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哈工大附中（下）期中考试初三数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案1．下列计算中，正确的是（）A、562432=+B、3327=÷C、632333=⨯D、3)3(2-=-2．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．A、AB∥CD，AD=BC;B、∠A=∠B，∠C=∠D;C、AB=CD，AD=BC;D、AB=AD，CB=CD3.下列图形不是中心对称图形的是（）A、①③B、②④C、②③D、①④4．下列说法正确的是（）．A、有一组对角是直角的四边形一定是矩形B、有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C、对角线互相平分的四边形是矩形D、对角互补的平行四边形是矩形5．下列二次根式中，最简二次根式是（）A、23a B、31C、5.2D、22ba-6．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．A、12cm B、10cm C、7.5cm D、5cm7．计算：ababba1⋅÷等于（）A、abab21B、abab1C、abb1D、abb8．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为（）A、6 cmB、4 cmC、3 cmD、2 cm9．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）A、51B、41C、31D、103ACDEOB10 . 如图,△ABM 与△CDM 是两个全等的等边三角形,MA ⊥MD.有下列四个结论: (1)∠MBC=25° ;(2) ∠ADC+∠ABC=180°;(3)直线MB 垂直平分线段CD;(4)四边形ABCD 是轴对称图形. 其中正确结论的个数为( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个 二、填空题（每题3分，共计24分） 11、使式子1x-有意义的x 的取值范围是 . 12、如图,△ABC ,△ACD ,△ADE 是三个全等的正三角形,那么△ABC 绕着顶点A 沿逆时针方向至少旋转______度,才能与△ADE 完全重合.13、 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90゜后，得到矩形A ′B ′C ′D ′，如果CD=2DA=2，那么CC ′=_________．第13题 14、若1018222=++a a a a，则a 的值是 . 15、如图,边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF 交AD 于点H,那么DH 的长为______.16、(20082007)415()415-⋅+= . 17、观察下列各式：322322+=⨯；833833+=⨯；15441544+=⨯；…… 则依次第四个式子是 ；用含)2(≥n n 的等式表示你所观察得到的规律应是 。
2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校 高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知随机变量的分布列是：X X123P0.25ab则（ ）A ．B ．C ．1D ．a b +=0.75 1.50.25【答案】A【分析】根据概率之和为1即可得解.【详解】解：因为，()()()1231P X P X P X =+=+==所以，所以.0.251a b ++=0.75a b +=故选：A.2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）X (2,7)N (1)0.8P X >=(3)P X ≥=A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】A【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，X (2,7)N (1)0.8P X >=所以，(1)10.80.2P X ≤=-=.()(3)10.2P X P X ≥=≤=故选：A3．曲线在处的切线方程为（ ）()ln f x x x =+1x =A ．B ．210x y --=210x y -+=C ．D ．210x y -+=210x y --=【答案】A【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；【详解】解：因为，所以，，所以，()ln f x x x =+()11f =1()1f x x '=+(1)2f '=即切点为，切线的斜率为2，所以切线方程为，即．()1,1()121y x -=-210x y --=故选：A4．若离散型随机变量，则和分别为（ ）2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()E X ()D X A ．，B ．，831698389C ．，D ．，898316983【答案】B【分析】利用二项分布的期望和方差公式求和即可.()E X ()D X 【详解】因为离散型随机变量，2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，．()28433E X =⨯=()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：B ．5．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )A ．B ．1C ．D ．531528031【答案】D【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，根据等比数列通项公式和前n 项和公式即可求解.【详解】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q ＝2，{}n a 则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，1a 5a 55S =则，∴.()51112551231a a-=⇒=-445158023131a a q =⋅=⨯=故选：D.6．某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30【答案】B【分析】利用插空法即得.【详解】因为2次红灯不相邻，所以在4次绿灯所形成的5个空插入红灯共有种.2510C =故选：B.7．某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．31012625925【答案】B【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记“第一次抽到作图题”为事件，记“第二次抽到作图题”为事件，A B ，()113425A A 123A 205P A ===()2325A 63A 2010P AB ===所以.()()()3110325P AB P B A P A ===故选：B.8．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的2313概率为（ ）A ．B ．C ．D ．14811317811681【答案】C【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起3:03:13:2来即可；也可以构建二项分布模型解决.【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.3:03:13:2乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；3:033311C ×327⎛⎫=⎪⎝⎭乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；3:12231212C ×33327⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为.3:222241218C ×33381⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为.1281727278181++=解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙X 15,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ 最终获胜的概率为()()()345P X P X P X =+=+=.324153455551212117C C C 3333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.二、多选题9．记为等差数列的前n 项和．已知，，则（ ）n S {}n a 735S =813a =A ．B ．311n a n =-23n a n =-C ．D ．231922n S n n =-22n S n n =-【答案】BD【分析】由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式和求和公式1,a d 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 因为，，735S =813a =所以，即，11767352713a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1135713a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，112a d =-⎧⎨=⎩所以，1(1)12(1)23n a a n d n n =+-=-+-=-，221(1)22n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-故选：BD10．甲､乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛，甲、乙命中的环数分别是，的分,X Y ,X Y布列如下表，下列结论正确的是（ ）X （环）8910P 0.20.60.2Y （环）8910P0.30.40.3A ．两人的平均成绩一样B ．甲的平均成绩比乙高C ．甲发挥比乙稳定D ．乙发挥比甲稳定【答案】AC【分析】根据给定的分布列，求出的期望、方差，再比较并判断作答.,X Y 【详解】依题意，，，，()0.280.690.2109E X =⨯+⨯+⨯=()0.380.490.3109E Y =⨯+⨯+⨯=，222()0.2(89)0.6(99)0.2(109)0.4D X =⨯-+⨯-+⨯-=，()()()()2220.3890.4990.31090.6D Y =⨯-+⨯-+⨯-=显然，A 正确，B 不正确；，甲发挥比乙稳定，C 正确，D 不正确.()()E X E Y =()()D X D Y <故选：AC11．已知，则下列结论正确的是（ ）45015(2)(21)x x a a x a x +-=+++ A ．＝32B ．＝2015a a a ++⋯+0a C ．＝－39D ．＝－15135a a a ++1a 【答案】BCD【分析】分别令、和，可判断A 错误，B 、C 正确，结合二项展开式的通项，可判1x =0x ==1x -定D 正确.【详解】令，则，故A 错误，1x =()()401512213a a a +++=+-= 令，则，故B 正确，0x =()40212a =⨯-=令，则，=1x -()()4012345122184a a a a a a -+-+-=-+--=两式相减可得：，故C 正确，135381392a a a -++==-展开式中含x 的项为，()()()()0434344C 212C 2115x x x x⨯-⋅-+⨯⋅-=-故，所以D 正确.115a =-故选：BCD ．12．已知函数（a 为常数），则下列结论正确的有（ ）2()x f x e ax =-A ．若有3个零点，则a 的范围为()f x 2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．时，是的极值点2ea =1x =()f x C ．时.有唯一零点且12a =()f x 0x 0112x -<<-D ．时，恒成立1a =()0f x ≥【答案】AC【分析】对于A,有3个零点转化成直线与的交点个数，对的单调性()f x y a =()2x e g x x =()2xe g x x =进行考察，进而可得a 的范围.对于B ，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断.2ea =()f x 对于C ，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断.12a =()f x 对于D ，时，取一个特殊值即可推翻.1a =【详解】令，则，记则2()0x f x e ax =-=()20x e a x x ≠=()2,xe g x x =()()32xx e g x x -'=所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，()g x (),0∞-()0,∞+()g x ()0,2()2,+∞且在上的值域为()224e g =()g x ∴()0,∞+2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭若有3个零点，则，故A 对.()f x 2>4e a 当时，，，在单调递增，在单调递2ea =()x f x e ex '=-()x f x e e ''=-()xf x e ex '∴=-()1,+∞(),1-∞减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B 错.1x =()f x '()0f x '≥()f x R 当时，，，在单调递增，在12a =21()2x f x e x =-()x f x e x '=-()1xf x e ''=-()x f x e x '∴=-()0,∞+单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时(),0∞-0x =()f x '()>0f x '()f x R有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，()f x 112(1)=<022e f e e ---=-1211(28f e --=-故C 对.