2021届陕西省西安中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。

西安中学高2021届高三第二次月考数学(文)试题一､选择题1. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos 2θ=（ ） A. 45-B.35C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数定义即可求得：cos 5θ=，sin 5θ=，再利用余弦的二倍角公式得解. 【详解】因为角θ的终边过点()2,1，所以1tan 2y x θ== 点()2,1到原点的距离22215r =+=所以cos 5x r θ==，sin 5y r θ== 所以22413cos2cos sin 555θθθ=-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题． 2. 向量()()11a m b n ==，，，，则m n =是//a b 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】m n =时，(,1)a b m ==，显然有//a b ，充分性得证， 当//a b 时，则存在实数λ使得a b λ=，∴1m nλλ=⎧⎨=⎩，∴m n =，必要性得证，∴m n =是//a b 的充分必要条件． 故选：C ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3. 下面有四个命题：1:p x R ∃∈，sin cos 2x x +≥ 2:p x R ∀∈，sin tan cos xx x=； 3:p x R ∃∈，210x x ++≤； 4:0p x ∀>，12x x+≥. 其中假命题的是（ ） A. 1p ，4p B. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，3p【答案】D 【解析】 【分析】对于命题1p ，举4x π=，肯定特称命题1p 正确；对于命题2p ，举反例说明命题2p 不正确；配方法证明2314x x ++≥，则命题3p 不正确；利用基本不等式证明命题4p 正确. 【详解】对于命题1p ，当4x π=时，sin cos 2x x +≥1p 为真命题；对于命题2p ，当,2x k k Z ππ=+∈时，等式不成立，所以命题2p 为假命题；对于命题3p ，因为221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以命题3p 为假命题； 对于命题4p ，由基本不等式易得对0x ∀>，12x x+≥恒成立，所以命题4p 为真命题. 故选：D【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题真假的判断，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.4. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（ ）A. 2B. 6C. 101D. 202【答案】C 【解析】 【分析】直接按照程序框图运行，即可得解.【详解】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. i 为虚数单位，若)22i z i =，则z =（ ）A. 1 23 D. 2【答案】A【解析】 【分析】由复数的除法运算求得z ，再由模的定义计算．【详解】由已知222(2)22212212233332(2)(2)i i i i i z i i i i ---+-=====-++-， ∴22122133z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算、考查求复数的模，解题方法是利用复数的运算求出z 的代数形式，再由模的定义求解．6. 如图，在ABC 中，D 是边BC 延长线上一点，23BC BD =，则（ ）A. 3122AD AB AC =- B. 1322AD AB AC =-+C. 4133AD AB AC =- D. 1433AD AB AC =-+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的三角形加法和减法法则即得解. 【详解】由题得1113()2222AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 关于函数()()32cos cos sin f x x x x =--，有以下4个结论： ①()f x 的最小正周期是π；②()f x 的图象关于点08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称； ③()f x 的最小值为22-④()f x 在区间5612ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③C. ②④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得()2)24f x x π=-+，结合正弦函数的图象与性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案. 【详解】()()232cos cos sin 32cos 2cos sin 2sin 2cos 22)24f x x x x x x x x x x π=--=-+=+-=-+，由2ω=，知：最小正周期2||T ππω==，故①正确； 由正弦函数性质，知：()f x 中24x k ππ-=，k Z ∈，则对称中心为(,2)28k ππ+，故②错误；由()f x 的化简函数式知：min ()22f x =，故③正确 因为24y x π=-在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：()f x 在222242k x k πππππ-≤-≤+上递增，可得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，有一个单调增区间为3[,]88ππ-， 故5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故④错误， 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据正余弦倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的图象与性质确定最小正周期、对称中心、最值、增减区间判断选项正误，属于中档题.8. 已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷,C D 分别在北偏东045和北偏东030方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷,C D ，此时二者分别在北偏西015和北偏西060方向，则帐篷,C D 之间的距离为（ ）A. 1015B. 106C. 515D. 56【答案】C 【解析】 【分析】 本题可先在ABD 中解出BD 的值，再在ABD 中解出BD 的值，最后在BCD 中利用余弦定理解得CD 的值．【详解】由题意可得0000DAB 60CAB 45CBA 75DBA 30，，，，∠∠∠∠==== 在ABD 中有：因为00DAB 60DBA 30∠∠==，，所以00ADB 90sin DAB sin 60BDBA，，∠∠===解得153BD =， 在ABC 中有：00sin 60sin 45AB BC，=解得106BC =， 在BCD 中有：222CBD CBA DBA 45cos 452BC BD CD BC BD∠∠∠+-=-==，，222106153222106153CD +-=⨯⨯，解得515CD =故选C ． 【点睛】本题主要考察对解三角形的灵活运用，解三角形有正弦公式：sin sin a bA B=；余弦公式：222cos 2a b c C a b+-=． 9. 甲､乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x 元/斤，乙两次购买的平均价格为y 元/斤，则下列关系式一定成立的是（ ）A. 221111x y >++ B. 2y xy > C. sin sin x y > D. ))33ln1ln1x y >【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出,x y 得到,x y 的大小关系，然后由不等式的性质，对数函数，正弦函数的性质判断．【详解】设砂糖橘第一天的价格是a 元/斤，第二天价格是b 元/斤，ab ，0,0a b >>，则55102a b a b x ++==，4022020aby a b a b==++，∵222()4()022()2()a b ab a b ab a b a b a b a b ++---==>+++，∴22a b ab a b +>+，即0x y >>， ∴22110x y +>+>，221111x y <++，A 错；2y xy <；B 错； 在(0,)+∞上sin y x =不单调函数，C 错；33110x y >>，∴))33ln1ln1x y >，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数，正弦函数的性质，掌握作差法比较两实数的大小是解题基础．10. 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B.)2,+∞C. ()2,+∞D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【详解】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x 不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =则2212x x +=22112211112x x x x +>⋅= 故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 11. 