陕西省西安市普通高中2021届高三毕业班上学期第一次教学质量检测(一模)数学(理)试题及答案解析

2021届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ，全集{1,2,1,2,3,4}U =--，若{}1,3,4UA =，则集合A 是（ ）A ．{1,2,0,2}--B ．{1,2,2}--C ．{1,2}--D ．{0}【答案】B【分析】根据补集的定义即可求得集合A . 【详解】解；因为全集{}1,2,1,2,3,4U =--，若UA ={1,3,4}，由补集的定义可得，{}1,2,2A =--． 故选：B ．2．已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln 1f x x =+，则()f e -=（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．1【答案】C【分析】由题意先计算()f e ，再根据奇函数的性质，得()()f e f e -=-，即可得答案. 【详解】根据题意，当0x >时，()ln 1f x x =+，则()ln 12f e e =+=，又由()f x 为奇函数，则()()2f e f e -=-=-. 故选：C.3．若,02a π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα+=，则sin3α=（ ）A ．B ．2C ．D ．12【答案】A【分析】先求出4a π=-，直接带入求出sin3α【详解】解：因为sin α+cos α=0，且,02a π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以sin tan 1cos ααα==-， 所以4a π=-，则sin3α=33sin()sin 442ππ-=-=-． 故选：A ．4．在1到100的整数中，除去所有可以表示为2()n n N +∈的整数，则其余整数的和是（ ） A ．3928 B ．4024 C ．4920 D ．4924【答案】D【分析】当2[1,100]n∈时，结合等比数列求和，求得126222126+++=，再由等差数列的求和公式，求得1231005050++++=，进而求得其余的整数的和．【详解】当2[1,100]n ∈时，可得1,2,3,4,5,6n =所以61234562(12)22222212612⨯-+++++==-，又由10010112310050502⨯++++==， 所以在1到100的整数中，除去所有可以表示为2()nn N +∈的整数， 其余的整数的和为50501264924-=． 故选：D.5．已知双曲线22:18x y S m m -=+的离心率为2，则双曲线S 的两条渐近线的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或3π D ．3π或23π【答案】B【分析】利用双曲线的离心率求出m 的值，可得出双曲线的渐近线方程，由此可得出结果.【详解】由于方程2218x y m m -=+表示的曲线为双曲线，则()80m m +>，解得8m <-或0m >.则22222213b c a e a a-==-=. ①当0m >时，则2a m =，28b m =+，则2283b m a m+==，解得4m =，所以双曲线的渐近线方程为y =，此时，该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为3π、23π，则双曲线S 的两条渐近线的夹角为3π； ②当8m <-时，则()28a m =-+，2b m =-，则()22388b m m a m m -===-++，解得12=-m .所以双曲线S 的渐近线方程为3y x =±，此时双曲线S 的两条渐近线的倾斜角分别为6π、56π， 则双曲线S 的两条渐近线的夹角为3π． 综上所述，双曲线S 的两条渐近线的夹角为3π. 故选：B ．【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为b y x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建c a的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 6．已知||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为6π，则3a b -=（ ）A B ． C D 【答案】A【分析】先求a b ⋅，再利用22b b =求出3a b -.【详解】解：1,2,a b ==且a 与b 的夹角为6π，12a b ∴⋅=⨯⨯=22223233123327a b a a b b ∴-=-⋅⋅+=-⨯⨯=故37a b -= 故选：A ．【点睛】向量的模运算的常用方法： （1）定义法；（2）坐标法；（3）用22bb =求模.7．已知点P 在圆()()22:211C x y -++=上，直线:3412l x y +=与两坐标轴的交点分别为,M N ，则PMN 的面积的最大值是（ ） A ．152B ．8C ．172D ．9【答案】A【分析】根据题意得圆心到直线的距离，然后根据d r +计算点P 到直线l 的距离的最大值，再计算MN ，利用1()2S MN d r =+计算PMN 面积最大值. 【详解】如图，当点P 距离直线:3412l x y +=的距离最大时，PMN 的面积最大.已知，圆C 的圆心(2,1)- 到直线:3412l x y +=的距离22234d ==+，则圆C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为213d r +=+=，又直线:3412l x y +=与两坐标轴交点分别为(4,0),(0,3)M N ，所以5MN =． ∴PMN 面积的最大值为1155322S =⨯⨯=． 故选：A.8．已知在△ABC 角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，且a =4，b =3，c =2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ） A ．14-B 15C ．15D 15 【答案】D【分析】由大边对大角知A 最大，利用余弦定理求解即可. 【详解】因为a =4，b =3，c =2， 所以最大角是A ，根据余弦定理：22294161cos 22324b c a A bc +-+-===-⨯⨯，且A ∈(0，π)，∴21151c si os n 116A A =-=-=． 故选：D9．已知()213sin cos sin 0,22f x x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的值域是（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[1,1]-【答案】C【分析】首先利用降幂公式化简函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求26x π-的范围，再求函数的值域. 【详解】()31cos2x 131sin2sin2cos2sin 22226f x x x x x π-⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭， 510,,2,,sin 2,1,266662x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴-∈-∴-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦()f x ∴的值域为1,1.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：C ．10．如图，已知底面边长为a 的正四棱锥P ﹣ABCD 的侧棱长为2a ，其截面PAC 的面积为87，则正四棱锥P ﹣ABCD 的高是（ ）A ．14B ．14C ．7D ．4【答案】B【分析】根据正四棱锥的特性，PAC △底边AC 上的高即为此四棱锥的高.【详解】由题意可知，P A =PC =2a ，AC =，所以PAC △的高h ==，所以PAC △的面积21122S AC h =⋅⋅==，又截面P AC 的面积为，2=a =4，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的高即为PAC △的高4h == 故选：B ．11．已知命题p ：,10lg x R x x ∃∈->，命题q ：1,2xx R e ∀∈>，则（ ） A ．“p q ∨”是假命题 B ．“p q ∧”是真命题 C ．“p q ⌝∨”是假命题 D ．“p ∧￢q ”是真命题【答案】D【分析】先命题p 为真命题，命题q 为假命题，再根据复合命题的真假判定，结合选项，即可求解.