浙大晶体学-3第三章 宏观对称性
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第三章 晶体的宏观对称
第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。
4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。
三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
第3章-晶体的宏观对称
• 对称要素种类 对称面、对称轴、对称中心、旋转反伸轴、 旋转反映轴
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
24
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
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1-fold
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3-fold
4-fold
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对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
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结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
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晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
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3晶体宏观对称
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 单独存在， 1 ） 对称轴 Ln 单独存在 ， 可能的对称型为 L1 ； L2 ； L3 ；L4 ；L6 。 对称轴与对称轴的组合。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln 的组合。 与垂直它的L2的组合。根据上节所述对称要素组 合 规 律 Ln×L2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L 1 L 2 = L 2 ） ； L 2 2 L 2 = 3 L 2 ； L 33 L 2 ； L 44 L 2 ； L 66 L 2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。 这时就不属于 类对称型了。 类对称型了
但是，在晶体模型上找 往往是比较困难的 往往是比较困难的， 但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的， 因为容易误认为L2 因为容易误认为 。 我们不能用L2代替 就像我们不能用L2代 我们不能用 代替Li4 ，就像我们不能用 代 代替 一样。 替L4一样。 一样 因为L4高于 高于L2 也高于L2 在晶体模 因为 高于 ， Li4也高于 。在晶体模 也高于 型上找对称要素，一定要找出最高的。 型上找对称要素，一定要找出最高的。
值得指出的是， 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 外 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和 Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对 不能被代替， 替。这是因为 在晶体对 称分类中有特殊意义。 称分类中有特殊意义。
《晶体的宏观对称性》课件
对称性是晶体学中一个非常重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构和性质。
晶体对称性的分类
晶体对称性可以根据其对称操作的不同进行分类，主要包括7种点群和10 种布拉维格子。
点群是指在三维空间中围绕一个点进行对称操作的集合，包括32种不同 的点群。
布拉维格子则是指晶体中原子排列的周期性模式，包括简单格子、复式 格子和面心格子等。
《晶体的宏观对称性》 ppt课件
• 引言 • 晶体的基本概念 • 晶体的宏观对称性 • 晶体对称性的应用 • 晶体的宏观对称性与晶体物理性质的
关系 • 总结与展望
01
引言
课程简介
晶体对称性是晶体学的重要概念 ，它描述了晶体在宏观尺度上的
对称特征。
本课程将介绍晶体对称性的基本 概念、分类和在材料科学中的应
例如，立方晶体具有高度的对称性，因此其光学、电学和热学性质在各个方向 上都是相同的。
对称性破缺与物理性质的变化
对称性破缺的概念
01
当晶体失去原有的对称性时，称为对称性破缺。
对称性破缺对物理性质的影响
02
对称性破缺会导致晶体物理性质的变化，如光学、电学和磁学
性质的各向异性。
对称性破缺的实例分析
03
例如，石墨晶体中的层状结构导致其对称性在垂直于层面的方
在材料科学中的应用
01
晶体对称性与材料性能
材料的物理和化学性质与晶体的对称性密切相关。例如，金属材料的导
电性和导热性、陶瓷材料的硬度等都与其晶体结构对称性有关。
02 03
晶体对称性与材料合成
通过控制材料的晶体对称性，可以合成具有特定性能的新型材料。例如 ，通过改变晶体结构中的原子排列，可以合成具有高强度、高硬度、耐 高温等优异性能的新型陶瓷材料。
晶体对称性的分类
晶体对称性可以根据其对称操作的不同进行分类，主要包括7种点群和10 种布拉维格子。
点群是指在三维空间中围绕一个点进行对称操作的集合，包括32种不同 的点群。
布拉维格子则是指晶体中原子排列的周期性模式，包括简单格子、复式 格子和面心格子等。
《晶体的宏观对称性》 ppt课件
• 引言 • 晶体的基本概念 • 晶体的宏观对称性 • 晶体对称性的应用 • 晶体的宏观对称性与晶体物理性质的
关系 • 总结与展望
01
引言
课程简介
晶体对称性是晶体学的重要概念 ，它描述了晶体在宏观尺度上的
对称特征。
本课程将介绍晶体对称性的基本 概念、分类和在材料科学中的应
例如，立方晶体具有高度的对称性，因此其光学、电学和热学性质在各个方向 上都是相同的。
对称性破缺与物理性质的变化
对称性破缺的概念
01
当晶体失去原有的对称性时，称为对称性破缺。
对称性破缺对物理性质的影响
02
对称性破缺会导致晶体物理性质的变化，如光学、电学和磁学
性质的各向异性。
对称性破缺的实例分析
03
例如，石墨晶体中的层状结构导致其对称性在垂直于层面的方
在材料科学中的应用
01
晶体对称性与材料性能
材料的物理和化学性质与晶体的对称性密切相关。例如，金属材料的导
电性和导热性、陶瓷材料的硬度等都与其晶体结构对称性有关。
02 03
晶体对称性与材料合成