若4sin cos 363x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.59 B.19C. 19-D. 59-【答案】C 【解析】 【分析】用诱导公式结合已知条件求出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再用余弦的二倍角公式求得cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭，最后再由诱导公式求得结论． 【详解】4sin cos sin cos cos cos 36266636x x x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++-=-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,3c s 26o x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，229c 221126o 21s 3cos 3x x ππ⎛⎫⎛⎫--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭-=⎪⎭⎝，∴1sin 2sin 2cos 263239x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查诱导公式，余弦的二倍角公式，解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，先用恰当的公式计算．12. 已知函数()221200x x x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩，，，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 314e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B. ][314e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，C. 2114e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D. ][214e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B 【解析】 【分析】求出过点(2,0)的函数x y e =图象的切线的斜率，再求出函数()f x 的端点P 与点(2,0)连线的斜率，由图象可得结论．【详解】函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，即方程()20f x ax a =+=有解，()(2)f x a x =-有解，∴函数()y f x =的图象与直线(2)y a x =-有交点，作出函数()y f x =的图象，作出直线(2)y a x =-，直线过定点(2,0)A ，如图，(2,1)P -，11224PA k ==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切的切点为00(,)x y ，∵e x y '=，即0x k e =，由000022x x y e e x x ==--得03x =，即切线斜率为3k e =， 由图象可知，函数()y f x =的图象与直线(2)y a x =-有交点时，14a -≤或3a e ≥． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数有零点转化为方程有解，再转化为函数图象与直线有交点，通过数形结合思想求解．二､填空题13. 设函数()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()3f f =⎡⎤⎣⎦_____. 【答案】1e【解析】 【分析】结合已知分段函数的解析式代入即可求解.【详解】∵()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩， 所以()53log 51f ==，则()()1131f f f e e -===⎡⎤⎣⎦.故答案为：1e. 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14. 曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】7210-【解析】 【分析】求导数，得切线斜率即tan α，由同角关系得sin ,cos αα，由二倍角公式得sin 2,cos 2αα，再由两角和的余弦公式计算． 【详解】由已知212y x x '=+，∴tan 123α=+=，∴α是锐角，∴sin 10α=，cos 10α=∴3sin 22sin cos 251010ααα===， 224cos 2cos sin 5ααα=-=-．∴423272cos 2cos 2cos sin 2sin 444525210πππααα⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 故答案为：210-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系，两角和的余弦公式二倍角公式，属于中档题．15. 若()cos sin f x x x =-在[]0，a 上是减函数，则a 的最大值是___________. 【答案】34π 【解析】 【分析】求出导函数()'f x ，然后解不等式()0f x '≤确定a 的范围后可得最大值．【详解】由题意()sin cos '=--f x x x ，()sin cos 0'=--≤f x x x ，sin cos 0x x +≥，22022x x +≥，sin 04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，22,4k x k k Z ππππ≤+≤+∈，322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴3(0,]4a π∈，a 的最大值为34π． 故答案为：34π【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可．16. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则+a b 的取值范围是__________．【答案】(2,4] 【解析】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,),22a b c c C ab π+-==∈所以3C π=．由正弦定理得43432(sin sin )(sin sin())4sin()3336a b A B A A A ππ+=+=+-=+ 251(0,),()(,),sin()(,1]366662A A A πππππ∈+∈+∈，所以(2,4]a b +∈．故答案：(2,4] 【点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域．三､解答题17. 已知函数()22sin cos 3cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的振幅、最小正周期和初相位； （2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的取值范围.【答案】（1）振幅为2，最小正周期为π，初相位为6π；（2）[]2,1-. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可求得函数()y f x =的振幅、最小正周期和初相位； （2）利用图象变换求得()2cos2g x x =-，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得2x 的取值范围，利用余弦函数的基本性质可求得()g x 的取值范围. 【详解】（1）()22sin cos 3cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2312sin cos sin 3cos cos 22x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2223cos cos sin 32cos 22sin 26x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =的振幅为2，最小正周期为22T ππ==，初相位为6π；（2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象， 则()2sin 22sin 22cos 23362g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2233x ππ-≤≤，1cos 212x -≤≤，所以，()21g x -≤≤，因此，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围是[]2,1-. 【点睛】本题考查正弦型函数的振幅、最小正周期和初相位的求解，同时也考查了余弦型函数值域的求解，以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知()sin2f x x x =-，（1）求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）求()y f x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值.