当时，，，故D 错.1a =2()xf x e x =-1(1)11<0f ee e --=--=故选:AC三、填空题13．已知随机变量满足，则__________.X ()2D X =()31D X -=【答案】18【分析】根据方差的性质求解即可.【详解】解：因为，()2D X =所以.()()31918D X D X -==故答案为：18.14．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有__________种.【答案】240【分析】先从4个岗位中选一个岗位派2位志愿者，再分配剩下3人，根据分步乘法原理求解即可.【详解】由题意，先从4个岗位中选一个岗位派2位志愿者，再分配剩下3人，共种123453C C A 240=不同分配方案.故答案为：24015．的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则常数项为__________.1nx ⎫⎪⎭【答案】84-【分析】根据题意求出，再求出展开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.n x 【详解】解：因为的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，1nx ⎫-⎪⎭即，所以，45C C n n =9n =则展开式的通项为，91x ⎫⎪⎭()93921991C 1C kkkk kkk T x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭令，则，9302k-=3k =所以常数项为.()3391C 84-⋅=-故答案为：.84-16．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，A B B C C D A ，就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三B C 代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______．【答案】0.83【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件E =F =“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”， 则，，G =D =()0.5P E =()0.3PF =，，，，根据全概率公式计算可得答案.()0.2P G =()0.9P D E =()0.8P D F =()0.7P D G =【详解】解：设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件E =F =“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，G =D =则，，，，，，()0.5P E =()0.3P F =()0.2P G =()0.9P D E =()0.8P D F =()0.7P D G =所以．所以()()()()()()()0.90.50.80.30.70.20.83P D P D E P E P D F P F P D G P G =++=⨯+⨯+⨯=所求概率为0.83．故答案为：0.83.四、解答题17．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，．ABC 2sin cos 2sin sin A B C B =+(1)求角A ；(2)若的面积．4,a b c =+=ABC 【答案】(1)2π3A =【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知条件，结合和即可求解；sin 0B ≠()0,πA ∈（2）由已知条件结合余弦定理可得的值，再由三角形的面积公式即可求解.bc 【详解】（1）因为2sin cos 2sin sin A B C B =+所以()2sin cos 2sin +sin A B A B B=+即，2sin cos 2sin cos 2cos sin +sin A B A B A B B =+所以，2cos sin +sin 0A B B =因为，所以，sin 0B ≠1cos 2A =-又，所以.()0,πA ∈2π3A =（2）因为4,a b c =+=由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-()222b c bc b c bc =++=+-即，则.1620bc =-4bc =于是，1sin 2ABC S bc A =142=⨯=所以ABC 18．已知递增的等差数列中，，且成等比数列.{}n a 4530a a +=127,,a a a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和.11n n n b a a +={}n b n S 【答案】(1)43n a n =-(2)41n n S n =+【分析】（1）利用等差数列基本量思想计算即可；（2）由（1）得，利用裂项相消法即可.11144341n b n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=【详解】（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，{}n a ()0d d >1a 因为成等比数列，所以，即.①127,,a a a 2217a a a =2111()(6)a d a a d +=+又，所以.②4530a a +=12730a d +=联立①②解得，故.114a d =⎧⎨=⎩1(1)14(1)43n a a n d n n =+-=+-=-（2）由（1）可知，()()111111434144341n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以数列的前n 项和{}n b .11111111114559434144141n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查等差数列基本量思想，数列裂项相消法求和.19．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；P (2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．X X 【答案】(1)35P =(2)分布列为X 0123P72421407401120期望为910【分析】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解.（2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.【详解】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以602020100++=厨余垃圾投放正确的概率；6031005P ==（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，()7033310C C 70C 24P X ===()1237310C C 211C 40P X ===，()2137310C C 72C 40P X ===()3037310C C 13C 120P X ===所以X 的分布列为X0123P 72421407401120所以()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为．91020．如图，四棱锥P-ABCD 中，为正三角形，ABCD 为正方形，平面平面PAB PAB ⊥ABCD ，E ､F 分别为AC ､BP 中点.(1)证明：平面PCD ；//EF (2)求直线BP 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析；【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而得到线面平行；（2）先做出辅助线，证明线面垂直和线线垂直，进而建立空间直角坐标系，用空间向量进行求解线面角.【详解】（1）连接BD ，因为E 是AC 的中点，故对角线AC ，BD 相交于点E ，即E 为BD 的中点，又因为F 是BP 的中点，所以EF 是三角形PBD 的中位线，所以EF DP ，//因为PD 平面PBD ，EF 平面PBD ，⊂⊄所以平面PCD//EF（2）取AB 的中点O ，连接OP ，取CD 中点H ，连接OH ，因为为正三角形，PAB 所以由三线合一知：OP ⊥AB ，因为平面平面ABCD ，交线为AB ，PAB ⊥所以OP ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为正方形，故OH ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OP ，OB ，OH 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，设AB =2a ，则，()())()0,,0,0,,2,,0,0,0,,0A a C a a P B a -设平面ACP 的法向量为，(),,n x y z = 则，2200n AC ay az n AP ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令得：1y =1,z x =-=则，1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设直线BP 与平面PAC 所成角为，θ则sin cos BP θ=所以直线BP 与平面PAC 21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C 上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>1231,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的右顶点为B ，直线l 过定点，且交椭圆于P ，Q 两点（异于点B ），试探究(3,0)M C 直线与的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．BP BQ 【答案】(1)22143x y +=(2)是，定值为154【分析】（1）依题意得到方程组，解得、、，即可求出椭圆方程；a b c （2）设直线l 的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、(3)(0)y k x k =-≠()11,P x y ()22,Q x y 列出韦达定理，即可得到整理计算可得.121222BP BQ y y k k x x ⋅=⋅--【详解】（1）解：依题意可得，解得，22222121914a b c c e a a b ⎧⎪=+⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为．22143x y +=（2）解：设直线l 的方程为，设，．(3)(0)y k x k =-≠()11,P x y ()22,Q x y 由得22(3)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222432436120k x k x k +-+-=由，解得，()()()22224024433612k k k ∆+=--->⋅235k <所以，21222443k x x k +=+2122361243k x x k -=+()()()2212121212215333943k y y k x k x k x x x x k =--=-++=⎡⎤⎣⎦+所以()22121222121212221543361248222444343BP BQk y y y y k k k k k x x x x x x k k +⋅=⋅==----++-+++（定值）()22222215151544361248443k k kk k k ===--++22．设函数（其中）.()()21e x f x x kx =--R k ∈(1)当时，求函数的单调区间；1k =()f x (2)当时，证明函数在上有且只有一个零点.[)0,k ∈+∞()f x R 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.()f x (,0)-∞(ln 2,)+∞(0,ln 2)(2)证明见解析.【分析】（1）将k =1代入得到的解析式，求，求解与可得结果.()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<（2）方法1：由时， 在上无零点，将问题转化为证明在上有且只有一1x <()f x (,1)-∞()f x [1,)+∞个零点，分类讨论和，即可证明结论.e [0,2k ∈e (,)2k ∈+∞方法2：由x =0时，方程无根，当时，分离参数研究新函数的单调性来研究新函数的图象，由0x ≠图可得结论.【详解】（1）当k =1时，，2()(1)x f x x e x =--则()e (1)e 2(e 2)x x x f x x x x '=+--=-∴或，，()00f x x '>⇒<ln 2x >()00ln 2f x x '<⇒<<∴的单调递增区间为，单调递减区间为.()f x (,0),(ln 2,)-∞+∞(0,ln 2)（2）方法1：证明：∵()(e 2)x f x x k '=-∴当时，，则在上无零点，1x <()0f x <()f x (,1)-∞∴只需证在上有且只有一个零点.()f x [1,)+∞①若时，e [0,]2k ∈当时，，则在上单调递增，1x ≥()0f x '≥()f x [1,)+∞又∵，(1)0f k =-≤22(2)e 4e 2e 0f k =-≥->∴在上有且只有一个零点.()f x [1,)+∞②若 时，e (,)2k ∈+∞，，()0ln 2f x x '>⇒>()01ln 2f x x '<⇒≤<∴在上单调递减，上单调递增，()f x [1,ln 2)(ln 2,)+∞又∵， ，(1)0f k =-<1212(1)e (1)[e (1)]k k f k k k k k k +++=-+=-+令 ， ，则，，12t k =+>2()e t g t t =-()e 2t g t t '=-()e 2t g t ''=-∵ 则2t >()0g t ''>∴在上单调递增，()g t '(2,)+∞∴2()(2)e 40g t g ''>=->∴在上单调递增，()g t (2,)+∞∴，即：2()(2)e 40g t g >=->(1)0f k +>∴在上有且只有一个零点.()f x [1,)+∞综述：当时，在R 上有且只有一个零点.[0,)k ∈+∞()f x 方法2：证明：∵，即： ，()0f x =2(1)e 0x x kx --=①当x =0时，方程无根.②当时， ，0x ≠2(1)e xx k x -=令，2(1)e ()xx h x x -=0x ≠∴2243e 2(1)e e [(1)1]()x x x x x x x x h x x x ---+'==∴，，()00h x x >⇒>'()00h x x <⇒<'∴在上单调递减，在上单调递增，()h x (,0)-∞(0,)+∞又∵当时，；当时，；0x <()0h x <0x →()h x →-∞； ， ，(1)0h =1221(1)e 12()012()2h -=<2e (2)04h =>∴的草图如图所示，()h x ∴当时，在R 上有且只有一个零点.[0,)k ∈+∞()f x 【点睛】方法点睛：含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征研究交点个数；若不能分离参数，则分类讨论函数的零点个数.。
