布。

概念
深化
学生思考：
问题1：超几何分布是属于放回抽样还是不放回抽
样？
问题2：总体中共分为几大类？
问题3：超几何分布中参数N,M,n
含义？
问题4：随机变量X是代表什么含义及其取值情况？
应用
例1：在一个口袋中有10
球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同游戏者
一次从中摸出3个球，摸到且只能摸到
中一等奖那么获一等奖的概率有多大？
(P。

超几何分布教学设计教学目标：知识技能：理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用过程方法：通过回忆古典概型的求法及应用组合数公式推导超几何分布的分布列，并通过例题及变式训练掌握其分布列情感价值观：体会数学在实际中的应用，帮助提高学生分析问题的能力教学重点：超几何分布及其应用教学难点：判断一个实际问题是否为超几何分布并解决相关问题教学过程设计一、复习引入1.离散型随机变量：取值可一一列举出来的随机变量2.求离散型随机变量分布列的步骤：（1）找出随机变量X的所有可能取值（2）求出取每一个值的概率（3）列表这节课，一起学习一类十分常见的分布——超几何分布二、探究新知1.引例分析例1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求X的分布列．分析：〔1〕该试验是古典概型从10个人中任取4人，共有种取法，每种取法是等可能的〔2〕X 是离散型随机变量，X=0、1、2、3、4 〔3〕求概率事件A 包含的所有可能结果数试验的所有可能结果数(M n 件产品中次品的件数，那么C M k C N−Mn−k C Nn 、n 的超几何分布三、 稳固应用1简单应用例3、此题总分值12分2021·高二检测袋中 有 4个红球、3个黑球，从袋中随机取球,设取到一个 红球得2分,取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．1求得分X 的分布列； 2求得分大于6分的概率．〔由学生上黑板完成，教师巡视发现问题，并指导讲解〕解：根据题意可得：X 的可能取值为5、6、7、8PX=5= = PX=6= = PX=7= = PX=8= = 故X 的分布列为：变式练习某商场为减少库存，加快资金周转，特举行一次购物抽奖活动，此次活动共设奖券100张，其中一等奖奖券5张，可获得价值100元的购物券；二等奖奖券10张，可获价值50元的购物券；三等奖奖券15张，可获价值10元的奖品；其余奖券无奖，某顾客从此100张奖券中任取2张，求：1该顾客中奖的概率；2该顾客获得奖券总价值X元的分布列，并求P5≤X≤12021．解：1从100张奖券中任取2张共有种方法，令“A〞=该顾客中奖，那么=“该顾客没中奖〞由题意可知X可能取值为0、10、20210、60、100、110、150、2021 所以X的分布列2综合应用例3 盒中装有一打12个完全相同的乒乓球，其中有9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．解：根据题意可得：由题意可知X可能取值为3、4、5、6PX=3= = PX=4= = PX=5= = PX=6= =所以X的分布列为跟踪训练：在医学、生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇此时笼子里共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇，只好把笼子翻开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．用X表示笼内还剩下的果蝇的只数．1写出X的分布列；2求PX≥4．四、课堂总结：（1）超几何分布的特征（2）利用超几何分布求概率问题五、作业布置：习题2-2： 1、2、3。

