2021届吉林省抚松五中高三四盟校期中联考理数试题Word版含解析

吉林省 2021 版数学高三上学期理数期中考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高二下·新乡期末) 已知集合 A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}，m∈Z，若 A∩B 有三个元素，则 m 的值为（ ）A . ﹣2B.2C . ﹣3D.32. （2 分） 若 ab,c 为实数，则下列命题正确的是（）A . 若 a>b，则B . 若 a<b<0，则C . 若 a<b<0，则 D . 若 a<b<0，则3. （2 分） 化简 A.1 B.2=（ ）C.D . -14. （2 分） (2019 高一下·大庆期中) 已知实数，且A.，则以下不等式恒成立的是（ ）第 1 页 共 11 页B.C.D.5. （2 分） (2019·黑龙江模拟) 已知等差数列 列 的前 项和为（ ）满足：，且 ， ， 成等比数列，则数A.B.C. 或 D. 或6. （2 分） (2019 高一上·绵阳期中) 已知函数 f（x）=x+2x ， g（x）=x+lnx，f（x）=x+为，则的大小关系为（ ）的零点分别A.B.C.D.7. （2 分） (2017 高二上·定州期末) 已知函数 f（x）=（a＞0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A . （0， ]B.[ ， ]第 2 页 共 11 页C . [ ， ]∪{ } D . [ ， ）∪{ } 8. （2 分） 函数 f（x）=Asin（ωx+ϕ）+k 在一个周期内的图象如图，函数 f（x）解析式为（ ）A . f（x）=4sin（ x+ ）﹣1 B . f（x）=2sin（2x﹣ ）+1C . f（x）=4sin（ x+ ）D . f（x）=2sin（2x﹣ ）+19. （2 分） (2020 高二下·钦州期中) 已经知道函数 （）A . 最大值为 9B . 最小值为C . 函数在区间上单调递增D.是它的极大值点10. （2 分） 已知函数 A. B.，若第 3 页 共 11 页在上，则下列说法不正确的是， 则实数 a 等于（ ）C.2 D.411. （2 分） (2018 高二上·北京期中) 不等式A.，的解集是（ ）B.，C.D.12. （2 分） (2019 高三上·长治月考) 已知函数 象有三个不同的交点，则直线 斜率的取值范围为（ ），过点的直线 与的图A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·防城港期末) 若向量 、 满足 + • =________．=（2，﹣1）， =（1，2），则14. （1 分） (2017 高二下·保定期末) （+xcosx）dx=________．15. （1 分） (2018·南阳模拟) 若非零向量 ， 满足 的投影为________．第 4 页 共 11 页，则在 方向上16. （1 分） (2017 高二下·寿光期末) 设曲线 y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 xn ， 则 log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016 的值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2020·随县模拟) 等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，，，.（1） 求数列 和 的通项公式；（2） 设，求数列 的前 项和 .18. （10 分） (2019 高三上·广东期末) 如图，在，且.中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，（1） 求的大小；（2） 若 积的最大值.，点 、 在 的异侧，，，求平面四边形面19. （10 分） (2020 高二下·洛阳期末) 函数 .的图象在处的切线方程为：（1） 求 和 的值；（2） 若满足：当时，，求实数 的取值范围.20. （5 分） (2019 高一下·仙桃期末) 满足，的面积分别为．第 5 页 共 11 页，点 在内且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值．21. （5 分） (2016 高二下·南昌期中) 设 l 为曲线 C：y= 在点（1，0）处的切线． （Ⅰ）求 l 的方程； （Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线 C 在直线 l 的下方．22. （15 分） (2016 高一上·吉林期中) 已知函数 f（x）=k﹣ （其中 k 为常数）； （1） 求：函数的定义域； （2） 证明：函数在区间（0，+∞）上为增函数； （3） 若函数为奇函数，求 k 的值．第 6 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、 17-2、18-1、第 8 页 共 11 页18-2、 19-1、19-2、第 9 页 共 11 页20-1、21-1、 22-1、第 10 页 共 11 页22-2、22-3、第11 页共11 页。

2021年高三数学上学期期中联考试题 理(IV)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A. B. C.0 D.12．已知全集21{|230},{|0|}3x U x x x A x x -=-+-≤=>-，则C U A=（ ） A ．{x|l<x<2} B ．{x|l ≤x ≤2}C ．{x|2≤x<3}D ． {x|2≤x ≤3或x=1}3．设集合和集合都是自然数集合，映射,把集合中的元素映射到集合中的元素,则在映射下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.54．已知数列的通项公式为。

令,则数列{}的前10项和T 10=（ ）A ．70B ．75C ．80D ．855.，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）A ．B ．C ．或D ．6．已知数列满足，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、在△ABC 中，角所对的边分别是，已知，且，则△ABC 的面积是（ ）8、化简（ ）A. B. C. D.9、函数的图象大致是（ ）10．已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11、设函数,若实数满足,则( )A. B. C. D.12、已知函数 是定义在R 上的奇函数，其导函数为 ，且x<0时， 恒成立，则的大小关系为（ ） A. 2015(2015)2014(2014)(1)f f f <<B ． 2015(2015)(1)2014(2014)f f f <<C ． (1)2015(2015)2014(2014)f f f <<D ． (1)2014(2014)2015(2015)f f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知点和向量,若,则点的坐标为14．已知是偶函数，则的图像的对称轴是直线 .15．已知实数若，则___________.16．设为的导函数，是的导函数，如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递增，在区问单调递减．则称为的“上趋拐点”；如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递减，在区间单调递增．则称为的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是 （只写出正确结论的序号）①为的“下趋拐点”；②在定义域内存在“上趋拐点”；③在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则的取值范围为；④，是的“下趋拐点”，则的必要条件是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知函数，（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围．18．（本小题12分）已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．19．（本小题12分）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形. (Ⅰ)求的值及函数的值域;(Ⅱ)若,且,求的值.20、（本小题12分）在△ABC中，角所对的边分别是，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)已知，求的值．21.