【详解】由题意，命题p ：,10lg x R x x ∃∈->，当100x =时，不等式成立，所以p 为真命题；命题q ：1,2xx R e ∀∈>，当1x =-时，不等式不成立，所以q 为假命题， 根据复合命题的真假判定，可得命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题；p q ⌝∨为真命题，⌝∧p q 为真命题.故选：D.12．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f 【答案】D【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增；()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减二、填空题13．准线方程为2y =的抛物线的标准方程是___________. 【答案】28xy【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y 轴负半轴上的抛物线，并求得p 值，则答案可求．【详解】解：由抛物线的准线方程为2y =，可知抛物线是焦点在y 轴负半轴上的抛物线，设其方程为22(0)x py p =->，则其准线方程为22py ==，得4p =． ∴该抛物线的标准方程是28x y ．故答案为：28x y ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题． 14．若a ∈R ，i 为虚数单位，24ai+=，则a =______________________．【答案】±【分析】根据复数的运算，化简得到|2|4ai -=，列出方程，即可求解. 【详解】根据复数的运算，可得222|2|4a aiai i i+=+=-=a =±．故答案为：± 15．设函数5,1()2,1xx m x f x x -<⎧=⎨⎩，若485f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则m =___________． 【答案】1【分析】先求4()5f ，然后再根据m 的取值范围分类讨论就可以求符合题意的m 的值.【详解】根据题意，函数f (x )=5,12,1xx m x x -<⎧⎨≥⎩， 则f (45)=5×45﹣m =4﹣m ， 当m ≤3时，4﹣m ≥1，f (f (45))=f (4﹣m )=24﹣m =8，解可得m =1，符合题意，当m >3时，4﹣m <1，f (f (45))=f (4﹣m )=5(4﹣m )﹣m =20﹣6m =8，解可得m =2，不符合题意，综合可得：m =1， 故答案为：1.16．已知函数()2f x x ax b =++有两个零点12,x x ，且12102x x <-<<<，则2z a b =-的取值范围为___________．【答案】(2,3)-【分析】根据题意，得到不等式组(1)10(0)0(2)240f a b f b f a b -=-++>⎧⎪=<⎨⎪=++>⎩，画出不等式组所表示的可行域，结合图形，确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】由题意，函数()2f x x ax b =++有两个零点12,x x ，且12102x x <-<<<，可得(1)10(0)0(2)240f a b f b f a b -=-++>⎧⎪=<⎨⎪=++>⎩，画出不等式组所表示的可行域，如图所示，目标函数2z a b =-，可化为直线122z ba =-， 当直线122zb a =-过点点A 时，此时取得最大值； 当直线122zb a =-过点点B 时，此时取得最小值，由10240a b a b -++=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)A --，由0240b a b =⎧⎨++=⎩，解得20a b =-⎧⎨=⎩，即(2,0)B -， 所以目标函数的最大值为max 12(2)3z <--⨯-=，最小值为min 2z >-， 所以2z a b =-的取值范围为(2,3)-. 故答案为：(2,3)-.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+ ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解； （3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.三、解答题17．已知{a n }为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且13b =，339S =，127a b =-，4041a b =-．（1）求{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）求和1231222n n a a a a a ++++⋯⋯++． 【答案】（1）a n =2n ；b n =3n ，n ∈N ；（2）2n 2+4n ．【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可； （2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可.【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由b 1=3，S 3=39，a 1=b 2﹣7，a 40=b 4﹣1，可得3+3q +3q 2=39，a 1=3q ﹣7，a 1+39d =3q 3﹣1， 解得q =3，d =2，a 1=2，则a n =2+2(n ﹣1)=2n ；b n =3•3n ﹣1=3n ，n ∈N ；（2）a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1=2(a 1+a 2+a 3+……+a n +a n +1)﹣a 1﹣a n +1 =2•12(n +1)(2+2n +2)﹣2﹣2(n +1)=2n 2+4n ． 18．已知正四面体ABCD ，M ､N 分别在棱AD 、AB 上，且12AM MD =，13AN AB =，P 为棱AC 上任意一点(P 不与A 重合)．（1）求证：直线//MN 平面BDP ；（2）若正四面体ABCD 的各棱长均为60cm ．求三棱锥M ﹣BDC 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3120002cm ． 【分析】（1）由13AM AD =，13AN AB =得出//MN DB ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）设G 为底面△ABC 的重心，由MN ∥平面DBC 得出三棱锥M ﹣BDC 的体积与三棱锥N ﹣BDC 的体积相等，再由等体积法求出三棱锥M ﹣BDC 的体积．【详解】解：（1）证明：由12AM MD =，可得点M 在AD 上，则有13AM AD = 又13AN AB =，所以//MN DB 又MN ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以MN ∥平面BDP ；（2）设G 为底面△ABC 的重心，Q 为AC 的中点，如图所示则32260303cm,203cm,6040cm 233BQ GB BQ BN =⨯====⨯= 所以()2260203206GD =-=cm由（1）可知MN ∥DB ，且MN ⊄平面DBC ，DB ⊂平面DBC ，故MN ∥平面DBC 所以点M 与点N 到平面BDC 的距离相等所以三棱锥M ﹣BDC 的体积与三棱锥N ﹣BDC 的体积相等又三棱锥N ﹣BDC 的体积与三棱锥D ﹣BNC 的体积相等所以13M BDC D BNC BNC V V S GD --==⋅⋅△=31136040206120002cm 322⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以三棱锥M ﹣BDC 的体积为3120002cm ．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由MN∥平面DBC得出三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等，进而由等体积法求出所求体积.19．西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图)．（1）试估计这批树苗高度的中位数；（2）现按分层抽样方法，从高度在[2.30，2.50]的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]的概率．【答案】（1）2.12；（2）45．