2.1.3 超几何分布学案（人教B版高中数学选修2-3）2.1.3超几何分布超几何分布学习目标1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法.作用.2.掌握超几何分布的特点，并能简单的应用知识点超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数思考1X可能取哪些值答案X0,1,2.思考2X1表示的试验结果是什么求PX1的值答案任取2件产品中恰有1件次品，PX1C13C15C28.思考3如何求PXkk0,1,2答案PXkCk3C2k5C28k0,1,2梳理超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件nN，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为PXmCmMCnmNMCnN0ml，l为n和M中较小的一个，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.类型一利用超几何分布公式求概率例1已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少解用X 表示抽取的2件产品中不合格产品的件数，则X服从超几何分布，记“至少有一件产品不合格”为事件A.方法一A由X1，X2两个互斥事件构成PX1C12C16C2837，PX2C22C06C28128，PAPX1PX2371281328.方法二记“2件产品中没有不合格产品”为事件A.则PAPX0C02C26C281528，PA1PA115281328.反思与感悟若随机变量服从超几何分布，则可先确定相应参数，再直接套用公式求解相应变量对应的概率跟踪训练1在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率结果保留两位小数解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N30，M10，n5.于是中奖的概率为PX3PX3PX4PX5C310C533010C530C410C543010C530C510C553010C530 1xx021020252C530272521425060.19.类型二求超几何分布的分布列例2某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元令X表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力1求X的分布列；2设此员工的工资为Y元，求Y的分布列解1选对A饮料的杯数X的可能取值为0,1,2,3,4，其服从参数为N8，M4，n4的超几何分布，其概率分别为PX0C04C44C48170，PX1C14C34C481670835，PX2C24C24C4836701835，PX3C34C14C481670835，PX4C44C04C48170.其分布列为X01234P17083518358351702此员工月工资Y 的所有可能取值为3500,2800,2100，则PY3500PX4170，PY2800PX3835，PY2100PX0PX1PX25370.其分布列为Y210028003500P5370835170反思与感悟1在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布2在超几何分布公式中，PXmCmMCnmNMCnN，0mn，其中，mminM，n这里的N是产品总数，M是产品中的次品数，n是抽样的样品数，且0nN,0mn，0mM，0nmNM.3如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值4当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示跟踪训练2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生.2名女生，B中学推荐了3名男生.4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队1求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；2某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解1由题意知，参加集训的男生.女生各有6人代表队中的学生全从B中学抽取等价于A中学没有学生入选代表队的概率为C33C34C36C361100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1110099100.2根据题意，得X的所有可能取值为1,2,3.PX1C13C33C4615，PX2C23C23C4635，PX3C33C13C4615.所以X的分布列为X123P153515类型三超几何分布的应用例3在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件求1取出的3件产品中一等品件数X的分布列；2取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解1由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有m0m3且mN件一等品的结果数为Cm3C3m7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为PXmCm3C3m7C310，m0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是Xk0123PXk724214074011202设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3两两互斥，且AA1A2A3.因为PA1C13C23C310340，PA2PX2740，PA3PX31120，所以PAPA1PA2PA3340740112031120.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.反思与感悟利用超几何模型求分布列，首先要弄清“产品”有多少个，其中“次品”有多少个，要取多少个“产品”，即要正确找出超几何分布的参数，然后再利用超几何分布的概率计算公式进行计算跟踪训练3袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求1取出的3个小球上的数字互不相同的概率；2随机变量X的分布列；3计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列组合在分布列中的应用解1方法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则PAC35C12C12C12C31023.方法二“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为PBC15C22C18C31013，所以PA11323.2由题意知，X所有可能的取值是2,3,4,5，PX2C22C12C12C22C310130，PX3C24C12C14C22C310215，PX4C26C12C16C22C310310，PX5C28C12C18C22C310815.所以随机变量X的分布列为X2345P1302153108153“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则PCPX3PX42153101330.1设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为A.C480C610C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100答案D解析记取出的10个球中红球个数为X，则X服从超几何分布，即PX6C680C420C10100，故选D.2一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则PX4的值为A.1220B.2755C.27220D.2125答案C解析由题意知，取出的3个球必为2个旧球.1个新球，故PX4C23C19C31227220.3已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C47C68C1015的是APX2BPX2CPX4DPX4考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案C解析X服从超几何分布，基本事件总数为C1015，所求事件数为CX7C10X8，PX4C47C68C1015.4从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案45解析设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以PX1PX0PX1C02C34C36C12C24C3645.5一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球1从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列；2从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列解1X的分布列为X01P37472PX0C23C2717，X的分布列为X01P1767超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式PXkCkMCnkNMCnN求出X取不同值k时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义.。

2.1.3超几何分布
学习目标：
1、理解超几何分布；
2、了解超几何分布的应用
学习重点：理解超几何分布
学习难点：超几何分布的应用
学习方法：尝试、变式、互动
一、新知探究
知识点：
一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为
()___________
==.此时我们称随机变量X服从超几何分布
P X m
也称X服从参数为__________的超几何分布
二、例题配置
例1在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
例2在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
练习:1.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取出3个,
ξ的分布列.
求抽得的次品数
2.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9, 如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数ξ的分布列.
3.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；
(2)放回抽样时，抽到次品数η的分布列。