（本小题12分）已知函数(Ⅰ)若，求函数的极值和单调区间；(Ⅱ)若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.22．（本小题12分）已知函数.（I）若函数有极值1，求实数的值；（II）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（III）证明：.xx 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考高三数学（理科）参考答案一．选择题（共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A D CB B D DC A C AD 二．填空题（共20分）13. 14. 15. 3 16. ①③④三．解答题（共70分）17. 解：（Ⅰ）由得，…………1分…………2分…………3分故不等式的解集为…………5分（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立…………7分∵，…………9分∴的取值范围为．…………10分18. （Ⅰ）当时，由得：．…………1分由 ①（ ）②…………2分上面两式相减，得：．（ ） …………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 得：．……6分（Ⅱ）． …………7分． ……9分121n n T c c c ⎛=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎝ …………12分19. 解：(Ⅰ)由已知可得:=3cos ωx+…………2分又由于正三角形ABC 的高为2,则BC=4 …………3分所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f …………5分所以,函数 …………6分(Ⅱ)因为(Ⅰ)有…………7分由x 0 …………8分所以, …………9分故)22532254(324sin )34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x …………10分 …………11分…………12分20. 解：(Ⅰ)sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A B A B A B A B A B A B++=+=， ，∴，………2分∴，…………4分 ∵，∴B=.………………………………………6分(Ⅱ)，……………………… 7分∵，∴，即，∴，………………………8分 而，∴.……………10分∴ . ……………………………………………… 12分21.解：（1） 因为，……………1分当，，令，得，令，得；令，得……………2分所以时，的极小值为1. ……………3分的递增区间为，递减区间为；……………4分（2）因为，且，令，得到，①当，即时， 在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即.……………6分 ②当，即时，ⅰ）若，则对成立，在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立. ……………8分ⅱ）若，即时，则有（右表）， 所以在区间上的最小值为， ……………10分 由 ，得，解得，即.…………11分综上，由①②可知：符合题意. ……………12分22．解：（Ⅰ） F′（x ）=a ﹣=（x ＞0），……………1分当a≤0时，F′（x ）＜0，F （x ）在（0，+∞）递减，无极值；当a ＞0时，由F′（x ）＞0，可得x ＞，由F′（x ）＜0，可得0＜x ＜，……………2分 x=取得极小值．由F （x ）有极值﹣1，即有1﹣ln=1，解得a=1；……………3分（Ⅱ）G （x ）=f[sin （1﹣x ）]+g （x ）=asin （1﹣x ）+lnx ，G′（x ）=﹣acos （1﹣x ）+，……………4分因为G （x ）在（0，1）上递增，即有﹣acos （1﹣x ）+≥0在（0，1）上恒成立，即a≤在（0，1）上恒成立．……………5分令h （x ）=xcos （1﹣x ），0＜x ＜1，h′（x ）=cos （1﹣x ）+xsin （1﹣x ）＞0， h （x ）在（0，1）递增，0＜xcos （1﹣x ）＜1，即有＞1，……………6分 则有a≤1．……………7分（III ）由（II ）知，当a=1时，在区间上是增函数，所以,所以，……………8分令，即，则……………9分所以()()()222211123sinln ln ...ln 132421n k n n n k =+<+++⨯⨯++∑ ()()()()2ln 2ln32ln3ln 2ln 4...2ln 1ln ln 2n n n =-+--+++--+⎡⎤⎣⎦……………10分 ()()1ln 2ln 1ln 2ln 2ln ln 22n n n n +=++-+=+<+……………11分 故。

吉林省2021年高三上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若全集U={x|0≤x＜6，x∈N}，集合A={1，3，5}，B={x|x2+4=5x}，则∁UA∪∁UB等于（）A . {2，3，4，5}B . {0，2}C . {0，2，3，4，5}D . {0，2，3，4}2. （2分）由曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 若| |= ，| |=2且（﹣）⊥ ，则与的夹角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·集宁月考) 从集合的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）A . =-B .C . =2D .6. （2分）函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .7. （2分） 5人站成一排，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）A . 24B . 36C . 48D . 608. （2分） (2017高三上·连城开学考) 若a= ，b= ，c= ，则a，b，c大小关系是（）A . a＜c＜bB . a＜b＜cC . c＜b＜aD . c＜a＜b9. （2分）(2019·南昌模拟) 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A . 46B . 12C . 11D . 210. （2分） (2017高一下·红桥期末) 如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个空间几何体是（）A . 长方体B . 球C . 圆锥D . 圆柱11. （2分） (2015高三上·合肥期末) 若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣212. （2分）已知定义域为的奇函数.当时,，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·乌鲁木齐模拟) 在平面直角坐标系xOy中，若直线与曲线b，相切于点，则的值为________．14. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g （﹣1）=________15. （1分）设 a>0 ，若曲线与直线x=a,y=0, 所围成封闭图形的面积为 a2 ，则 a= ________.16. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知﹣1＜a＜b＜2，则a﹣b的范围是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．18. （15分） (2020高二上·西湖期末) 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由19. （10分）(2017·太原模拟) 已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1﹣2，数列{bn}满足bn=an+an+1（n∈N*）．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若cn=log2an（n∈N*），求数列{bn•cn}的前n项和Tn ．20. （5分） (2017高一下·桃江期末) 某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率．21. （5分）已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．22. （10分） (2017·长春模拟) 已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0 ， y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．23. （10分）设定义域为R的函数f（x）= ．（1）在如图所示的平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调区间（不需证明）；（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