【答案】（1）0x y +=；（2）最小值为36π，最大值为2π. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()'f x ，计算(0)f '得切线斜率，写出切线方程；（2）求出()0f x '=的解，由()0f x '>确定增区间，(00f x '<确定减区间，计算出极值和端点处的函数值后可得最值．．【详解】()1y f x =（）的定义域为(),00R f = ()'12cos2f x x =- ()'01f =-所以切线方程为：yx =-，即0x y +=2（）令()'0f x =，得1cos 22x =，又02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故6x π= 当06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()'0f x f x <，单调递减当62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，()()'0f x f x >，单调递增 在6x π=处取得最小值，为366f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()000222f f ff πππ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 在2x π=处取得最大值，为22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭ 综上得()y f x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为36π，最大值为2π．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值，属于基础题．19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为23sin b B．（1）求sin sin A C ；（2）若1cos cos 6A C =，3b =，求a c +的值． 【答案】（1）2sin sin 3A C =；（2）33a c +=.【解析】 【分析】(1）由题意利用正弦定理求得sin sin A C 的值．(2）由题意利用两角差的余弦公式求得cos B 的值，可得B 的值，再利用正弦定理求得ac 的值，利用余弦定理求得a ＋c 的值.【详解】（1）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵ABC 的面积为23sin b B，∴21sin 23sin b ac B B⋅=，即223sin sin b ac B B =⋅． 再利用正弦定理可得22sin 3sin ?sin sin sin B A C B B =⋅， 因为sin 0B >，∴2sin sin 3A C =． （2）1cos cos 6A C =，3b =，2sin sin 3A C =，∴1cos cos sin sin cos()cos 2A C A C A CB -=-=+=-，∴1cos 2B =，∴3B π=．由正弦定理，223sin sin sin a b cR A B C ==== ∴22sin sin 224123a c ac ac A C R R R =⋅===，8ac =， 再根据余弦定理，222292cos ()3b a c ac B a c ac ==+-⋅=+-， ∴2()9333a c ac +=+=，∴33a c +=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题. 20. 2019年12月以来，湖北武汉发生“新型冠状病毒肺炎”(简称新冠肺炎)疫情，全国人民凝心聚力，众志成城支援武汉.某省多家医院积极响应国家卫健委号召，组织病毒学专家､重症医学科医务人员､呼吸科医务人员､感染科医务人员等180名优秀医务人员奔赴武汉抗疫前线.有关数据见表1(单位：人).病毒学专家为了检测当地群众发烧是否更易受新冠肺炎疫情影响，在当地随机选取了1200名群众进行了检测，并将有关数据整理成22⨯列联表(表2).表1：病毒学专家重症医学科医务人员 呼吸科医务人员 感染科医务人员 相关人员数 20604060表2：发烧 不发烧 合计 患新冠肺炎 500 700 未患新冠肺炎 280 合计1200（1）补充完整表2，并判断是否有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关； （2）若采用分层抽样的方法从病毒学专家，重症医学科医务人员和呼吸科医务人员中选6人参加新闻发布会，再从这6人中随机指定2人作为主讲人，求其中恰好有1人为重症医学科医务人员的概率.2K 临界值表：()20P K K ≥ 0.150.100.050.0250.01000050.0010K2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）填表答案见解析，有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；（2）35. 【解析】 【分析】（1）由已知计算2K 的观测值，根据2K 临界值表可得结论.（2）根据分层抽样可得抽得病毒学专家1人(记为)a ，重症医学科医务人员3人(记为b ，c ，)d ，呼吸科医务人员2人(记为e ，)f ，列举从这6人中随机指定2人作为主讲人所包含所有基本事件，根据古典概率公式可得答案. 【详解】（1）发烧 不发烧 合计 患新冠肺炎 500 200 700 未患新冠肺炎 220 280 500 合计72048012002K 的观测值()22120050028020022064010.828700*********7K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关. （2）由已知抽样比为6112020=，则抽得病毒学专家1人(记为)a ，重症医学科医务人员3人(记为b ，c ，)d ，呼吸科医务人员2人(记为e ，)f ，则从这6人中随机指定2人作为主讲人，包含的基本事件有{}{}{}{}a b a c a d a e ，，，，，，，，{}{}{}{}{}a f b c b d b e b f ，，，，，，，，，，{}{}{}c d c e c f ，，，，，，{}{}{}d e d f e f ，，，，，，共15种.记事件S 为随机选2人作为主讲人，其中恰好有1人为重症医学科医务人员， 则事件S 包含的基本事件为{}{}{}{}{}{}{}{}{}a b a c a d b e b f c e c f d e d f ，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，故()93155P S ==. 【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样方法，运用列举法求古典概率，属于中档题. 21. 已知函数()3214f x x x x =-+. （1）当[]24x ∈-，时，求证：()6x f x x -≤≤； （2）设()()()()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[]2-，4上的最大值为().M a 当()M a 最小时，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3-. 【解析】 【分析】1（）由已知将问题转化为()60f x x -≤-≤，令()()[]321244g x f x x x x x =-=-∈-，，，求导函数()'23382443g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，分析其导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可得证；2（）由（1）可得，()()()F x f x x a =-+()f x x a =--()g x a =-，分3a <-，3a >-，3a =-三种情况讨论得最值.【详解】1（）证明：欲证()6x f x x -≤≤，只需证()60f x x -≤-≤， 令()()[]321244g x f x x x x x =-=-∈-，，，则()'23382443g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可知()'g x 在[)20-，为正，在803⎛⎫ ⎪⎝⎭，为负，在843⎛⎤ ⎥⎝⎦，为正， ()g x ∴在[)20-，上单调递增，在803⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在843⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增， 又()()()8642600640327g g g g ⎛⎫-=-==->-= ⎪⎝⎭，，，，()60g x ∴-≤≤，()6x f x x ∴-≤≤；2（）由（1）可得，()()()F x f x x a =-+()f x x a =--()g x a =-， 在[]2-，4上，()60g x -≤≤，令()()t g x h t t a ==-，，则问题转化为当[]60t ∈-，时，()h t 的最大值()M a 的问题了，①当3a <-时，()()0M a h a a ===-，此时3a ->； ②当3a >-时，()()666M a h a a =-=--=+，63a +>； ③当3a=-时，()()()063M a h h ==-=，综上，当()M a 取最小值时a 的值为3-.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，关键在于合适的函数，分析其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性和最值，属于较难题。

