专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题(宿迁28题盐城27题常州28题苏州28题等)(原卷版)
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中考数学复习考点知识归类讲解专题26 二次函数中的有关线段、角的问题知识对接考点一、与线段有关的问题类型一:已知共线的线段关系-----------------转化为A字型或8字型类型二: 已知不共线的两条线段关系---------利用三角函数解决问题类型三:等腰+直角-----------构造中点直角三角形类型四:利用已知线段构造可解的三角形-考点二、与角有关的问题类型一:与已知直线成定角问题类型二:倍角问题(倍角与半角之间的转化)类型三:转化为基本图形类型四:2∠A+3∠B=180°---------转化为等腰的问题专项训练一、单选题1.在平面直角坐标系内,已知点A(﹣1,0),点B(1,1)都在直线1122y x=+上,若抛物线y=ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是()A .a ≤﹣2B .a <98 C .1≤a <98或a ≤﹣2 D .﹣2≤a <982.抛物线()230y ax ax b a =++<,设该抛物线与x 轴的交点为()5,0A -和B ,与y 轴的交点为C ,若ACO CBO ∆∆∽,则tan CAB ∠的值为( )A B C D 3.如图1,在矩形ABCD 中,动点E 从A 出发,沿A→B→C 方向运动,当点E 到达点C 时停止运动,过点E 作EF⊥AE 交CD 于点F ,设点E 运动路程为x ,CF =y ,如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象,给出下列结论:①a=3;②当CF =14时,点E 的运动路程为114或72或92,则下列判断正确的是( )A .①②都对B .①②都错C .①对②错D .①错②对4.抛物线2y x bx c =++(其中b ,c 是常数)过点A (2,6),且物线的对称轴与线段21y x =-()13x ≤≤有交点,则c 的值不可能是()A .5B .7C .10D .145.如图,在平面直角坐标系中,直线334y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,在线段AB 上取一点C ,过C 作CD y ⊥轴于D ,CE x ⊥轴于E ,连结DE ,当DE 最短时,点C 的坐标为()A .32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .3458,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3648,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()4,06.已知A 、B 两点的坐标分别为()3,4-、()0,2-,线段AB 上有一动点(),M m n ,过点M 作x 轴的平行线交抛物线2(1)2y a x =-+于()11,P x y 、()22,Q x y 两点.若12x m x <≤,则a 的取值范围为()A .342a -≤<- B .342a -≤≤- C .302a -≤< D .302a -<< 7.如图①,在矩形ABCD 中,当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 上移动时,直角边MP 始终经过点A ,设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q .在运动过程中线段BP 的长度为x ,线段CQ 的长为y ,y 与x 之间的函数关系如图②所示.则AB 的长为()A .2.25B .3C .4D .68.若直线y =n 截抛物线y =x 2+bx +c 所得线段AB =4,且该抛物线与x 轴只有一个交点,则n 的值为( )A .﹣1B .2C .25D .49.抛物线2y x bx c =++(其中b ,c 是常数)过点A (2,6),且抛物线的对称轴与线段21y x =-(13x ≤<)有交点,则c 的值不可能是()A .5B .7C .10D .1410.如图,C 是线段AB 上一动点,△ACD ,△CBE 都是等边三角形,M ,N 分别是CD ,BE 的中点,若AB =4,则线段MN 的最小值为()A B C D 二、填空题11.如图,Rt ABC 中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,2AC =,点D 在边AC 上运动(与点A 、C 不重合),以D 为圆心,DA 长为半径的D 与AB 相交于点E ,线段BE 的中垂线交BC 于点F ,则DF 长的最小值等于______.12.已知抛物线265y x x =-+-的顶点为P ,对称轴l 与x 轴交于点A ,N 是PA 的中点.M (),m n 在抛物线上,M 关于直线l 的对称点为B ,M 关于点N 的对称点为C .当13m ≤≤时,线段BC 的长随m 的增大而发生的变化是:______.(“变化”是指增减情况及相应m 的取值范围)13.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为()0,2,点B 的坐标为()4,2.若抛物线23()2y x h k =--+(h 、k 为常数)与线段AB 交于C 、D 两点,且12CD AB =,则k 的值为_________.14.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,若点M在y 轴上,且满足∠BCO+∠BMO=∠ACO,则M点的坐标为_______.15.若抛物线y=x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点,则线段AB的长为_____.三、解答题16.已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-6,0)、B(2,0)和C(0,3),点D是该抛物线在第四象限上的一个点,连接AD、AC、CD,CD交x轴于E.(1)求这个抛物线的解析式;(2)当S△DAE=14S△ACD时,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,抛物线2y ax bx c=++经过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点,点D(x,y)为抛物线上第一象限内的一个动点.(1)求抛物线所对应的函数表达式;(2)当BCD ∆的面积为3时,求点D 的坐标;(3)过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,是否存在点D ,使得CDE ∆中的某个角等于ABC ∠的2倍?若存在,求点D 的横坐标;若不存在,请说明理由.18.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线26y ax ax a =--与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)求抛物线的对称轴及线段AB 的长.(2)若点C 的坐标为()0,3-,点P 在抛物线上,连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠,将直线BC 上下平移,平移后的直线与抛物线交于1B ,1C 两点(1C 在1B 的左侧),若以点1B ,1C ,P 为顶点三角形是直角三角形,求平移后的直线解析式.(3)若0a >,且在抛物线上存在点N ,使得90ANB ∠=︒,直接写出a 的取值范围.19.如图1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -,()4,0C ,与y 轴交于点B .(1)求地物线的解析式.(2)如图2,点P 为拋物线第四象限上一点,AP 交y 轴于Q ,设点P 的横坐标为t ,求线段BQ 的长d 与t 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).20.如图,已知抛物线y =ax 2+2x +c 与y 轴交于点A (0,6),与x 轴交于点B (6,0),点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点.(1)求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标;(2)点M 在抛物线上,点N 在x 轴上,是否存在以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当点P 从A 点出发沿线段AB 上方的抛物线向终点B 移动时,点P 到直线AB 的距离为d ,求d 的最大时点P 的坐标.21.已知二次函数()214ay ax a x =+-+. (1)若二次函数图象的对称轴为直线1x =,求a 的值;(2)当2x ≥时,y 随x 的增大而减小,求a 的取值范围;(3)已知()1,0A -,()2,0B ,若二次函数的图象与线段AB 只有一个交点,求a 的取值范围.22.已知函数y=1ax2﹣2x+2a﹣1(a为常数).(1)当函数图象与y轴交于点(0,1)时,①求a的值.②直线y=m与函数图象交于A、B两点,当AB=3 时,求m的值.(2)当a>0,x≥2 时,函数图象上的最低点到直线y=a距离为 1,求a的取值范围.(3)函数图象与直线x=2a交于点P,把点P向左平移 4 个单位得到点Q,以PQ为直角边作等腰直角三角形RPQ,点R与抛物线顶点始终在PQ两侧,线段QR与函数图象交于点G,1tan3GPR∠=时,直接写出a的值.23.若抛物线223y ax ax=++对应方程2230ax ax++=的一个根为6x=-.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,若抛物线与x轴的一个交点是A(左交点),与y轴交于点C,点P是线段OA 上一动点,过点P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设CPQ的面积为S,求S的最大值及取得最大值时点P的坐标;(3)若点B是抛物线与x轴的另一个交点,点D,M在线段AB上,点N在线段AC上,,DCB CDB CD∠=∠是MN的垂直平分线,求点M的坐标.。
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)通用的解题思路:1.二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x–h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化,则不影响增减性,但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移,不改变增减性,改变最值.只对二次函数左右平移,改变增减性,不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路:①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式;②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系,确定新抛物线的表达式;③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图,根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性;④根据图像及相关函数表达式进行计算,求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号,h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变,h 变号题型一:二次函数中的平移问题1.(2024•牡丹区校级一模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ,将点A 向右平移2个单位长度,得到点B ,点B 在抛物线上.(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示).(2)当B 的纵坐标为3时,求a 的值;(3)已知点11(,2P a-,(2,2)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,请结合函数图象求出a 的取值范围.【分析】(1)令0x =,求出点A 坐标根据平移得出结论;(2)将B 的纵坐标为3代入求出即可;(3)由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--,当2y =时,解得1|1|a a x a ++=,2|1|a a x a-+=,结合图象得出结论;【解答】解:(1)在21(0)y ax bx a a =+-<中,令0x =,则1y a =-,∴1(0,)A a-,将点A 向右平移2个单位长度,得到点B ,则1(2,)B a-.(2)B 的纵坐标为3,∴13a-=,∴13a =-.(3)由题意得:抛物线的对称轴为直线1x =,2b a ∴=-,∴212y ax ax a=--,当2y =时,2122ax ax a=--,解得1|1|a a x a ++=,2|1|a a x a-+=,当|1|2a a a -+≤时,结合函数图象可得12a ≤-,抛物线与PQ 恰有一个公共点,综上所述,a 的取值范围为12a ≤-.【点评】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数图象上点的特征,数形结合讨论交点是解题的关键.2.(2024•平原县模拟)已知抛物线212:23C y ax ax a =++-.(1)写出抛物线1C 的对称轴:.(2)将抛物线1C 平移,使其顶点是坐标原点O ,得到抛物线2C ,且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B (点B 在点A 的左侧),若ABO ∆的面积为4,求点B 的坐标.(3)在(2)的条件下,直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ,N ,分别过点M ,N 的两条直线2l ,3l 交于点P ,且2l ,3l 与y 轴不平行,当直线2l ,3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时,请说明点P 在一条定直线上.【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案.(2)根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =,然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式,于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-,过点A 、B 分别作x 轴的垂线,利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值,于是可求得点B 的坐标.(3)设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-,124x x =-.再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式,再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值,于是可说明点P 在一条定直线上.【解答】解:(1)抛物线1C 的对称轴为:212ax a=-=-.故答案为:1x =-.故答案为:1x =-.(2) 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ,得到抛物线2C ,∴可设抛物线2C 的解析式为:2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上,22(2)a ∴-=⋅-,解得:12a =-.∴抛物线2C 的解析式为:212y x =-.点B 在抛物线2C 上,且在点A 的左侧,∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-,如图,过点A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足为点M 、N .ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+,又4ABO S ∆=,∴2142t t +=,解得:13t +=±,4(2t t ∴=-=不合题意,舍去),则2211(4)822t -=-⨯-=-,(4,8)B ∴--.(3)设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,联立方程组:2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,整理得:2240x kx +-=,122x x k ∴+=-,124x x =-.设过点M 的直线解析式为y mx n =+,联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩,整理得2220x mx n ++=.①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点,∴△2480m n =-=,∴212n m =.∴由①式可得:221112202x mx m ++⨯=,解得:1m x =-.∴2112n x =.∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+.用以上同样的方法可以求得:过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+,联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,12x x k +=- ,124x x =-.∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上.(如图)【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点,解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路.3.(2024•和平区一模)已知抛物线21(y ax bx a =+-,b 为常数.0)a ≠经过(2,3),(1,0)两个点.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)抛物线的顶点为;(Ⅲ)将抛物线向右平移1个单位长度,向下平移2个单位长度,就得到抛物线.【分析】(Ⅰ)利用待定系数法即可求解;(Ⅱ)根据抛物线的顶点式即可求得;(Ⅲ)利用平移的规律即可求得.【解答】解:(1) 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3),(1,0)两个点,∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩,解得10a b =⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为21y x =-;(Ⅱ) 抛物线21y x =-,∴抛物线的顶点为(0,1)-,故答案为:(0,1)-;(Ⅲ)将抛物线向右平移1个单位长度,向下平移2个单位长度,就得到抛物线2(1)12y x =---,即2(1)3y x =--.故答案为:2(1)3y x =--.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数图象与几何变换,熟练掌握待定系数法是解题的关键.4.(2024•礼县模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ,且过点(1,2)B -,(3,0)C .(1)求抛物线的函数解析式;(2)求ABC ∆的面积;(3)将抛物线向左平移(0)m m >个单位,当抛物线经过点B 时,求m的值.【分析】(1)用待定系数法求函数解析式即可;(2)先求出点A 的坐标,然后切成直线BC 的解析式,求出点D 的坐标,再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积;(3)由(1)解析式求出对称轴,再求出点B 关于对称轴的对称点B ',求出BB '的长度即可;【解答】解:(1)把(1,2)B -,(3,0)C 代入23y ax bx =++,则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩,解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++;(2) 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ,(0,3)A ∴,设直线BC 的解析式为y kx n =+,把(1,2)B -,(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩,解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线BC 的解析式为1322y x =-+,设BC 交y 于点D,如图:则点D 的坐标为3(0,)2,33322AD ∴=-=,113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=,(3)211322y x x =-++ ,∴对称轴为直线122b x a =-=,令B 点关于对称轴的对称点为B ',(2,2)B ∴',3BB ∴'=,抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ,3m ∴=.【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识,关键是掌握二次函数的性质和平移的性质.5.(2024•珠海校级一模)已知抛物线223y x x =+-.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,求m 的值.【分析】(1)化成顶点是即可求解;(2)根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+,把原点代入即可求得m 的值.【解答】解:(1)2223(1)4y x x x =+-=+- ,∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--.(2)该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度,得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--, 新抛物线经过原点,20(01)4m ∴=+--,解得3m =或1m =-(舍去),3m ∴=,故m 的值为3.【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的坐标特征,求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键.6.(2024•关岭县一模)如图,二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点,其中一个交点为(1,0)A -,且图象过点(1,2)B ,过A ,B 两点作直线AB .(1)求该二次函数的表达式,并用顶点式来表示;(2)将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位,得函数2y =;函数2y 与坐标轴的交点坐标为;(3)在(2)的条件下,将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点,求n 的值.【分析】(1)将点(1,0)A -,点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值,再转化为顶点式即可;(2)根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式,令20y =求出与x 轴的交点坐标即可;(3)利用待定系数法求出直线AB 解析式,再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式,联立消去y ,根据判别式为0解出n 值即可.【解答】解:(1)将点(1,0)A -,点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得:2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩,解得11b c =⎧⎨=-⎩,∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-.∴抛物线解析式为:21192()48y x =+-.(2)将二次函数1y 向左平移1个单位,得函数22592()48y x =+-,令20y =,则2592(048x +-=,解得112x =-,22x =-,∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-,0)(2-,0).故答案为:22592()48y x =+-,1(2-,0)(2-,0).(3)设直线AB 的解析式为y kx b =+,将(1,0)A -,点(1,2)B 代入得:02k b k b -+=⎧⎨+=⎩,解得11k b =⎧⎨=⎩,∴直线AB 解析式为:1y x =+.将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-,与函数2y 联立消去y 得:2592(148x x n +-=+-,整理得:22410x x n +++=,直线AB 与抛物线有唯一交点,△1642(1))0n =-⨯+=,解得1n =.【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换,熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键.7.(2024•温州模拟)如图,直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ,B ,抛物线2y x mx =-+经过点A .(1)求点B 的坐标和抛物线的函数表达式.(2)若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ,求n 的值.【分析】(1)由题意可得点A 、B 的坐标,利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答;(2)根据二次函数图象平移规律“左加右减,上加下减”得到平移后的抛物线的表达式,再代入B 的坐标求解即可.【解答】解:(1)令0x =,则1222y x =-+=,(0,2)B ∴,令0y =,则1202y x =-+=,解得4x =,(4,0)A ∴,抛物线2y x mx =-+经过点A ,1640m ∴-+=,解得4m =,∴二次函数的表达式为24y x x =-+;(2)224(2)4y x x x =-+=--+ ,∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++,经过点(0,2)B ,22(2)4n ∴=--++,解得2n =±,故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换,二次函数图象上点的坐标特征等知识,熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键.8.(2024•巴东县模拟)已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ,(3,6)B 、(1,6)C -三点.(1)求该二次函数解析式;(2)将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ,且对称轴为直线4x =,求平移后的二次函数的解析式.【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式;(2)利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式.