绝密★启用前吉林省白山市普通高中2021届高三毕业班下学期第四次高考模拟联合考试数学(理)试题 (解析版)2021年5月一、单选题1.已知集合 A ={x ∈Z|−3<x <5} , B ={y|y =2x,x ∈A} ,则 A ∩B 的元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】因为 A ={−2,−1,0,1,2,3,4} , B ={−4,−2,0,2,4,6,8} ,所以 A ∩B ={−2,0,2,4} .元素个数是4． 故答案为：B ．【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。

2.在 △ABC 中,若 AB =1,AC =5,sinA =35 ,则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A. 3 B. ±3 C. 4 D. ±4 【答案】 D【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】由于 sinA =35 ,所以 cosA =±√1−sin 2A =±45 , 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosA =±4 . 故答案为：D【分析】首先由同角三角函数的关系式代入数值计算出cosA的值,再由数量积的的运算性质计算出答案即可。

3.函数f(x)=x3−7x2+1的图象在点(4,f(4))处的切线斜率为（）A. -8B. -7C. -6D. -5【答案】A【考点】导数的几何意义【解析】【解答】因为f′(x)=3x2−14x,所以所求切线的斜率为f′(4)=3×16−14×4=−8.故答案为：A【分析】根据题意对函数求导并把数值代入到导函数的解析式,计算出结果即为切线的斜率。

4.跑步是一项有氧运动,通过跑步,我们能提高肌力,同时提高体内的基础代谢水平,加速脂肪的燃烧,养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划,他第一天跑了8千米,以后每天比前一天多跑0.5千米,则他要完成该计划至少需要（）A. 16天B. 17天C. 18天D. 19天【答案】B【考点】二次函数的性质,等差数列的前n项和【解析】【解答】依题意可得,他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列,且首项为8,公差为0.5,设经过n天后他完成健身计划,则8n+n(n−1)2×12≥200,整理得n2+31n−800≥0.因为函数f(x)=x2+31x−800在[1,+∞)为增函数,且f(16)<0, f(17)>0,所以n≥17.故答案为：B【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题再由等差数列前n项和公式整理即可得出关于n的方程,结合二次函数的性质即可得出n的取值范围。

高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）试题第Ⅰ 卷一． 选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） （1）已知N 是自然数集，集合N}16{∈+=x x|A ，{}01234,,,,B =，则A B =I （） A ．{}02, B ．{}012,,C ．{}23,D ．{}024,, （2）已知复数5i12iz =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的（） （3）已知()πα,0∈,且5cos 13α=-,则sin()tan 2παα-⋅=（ ）A ．13 B ．13- C.13-D ．13（4）某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ） A ．9种 B ．18种 C.12种 D ．36种（5）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)f x +=()f x ，当[]2,0x ∈-时，()2x f x =-， 则(1)f +(4)f 等于（） A ．32 B ．1C ．−1 D ． −32（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了 公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商 鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（ ）A.1.2B.1.6C. 1.8D. 2.4 （7）已知函数()()()()sin 2cos 20f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（） A.6πB.3πC.6π或56πD.3π或23π（8）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()835mod6≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.2019B.2023C.2031D. 2047（9）如图，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，以A 为顶点且 过点C 的抛物线的一部分在矩形内；若在矩形ABCD 内随机地 投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ） A.12 B.32 C.53 D.34（10）已知,x y 满足,2,2.y x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值4，则实数m 的值为（）A ．4-B ．2-C ．1-D ．1（11）已知点2F 、P 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若()212OM OP OF =+uuu r uu u r uuu r ，2222OF F M =uuu r uuuu r ，且22222OF F M a b ⋅=+uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（）A ．31+B ．32C ．3D ．23 （12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ ）A ．1eB ．4411e e ++ C.44211e e ++D ．44311e e ++第Ⅱ 卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）若0,0a b >>，且()ln 0a b +=，则11a b+的最小值是__________ （14）若()2018220180122018(12)x a a x a x a x x R +=++++∈L ，则12a -+222a −332a +…+201820182a 的 值为（15、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，23AC =，60ABC ∠=o ，且棱锥O ABC -的体积为463，则球O 的表面积为___________ （16）已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且BO BA BC λμ=+uu u r uu r uu u r.若60ABC ∠=o，则λμ+的最大值为__________三．解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分） （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()22221n n n S a n S =≥-.（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；（Ⅱ）证明：当2n ≥时，1231113232n S S S S n ++++<L . （18）（本小题满分12分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，将日需求量按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （Ⅰ）求未来连续三天内，该经销商有连续两 天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另 一天日销售量低于350公斤的概率；（Ⅱ）该经销商计划每日进货300公斤或400 公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据. 