2021-2022学年陕西省安康中学高新分校高一上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则NA B ⋂=A ．}{1,5,7B ．}{3,5,7C ．}{1,3,9D ．}{1,2,3【答案】A【详解】试题分析：NA B ⋂为在集合A 但不在集合B 中的元素构成的集合，因此{1,5,7}NA B ⋂=【解析】集合的交并补运算2．函数11y x =+的定义域为（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥ C ．{}0x x ≥D ．{|1x x ≤且1}x ≠-【答案】B【分析】根据偶次根式下的被开方数为非负数、分式分母不等于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】要使函数11y x +有意义， 则10110x x x -≥⎧⇒≥⎨+≠⎩，所以函数的定义域为{}1x x ≥. 故选：B3．设集合{|03}A x N x =∈<的真子集个数为（ ） A ．16 B ．8 C ．7 D ．4【答案】C【分析】首先判断集合A 的元素个数，再求真子集个数. 【详解】{}0,1,2A =，所以集合A 的真子集个数是3217-=. 故选：C4．已知函数()y f x =的对应关系如下表所示，函数()y g x =的图象是如图所示的曲线ABC ，则()2f g ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）()f x2 3 0A ．3B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据图象可得()21g =，进而根据表格得()12f =.【详解】由题图可知()21g =，由题表可知()12f =，故()22f g =⎡⎤⎣⎦． 故选:D ．5．设集合{|04},{|02}A x x B y y =≤≤=≤≤，则下列对应f 中不能构成A 到B 的映射的是 A ．1:2f x y x →=B ．:2f x y x →=+C ．:f x y x →=D ．:|2|f x y x →=-【答案】B【详解】根据映射定义， 1:2f x y x →=， :f x y x →=， :2f x y x →=- 中的对应f 中均能构成A 到B 的映射，而对于:2f x y x →=+，当4x =，6y =，而6B ∉，不能构成A 到B 的映射，选B.6．设集合{}41,Z M x x n n ==+∈，{}21,Z N x x n n ==+∈，则（ ） A ．M N B ．N MC ．M N ∈D ．N M ∈【答案】A【分析】根据集合M 和N 中的元素的特征，结合集合间的关系，即可得解. 【详解】对集合M ，其集合中的元素为4的整数倍加1， 对集合N ，其集合中的元素为2的整数倍加1，4的整数倍加1必为2的整数倍加1，反之则不成立，即M 中的元素必为N 中的元素，而N 中的元素不一定为M 中的元素， 故M 为N 的真子集，即M N ，故选：A7．设函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【详解】因为1x >时，2()2,f x x x =+-所以211(2)2224,(2)4f f =+-==； 又1x ≤时，2()1f x x =-， 所以211115(()1().(2)4416f f f ==-=故选A. 本题考查分段函数的意义,函数值的运算.8．下列各组函数()f x 和()g x 的图象相同的是（ ）A ．()f x x =，()2g x =B ．()2f x x =，()()21g x x =+C ．()1f x =，()0g x x =D ．()f x x =，()()()00xx g x xx ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ 【答案】D【分析】若两个函数图象相同则是相等函数，分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，()2g x x ==的定义域为[)0,+∞，所以定义域不同，不是相同的函数，图象不同；对于B 中，()2f x x =，()()21g x x =+的对应关系不同，所以不是相同的函数, 两个函数图象不同；对于C 中，函数()1f x =的定义域为R ，与()01g x x ==的定义域为{|0}x x ≠，所以定义域不同，所以不是相同的函数, 两个函数图象不同；对于D 中，函数(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩与(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 两个函数图象相同； 故选：D.9．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】根据二次函数的单调性列式可求出结果.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上单调递减，所以(1)4a --≥，解得3a ≤-. 故选：A10．若函数()1f x +的定义域为[]1,15-,则函数()2f xg x =A ．[]1,4B ．(]1,4C ．⎡⎣D ．(【答案】B【解析】先计算()f x 的定义域为[]0,16，得到201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，计算得到答案.【详解】设1x t ，则()()1f x f t +=.由()1f x +的定义域为[]1,15-知115x -≤≤，0116x ∴≤+≤，即016t ≤≤()y f t ∴=的定义域为[]0,16，∴要使函数()2f xg x =201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，即441x x -≤≤⎧⎨>⎩，解得14x <≤， 故选：B .【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.11．设P ，Q 是两个非空集合，定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，若{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，则P Q⨯中元素的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．12 D ．16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，且{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =， 所以()()()()()()()()()()()(){}3,4,3,5,3,6,3,7,4,4,4,5,4,6,4,7,5,4,5,5,5,6,5,7P Q ⨯=， P Q ⨯中元素的个数是12，故选：C.12．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]【答案】D【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可. 【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得()3020352a a a a ⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩解得02a <≤.故选：D.二、填空题 13．已知集合A ＝{x|125x-∈N ，x ∈N }，则用列举法表示为__________________． 【答案】{}1,2,3,4A = 【分析】由题设集合A ＝{x|125x -∈N ，x ∈N }，可通过对x 赋值，找出使得125x-∈N ，x ∈N 成立的所有x 的值，用列举法写出答案． 【详解】由题意A ＝{x|125x-∈N ，x ∈N }∴x 的值可以为1，2，3，4， 故答案为A={1，2，3，4}．【点睛】考查学生会用列举法表示集合，会利用列举法讨论x 的取值得到所有满足集合的元素．做此类题时，应注意把所有满足集合的元素写全且不能相等． 14．已知()123f x x +=+，则()3f =______； 【答案】7【分析】由13x +=，求出x ，然后代入()123f x x +=+中可求得结果. 【详解】由13x +=，得2x =，所以()212237f +=⨯+=，即()37f =， 故答案为：715．已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}10B x mx =-=，若A B A ⋃=，则所有实数m 组成的集合是______；【答案】{}1,0,2-【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分0m =和0m ≠两种情况求解即可.