【解答】解:(1)把(2,3)A ,(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++,得:4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩,解得:123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴该二次函数的解析式为223y x x =-+;(2)若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ,且对称轴为直线4x =,设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+,将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+,得2(54)0k -+=,解得,1k =-.∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+.【点评】本题考查了待定系数法求解析式,抛物线的性质,熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键.9.(2024•郑州模拟)在平面直角坐标系中,抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ,(2,1)B .(1)求抛物线的解析式;(2)直线y x m =+经过点A ,判断点B 是否在直线y x m =+上,并说明理由;(3)平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上,若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ,求n 的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式,然后代入点B 判断即可;(3)设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++,其顶点坐标为(,1)p q +,根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++,得出n 的最大值.【解答】解:(1) 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ,(2,1)B ,∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩,解得21b c =⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为:221y x x =-++;(2)点B 不在直线y x m =+上,理由:直线y x m =+经过点A ,12m ∴+=,1m ∴=,1y x ∴=+,把2x =代入1y x =+得,3y =,∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上;(3)∴平移抛物线221y x x =-++,使其顶点仍在直线1y x =+上,设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++,其顶点坐标为(,1)p q +, 顶点仍在直线1y x =+上,11p q ∴+=+,p q ∴=,抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++,2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++,∴当12p =-时,n 有最大值为54.54n ∴ .【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式,二次函数的图象与几何变换,二次函数的性质,题目有一定难度.10.(2024•鞍山模拟)已知抛物线2246y x x =+-.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,求m 的值.【分析】(1)将二次函数的解析式改写成顶点式即可.(2)将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题.【解答】解:(1)由题知,2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-,所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--.(2)令0y =得,22460x x +-=,解得11x =,23x =-.又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,所以30m -+=,解得3m =.故m 的值为3.【点评】本题考查二次函数的图象与性质,熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键.11.(2023•原平市模拟)(1)计算:3211()(5)|2|3--+---⨯-;(2)观察表格,完成相应任务:x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一:补全表格;任务二:观察表格不难发现,当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等,我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后,相应的延后值为1:换个角度来看,将代数式A ,B 变形,得到(A =③2)2-,22B x =-将A 与B 看成二次函数,则将A 的图象④(描述平移方式),可得到B 的图象.若代数式P 参照代数式A 取值延后,延后值为3,则代数式P =⑤.【分析】(1)先算乘方,负整数指数幂,绝对值,再算乘法,最后算加减法即可求解;(2)①把1x =分别代入代数式A ,B 即可求得;②根据代数式B 参照代数式A 取值延后,相应的延后值为1,即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位,据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后,延后值为3的P 的代数式.【解答】解:(1)原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=;(2)任务一:将1x =代入2212A x x =+-=;代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-,故答案为:①2,②1-;任务二:将代数式A ,B 变形,得到2(1)2A x =+-,22B x =-将A 与B 看成二次函数,则将A 的图象向右平移1个单位(描述平移方式),可得到B 的图象.若代数式P 参照代数式A 取值延后,延后值为3,则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--.故答案为:①2;②1-;③1x +;④向右平移1个单位;⑤2(2)2P x =--.【点评】本题考查二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的坐标特征,理解题意,能够准确地列出解析式,并进行求解即可.12.(2024•南山区校级模拟)数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数后,对函数2(||1)y x =--进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:【观察探究】:方程2(||1)1x --=-的解为:;【问题解决】:若方程2(||1)x a --=有四个实数根,分别为1x 、2x 、3x 、4x .①a 的取值范围是;②计算1234x x x x +++=;【拓展延伸】:①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象?画出平移后的图象并写出平移过程;②观察平移后的图象,当123y时,直接写出自变量x 的取值范围.【分析】(1)根据图象即可求得;(2)根据“上加下减”的平移规律,画出函数21(|21)3y x =---+的图象,根据图象即可得到结论.【解答】解:(1)观察探究:①由图象可知,当函数值为1-时,直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解.故答案为:2x =-或0x =或2x =.(2)问题解决:①若方程2(|1)x a --=有四个实数根,由图象可知a 的取值范围是10a -<<.故答案为:10a -<<.②由图象可知:四个根是两对互为相反数.所以12340x x x x +++=.故答案为:0.(3)拓展延伸:①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位,向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象,②当123y 时,自变量x 的取值范围是04x .故答案为:04x.【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,二次函数图象和性质,数形结合是解题的关键.13.(2023•花山区一模)已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2).(1)求a ,b 的值;(2)将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ,存在点(,1)c 在1C 上,求m 的取值范围;(3)抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2),直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B (点A 在点B 的左侧),与2C 相交于点C 、D (点C 在点D 的左侧),求AD BC -的值.【分析】(1)根据对称轴公式以及当1x =时2y =,用待定系数法求函数解析式;(2)根据(1)可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+,再由平移性质得出抛物线1C 解析式,然后把点(,1)c 代入抛物线1C ,再根据方程有解得出m 的取值范围;(3)先求出抛物线2C 解析式,再求出A ,B ,C ,D 坐标,然后求值即可.【解答】解:(1)由题意得,1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩,解得23a b =-⎧⎨=⎩;(2)由(1)知,抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+,将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ,∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-,存在点(,1)c 在1C 上,2(1)21c m ∴-+-=,即2(1)1c m -=-有实数根,10m ∴- ,解得1m,m ∴的取值范围为1m;(3) 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2),2(13)2k ∴-+=,解得2k =-,∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--,把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中,得2(1)2n x =-+,解得1x =1x =(1A ∴-,)n ,(1B +)n ,把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中,得2(3)2n x =--,解得3x =或3x =+(3C ∴)n ,(3D +,)n ,(3(12AD ∴=+--=+,(1(32BC =+--=-+,(2(24AD BC ∴-=+--+=.【点评】本题考查二次函数的几何变换,二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式,直线和抛物线交点,关键对平移性质的应用.14.(2023•环翠区一模)已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3).(1)求此抛物线的解析式;(2)当自变量x 满足13x -时,求函数值y 的取值范围;(3)将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后,当自变量x 满足15x时,y 的最小值为5,求m 的值.【分析】(1)利用待定系数法求解;(2)先求出1x =-及3x =时的函数值,结合函数的性质得到答案;(3)设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---,利用二次函数的性质,当25m +>,此时5x =时,5y =,即(52)215m ---=,设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-,利用二次函数的性质得到2m l -<,此时1x =时,5y =,即(12)215m ---=,然后分别解关于m 的方程即可.【解答】解:(1) 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3),∴103b c c ++=⎧⎨=⎩,解得43b c =-⎧⎨=⎩,∴此抛物线的解析式为243y x x =-+;(2)当1x =-时,1438y =++=,当3x =时,91230y =-+=,2243(2)1y x x x =-+=-- ,∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-,∴当13x -时,y 的取值范围是18y - ;(3)设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-,当自变量x 满足15x时,y 的最小值为5,25m ∴+>,即3m >,此时5x =时,5y =,即(52)m --215-=,解得13m =+,23m =-(舍去);设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-,当自变量x 满足15x时,y 的最小值为5,21m ∴-<,即1m >,此时1x =时,5y =,即2(12)15m ---=,解得11m =-+,21m =--(舍去),综上所述,m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式,也考查了二次函数的性质.15.(2023•南宁一模)如图1,抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3).(1)求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标;(2)当132x - 时,求1y 的最大值与最小值的和;(3)如图2,将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >,再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ,点N 为抛物线1y 与2y 的交点.设点N 到x 轴的距离为n ,求n 关于m 的函数关系式,并直接写出当n 随m 的增大而减小时,m 的取值范围.【分析】(1)把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值;根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标;(2)根据抛物线的性质知:当0x =时,1y 有最大值为4,当3x =-时,1y 有最小值为5-.然后求1y 的最大值与最小值的和;(3)根据平移的性质“左加右减,上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式;然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答:当06m < 时,0y ,2211(2)4344n m m m =--+=-++.当6m >时,0y <,2211(2)4344n y m m m =-=--=--.【解答】解:(1)抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3),∴当0x =时,2113y c =-+=,解得4c =.∴214y x =-+.顶点坐标为(0,4);(2)10-< ,∴抛物线开口向下.当0x =时,1y 有最大值为4.当3x =-时,21(3)45y =--+=-.当12x =时,21115()424y =-+=.∴当3x =-时,1y 有最小值为5-.∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-;(3)由题意知,新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +,∴22()42y x m m =--++.当12y y =时,22()424x m m x --++=-+,化简得:2220mx m m -+=.又0m > ,∴112x m =-.∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+.当21(2)404m --+=时,解得12m =-;26m =, 104-<,∴抛物线开口向下.当06m < 时,0y ,2211(2)4344n m m m =--+=-++.当6m >时,0y <,2211(2)4344n y m m m =-=--=--.∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ (或21|(2)4|)4n m =--+.当26m <<时,n 随m 的增大而减小.【点评】本题属于二次函数综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法.难度偏大.16.(2023•奉贤区一模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =,顶点为A ,与x 轴分别交于点B 和点C (点B 在点C 的左边),与y 轴交于点D ,其中点C 的坐标为(3,0).(1)求抛物线的表达式;(2)将抛物线向左或向右平移,将平移后抛物线的顶点记为E ,联结DE .①如果//DE AC ,求四边形ACDE 的面积;②如果点E 在直线DC 上,点Q 在平移后抛物线的对称轴上,当DQE CDQ ∠=∠时,求点Q的坐标.【分析】(1)利用待定系数法解答即可;(2)①依据题意画出图形,利用A ,C ,D 的坐标,等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ,F 坐标,再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可;②依据题意画出图形,利用A ,C ,D 的坐标,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理求得点E 坐标和线段DE ,再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ,则结论可求.【解答】解:(1) 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =,经过点(3,0)C ,∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩,解得:14a b =⎧⎨=-⎩,∴抛物线的表达式为243y x x =-+;(2)①2243(2)1y x x x =-+=-- ,(2,1)A ∴-.设抛物线的对称轴交x 轴于点G ,1AG ∴=.令0x =,则3y =,(0,3)D ∴,3OD ∴=.令0y =,则2430x x -+=,解得:1x =或3x =,(1,0)B ∴.如果//DE AC ,需将抛物线向左平移,设DE 交x 轴于点F ,平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ,如图, 点C 的坐标为(3,0),3OC ∴=.由题意:45ACB ∠=︒,//DE AC ,45DFC ACB ∴∠=∠=︒.3OF OD ∴==,(3,0)F ∴-,由题意:1EH =,1FH EH ∴==,(4,1)E ∴--.//AE x 轴,//DE AC ,∴四边形EFCA 为平行四边形,2(4)6AE =--= ,616EFCA S ∴=⨯=平行四边形.1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ,∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形;②如果点E 在直线DC 上,点Q 在平移后抛物线的对称轴上,DQE CDQ ∠=∠,如图,当点Q 在x 轴的下方时,设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ,由题意:1EF =.3OD OC == ,45ODC OCD ∴∠=∠=︒,45FCE OCD ∴∠=∠=︒,1CF EF ∴==,(4,1)E ∴-.CD ==,CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ,EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=,(4,1)Q ∴-;当点Q 在x 轴的上方时,此时为点Q ',DQ E CDQ ∠'=∠' ,EQ DE ∴'==,1Q F EQ EF ∴'='-=,(4Q ∴',1)-.综上,当DQE CDQ ∠=∠时,点Q 的坐标为(4,1)--或(4,1)-.【点评】本题是二次函数综合题,考查了二次函数图象和性质,待定系数法,三角形面积,直角三角形性质,勾股定理,相似三角形判定和性质等,解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.17.(2023•下城区校级模拟)如图已知二次函数2(y x bx c b =++,c 为常数)的图象经过点(3,1)A -,点(0,4)C -,顶点为点M ,过点A 作//AB x 轴,交y 轴于点D ,交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ,连接BC .(1)求该二次函数的表达式及点M 的坐标:(2)若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部(不包括ABC ∆的边界),求m 的取值范围;(3)若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点,P 为直线AC 上一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ,使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的横坐标:若不存在,请说明理由.【分析】(1)将点(3,1)A -,点(0,4)C -代入2y x bx c =++,即可求解;(2)求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -,再求出直线AC 的解析式4y x =-,当顶点在直线AC 上时,2m =,当M 点在AB 上时,4m =,则24m <<;(3)设(0,)E t ,(,4)P p p -,2(,24)Q q q q --,分三种情况讨论:当CE 为菱形对角线时,CP CQ =,22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩,Q 点横坐标为1;②当CP 为对角线时,CE CQ =,22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩,Q 点横坐标为2;③当CQ 为菱形对角线时,CE CP =,222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩,Q点横坐标为3【解答】解:(1)将点(3,1)A -,点(0,4)C -代入2y x bx c =++,∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩,解得24b c =-⎧⎨=-⎩,224y x x ∴=--,2224(1)5y x x x =--=-- ,∴顶点(1,5)M -;(2)由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+,∴抛物线的顶点为(1,5)m -,设直线AC 的解析式为y kx b =+,∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩,解得14k b =⎧⎨=-⎩,4y x ∴=-,当顶点在直线AC 上时,53m -=-,2m ∴=,//AB x 轴,(1,1)B ∴--,当M 点在AB 上时,51m -=-,4m ∴=,24m ∴<<;(3)存在一点Q ,使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形,理由如下:设(0,)E t ,(,4)P p p -,2(,24)Q q q q --,点E 在点C 下方,4t ∴<-,Q点在第四象限,01q ∴<<,①当CE 为菱形对角线时,CP CQ =,∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩,解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩(舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩,Q ∴点横坐标为1;②当CP 为对角线时,CE CQ =,∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩,解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩,Q ∴点横坐标为2,不符合题意;③当CQ 为菱形对角线时,CE CP =,∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩,解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩(舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩,Q ∴点横坐标为3-综上所述:Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,函数图象平移的性质,菱形的性质,分类讨论是解题的关键.18.(2023•即墨区一模)如图,题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字,导致题目缺少一个条件而无法解答,经查询结果发现,该二次函数的解析式为243y x x =-+.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ,(1,0)B ,.求该二次函数的解析式.(1)请根据已有信息添加一个适当的条件:(2,1)C -(答案不唯一);(2)当函数值6y <时,自变量x 的取值范围:;(3)如图1,将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度,与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象,记为L .若点(3,)P m 在L 上,求m 的值;(4)如图2,在(3)的条件下,点A 的坐标为(2,0),在L 上是否存在点Q ,使得9OAQ S ∆=.