【分析】（1）根据频率分布直方图，由中位数的定义求解；（2）分层抽样可知[2.30，2.40)中抽取4株，[2.40，2.50)中抽取2株，根据古典概型求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得：[2.0，2.2)的频率为：(1+3.5)×0.1=0.45，[2.2，2.3)的频率为：2.5×0.1=0.25，估计这批树苗高度的中位数为：2.1+0.50.450.10.25-⨯=2.12．（2）按分层抽样方法，从高度在[2.30，2.50]的树苗中任取6株树苗，则[2.30，2.40)中抽取：6×221+=4株，[2.40，2.50)中抽取：6×121+=2株，从这6株树苗中任选3株，基本事件总数n=3620C=，3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]包含的基本事件个数：m =12214242C C C C +=16，∴3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]的概率164205m P n ===． 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，F 1､F 2分别为椭圆C 的左､右焦点，P 为椭圆C 上的任一点，且|PF 2|的最大值和最小值分别为3和1，过F 2的直线为l ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ､B 两点，求△ABF 1的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3． 【分析】（1）根据|PF 2|的最大值a+c 和最小值a-c,结合已知条件得到方程组，求得a,c 的值，进而结合a,b,c 的平方关系求得椭圆的标准方程.（2）先判定直线的斜率不为零，进而设其方程为x =my +1，与椭圆方程联立，消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理求得12y y -关于m 的函数表达式，适当变形，利用基本不等式求得其最大值，进而根据11212||2ABF Sc y y =⨯⨯-得到所求三角形的面积的最大值. 【详解】解：（1）由椭圆的性质可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得a =2，c =1， b 2=a 2﹣c 2=3， 所以椭圆方程为22143x y +=， （2）由题意分析可知直线l 的斜率不能为零，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 的方程为x =my +1， 联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3m 2+4)y 2+6my ﹣9=0， △=36m 2+36(3m 2+4)>0， ∴122634m y y m +=+，122934y y m -=+，∴12||y y -=== 所以当且仅当m =0时|y 1﹣y 2|取到最大值3，11212||2ABF S c y y =⨯⨯-≤3， 即三角形ABF 1面积的最大值为3．【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和椭圆中的面积最值问题，熟练掌握椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值，灵活变形使用基本不等式求最值是关键步骤.掌握面积的求法11212||2ABF S c y y =⨯⨯-是十分重要的. 21．已知函数()ln ln 2f x x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设()()1h x f x =-，求证：()h x 在[1,)+∞上有唯一零点．【答案】（1）ln 2(1)y x =-；（2）证明见解析．【分析】（1）求得导数()f x '，得到()1ln 2f '=和()10f =，进而求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）由求得()2ln 2ln ln 2(0)x x x h x x x x+'==>，利用导数的符号，求得函数()h x 的单调性，结合()10h <，和x →+∞时，()h x →+∞，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()ln ln 2f x x x =，可得()ln 2ln x x f x x x'=+，则()1ln 2f '=， 又由()10f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为ln 2(1)y x =-；（2）由()()1ln ln 21h x f x x x =-=-，可得()2ln 2ln ln 2(0)x x x h x x x x+'==>， 令()0h x '>，可得2ln 20x >，即221x >，解得2x>， 所以当x ∈时，()0hx '<，当)x ∈+∞时，()0h x '>， 则()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，又因为()110h =-<，当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 在[1,)+∞上有唯一零点．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．22．已知曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)．点1,2P ⎛- ⎝⎭在曲线S 上，直线l 过点P ，且倾斜角为3π． （1）求点P 在曲线S 上对应的参数θ的值；（2）求直线l 被曲线S 截得的线段的长度．【答案】（1）76θπ=；（2）6． 【分析】（1）由题知1sin 2cos θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合02θπ≤<得76θπ=； （2）根据题意得直线l0y --=，再把曲线S 化为普通方程得()2219x y -+=，进而得直线l 过圆心，进而得答案.【详解】解：（1）曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)．点1,2P ⎛- ⎝⎭在曲线S 上，所以1sin 2{cos θθ=-=02θπ≤<， 所以76θπ=．（2）曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)转换为直角坐标方程为()2219x y -+=，直线l 过点1,2P ⎛- ⎝⎭，且倾斜角为3π，0y -=，由于圆心()1,0在直线上，故直线l 被曲线S 截得的线段成为圆的直径6．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l 的方程，曲线S 的普通方程得直线l 过圆心，进而得答案.23．已知()34f x x x =--．（1）解不等式()0f x ≤；（2）设()()f x g x x=(3x ≤，且0x ≠)，求()g x 的值域． 【答案】（1）(,4]-∞；（2）(,1][7,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）由()0f x ≤，可得340x x --≤，分类讨论，即可求解.（2）化简得到4()3g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分03x <≤和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()34f x x x =--，因为()0f x ≤，可得340x x --≤，可得3(3)40x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3(3)40x x x <⎧⎨--≤⎩，解得34x ≤≤或3x <，即4x ≤， 所以不等式()0f x ≤的解集为(,4]-∞．（2）当3x ≤，且0x ≠时，()44()33f x g x x x x x x ⎛⎫==--=-+ ⎪⎝⎭，当03x <≤时，可得44x x +≥=，当且仅当2x =时等号成立，所以44x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，可得431x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，即()1g x ≤-；当0x <时，40,0x x ->->，所以44x x --≥=， 当且仅当2x =-时等号成立，所以437x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即()7g x ≥， 所以()g x 的值域为(,1][7,)-∞-⋃+∞．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。