他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？ （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明:AE PD ⊥；（Ⅱ）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为5，求二面角--E AF C 的余弦值． （20）(本小题满分12分)已知圆C ：224x y +=与x 轴交于1F ，2F (2F 在原点右侧)两点，动点P 到1F ，2F 两点的距离之和为定值()22a a >，且12cos F PF ∠的最小值为−13．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过2F 且斜率不为零的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，若存在点E ，使得2EA EA AB +⋅uu r uu r uu u r是与直线l 的斜率无关的定值，则称E 为“恒点”．问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．（21）(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）设()()1gx f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求ba的最小值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 6ρθθ-=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2,()3f x x g x x m =-=-++()m R ∈ （Ⅰ）解关于x 的不等式()20(R)f x a a +->∈；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）答案一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCABDBDCBBAD二．填空题13. 4 14. -1 15.48π 16. 三．解答题18.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．.....4分（Ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1－100 700 1500P 0.1 0.2 0.7此时利润的期望值E(Y1)＝－当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：Y2－400 400 1200 2000P 0.1 0.2 0.3 0.4此时利润的期望值E(Y2)＝1200；因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．......12分19.证明：20．【解析】(1)由已知，22x y +=4与x 轴交于1F (−2，0)，2F (2，0)，则|1F 2F | =4，由题意知|P 1F |+|P 2F |=2a ，cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-=22121212(||||)||2||||PF PF F F PF PF +-−1=2124162||||a PF PF -−1≥224162a a -−1=1−28a =−13，当且仅当|P 1F |=|P 2F |=a时等号成立，因而2a =6，由椭圆的定义知，P 的轨迹为椭圆，且1F ，2F 分别为其左、右焦点，2b =2a −2c =2，所以所求轨迹方程为26x +22y =1 …6分(2)如图，设直线l 的方程为x= my+2，A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，由222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+3)y 2+4my −2=0，则1y +2y =−243m m +，1y 2y =−223m +．（8分） 假设存在这样的“恒点”E(t ，0)，则2EA EA AB +⋅u u u r u u u r u u u r =EA EB ⋅u u u r u u u r=(1x −t ，1y )·(2x −t ，2y )=(m 1y +2−t ，1y )·(m 2y +2−t ，2y )=(m 2+1) 1y 2y +(2−t)m(1y +2y )+(2−t)2 =2222224(2)33m t m m m ----++++(2−t)2=2222(6)312103t m t t m -+-++．若2EA EA AB +⋅u u u r u u u r u u u r是与直线l 的斜率无关的定值，则其为与m 无关的定值，则32t −18=32t −12t+10，得t=73， 此时定值为(73)2−6=−59，“恒点”为(73，0)．（12分） 21. 【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'1g x a x=-， ①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 …4分 （Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数， ∴()'1F x e a x=+-，0x >， 当a e ≤时，()'0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立， 当a e >时，由()'10F x e a x =+-=，得1x a e=-, ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤， 当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()'0F x >，()F x 单调递增， 当1,x a e ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时，()'0F x <，()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---， ∴()()1ln a e b a e a a---≥>， 令()()1ln x e G x x---=，x e >，()()()()()'221ln ln xx e x e x e e x e G x x x e x -++-----==- 令()()()ln H x x e x e e =---，()()'ln 1H x x e =-+， 由()'0H x =，得1x e e=+， 当1,x e e ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 是增函数， 当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0H x <，()H x 是减函数，∴当1x e e =+时，()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时，()'0G x <，()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 是增函数，∴2x e =时，()G x 取最小值，()11122G e e e--==-， ∴b a 的最小值为1e- …12分。