2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校 高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{22},2,1,0,1,2A xx B =-<≤=--∣，则A B =（ ） A ．{}1,1,2- B ．{}2,1,1-- C ．{}1,0,1,2- D ．{}2,1,1,2--【答案】C【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}{22},2,1,0,1,2A xx B =-<≤=--∣， 所以A B ={}1,0,1,2-， 故选：C.2．计算：()()56i 34i --+=（ ） A ．22i - B ．210i - C ．9i -+ D ．44i --【答案】B【分析】由复数的减法法则直接计算可得. 【详解】()()56i 34i 210i --+=-. 故选：B.3．已知向量()4,2a =，()6,b y =，且//a b ，则y 的值为（ ） A ．3- B ．3C ．8D ．12【答案】B【分析】根据两向量平行，利用坐标公式法即可求解. 【详解】∵向量()4,2a =，()6,b y =，且//a b ， 故4260y -⨯=，解得3y =. 故选：B.4．下列图形中，不能折成三棱柱的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】直接把展开图折叠，即可得到答案.【详解】C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱． A 、B 、D 均可折成三棱柱如图所示：故选：C5．若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ）A ．14B ．18C ．19D ．116【答案】B【解析】根据基本不等式求最值.【详解】12221228x y x y xy xy +≥⋅≥≤当且仅当122x y ==时取等号， 即xy 的最大值为18故选：B【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．向量()1,2b =在向量()1,1a =-上的投影向量为（ ） A ．11,22⎛⎫±- ⎪⎝⎭B ．2222⎛ ⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据投影向量的坐标运算，求解即可. 【详解】根据题意可得：121a b ⋅=-+=，2a =， 向量()1,2b =在向量()1,1a =-上的投影向量为()1111,1,222a b a a a ⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭. 故选：D.7．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为31cm 6，则这个漏斗的容积为（ ）A ．23B ．13C ．12D ．56【答案】A【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案； 【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，故个漏斗的容积为1123663+⨯=，故选：A8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即2222221()42a c b S a c ⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边.若2b =，3sin tan 13cos BC B-ABC 面积S 的最大值为A ．3B 5C 3D 2【答案】C【分析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得c 3，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【详解】∵3sin sin tan cos 13cos B CC CB ==-，则sin C 3（sin B cos C +cos B sin C ）3（B +C ）3A ，由正弦定理得c，∵b ＝2，△ABC 的面积S =，∴当24a =即a ＝2时，△ABC 的面积S 故选C ．【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中档题．二、多选题9．已知复数z 满足i 12i iz --=，则（ ） A ．z 的虚部是1 B ．1i z =-+C ．||z =D ．22i z =【答案】BCD【分析】根据复数的运算法则，求解z ，逐项判断正误. 【详解】∵i 12i i z --=，∴i 1i 1i 2i z i-+=-=，故2i 1i 11i i 1z ++===---，据此可判断 A 项，z 的虚部为-1，故A 项错误；B 项，1i z =--，故1i z =-+，故B 项正确；C 项，z =C 项正确；D 项，22(1i)2i z =--=，故D 项正确； 故选：BCD.10．以下四种说法中正确说法的为（ ） A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件 B ．“0a b >>”是“22a b >”的充要条件 C ．“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件 D ．“a b =”是“a b =”的充分不必要条件 【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可.【详解】对于A ，当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 是有理数时，m 一定是实数，所以“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件，所以A 正确， 对于B ，当0a b >>时，22a b >成立，而当22a b >时，有可能0a b <<， 所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件，所以B 错误，对于C ，当3x =时，2230x x --=成立，而当2230x x --=时，3x =或=1x -， 所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，所以C 正确，对于D ，当a b =时，a 与b 不一定相等，如(1,0)a =，(0,1)b =，而当a b =时，a b =成立， 所以“a b =”是“a b =”的必要不充分条件，所以D 错误， 故选：AC.11．对于任意的平面向量,,a b c ，下列说法错误的是（ ） A ．若//a b 且//b c ，则//a c B ．()c +⋅=⋅+⋅a b c a c bC ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =D ．()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c 【答案】ACD【分析】根据平面向量共线，平面向量数量积的运算律，依次判断各项正误. 【详解】解：//a b 且//b c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误； 由向量数量积的分配律得()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，即B 正确；因为a b a c ⋅=⋅，则()0⋅-=a b c ，又0a ≠，则b c =或()a b c ⊥-，即C 错误；取,,a b c 为非零向量，且a 与b 垂直，b 与c 不垂直，则()0a b c ⋅⋅=，()0a b c ⋅⋅≠，即D 错误． 故选：ACD ．12．在ABC ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角 【答案】ACD【解析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确. 【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确； 若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误； 若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+， 所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ， 则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<， 所以23πθ=，D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题.三、填空题13．命题“x ∃∈R ，使1x >”的否定是__________. 【答案】“R x ∀∈，有1x ≤”【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“x ∃∈R ，使1x >”的否定是“R x ∀∈，有1x ≤”. 故答案为：“R x ∀∈，有1x ≤”.14．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为___________. 【答案】8【分析】根据球的面积求出球的半径，根据正方体的对角线是球的直径可求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为R ，因为球的表面积为12π，所以2412R ππ=，所以球的半径R因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为2R =设正方体的棱长为a =2a =. 所以正方体的体积为3328a ==. 故答案为：815．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =，2AC =，则AM BC ⋅=_____. 【答案】52-【分析】由点M 是边BC 的中点，得到12AM =（AB AC +），又BC AC AB =-，再用数量积公式求解.【详解】因为点M 是边BC 的中点， 所以12AM =（AB AC +）， 又因为BC AC AB =-， 所以12AM BC ⋅=（AB AC +）⋅（AC AB -）12=（22AC AB -）52=-，故答案为：52-.【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、双空题16．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin26cos sin b A A B =.则a 的值为__________；若3A π=，则△ABC 周长的最大值为__________.【答案】 3； 9.【分析】根据二倍角公式，结合正弦定理化简已知条件，即可求得a ；根据余弦定理，求得,b c 关系，结合不等式即可求得结果. 【详解】因为2A π≠，()0,A π∈，故cos 0A ≠，则sin26cos sin b A A B =，即sin cos 3cos sin b A A A B =，也即3sin 3sin B bb A a==，又0b ≠，则3a =； 若π3A =，由余弦定理可得22π19cos 322b c bc+-==，则()229bc b c bc =+--，即()()223394bc b c b c =+-≤+，即()236b c +≤，解得6b c +≤， 即b c +的最大值为6，当且仅当b c =时取得等号，故三角形ABC 周长的最大值为9. 故答案为：3；9.五、解答题17．已知向量()()3,2,,1a b x ==-. (1)已知5x =，求向量a 与b 的夹角θ； (2)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值.【答案】(1)π4(2)32x =-或6【分析】（1）利用向量坐标夹角公式进行求解；（2）先计算得到()232,0a b x +=+，()26,5a b x -=-，再利用向量垂直，数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】（1）因为5x =，所以()5,1b =-，故(3,25,1cos 94a b a bθ⋅-⋅===+⋅ 因为[]0,πθ∈，所以向量a 与b 的夹角π4θ=； （2）()()()23,22,232,0a b x x +=+-=+，()()()26,4,16,5a b x x -=--=-，由于()()22a b a b +⊥-，所以()()()()()()2232,06,53260a b a b x x x x +⋅-=+⋅-=+-=， 解得：32x =-或6，从而32x =-或6.