要求 的最大值即求 的最大值.
当直线 经过点 时，直线的纵截距 最大， 最大.
此时 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：9
【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量 ；
（2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数 ；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 .
（2）当 点为半圆的中点时， ，
以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ， ，即 ， ，
【详解】将 变形为 ，即 ，
又 ， ， 符合上式，
是首项 ，公差 的等差数列
.
故答案为：84
【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推关系及等差数列的求和公式，利用数列递推关系求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的转化与化归思想及运算能力，属于基础题.
【详解】由已知得，抛物线 的准线方程为 ，且过点 ，
故 ，则 .
故选：C.
3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列 中， ， ， 依次成等比数列，则 的值是（）
A． B． C． D．58
【答案】A
【分析】由已知得 和 ，可求出 ，利用等差数列的通项公式得到 .
【详解】设公差不为零的等差数列 的公差为d，则有 ，
【详解】设正方体的棱长为 ，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 ，

长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A ∩B =（） A.[−2,4]B.[)1,+∞ C.(]0,4D.[)2,-+∞2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足i z z 232-=+，则=z () A ．2+iB ．1+2iC ．2-iD.1-2i3.已知等差数列{}n a 中，92832823=++a a a a ,且0<n a ，则数列{}n a 的前10项和为()A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (μ−σ<X <μ+σ)=68.26%, P (μ−2σ<X <μ+2σ)=95.44%） A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是（）A. B.C. D.6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是() A. 1,1?,7+=-=≤i i is s iB.i i is s i 2,1?,128=-=≤ C.1,21?,7+=-=≤i i is s iD.i i is s i 2,21?,128=-=≤ 7.已知Rt△ABC，点D 为斜边BC 的中点，，，，则等于（ ） A ．14-B ．9-C ．9D ．148.设01p <<ξξ0 1 2P12 2p 12p- 则当p 在()0,1内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．361B ．181C ．121 D ．91 10.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的渐近线与抛物线()02:2>=p px y E 的准线分别交于B A ,两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0=⋅，则双曲线C 的离心率为()A ．2B ．3C.2D ．511. 已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x的图象经过点)3,1(P ，)5,2(Q ，当*N n ∈时，)1()(1)(+⋅-=n f n f n f a n ，记数列{n a }的前n 项和为n S ，当3310=n S 时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≠==-0,0,1)(x e x m x f x ，若方程 有5个解，则m 的取值范围是（） A.(1,)+∞ B.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,1)(1,)⋃+∞第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 13.已知),0(πθ∈，且102)4sin(=-πθ，则tan2θ=________． 14.已知()()7280128212x x a a x a x a x +-=+++，则128a a a ++=_____,3a =_____．15.5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种.（用数字作答）2)()32()(32=++-x f m x mf16. 已知平面向量a ,m ,n ，满足4=→a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=+⋅-010122n a n m a m ，则当=-→→n m _____，则→m 与→n 的夹角最大．三、解答题：（共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22B AC +=. （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的最大值.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点. （I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30，求二面角C PB D --的大小. 19. (本小题满分12分)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒， 有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1+k 次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为322． （Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20. （本小题满分12分）已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点， 线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ；（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过)2,0(F 的直线l 交曲线E 于不同的两点H G ,，（点G 在点F ,H 之间），且满足53=，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数R a x a x a x e x f x∈+++-=,)ln()()(． （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程； （2）若函数)(x f 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明:1)1(ln)34(ln )23(ln 2ln 32-<+++++e en n n ． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C ：222812(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数）和直线l ：2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且P （2，1）为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程．23. [选修：不等式选讲]（本小题满分10分） 设函数()1f x x x =+-的最大值为m.（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)答案二、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)45-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.247-14.476,5--15.11416.3四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题共12分）（1）23sin()cos2BA C+=且sin()sinA C B+=2sin2sin cos cos22222B B BB=⋅=，又22Bπ<<，sin0cos222B B B∴>=tan sin2263B BB Bππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c=-+2226416()21cos222a cb ac acBac ac+--++-∴=== 36416()64ac a c∴=-++≥-+，36408)0ac∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac∴≤1sin2ABCS ac B∆∴==≤（当a c=时取“=”）综上，ABC的面积的最大值为9316.18.（本小题满分12分）（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，， 由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩，得0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30， 得21cos ,212DB n DB n DB na ===+⨯，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-， 由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒. 19. (本小题满分12分)（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：22289⎛⎫= ⎪⎝⎭， 根据对立事件原理，阳性的概率为：81199-=． （Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检验次数为1，概率为89； 若阳性则检验次数为3，概率为19， 设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，()28642981P ξ⎛⎫∴===⎪⎝⎭；()12181649981P C ξ==⨯⨯=；()11169981P ξ==⨯=，则ξ的分布列如下：可求得方案二的期望为()6416119822246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==． 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，()4641381P η⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭，()6417518181P η==-=， 则η的分布列如下：可求得方案三的期望为()641714915818181E η=⨯+⨯=． 比较可得()()4E E ηξ<<，故选择方案三最“优”．20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设点N 的坐标为()y x ,，NP 是线段AM 的垂直平分线，NM NA =,又点N 在CM 上，圆()81:22=++y x C ，半径是,22=r .22,22AC NM NC NA NC NM NC >=+=+=+∴∴点N 的轨迹是以C A ,为焦点的椭圆，设其方程为()01:2222>>=+b a b y a x ，则.1,1,2,222222=-====c a b c a a ∴曲线E 方程：.1222=+y x（Ⅱ）设()(),,,,2211y x H y x G当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为2+=kx y ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴12222y x kx y ,整理得：0342122=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+kx x k ,由0>∆，解得：.213,214,232212212k x x k k x x k +=⋅+-=+>------①又()()2,,,2,,2211-=-=y x y x ,由FH FG 53=,得2153x x =，结合①得 22221621553k k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即2322>=k , 解得.2±=k ∴直线l 的方程为：22+±=x y , 当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为x 31,0==与53=矛盾. ∴直线l 的方程为：.22+±=x y21. （本小题满分12分）解：（1）当a=1时，f （x ）=ex ﹣（x+1）ln （x+1）+x ，∴f（0）=1， 又f'（x ）=ex ﹣ln （x+1），∴f'（0）=1， 则所求切线方程为y ﹣1=x ，即x ﹣y+1=0．（2）由题意知f（x）=ex﹣（x+a）ln（x+a）+x，f′（x）=ex﹣ln（x+a），若函数f（x）在定义域上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．①先证明ex≥x+1．设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1．同理可证lnx≤x﹣1，∴ln（x+2）≤x+1，∴ex≥x+1≥ln（x+2）．当a≤2时，f'（x）＞0恒成立．当a≥3时，f'（0）=1﹣lna＜0，即f'（x）=ex﹣ln（x+a）≥0不恒成立．综上所述，a的最大整数值为2．②证明：由①知，ex≥ln（x+2），令，∴，∴．由此可知，当t=1时，e0＞ln2．当t=2时，，当t=3时，，…，当t=n时，．累加得．又，∴．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程22.【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入， 整理得（4sin 2θ+cos 2θ）t 2+（4cosθ+8sinθ）t ﹣8＝0．由P 为AB 的中点，则． ∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即， 所以所求的直线方程为x+2y ﹣4＝0．23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲【解析】（1）f(x)＝|x ＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m ＝1．（2）由（1）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝[a 2＋b 2＋＋] ≥(a 2＋b 2＋2) ＝(a ＋b)2＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为． 45。