若存在,求出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可;(2)求出6y =时,对应的x 值,再结合图象写出x 的取值范围即可;(3)求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--,根据题意可知3x =时,P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上,再求m 的值即可;(4)分两种情况讨论:当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时,设2(,1233)Q t t t -+,由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=,求出Q 点坐标即可;当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时,设2(,41)Q m m m -+,由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=,求出Q 点坐标即可.【解答】解:(1)(2,1)C -,故答案为:(2,1)C -(答案不唯一);(2)243y x x =-+ ,∴当2436x x -+=时,解得2x =2x =-∴当6y <时,22x <<+,故答案为:22x -<<+;(3)2243(2)1y x x x =-+=-- ,∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--,当3x =时,点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上,8m ∴=;(4)存在点Q ,使得9OAQ S ∆=,理由如下:当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时,设2(,1235)Q t t t -+,212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=,解得6t =+6t =,4t ∴<,6t ∴=-(6Q ∴-,9);当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时,设2(,43)Q m m m -+,212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=,解得2m =+或2m =-4m ,2m ∴=+,2Q ∴,9);综上所述:Q 点坐标为(6,9)或2+,9).【点评】本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,函数图象平移的性质,数形结合解题是关键.19.(2023•武侯区模拟)定义:将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ,再沿x 轴翻折,得到新函数l '的图象,则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”.已知2:23l y x x =--.(1)当2t =-时,①求衍生抛物线l '的函数解析式;②如图1,函数l 与l '的图象交于(M ,)n ,(,N m -两点,连接MN .点P 为抛物线l '上一点,且位于线段MN 上方,过点P 作//PQ y 轴,交MN 于点Q ,交抛物线l 于点G ,求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系.(2)当2t =时,如图2,函数l 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,连接AC .函数l '与x 轴交于D ,E 两点,与y 轴交于点F .点K 在抛物线l '上,且EFK OCA ∠=∠.请直接写出点K 的横坐标.【分析】(1)①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可;②利用待定系数法求得直线MN 的解析式,设2(,23)P m m m --+,则得到(,2)Q m m -,2(,23)G m m m --,利用m 的代数式分别表示出PQ ,QG 的长,再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论;(2)利用函数解析式求得点A ,B ,C ,D ,E ,F 的坐标,进而得出线段OA ,OC ,OD ,OE ,AC ,OF 的长,设直线FK 的解析式为5y kx =-,设直线FK 交x 轴于点M ,过点M 作MN EF ⊥于点N ,用k 的代数式表示出线段OM .FM ,ME 的长,利用EFK OCA ∠=∠,得到sin sin EFK OCA ∠=∠,列出关于k 的方程,解方程求得k 值,将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论.。
中考数学题型专项训练:二次函数与线段问题(含答案)已知抛物线经过三点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)。
Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标。
解:设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c,代入三点坐标得到三元一次方程组,解得a=1,b=-2,c=-3,即抛物线解析式为y=x^2-2x-3.将其化简得到顶点D的坐标为(1,-4)。
Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=EF,请求出点P的坐标。
解:根据题意,可以列出直线CD的解析式为y=-x-3,交点E的坐标为(-3,0)。
过对称轴右边的点P作抛物线的切线,切点为T,则PT垂直于对称轴,即PT与x轴平行,所以P的坐标为(t,t^2-2t-3),其中t>1.设M的坐标为(t,-t-3),F的坐标为(t,0),则根据题意可以列出EF=PM,解得t=2,因此点P的坐标为(2,-3)。
Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?解:将抛物线沿对称轴平移m个单位长度后,其解析式为y=x^2-2x-3+m。
要使其与直线CD有交点,需要方程x^2-2x-3+m=-x-3有两个相等的实数解,即m=1/4.此时抛物线经过点M(2,-5)。
抛物线向上最多平移1/4个单位长度,向下最多平移12个单位长度。
Ⅱ)由已知直线方程可得斜率为k,截距为b,设直线与抛物线的交点为点P(x,y),则有:y=-x^2-x+1y=kx+b解得x=-(k+1)/(2k),y=kx+b代入抛物线方程得:-(k+1)^2/(4k^2)-(k+1)/(2k)+1=k(-(k+1)/(2k))+b整理得:k^2+2k+1=0,即(k+1)^2=0因为k≠0,所以k=-1,代入直线方程得b=1综上,k=-1,b=1Ⅲ)如解图,由于直线与抛物线没有其他交点,所以直线在抛物线的上方或下方,不妨设直线在抛物线上方,即k<0.设DH的长度为x,PH的长度为y,则有PH+DH=x-y,要求PH+DH的最小值,就是要求x-y的最小值,即x=y。
二次函数与角有关的问题整理二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题是各地中考和模拟考试的热点问题。
这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法,对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此,我们将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。
首先,我们将这些题大致分成两大类:相等角问题和半角或倍角问题。
相等角问题又分为三种:第一种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
例如,在例1中,抛物线y=-x2+3x+4与坐标轴交于点A、B、C,CP⊥y轴交抛物线与点P,点M为A、C间抛物线上一点(包括端点),求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
我们可以发现符合条件的点M有两个,一个在OP上方,一个在OP下方。
当M在OP上方时,由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。
当M在OP下方时,这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D,坐标为D(n,0),由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长,根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标,再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立,进而求出M点坐标。
第二种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数(通常是正切值)相等问题。
这类问题有两种情况:一种是所求角的一边与坐标轴平行(重合);例如,在例2中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB=OC=6.1)求抛物线的解析式及点D的坐标;2)连接BD,F为抛物线上一动点,当∠FAB=∠EDB时,求点F的坐标。
通过已知条件易得抛物线表达式为y=x2-2x-6及各定点坐标。
第二问中的F有两种情况:x轴上方一个,x轴下方一个。
在Rt⊿BDE中,可知tan∠EDB=2,则tan∠FAB=2.过F作x轴垂线,构造∠FAB所在直角三角形,接着通过设F点坐标,表示FH和AH长,根据XXX∠FAB=AH/FH,列方程求解即可。
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.【例1】(2021•沈阳)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,连接PC.(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点.①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时,求点Q的坐标;②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于AQ,直线y=x﹣交直线l于点F,点G在直线y=x﹣上,且AG=AQ时,请直接写出GF的长.【例2】(2021•滨州)如下列图形所示,在平面直角坐标系中,一个三角板的直角顶点与原点O重合,在其绕原点O旋转的过程中,两直角边所在直线分别与抛物线y=x2相交于点A、B(点A在点B的左侧).(1)如图1,若点A、B的横坐标分别为﹣3、,求线段AB中点P的坐标;(2)如图2,若点B的横坐标为4,求线段AB中点P的坐标;(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数解析式;(4)若线段AB中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.【例3】(2021•盘锦)如图,抛物线y=﹣x2+2x+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y 轴交于点C,直线y=x﹣2与y轴交于点D,与x轴交于点E,与直线BC交于点F.(1)点F的坐标为;(2)如图1,点P为第一象限抛物线上的一点,PF的延长线交OB于点Q,PM⊥BC于点M,QN⊥BC于点N,若=,求点P的坐标;(3)如图2,点S为第一象限抛物线上的一点,且点S在射线DE上方,动点G从点E出发,沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动,当SE=SG,且tan∠SEG=时,求点G的运动时间t.【例4】(2021•巴中)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C (0,﹣3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交BC于点M,当最大时,求点P的坐标及的最大值;(3)在(2)的条件下,过点P作x轴的垂线l,在l上是否存在点D,使△BCD是直角三角形,若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【例5】(2020•孝感)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+4ax+4a﹣6(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.(1)当a=6时,直接写出点A,B,C,D的坐标:A,B,C,D;(2)如图1,直线DC交x轴于点E,若tan∠AED=43,求a的值和CE的长;(3)如图2,在(2)的条件下,若点N为OC的中点,动点P在第三象限的抛物线上,过点P作x 轴的垂线,垂足为Q,交AN于点F;过点F作FH⊥DE,垂足为H.设点P的横坐标为t,记f=FP+FH.①用含t的代数式表示f;②设﹣5<t≤m(m<0),求f的最大值.【例6】(2020•恩施州)如图1,抛物线y=−14x2+bx+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x=2与x轴相交于点A,D为线段BC的中点.(1)求抛物线的解析式;(2)P为线段BC上任意一点,M为x轴上一动点,连接MP,以点M为中心,将△MPC逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时,求点M的坐标.(3)△MPC在(2)的旋转变换下,若PC=2(如图2).①求证:EA=ED.②当点E在(1)所求的抛物线上时,求线段CM的长.【题组一】1.(2021•青山区模拟)已知抛物线y=ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A,B两点,与y轴交于C点,且OC =OA.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点E(m,n)为抛物线上的一点,且0<m<6,连接AE,交对称轴于点P.点F为线段BC上一动点,连接EF,当PA=2PE时,求EF+BF的最小值.(3)如图2,过点M作MQ⊥CM,交x轴于点Q,将线段CQ向上平移t个单位长度,使得线段CQ 与抛物线有两个交点,求t的取值范围.2.(2021•赣州模拟)已知抛物线C1:y=x2﹣4x+3m和C2:y=mx2﹣4mx+3m,其中m≠0且m≠1.(1)抛物线C1的对称轴是,抛物线C2的对称轴是;(2)这两条抛物线相交于点E,F(点E在点F的左侧),求E、F两点的坐标(用含m的代数式表示)并直接写出直线EF与x轴的位置关系;(3)设抛物线C1的顶点为M,C2的顶点为N;①当m为何值时,点M与点N关于直线EF对称?②是否存在实数m,使得MN=2EF?若存在,直接写出实数m的值,若不存在,请说明理由.3.(2021•桓台县二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,点A,B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0),点M为顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点M作y轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的平行线,交CM于点D,点H为OC上的任一点,将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP.求∠PCD的度数;(3)在(2)的条件下,将点H改为y轴上的一动点,连接OP,BP,求OP+BP的最小值.4.(2021•成都模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点,作DE⊥x轴于点E,交BC于点F,过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G,H,设点D的横坐标为m.①求DF+HF的最大值;②连接EG,若∠GEH=45°,求m的值.【题组二】5.(2021•攸县模拟)材料:对抛物线,定义:点叫做该抛物线的焦点,直线叫做该抛物线的准线,且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决如下问题:如图所示,已知抛物线C:y=ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点,且过点.(1)求抛物线C的解析式和点A的坐标;(2)若将抛物线C的图象先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象.①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程.②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点,MN⊥x轴于点N,求MN+MA的最小值,并求出取得这个最小值时点M的坐标.6.(2021•南沙区一模)已知,抛物线y=mx2+x﹣4m与x轴交于点A(﹣4,0)和点B,与y轴交于点C.点D(n,0)为x轴上一动点,且有﹣4<n<0,过点D作直线l⊥x轴,且与直线AC交于点M,与抛物线交于点N,过点N作NP⊥AC于点P.点E在第三象限内,且有OE=OD.(1)求m的值和直线AC的解析式.(2)若点D在运动过程中,AD+CD取得最小值时,求此时n的值.(3)若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5:6时,求AE+CE的最小值.7.(2021•宝安区模拟)(1)已知二次函数经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3),请求该抛物线解析式;(2)点M为抛物线上第二象限内一动点,BM交y轴于点N,当BM将四边形ABCM的面积分为1:2两部分时,求点M的坐标;(3)点P为对称轴上D点下方一动点,点Q为直线y=x第一象限上的动点,且DP=OQ,求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标.8.(2021•茶陵县模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,点P是直线BC上方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,连接BC与OP,交于点D,求当的值最大时点P的坐标;(3)如图②,过点P作PD∥AC交x轴于点D,交BC于点E,求BE的最大值及点P的坐标.【题组三】9.(2021•东莞市校级一模)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于M点.(1)求抛物线的函数解析式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求PA+PC长;(3)已知点N(0,﹣1),在y轴上是否存在点Q,使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.10.(2021•怀化模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C,其中点A的坐标是(﹣1,0).(1)直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一个动点.①当∠PCB=∠OCB时,求点P的坐标;②当点P在B、C两点之间运动时,连接AP,交BC于点Q,设t=,求当t值最大时点P的坐标.11.(2021•罗湖区三模)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)直接写出抛物线的解析式:;(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点,作DE⊥x轴于点E,交BC于点F,过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H,设点D的横坐标为m.①求DF+HF的最大值;②连接EG,若∠GEH=45°时,求m的值.12.(2021•南海区二模)如图1,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A、B分别位于原点左、右两侧,且AO=2BO=4,过A点的直线y=kx+c交y轴于点C.(1)求k、b、c的值;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△ACP为直角三角形?若存在,直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点M为线段AC上一点,连接OM,求AM+OM的最小值.【题组四】13.(2020•西宁二模)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,52).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线的顶点,连接AM,CM,求△AMC的面积;(3)若点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x 轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.14.(2020•涡阳县一模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(﹣1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).(1)求抛物线的解析式.(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点,求△ABP的面积最大时的P点坐标.(3)若点P是抛物线上的一个动点(不与点A点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB 于点E.当PE=2ED时,求P点坐标;(4)设抛物线与y轴交于点F,在抛物线的第一象限内,是否存在一点M,使得AM被FC平分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,说明理由.15.(2020•哈尔滨模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点,连接AC,tan C=355OA=3OB.(1)求抛物线的解析式;(2)点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t,连接BQ交y轴于点E,连接CQ、CB,△BCQ的面积为S,求S与t的函数解析式;(3)已知点D是抛物线的顶点,连接CQ,DH所在直线是抛物线的对称轴,连接QH,若∠BQC=45°,HR∥x轴交抛物线于点R,HQ=HR,求点R的坐标.16.(2020•皇姑区校级一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A,B,其中点B的坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,2).(1)求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式;(2)点P是直线BC上方的抛物线上一个动点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)连接点O与(2)中求出的点P,交直线BC于点D,点N是直线BC上的一个动点,连接ON,作DF⊥ON于点F,点F在线段ON上,当OD=5DF时,请直接写出点N的坐标.【题组五】17.(2020•岳阳二模)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y 轴相交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)若点E在x轴上,且∠ECB=∠CBD,求点E的坐标.(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M.①求线段PM长度的最大值.②在①的条件下,若F为y轴上一动点,求PH+HF的最小值.18.(2020•白云区模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A,B两点,OA=1,与y轴交于点C,连接AC,tan∠OAC=3,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求点A,C的坐标;(2)若点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求直线PA在与y轴交点的坐标;(3)点Q在抛物线上,且在x轴下方,直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.求证:DM+DN 为定值,并求出这个定值.19.(2020•福安市校级模拟)已知,抛物线y=ax2,其中a>0.(1)如图1,若点A、B是此抛物线上两点,且分属于y轴两侧,连接AB与y轴相交于点C,且∠AOB =90°.求证:CO=1;(2)如图2,若点A是此抛物线上一点,过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点,且与y轴交于点B,与x轴相交于点C.求证:AC=BC.20.(2020•德城区一模)已知,在以O为原点的直角坐标系中,抛物线的顶点为A(﹣1,﹣4),且经过点B(﹣2,﹣3),与x轴分别交于C、D两点.(1)求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式;(2)如图1,点M是抛物线上的一个动点,且在直线OB的下方,过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N,求MN的最大值;(3)如图2,过点A的直线交x轴于点E,且AE∥y轴,点P是抛物线上A、D之间的一个动点,直线PC、PD与AE分别交于F、G两点.当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.【题组六】21.(2020•青山区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=54x+m(m为常数)的图象与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点C,以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)经过A、C两点,并与x轴的正半轴交于点B(1)求m的值及抛物线的函数表达式;(2)是否存在抛物线上一动点Q,使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若存在,请说明理由;(3)若P是抛物线对称轴上一动点,且使△ACP周长最小,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试问1δ212是否为定值,如果是,请求出结果,如果不是请说明理由.(参考公式:在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2)22.(2020•新都区模拟)已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax+4(a<0)交x轴于点A、B,与y轴交于点C,AB=6.(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点R为第一象限的抛物线上一点,分别连接RB、RC,设△RBC的面积为s,点R的横坐标为t,求s与t的函数关系式;(3)在(2)的条件下,如图3,点D在x轴的负半轴上,点F在y轴的正半轴上,点E为OB上一点,点P为第一象限内一点,连接PD、EF,PD交OC于点G,DG=EF,PD⊥EF,连接PE,∠PEF=2∠PDE,连接PB、PC,过点R作RT⊥OB于点T,交PC于点S,若点P在BT的垂直平分线上,OB ﹣TS=23,求点R的坐标.23.(2020•自贡)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y 轴于点N,点M为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接AM,点E是线段AM上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点F,过点E作EH⊥x轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点,当EF取最大值时:①求PD+PC的最小值;②如图2,Q点为y轴上一动点,请直接写出DQ+14OQ的最小值.24.(2020•凉山州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(32,32)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标.。