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin A B C =2：1b =(1)求a 的值；(2)求cos C 的值； (3)求ABC 的面积. 【答案】(1)22a =；(2)34； (3)72.【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理求解即可； （2）利用余弦定理求解；（3）由（2）求出sin C ，再利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为sin :sin :sin 2:1:2A B C =， 所以由正弦定理得::2:1:2a b c =，因为2b =，所以:22:1a =，解得22a =；（2）由（1）可知::2:1:2a b c =，2b =，22a =，得2c =， 由余弦定理得()()22222222223cos 242222a b c C ab +-+-===⨯⨯； （3）由（2）得3cos 4C =， 因为(0,)C π∈，所以297sin 1cos 1164C C =-=-=， 因为22a =，2b =，所以ABC 的面积为1177sin 2222242ab C =⨯⨯⨯=. 19．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O 、2O ，且该几何体有半径为2的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)3Ω的表面积；(2)若112:1:3PO O O =，求几何体Ω的体积．【答案】(1)3π+ (2)51275π【分析】（1）由已知求解三角形得圆柱与圆锥的高，再由圆柱和圆锥的表面积公式求解即可， （2）由112:1:3PO O O =，12124O O PO +=，可得145PO =，12125O O =，再求出1O D ，从而可求出体积【详解】（1）由题意得12,OD O D ==则11OO ==，3DOP π∠=，2DP =，所以1211O P =-=，由对称性可得121OO OO ==， 所以几何体Ω的表面积为 21222232ππππ⨯++⨯=+（2）由112:1:3PO O O =，12124O O PO +=，可得145PO =，12125O O =， 所以1121625OO O O ==，因为2OD =，所以185O D ==， 所以几何体Ω的体积为221121113O D O O O D O P ππ⋅+⋅⋅641216442553255ππ=⨯⨯+⨯⨯ 51275π=20．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE ； （2）当2AE EB =时，试求AD CE ⋅．【答案】（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）0. 【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算． 【详解】（1）CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， 2CB b ∴=，2AB CB CA b a ∴=-=-，12CE CA AE a AB =+=+11(2)22a b a a b =+-=+． （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设(0,)A a ，B ∴点坐标为(,0)a ，另设点E 坐标为(,)x y ，点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又2AE EB =，(,)2(,)x y a a x y ∴-=--，23a x ∴=，3a y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2()0233a a a AD CE a ⋅=⨯+-⨯=． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解．21．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象.(1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,36C c g ππ∠⎛⎫== ⎪⎝⎭，求a b +的取值范围. 【答案】(1)()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2).【分析】（1）先对()f x 的解析式化简变形，然后利用三角函数图象变换规律可求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质可求出函数的单调增区间；（2）由（1）可得62c g π⎛⎫ ⎪⎝⎭==，再利用正弦定理可得sin )a b A B +=+，结合23A B π+=，利用三角函数恒等变换公式化简得4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再求出角A 的范围，然后由正弦函数的性质可求出结果.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 图象上所有点向右平移6π个单位长度， 得2sin 2sin 636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 然后横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得 ()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈， 得,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈，所以()g x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）2sin 22666c g πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为3C π∠=，所以由正弦定理得24sin sin sin 3sin 3a b c A B C π====， 所以44sin ,sin 33a Ab B ==， 所以4(sin sin )3a b A B +=+， 因为3C π∠=，所以23A B π+=，所以23B A π=-， 所以42sin sin 33a b A A π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦422sin sin cos cos sin 333A A A ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭433sin cos 223A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭314sin cos 22A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，所以022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<， 所以2363A πππ<+<， 所以3sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 所以234sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 所以a b +的取值范围为(23,4].22．如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向2千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向23千米处．(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时3PC =千米，求PB 的距离，并说明点P 在点B 方向角哪个方向上；(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. 若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【答案】(1)PB P 在点B 北偏东30方向上或东偏北60方向上(2)小时【分析】（1）根据勾股定理可求得4AC =，由初中知识可知60A =，再根据余弦定理即可求出PB ，勾股定理的逆定理可知90APB ∠=，从而确定点P 的方向角；（2）设甲乙同时出发()02t t ≤≤小时后，甲到达M 点处，乙到达Q 点处，根据余弦定理可求出QM ，再解不等式3QM >，解集的区间长度即是不能通话的时长．【详解】（1）由题意可知，ABC 是Rt △，因为2,AB BC ==由勾股定理(22222216AC AB BC =+=+=，解得4AC =.在Rt ABC △中，2AC AB =，可得60A =.当3PC =时，1AP =，在ABP 中，由余弦定理得2222cos 3PB AB AP AB AP A =+-⋅=，解得PB =因为222AB AP PB =+，得到90,30APB ABP ∠=∠=. 所以PB P 在点B 北偏东30方向上或东偏北60方向上.（2）已知甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时，因为2,4AB AC ==，所以两小时后保安甲到达值班室A 的同时，保安乙到达值班室B .设甲乙同时出发()02t t ≤≤小时后，甲到达M 点处，乙到达Q 点处，可得2,,42CM t AQ t AM t ===-，当02t <<时，在AMQ △中，由余弦定理得()()2222212cos 422422QM AM AQ AM AQ A t t t t =+-⋅=-+--⨯，所以QM =由3QM =>，整理得272070t t -+>，解得t t <>因为02t <<，所以0t <<，又因0=t 时，43QM =>；2t =时，23QM =<，所以0t ≤<小时．。
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．83．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π4．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．25．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π7．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1208．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=9．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π10．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．25B ．25C ．25D ．25 11．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④12．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073πB ．32453π+C ．16323π+D ．32333π+ 13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行 14．(0分)[ID ：12332]长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72πB ．56πC ．14πD ．64π15．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.17．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.19．(0分)[ID ：12517]过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．20．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．21．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________22．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.23．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．24．(0分)[ID ：12494]已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√23be 2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为__________．25．(0分)[ID ：12438]已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12599]如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．27．(0分)[ID ：12587]如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.28．(0分)[ID ：12565]已知点()1,0P ，()4,0Q ，一动点M 满足2MQ MP =. （1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,3A 的直线l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.29．(0分)[ID ：12561]在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC AB BC =====，且点O 为AC 中点.