陕西省西安市2021届高三数学第一次质量检测试卷理（含解析）西安市高三年级第一次质量检测科学数学注意事项：1.本卷共150分，考试时间为答题前120分钟，考生必须在答题卡上填写姓名和录取证号2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试题和答题卡一起退回一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集a.c.【答案】a【解析】由题意可得：则集合为这个问题选择选项a2.在复平面内，为虚数单位，复数向量a.对应的复数是（）b.Cd.对应的向量是，复数对应的向量为然后.，，集合，b.d.，然后设置（）[答：]d[分析],选d.3.如图所示，在立方体中ABCD？在a1b1c1d1中，e和F分别是BC和BB1的中点，然后以下直线与直线ef相交（）1（a）直线Aa1（b）直线A1B1（c）直线a1d1（d）直线b1c1[回答]d[分析]问题分析：仅限与在同一平面上，它相交，a、B和C中的其他直线相交都是异面直线，故选d．测试点：不同平面的直线4a-3[回答]d[分析][分析]把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【详解】∴展开式的常数项故选:d.【终点】本课题研究二项式定理的应用，并在展开式中找到指定项的系数，这属于基本问题。

5功能的图象大致是（）.，展开式的常数项为（）b.-2c、二,d.3a、 b。

2【答案】a【解析】因为时，有两个零，排除d,故选a．，因此排除B；什么时候时，，不包括C；什么时候6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）a.192种【答案】b【解析】试题分析：本次活动的完成分为两类：第一类，前排a，其余均安排；第二类是前排B。

最后有四种安排，其他位置是种不同的排法.试验地点：1分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.整理知识。

2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。

对于②，是错误的，
根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内
两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；
对于③
根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确；
对于④
直线 和 可以是异面直线.故错误；
对于⑤
根据而面垂直的判定定理得到其正确.
故应选：C.
【点睛】
本题考查线线，面面，线面位置关系，属基础题.
8．D
2．C
【分析】
根据复数的除法、乘法运算法则，可得结果.
【详解】
故应选：C
【点睛】
本题主要考查复数的运算，属基础题.
3．C
【分析】
根据向量共线的坐标表示，可求得 ，进一步可得 ，最后利用向量模的坐标表示，可得结果.
【详解】
∵ 与 共线
∴ ，ห้องสมุดไป่ตู้
∴ ， ，
故应选：C
【点睛】
本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题.
A．68B．67C．65D．64
6．若 ，且满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设 是三条不同的直线， 是两个不重合的平面.给定下列命题：
①
②
③
④
⑤
其中为假命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
8．经过点 的抛物线的标准方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
9．已知 ，则 等于（ ）
A．3B．4C． D．5
4． 展开式中含 项的系数为（）
A． B．60C． D．120
5．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）

陕西省2021届高三数学一模试题数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至8页。

满分150分，考试时刻120分钟。

题号 一 二 三 总分（17） （18） （19） （20） （21） （22）得分参考公式：（1）三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ 2cos 2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ （2）正棱台、圆台的侧面积公式l )c 'c (21S +=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜面高或母线长。

（3）台体的体积公式h )S S 'S 'S (31V ++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 是高。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（市）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。

2．将第Ⅰ卷的答案填写在下面表格内。

题号 (1)(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图1，I 是全集，I M ⊂，I N ⊂，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．N MB ．N MC ．N MD ．N M（2）过点P （1，2）的直线交圆9y )2x (22=+-于两点A 、B ，若点P 是弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）A ．2x+y+3=0B ．2x-y-3=0C ．x+2y-4=0D ．x-2y+3=0（3）空间四条直线a 、b 、c 、d ，其中a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么a 与b ，c 与d 这两对（ ）A ．都平行B ．都不平行C ．至少有一对平行D ．至多有一对平行（4）设函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=0)x (-1 x -1)x (0 x )x (f 2，则其反函数的图象为（ ）（5）等差数列{}n a 中，15a a a 321=++，)3n (78a a a n 1n 2n >=++--，155S n =，则n 为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11（6）（理）在极坐标系中，曲线22=ρ与直线2cos =θρ之间的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 （文）已知∈（0，2π），使sin α+cos α<0的角α的取值范畴为（ ）A ．)23,(ππB ．)47,23(),43(ππππC ．)47,43(ππD ．)2,0(π（7）有如下四个命题：①若函数)3k x sin(2y π+=的周期为2π，则k=1；②函数)x 3cos()x 3cos(y -π++π=是偶函数；③函数x 2sin 2y =在]2,0[π上是增函数；④函数x cos 3x sin y -=的最大值是2。