【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， 当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，则{}110B x mx x x m ⎧⎫=-===⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以11m =-或112m =，得1m =-或2m =， 综上，所有实数m 组成的集合是{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-16．定义在[]22-,上的函数()f x 满足()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，12x x ≠，若()()1f m f m -<，则m 的取值范围是______． 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意可得函数在[]22-,上单调递减，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为定义在[]22-,上的函数()f x 满足()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，12x x ≠， 所以()f x 在[]22-,上单调递减， 所以由()()1f m f m -<，得212221m m m m-≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得112m -≤<，即m 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题17．已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值.【答案】01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，通过解方程组进行求解即可.【详解】∵A ＝B ，∴集合A 与集合B 中的元素相同∴22x x y y =⎧⎨=⎩或22x y y x⎧=⎨=⎩，解得x ，y 的值为00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去.∴x ，y 的取值为01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了已知两集合相等求参数取值问题，考查了数学运算能力.18．已知函数211,1,()1,11,23, 1.x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪=+-⎨⎪+<-⎪⎩（1）求((2))f f -的值; （2）若3()2f a =，求a ． 【答案】（1）2；（2）2，34-.【分析】（1）根据函数211,1,()1,11,23, 1.x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪=+-⎨⎪+<-⎪⎩，先求得(2)f -，再求((2))f f -的值.（2）根据3()2f a =，分1a >，11a -≤≤，1a <-讨论求解. 【详解】（1）因为函数211,1,()1,11,23, 1.x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪=+-⎨⎪+<-⎪⎩，所以()(2)2231f -=⨯-+=- ()2((2))(1)112f f f -=-+==-（2）当1a >时，1312a +=，解得2a =； 当11a -≤≤时，2312a +=，解得a = 当1a <-时，3232a +=，解得34a =-；综上：a 的值为：2，34-.【点睛】本题主要考查分段函数求值和已知函数值求参数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或}4x ≥. （1）当3a =时，求A B ⋂；A B ⋃； （2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；A B ⋃=R ；（2）(),1-∞. 【分析】（1）直接求A B ⋂和A B ⋃；（2）对集合A 分A =∅和A ≠∅两种情况讨论分析得解.【详解】（1）当3a =时，{}|15A x x =-≤≤，{|1B x x =≤或}4x ≥， ∴{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤，A B ⋃=R . （2）若A =∅，此时22a a ->+， ∴a<0，满足A B ⋂=∅，当A ≠∅时，0a ≥.{}|22A x a x a =-≤≤+， ∵A B ⋂=∅，∴21{24a a ->+<，∴01a ≤<.综上可知，实数a 的取值范围是(,1)-∞.【点睛】本题主要考查集合的运算，考查集合的运算结果求参数的取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1． （1）求证：(8)3f =；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集． 【答案】（1）证明见解析；（2）1627x <<． 【分析】（1）根据()21f =，结合f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），利用赋值法即可求得()8f ，则问题得证； （2）等价转化不等式，利用函数单调性，即可求得不等式解集.【详解】（1）由题意得(8)(42)(4)(2)(22)(2)3(2)3f f f f f f f =⨯=+=⨯+== （2）原不等式可化为()(2)(8)(8(2))f x f x f f x >-+=- 由函数()f x 是(0,)+∞上的增函数得8(2)0x x >->， 解得1627x <<．故不等式()(2)3f x f x -->的解集为162,7． 【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解，以及利用函数单调性解不等式，属综合基础题. 21．已知集合{|210}P x x =- ，{|11}Q x m x m =-+ ． (1)求集合P R；(2)若P Q ⊆ ，求实数m 的取值范围； (3)若P Q Q ⋂= ，求实数m 的取值范围． 【答案】(1){|2x x <-或10}x >； (2)9m ≥； (3)3m ≤．【分析】（1）由补集定义得结论； （2）由包含关系得不等式组，求解可得；（3）由P Q Q ⋂=，则Q P ⊆，然后分类讨论：按Q =∅和Q ≠∅分类． 【详解】（1）因为{|210}P x x =-≤≤，所以R {|2P x x =<-或10}x >；（2）因为P Q ⊆，所以12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得9m ≥；（3）P Q Q ⋂=，则Q P ⊆，若11m m ->+即0m <，则Q =∅，满足题意； 若0m ≥，则Q ≠∅，由题意12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得03m ≤≤，综上，3m ≤． 22．设函数1()1ax f x x -=+，其中a ∈R ． （1）若1a ＝，()f x 的定义域为区间[]0,3，求()f x 的最大值和最小值； （2）若()f x 的定义域为区间（0，＋∞），求a 的取值范围，使()f x 在定义域内是单调减函数． 【答案】（1）max min 1(),()12f x f x ==-（2）1a <-【详解】1()1ax f x x -=+＝(1)11a x a x ＋－－＋＝a －11a x ＋＋，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝211111a a x x ＋＋－＋＋＝1212(1)()(1)(1)a x x x x ＋－＋＋．（1）当a ＝1时，设0≤x 1＜x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝12122()(1)(1)x x x x －＋＋．又x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x)在［0，3］上是增函数，所以f (x)max ＝f (3)＝1－24＝12；f (x)min ＝f (0)＝1－21＝－1．（2）设x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0 要f (x)在（0，＋∞）上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)＜0 而f (x 1)－f (x 2)＝1212(1)()(1)(1)a x x x x ＋－＋＋，所以当a ＋1＜0即a ＜－1时，有f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以当a ＜－1时，f (x)在定义域（0，＋∞）上是单调减函数．。