(1)证明：1A O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥1C ABC -的体积.30．(0分)[ID ：12547]已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．D4．D5．C6．C7．C8．B9．C10．A11．B12．D13．D14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与18．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键19．【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所20．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结21．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方22．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本23．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程24．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=6225．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=62R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥， 由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.3．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.4．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】 圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min 251PC k =+，2222521+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 7．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．9．C解析：C【解析】【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．10．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.11．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 13．D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.14．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 解析：33【解析】【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ.【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，1,2AO AO ==，易知sin 2θ==【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题. 17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦, 所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.18．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=. 【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.19．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题． 20．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结解析：12-+ 【解析】【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===.【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 21．①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l 的方解析：①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量，判断它与向量()cos , sin a αα=共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距，得出两直线不一定平行.【详解】对于①，直线l 的方向向量是()1,tan α，它向量()cos , sin a αα=共线，是真命题； 对于②，当π04α<<时，直线l 的斜率是tan α，倾斜角是α，直线y ＝x 的斜率是1，倾斜角是π4，因此两直线的夹角为π4α-，是真命题; 对于③，直线l 的斜率是tan k α=，在y 轴上的截距是m ，直线sin cos 0x y n αα-+=的斜率tan k α=，且在y 轴上的截距是cos n α，当m ＝cos n α时，两直线重合，不平行，∴假命题.综上，是真命题的序号是①②.故答案为:①②【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本 解析：60°【解析】【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小.【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则2SB BC ==，所以2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=，所以60EDC ∠=. 故答案为：60【点睛】 本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 23．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217.【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．24．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：√62 【解析】 试题分析：由题意，得抛物线的准线为x =−c ，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为2b 2a ，所以2b 2a =2√23be 2，即b a =√23e 2，所以，整理，得2e 4−9e 2+1=0，解得e =√62或e =√3．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以e =√62． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c 的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c 的不等式．25．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形三、解答题26．（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明．（2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ．又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．27．（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积．试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =.所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =.又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ,所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得3AD =.在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B BC ∆的面积213443S B BC ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积1114323833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=. (方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒，所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ，所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积234434ABC S ∆== 在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以123B D =.所以三棱锥1B ABC -的体积1114323833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．28．（1）224x y +=；（2）2x =或512260x y -+=.【解析】【分析】(1)设点M 的坐标，根据已知用数学表达式表示出来，再化简即可;。
黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．(0，1)C．(2，3)3．根据如下样本数据得到的回归方程为就（）x3456y4 2.50.5-0.5A．增加1.4个单位C．增加1.2个单位X B n p4．设随机变量~(,B．A．235．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数6．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(3D X X 1-01P16abA ．3B ．53C ．57．甲乙等5位同学去三个兴趣小组，每个小组至少安排1位同学，每个同学只能去一个小组，则不同方案有（）种A ．100B ．120C ．1508．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：使得2p +是素数．素数对(),2p p +称为孪生素数对．从8个数对二、多选题9．有一散点图如图所示，在5个(),x y 数据中去掉()3,10D 后，下列说法中正确的是（）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．决定系数2R 变小D ．解释变量x 与响应变量y 的相关性变强10．若在1和256中间插入3个数，使这A ．2B ．－211．下列四个关系式中，一定成立的是（A ．3477C C =B ．222334100101C C C C ++⋅⋅⋅+=C ．()111A A m m n n n +++=D ．若m ，*n ∈N ，且2023m n <≤12．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有三、填空题。
哈师大附中2021级高二学年下学期期中考试数学科试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数图象在点处的切线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．2．展开式中x 项的系数为（ ）A ．28B ．C ．112D ．3．设函数，则（ ）A ．B．C ．D ．4．已知点P 是椭圆上的动点，于点M ，若，则点N 的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种6．已知数列，如果，，，…，，…是首项为1，公比为的等比数列，则（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“k 阶比增函数”．若函数为“1阶比增函数”，则实数m 的取值范围是（）()ln f x x =(e,ln e)y x=1ey x =e y x=21ey x =8(1-28-112-2e ()(1)1xf x f x x '=++(1)f =e 4-e 4e 23e 42212x y +=PM x ⊥12PN NM = 229124x y +=22124x y +=224129x y +=22129x y +={}n a 1a 21a a -32a a -1n n a a --12n a =1122n --2122n --3122n-13122n --e ,1()2,1x x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩()f x [1,)-+∞[1,0)-1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞()*()k f x y k x=∈N (0,)+∞()f x 2()ln f x m x x x =+-A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨工业大学附属中学七下期中数学试卷（五四制）1.下列方程是二元一次方程的是( )A．x−2=5B．2x=y−5C．2x−xy=5D．1x=y2.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是( )A．B．C．D．3.下列图形中，具有稳定性的是( )A．六边形B．平行四边形C．等腰三角形D．梯形4.