类型一二次函数与线段问题【典例1】已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6,0)和点B(-1,0),交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交直线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标;(3)如图(2),点M为抛物线对称轴l上一点,点N为抛物线上一点,当直线AC垂直平分△AMN的边MN时,求点N的坐标.【答案】(1)y=-x2+5x+6,顶点坐标为(52,494);(2)P(3,12);(3)535+7 2)或535-72)【解析】【分析】(1)将点A,B坐标代入抛物线解析式中,解方程组即可得出结论;(2)先求出OA=OC=6,进而得出∠OAC=45°,进而判断出PD=PE,即可得出当PE的长度最大时,PE+PD取最大值,设出点E坐标,表示出点P坐标,建立PE=-t2+6t=-(t-3)2+9,即可得出结论;(3)先判断出NF∥x轴,进而求出点N的纵坐标,即可建立方程求解得出结论.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(6,0),B(-1,0),∴06 03666a ba b=-+⎧⎨=++⎩,,解得a=-1,b=5,∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6.∵y=-x2+5x+6=-(x52-)2+494,∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,顶点坐标为(52,494).(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,∴C(0,6),∴OC=6.∵A(6,0),∴OA=6,∴OA=OC,∴∠OAC=45°.∵PD平行于x轴,PE平行于y轴,∴∠DPE=90°,∠PDE=∠DAO=45°,∴∠PED=45°,∴∠PDE=∠PED,∴PD=PE,∴PD+PE=2PE,∴当PE的长度最大时,PE+PD取最大值.设直线AC的函数关系式为y=kx+d,把A(6,0),C(0,6)代入得066k dd=+⎧⎨=⎩,,解得k=-1,d=6,∴直线AC的解析式为y=-x+6.设E(t,-t+6)(0<t<6),则P(t,-t2+5t+6),∴PE=-t2+5t+6-(-t+6)=-t2+6t=-(t-3)2+9.∵-1<0,∴当t=3时,PE最大,此时-t2+5t+6=12,∴P(3,12).(3)如答图,设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F,连接NF.∵点F在线段MN的垂直平分线AC上,∴FM=FN,∠NFC=∠MFC.∵l∥y轴,∴∠MFC=∠OCA=45°,∴∠MFN=∠NFC+∠MFC=90°,∴NF∥x轴.由(2)知直线AC的解析式为y=-x+6,当x=52时,y=72,∴F(52,72),∴点N的纵坐标为72.∵点N在抛物线上,∴-x2+5x+6=72,解得,x1=535+或x2=535-,∴点N的坐标为(535+,72)或(535-,72).【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,解一元二次方程,(2)中判断出PD=PE,(3)中NF∥x轴是解本题的关键.【典例2】如图1-1,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P 是抛物线对称轴上的一个动点,如果△PAC 的周长最小,求点P 的坐标.图1-1【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A 与点B 对称,连结BC ,那么在△PBC 中,PB +PC 总是大于BC 的.如图1-3,当点P 落在BC 上时,PB +PC 最小,因此PA +PC 最小,△PAC 的周长也最小.由y =x 2-2x -3,可知OB =OC =3,OD =1.所以DB =DP =2,因此P (1,-2).图1-2 图1-3【典例3】如图,抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ,B 是OA 的中点.一个动点G 从点B 出发,先经过x 轴上的点M ,再经过抛物线对称轴上的点N ,然后返回到点A .如果动点G 走过的路程最短,请找出点M 、N 的位置,并求最短路程.图2-1【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′,作点B 关于x 轴对称的点B ′,连结A ′B ′与x 轴交于点M ,与抛物线的对称轴交于点N .在Rt △AA ′B ′中,AA ′=8,AB ′=6,所以A ′B ′=10,即点G 走过的最短路程为10.根据相似比可以计算得到OM =83,MH =43,NH =1.所以M (83, 0),N (4, 1).图2-2【典例4】如图3-1,抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ,顶点为B .点P 是x 轴上的一个动点,求线段PA 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P 的坐标.图3-1【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求|PA -PB |的最小值与最大值.由抛物线的解析式可以得到A (0, 2),B (3, 6).设P (x , 0).绝对值|PA -PB |的最小值当然是0了,此时PA =PB ,点P 在AB 的垂直平分线上(如图3-2).解方程x 2+22=(x -3)2+62,得416x =.此时P 41(,0)6. 在△PAB 中,根据两边之差小于第三边,那么|PA -PB |总是小于AB 了.如图3-3,当点P 在BA 的延长线上时,|PA -PB |取得最大值,最大值AB =5.此时P 3(,0)2-.图3-2 图3-3【典例5】如图,抛物线的顶点为A (h ,﹣1),与y 轴交于点B (0,﹣),点F (2,1)为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)已知直线l是过点C(0,﹣3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证:PF=d;(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标.【分析】(1)由题意抛物线的顶点A(2,﹣1),可以假设抛物线的解析式为y=a(x ﹣2)2﹣1,把点B坐标代入求出a即可.(2)由题意P(m,m2﹣m﹣),求出d2,PF2(用m表示)即可解决问题.(3)如图,过点Q作QH⊥直线l于H,过点D作DN⊥直线l于N.因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,DF是定值==2,推出DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,再根据垂线段最短解决问题即可.【解答】(1)解:由题意抛物线的顶点A(2,﹣1),可以假设抛物线的解析式为y =a(x﹣2)2﹣1,∵抛物线经过B(0,﹣),∴﹣=4a﹣1,∴a=,∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)2﹣1.(2)证明:∵P(m,n),∴n=(m﹣2)2﹣1=m2﹣m﹣,∴P(m,m2﹣m﹣),∴d=m2﹣m﹣﹣(﹣3)=m2﹣m+,∵F(2,1),∴PF==,∵d2=m4﹣m3+m2﹣m+,PF2=m4﹣m3+m2﹣m+,∴d2=PF2,∴PF=d.(3)如图,过点Q作QH⊥直线l于H,过点D作DN⊥直线l于N.∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,DF是定值==2,∴DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,∵QF=QH,∴DQ+DF=DQ+QH,根据垂线段最短可知,当D,Q,H共线时,DQ+QH的值最小,此时点H与N重合,点Q在线段DN上,∴DQ+QH的最小值为3,∴△DFQ的周长的最小值为2+3,此时Q(4,﹣)【点评】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法,两点间距离公式,垂线段最短等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型。
【中考压轴题专题突破】二次函数中的角的存在性问题1.直线y=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是直线AB上方抛物线上一点;①当△PBA的面积最大时,求点P的坐标;②在①的条件下,点P关于抛物线对称轴的对称点为Q,在直线AB上是否存在点M,使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+5与x轴交于点B,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过点B和点C,与x轴交于另一点A,连接AC.(1)求点A的坐标;(2)若点Q在直线BC上方的抛物线上,连接QC,QB,当△ABC与△QBC的面积比等于2:3时,直接写出点Q的坐标:(3)在(2)的条件下,点H在x轴的负半轴,连接AQ,QH,当∠AQH=∠ACB时,直接写出点H的坐标.3.如图1,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图2,连接AC、BC,点D是线段BC上方抛物线上的一个动点,当S△BCD=S时,求点D的坐标;△ABC(3)在抛物线上是否存在点P,使得∠CPO=∠BPO?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴分别交于点C,其中点A(﹣1,0),点C(0,2),且∠ACB=90°(1)求抛物线的解析式.(2)点P是线段ABC一动点,过P作PD∥AC交BC于D,当△PCD面积最大时,求点P的坐标.(3)点M是位于线段BC上方的抛物线上一点,当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时,求点M的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,点P为第四象限内抛物线上的一个动点.(1)求此抛物线对应的函数表达式;(2)如图1所示,过点P作PM∥y轴,分别交直线AB、x轴于点C、D,若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,求点P的坐标;(3)如图2所示,过点P作PQ⊥AB于点Q,连接PB,当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,请直接写出点P的横坐标.6.在平面直角坐标系中,已知矩形OABC中的点A(0,4),抛物线y1=ax2+bx+c经过原点O和点C,并且有最低点G(2,﹣1),点E,F分别在线段OC,BC上,且S△AEF=S,CF=1,直线BE的解析式为y2=kx+b,其图象与抛物线在x轴下方的图象交于矩形OABC点D.(1)求抛物线的解析式;(2)当y1<y2<0时,求x的取值范围;(3)在线段BD上是否存在点M,使得∠DMC=∠EAF,若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.二次函数中的角的存在性问题参考答案与试题解析1.【分析】(1)直线y=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,则点A、B的坐标分别为:(4,0)、(0,2),将点A、B的坐标代入抛物线表达式,即可求解;(2)①△PBA的面积S=PN×OA=×4×(﹣m2+m+2+m﹣2)=﹣m2+4m,即可求解;②(Ⅰ)若:∠QM1B=2∠QAM1,则QM1=AM1,则(a﹣)2+(a﹣3)2=(a﹣4)2+(﹣a+2)2,即可求解;(Ⅱ)若∠QM2B=2∠QAM1,则∠QM2B=∠QM1B,QM1=QM2,M2、M1关于B对称,即可求解.【解答】(1)直线y=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,则点A、B的坐标分别为:(4,0)、(0,2),将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2;(2)①过点P作y轴的平行线交BC于点N,设P(m,﹣m2+m+2),点N(m,﹣m+2),则:△PBA的面积S=PN×OA=×4×(﹣m2+m+2+m﹣2)=﹣m2+4m,当m=2时,S最大,此时,点P(2,5);②点P(2,5),则点Q(,5),设点M(a,﹣a+2);(Ⅰ)若:∠QM1B=2∠QAM1,则QM1=AM1,则(a﹣)2+(a﹣3)2=(a﹣4)2+(﹣a+2)2,解得:a=,故点M1(,);(Ⅱ)若∠QM2B=2∠QAM1,则∠QM2B=∠QM1B,QM1=QM2,作QH⊥AB于H,BQ的延长线交x轴于点N,则tan∠BAO==,则tan∠QNA=2,故直线QH表达式中的k为2,设直线QH的表达式为:y=2x+b,将点Q的坐标代入上式并解得:b=2,故直线QH的表达式为:y=2x+2,故H(0,2)与B重合,M2、M1关于B对称,∴M2(﹣,);综上,点M的坐标为:(,)或(﹣,).【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.2.【分析】(1)直线y=﹣x+5与x轴交于点B,与y轴交于点C,则点B、C的坐标分别为:(5,0)、(0,5),即可求解;(2)过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M,则点M(0,1),则CM=5﹣1=4,在点C上方取CN=CM=6,过点N作直线m交抛物线于点Q(Q′),则点Q为所求,即可求解;(3)分点Q(6,5)、点Q(﹣1,12)两种情况,分别求解即可.【解答】(1)直线y=﹣x+5与x轴交于点B,与y轴交于点C,则点B、C的坐标分别为:(5,0)、(0,5),则c=5,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:b=﹣6,故抛物线的表达式为:y=x2﹣6x+5;(2)过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M,则点M(0,1),则CM=5﹣1=4,在点C上方取CN=CM=6,过点N作直线m交抛物线于点Q(Q′),则点Q为所求,则点N(0,11),则直线m的表达式为:y=﹣x+11…②,联立①②并解得:x=﹣1或6,故点Q(﹣1,12)或(6,5);(3)过点A作AK⊥BC于点K,AB=4,则AK=BK=2,AC=,则sin∠ABC===sinα,则tan;①当点Q(6,5)时,过点H作HR⊥AQ交QA的延长线于点R,由点A、Q的坐标知,tan∠QAB=1=tanβ,故β=45°,AQ=5,则HR=AR=x,tan∠HQR=tanα===,解得:x=10,AH=x=20,故点H(﹣19,0);②当点Q(﹣1,12)时,同理可得:点H(﹣,0);综上,点H的坐标为:(﹣19,0)或(﹣,0).【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.3.【分析】(1)将点A(﹣1,0)代入得:﹣1﹣b+3=0,解得:b=2,即可求解;(2)DH=﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)=﹣a2+3a,,整理得a2﹣3a+2=0,即可求解;(3)①如图2,作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2,此时∠CPO=∠BPO,△BOC 是等腰直角三角形,OP垂直平分BC,即可求解;②如图3,作△BOC的外接圆,与抛物线交于点P3、P4,过点P3作x轴平行线交y轴于点N,过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M,即可求解.【解答】(1)将点A(﹣1,0)代入得:﹣1﹣b+3=0,解得:b=2,∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)当﹣x2+2x+3=0时解得:x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0)、B(3,0),∴AB=4,∵C(0,3),∴OC=3∴∵,∴∵B(3,0)、C(0,3),∴y BC=﹣x+3如图1,设D(a,﹣a2+2a+3),过点D作x轴垂线,交BC于点H,则H(a,﹣a+3)∴DH=﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)=﹣a2+3a∴,整理得a2﹣3a+2=0解得:a1=1,a2=2,当a=1时,y=4;当a=2时,y=3∴D(1,4)或D(2,3);(3)存在①如图2,作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2,此时∠CPO=∠BPO,∵△BOC是等腰直角三角形,OP垂直平分BC∴y OP=x,由得x2﹣x﹣3=0,解得:,∴,;②如图3,作△BOC的外接圆,与抛物线交于点P3、P4∵BO=CO,∴∠BP3O=∠CP3O∵BC为直径,∴∠BP3C=90°过点P3作x轴平行线交y轴于点N,过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M ∵∠CNP3=∠P3MB=∠CP3B=90°∴∠NP3C+∠MP3B=90°,∠MP3B+∠MBP3=90°∴∠NP3C=∠MBP3,∴tan∠NP3C=tan∠MBP3,∴设,则∴,整理得:m2﹣m﹣1=0解得:当时,点P在第二象限,此时∠CPO>∠BPO,故舍去当时,,∴P3(,);综上所述:;;.【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、圆的基本性质、三角形相似、面积的计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.4.【分析】(1)根据射影定理求出点B(4,0),设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),将点(0,2)代入求出a=﹣,然后化为一般式即可;(2)过点P作y轴的平行线交BC于点E,设P(m,0),用待定系数法分别求出直线BC,直线AC,直线PD的解析式,可表示出点E,点D的坐标,然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;(3)分两种情况求解:当∠BCM=∠ABC时和当∠CBM=∠ABC时,由相似三角形的性质可求出点M的坐标.【解答】(1)∵A(﹣1,0),C(0,2),∴OA=1,OC=2,∵∠ACB=90°,∴由射影定理可得:OC2=OA•OB,∴OB=4,∴点B(4,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣4),将点(0,2)代入上式得:a×1×(﹣4)=2解得:a=﹣,∴抛物线的解析式为y=;(2)如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点E,设P(m,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(4,0),C(2,0)代入得,,∴,∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,∴,同样的方法可求得直线AC的解析式为y=2x+2,可设直线PD的解析式为y=2x+b,把P(m,0)代入得b=﹣2m,联立,解得,.∴.∴==﹣.故当m==时,S最大,此时P(,0).(3)由题意知,∠BMC≠∠ABC,当∠BCM=∠ABC时,CM∥AB,如图2,∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称,∴M(3,2);当∠CBM=∠ABC时,如图3,过M作MF⊥BC于F,过F作y轴的平行线,交x轴于G,交过M平行于x轴的直线于K,∵∠CBM=∠ABC,∠BFM=∠BGF,∴△MFK∽△FGB,同理可证:△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO,∴,.设G(n,0),则F(n,﹣+2),∴,KF=﹣,∴M(),代入抛物线解析式可解得,n=,n=4(舍去).∴,).综合以上可得M点的坐标为(3,2)或().【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法.5.【分析】(1)本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母,一般需要两个点的坐标建立方程组,现在可求A、B点坐标,代入列方程组可解答;(2)根据∠ADC=90°,∠ACD=∠BCP,可知相似存在两种情况:①当∠CBP=90°时,如图1,过P作PN⊥y轴于N,证明△AOB∽△BNP,列比例式可得结论;②当∠CPB=90°时,如图2,则B和P是对称点,可得P的纵坐标为﹣2,代入抛物线的解析式可得结论;(3)分两种情况:①当∠PBQ=2∠OAB时,如图3,作辅助线,构建相似三角形,证明△BOE∽△HPB,得,设P(x,x2﹣x﹣2),则H(x,x﹣2),列方程可得结论;②当∠BPQ=2∠OAB时,如图4,同理作辅助线,设点P(t,t2﹣t﹣2),则H(t,t﹣2),根据面积法表示PQ的长,证明△PBQ∽△EOF,可得BQ的长,最后根据勾股定理可得结论.【解答】(1)令x=0,得y=x﹣2=﹣2,则B(0,﹣2),令y=0,得0=x﹣2,解得x=4,则A(4,0),把A(4,0),B(0,﹣2)代入y=x2+bx+c(a≠0)中,得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2;(2)∵PM∥y轴,∴∠ADC=90°,∵∠ACD=∠BCP,∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,存在两种情况:①当∠CBP=90°时,如图1,过P作PN⊥y轴于N,设P(x,x2﹣x﹣2),则C(x,x﹣2),∵∠ABO+∠PBN=∠ABO+∠OAB=90°,∴∠PBN=∠OAB,∵∠AOB=∠BNP=90°,∴△AOB∽△BNP,∴,即=,解得:x1=0(舍),x2=,∴P(,﹣5);②当∠CPB=90°时,如图2,则B和P是对称点,当y=﹣2时,x2﹣x﹣2=﹣2,x1=0(舍),x2=,∴P(,﹣2);综上,点P的坐标是(,﹣5)或(,﹣2);(3)∵OA=4,OB=2,∠AOB=90°,∴∠BOA≠45°,∴∠BQP≠2∠BOA,∴分两种情况:①当∠PBQ=2∠OAB时,如图3,取AB的中点E,连接OE,过P作PG⊥x轴于G,交直线AB于H,∴OE=AE,∴∠OAB=∠AOE,∴∠OEB=2∠OAB=∠PBQ,∵OB∥PG,∴∠OBE=∠PHB,∴△BOE∽△HPB,∴,由勾股定理得:AB==2,∴BE=,∵GH∥OB,∴,即,∴BH=x,设P(x,x2﹣x﹣2),则H(x,x﹣2),∴PH=x﹣2﹣(x2﹣x﹣2)=﹣x2+4x,∴,解得:x1=0,x2=3,∴点P的横坐标是3;②当∠BPQ=2∠OAB时,如图4,取AB的中点E,连接OE,过P作PG⊥x轴于G,交直线AB于H,过O作OF⊥AB于F,连接AP,则∠BPQ=∠OEF,设点P(t,t2﹣t﹣2),则H(t,t﹣2),∴PH=t﹣2﹣(t2﹣t﹣2)=﹣t2+4t,∵OB=4,OC=2,∴BC=2,∴OE=BE=CE=,OF===,∴EF===,S△ABP==,∴2PQ=4(﹣t2+4t),PQ=,∵∠OFE=∠PQB=90°,∴△PBQ∽△EOF,∴,即,∴BQ=,∵BQ2+PQ2=PB2,∴=,44t2﹣388t+803=0,(2t﹣11)(22t﹣73)=0,解得:t1=5.5(舍),t2=;综上,存在点P,使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,其P点的横坐标为3或.【点评】此题是二次函数的综合题,是中考的压轴题,难度较大,计算量也大,主要考查了待定系数法求解析式,还考查了三角形的面积,相似三角形的性质与判定,并学会构造相似三角形解决问题.6.【分析】(1)可设顶点式解析式,将原点坐标代入即可求出抛物线的解析式;(2)如图1,过点F作FH∥OC,与AE交于点H,通过面积法求出点H的坐标,通过求出直线AH的解析式推出点E坐标,再求出直线BE的解析式,最后求出直线BE与抛物线的交点,即可由二次函数与一次函数之间的关系写出结论;(3)先证点A,B,F,E四点共圆,如图2,作BC得垂直平分线交直线EB于点N,连接NC,求出点N坐标,再作NC的垂直平分线交直线BD于点M,设M(n,2n﹣4),由MN =MC,可列出关于n的方程,此时∠DMC=2∠MNC=4∠EBC=4∠EAF,即可写出点M 的坐标.【解答】(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣h)2+k,由题意可得h=2,k=﹣1且抛物线经过原点,∴0=a(0﹣2)2﹣1,解得,∴抛物线的解析式为;(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x=2,点O与点C关于x=2对称,∴C(4,0),OC=4,∵A(0,4),CF=1,∴OA=4,S矩形OABC=OA•OC=16,F(4,1),∵,∴S△AEF=5,如图1,过点F作FH∥OC,与AE交于点H,∴,∴,,设直线AH的解析式为y=k1x+4,∴,∴k1=﹣2,∴直线AH的解析式为y=﹣2x+4,当y=0时,求得x=2,∴E(2,0),而B(4,4),∴直线BE:y2=2x﹣4,∵点D在直线BE上,故D(x,2x﹣4)同时也满足抛物线,故,解得:,(舍去),∴,当0>y2>y1时,从图象可得直线在抛物线的上方且都在x轴的下方才满足条件,对应x的取值范围为;(3)∵E(2,0),F(4,1),A(0,4),∴,AF=5,,∴AE2+EF2=AF2,而矩形OABC,∴∠AEF=90°,∠ABC=90°,∴∠AEF+∠ABC=180°,∴点A,B,F,E四点共圆,∴∠EAF=∠EBC如图2,作BC的垂直平分线交直线EB于点N,连接NC,则NB=NC,∠NBC=∠NCB,∴∠ENC=2∠EBC,设N(x N,2),则2=2x N﹣4,解得x N=3,∴N(3,2),作NC的垂直平分线交直线BD于点M(n,2n﹣4),B(4,4),C(4,0),∴,,则MN=MC,∴∠MNC=∠MCN,∴∠DMC=2∠MNC=4∠EBC=4∠EAF,∴,解得:n=,∴,综上所述,点M的坐标为.【点评】本题考查了待定系数法求解析式,二次函数的图象及性质,圆的有关性质等,解题关键是能够通过作线段的垂直平分线构造2倍角等.。