2021届吉林省吉林市高三四模数学（理）试题一、单选题1．已知全集{0,1,2,3,4}U A B =⋃=，(){1,3}U A C B =，则集合B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【分析】由题设，结合韦恩图，即可求集合B . 【详解】由{0,1,2,3,4}U A B =⋃=，(){1,3}U AC B =，∴{0,2,4}B =. 故选：C.2．已知α是第二象限角，则（ ） A ．cos 0α> B ．sin 0α<C ．sin 20α<D ．tan 0α>【答案】C【分析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可. 【详解】由α是第二象限角，可得cos 0α<，sin 0α>，tan 0α<sin 22sin cos 0ααα∴=<故选：C3．已知a R ∈，i 是虚数单位，若复数21(1)z a a i =-++为纯虚数，则a =（ ）A ．0B ．1或-1C ．1-D ．1【答案】D【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解. 【详解】21(1)z a a i =-++为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即1a =. 故选：D .【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.4．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）A ．s s s <<乙甲丙B ．s s s <<乙甲丙C ．s s s <<乙甲丙D ．s s s <<乙甲丙【答案】D【分析】先分别求出甲，乙，丙三名运动员射击成绩的平均分，然后根据方差公式求出相应的方差，比较大小可得标准差的大小.【详解】甲的平均成绩为(78910)0.258.5+++⨯=,其方差为222220.25(78.5)(88.5)(98.5)(108.5) 1.25S ⎡⎤=⨯-+-+-+-=⎣⎦甲乙的平均成绩为70.380.290.2100.38.5⨯+⨯+⨯+⨯=, 其方差为222220.3(78.5)0.2(88.5)0.2(98.5)0.3(108.5) 1.45S =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=乙丙的平均成绩为70.280.390.3100.28.5⨯+⨯+⨯+⨯= 其方差为222220.2(78.5)0.3(88.5)0.3(98.5)0.2(108.5) 1.05S =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=丙. 所以s s s <<乙甲丙 故选： D5．已知随机变量(5,1)X N ~，且()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，则(67)P X <≤为（ ）A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718【答案】B【分析】由随机变量(5,1)X N ~可知5,1μσ==，利用正态分布的对称性求解即可 【详解】由随机变量(5,1)X N ~知，5,1μσ==， 所以(46)0.6827P X <≤≈，(37)0.9545P X <≤≈， 所以1(67)[(37)(46)]0.13592P X P X P X <≤=<≤-<≤=， 故选：B6．若点(1,1)P 为圆22(4)16x y -+=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．340x y +-= B ．320x y -+= C ．340x y +-= D ．320x y --=【答案】D【分析】求得圆心坐标为(4,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再根据圆的弦的性质，得到2AB k =，结合直线点斜式方程，即可求解. 【详解】因为圆22(4)16x y -+=， 所以圆心坐标为(4,0)C ，半径为4， 又由斜率公式，可得011413PC k -==--， 根据圆的弦的性质，可得1PC ABk k ，所以3AB k =，所以弦AB 所在直线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=， 所以弦AB 所在直线方程为320x y --=. 故选：D7．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥B ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥C ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥【答案】B【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个判断可得答案. 【详解】对于A ，,,//m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒或α与β相交但不垂直或αβ⊥，故A 不正确；对于B ，因为//n β，过n 作平面γ交平面β于n '，所以//n n '，由//αβ，m α⊥可得m β⊥，所以m n '⊥，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，,,////m n m n αβαβ⊥⊥⇒或m 、n 相交且垂直或m 、n 相交但不垂直或m 、n 异面且垂直或m 、n 异面但不垂直，故C 不正确；对于D ，,,//m n m n αβαββ⊥=⊥⇒或n β⊂或n 与β相交但不垂直或n β⊥.故选：B8．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且cos 3sin 0a C a C b c --=，则A 为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．4π 【答案】B【分析】先利用正弦定理把cos 3sin 0a C a C b c --=都统一成角，然后消去角B ，再利用辅助角公式化为1sin()62A π-=，从而可求出角A 的值. 【详解】因为cos 3sin 0a C a C b c --=， 所以sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C --=， 因为()B A C π=-+，所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+， 所以sin cos 3sin sin (sin cos cos sin )sin 0A C A C A C A C C -+-=，3sin sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为sin 0C ≠3sin cos 1A A -=，所以1sin()62A π-=， 因为5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，得3A π=故选：B【点睛】关键点点睛：利用正弦定理，统一为角的问题，利用三角恒等变换化简，是解题的关键，属于中档题.9．已知1112332222log log log 0x x x ==<，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．213x x x >>B ．321x x x >>C ．123x x x >>D ．312x x x >>【答案】A【分析】根据已知不等式，得到123,,x x x 之间的关系及与1的关系，利用不等式的比较方法即可得到结果.【详解】∵11123313222222log log log 0log 1log 1x x x ==<==，∴11x >，21>x ，31x <，212x x =，∴()111122110x x x x x x -=-=-<，∴12x x <，∴213x x x >>. 故选：A.10．一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种是有一个锐角是30的直角三角形，如图两个三角板斜边之比为3:2.四边形ABCD 就是由三角板拼成的，2AB =，60ABC ∠=︒，则AB CD AC DB ⋅+⋅的值为（ ）A ．23B ．6-C ．623--D ．23-【答案】C【分析】建立直角坐标系,利用数量积的坐标表示求解即可. 【详解】建立如图所示直角坐标系：因为2AB =，60ABC ∠=︒， 所以23,6AC AD ==则()((2,0,0,23,3,3B C D -， 所以()()()(2,0,0,23,3,3,23,3AB AC CD DB ===--=+-，所以623AB CD AC DB -⋅+⋅=-故选：C11．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()f x 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出ω的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个ω的范围，两个范围取交集即可求解. 【详解】令2,222x k k ππωππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，解得22,22k k x ππππωωωω⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，而函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以223230ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得304ω<≤，当[]0,x π∈时，[]0,x ωω∈π，因为|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，所以232πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1322ω≤<.