2021年陕西高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年陕西高三一模理科第1题5分2018年四川成都武侯区成都市第七中学高三二模理科第1题5分2019~2020学年10月广东广州越秀区广州市执信中学高三上学期月考理科第1题5分设集合S={x|x(3−x)⩽0}，T={x|(12)x−1<1}，则S∪T=（）．A. [0,+∞)B. (1,3]C. [3,+∞)D. (−∞,0]∪(1,+∞)2、【来源】 2021年陕西高三一模理科第2题5分2020~2021学年12月西藏拉萨城关区西藏自治区拉萨中学高三上学期月考文科第2题5分复数z=1−2i（其中i为虚数单位），则|z+3i|=（）．A. 5B. √2C. 2D. √263、【来源】 2021年陕西高三一模理科第3题5分已知向量a→=(1,2)，b→=(2,−2)，c→=(1,λ)，若c→//(2a→+b→)，则实数λ=（）．A. 12B. 1 C. −12D. −14、【来源】 2021年陕西高三一模理科第4题5分2016~2017学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高一下学期期中第6题4分2018~2019学年12月山西太原迎泽区师苑中学高一上学期月考第8题3分2017~2018学年5月江西南昌东湖区南昌市第十中学高一下学期月考文科第6题5分2019~2020学年2月北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期月考第4题4分甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）．A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5、【来源】 2021年陕西高三一模理科第5题5分《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）．A. 12尺布B. 518尺布C. 1631尺布D. 1629尺布6、【来源】 2021年陕西高三一模理科第6题5分2011年高考真题天津卷理科第5题2016~2017学年北京朝阳区清华大学附属中学奥森校区高二下学期期末理科第8题5分2017~2018学年北京东城区北京市第一七一中学高二下学期期中理科第6题2018~2019学年河北唐山高三上学期期末理科第6题5分在(√x2√x )6的二项展开式中，x2的系数为（）．A. −154B. 154C. −38D. 387、【来源】 2021年陕西高三一模理科第7题5分2018~2019学年河北唐山高三上学期期末理科第7题5分某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）．A. 83B. 43C. 8D. 48、【来源】 2021年陕西高三一模理科第8题5分2012年高考真题大纲卷理科第9题2017~2018学年4月安徽高三下学期月考文科皖南八校第4题5分2015~2016学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二上学期期中理科第2题5分2020年天津和平区天津市耀华中学高三二模第2题5分已知x=ln⁡π，y=log52，z=e−12，则（）．A. x<y<zB. z<x<yC. z<y<xD. y<z<x9、【来源】 2021年陕西高三一模理科第9题5分2019年山东临沂高三三模理科第12题2019~2020学年3月北京海淀区北京一零一中学高三下学期月考第7题已知函数f(x)=sin⁡(2x−π6)，若方程f(x)=35的解为x1，x2（0<x1<x2<π），则sin⁡(x1−x2)=（）．A. −35B. −45C. −√23D. −√3310、【来源】 2021年陕西高三一模理科第10题5分双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|=√2，则C的离心率为（）．A. 2B. √2C. 6D. √611、【来源】 2021年陕西高三一模理科第11题5分已知函数f(x)=−x2+a，g(x)=x2e x，若对于任意的x2∈[−1,1]，存在唯一的x1∈[−12,2]．使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是（）．A. (e,4)B. (e+14,4]C. (e+14,4)D. (14,4]12、【来源】 2021年陕西高三一模理科第12题5分设数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，数列{b n}满足b1=3，b n+1=a n+b n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T n<2021，则n的最大值为（）．A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西高三一模理科第13题5分2018~2019学年河北唐山高三上学期期末理科第13题5分2018~2019学年河北唐山高三上学期期末文科第13题5分若x，y满足约束条件{x−y+1⩾0x+y−1⩽0x+3y+1⩾0，则x+2y的最大值为．14、【来源】 2021年陕西高三一模理科第14题5分过原点(0,0)作函数f(x)=x3+2x2图象的切线，则切线方程为．15、【来源】 2021年陕西高三一模理科第15题5分2020年北京东城区高三一模（线上一）第14题5分2019~2020学年北京朝阳区高三上学期期末第13题4分若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，(2,12)，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．16、【来源】 2021年陕西高三一模理科第16题5分某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年陕西高三一模理科第17题12分如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cos⁡∠ACB=13，AC=BC=2√3，AB=4AD．(1) 求AB长．(2) 求sin⁡∠ACD．18、【来源】 2021年陕西高三一模理科第18题12分某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如下图）．(1) 跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数．(2) 为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60,70)的学生人数，求X的分布列．(3) 假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a，b，c∈N∗．当数据a，b，c的方差S2最小时，写出a，b，c的值．（写一组即可，结论不要求证明）[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，其中x为数据x1，x2，⋯，x n的平均数）（注：S2=1n19、【来源】 2021年陕西高三一模理科第19题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2，AD=4．(1) 求证：CE//平面PAB．(2) 求二面角P−AC−E的余弦值．20、【来源】 2021年陕西高三一模理科第20题12分已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．(1) 求椭圆E的方程．(2) 设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．21、【来源】 2021年陕西高三一模理科第21题12分函数f(x)=e x−e−x−mx(m∈R)，x0是f(x)的极小值点．(1) 求实数m的取值范围．(2) 当x⩾0时，f(x0)⩾−2e恒成立，求实数m的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年陕西高三一模理科第22题10分2018~2019学年内蒙古鄂尔多斯高三上学期期末理科（西部四旗）第22题10分在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点(0,0)为中心、点(1,0)为焦点、(√2,0)为一个顶点．直线l的参数方程是{x=1−ty=2t，（t为参数）．(1) 求椭圆C的极坐标方程．(2) 若直线l与椭圆C的交点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，求线段MN的长度．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年陕西高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−√24|+|x+√24|，M为不等式f(x)<2√2的解集．(1) 求集合M．(2) 证明：当a，b∈M时，|√2(a+b)|<|ab+2|．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】2;14 、【答案】y=0或x+y=0;15 、【答案】x2=8y或y2=x;16 、【答案】80π;17 、【答案】 (1) 4．;(2) √6．9;18 、【答案】 (1) 325．;(2);(3) 79，84，90或79，85，90．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 3√6．8;+y2=1．20 、【答案】 (1) x24;(2) 2．;21 、【答案】 (1) (2,+∞)．;]．(2) (2,e+1e;22 、【答案】 (1) ρ2=2．1+sin2⁡θ;√2．(2) 109;23 、【答案】 (1) M={x|−√2<x<√2}．;(2) 证明见解析．;。

