选修2-2第一章1.1.1 变化率问题学案

§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。

如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。

板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

课题： 1.1.1 变化率问题【学习目标】(1)了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(2)知道函数的瞬时变化率的概念．(3)掌握与理解导数的定义和物理意义第一环节：导入学习1 函数的平均变化率 Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1注意：①平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx ，式子中Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，而Δy 的值可以为零，若函数f (x )为常数函数，此时Δy ＝0.②平均变化率的几何意义是函数曲线上两点割线的斜率，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝k AB ，其中点A (x 1，f (x 1))，点B (x 2，f (x 2))，如图.2 求函数f (x )的平均变化率的步骤(1)求函数增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1) (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 13 平均速度重点1 理解函数的平均变化率的概念和几何意义．重点2 会求函数的平均变化率． 重点3 求物体运动的平均速度的步骤：(1)求位移增量Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )；(2)求平均速度v ＝Δs Δt ；(3)求错误!未指定书签。

ΔsΔt＝错误!未指定书签。

s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt；错误!未指定书签。

.第二环节：自主学习1(1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2②1③0.1④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝（Δx ）2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，Δy Δx＝Δx ＋2＝4；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝3；③当Δx ＝0.1时，Δy Δx ＝Δx ＋2＝2.1；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10 请计算： 解二 深入学习3两工厂经过治理，污水的排放量(W )与时间(t )的关系如图2所示，试指出哪一个厂治污效果较好？图2【分析】 比较相同时间Δt 内，两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果．【解】 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但W 1（t 0－Δt ）－W 1（t 0）Δt ≥W 2（t 0－Δt ）－W 2（t 0）Δt，所以说，在单位时间里，工厂甲比工厂乙的平均治污率大，因此工厂甲比工厂乙略好一筹．第三环节：互助学习 第四环节：展示学习第五环节：精讲学习 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.( 3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 100.52:t t v ≤≤≤≤和1时的平均速度00.5(0.5)(0)4.05(/)0.502(2)(1)8.2(/)21t h h v m s t h h v m s ≤≤-==-≤≤-==--在这段时间里，在1这段时间里，1.△x 是一个整体符号，而不是△与x 相乘；式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但△x 值不能为0，△y 的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式x x f x x f ∆-∆+=)()(111212)()(x x x f x f x y --=∆∆。

1.1.1 变化率问题教学目标 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

重点难点 平均变化率的意义教学过程一、问题情境1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”时间4月18日 4月19日 4月20日 日最高气温 18.6℃ 24.4℃ 33.4℃该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 说明： t (d)20 30 34 210 20 30A (1, 3.5)B (32, 18.6)0 C (34, 33.4) T (℃)2 10 2121()()f x f x x x--x y ∆∆=(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。

高中数学选修2-2教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2选修2-2教案第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--3⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:41．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，5∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

课题：§1.1.1变化率问题课题：§1.1.2导数的概念课题：§1.1.3导数的几何意义教学班级教学目的1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题教学难点 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义知识重点导数的几何意义教学过程方法和手段一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆图3.1-2说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念： ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1)与该点的位置相关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存有,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,能够有多个,甚至能够无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 三．典例分析例1：（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，所以，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -= （2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，所以，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3能够看出，直线1l 的倾斜水准小于直线2l 的倾斜水准，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，能够得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--，所以 (0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：例4、求曲线11+=x y 在点（1，21）处的切线方程。

变化率与导数课时分配:第一课变化率1个课时第二课导数的概念1个课时第三课导数的几何意义1个课时1. 1.1 变化率【教学目标】1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法；4.让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．【教学重点】理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义【教学难点】通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义【学前准备】：多媒体，预习例题【教材分析】：平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。

在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：210k k <<陡 峭 程 度 （越大） （越小）yAB O1k 2k 12||||k k <（1）、我们研究的是随着体积V 的变化，半径R 变化的快慢，引入函数解析式（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？讨论得出： 观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议334()Vr V π=1212)()(r v v v r v --导数的概念【教学目标】（一）知识与技能理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的概念.（二）过程与方法通过观看国家运功员跳水视频，引出瞬时速度，进而结合瞬时变化率及极限的思想得出导数的概念.（三）情感、态度与价值观学生通过观看运动员跳水视频，理解瞬时速度及瞬时变化率，从而过渡到导数，培养了学生自主观察、发现新知的能力【教学重点难点】重点：导数的概念难点：导数的概念形成过程【学前准备】：多媒体，预习例题导数的几何意义【教学目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【教学重点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义【教学难点】导数的几何意义图3.1-2我们发现，当点沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。

教学准备
1. 教学目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；2. 教学重点/难点
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义
六．布置作业。

变化率问题班级： 姓名：【学习目标】：通过具体案例理解函数平均变化率的概念。

【学习重点】：理解函数平均变化率的概念及几何意义。

【学习难点】：求函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率。

【问题导学】1.阅读教材p72,在【气球膨胀率】问题中：（1）空气容量从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率约为：0.62（dm/L);空气容量从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率约为：0.16（dm/L);请计算出空气容量从2L 增加到2.5L 时，气球的平均膨胀率约为多少？空气容量从2.5L 增加到4L 时，气球的平均膨胀率约为多少？（2）从以上数据可以看出：随着气球体积的增大，比值体积的增加量半径的增加量发生怎样的变化？说明了什么(快慢）？（3）概括出：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率的表达式？2.阅读教材p73,在【高台跳水】问题中：（1）在5.00≤≤t 时间段内，平均速度)/(05.4s m v =，那么运动员相对于水面的高度h 是在平均增大还是减小？在21≤≤t 时间段内呢？能概括出：运动员在1t 到2t 时间段内的平均速度吗？（2）计算运动员在49650≤≤t 时间段里的平均速度，思考下面的问题： ①运动员在这段时间内是静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？3.阅读教材p73,回答什么是函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率？并阅读p74的思考栏目回答相应问题？【实践演练】例1：一物体做直线运动，其位移s 与时间的关系为23)(t t t s s -==，求物体在[]t t t ∆+00,这段时间内的平均速度。

例2：求函数21x y =在)0(00≠x x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

【基础练习】：1.在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆是否一定大于0？2.函数)(x f y =，当自变量x 由0x 变到x x ∆+0时，函数值的改变量为：3.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(及邻近一点)4,1(y x ∆+∆+，则xy∆∆等于多少？4.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(P 及附近一点),(00y x Q ，且21=∆∆x y ，则点Q 的坐标为多少？若P 为)1,0(呢？为)4,1(-呢？5.求函数122-=x y 在1-=x 和2-=x 处的平均变化率，并比较当21=∆x 时变化率的的大小。