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与线段有关的问题(专题训练)1.小聪设计奖杯,从抛物线形状上获得灵感,在平面直角坐标系中画出截面示意图,如图1,杯体ACB 是抛物线的一部分,抛物线的顶点C 在y 轴上,杯口直径4AB =,且点A ,B 关于y 轴对称,杯脚高4CO =,杯高8DO =,杯底MN 在x 轴上.(1)求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式(不必写出x 的取值范围).(2)为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方案,如图2,杯体A CB ''所在抛物线形状不变,杯口直径//A B AB '',杯脚高CO 不变,杯深CD '与杯高OD '之比为0.6,求A B ''的长.【答案】(1)24y x =+;(2)【分析】(1)确定B 点坐标后,设出抛物线解析式,利用待定系数法求解即可;(2)利用杯深CD′与杯高OD′之比为0.6,求出OD′,接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解.【详解】解:(1)设24y ax =+,∵杯口直径AB=4,杯高DO=8,∴()2,8B 将2x =,8y =代入,得1a =,24y x ∴=+.(2)0.6CD OD ''=,0.64CD CD '∴=+',6CD ∴'=,10OD '=,当10y =时,2104x =+,1x =或2x =A B ∴''=,即杯口直径A B ''的长为.【点睛】本题考查了抛物线的应用,涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容,解决本题的关键是读懂题意,找出相等关系列出等式等.2.如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成,矩形的一边BC 为12米,另一边AB 为2米.以BC 所在的直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,规定一个单位长度代表1米.E (0,8)是抛物线的顶点.(1)求此抛物线对应的函数表达式;(2)在隧道截面内(含边界)修建“”型或“”型栅栏,如图2、图3中粗线段所示,点1P ,4P 在x 轴上,MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等.栅栏总长l 为图中粗线段12PP ,23P P ,34P P ,MN 长度之和.请解决以下问题:(ⅰ)修建一个“”型栅栏,如图2,点2P ,3P 在抛物线AED 上.设点1P的横坐标为()06m m <≤,求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值;(ⅱ)现修建一个总长为18的栅栏,有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案,请你从中选择一种,求出该方案下矩形1234P P P P面积的最大值,及取最大值时点1P的横坐标的取值范围(1P在4P右侧).【答案】(1)y=16-x2+8(2)(ⅰ)l=12-m2+2m+24,l的最大值为26;(ⅱ)方案一:9≤P1横坐标案二:92≤P1横坐标【分析】(1)通过分析A点坐标,利用待定系数法求函数解析式;(2)(ⅰ)结合矩形性质分析得出P2的坐标为(m,-16m2+8),然后列出函数关系式,利用二次函数的性质分析最值;(ⅱ)设P2P1=n,分别表示出方案一和方案二的矩形面积,利用二次函数的性质分析最值,从而利用数形结合思想确定取值范围.(1)由题意可得:A(-6,2),D(6,2),又∵E(0,8)是抛物线的顶点,设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8,将A(-6,2)代入,(-6)2a+8=2,解得:a=1 6-,∴抛物线对应的函数表达式为y=16-x2+8;(2)(ⅰ)∵点P1的横坐标为m(0<m≤6),且四边形P1P2P3P4为矩形,点P2,P3在抛物线AED上,∴P2的坐标为(m,16-m2+8),∴P1P2=P3P4=MN=16-m2+8,P2P3=2m,∴l=3(16-m2+8)+2m=12-m2+2m+24=12-(m-2)2+26,∵12-<0,∴当m=2时,l有最大值为26,即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=12-m2+2m+24,l的最大值为26;(ⅱ)方案一:设P2P1=n,则P2P3=18-3n,∴矩形P1P2P3P4面积为(18-3n)n=-3n2+18n=-3(n-3)2+27,∵-3<0,∴当n =3时,矩形面积有最大值为27,此时P 2P 1=3,P 2P 3=9,令16-x 2+8=3,解得:x =,∴此时P1的横坐标的取值范围为9≤P 1横坐标,方案二:设P 2P 1=n ,则P 2P 3=9-n ,∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为(9-n )n =-n 2+9n =-(n -92)2+814,∵-1<0,∴当n =92时,矩形面积有最大值为814,此时P 2P 1=92,P 2P 3=92,令16-x 2+8=92,解得:x =∴此时P1的横坐标的取值范围为92≤P 1横坐标【点睛】本题考查二次函数的应用,掌握待定系数法求函数解析式,准确识图,确定关键点的坐标,利用数形结合思想解题是关键.3.在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (-1,0)和点B (0,3),顶点为C ,点D 在其对称轴上,且位于点C 下方,将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点P 处.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P 的坐标;(3)将抛物线平移,使其顶点落在原点O ,这时点P 落在点E 的位置,在y 轴上是否存在点M ,使得MP +ME 的值最小,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=-++(2)(2,3)P (3)存在,1(0,)3M【分析】(1)根据点,A B 的坐标,利用待定系数法即可得;(2)先求出抛物线的对称轴,再设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <,则4CD a =-,根据旋转的性质可得90,4CDP PD CD a ∠=︒==-,从而可得(5,)P a a -,将点P 代入抛物线的解析式求出a 的值,由此即可得;(3)先根据点坐标的平移规律求出点(1,1)E -,作点E 关于y 轴的对称点E ',连接PE ',从而可得PE '与y 轴的交点即为所求的点M ,再利用待定系数法求出直线PE '的解析式,由此即可得出答案.(1)解:将点(1,0),(0,3)A B -代入2y x bx c =-++得:103b c c --+=⎧⎨=⎩,解得23b c =⎧⎨=⎩,则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++.(2)解:抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+的对称轴为直线1x =,其顶点C 的坐标为(1,4)C ,设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <,则4CD a =-,由旋转的性质得:90,4CDP PD CD a ∠=︒==-,(14,)P a a ∴+-,即(5,)P a a -,将点(5,)P a a -代入2(1)y x =--+得:2(51)4a a ---+=,解得3a =或4a =(舍去),当3a =时,5532a -=-=,所以点P 的坐标为(2,3)P .(3)解:抛物线2y x 2x 3=-++的顶点C 的坐标为(1,4)C ,则将其先向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度恰好落在原点O ,这时点P 落在点E 的位置,且(2,3)P ,(21,34)E ∴--,即(1,1)E -,恰好在对称轴直线1x =上,如图,作点E 关于y 轴的对称点E ',连接PE ',则MP ME MP ME '+=+,由两点之间线段最短可知,PE '与y 轴的交点即为所求的点M ,此时MP ME '+的值最小,即MP ME +的值最小,由轴对称的性质得:(1,1)E '--,设直线PE '的解析式为y kx m =+,将点(2,3)1,(,1)E P '--代入得:231k m k m +=⎧⎨-+=-⎩,解得4313k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则直线PE '的解析式为4133y x =+,当0x =时,13y =,故在y 轴上存在点M ,使得MP ME +的值最小,此时点M 的坐标为1(0,)3M .【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点,熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C ,连接,AC BC .(1)求线段AC 的长;(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点,当PA PC =时,求点P 的坐标;(3)若点M 为该抛物线上的一个动点,当BCM 为直角三角形时,求点M 的坐标.【答案】()11,-(3)()14-,或()25-,或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据解析式求出A ,B ,C 的坐标,然后用勾股定理求得AC 的长;(2)求出对称轴为x=1,设P (1,t ),用t 表示出PA 2和PC 2的长度,列出等式求解即可;(3)设点M(m,m 2-2m-3),分情况讨论,当222CM BC BM +=,222BM BC CM +=,222BM CM BC +=分别列出等式求解即可.(1)223y x x =--与x 轴交点:令y=0,解得121,3x x =-=,即A (-1,0),B (3,0),223y x x =--与y 轴交点:令x=0,解得y=-3,即C (0,-3),∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为:x=1,设P (1,t ),∴()()22221104PA t t =++-=+,()()()222210313PC t t =-++=++,∴24t +()213t =++∴t=-1,∴P (1,-1);(3)设点M (m,m 2-2m-3),()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--,()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-,()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时,()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--,解得,10m =(舍),21m =,∴M (1,-4);②当222BM BC CM +=时,()()()222222323182m m m m m m-+--+=+-,解得,12m =-,23m =(舍),∴M (-2,5);③当222BM CM BC +=时,()()()222222323218m m m m m m -+--++-=,解得,152m ±=,∴M 1522⎛+ ⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭;综上所述:满足条件的M 为()14-,或()25-,或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题是二次函数综合题,考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识,解题的关键是学会分类讨论的思想,属于中考压轴题.5.如图,已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -.(1)求,b c 的值;(2)连结AB ,交抛物线L 的对称轴于点M .①求点M 的坐标;②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L .过点M 作//MN y 轴,交抛物线1L 于点N .P 是抛物线1L 上一点,横坐标为1-,过点P 作//PE x 轴,交抛物线L 于点E ,点E 在抛物线L 对称轴的右侧.若10PE MN +=,求m 的值.【答案】(1)4,5--;(2)①(2,3)-;②1或1652-+.【分析】(1(2)①求出直线AB 的解析式,抛物线的对称轴方程,代入求解即可;②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式,再分三种情况进行求解即可.【详解】解:(1)把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++,得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩.解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩,b c ∴的值分别为4,5--.(2)①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠,把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式,得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-.由(1)得,抛物线L 的对称轴是直线2x =,当2x =时,53y x =-=-.∴点M 的坐标是(2,3)-.②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-,//MN y 轴,∴点N 的坐标是()22,9m -.∵点P 的横坐标为1,-∴点P 的坐标是()21,6m m --,设PE 交抛物线1L 于另一点Q ,∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴,∴根据抛物线的轴对称性,点Q 的坐标是()252,6m m m --.(i )如图1,当点N 在点M 下方,即0m <≤时,52(1)62PQ m m =---=-,()22396MN m m =---=-,由平移性质得,QE m =,∴626PE m m m=-+=-10PE MN +=Q ,∴26610m m -+-=,解得12m =-(舍去),21m =(ii )图2,当点N 在点M 上方,点Q 在点P 右侧,3m <≤时,26,6PE m MN m =-=-,10PE MN +=Q ,26610m m ∴-+-=,解得11412m +=(舍去),21412m =(舍去).(ⅲ)如图3,当点N 在点M 上方,点Q 在点P 左侧,即3m >时,2,6PE m MN m ==-,10PE MN +=Q ,2610m m ∴+-=,解得11652m --=(舍去),21652m -+=.综上所述,m 的值是1或1652-.【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点,数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键.6.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 为正方形,点A ,B 在x 轴上,抛物线2y x bx c =++经过点B ,()4,5D -两点,且与直线DC 交于另一点E .(1)求抛物线的解析式;(2)F 为抛物线对称轴上一点,Q 为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点Q ,F ,E ,B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形.若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)P 为y 轴上一点,过点P 作抛物线对称轴的垂线,垂足为M ,连接ME ,BP .探究EM MP PB ++是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)223y x x =+-;(2)存在以点Q ,F ,E ,B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形,点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-;(3)EM MP PB ++1+,此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】(1)由题意易得5AD AB ==,进而可得()4,0A -,则有()10B ,,然后把点B 、D 代入求解即可;(2)设点()1,F a -,当以点Q ,F ,E ,B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时,则根据菱形的性质可分①当BF BE =时,②当EF BE =时,然后根据两点距离公式可进行分类求解即可;(3)由题意可得如图所示的图象,连接OM 、DM ,由题意易得DM=EM ,四边形BOMP 是平行四边形,进而可得OM=BP ,则有1EM MP PB DM MO ++=++,若使EM MP PB ++的值为最小,即1DM MO ++为最小,则有当点D 、M 、O 三点共线时,1DM MO ++的值为最小,然后问题可求解.【详解】解:(1)∵四边形ABCD 为正方形,()4,5D -,∴5AD AB ==,()4,0A -,∴4AO =,∴OB=1,∴()10B ,,把点B 、D 坐标代入得:164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩,解得:23b c =⎧⎨=-⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =+-;(2)由(1)可得()10B ,,抛物线解析式为223y x x =+-,则有抛物线的对称轴为直线1x =-,∵点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称,∴()2,5E ,∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=,设点()1,F a -,当以点Q ,F ,E ,B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时,则根据菱形的性质可分:①当BF BE =时,如图所示:∴由两点距离公式可得22BF BE =,即()()2211026a ++-=,解得:a =∴点F 的坐标为(-或(1,-;②当EF BE =时,如图所示:∴由两点距离公式可得22EF BE =,即()()2221526a ++-=,解得:5a =∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-+;综上所述:当以点Q ,F ,E ,B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形,点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5--或(1,5-+;(3)由题意可得如图所示:连接OM 、DM ,由(2)可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称,()10B ,,∴1OB =,DM=EM ,∵过点P 作抛物线对称轴的垂线,垂足为M ,∴1,//PM OB PM OB ==,∴四边形BOMP 是平行四边形,∴OM=BP ,∴1EM MP PB DM MO ++=++,若使EM MP PB ++的值为最小,即1DM MO ++为最小,∴当点D 、M 、O 三点共线时,1DM MO ++的值为最小,此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ,如图所示:∵()4,5D -,∴OD ==∴1DM MO ++1+,即EM MP PB ++1+,设线段OD 的解析式为y kx =,代入点D 的坐标得:54k =-,∴线段OD 的解析式为54y x =-,∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质,熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键.7.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值:x…1-0123…y …03430…(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标;(2)PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P 在点Q 上方),求AQ QP PC ++的最小值;(3)如图2,点D 是第四象限内抛物线上一动点,过点D 作DF x ⊥轴,垂足为F ,ABD △的外接圆与DF 相交于点E .试问:线段EF 的长是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.【答案】(1)()214y x =--+;()1,4M ;(2)1+;(3)是,1.【分析】(1)依据表格数据,设出抛物线的顶点式,利用待定系数法求解即可;(2)利用平移和找对称点的方式,将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++,再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长,加1后即能确定1PE PC ++的最小值;(3)设出圆心和D 点的坐标,接着表示出E 点的坐标,利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离,求出q 和e 的关系,得到E 点的纵坐标,进而确定EF 的长为定值.【详解】解:(1)由表格数据可知,顶点坐标为(1,4)设抛物线解析式为:()214y a x =-+,将点(0,3)代入解析式得:3=a+4,∴1a =-,∴抛物线解析式为:()214y x =--+,顶点坐标()1,4M .(2)由表格可知,抛物线经过点A (-1,0),C (0,3),如图3,将A 点向上平移一个单位,得到()'1,1A -,则'//'=AA PQ AA PQ ,,∴四边形'AA PQ 是平行四边形,∴'=PA QA ,作'A 关于MQ 的对称点E ,则()3,1,E ∴'=PA PE ,∴=1AQ QP PC PE PC ++++,当P 、E 、C 三点共线时,PE PC +最短,设直线CE 的解析式为:y mx n =+,将C 、E 两点坐标代入解析式可得:331n m n =⎧⎨+=⎩,∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴直线CE 的解析式为:233y x =-+,令1x =,则73y =,∴当713P ⎛⎫⎪⎝⎭,时,P 、E 、C 三点共线,此时=PE PC EC +最短,∴AQ QP PC ++1.(3)是;理由:设,D p q (),因为A 、B 两点关于直线x=1对称,所以圆心位于该直线上,所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ,作'O N DF ⊥,垂足为点N ,则,N p e (),由DF x ⊥轴,∴,2E p e q -(),∵'='O D O B ,且由表格数据可知()3,0B ∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-,化简得:()()22241e p q e +=-+-,∵点D 是第四象限内抛物线上一动点,且抛物线解析式为()214y x =--+,∴()214q p =--+,∴()214p q -=-,∴()2244e q q e +=-+-,∵0q ≠,∴21e q -=-,∴,1E p -(),∴1EF =,即EF 的长不变,为1.【点睛】本题涉及到了动点问题,综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容,解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式,能将题干信息与图形相结合,挖掘图中隐含信息,本题有一定的计算量,对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求,本题蕴含了数形结合的思想方法等.8.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -,(3,0)B 两点,与y 轴交于点C ,点(,0)N n 是x 轴上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若3n <,过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ,交直线BC 于点G .过点P 作PD BC ⊥于点D ,当n 为何值时,PDG BNG ≌;(3)如图2,将直线BC 绕点B 顺时针旋转,使它恰好经过线段OC 的中点,然后将它向上平移32个单位长度,得到直线1OB .①1tan BOB ∠=______;②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时,求点N 的坐标.【答案】(1)223y x x =--;(2)n =;(3)①12;②25(,0)9+或25(,0)9-.【分析】(1)根据点,A B 的坐标,利用待定系数法即可得;(2)先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标,再利用待定系数法可得直线BC 的解析式,从而可得点G 的坐标,然后分别求出,PG BG 的长,最后根据全等三角形的性质可得PG BG =,由此建立方程求解即可得;(3)①先利用待定系数法求出直线BD 的解析式,再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式,从而可得点E 的坐标,然后根据正切三角函数的定义即可得;②先求出直线1NN 的解析式,再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标,从而可得点1N 的坐标,然后代入抛物线的解析式求解即可得.【详解】解:(1)将点(1,0)A -,(3,0)B 代入23y ax bx =+-得:309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩,解得12a b =⎧⎨=-⎩,则抛物线的解析式为223y x x =--;(2)由题意得:点P 的坐标为2(,23)P n n n --,对于二次函数223y x x =--,当0x =时,3y =-,即(0,3)C -,设直线BC 的解析式为y kx c =+,将点(3,0)B ,(0,3)C -代入得:303k c c +=⎧⎨=-⎩,解得13k c =⎧⎨=-⎩,则直线BC 的解析式为3y x =-,(,3)G n n ∴-,223(23)3PG n n n n n ∴=----=-+,(3BG n ==-PDG BNG ≅ ,PG BG ∴=,即23(3n n n -+=-,解得n =3n =(与3n <不符,舍去),故当n =PDG BNG ≅ ;(3)①如图,设线段OC 的中点为点D ,过点B 作x 轴的垂线,交直线1OB 于点E,则点D 的坐标为3(0,2D -,点E 的横坐标为3,设直线BD 的解析式为00y k x c =+,将点(3,0)B ,3(0,2D -代入得:0003032k c c +=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得001232k c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则直线BD 的解析式为1322y x =-,由平移的性质得:直线1OB 的解析式为12y x =,当3x =时,32y =,即3(3,)2E ,33,2OB BE ∴==,11tan 2BE BOB OB ∠==∴,故答案为:12;②由题意得:11NN OB ⊥,则设直线1NN 的解析式为12y x c =-+,将点(,0)N n 代入得:120n c -+=,解得12c n =,则直线1NN 的解析式为22y x n =-+,联立2212y x n y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,解得4525x n y n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即直线1NN 与直线1OB 的交点坐标为42(,)55n n ,设点1N 的坐标为1(,)N s t ,则4250225s n n t n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得3545s n t n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即134(,)55N n n ,将点134(,)55N n n 代入223y x x =--得:2334()55235n n n -⨯-=,整理得:2507509n n --=,解得259n +=或259n -=,则点N的坐标为25(,0)9+或25(,0)9-.