学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值.x【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（）A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（）A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛-∞,1 ⎫2 ⎪ ⎝⎭C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R .（1）当a = 2 时，求f (x )的极值；（2）写出函数f (x )的单调增区间；（3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ．（1）求函数f (x )的极值；（2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )．【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数学习界的007f ( x ) = x ln x -1 (m + 1) x2 - x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）2A ． ⎛ - 1 , 0⎫B ． ⎛-1, 1 -1⎫C ． ⎛ -∞, 1 -1⎫ ）D ． (-1, +∞)e ⎪ e⎪ e⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭⎝⎭【变式演练 6】（由极值求其他）【四川省江油中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试】已知函数f ( x ) = 1x 3 + ax 2 + bx (a , b ∈ R ) 在 x = -3 处取得极大值为 9.3（1） 求 a ， b 的值；（2） 求函数 f (x ) 在区间[-4, 4] 上的最大值与最小值.类型二 求函数在闭区间上的最值万能模板内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 求出函数 f (x ) 在开区间(a , b ) 内所有极值点；第二步 计算函数 f (x ) 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 【河南省天一大联考 2020 届高三阶段性测试】已知函数 f ( x ) = ln x - x ， g ( x ) = ax 2+ 2x (a < 0) .（1） 求函数 f( x ) 在⎡1 , e ⎤上的最值； ⎢⎣ e ⎥⎦（2） 求函数 h( x ) = f (x ) + g (x ) 的极值点.【变式演练 7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟 2019-2020 学年高三上学期 12 月联考】已知函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上可导，则“函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a ,b ) ，满足 f '(x 0 ) = 0 ”的⎨ 1 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练 8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月模拟】若函数⎧a ln x - x 2 - 2 (x > 0 )f ( x ) = ⎪x + + a (x < 0) 的最大值为 f (-1) ，则实数a 的取值范围为（ ）⎩⎪ xA ． ⎡⎣0, 2e 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣0, 2e 3⎤⎦C ． (0, 2e 2⎤⎦D ． (0, 2e 3⎤⎦【变式演练 9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】已知函数f (x ) = cos 2 x s in 2x ，若存在实数 M ，对任意 x 1 , x 2 ∈R 都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) ≤ M 成立.则 M 的最小值为（）A.3 38B.32C.3 3 4D.2 3 3【变式演练 10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学 2020 届高三下学期期中】已知函数f (x ) = (x - a - 1)e x -1 - 1x 2 + ax , x > 02（1） 若 f (x ) 为单调增函数，求实数 a 的值；（2） 若函数 f (x ) 无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和.【高考再现】1.【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数 ƒ(x ) = 䂸x 3 — t x 䂸 + 1(t C R )在(t h + œ) 内有且只有一个零点，则 ƒ(x )在[ — 1h 1]上的最大值与最小值的和为．2【. 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷）】已知函数 ƒ x = 䂸sinx + sin 䂸x ，则 ƒ x的最小值是 ．3. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 21】已知函数 f (x ) = sin 2x sin 2x ．3 381 2 n （1） 讨论 f ( x ) 在区间(0,π) 的单调性；（2） 证明： f (x ) ≤ ；（3） 设 n ∈ N *，证明： sin 2x sin 22x sin 24x sin 22nx ≤ 3 ． 4n4. 【2020 年高考天津卷 20】已知函数 f (x ) = x3+ k ln x (k ∈ R ) ， f ' (x ) 为 f ( x ) 的导函数．（Ⅰ）当 k = 6 时，（i ） 求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（ii ）求函数 g (x ) = f (x ) - f '(x ) + 9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当 k - 3 时，求证：对任意的 x , x ∈[1, +∞) ，且 x> x ， 有 f '( x ) + f ' (x ) > f (x 1 )- f (x 2 ) ． 1 2 1 2 2x - x 1 25. 【2018 年全国卷Ⅲ理数】已知函数 ƒ x = 䂸+ x + tx 䂸 ln 1 + x — 䂸x ．（1） 若 t = t ，证明：当— 1 ǹ x ǹ t 时，ƒ x ǹ t ；当 x Σ t 时，ƒ x Σ t ；（2） 若 x = t 是 ƒ x 的极大值点，求 t ．6. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数 ƒ(x ) = [tx 䂸 — (3t + 1)x + 3t + 䂸]e x .（Ⅰ）若曲线 y = ƒ(x )在点(䂸h ƒ(䂸))处的切线斜率为 0，求 a ；（Ⅱ）若 ƒ(x)在 x = 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.7. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数 ƒ(x )=(x — t 1)(x — t 䂸)(x — t 3)，其中t 1h t 䂸h t 3 C R ,且t 1h t 䂸h t 3是公差为 d 的等差数列.（I ）若t 䂸 = t h d = 1h 求曲线 y = ƒ(x )在点(t h ƒ(t ))处的切线方程；（II ） 若 d = 3，求 ƒ(x)的极值；4 4 （III ） 若曲线 y = ƒ(x) 与直线 y =— (x — t 䂸) — 6 3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1.【2020 届高三 6 月质量检测巩固卷数学（文科）】若函数 f ( x ) = e x (-x 2 + 2x + a )在区间(a , a +1) 上存在最大值，则实数a 的取值范围为（）⎛ -1 A ．, -1 + 5 ⎫ B ． (-1, 2)2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ -1 C ． 2 ⎫ , 2⎪⎛ -1 D ．2⎫, -1⎪ ⎝ ⎭⎝⎭2. 【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届高三下学期第四次检测】若函数 f (x ) = ae x- 1在其定义域上只有 3x个极值点，则实数a 的取值范围（）⎛ e 2 ⎫⎛ e 2 ⎫ A ． -∞, - ⎪ (1, +∞)⎝⎭ B ． -∞, - ⎪⎝⎭C ． ⎛-e , -1 ⎫ (1, +∞)D ． ⎛-∞, - 1 ⎫4e 2 ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭xx2 x3. 【湖北省金字三角 2020 届高三下学期高考模拟】已知函数 f ( x ) = e + - ln x 的极值点为1 ，函数 2g ( x ) = e x + x - 2 的零点为 x ，函数 h ( x ) = ln x的最大值为x ，则（ ） 2 2x 3A. x 1 > x 2 > x 3B. x 2 > x 1 > x 3C. x 3 > x 1 > x 2D. x 3 > x 2 > x 14. 【湖北省宜昌一中、龙泉中学 2020 届高三下学期 6 月联考】已知函数（ff (e ) = 1，当 x ＞0 时，下列说法正确的是（）ex ）满足 x 2 f '(x ) + 2xf (x ) = 1+ ln x ，① f (x ) 只有一个零点；② f (x ) 有两个零点；- 5 + 5 - 5③ f (x) 有一个极小值点；④ f (x) 有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④5.【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟】已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3)，则下列结论正确的是（）A．f (x)在x = 0 处有极大值B．f (x )在x = 2 处有极小值C. f (x)在[1, 3]上单调递减D．f (x )至少有3 个零点6.【云南省曲靖市2020 届高三年级第二次教学质量监测】已知实数a, b 满足0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤ 1 ，则函数f (x)=x3 -ax2 +b2 x +1 存在极值的概率为（）A．1B．3C．16 6 3D.37.【云南省红河自治州2019-2020 学年高三第二次高中毕业生复习统一检测】下列关于三次函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0) ( x ∈R) 叙述正确的是（）①函数f (x) 的图象一定是中心对称图形；②函数f (x) 可能只有一个极值点；③当x ≠-b时，f (x) 在x =x 处的切线与函数y = f (x) 的图象有且仅有两个交点；0 3a 0④当x ≠-b时，则过点(x, f (x))的切线可能有一条或者三条．0 3a 0 0A．①③B．②③C．①④D．②④8.【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知e 为自然对数的底数，设函数f (x)=1 x2 -ax +b ln x 存在极大值点x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值f (x )< 0 ,则下列结论2 0 0bb ( ) 中正确的是()A. 存在 x 0= ,使得f (x 0 ) < - 12eB. 存在 x 0= ，使得f (x 0 ) > -e 2C.b 的最大值为e 3D.b 的最大值为 2e 2ax 2⎛ 1 , 3⎫9. 【四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试】函数f （x ）＝ 2+（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间 2 ⎪⎝ ⎭内有极小值，则 a 的取值范围是（）A ． ⎛ -2, -1 ⎫B ． ⎛-2, -1 ⎫3 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭C ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃⎛ - 1 , +∞⎫D ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃ ⎛ - 1 , +∞ ⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭10.【河北省衡水中学 2019-2020 学年高三下学期期中】已知函数 f (x ) =(x2- a )2- 3 x 2 -1 - b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一．组．即可）1 3 5 9① a ≤ - ② < a < ③ a = 1 ，-2 < b < 0 ④ a = 1 ，- < b < -2 或b = 0 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小值点2 2 2 4⑦6 个零点⑧4 个零点1. 【福建省漳州市 2020 届高三高考数学（文科）三模】已知函数 f (x ) = ( x + 3) e x- 2m ， m ∈ R .（1）若 m = 3，求 f ( x ) 的最值；2（2）若当 x ≥ 0 时， f (x - 2) + 2m ≥ 1 mx 2+ 2x +1 ，求 m 的取值范围.e 212. 【安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学 2020 届高三高考数学（文科）最后一卷】已知函数 f (x ) = 1 x 2- 2x + a ln x ， a > 1 . 2e（1） 讨论 f( x ) 的单调性；（2）若f (x )存在两个极值点x1 、x2 ，求f (x1 )+f (x2 )的取值范围.13.【2020 届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测】已知函数f (x)=ae x + 2e -x+(a - 2 )x .（1）若y =f (x )存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）设1 ≤a ≤ 2 ，设g (x)= f (x)-(a + 2)cos x 是定义在⎛-∞,π ⎤上的函数.2 ⎥⎝⎦（ⅰ）证明：y =g'(x )在⎛-∞,π ⎤上为单调递增函数( g'(x)是y =g (x )的导函数)；2 ⎥⎝⎦ （ⅱ）讨论y =g (x )的零点个数.14.【广东省惠州市2021 届高三上学期第一次调研】已知函数f (x) =x- ln(ax) ．a（1）若a > 0 ，求f (x) 的极值；（2）若e x ln x +mx 2 +(1 -e x )x +m ≤ 0 ，求正实数m 的取值范围．15.【北京五中2020 届高三（4 月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16.【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021 届高三上学期第一次联考】已知函数f (x) =ae x - cos x -x(a ∈R).（1）若 a = 1 ，证明：f (x) ≥ 0 ；（2）若f (x) 在(0,π) 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.17.【西南地区名师联盟2020 届高三入学调研考试】已知函数f (x)=1x3 +bx2 +cx ，b 、c 为常数，且3学习界的007- 1< b < 1， f '(1) = 0 . 2（1）证明： -3 < c < 0 ；（2）若 x 是函数 y = f (x ) - cx 的一个极值点，试比较 f ( x - 4) 与 f (-3) 的大小. 0218.【山东省威海荣成市 2020 届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖， 如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 PMQ （ M 为此圆弧的中点）和线段 PQ 构成.已知圆O 的半径为12 千米， M 到 PQ 的距离为16 千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域 R 1 为矩形 ABCD ，养殖区域 R 2 为 A M B ，且 A , B 均在圆弧上，C ,D 均在线段 PQ 上，设∠AOM =α.（Ⅰ）用α分别表示矩形 ABCD 和 A M B 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在 R 1 内养殖鱼类，在 R 2 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3 : 2 .求当α为何值时，能使年总产值最大.19.【江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数 f (x ) = ( x - a ) e x + b (a , b ∈ R ) ．（1） 讨论函数 f( x ) 的单调性；（2） 对给定的 a ，函数 f( x ) 有零点，求b 的取值范围；（3）当 a = 2 ， b = 0 时， F (x ) = f ( x ) - x + ln x ，记 y = F ( x ) 在区间⎛ 1 ,1⎫上的最大值为 m ，且4 ⎪ ⎝ ⎭m ∈[n, n + 1), n ∈Z ，求n 的值．20.【陕西省西安中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数f ( x) =x -1 -a ln x ．（1）当 a = 1 时，求f(x)的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1+1)(1+1) ⋅⋅⋅ (1+1) <m ，求m 的最小值．2 22 2n。