综上所述，ω的取值范围是1324ω≤≤. 故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得ω的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得ω的另一个范围.这里要注意，|()|1f x =说明()1f x =±，而根据题意，|()|1f x =只有一个解，所以()f x 只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现()f x 只能等于1.如果能够取到1-，那么根据自变量的范围，此时()f x 肯定也可以取1，所以舍去.12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆与y 轴交于,M N 两点，设线段AB 的中点为Q ，若抛物线C 上存在一点(3,)E t 到焦点F 的距离等于4.下面四个命题： ①抛物线的方程是22y x = ②抛物线的准线方程是1x =- ③sin QMN ∠的最小值是12④线段AB 长的最小值是4 其中正确的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p ，进而得到抛物线方程和准线方程；求得()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x mx =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB 的最小值，可得圆Q 的半径，由中点坐标公式可得Q 的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求sin QMN ∠的最小值.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，得抛物线的准线方程为2p x =-， 点(3,)E t 到焦点F 的距离等于4，可得342p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-，故①错误，②正确；因为()10F ，， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+， 由21 4x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=， 所以124y y m +=，124y y =-，所以()21212242x x m y y m +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2212m m +，， 221242244AB x x p m m =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即④正确；所以圆Q 的半径为222r m =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qx m QMN r m m +∠===-≥-=++， 当且仅当0m =时取等号， 所以sin QMN ∠的最小值为12，即③正确， 故选：B【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义可求出抛物线的方程，利用直线与抛物线相交联立方程消元，由韦达定理可求弦中点坐标，弦长，圆的几何性质求最值，属于中档题.二、填空题13．已知变量x和y需满足约束条件2526x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则yzx=的最小值为___________.【答案】13【分析】作出可行域，根据yzx=的几何意义求解即可.【详解】作出可行域如图，yzx=可表示为可行域内一点与原点连线的斜率，由25020x yx y--=⎧⎨--=⎩解得31xy=⎧⎨=⎩，即(3,1)A,根据图象可知当yzx=过点A时，即13z=时，直线的斜率最小，故答案为：1314．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有___________种不同的分配方式.【答案】90【分析】先从6部中选2部，再从剩下的4部中选2部，此时把6部书分成3份，然后分给3个数学兴趣小组即可【详解】解：由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有222322264236423390C C CA C C CA⋅==,故答案为：9015．已知函数1()ln 21x f x x =+-，设121()n F n f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中*n N ∈且2n ≥，则(2021)F =___________.【答案】1010【分析】由于111()(1)ln ln 1212x x f x f x x x-+-=+++=-，然后利用倒序相加法求解即可【详解】解：因为1()ln 21x f x x=+- 所以111()(1)ln ln 1212x x f x f x x x-+-=+++=-， 因为1221()n n F n f f f f n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以121()2n n F n f f f f n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2()1F n n =-，所以1()2n F n -=， 所以20211(2021)10102F -==， 故答案为：1010三、双空题16．如图所示，在长方1111ABCD A BC D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，则四棱锥11B BED F -的体积为___________，截面四边形1BED F 的周长的最小值为___________.【答案】20 274【分析】根据锥体的体积计算，利用切割法可得四棱锥11B BED F -的体积；将几何体展开，根据两点之间直线最短，即可求出最短周长的截面，进而根据勾股定理即可求得结果.【详解】由题意可得1//D F BE ，利用切割法可得1111111111B BED F B BED B BFD D BEB D BFB V V V V V -----=+=+1111111322BB BC AB BB D A AB ⎡⎤=⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦ ()115435432032=⨯⨯⨯+⨯⨯=； 将长方体展开，如图所示，当点E 为1BD 与1CC 的交点、点F 为1BD 与1AA 的交点时，截面周长最小， 此时截面的周长为12BD ，而在1BDD 中，()22153474BD =++=， 所以截面周长的最小值为274. 故答案为：20；274.四、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为132n n S m +=-.（1）求m 的值，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令3(1)log nn n b a =-，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【答案】（1）32m =，3nn a =；（2）2n T n =. 【分析】（1）法一：由已知n S 求1a 、n a ，根据等比数列的性质确定1a 的值，进而求出m ，写出{}n a 通项公式；法二：由n a 与n S 的关系，结合已知求得1a 、2a ，3a ，再根据等比中项的性质求m ，写出{}n a 通项公式；（2）由（1）写出{}n b 通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求2n T . 【详解】（1）法一：当1n =时，1192a S m ==- 当2n ≥时，1133()322n nn n n n a S S m m +-=-=---=∵{}n a 是等比数列， ∴13a =，即932m -=，解得32m =综上，m 的值为32，数列{}n a 的通项公式为3nn a =. 法二：∵1192a S m ==-，2219a S S =-=，33227a S S =-= ∵{}n a 是等比数列， ∴2213a a a ，即9()27812m -⨯=，解得32m =，设{}n a 的公比为q ， ∴213a q a ==，11a =，则1333n n n a -=⨯=. （2）∵3(1)log (1)n nn n b a n =-=-⋅，∴21234212n n n T b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++(1)2(3)4[(21)]2n n=-++-++⋅⋅⋅+--+(12)(34)[(21)2]n n =-++-++⋅⋅⋅+--+n =.18．