【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点,熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.9.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ,B ,C 三点(1)求证:∠ACB=90°(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点,过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ,交x 轴于点F .①求DE+BF 的最大值;②点G 是AC 的中点,若以点C ,D ,E 为顶点的三角形与 AOG 相似,求点D 的坐标.【答案】(1)(2)①9;②(4,6)D 或25(3,4D .【分析】(1)分别计算A ,B ,C 三点的坐标,再利用勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长,最后利用勾股定理逆定理解题;(2)①先解出直线BC 的解析式,设213(,4)42D x x x -++,接着解出22184BF x DE x x =-=+-,,利用二次函数的配方法求最值;②根据直角三角形斜边的中线性质,解得AG 的长,再证明CAO DEC ∠=∠,再分两种情况讨论以点C ,D ,E 为顶点的三角形与 AOG 相似,结合相似三角形对应边成比例性质解题即可.【详解】解:(1)令x=0,得4y =(0,4)C ∴令0y =得2134042x x -++=26160x x \--=(8)(2)0x x -+=(2,0)A ∴-,(8,0)B10,AB AC BC =====22210=+222AB AC BC ∴=+90ACB ∴∠=︒(2)①设直线BC 的解析式为:(0)y kx b k =+≠,代入(8,0)B ,(0,4)C 得804k b b +=⎧⎨=⎩124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩142y x ∴=-+设213(,4)42D x x x -++22131184(4)42224BF x D x E x x x x ∴=-=-++-+=-+-,21+428D x E BF x x ∴=+-+-2814x x =++-21()844x x =--+21()942x -=-+104-< 21()042x -∴-≤221()994x ∴-+≤-9+DE BF ∴≤即DE+BF 的最大值为9;② 点G 是AC 的中点,在Rt AOC △中,12OG AC AG ===即AOG 为等腰三角形,90CAO ACO ACO OCB ∠+∠=∠+∠=︒CAO OCB∴∠=∠//OC DFOCB DEC∴∠=∠CAO DEC∴∠=∠若以点C ,D ,E 为顶点的三角形与 AOG 相似,则①2AG DE AO CE ==224215x x CE -+=又//OC DF CE BC OF OB=2BC OF CE OB ⋅∴==214222x x x ∴+=⨯-230x x ∴-=10x ∴=,23x =(0,4)D ∴或25(3,)4D 经检验:()0,4D 不符合题意,舍去,②2AG CE AO DE ==,又//OC DF CE BC OF OB=2BC OF CE OB ⋅∴==2221452x x =+-整理得,240x x ∴-=10x ∴=,24x =(0,4)D ∴或(4,6)D ,同理:()0,4D 不合题意,舍去,综上所述,(4,6)D 或25(3,4D .【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识,是重要考点,有难度,掌握相关知识是解题关键.10.如图,抛物线(1)()y x x a =+-(其中1a >)与x 轴交于A 、B 两点,交y 轴于点C.(1)直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长(用a 表示);(2)若点D 为ABC 的外心,且BCD △与ACO △4,求此抛物线的解析式;(3)在(2)的前提下,试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ,使得CAP DBA ∠=∠若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)∠OCA=45°,AB=a+1;(2)2y x x 2=--;(3)存在,P 1(12-,54-),P 2(1,-2).【分析】(1)根据二次函数解析式可得A (a ,0),C (0,-a ),B (-1,0),即可得出OA=OB=a ,OB=1,即可证明△OCA 是等腰直角三角形,可得∠OCA=45°,根据线段的和差关系可表示AB 的长;(2)如图,作△ABC 的外接圆⊙D ,根据等腰直角三角形的性质可得AC=,利用两点间距离公式可用a 表示出BC 的长,根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°,可得△DBC 是等腰直角三角形,即可证明△DBC ∽△OCA ,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a 值即可得答案;(3)如图,过点D 作DH ⊥AB 于H ,过点C 作AC 的垂线,交x 轴于F ,过点O 作OG ⊥AC 于G ,连接AP 交CF 于E ,可得△OCF 是等腰直角三角形,利用待定系数法可得直线CF 的解析式,根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D 坐标,即可得出BH 、DH 的长,根据CAP DBA ∠=∠,∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD ∽△ACE ,根据相似三角形的性质可求出CE 的长,根据两点间距离公式可得点E 坐标,利用待定系数法可得直线AE 解析式,联立直线AE 与抛物线的解析式求出点P 坐标即可得答案.【详解】(1)∵抛物线(1)()y x x a =+-(其中1a >)与x 轴交于A 、B 两点,交y 轴于点C .∴当x=0时,y=-a ,当y=0时,(1)()0x x a +-=,解得:11x =-,2x a =,∴A (a ,0),C (0,-a ),B (-1,0),∴OB=1,OA=OC=a ,∴△OCA 是等腰直角三角形,∴∠OCA=45°,AB=OA+OB=a+1.(2)如图,作△ABC 的外接圆⊙D ,∵点D 为ABC 的外心,∴DB=DC ,∵△OCA 是等腰直角三角形,OA=a ,∴∠OAC=45°,,∵∠BDC 和∠BAC 是 BC所对的圆心角和圆周角,∴∠BDC=2∠BAC=90°,∴∠DBC=45°,∴∠DBC=∠OAC ,∴△DBC ∽△OCA ,∵BCD △与ACO △:4,∴4BC AC =4=,解得:2a =±,经检验:2a =±是原方程的根,∵1a >,∴a=2,∴抛物线解析式为:(1)(2)y x x =+-=22x x --.(3)如图,过点D 作DH ⊥AB 于H ,过点C 作AC 的垂线,交x 轴于F ,过点O 作OG ⊥AC 于G ,连接AP 交CF 于E ,∵a=2,∴C (0,-2),A (2,0),AC=∵∠OCA=45°,∴∠OCF=45°,∴△OCF 是等腰直角三角形,∴F (-2,0),设直线CF 的解析式为y=kx+b ,∴202k b b -+=⎧⎨=-⎩,解得:12k b =-⎧⎨=-⎩,∴直线CF 的解析式为2y x =--,∵△OCA 是等腰直角三角形,OG ⊥AC ,∴OG 所在直线为AC 的垂直平分线,点G 为AC 中点,∵点D 为ABC 的外心,∴点D 在直线OG 上,∵A (2,0),C (0,-2),∴G (1,-1),设直线OG 的解析式y=mx ,∴m=-1,∴直线OG 的解析式y=-x ,∵点D 为△ABC 的外心,∴点D 在AB 的垂直平分线上,∴点D 的横坐标为122-+=12,把x=12代入y=-x 得y=-12,∴D (12,-12),∴DH=12,BH=1+12=32,∵CAP DBA ∠=∠,∠BHD=∠ACE=90°,∴△BHD ∽△ACE ,∴DH BH CE AC =,即1322CE =解得:3CE =,∵点E 在直线CF 上,∴设点E 坐标为(n ,-n-2),∴3,解得:23n =±,∴1E (23-,43-),2E (23,83-),设直线AE 1的解析式为y=k 1x+b 1,∴1111243320k b k b ⎧-+=-⎪⎨⎪+=⎩,解得:11121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线AE 1的解析式为112y x =-,同理:直线AE 2的解析式为24y x =-,联立直线AE 1解析式与抛物线解析式得21122y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩,解得:111254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,1220x y =⎧⎨=⎩(与点A 重合,舍去),∴P 1(12-,54-),联立直线AE 2解析式与抛物线解析式得2242y x y x x =-⎧⎨=--⎩,解得:1112x y =⎧⎨=-⎩,2220x y =⎧⎨=⎩(与点A 重合,舍去),∴P 2(1,-2).综上所述:存在点P ,使得CAP DBA ∠=∠,点P 坐标为P 1(12-,54-),P 2(1,-2).【点睛】本题考查二次函数的综合,考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关性质及定理是解题关键11.如图,二次函数y =ax 2+bx+x 的图象过O (0,0)、A (1,0)、B (32,(1)求二次函数的解析式;(2)若线段OB 的垂直平分线与y C ,与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ,求直线CD 的解析式;(3)在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ,过点P 作PQ ⊥x 轴,交直线CD 于Q,当线段PQ 的长最大时,求点P 的坐标.【分析】(1)将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式,即可求解;(2)由点B 的坐标知,直线BO 的倾斜角为30°,则OB 中垂线(CD )与x 负半轴的夹角为60°,故设CD 的表达式为:y =−3x+b ,而OB 中点的坐标为(34,,将该点坐标代入CD 表达式,即可求解;(3)过点P 作y 轴额平行线交CD 于点H ,PH =−3x +3−2)=−2−+3,即可求解.【解析】(1)将点O 、A 、B0b+c =0=94a +32b +c,解得a =−b =−c =0故抛物线的表达式为:y =2−;(2)由点B 的坐标知,直线BO 的倾斜角为30°,则OB 中垂线(CD )与x 负半轴的夹角为60°,故设CD 的表达式为:y =−3x+b ,而OB 中点的坐标为(34,,将该点坐标代入CD 表达式并解得:b =3,故直线CD 的表达式为:y =−3x +3;(3)设点P (x2),则点Q (x ,−3x +3),则PQ =−3x +3−2)=−2−+3,∵0,故PQ 有最大值,此时点P 的坐标为(−14,.12.如图,抛物线y =ax 2+bx+4交x 轴于A (﹣3,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,AC ,BC .M 为线段OB 上的一个动点,过点M 作PM ⊥x 轴,交抛物线于点P ,交BC 于点Q .(1)求抛物线的表达式;(2)过点P 作PN ⊥BC ,垂足为点N .设M 点的坐标为M (m ,0),请用含m 的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式,即可求解;(2)PN=PQsin45°=−13m2+43m)=−m﹣2)2+(3)分AC=CQ、AC=AQ、CQ=AQ三种情况,分别求解即可.【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a−3b+4=016a+4b+4=0,解得a=−13b=13,故抛物线的表达式为:y=−13x2+13x+4;(2)由抛物线的表达式知,点C(0,4),由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为:y=﹣x+4;设点M(m,0),则点P(m,−13m2+13m+4),点Q(m,﹣m+4),∴PQ=−13m2+13m+4+m﹣4=−13m2+43m,∵OB=OC,故∠ABC=∠OCB=45°,∴∠PQN=∠BQM=45°,∴PN=PQsin45°=−13m2+43m)m﹣2)2∵0,故当m=2时,PN(3)存在,理由:点A、C的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),则AC=5,①当AC=CQ时,过点Q作QE⊥y轴于点E,则CQ2=CE2+EQ2,即m2+[4﹣(﹣m+4)]2=25,解得:m=,故点Q;②当AC=AQ时,则AQ=AC=5,在Rt△AMQ中,由勾股定理得:[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2=25,解得:m=1或0(舍去0),故点Q(1,3);③当CQ=AQ时,则2m2=[m=(﹣3)]2+(﹣m+4)2,解得:m=252(舍去);综上,点Q的坐标为(1,3.13.在平面直角坐标系xOy中,直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.(1)求线段AB的长;(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=5,求这条抛物线的表达式;(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.【分析】(1)先求出A,B坐标,即可得出结论;(2)设点C(m,−12m+5),则BC=,进而求出点C(2,4),最后将点A,C代入抛物线解析式中,即可得出结论;(3)将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=﹣10a,代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为(5,﹣25a),即可得出结论.【解析】(1)针对于直线y=−12x+5,令x=0,y=5,∴B(0,5),令y=0,则−12x+5=0,∴x=10,∴A(10,0),∴AB=52+102=55;(2)设点C(m,−12m+5),∵B(0,5),∴BC==,∵BC=5,=5,∴m=±2,∵点C在线段AB上,∴m=2,∴C(2,4),将点A(10,0),C(2,4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中,得100a+10b=04a+2b=4,∴a=−14b=52,∴抛物线y=−14x2+52x;(3)∵点A(10,0)在抛物线y=ax2+bx中,得100a+10b=0,∴b=﹣10a,∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a,∴抛物线的顶点D坐标为(5,﹣25a),将x=5代入y=−12x+5中,得y=−12×5+5=52,∵顶点D位于△AOB内,∴0<﹣25a<52,∴−110<a<0;14,若一次函数y=﹣3x﹣3的图象与x轴,y轴分别交于A,C两点,点B的坐标为(3,0),二次函数y=ax2+bx+c的图象过A,B,C三点,如图(1).(1)求二次函数的表达式;(2)如图(1),过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧),若BC 恰好平分∠DBE.求直线BE的表达式;(3)如图(2),若点P在抛物线上(点P在y轴右侧),连接AP交BC于点F,连接BP,S△BFP=mS△BAF.①当m=12时,求点P的坐标;②求m的最大值.【分析】(1)函数y=﹣3x﹣3的图象与x轴,y轴分别交于A,C两点,则点A、C的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3),将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式,即可求解;(2)证明△BCD≌△BCM(AAS),则CM=CD=2,故OM=3﹣2=1,故点M(0,﹣1),即可求解;(3)过点P作PN∥x轴交BC于点N,则△PFN∽△AFB,则AF PF=AB PN,而S△BFP=mS△BAF,则AF PF=1m=4PN,解得:m=14PN,即可求解.【解析】(1)一次函数y =﹣3x ﹣3的图象与x 轴,y 轴分别交于A ,C 两点,则点A 、C 的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3),将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得0=a −b +c0=9a +3b +c c =−3,解得a =1b =−2c =−3,故抛物线的表达式为:y =x 2﹣2x ﹣3;(2)设直线BE 交y 轴于点M ,从抛物线表达式知,抛物线的对称轴为x =2,∵CD ∥x 轴交抛物线于点D ,故点D (2,﹣3),由点B 、C 的坐标知,直线BC 与AB 的夹角为45°,即∠MCB =∠DCD =45°,∵BC 恰好平分∠DBE ,故∠MBC =∠DBC ,而BC =BC ,故△BCD ≌△BCM (AAS ),∴CM =CD =2,故OM =3﹣2=1,故点M (0,﹣1),设直线BE 的表达式为:y =kx+b ,则b =−13k +b =0,解得k =13b =−1,故直线BE 的表达式为:y =13x ﹣1;(3)过点P 作PN ∥x 轴交BC 于点N ,则△PFN∽△AFB,则AF PF=AB PN,而S△BFP=mS△BAF,则AF PF=1m=4PN,解得:m=14PN,①当m=12时,则PN=2,设点P(t,t2﹣2t﹣3),由点B、C的坐标知,直线BC的表达式为:y=x﹣3,当x=t﹣2时,y=t﹣5,故点N(t ﹣2,t﹣5),故t﹣5=t2﹣2t﹣3,解得:t=1或2,故点P(2,﹣3)或(1,﹣4);②m=14PN=14[t﹣(t2﹣2t)]=−14(t−32)2+916,∵−14<0,故m的最大值为916.15.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y 轴于点N,点M为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接AM,点E是线段AM上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点F,过点E 作EH⊥x轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点,当EF取最大值时:①求PD+PC的最小值;②如图2,Q点为y轴上一动点,请直接写出DQ+14OQ的最小值.【分析】(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=3,即可求解;(2)①点C(﹣1,0)关于y轴的对称点为点B(1,0),连接BD交y轴于点P,则点P 为所求点,PD+PC=PD+PB=DB为最小,即可求解;②过点O作直线OK,使sin∠NOK=14,过点D作DK⊥OK于点K,交y轴于点Q,则点Q为所求点,则DQ+14OQ=DQ+QK=DK为最小,即可求解.【解析】(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=3,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3;(2)由抛物线的表达式得,点M(﹣1,4),点N(0,3),则tan∠MAC=MC AC=2,则设直线AM的表达式为:y=2x+b,将点A的坐标代入上式并解得:b=6,故直线AM的表达式为:y=2x+6,∵∠EFD=∠DHA=90°,∠EDF=∠ADH,∴∠MAC=∠DEF,则tan∠DEF=2,则cos∠DEF=设点E(x,﹣x2﹣2x+3),则点D(x,2x+6),则FE=EDcos∠DEF=(﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6)×=x2﹣4x﹣3),∵0,故EF有最大值,此时x=﹣2,故点D(﹣2,2);①点C(﹣1,0)关于y轴的对称点为点B(1,0),连接BD交y轴于点P,则点P为所求点,PD+PC=PD+PB=DB为最小,则BD=(1+2)2+(0−2)2=13;②过点O作直线OK,使sin∠NOK=14,过点D作DK⊥OK于点K,交y轴于点Q,则点。
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间:120分钟试卷满分:100分姓名:__________ 班级:__________考号:__________题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022春•长沙期末)抛物线y=2x2﹣4x+c经过三点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y22.(2分)(2022春•长沙期末)已知二次函数y=(x﹣1)2+1,则关于该函数的下列说法正确的是()A.该函数图象与y轴的交点坐标是(0,1)B.当x>1时,y的值随x值的增大而减小C.当x取0和2时,所得到的y的值相同D.当x=1时,y有最大值是13.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)将抛物线y=x2+1向下平移3个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线()A.y=(x+4)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+4)2﹣2 D.y=(x﹣4)2﹣24.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)抛物线y=(x+1)2﹣3的对称轴是()A.直线x=﹣1 B.直线x=1 C.直线x=﹣3 D.直线x=35.(2分)(2021秋•雨花区期末)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+2b(ab≠0)的图象大致如图()A.B.C.D.6.(2分)(2022•长沙模拟)如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P,Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②;③当0<t≤5时,;④当秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是()A.①②③B.②③C.①③④D.②④7.(2分)(2021秋•长沙月考)我们定义一种新函数:形如y=|ax²+bx+c|(a≠0,b²﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x²﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4;⑥若点P(a,b)在该图象上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是()A.6 B.5 C.4 D.38.(2分)(2020秋•岳麓区校级期末)已知抛物线y=x2+(2m﹣6)x+m2﹣3与y轴交于点A,与直线x=4交于点B,当x>2时,y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点),M为G上任意一点,设M的纵坐标为t,若t≥﹣3,则m的取值范围是()A.m≥B.≤m≤3 C.m≥3 D.1≤m≤39.(2分)(2016•长沙校级一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()A.abc>0 B.b2﹣4ac<0 C.9a+3b+c>0 D.c+8a<0 10.(2分)(2021春•天心区期中)如图,抛物线G:y1=a(x+1)2+2与H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论:①无论x取何值,y2总是负数;②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③当﹣3<x<1时,随着x的增大,y1﹣y2的值先增大后减小;④四边形AECD为正方形.其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④评卷人得分二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2019春•雨花区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0).点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是.12.(2分)(2021•岳麓区开学)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③3a+c>0;④当x >﹣1时,y的值随x值的增大而增大;⑤4a+2b≥am2﹣bm(m为任意实数).其中正确的结论有.(填序号)13.(2分)(2020•天心区开学)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣,0),对称轴为直线x=1,下列5个结论:①abc<0;②a﹣2b+4c=0;③2a+b>0;④2c﹣3b<0;⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为.(注:只填写正确结论的序号)14.(2分)(2019秋•浏阳市期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正确结论的序号是.15.(2分)(2019•雨花区校级开学)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax2﹣2ax+(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为.16.(2分)(2021春•雨花区期末)如图,P是抛物线y=x2﹣2x﹣3在第四象限的一点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则四边形OAPB周长的最大值为.17.(2分)(2019秋•天心区校级月考)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB的周长最小时,S△PAB=.18.(2分)(2019秋•浏阳市期中)已知抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),则y1、y2、y3的大小关系是.19.(2分)(2017秋•开福区校级期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,经过点(0,1)有以下结论:①a+b+c<0;②b2﹣4ac>0;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是.20.(2分)(2015春•长沙校级期中)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0;其中正确的个数有个.评卷人得分三.解答题(共7小题,满分60分)21.(6分)(2021春•岳麓区校级期末)已知二次函数如图所示,M为抛物线的顶点,其中A(1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标.(2)求直线CM的解析式.22.(8分)(2021春•天心区校级月考)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.(1)求出直线l的解析式;(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,求a的取值范围.23.