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明∠CAD=∠DAB成立的全等三角形的判定依据是( )A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5.下列不等式变形正确的是( )A．由a>b，得a−2<b−2B．由a>b，得∣a∣>∣b∣C．由ac>bc，得a>b D．由a>b，得−2a<−2b6.在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．含 30∘ 角的直角三角形7. 某种仪器由 1 个A 部件和 1 个B 部件配套构成，每个工人每天可以加工A 部件 100 个或者加工B 部件 60 个，现有工人 16 名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A 部件和B 部件配套？设安排 x 个人生产A 部件，安排 y 个人生产B 部件．则列出二元一次方程组为 ( )A ． {x +y =16100x =60yB ． {x +y =16100y =60xC ． {x +y =16100x +60y =0D ． {x +y =16x =(100−60)y8. 三个连续的正整数的和小于 12，则这样正整数共有 ( ) 组．A ． 2B ． 3C ． 4D ． 59. 如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前 3 个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要相同的正五边形个数是 ( )A ． 7B ． 8C ． 9D ． 1010. 如图，在锐角 △ABC 中，∠BAC >∠C ，BD ，BE 分别是 △ABC 的高和角平分线，点 F 在 CA的延长线上，FH ⊥BE 交 BD 于点 G ，交 BC 于点 H ，下列结论：① ∠DBE =∠F ；② 2∠BEF =∠BAF +∠C ；③ ∠F =12(∠BAC −∠C )； ④ ∠BGH =∠ABD +∠EBH ．其中正确的是 ( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④11. 若 △ABC ≌△A 1B 1C 1，A ，B 的对应点分别为 A 1，B 1，∠A =110∘，∠B =40∘，则 ∠C 1= ．12. 在 △ABC 中，∠B =∠A +5∘，∠C =3∠B −15∘，则 ∠A 的度数为∘．13. 多边形的每一个内角都等于 135∘，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条．14. 在 △ABC 和 △DEF 中，给出下列四组条件：① ∠B =∠E ，BC =EF ，∠C =∠F ；② AB =DE ，∠B =∠E ，BC =EF ；③ AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ；④ AB =DE ，AC =DF ，∠B =∠E ．能使 △ABC ≌△DEF 的条件是 （写出所有正确的序号）．15. 商店以每辆 300 元的进价购入 121 辆自行车，并以每辆 330 元的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时至少已售出 辆自行车．16. 如图，在 △ABC 中，∠B =60∘，∠BAC 与 ∠BCA 的三等分线分别交于点 D ，E 两点，则∠ADC 的度数是 ．17. 若不等式组 {x −a >2,b −2x >0的解集是 −1<x <1，则 (a +b )2022 的值为 ．18. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个，则还剩 12 个；若每位小朋友分 8 个，则最后一个小朋友分到苹果但不足 7 个，则这箱苹果共有 个．19. 如图，CE 平分 ∠ACB ，且 CE ⊥DB ，∠DAB =∠DBA ，AC =9，△CBD 的周长为 14，则 DB的长为 ．20. 如图，点 P 是 △ABC 三个内角的角平分线的交点，连接 AP ，BP ，CP ，∠ACB =60∘，且 CA +AP =BC ，则 ∠CAB 的度数为 ．21. 计算下列各题．(1) 解方程组 {3x +y =5,4x −y =9.(2) 解不等式1−x 3−1≤1−2x 2．22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上．(1) 在图中以 BC 为边画出 △BCE ，使 △BCE 和 △ABC 全等，画出除 △ABC 外的所有情况．(2) 画出线段 BF ，使 BF ⊥BC 且交 AC 于点 F ，并直接写出 BF 的长为 ．23. 如图，∠ACB =90∘，AC =BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为 D ，E ，AD =2.5，DE =1.8，求 BE 的长．24. 已知三角形的三个内角分别为 α，β，γ，当 α 是 β 的 2 倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角”．(1) 已知一个“特征三角形”的“特征角”为 100∘，请直接写出这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．(2) 是否存在“特征角”为 120∘ 的三角形，并说明理由．(3) 如果一个特征三角形的三个内角满足 α≥γ≥β，求特征三角形中 γ 的取值范围．25. 某商店四月份购进 70 个篮球，由于供不应求，五月份又购进同种篮球 60 个，两次购进篮球的单价不同，已知四月份和五月份购进篮球的单价和为 65 元，并且四月份与五月份购入篮球总费用相同.(1) 求该商店四、五月份购进篮球的单价分别是多少元．(2) 由于运输不当，五月份购进的篮球中有 10% 损坏，不能卖售，该商店将两批篮球按同一价格全部销售后，获利不低于 2000 元，求每个篮球的售价至少是多少元．26. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (n,0)，B (0,m )，且 {2m +n =10,m −2n =−5,点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 BO 匀速运动，设点 P 的运动时间为 t 秒．(1) 直接写出 OA ，OB 的长为 OA = ；OB = ．(2) 连接 AP ，用含 t 的代数式表示 △AOP 的面积 S ，并直接写出 t 的取值范围．(3) 当点 P 开始运动的时，线段 AB 同时沿着 x 轴的正方向运动至直线 AʹBʹ，其中点 A 的对称点为 Aʹ，点 B 的对称点为 Bʹ，速度与点 P 的运动速度相同，过点 P 作 y 轴的垂线，S△ABO时，画出图形，并求PQ的长．交直线AʹBʹ于点Q，当S△APO=1327.平面内，点B为△ACD外一点，连接BA，BC，∠ABC=19∘，∠ADC=45∘．(1) 如图1，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，直接写出∠AMC的度数为．(2) 如图2，点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点F，求∠AFC的大小．(3) 如图3，在（2）的条件下，延长AF交CD于点I，且3∠EAG+2∠FCI=199∘，过点D作射线DH⊥AC，交射线BA于点E，交AI于点G，当AH:AC=3:5，HG:HD=1:6，S△AGH=3，CD=4时，求GI的长．5答案1. 【答案】B2. 【答案】D【解析】 △ABC 边 AC 上的高是过点 B 作 AC 边的垂线段，线段 BE 是 △ABC 的高的图形是选项D 中图形．故选D ．3. 【答案】C【解析】三角形具有稳定性，四边形和六边形不具有稳定性．4. 【答案】A【解析】由作法得 AE =AF ，ED =FD ，而 AD 为公共边，所以 △AED ≌△AFD (SSS )．所以 ∠CAD =∠DAB ．5. 【答案】D6. 【答案】D【解析】因为 ∠A =12∠B =13∠C ，所以 ∠B =2∠A ，∠C =3∠A ，又因为 ∠A +∠B +∠C =180∘，所以 ∠A +2∠A +3∠A =180∘，解得：∠A =30∘．所以 ∠C =3∠A =3×30∘=90∘．7. 【答案】A【解析】设应安排 x 人生产A 部件，y 人生产B 部件，由题意，得 {x +y =16.100x =60y8. 【答案】B【解析】设最小的一个是 x ，则另两个分别是 x +1 和 x +2，则 x +(x +1)+(x +2)≤12，即 3x +3≤12，解得：x ≤3，则不等式的正整数解是：1，2，3 共三个，因此符合条件的正整数有 3 组．9. 【答案】A【解析】如图，圆心角为∠1，因为五边形的内角和为：(5−2)×180∘=3×180∘=540∘，所以五边形的每一个内角为：540∘÷5=108∘，所以∠1=108∘×2−180∘=216∘−180∘=36∘，因为360∘÷36∘=10，所以他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．所以要完全拼成一个圆环还需要正五边形个数是：10−3=7．10. 【答案】A【解析】∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90∘，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90∘，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，故②正确；③ ∠ABD=90∘−∠BAC，∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90∘+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90∘+∠BAC，∵∠CBD=90∘−∠C，∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE，∴2∠F=∠BAC−∠C，(∠BAC−∠C)，故③正确；∴∠F=12∵∠BGH=∠ABD+∠BTG，∵∠CBE=∠ABE，BE⊥TH，∴∠BTG+∠ABE=∠BHG+∠CBE=90∘，∴∠BTG=∠BHT，显然∠CBE与∠BHT，不一定相等，故④错误．11. 【答案】30°【解析】∵∠A=110∘，∠B=40∘，∴∠C=180∘−110∘−40∘=30∘，∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1=∠C=30∘12. 【答案】35【解析】∵∠B=∠A+5∘，∴∠A=∠B−5∘，又∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠C=3∠B−15∘，∴∠B−5∘+∠B+3∠B−15∘=180∘，解得：∠B=40∘，∴∠A=35∘．13. 【答案】5【解析】∵一个凸多边形的每一个内角都等于135∘，∴此多边形的每一个外角是180∘−135∘=45∘，∵任意多边形的外角和是：360∘，∴此多边形边数是：360∘÷45∘=8，∴这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数是：n−3=8−3=5．14. 【答案】①②③【解析】①由∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；②由AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，依据“SAS”可判定△ABC≌△DEF；③由AB=DE，BC=EF，AC=DF，依据“SSS”可判定△ABC≌△DEF；④由AB=DE，AC=DF，∠B=∠E不能判定△ABC≌△DEF．15. 【答案】111【解析】设已售出x辆自行车，依题意，得：330x>300×121，解得：x>110．∵x为整数，∴x的最小值为111．16. 【答案】100°【解析】∵∠B=60∘，∴∠BAC+∠BCA=180∘−∠B=180∘−60∘=120∘，∵AD，CD是∠BAC，∠BCA三等分线，∴∠DAC=23∠BAC，∠DCA=23∠BCA，∴∠DAC+∠DCA=23(∠BAC+∠BCA)=23×120∘=80∘，∴∠ADC =180∘−(∠DAC +∠DCA )=180∘−80∘=100∘．17. 【答案】 −1【解析】 {x −a >2, ⋯⋯①b −2x >0. ⋯⋯②∵ 解不等式①得：x >2+a ，解不等式②得：x <0.5b ，∴ 不等式组的解集是 2+a <x <0.5b ，∵ 不等式组 {x −a >2,b −2x >0的解集是 −1<x <1， ∴2+a =−1，0.5b =1，解得：a =−3，b =2，∴(a +b )2022=(−3+2)2022=−1．18. 【答案】 37 或 42【解析】设共 x 个小朋友分苹果，则这箱苹果共有 (5x +12) 个，依题意，得：{5x +12≥8(x −1)+1,5x +12<8(x −1)+7,解得：413<x ≤613．∵x 为正整数，∴x =5,6，∴5x +12=37 或 42．19. 【答案】 4【解析】 ∵CE 平分 ∠ACB 且 CE ⊥DB ，∴∠DCE =∠BCE ，∠CED =∠CEB ，又 ∵CE =CE ，∴△CDE ≌△CBE (ASA )，∴CD =CB ，∵∠DAB =∠DBA ，∴AD =BD ，∴AC =AD +CD =BD +CD =9，又 ∵△CBD 的周长为 14，∴BC =14−9=5，∴CD =5，∴AD =9−5=4=BD ．20. 【答案】 80°【解析】如图，在 BC 上截取 CE =AC ，连接 PE ，∵∠ACB =60∘，∴∠CAB +∠ABC =120∘，∵ 点 P 是 △ABC 三个内角的角平分线的交点，∴∠CAP =∠BAP =12∠CAB ，∠ABP =∠CBP =12∠ABC ，∠ACP =∠BCP ， ∴∠ABP +∠BAP =60∘，∵CA =CE ，∠ACP =∠BCP ，CP =CP ，∴△ACP ≌△ECP (SAS )，∴AP =PE ，∠CAP =∠CEP ，∵CA +AP =BC ，且 CB =CE +BE ，∴AP =BE ，∴BE =PE ，∴∠EPB =∠EBP ，∴∠PEC =∠EBP +∠EPB =2∠PBE =∠CAP ，∴∠PAB =2∠PBA ，且 ∠ABP +∠BAP =60∘，∴∠PAB =40∘，∴∠CAB =80∘．