2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。

长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级 数学（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（ ）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（ ）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（ ） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（ ）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知ABC ∆中 ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论: ① ()0AH AC AB ⋅-=；② 0AB BC ABC ⋅<⇒∆为锐角三角形；③ ||AHAC AH ⋅sin c B =；④ 22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年陕西省西安中学高二上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.2．已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6【答案】D 【解析】y′=4x 3+2ax 由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D.3．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】0mn >时，如果0m n =>，或0,0m n <<，方程221mx ny +=不是椭圆；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，0,0m n >>，则0mn >成立，即可得出结论.当0mn >时，方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆，例如：当1m n ==时，方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆； 或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆； 故前者不是后者的充分条件；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到0mn >；由上可得：“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，考查椭圆的标准方程，属于基础题.4．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为 A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=【答案】B【解析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n. 【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同 ∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -=212e m ==Q ，4m n ∴===，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=，本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.【考点】椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n 因而椭圆方程确定.5．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C 【解析】【详解】c e a ===2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±. 【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.6．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30o ，则C 的离心率为（ ） A．B ．13C ．12D．3【答案】D【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|m ， 故离心率e＝121222F F c a PF PF ===+ D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ） A ．22 B ．23C ．4D ．25【答案】B【解析】设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).8．已知圆M ：x 2+y 2+2mx ﹣3=0（m ＜0）的半径为2，椭圆22213x y C a +=：（a ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ．34B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】先确定圆的圆心坐标，再利用垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，可求c 的值，进而可求a 的值． 【详解】∵圆M ：x 2+y 2+2mx ﹣3=0（m ＜0）的半径为2 ∴m 2+3=4 ∴m 2=1 ∵m ＜0 ∴m=﹣1∴圆心M 的坐标为（1，0）∵垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切 ∴c=1 ∴a 2=1+3=4∴a=2 故选C ． 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查椭圆的标准方程，确定圆的圆心坐标是关键．9．已知F 1、F 2为双曲线C ：x²-y²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C【解析】由x 2-y 2=2知,a 2=2,b 2=2,c 2=a 2+b 2=4, ∴,c=2.又∵|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1,|PF 2. 又∵|F 1F 2|=2c=4,∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 22224+-34. 故选C.10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．74-或2564- B ．1-或2564-C ．74-或7 D ．1-或214【答案】B【解析】三次函数的导函数为23,y x '=设切点为311(,)x x ，2113k x =，所以切线方程321113()y x x x x -=-，另一曲线的导数1524y ax +'=，设切点为222215(,9)4x ax x +-，221524k ax =+，所以切线方程222221515(9)(2)()44y ax x ax x x -+-=+-，两切线均过（1，0）点，代入得321113(1)x x x =-，222221515(9)(2)(1)44ax x ax x +-=+-，2113k x ==221524k ax =+，三个式子解得11327,416x k ==，a =1-或2564-，选B. 【点睛】可导函数y=f(x)在0x x =处的导数就是曲线y=f(x)在0x x =处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在0x x =处的切线是000()()()y f x f x x x '-=-,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点00(,())x f x ,把(m,n)代入000()()()y f x f x x x '-=-,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。

陕西省西安市第一中学2021届高三上学期12月月考数学（文）试题do高三数学试卷（文科）候选人须知：1.本试卷第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3.本论文的主要测试内容：集合与公共逻辑项、函数与导数、不等式、三角函数与解三角形平面向量。

第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设定一个？？x |？2.十、7.Bx | x？1，x？N然后是a？B的元素数是a.3b和4c。

5d。

六2.在等差数列?an?中a2021?a2021?6，则公差d等于a.2b.3c.4d.63.在下列函数中，既不是奇数也不是偶数的函数是3x?xa.y?lnxb.y?xc.y??xd.y?e?e0b的值是4集向量a？（1,2），b？25.如果a和B之间的夹角是60，那么a？a、 5b。

5c。

55d。

105.cos80cos130？Sin80sin130等于A？00001133b。

？c、 d。

22226.设等比数列{an}的前n项和为sn，若a3=2a4=2，则s6等于3163127c。

D248a7。

曲线f（x）？十、如果（1，a+1）处的切线垂直于直线3x+y=0，则a等于x5157a.?b.c.d.662248.“Tan？？2”是指3a.31b.1a、充分和不必要的条件B.必要和不充分的条件c.充要条件d．既不充分也不必要条件9.已知函数f（x）？asin（？x？？）一些照片(2m?个单位后得到y?asin?x的图像310.设函数y?4x?x的图像如图所示，则m的值可能为a．-2b.1c.3d.4牛被测量，ab=1040米，BC=500米，那么罪呢？BAC等于ayx'3357b.c.d.581324212.如图所示，函数f（x）是吗？十、斧头？B的部分像，函数g（x）？Ef （x）13。

HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。