高考数学总复习 第11章 第3节 二项式定理课件 新人教A版

03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程

的展开式中的有理项共有________项．
, ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3
5．已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式 系数相等，则 n＝________.
答案：10
6．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为________．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项 得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项 得出 k 值，最后求出其参数．
在高考中常涉及一些多项式的二项式问 题，主要考查学生的转化归纳能力，主要有以 下几个命题角度：
角度一：几个多项式和的展开式中的特定 项(系数)问题
[典题 2] x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的 常数项为( )
赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈ R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值 法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展 开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x) 展开式中各项系数之和为 f(1)，
3．(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________．
解析：二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r
＝
，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故
展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
答案：6
4.
x－ 1 4
2
8 x
(5)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或 中间两项．( )
(6)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部 分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )

a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。

【解】 令x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1 ① 令x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7 ＝37 ② 2分
课堂互动讲练
(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3 ＋…＋a7＝－2. 3分
(2)(①－②)÷2得：
a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1094. (3)(①＋②)÷2 得：
第3课时 二项式定理
基础知识梳理
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝ Cn0an＋Cn1an－1b＋… ＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)叫做二 项 做二式项定式理系．数其中．CTnkk＋(k1＝＝C0,n1k,a2n，－k…bk，叫n做)叫 二项展开式的通项，它表示第k＋1项．
基础知识梳理
在公式中，交换a，b的顺序是 否有影响？
【思考·提示】 从整体看， (a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某 一项是不同的，如第k＋1项Tk＋1＝ Cnkan－kbk，T′k＋1＝Cnkbn－kak.
基础知识梳理
2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“ 等距离 ”的 两个二项式系数相等，即Cnm＝Cnn－m.
课堂互动讲练
(2)各项系数之和为：a0＋a1＋a2 ＋…＋a9.
令x＝1，y＝1， 得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝ －1.6分 (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝ －1. ① 7分 令x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝(2 ＋3)9＝59. ② 8分

课堂互动讲练
∵Tr＋1＝C10r·(2x)10－r·(－1x)r ＝(－1)rC10r·210－r·x10－2r，
∴CC1100rr··221100－－