(8分)(2020秋•长沙月考)已知抛物线y=(2m﹣1)x2+(m+1)x+3(m为常数).(1)若该抛物线经过点(1,m+7),求m的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求满足条件的最大整数m;(3)将该抛物线向下平移若干个单位长度,所得的新抛物线经过P(﹣5,y1),Q(7,y2)(其中y1<y2)两点,当﹣5≤x≤3时,点P是该部分函数图象的最低点,求m的取值范围.24.(8分)(2020•雨花区二模)已知抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣2,0)和C(0,),与x轴交于另一点B,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠DAB,设AE=x,BF=y,求y与x的函数关系式;(3)在(2)问的条件下,△DEF能否为等腰三角形?若能,求出DF的长;若不能,请说明理由.25.(8分)(2021秋•雨花区期末)如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A,交x轴于B、D两点,与y轴交于点C.(1)求线段BD的长;(2)求△ABC的面积;(3)P是抛物线对称轴上一动点,求PC+PD的最小值.26.(10分)(2021•岳麓区开学)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,如:y=x2+1是y=x+1的定顶抛物线.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的定顶抛物线,求p的值;(2)若二次函数y=﹣x2+4x+7是经过点(1,3)一次函数y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,求直线y=kx+t(k≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积;(3)若函数y=mx﹣3(m≠0)的定顶抛物线y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.27.(12分)(2021春•长沙期末)如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B,与y轴交于点C,若OA=OC=2OB=2.(1)求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式;(2)若P为线段AC上方抛物线上一动点,求△ACP面积的最大值;(3)如图②过点A作AD⊥BC于点D,过D作DH⊥x轴于H,若G为直线DH上的动点,N为抛物线上的动点,在x轴上是否存在点M,使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形?若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间:120分钟试卷满分:100分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022春•长沙期末)抛物线y=2x2﹣4x+c经过三点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式,根据抛物线的对称性质和增减性比较大小.【完整解答】解:∵y=2x2﹣4x+c=2(x﹣1)2+c﹣2.∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1.∴当x<1时,y随x的增大而减小,∵抛物线y=2x2﹣4x+c经过三点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(,y3),﹣4<﹣2<<1,∴y1>y2>y3,故选:B.2.(2分)(2022春•长沙期末)已知二次函数y=(x﹣1)2+1,则关于该函数的下列说法正确的是()A.该函数图象与y轴的交点坐标是(0,1)B.当x>1时,y的值随x值的增大而减小C.当x取0和2时,所得到的y的值相同D.当x=1时,y有最大值是1【思路引导】在y=(x﹣1)2+1中,令x=0得y=2,可判定A不符合题意;由1>0,对称轴直线x=1可判断B不符合题意;根据当x=0时,y=2;当x=2时,y=2,可判定C符合题意;由y=(x﹣1)2+1,根据函数性质可判定D不符合题意.【完整解答】解:令x=0,则y=(0﹣1)2+1=2,∴二次函数y=(x﹣1)2+1的图象与y轴的交点坐标为(0,2),故A不符合题意;∵二次函数y=(x﹣1)2+1的对称轴为x=1,开口向上,∴当x>1时,y随x的增大而增大,故B不符合题意;当x=0时,y=2,当x=2时y=(2﹣1)2+1=2,故C符合题意;∵二次函数y=(x﹣1)2+1的对称轴为x=1,开口向上,∴当x=1时,y有最小值,故D不符合题意.故选:C.3.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)将抛物线y=x2+1向下平移3个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线()A.y=(x+4)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+4)2﹣2 D.y=(x﹣4)2﹣2【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论.【完整解答】解:根据“上加下减,左加右减”的法则可知,将抛物线y=x2+1向下平移3个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线的表达式是y=(x+4)2+1﹣3,即y=(x+4)2﹣2.故选:C.4.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)抛物线y=(x+1)2﹣3的对称轴是()A.直线x=﹣1 B.直线x=1 C.直线x=﹣3 D.直线x=3【思路引导】根据抛物线的顶点式,可以写出该抛物线的对称轴,本题得以解决.【完整解答】解:∵抛物线y=(x+1)2﹣3,∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1,故选:A.5.(2分)(2021秋•雨花区期末)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+2b(ab≠0)的图象大致如图()A.B.C.D.【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符,逐一判断.【完整解答】解:A、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;B、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;C、由抛物线可知a>0,b<0,由直线可知a>0,b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a>0,b<0,故本选项错误.故选:B.6.(2分)(2018秋•天心区校级期末)已知函数y=ax2+bx+c,当y>0时,.则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的()A.B.C.D.【思路引导】当y>0时,,所以可判断a<0,可知﹣=﹣+=﹣,=﹣×=﹣,所以可知a=6b,a=﹣6c,则b=﹣c,不妨设c=1进而得出解析式,找出符合要求的答案.【完整解答】解:因为函数y=ax2+bx+c,当y>0时,所以可判断a<0,可知﹣=﹣+=﹣,=﹣×=﹣所以可知a=6b,a=﹣6c,则b=﹣c,不妨设c=1则函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=(x﹣2)(x+3)则可判断与x轴的交点坐标是(2,0),(﹣3,0),故选:A.7.(2分)(2021秋•长沙月考)我们定义一种新函数:形如y=|ax²+bx+c|(a≠0,b²﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x²﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4;⑥若点P(a,b)在该图象上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是()A.6 B.5 C.4 D.3【思路引导】由(﹣1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|知①是正确的;从图象可以看出图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,②也是正确的;根据函数的图象和性质,发现当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,因此③也是正确的;函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=﹣1或x=3,因此④也是正确的;从图象上看,当x<﹣1或x>3,函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4,因此⑤时不正确的;⑥根据图形判断即可;逐个判断之后,可得出答案.【完整解答】解:①∵(﹣1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|,∴①是正确的;②从图象可知图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,因此②也是正确的;③根据函数的图象和性质,发现当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,因此③也是正确的;④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=﹣1或x=3,因此④也是正确的;⑤从图象上看,当x<﹣1或x>3,存在函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4,因此⑤是不正确的;⑥从图象上看,若点P(a,b)在该图象上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P,因此⑥也是正确的.故答案为:①②③④⑥.故选:B.8.(2分)(2020秋•岳麓区校级期末)已知抛物线y=x2+(2m﹣6)x+m2﹣3与y轴交于点A,与直线x=4交于点B,当x>2时,y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点),M为G上任意一点,设M的纵坐标为t,若t≥﹣3,则m的取值范围是()A.m≥B.≤m≤3 C.m≥3 D.1≤m≤3【思路引导】根据题意,x=﹣≤2,≥﹣3【完整解答】解:当对称轴在y轴的右侧时,,解得≤m<3,当对称轴是y轴时,m=3,符合题意,当对称轴在y轴的左侧时,2m﹣6>0,解得m>3,综上所述,满足条件的m的值为m≥.故选:A.9.(2分)(2016•长沙校级一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()A.abc>0 B.b2﹣4ac<0 C.9a+3b+c>0 D.c+8a<0【思路引导】根据二次函数的图象求出a<0,c>0,根据抛物线的对称轴求出b=﹣2a>0,即可得出abc<0;根据图象与x轴有两个交点,推出b2﹣4ac>0;对称轴是直线x=1,与x轴一个交点是(﹣1,0),求出与x轴另一个交点的坐标是(3,0),把x=3代入二次函数得出y=9a+3b+c=0;把x=4代入得出y=16a﹣8a+c=8a+c,根据图象得出8a+c<0.【完整解答】解:A.∵二次函数的图象开口向下,图象与y轴交于y轴的正半轴上,∴a<0,c>0,∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴﹣=1,∴b=﹣2a>0,∴abc<0,故本选项错误;B.∵图象与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,故本选项错误;C.∵对称轴是直线x=1,与x轴一个交点是(﹣1,0),∴与x轴另一个交点的坐标是(3,0),把x=3代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得:y=9a+3b+c=0,故本选项错误;D.∵当x=3时,y=0,∵b=﹣2a,∴y=ax2﹣2ax+c,把x=4代入得:y=16a﹣8a+c=8a+c<0,故选:D.10.(2分)(2021春•天心区期中)如图,抛物线G:y1=a(x+1)2+2与H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论:①无论x取何值,y2总是负数;②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③当﹣3<x<1时,随着x的增大,y1﹣y2的值先增大后减小;④四边形AECD为正方形.其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【思路引导】①由非负数的性质,即可证得y2=﹣(x﹣2)2﹣1≤﹣1<0,即可得无论x取何值,y2总是负数;②由抛物线l1:y1=a(x+1)2+2与l2:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),可求得a的值,然后由抛物线的平移的性质,即可得l2可由l1向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③由y1﹣y2=﹣(x+1)2+2﹣[﹣(x﹣2)2﹣1]=﹣6x+6,可得随着x的增大,y1﹣y2的值减小;④首先求得点A,C,D,E的坐标,即可证得AF=CF=DF=EF,又由AC⊥DE,即可证得四边形AECD为正方形.【完整解答】解:①∵(x﹣2)2≥0,∴﹣(x﹣2)2≤0,∴y2=﹣(x﹣2)2﹣1≤﹣1<0,∴无论x取何值,y2总是负数;故①正确;②∵抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),∴当x=1时,y=﹣2,即﹣2=a(1+1)2+2,解得:a=﹣1;∴y1=﹣(x+1)2+2,∴H可由G向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;故②正确;③∵y1﹣y2=﹣(x+1)2+2﹣[﹣(x﹣2)2﹣1]=﹣6x+6,∴随着x的增大,y1﹣y2的值减小;故③错误;④设AC与DE交于点F,∵当y=﹣2时,﹣(x+1)2+2=﹣2,解得:x=﹣3或x=1,∴点A(﹣3,﹣2),当y=﹣2时,﹣(x﹣2)2﹣1=﹣2,解得:x=3或x=1,∴点C(3,﹣2),∴AF=CF=3,AC=6,当x=0时,y1=1,y2=﹣5,∴DE=6,DF=EF=3,∴四边形AECD为平行四边形,∴AC=DE,∴四边形AECD为矩形,∵AC⊥DE,∴四边形AECD为正方形.故④正确.故选:B.二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2019春•雨花区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0).点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15 .【思路引导】根据坐标先求AB的长,所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小,因此只要讨论当0≤m≤3时,P的纵坐标的最大值和最小值即可,根据顶点坐标D(1,4),由对称性可知:x=1时,P的纵坐标最大,此时△PAB的面积S最大;当x=3时,P的纵坐标最小,此时△PAB的面积S最小.【完整解答】解:∵点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0),∴AB=3,y=﹣2x2+4x+8=﹣2(x﹣1)2+10,∴顶点D(1,10),由图象得:当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,当1≤x≤3时,y随x的增大而减小,∴当x=3时,即m=3,P的纵坐标最小,y=﹣2(3﹣1)2+10=2,此时S△PAB=×2AB=×2×3=3,当x=1时,即m=1,P的纵坐标最大是10,此时S△PAB=×10AB=×10×3=15,∴当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15;故答案为:3≤S≤15.12.(2分)(2021•岳麓区开学)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③3a+c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大;⑤4a+2b≥am2﹣bm(m为任意实数).其中正确的结论有①③⑤.(填序号)【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x=2可得a与b的关系,从而判断①,由x=﹣3时y>0可判断②,由抛物线经过(﹣1,0)及a与b的关系可判断③,由抛物线对称轴及开口方向可判断④,由x=2时y取最大值可判断⑤.【完整解答】解:∵抛物线对称轴为直线x=﹣=2,∴b=﹣4a,即4a+b=0,①正确.由图象可得x=﹣3时,y=9a﹣3b+c<0,∴9a+c<3b,②错误.∵抛物线经过(﹣1,0),∴a﹣b+c=a+4a+c=5a+c=0,∵抛物线开口向下,∴a<0,∴3a+c=5a+c﹣2a>0,③正确.由图象可得x<2时,y随x增大而增大,∴④错误.∵x=2时,函数取最大值,∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c,即4a+2b≥am2﹣bm,⑤正确.故答案为:①③⑤.13.(2分)(2020•天心区开学)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣,0),对称轴为直线x=1,下列5个结论:①abc<0;②a﹣2b+4c=0;③2a+b>0;④2c﹣3b<0;⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为②⑤.(注:只填写正确结论的序号)【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.【完整解答】解:①函数的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c<0,故abc>0,故①错误,不符合题意;②将点(﹣,0)代入函数表达式得:a﹣2b+4c=0,故②正确,符合题意;③函数的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,故2a+b=0,故③错误,不符合题意;④由②③得:a﹣2b+4c=0,b=﹣2a,则c=﹣,故2c﹣3b=>0,故④错误,不符合题意;⑤当x=1时,函数取得最小值,即a+b+c≤m(am+b)+c,故⑤正确,符合题意;故答案为②⑤.14.(2分)(2019秋•浏阳市期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正确结论的序号是①④⑤.【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴x=﹣1计算2a+b与0的关系;再由根的判别式与根的关系,进而对所得结论进行判断.【完整解答】解:∵图象和x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∴b2>4ac,∴①正确;∵从图象可知:a>0,c<0,﹣=﹣1,b=2a>0,∴abc<0,∴②错误;∵b=2a>0∴2a+b=4a>0,∴③错误;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,∴④正确;∵x=1时,y>0,∴a+b+c>0,把b=2a代入得:3a+c>0,选项⑤正确;故答案为①④⑤.15.(2分)(2019•雨花区校级开学)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax+(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为 2 .【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴,再根据对称性求出点M坐标,利用点M为线段AB中点,得出点B坐标;用含a的式子表示出点P坐标,写出直线OP 的解析式,再将点B坐标代入即可求解出a的值.【完整解答】解:∵抛物线y=ax2﹣2ax+(a>0)与y轴交于点A,∴A(0,),抛物线的对称轴为x=1∴顶点P坐标为(1,﹣a),点M坐标为(2,)∵点M为线段AB的中点,∴点B坐标为(4,)设直线OP解析式为y=kx(k为常数,且k≠0)将点P(1,)代入得=k∴y=()x将点B(4,)代入得=()×4解得a=2故答案为:2.16.(2分)(2021春•雨花区期末)如图,P是抛物线y=x2﹣2x﹣3在第四象限的一点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则四边形OAPB周长的最大值为.【思路引导】设P(x,x2﹣2x﹣3)根据矩形的周长公式得到C=﹣2(x﹣)2+.根据二次函数的性质来求最值即可.【完整解答】解:设P(x,x2﹣2x﹣3),∵过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,∴四边形OAPB为矩形,∴四边形OAPB周长=2PA+2OA=﹣2(x2﹣2x﹣3)+2x=﹣2x2+6x+6=﹣2(x2﹣3x)+6,=﹣2+.∴当x=时,四边形OAPB周长有最大值,最大值为.故答案为.17.(2分)(2019秋•天心区校级月考)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB的周长最小时,S△PAB=.【思路引导】根据轴对称,可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标,然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度,即可求得△PAB的面积,本题得以解决.【完整解答】解:,解得,或,∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),∴AB==3,作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B与y轴的交于P,则此时△PAB的周长最小,点A′的坐标为(﹣1,2),点B的坐标为(4,5),设直线A′B的函数解析式为y=kx+b,,得,∴直线A′B的函数解析式为y=x+,当x=0时,y=,即点P的坐标为(0,),将x=0代入直线y=x+1中,得y=1,∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°,∴点P到直线AB的距离是:(﹣1)×sin45°==,∴△PAB的面积是:=,故答案为:.18.(2分)(2019秋•浏阳市期中)已知抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),则y1、y2、y3的大小关系是y2<y3<y1.【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3,再比例其大小即可.【完整解答】解:∵抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),∴y1=16a﹣8a+m=8a+m,y2=4a﹣4a+m=m,y3=a+2a+m=3a+m,∵a>0,∴m<3a+m<8a+m,即y2<y3<y1,故答案为:y2<y3<y1.19.(2分)(2017秋•开福区校级期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,经过点(0,1)有以下结论:①a+b+c<0;②b2﹣4ac>0;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是①②③⑤.【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【完整解答】解:①由图象可知:x=1时,y<0,∴y=a+b+c<0,故①正确;②由图象可知:Δ>0,∴b2﹣4ac>0,故②正确;③由图象可知:<0,∴ab>0,又∵c=1,∴abc>0,故③正确;④由图象可知:(0,0)关于x=﹣1对称点为(﹣2,0)∴令x=﹣2,y>0,∴4a﹣2b+c>0,故④错误;⑤由图象可知:a<0,c=1,∴c﹣a=1﹣a>1,故⑤正确;故答案为:①②③⑤20.(2分)(2015春•长沙校级期中)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0;其中正确的个数有 2 个.【思路引导】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;当x=1时,y=1+b+c=1;当x=3时,y=9+3b+c=3;当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.【完整解答】解:∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,∴b2﹣4ac<0;故①错误;由图象知,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x的交点坐标为(1,1)和(3,3),当x=1时,y=1+b+c=1,故②错误;∵当x=3时,y=9+3b+c=3,∴3b+c+6=0;③正确;∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,∴x2+bx+c<x,∴x2+(b﹣1)x+c<0.故④正确.故答案是:2.三.解答题(共7小题,满分60分)21.(6分)(2021春•岳麓区校级期末)已知二次函数如图所示,M为抛物线的顶点,其中A(1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标.(2)求直线CM的解析式.【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式.【完整解答】解:(1)设二次函数解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),将C(0,3)代入得:3=a(0﹣1)(0﹣3),∴a=1,∴y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3,∴顶点坐标M(2,﹣1),(2)设直线CM的解析式为y=kx+b,将C(0,3)、M(2,﹣1)代入得:,∴.∴y=﹣2x+3.22.(8分)(2021春•天心区校级月考)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.(1)求出直线l的解析式;(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,求a的取值范围.【思路引导】(1)利用待定系数法即可求出直线的解析式;(2)分x在对称轴右侧和左侧两种情况,分别求解即可;(3)分a<0、a>0两种情况,分别求解即可.【完整解答】解:(1)把点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)代入y=kx+b中,得,解得,∴直线l的解析式为y=x﹣;(2)根据题意可得,y=﹣x2+2x﹣1,∵a<0,∴抛物线开口向下,对称轴x=1,∵m≤x≤m+2时,y有最大值﹣4,∴当y=﹣4时,有﹣x2+2x﹣1=﹣4,∴x=﹣1或x=3,①在x=1左侧,y随x的增大而增大,∴x=m+2=﹣1时,y有最大值﹣4,∴m=﹣3;②在对称轴x=1右侧,y随x最大而减小,∴x=m=3时,y有最大值﹣4;综上所述:m=﹣3或m=3;(3))①a<0时,x=1时,y≤﹣1,即a+1≤﹣1,∴a≤﹣2;②a>0时,x=﹣3时,y≥﹣3,即9a﹣7≥﹣3,∴a≥,直线AB的解析式为y=x﹣;抛物线与直线联立:ax2+2x﹣1=x﹣,∴ax2+x+=0,△=﹣2a>0,∴a<,∴a的取值范围为≤a<或a≤﹣2.23.(8分)(2020秋•长沙月考)已知抛物线y=(2m﹣1)x2+(m+1)x+3(m为常数).