21. 【答案】(1) {3x +y =5, ⋯⋯①4x −y =9. ⋯⋯②① + ②得7x =14.解得x =2.把 x =2 代入①，得6+y =5.解得y =−1.∴ 方程组的解为 {x =2,y =−1.(2) ∴1−x 3−1≤1−2x 2.2−2x −6≤3−6x.6x −2x ≤3+6−2.4x≤7.x≤74.22. 【答案】(1) 满足条件的三角形有三个，如图所示．(2) 线段 BF 如图所示；223. 【答案】 ∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E =∠ADC =90∘，∴∠EBC +∠BCE =90∘，∵∠BCE +∠ACD =90∘，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，{∠E=∠ADC,∠EBC=∠ACD, BC=AC.∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE=DC，AD=CE=2.5，∴BE=CD=CE−DE=2.5−1.8=0.7．24. 【答案】(1) 30∘(2) 不存在．∵α=2β，且α+β+γ=180∘，∴当α=120∘时，β=60∘，则γ=0∘，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120∘的三角形．(3) ∵α=2β，∵α+β+γ=180∘，∴γ=180∘−α−β=180∘−3β，∴α≥180∘−3β≥β，∴36∘≤β≤45∘，∴45∘≤γ≤72∘．【解析】(1) 设三角形的三个内角为α，β，γ，∵α=2β，且α+β+γ=180∘，∴当α=100∘时，β=50∘，则γ=30∘，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数30∘．25. 【答案】(1) 设该商店四月份购进篮球的单价是x元，则五月份购进篮球的单价是(65−x)元，依题意，得：70x=60(65−x),解得：x=30,所以65−x=35,答：该商店四月份购进篮球的单价是30元，五月份购进篮球的单价是35元．(2) 设每个篮球的售价是y元，依题意，得：[70+60×(1−10%)]y−30×70−35×60≥2000,解得：y≥50.答：每个篮球的售价至少是50元．26. 【答案】(1) 4；3(2) 当0≤t<3时，S=12×OP×4=2×(3−t)=6−2t；当t>3时，S=12×OP×4=2×(t−3)=2t−6．(3) 如图．∵A(4,0)，B(0,3)，∴直线AB解析式为：y=−34x+3，当0≤t<3时，点P在OA上方时，∵S△APO=13S△ABO，∴6−2t=13×12×4×3，∴t=2，∴OP=1，AAʹ=2，∴Aʹ(6,0)，设AʹBʹ的解析式为：y=−34x+b，∴0=−34×6+b，∴b=92，∴AʹBʹ的解析式为：y=−34x+92，当y=1时，1=−34x+92，∴x=143，∴PQ=143，当t>3时，点P在OA下方时，∵S△APO=13S△ABO，∴2t−6=13×12×4×3，∴t=4，∴OP=1，AAʹ=4，∴Aʹ(8,0)，设AʹBʹ的解析式为：y=−34x+b，∴0=−34×8+b，∴b=6，∴AʹBʹ的解析式为：y=−34x+6，当 y =−1 时，−1=−34x +6，∴x =283，∴PQ =283． 【解析】(1) ∵{2m +n =10,m −2n =−5,∴m =3，n =4，∴A (4,0)，B (0,3)，∴AO =4，OB =3．27. 【答案】(1) 32∘(2) 如图 2 中，设 AD 交 BC 于 O ，设 ∠EAF =∠DAF =x ，∠OCF =∠FCD =y ．则有 ∠AFC =x +y +∠D =x +y +45∘，∵∠EAD =∠B +∠AOB ，∠AOB =∠DOC =180∘−∠OCD −∠D ，∴2x =19∘+(180∘−2y −45∘)，∴x +y =77∘，∴∠AFC =77∘+45∘=122∘．(3) 如图 3 中，∵3∠EAG +2∠FCI =199∘，由（2）可知：{3x +2y =199∘,x +y =77∘,解得 {x =45∘,y =32∘, ∴∠DAE =90∘，∵∠IAD =∠ADI =45∘，∴△AID 是等腰直角三角形，∵AH:AC =3:5，∴ 可以假设 AH =3a ，CH =2a ，∵S △AHG =35=12×AH ×HG ， ∴HG =25a ，∵GH:HD =1:6，∴DH =125a ，∵DE ⊥AC ，∴∠DHC =90∘，∴CH 2+DH 2=CD 2，∴4a 2+14425a 2=16，解得 a =√105 或 3√105（舍弃）， ∴AH =3√105，DH =6√105，HG =√105， ∴AG =√AH 2+GH 2=√(3√105)2+(√105)2=2， AD =√AH 2+DH 2=√(3√105)2+(6√105)2=3√2，∴AI =DI =3，∴GI =AI −AG =3−2=1．【解析】(1) 设 ∠BAM =∠MAD =x ，∠BCM =∠DCM =y ．则有 {x +19∘=y +∠M,2x +19∘=2y +45∘,解得 ∠M =32∘．。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工大附中七年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（每题3分，共计30分）1．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．2．已知a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a+2＞b+2B．﹣7a＞﹣7b C．4a＞4b D．1﹣2a＜1﹣2b 3．下列图形中有稳定性的是（）A．平行四边形B．正方形C．长方形D．直角三角形4．如图，共有三角形的个数是（）A．3B．4C．5D．65．如果一个多边形的每一个外角都是90°，那么这个多边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°6．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等边7．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km．第一天和第二天行军的平均速度各是多少？设第一天和第二天行军的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则可列二元一次方程组为（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F，则∠1与∠2的关系为（）A．∠1＜∠2B．∠1＝∠2C．∠1＞∠2D．无法确定9．若方程组的解为x、y，且x+y＜0，则k的取值范围是（）A．k＜﹣1B．k＜1C．k＜2D．k＜010．如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点G，过点E作EM⊥BC于点M，交CF于点K，则下列结论一定正确的有（）个．（1）∠CEM＝∠ABC；（2）∠BGC＝135°；（3）∠GEM＝∠GKE；（4）点P为AB边任意一点，PQ⊥BC于点Q，PN平分∠APQ，则PN∥FC．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题3分，共30分）11．把方程3x﹣15y＝30改成用含y的式子表示x的形式为x＝．12．已知三角形的两边a和b的长分别为3和8，则第三边c的范围为．13．不等式组的解集是．14．顺风旅行社组织205人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数比到云水洞的人数的3倍多1，则到云水洞的人数为人．15．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于度．16．关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＜1，那么m的取值范围为．17．三个连续正整数的和不大于33，这样的正整数有组．18．如图，在等腰△ABC中，底边BC＝6，△ABC的周长为16，BE、AD分别为AC与BC 边上的高，AD＝4，则BE＝．19．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点P为边AC上一点，PO⊥BD，垂足为O，则∠APO的度数为．20．如图，△ABC的两外角平分线交于点D，延长DC至点G，连接BG，使得∠A＝2∠G，CD：CG＝8：5，若△BDC的面积为4，BG＝4，则线段BD的长度为．三、解答题（共计60分，21题8分，22题6分，23题8分，24题8分，25-27每题10分）21．（8分）解下列二元一次方程组．（1）；（2）．22．（6分）解下列不等式．（1）；（2）3（x﹣2）+1＞6﹣2（3x+1）．23．（8分）如图，在13×9的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC．（1）画出△ABC中AB边上的高CD，垂足为D；（2）画出△ABC中BC边上的中线AK；（3）直接写出S＝．△ACK24．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上任意一点，连接BE交AD于点F．（1）若∠ABD＝40°，∠AFE＝70°，求证：BE平分∠ABC．（2）如图2，在（1）的条件下，若∠AFE＝∠AEF，请直接写出图中所有直角三角形．25．（10分）如图所示，某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为228米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形．（1）小长方形的长和宽分别为多少米？（2）计划在空地上种各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价200元，经计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？26．（10分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，在BC上取一点D，连接AD，∠CAD＝∠ADC．求证：△ABD是“智慧三角形”．（2）如图2，在△ABC中，在AB、AC、BC上分别取点F、点E、点D，连接DE、DF，∠DEC＝∠EDC，∠FDB＝∠BFD，∠EDF＝45°．求证：AB⊥AC．（3）如图3，在（2）的条件下，△ABC的面积为25，BD＝BC，延长DE、BA交于点G，且E为DG的中点，连接BE、AD交于点I．求四边形EIDC的面积．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（6，0），B（m，n），其中m，n满足，连接AB、OB．（1）求点B的坐标．（2）动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴正半轴匀速运动，设点P 运动时间为t秒，请用含t的式子表示△ABP的面积．（3）在（2）的条件下，在y轴负半轴取一点C，CP＝10，点D是△AOP内部一点，连接PD、CD，CD与x轴交点F坐标（1，0），连接AD并延长交OP于点E，若∠EDP ＝45°，∠DEC＝2∠EPD+∠ECD，当时，求点P的坐标．2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工大附中七年级（下）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共计30分）1．解：A．第一个方程含有，不是整式方程，故此选项不符合题意；B．此方程组中，含有3个未知数，故此选项不符合题意；C．符合二元一次方程组定义，故此选项符合题意；D．第二个方程的x、y都是二次的，故此选项不符合题意．故选：C．2．解：A、∵a＜b∴a+2＜b+2，故A不符合题意；B、∵a＜b，∴﹣7a＞﹣7b，故B符合题意；C、∵a＜b，∴4a＜4b，故C不符合题意；D、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，故D不符合题意；故选：B．3．解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．故选：D．4．解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．故选：D．5．解：设这个多边形为n边形，由题意得90°⋅n＝360°，∴n＝4，∴这个多边形的内角和为（4﹣2）×180°＝360°．故选：B．6．解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴可以假设∠A＝x°，∠B＝（2x）°，∠C＝（3x）°，由题意x+2x+3x＝180，∴x＝30°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：B．7．解：根据题意可列方程．故选：A．8．解：∵DE∥AC，∴∠1＝∠FAD，∵DF∥AB，∴∠2＝∠EAD，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠1＝∠2，故选：B．9．解方程组，①+②得：x+y＝3k+3，∵x+y＜0，∴3k+3＜0，解得：k＜﹣1，故选：A．10．解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，又∵EM⊥BC，∴∠ACB+∠MEC＝90°，∴∠ABC＝∠CEM，故（1）正确；∵BE、FC分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠GBC＝∠ABC，∠GCB＝∠ACB，∴∠GBC+∠GCB＝∠ABC+∠ACB＝，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝135°，故（2）正确；∵EM⊥BC∴∠BEM＝90°﹣∠EBM＝90°﹣∠ABC，∠GKE＝∠CKM＝90°﹣∠KCM＝90°﹣∠ACB，∵无法确定∠ABC与∠ACB的大小，∴∠BEM与∠GKE的大小无法确定；故（3）错误；如下图，延长PN交AC的延长线于O，∵PQ⊥BC，AB⊥AC，∴∠PNQ+∠QPN＝90°，∠APO+∠O＝90°，∵PN平分∠APQ，∴∠QPN＝∠APO，∴∠PNB＝∠O，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝，∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝2∠ACF，∠ACB＝∠CNO+∠O＝2∠O，∴∠ACF＝∠O，∴PN∥FC．