π ５π ７π －π６Ｂ．１和 －７．设函数 ｆｘ）＝２ｃｏｓ（２ｘ＋φ）＋ａ（ φ ＜ ）在［－ ， ］上的图像大致如图， ａ ｉ ２ ２ ２ ，ｃｏｓα＋３ｓｎα＋１＝０，则 ｔｎα＝（ ）１０．已知 α∈ － ， ()Ｃ．３２Ｃ．１ Ｄ．槡２ｚ ＝（ ）Ａ．１ ｏ５ ( )３Ｄ．１和２ ２ ：程：ｙ＝２ｚ，则（ ） ＾ ５．已知变量 ｘ，ｙ，ｚ都是正数，ｙ与 ｘ的回归方程：ｙ＝ｂｘ＋３，且 ｘ每增加 １个单位，ｙ减少 ２个单位，ｙ与 ｚ的回归方２２． １ｏ２５ ２３ｏｉ ， {Ａ．１ｓｎα ｃｏｓ３πｓｎ３π ｃｏｓα Ｄ． Ａ．ｃｏｓ Ｂ．ｓｎα ４，则球 Ｏ的表面积为（ ）限的一点 Ａ，Ｆ１为左焦点，直线 Ｆ１Ａ的倾斜角为 π Ａ．－槡３ Ｂ．－槡３１１．过双曲线 Ｃ：２－ ２（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点 Ｆ２且与 ｘ轴垂直的直线与双曲线 Ｃ交于第一象 Ｃ．槡３Ｄ．槡３陕西省西安市第一中学2021届高三数学上学期模拟调研考试试题 文（则 ａ与 φ分别为（ ）２ １２ １２π３注意事项：Ｃ．１和 ππ６１．本试卷共 ４页，考试时间 １２０分钟，卷面总分 １５０分。

２．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

８．若 １ ａ３ ＝５，则 ａｌｇ３＝（ ）３．全部答案写在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

４．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． ｚ＝－１＋ｉ则 ｚ＋１Ａ．０Ｂ．槡２２．已知集合 Ａ＝{ｘｘ－ａ≤４}，Ｂ＝{ｘｘ（ｘ－３）≤０}，且 Ａ∩Ｂ＝{ｘ０≤ｘ≤２}则 ａ＝（ ） Ａ．－２Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．４３．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式。

宋代称为撮尖，清代称攒尖。

依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角 攒尖、八角攒尖。

也有单檐和重檐之分。

多见于亭阁式建筑，园林建筑。

【详解】解：（1）∵ ，∴ ，从而直线 的斜率为-3.
所以 边所在直线的方程为 .即 .
由 ，得点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ 为 外接圆的圆心，
又 .
所以 外接圆的方程为： .
（2）设动圆圆心为 ，因为动圆过点 ，且与 外接圆 外切，
所以 ，即 .
故点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 ，半焦距 的双曲线的左支.
（2）由（1）知 ，又 ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）因 对于 ，总有 ①成立
∴ ②
①-②得 ，
∴ ，
∵ ， 均为正数，∴ ，
∴数列 是公差为1的等差数列，
又 时， ，解得 ，
∴ .
（2）由（1）可知 ，
∵ ，
∴ .
【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式， ②等比数列的前n项和公式 ；
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题 文（含解析）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为
A. 3B.1C. -3D. 1或-3
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得
17. 已知函数
偶函数， 且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 为三角形 的一个内角，求满足 的 的值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）
由 为偶函数得
又
（Ⅱ）由 得 ,又 为三角形内角，
考点：三角函数二倍角公式，函数奇偶性
点评：基本公式的考查，难度不大，要求学生熟记掌握的基础上加强练习