(1)若该抛物线经过点(1,m+7),求m的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求满足条件的最大整数m;(3)将该抛物线向下平移若干个单位长度,所得的新抛物线经过P(﹣5,y1),Q(7,y2)(其中y1<y2)两点,当﹣5≤x≤3时,点P是该部分函数图象的最低点,求m的取值范围.【思路引导】(1)将点(1,m+7)代入函数解析式即可;(2)设符合题意的两点分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0),代入解析式,两式相加即可得到2(2m﹣1)x02+6=0,根据二次函数的性质即可求得;(3)当﹣5≤x≤3时,点P是该图象的最低点,①当2m﹣1>0时,﹣≤﹣5②当2m﹣1<0时,﹣>1.【完整解答】解:(1)抛物线经过点(1,m+7),∴m+7=2m﹣1+m+1+3,∴m=2;(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0),代入解析式可得:,∴两式相加可得:2(2m﹣1)x02+6=0,化简得:x02=﹣,又∵x0≠0,∴﹣>0,∴2m﹣1<0,∴m<,故满足条件的最大整数m=0;(3)∵新抛物线经过P(﹣5,y1),Q(7,y2)(其中y1<y2)两点,∵当﹣5≤x≤3时,点P是该图象的最低点,①当2m﹣1>0时,﹣≤﹣5,∴<m≤,②当2m﹣1<0时,﹣>1,∴<m<;综上所述:<m≤且m≠;24.(8分)(2017春•雨花区校级期末)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.【思路引导】(1)直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组,然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式;(2)先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣,则D(,0),则利用勾股定理计算出CD=,然后分类讨论:如图1,当CP=CD时,利用等腰三角形的性质易得P1(,4);当DP =DC时,易得P2(,),P3(,﹣);(3)先根据抛物线与x轴的交点问题求出B(4,0),再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2,利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征,设E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),则F(x,﹣x2+x+2),则FE=﹣x2+2x,由于△BEF和△CEF共底边,高的和为4,则S△BCF =S△BEF+S△CEF=×4×EF=﹣x2+4x,加上S△BCD=,所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+(0≤x≤4),然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大,并得到此时E点坐标.【完整解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣x2+mx+n得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;(2)存在.抛物线的对称轴为直线x=﹣=,则D(,0),∴CD===,如图1,当CP=CD时,则P1(,4);当DP=DC时,则P2(,),P3(,﹣),综上所述,满足条件的P点坐标为(,4)或(,)或(,﹣);(3)当y=0时,﹣x2+x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,则B(4,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(4,0),C(0,2)代入得,解得,∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,设E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),则F(x,﹣x2+x+2),∴FE=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=×4×EF=2(﹣x2+2x)=﹣x2+4x,而S△BCD=×2×(4﹣)=,∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+(0≤x≤4),=﹣(x﹣2)2+当x=2时,S四边形CDBF有最大值,最大值为,此时E点坐标为(2,1).25.(8分)(2021秋•雨花区期末)如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A,交x轴于B、D两点,与y轴交于点C.(1)求线段BD的长;(2)求△ABC的面积;(3)P是抛物线对称轴上一动点,求PC+PD的最小值.【思路引导】(1)分别求出D(﹣1,0),B(3,0),则可求BD;(2)连接AO,求出顶点坐标为(1,﹣4),C(0,﹣3),再由S△CAB=S△OAB+S△OCA﹣S△OCB即可求解;(3)连接BC交对称轴与点P,由题意可知B点与D点关于对称轴x=1对称,则当P、B、C三点共线时,PC+PD的值最小,求出BC=3即为所求.【完整解答】解:(1)当y=0,则0=x2﹣2x﹣3,则(x﹣3)(x+1)=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴D(﹣1,0),B(3,0),∴BD=4;故答案为:4.(2)连接AO,∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),当x=0时,y=﹣3,∴C(0,﹣3),∴S△CAB=S△OAB+S△OCA﹣S△OCB=×3×4+×3×1﹣×3×3=3;故答案为:3.(3)连接BC交对称轴与点P,∵y=(x﹣1)2﹣4,∴对称轴为直线x=1,∵B点与D点关于对称轴x=1对称,∴DP=PB,∴PC+PD=PC+BP≥BC,∴当P、B、C三点共线时,PC+PD的值最小,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴BC=3,∴PC+PD的最小值即BC=.26.(10分)(2021•岳麓区开学)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,如:y=x2+1是y=x+1的定顶抛物线.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的定顶抛物线,求p的值;(2)若二次函数y=﹣x2+4x+7是经过点(1,3)一次函数y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,求直线y=kx+t(k≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积;(3)若函数y=mx﹣3(m≠0)的定顶抛物线y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.【思路引导】(1)由抛物线解析式可得顶点坐标,将顶点坐标代入直线解析式求解.(2)由抛物线解析式可得顶点坐标,由抛物线顶点坐标及(1,3)可得直线解析式,进而求解.(3)由线y=x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x=﹣1,由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛物线与x轴交点坐标,进而可得n的值,将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值.【完整解答】解:(1)∵抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为(0,﹣4),∴(0,﹣4)在直线y=﹣x+p上,∴p=﹣4.(2)∵y=﹣x2+4x+7=﹣(x﹣2)2+11,∴抛物线顶点坐标为(2,11),将(2,11),(1,3)代入y=kx+t得,解得,∴一次函数解析式为y=8x﹣5.将x=0代入y=8x﹣5得y=﹣5,将y=0代入y=8x﹣5得0=8x﹣5,解得x=,∴一次函数与坐标轴交点坐标为(0,﹣5),(,0),∴直线y=8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为×=.(3)∵y=x2+2x+n,∴抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1,∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4,﹣1+2=1,﹣1﹣2=﹣3,∴抛物线经过(1,0),(﹣5,0),将(1,0)代入y=x2+2x+n得0=1+2+n,解得n=﹣3.∴y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴抛物线顶点坐标为(﹣1,﹣4),将(﹣1,﹣4)代入y=mx﹣3得﹣4=﹣m﹣3,解得m=1.27.(12分)(2021春•长沙期末)如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B,与y轴交于点C,若OA=OC=2OB=2.(1)求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式;。
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练(江苏专用)专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题【真题再现】1.(2019年宿迁28题)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图①,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠P AB=2∠ACO.求点P的坐标;(3)如图②,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.2.(2019年盐城27题)如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.(1)求A、B两点的横坐标;(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.3.(2018年常州28题)如图,二次函数y=−13x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).(1)b=,点B的坐标是;(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:MB=1:2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC、BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.4.(2019年苏州28题)如图①,抛物线y=﹣x2+(a+1)x﹣a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.已知△ABC的面积是6.(1)求a的值;(2)求△ABC外接圆圆心的坐标;(3)如图②,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,且∠P AQ=∠AQB,求点Q的坐标.5.(2018年无锡28题)已知:如图,一次函数y=kx﹣1的图象经过点A(3√5,m)(m>0),与y轴交于点B.点C在线段AB上,且BC=2AC,过点C作x轴的垂线,垂足为点D.若AC=CD.(1)求这个一次函数的表达式;(2)已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q(−4√55,0),求这条抛物线的函数表达式.6.(2017年苏州28题)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB =OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1)求b、c的值;(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.【专项突破】【题组一】1.(2020•无锡模拟)如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C.过点A的直线y=kx+2k(k≠0)与这个二次函数的图象的另一个交点为F,与该图象的对称轴交于点E,与y轴交于点D,且DE=EF.(1)求点A的坐标;(2)若△BDF的面积为12,求这个二次函数的关系式;(3)设二次函数的顶点为P,连接PF,PC,若∠CPF=2∠DAB,求此时二次函数的表达式.2.(2020•镇江模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=12x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,点P为第四象限内抛物线上的一个动点.(1)求此抛物线对应的函数表达式;(2)如图1所示,过点P作PM∥y轴,分别交直线AB、x轴于点C、D,若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,求点P的坐标;(3)如图2所示,过点P作PQ⊥AB于点Q,连接PB,当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,请直接写出点P的横坐标.3.(2020•滨湖区模拟)已知二次函数y=ax2+4amx(m>0)的对称轴与x轴交于点B,与直线l:y=−12x交于点C,点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点,点D是抛物线的顶点,已知AC:CO=1:2,∠DOB=45°,△ACD的面积为2.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若点P为抛物线对称轴上的一个点,且∠POC=45°,求点P坐标.4.(2020•营口模拟)如图1,抛物线y=﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2,0)和点B,交y轴于点C(0,2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标;(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.【题组二】5.(2019•梁溪区校级二模)已知,在平面直角坐标系中,直线l与y轴相交于点A(0,m),其中m<0,与x轴相交于点B(4,0).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点B,它与直线l相交于另一点C.(1)若AC:BC=1:3,求a的值(用含m的代数式表示);(2)在(1)的条件下,若抛物线的顶点为F,其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E,当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似时,求抛物线的函数表达式.6.(2019•邗江区校级二模)如图,抛物线y=ax2+3x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=4.(1)求该抛物线的函数解析式.(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=4:3时,求点D的坐标.(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣2),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2019•靖江市校级一模)如图,抛物线y=mx2﹣16mx+48m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E.(1)若△OAC为等腰直角三角形,求m的值;(2)若对任意m>0,C、E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);(3)当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点.①求m的值;②此时对于该抛物线上任意一点P(x0,y0)总有n+13≥−4√3my02−12√3y0−50成立,求实数n的最小值.8.(2019•姑苏区校级二模)已知抛物线经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(0,3),点D为抛物线在第一象限内图象上一动点,连接AD,交y轴于点E,将点C关于线段AD作轴对称,对称点为C',连接AC'.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1如果点C'落在x轴,求点E坐标;(3)如图2,连接AC、BC,BC与AD交于点F,拖动点D,点C'落在第四象限,作FG∥AC,交x轴于点M,交AC'于点G,若∠AGF=90°,求点M的横坐标.【题组三】9.(2019•宿豫区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,且抛物线经过点D(2,3).(1)求这条抛物线的表达式;(2)将该抛物线向下平移,使得新抛物线的顶点G在x轴上.原抛物线上一点M平移后的对应点为点N,如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形,求点N的坐标;(3)若点P为抛物线上第一象限内的动点,过点B作BE⊥OP,垂足为E,点Q为y轴上的一个动点,连接QE、QD,试求QE+QD的最小值.10.(2019•灌南县二模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx−√3的图象经过点A(﹣1,0)、C(2,0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;(2)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点,①若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形,直接写出点M的坐标;②连接MA、MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.11.(2019•润州区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线AB相交,与x轴、y轴交于A(2,0)、B(0,2√3).(1)求点O关于AB的对称点P的坐标;(2)若点P在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的关系式.(3)在(2)的条件下,在△ABP内存在点M,使得MA+MB+MP的值最小,则相应点M的坐标为.12.(2019•洪泽区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+5经过A(1,0)和B(5,0),与y轴交于点C点为点D,连接BC,BD.点P是抛物线对称轴上的一个动点(1)a=,b;(2)若∠CPB=90°,求点P的坐标;(3)是否存在点P,使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于∠ABC?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.(4)如图②,抛物线对称轴交x轴于点E,设∠BDE的度数为a,点M是线段BC上动点,作射线AM,将AM绕A点逆时针旋转2a度,旋转后的射线交直线BC与点N,请直接写出MN的最小值.(直接写出结果)【题组四】13.(2019•高港区三模)定义:两条长度相等,且它们所在的直线互相垂直,我们称这两条线段互为等垂线段.如图①,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)若线段AB与线段BC互为等垂线段.求A、B、C的坐标.(2)如图②,点D是反比例函数y=−1x的图象上任意一点,点E(m,1),线段DE与线段AB互为等垂线段,求m的值;(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B两点.①用含a的代数式表示b.②点P为平面直角坐标系内的一点,在抛物线上存在点Q,使得线段PQ与线段AB互为等垂线段,且它们互相平分,请直接写出满足上述条件的a值.14.(2019•丹阳市一模)如图(1),二次函数y=ax2﹣bx(a≠0)的图象与x轴、直线y=x的交点分别为点A(4,0)、B(5,5).(1)a=,b=,∠AOB=°;(2)连接AB,点P是抛物线上一点(异于点A),且∠PBO=∠OBA,求点P的坐标;(3)如图(2),点C、D是线段OB上的动点,且CD=2√2.设点C的横坐标为m.①过点C、D分别作x轴的垂线,与抛物线相交于点F、E,连接EF.当CF+DE取得最大值时,求m的值并判断四边形CDEF的形状;②连接AC、AD,求m为何值时,AC+AD取得最小值,并求出这个最小值.15.(2019•建湖县二模)如图,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C直线y=﹣x+4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式;(2)过点A的直线交抛物线于点M,交直线BC于点N.①点N位于x轴上方时,是否存在这样的点M,使得AM:NM=5:3?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时,请求出点M的横坐标.16.(2019•无锡二模)已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a>0)图象的顶点为C与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),点C、B关于过点A的直线l:y=kx−√3对称.(1)求A、B两点坐标及直线l的解析式;(2)求二次函数解析式;(3)如图2,过点B作直线BD∥AC交直线l于D点,M、N分别为直线AC和直线l上的两动点,连接CN,NM、MD,求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值.【题组五】17.(2019•兴化市二模)已知,关于x的二次函数y=ax2﹣2ax(a>0)的顶点为C,与x轴交于点O、A,关于x的一次函数y=﹣ax(a>0).(1)试说明点C在一次函数的图象上;(2)若两个点(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函数的图象上,是否存在整数k,满足1y1+1y2=16a?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由;(3)若点E是二次函数图象上一动点,E点的横坐标是n,且﹣1≤n≤1,过点E作y轴的平行线,与一次函数图象交于点F,当0<a≤2时,求线段EF的最大值.18.(2019•清江浦区一模)如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点B(﹣3,0)和C(4,0)与y轴交于点A.(1)a=,b=;(2)点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动,同时,点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动,当点M到达B点时,两点停止运动.t为何值时,以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形?(3)点P是第一象限抛物线上的一点,若BP恰好平分∠ABC,请直接写出此时点P的坐标.19.(2019•常州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+m交y轴于点C,与抛物线y=ax2+bx交于点A(4,0)、B(−32,−338).(1)直线l的表达式为:,抛物线的表达式为:;(2)若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点,且2S△APB=S△AOB,求△AOP的面积;(3)若点Q是二次函数图象上一点,设点Q到直线l的距离为d,到抛物线的对称轴的距离为d1,当|d ﹣d1|=2时,请直接写出点Q的坐标.20.(2019•东台市模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C,顶点是D.(1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标;(2)在x轴上取点F,在抛物线上取点E,使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点E 的坐标;(3)将此抛物线沿着过点(0,2)且垂直于y轴的直线翻折,E为所得新抛物线x轴上方一动点,过E作x轴的垂线,交x轴于G,交直线l:y=−12x﹣1于点F,以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN,求弦MN长度的最大值.【题组六】21.(2019•昆山市二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(2,0),B(﹣3,0),交y轴于点C,且经过点D(﹣6,﹣6),连接AD,BD.(1)求该抛物线的函数关系式;(2)若点M为X轴上方的抛物线上一点,能否在点A左侧的x轴上找到另一点N,使得△AMN与△ABD 相似?若相似,请求出此时点M、点N的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P是直线AD上方的抛物线上一动点(不与A,D重合),过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q,以PQ为直径作⊙E,则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于.(直接写出答案)22.(2019•泰兴市一模)如图1,抛物线l1::y1=a(x﹣2)2与直线l2:y2=﹣am(x﹣2)+b(a,m,b 为常数,a≠0,m<0)交于A,B两点,直线l2交x轴交于点C.点A的坐标为(m+2,n).(1)若a=﹣1,m=﹣3,则A的坐标为,b=,点B的坐标为;(2)已知点M(0,﹣4),N(3,﹣4),抛物线l1与线段MN有两个公共点,求a的取值范围;(3)①如图1,求证:AB=3AC;②如图2,设抛物线顶点为F,直线l2交抛物线的对称轴于点D,直线l3:y3=2am(x﹣2)+d(d为常数,d≠0)经过点A,并交抛物线的对称轴于点E,若∠BFD=p∠AED(p为常数),则p的值是否发生变化?若不变,请求出p的值;若变化,请说明理由.23.(2019•铜山区二模)已知,如图,二次函数y=ax2+bx+c图象交x轴于A(﹣1,0),交y轴于点C(0,3),D是抛物线的顶点,对称轴DF经过x轴上的点F(1,0).(1)求二次函数关系式;(2)对称轴DF与BC交于点M,点P为对称轴DF上一动点.①求AP+√55PD的最小值及取得最小值时点P的坐标;②在①的条件下,把△APF沿着x轴向右平移t个单位长度(0≤t≤4)时,设△APF与△MBF重叠部分面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并求出S的最大值.24.(2019•靖江市一模)如图1,将抛物线y=ax2(a<0平移到顶点M恰好落在直线y=x+3上,且抛物线过直线与y轴的交点A,设此时抛物线顶点的横坐标为m(m>0).(1)用含m的代数式表示a;(2)如图2,Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点,∠B=90°,BC∥x轴,CD=2.BD=t.BT=2t,△TDC的面积为4.①求抛物线方程;②如图3,P为抛物线AM段上任一点,Q(0,4),连结QP并延长交线段AM于N,求NPNQ的最大值.。