已知斜三棱柱111ABC A B C -，侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，90ABC ∠=︒，2BC =，22AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=.（1）试判断1A A 与平面1A BC 是否垂直，并说明理由；（2）求二面角1A BC C --的余弦值. 【答案】（1）不垂直，理由见解析；（2）3-. 【分析】取AC 中点O ，连接1AO ､BO ，可证明1AO ⊥平面ABC ，以OC 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，（1）利用计算1AA BC⋅的值确定1A A 与平面1A BC 是否垂直；（2）根据二面角的向量法求解即可.【详解】取AC 中点O ，连接1AO ､BO ，又1AA AC =，得1AO AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，交线为AC ，又1AO ⊂平面11ACC A，则1AO ⊥平面ABC ， ∵90,2,22ABC BC AC ∠=︒==，∴2BC AB ==， ∵O 为AC 中点，∴OB AC ⊥以OC 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图 ，则12)A ，(2,0,0)C ，2,0)B ，(2,0,0)A -，1(22,0,2)C （1）1(2,0,2)AA =，(2,2,0)BC =-， 1220(2)2020AA BC ⋅=⨯-=≠，所以1AA 与BC 不垂直，即1AA 与平面1A BC 不垂直.(另解：求出平面ABC 法向量0(1,1,1)n =，1AA 与0n 不平行，则1AA 与平面1A BC 不垂直)（2）因为1AO ⊥平面ABC ，设平面ABC 的一个法向量(0,0,1)m = 设(,,)n x y z =为平面11BB C C 的一个法向量，(2,2,0)BC =-，1(2,0,2)CC =由10000n BC n CC ⎧=⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪=⎩ 令1x =，则1,1yz，即(1,1,1)n =-，又因为cos ,m n <>== 由图知，二面角1A BC C --为钝角， 所以二面角1A BC C --的余弦值为 【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑（8）》现已进入联盟抢分赛环节，由12强选手组建的凌霄､逐日､登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局.按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为35，逐日联盟胜登峰联盟的概率为45，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为35.联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛.在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争霸赛. （1）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率； （2）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率； （3）求逐日联盟晋级6强的概率. 【答案】（1）1225；（2）1825；（3）35.【分析】（1）记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强”为事件A ，根据独立事件乘法公式，即可求得答案.（2）记“只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队”为事件B ，则事件B 包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级，代入数据，即可得答案.（3）记“逐日联盟晋级6强”为事件C .则事件C 包含三种情况：①逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟；②逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜凌霄联盟；③逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜凌霄联盟，分别求解，即可得答案. 【详解】（1）记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强”为事件A . ∴()34125525P A =⨯= （2）记“只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队”为事件B 则事件B 包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级. ∴()342318555525P B =⨯+⨯= （3）记“逐日联盟晋级6强”为事件C .则事件C 包含三种情况： ①逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟：34125525⨯= ②逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜凌霄联盟：3133275555625⨯⨯⨯= ③逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜凌霄联盟：2243485555625⨯⨯⨯= ∴()1227483256256255P C =++= 20．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为椭圆C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点(1,0)E -可作圆M 的两条切线,EA EB (,A B 为切点)，求四边形EAMB 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2【分析】（1）由题意可得关于,a c 的方程，解出即可得椭圆方程；（2）由椭圆的定义可得||4ME r r =->，将BE 用r 表示，四边形EAMB 面积表示为关于r 的表达式，利用导数与单调性的关系得最值即可.【详解】（1）根据题意椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1.所以31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得2,1a c ==，所以3b =因此椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知，()1,0E-为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，||||4ME MF +=，设|r MF MB ==｜， ∵点E 在圆M 外，∴||4ME r r =->，∴12r ≤< 所以在直角三角形MEB 中，22||(4)242EB r r r =--=-，1||||422MEBSEB MB r r =⋅=-， 由圆的性质知，四边形EAMB 面积2242MEBS S r r ==-，其中12r ≤<.即()3222412S r r r =-+≤<.令()322412y r r r =-+≤<，则2682(34)y r r r r '=-+=--当413r <<时，0y '>，3224y r r =-+单调递增； 当423r <<时，0y '<，3224y r r =-+单调递减. 所以，在43r =时，y 取极大值，也是最大值此时32max44162243329S ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：（1）椭圆上长轴上的两个顶点到焦点的距离即为椭圆上的点到焦点的距离最值；（2）将四边形的面积表示为关于r 的函数，通过导数求最值即可. 21．已知函数11()ln 2a f x x ax a x -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭. （1）当曲线()y f x =在(2,(2))f 处的切线与直线:21l y x =+垂直时，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间. （3）求证：()*1111111ln(1)1234123n n N n n++++<+<++++∈+.