通过控制材料的晶体对称性，可以合成具有特定性能的新型材料。例如 ，通过改变晶体结构中的原子排列，可以合成具有高强度、高硬度、耐 高温等优异性能的新型陶瓷材料。
第三章晶体的宏观对称剖析
宏观对称性是指晶体在宏观尺度 上所表现出的对称性质，包括晶 体形状、晶面和对称轴等方面。
宏观对称性可以通过几何图形来 表示，例如六方晶系、立方晶系 等。
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宏观对称性是晶体分类的重要依 据之一，不同晶体的宏观对称性 特征不同。
宏观对称性还可以通过晶面指数 和对称轴的描述来表达，这些描 述方式有助于研究晶体的结构和 物理性质。
空间群的特点：空间群决定了晶体结构的对称性和物理性质，不同的空间群具有不同的对称性和 物理性质。
空间群的应用：空间群在材料科学、物理学、化学等领域有着广泛的应用，对于理解晶体结构和 性质以及开发新材料具有重要的意义。
空间群与晶体结构的关系：空间群与晶体结构密切相关，通过对空间群的研究可以深入了解晶体 结构的本质和规律。
点群的特点和性质
点群是由对称操作构成的群，具 有确定的点群符号
点群能够确定晶体的对称性，从 而推断晶体的物理性质
添加标题
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点群将晶体划分为若干个等同部 分，具有空间均匀性
点群是晶体分类和鉴别的基本依 据之一
空间群的分类和特点
空间群的分类：按照晶体结构的特点，空间群可以分为七大类，包括简单立方、面心立方、体心 立方等。
征。
对称性的分类
晶体点群：晶体中原子或分子的排列方式 晶体空间群：晶体中原子或分子的空间排列方式 对称轴：晶体中存在的对称元素，如C轴、S轴等 对称面：晶体中存在的对称元素，如M面、Y面等
对称性在晶体结构中的作用
决定晶体外形
影响晶体物理性质
形成晶体群
决定晶体中的原子排 列
晶体的宏观对称性
03
宏观对称性的定义
宏观对称性可以通过几何图形来 表示，例如六方晶系、立方晶系 等。
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宏观对称性是晶体分类的重要依 据之一，不同晶体的宏观对称性 特征不同。
宏观对称性还可以通过晶面指数 和对称轴的描述来表达，这些描 述方式有助于研究晶体的结构和 物理性质。
空间群的特点：空间群决定了晶体结构的对称性和物理性质，不同的空间群具有不同的对称性和 物理性质。
空间群的应用：空间群在材料科学、物理学、化学等领域有着广泛的应用，对于理解晶体结构和 性质以及开发新材料具有重要的意义。
空间群与晶体结构的关系：空间群与晶体结构密切相关，通过对空间群的研究可以深入了解晶体 结构的本质和规律。
点群的特点和性质
点群是由对称操作构成的群，具 有确定的点群符号
点群能够确定晶体的对称性，从 而推断晶体的物理性质
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点群将晶体划分为若干个等同部 分，具有空间均匀性
点群是晶体分类和鉴别的基本依 据之一
空间群的分类和特点
空间群的分类：按照晶体结构的特点，空间群可以分为七大类，包括简单立方、面心立方、体心 立方等。
征。
对称性的分类
晶体点群：晶体中原子或分子的排列方式 晶体空间群：晶体中原子或分子的空间排列方式 对称轴：晶体中存在的对称元素，如C轴、S轴等 对称面：晶体中存在的对称元素，如M面、Y面等
对称性在晶体结构中的作用
决定晶体外形
影响晶体物理性质
形成晶体群
决定晶体中的原子排 列
晶体的宏观对称性
03
宏观对称性的定义
结晶学 第三章 晶体的对称
3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
第三章晶体的宏观对称剖析
（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
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1
39
• 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型
为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
• 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含 它的P）的组合。根据组合规律，当n为 奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
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1
28
4-fold rotoinversion
A more fundamental representative of the pattern
This is a unique operation
2021/2/4
1
A’
B
A
B’
C’
C
D
D’
29
6-fold rotoinversion So Li6 = L3 +P
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plane
1
m
15
晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系： （1） 垂直并平分晶面； （2） 垂直晶棱并通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱。
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1
16
对称面可能出现的位置
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1
17
对称面(a)与非对称面(b)
2021/2/4
1
18
对称中心（C）
对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作 为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时， 通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距 的两端，必定出现晶体上两个相等部分。
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• 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型
为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
• 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含 它的P）的组合。根据组合规律，当n为 奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
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4-fold rotoinversion