故（4）正确；故答案为：C．二、填空题（每题3分，共30分）11．解：3x﹣15y＝30，移项得：3x＝15y+30，系数化为1，得x＝5y+10，故答案为：5y+10．12．解：由题意可得8﹣3＜c＜8+3，∴5＜c＜11．故答案为：5＜c＜11．13．解：解不等式2x﹣1＞1，得：x＞1，解不等式x≤4﹣x，得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，故答案为：1＜x≤2．14．解：设到云水洞的人数为x人，到花果岭的旅游人数为y人，根据题意：，解得：，即到云水洞的人数为51人，故答案为：51．15．解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，∵C处在A处的南偏东15°方向，∴∠BAC＝45°+15°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣35°﹣60°＝85°．故答案为：85．16．解：∵不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＜1，∴m﹣1＞0，解得m＞1，故答案为：m＞1．17．解：设三个连续正整数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+1），（x+2），依题意得：x+x+1+x+2≤33，解得：x≤10，又∵x为正整数，∴x可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，∴这样的正整数有10组．故答案为：10．18．解：∵等腰△ABC中，底边BC＝6，△ABC的周长为16，∴AB＝AC＝＝5，∵BE、AD分别为AC与BC边上的高，AD＝4，∴5•BE＝4×6，解得：BE＝，故答案为：．19．解：如图，当点P在线段CD上时，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝15°，∵∠PDO＝∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣100°﹣15°＝65°，∵OP⊥BD，∴∠POD＝90°∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，当点P′在AD上时，∠AP′O′＝∠P′O′D+∠P′DO′＝90°+65°＝155°，故答案为：25°或155°．20．解：∵△ABC的两外角平分线交于点D，∴∠D＝180°﹣＝180°﹣＝＝，∵∠A＝2∠G，∴∠D＝90°﹣∠G，∴∠DBG＝90°．∵CD：CG＝8：5，△BDC的面积为4，∴△BGC的面积为，∴△BGD的面积为，∵BG＝4，∴，∴BD＝，故答案为：．三、解答题（共计60分，21题8分，22题6分，23题8分，24题8分，25-27每题10分）21．解：（1）将①变形得：y＝3x﹣10③，将y代入②得：x+5（3x﹣10）＝﹣6，解得，将x代入③得：，所以方程组的解为：；（2），式等号两边同乘以6得：4x﹣2＝3﹣3y，变形得3y＝5﹣4x，将上式代入②得：5﹣4x﹣x＝10，解得x＝﹣1，则，所以方程组的解为：．22．解：（1），去分母，得3﹣2x≤3x﹣12，移项，合并同类项，得15≤5x系数化为1，得x≥3．（2）3（x﹣2）+1＞6﹣2（3x+1），去括号，得3x﹣6+1＞6﹣6x﹣2，移项，合并同类项，得9x＞9系数化为1，得x＞1．23．解：（1）在网格上找AB所在水平网格线与点C所以竖直网格线的交点即为D点，连接CD、BD，因为水平网格线与竖直网格线互相垂直，所以AB⊥CD，即CD是AB边上的高．（2）因为BC长为6个小方格的对角线，所以从点B沿BC数3个小格的对角线，此点即为BC的中点K，连接AK，则AK是BC边上的中线．（3）∵BK＝CK，∴，∵AB＝6，CK＝6，∴，∴，24．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠BFD+∠AFE＝70°，∴∠DBF＝20°，∵∠ABD＝40°，∴∠DBF＝∠ABD，∴BE平分∠ABC；（2）解：∵AD⊥BC，∴△ABD、△ACD、△BDF是直角三角形，∵∠ABE＝∠CBE＝20°，∴∠AEF＝∠AFE＝70°，∴∠ABE+∠AEF＝20°+70°＝90°，在△ABE中，∠BAE＝90°，∴△ABC、△ABE是直角三角形，综上所述△ABC、△ABE、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．25．解：（1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意得：，解得：，答：小长方形的长为30米，宽为12米；（2）200×（30×2）×（30+12×2）＝648000元，答：预计花费648000元．26．（1）证明：∵∠B＝∠C＝45°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，∵∠CAD＝∠ADC，∠CAD+∠ADC+∠C＝180°，∠C＝45°，∴，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠B＝2∠BAD，∴△ABD是“智慧三角形”．（2）证明：∵∠BDE＝∠BDF+∠EDF＝∠C+∠CED，∠CDF＝∠EDC+∠EDF＝∠B+∠BFD，∠DEC＝∠EDC，∠FDB＝∠BFD，∠EDF＝45°，∠BDF+∠EDF+∠EDC＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝45°+180°＝∠C+∠CED+∠B+∠BFD＝∠C+∠B+∠CDE+∠BDF ＝∠C+∠B+180°﹣45°，∴∠C+∠B＝90°，∴AB⊥AC；（3）解：连接GI、CG，分别过点E、C、K作EH⊥BC，CK⊥DE，BJ⊥GD，垂足分别为点H、K、J，∵，∴设S △BDE ＝S △BEG ＝2a ，S △DEC ＝S △ECG ＝3a ， ∵E 为DG 的中点，∴， ∴，∵△ABC 的面积为25，∴， ∴a ＝4， ∴S △ABE ＝5，S △AEG ＝S △AED ＝3，∴S △ABE ﹣S △AED ＝2S △ABI ﹣S △EID ＝2，设S △EID ＝b ＝S △EIG ，∴S △ABI ＝b +2，S △AIG ＝S △ADG ﹣S △IGD ＝6﹣2b ， ∴，∴S 四边形EIDC ＝S △DEC +S △EID ＝3×＝．27．解：（1）解方程组得：， ∴B （﹣4，3）；（2）如图1，∵点A （6，0），∴OA ＝6， ∴S △ABP ＝S △AOP +S △BOP ﹣S △AOB ＝×6×2t +×2t ×4﹣×6×3＝10t ﹣9； （3）如图2，连接AC ，∵∠DEC ＝2∠EPD +∠ECD ，∠DEC ＝∠EPD +∠EDP ， ∴2∠EPD +∠ECD ＝∠EPD +∠EDP ，∴∠EPD +∠ECD ＝∠EDP ＝45°，∴∠CDP ＝180°﹣45°＝135°，∴∠CDE＝∠CDP﹣∠EDP＝135°﹣45°＝90°，∴CD⊥AE，∵CP＝10，OP＝2t，∴OC＝10﹣2t，∵点F坐标为（1，0），∴OF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝6﹣1＝5，＝CF•AD＝AF•OC，∵S△ACF∴CF•AD＝AF•OC＝5×（10﹣2t）＝50﹣10t，＝10t﹣9，由（2）可知，S△ABP∵，∴50﹣10t＝×（10t﹣9），解得：t＝4，∴2t＝8，∴点P的坐标为（0，8）．。
哈尔滨工业大学（威海）秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷（A ）题号 一二三四五六七八卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩分数一、选择题（请把答案写在括号内，每题2分，共10分）1. 数列有界是数列收敛的( )(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件2.设22(cos )sin f x x '=,且(0)0f =,则()f x =( )(A) 21cos cos 2x x + (B) 241cos cos 2x x -(C) 212x x - (D) 212x x +3. 11lim(1)lim(sin )xx x x x x-→→∞++= ( ) (A).e (B). 1e -; (C). 1e + (D). 11e -+4. 对于不定积分，在下列等式中正确的是( )（A ）[()]()d f x dx f x =⎰； （B ）()()df x f x =⎰；（C ）()()f x dx f x '=⎰； （D ）()()df x dx f x dx =⎰. 得分遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范5. 设()y f x =满足关系式240y y y '''-+=,若0()0f x >且0()0f x '=，则()y f x =在0x 点（ ）.(A).取极大值； (B).取极小值；(C).在某邻域内单调增； (D).在某邻域内单调减.二、填空题（每题2分，共10分） 1. 设,m n 为正整数，且m n <，则0sin()lim (sin )n mx x x →= .2. 设()(1)(2)(2002)f x x x x x =++⋅⋅⋅+，则 (0)f '= .3.定积分0=⎰ .4. 设()()f x g x '=，则微分2[(sin )]d f x = .5.不定积分2= .三、 算题（每题5分，共30分）1. 计算11lim()ln 1x x x x →--.遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范2.计算.1 lim(123)n n nn→∞++.3.已知21ln cos arcsin2xy x xx=++求y'.4.求由参数方程sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数dydx,22d ydx.5.计算积分(1ln)xe x xdxx+⎰.6.计算Iπ=⎰.四、解答下列各题（每题10分，共50分）1.设函数32ln(1),0,arcsin()60,10.sin4axaxxx xf x xe x axxxx⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩问(1)a为何值时, ()f x在0x=处连续;(2)a为何值时, 0x=是()f x的可去间断点.2.当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x = a，x = a+1，y= 0所3.围成的图形面积最小？4.已知1x2x =…, 1n x +=证明数列{}n x 收敛并求其极限.5. 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ≠，试 证：至少存在一个(,)a b ξ∈，使()()()()f g f g ξξξξ''=.5设严格单调递增函数()[,]f x C a b ∈且()0f x ''>，证明：()()()()()()2ba f a fb b a f a f x dx b a +-<<-⎰遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范哈尔滨工业大学（威海）秋季学期 工科数学分析(B 类)试题卷（A ）答案一. (1).A (2).C (3).D (4).D (5)A二(1).0 (2).2002! (3)π(4)2(sin )sin 2g x x(5)35224235x x C ++三1. 11ln 1ln ()lim lim limln 1(1)ln (1)ln(11)111x x x x x x xx x x x x x x x x -----==---+-→→→211ln lim(1)x x x xx →--=-1ln 11lim 2(1)21x x x --==--→ 2．解：因为1113(3)(123)(33)n nn n nnn=≤++≤⨯=3lim n →∞=，所以1(123)3lim nn nn →∞++= 3．223211tan 2arcsin 22(1)x y x x x x x '=-++-+ 4．sin 1cos dydy t dt dx dx t dt==-， 22411()()()2sin 2d y d dy d dy dt d dy dx t dx dx dt dx dx dt dx dxdt ====- 5．(1ln )ln ln ln ln x x x x x x x xx e x x e e e e dx dx e xdx dx xde dx e x dx x x x x xe x C+=+=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.202cos sin sin cos sin cos 1x xdx x xdx x xdx πππππ==-=⎰⎰⎰⎰四．解答题 1.解33200000000ln(1)3(00)()lim lim lim limarcsin arcsin 1x x x x ax ax ax f f x x x x x →-→-→-→-+-====---003(16lim x a a →-=-=-22200000011(00)()4lim lim lim sin4ax ax x x x e x ax e x ax f f x x x x →+→+→++--+--+=== 2220000002224442(2)lim lim lim 222ax ax ax x x x ae x a a e a e a x →+→+→++-++====+令(00)f +=(00)(0)f f -=得1a =-，从而当1a =-时()f x 在0x =连续； 令(00)f +=(00)(0)f f -≠得2a =-，从而当2a =-时0x =是()f x 的可去间断点。