【答案】（1）1a =；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）由题意可得111(2)242a f a -'=-+=-，从而可求出a 的值； （2）由于221(x 1)(x )11(x)aa a af a x xx -----'=-+=，12a >，所以分101a a-<<和10aa-≤两种情况讨论导函数的正负，从而可求得函数的单调区间； （3）由（2）可知ln 1≤-x x 在(0,)+∞恒成立，所以11ln 1x x≤-，即1ln 1x x ≥-在(0,)+∞恒成立，因此当(0,)x ∈+∞时不等式11ln 1x x x 恒成立，用1k k+替换x 得11ln(1)ln 1k k k k<+-<+，然后给k 从取到n ，得到n 个式子相加可得结论 【详解】因为1()ln (0)af x x ax x x-=-+>， 所以211()a f x a x x-'=-+ （1）根据题意111(2)242a f a -'=-+=- 解得1a =，满足12a >，∴1a = （2）221(x 1)(x )11(x)aa a a f a x xx -----'=-+=当112a <<时，101a a-<<， 令()0f x '>，∴11a x a -<<，令()0f x '<，∴10ax a-<<或1x > 所以()f x 的递增区间是1(,1)a a -，递减区间是1(0,),(1,)aa-+∞ 当1a ≥时，10aa-≤， 令()0f x '>，∴01x <<，令()0f x '<，∴1x >所以()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞综上所述：当112a <<时，()f x 的递增区间是1(,1)a a -，递减区间是1(0,),(1,)aa-+∞； 当1a ≥时，()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞.（3）由（2）知当1a =时，()ln f x x x =-，并且max ()(1)1f x f ==-， 因此有ln 1≤-x x 在(0,)+∞恒成立， 用1x替换x 得11ln 1x x ≤-，即1ln 1x x ≥-在(0,)+∞恒成立，因此当(0,)x ∈+∞时不等式11ln 1xx x恒成立，令k *∈N 用1k k+替换x 得11ln(1)ln 1k k k k <+-<+， 所以11111[ln(1)ln ]1nn nk k k k k k k===<+-<+∑∑∑ 即1111111ln(n 1)1234123n N n n*+++⋅⋅⋅+<+<+++⋅⋅⋅+∈+， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明，解题的关键是由（2）可得当(0,)x ∈+∞时不等式11ln 1xx x恒成立，用1k k+替换x 得11ln(1)ln 1k k k k <+-<+，然后给k 从取到n ，得到n 个式子相加可得结论，考查计算能力，属于较难题22．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 3cos ρθθ=-.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在y 轴右侧，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.【答案】（1）1C ：22144x y -=，2C：30x y -+=；（2【分析】（1）由11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去t 即可；将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入sin 3cos ρθρθ-=得到曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点P 坐标为()11(,)0t t t t t+->，PQ 最小值，由点P到曲线2:30C x y -=的距离求解.【详解】（1）∵11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去t ,∴224x y -=，即曲线1C 的普通方程为∴22144x y -=.曲线2C的极坐标方程为sin 3cos ρθρθ-=由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C的直角坐标方程为30x y -=. （2）∵P 是曲线1C 右支上的动点， ∴设点P 坐标为()11(,)0t t t t t+->， ∵Q 是曲线2C 上，∴PQ 最小值即点P到曲线2:30C x y -=的距离()d t ，则()d t ==， ∵0t >，∴42t t +≥=，当且仅当t =∴当t =时，()d t∴PQ 23．设函数()|2|||(0)f x x a x a a =-++>. （1）若1a =，求证：()3f x ≥；（2）对于(0,1)x ∀∈，()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(]0,1.【分析】（1）由1a =时，利用绝对值三角不等式求解；（2）法一根据0a >转化为323-x a x a a x +-≤-≤-对()0,1x ∈恒成立求解；法二根据0a >结合()0,1x ∈，分21a ≥，021a <<讨论求解；【详解】（1）当1a =时，()()()212-13f x x x x x =-++≥-+=， 当且仅当()()210x x -+≤，等号成立， ∴()3f x ≥.（2）对于(0,1)x ∀∈，()3f x ≤恒成立， ∵0a >，∴0x a +>，∴|2|3x a x a -++≤， ∴|2|3x a a x -≤--，∴323-x a x a a x +-≤-≤-对()0,1x ∈恒成立，∴3323a a x ≤⎧⎨≥-⎩，即11a a ≤⎧⎨≥-⎩，∵0a >，∴01a <≤. ∴实数a 的取值范围(]0,1法二：∵0a >，∴()2f x x a x a =-++， ∵()0,1x ∈， 当21a ≥时，即12a ≥时，()233f x a x x a a =-++=≤， ∴1a ≤，∴112a ≤≤， 当021a <<即102a <<时，第 21 页 共 21 页 ①当02x a <≤时，()233f x a x x a a =-++=≤， ∴1a ≤，∴102a <<， ②当21a x <<时，()223f x x a x a x a =-++=-≤， ∴()max 23f x a =-≤，∴1a ≥-，∴102a <<， 由①②可知∴102a <<. 综上：a 的取值范围(]0,1【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；。

吉林省2021版高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A . -2B . -C . -D . 12. （2分） (2019高二下·柳州期中) 下列命题中，真命题的是（）A .B .C . 的充要条件是D . 若，且，则中至少有一个大于13. （2分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y﹣3的最小值为（）A . -2B . -C . -1D . 54. （2分）某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A . 30B . 40C . 50D . 555. （2分）若集合M＝{y|y＝2x ，x∈R}，P＝{x|y＝}，则M∩P＝（）A . (1，＋∞)B . [1，＋∞)C . (0，＋∞)D . [0，＋∞)6. （2分）函数y=cosx在其定义域上的奇偶性是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 既奇且偶的函数D . 非奇非偶的函数7. （2分） (2019高一上·上海月考) 已知非空集合M满足：对任意，总有，且，若，则满足条件的M的个数是（）A . 11B . 12C . 15D . 168. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 若z=4+3i，则 =（）A . 1B . ﹣1C . + iD . ﹣ i9. （2分） (2017高一下·上饶期中) 下列算式中不正确的是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·榆林模拟) 设，则的大小关系为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·公安期中) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A . y=xB . y=lgxC . y=2xD . y=12. （2分）(2019·东北三省模拟) 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。