A more fundamental representative of the pattern
This is a unique operation
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A’
B
A
B’
C’
C
D
D’
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6-fold rotoinversion So Li6 = L3 +P
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plane
1
m
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晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系： （1） 垂直并平分晶面； （2） 垂直晶棱并通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱。
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对称面可能出现的位置
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对称面(a)与非对称面(b)
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对称中心（C）
对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作 为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时， 通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距 的两端，必定出现晶体上两个相等部分。
第三章 晶体的宏观对称性
第三章晶体的宏观对称性第一节对称性基本概念第二节晶体的宏观对称元素第三节宏观对称元素组合原理第四节晶体的三十二点群第一节对称性基本概念z对称–物体或图形的相同部分有规律的重复。
z对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的动作。
z对称元素（要素）--对称动作所借助的几何元素（点、线、面）。
z晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列的对称性为微观对称性。
前者是有限大小宏观物体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。
两者本质上是统一的。
宏观对称性是微观对称性的外在表现。
晶体的对称必须满足晶体对称性定律。
晶体对称性对称自身：国际符号为1，习惯记号为L1。
当它处于任意坐标中的坐标原点时，它的坐标是1(000)，所导出的一般位置等效点系为：x,y,z→x,y,z (1(000))反映面（reflection plane ）：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到对应的点。
这一平面即为反映面。
相应的对称操作为反映。
反映面的惯用符号：P ；国际符号：m ；圣佛里斯符号：Cs反映面的极射赤面投影对称中心（inversion center)：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。
相应的对称操作为反演。
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：C对称中心的极射赤面投影返回旋转轴（rotation axe）：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。
相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角称为该对称轴的基转角（α）。
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有：360/ α= n n正整数n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
晶体的宏观对称性
代入
进一步选择其它的对称操作，最后得到 对于n阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示
在坐标变换下 如果A为对称操作 —— 这样可以简化n阶张量
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则
—— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
可以证明
—— 满足结合律
S’
6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 1
—— X，Y，Z轴分量 —— X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向 假设电场沿Y轴方向
将晶体和电场同时绕Y轴转动/2
Y
Z
转动的实施
X
—— 电场没变
—— 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别
应有
xy zy 0
—— 对称素为镜面
—— 用
表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
5 群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列
性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形
式的宏观性质：如导电率、热导率……等
立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 2
晶体的宏观对称性
推论一：两个二次轴相交，交角为α/2，则垂直于这两个 二次轴所定平面，必有一基转角为α的n次轴。 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，，则有n个二 次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基 转角的一半。
二次轴和四次 轴的组合 L44L2
第四节 晶体的三十二点群
晶体点群的推导 晶体的分类 晶体的定向 点群的符号 晶体的晶型
L6
L33L2
3L24L3、旋转轴型与反映面的组合 1、旋转轴与反映面垂直 L1 + P⊥ = P (Cs) L3 + P⊥ = L3 P (C3h) L6 + P⊥ = L6 PC (C6h) L33L2 + P⊥ = L33L24P (D3h) L66L2 + P⊥ = L66L27PC (D6h) 3L24L3 + P⊥ = 3L24L33PC (Th) 4L33L46L2 + P⊥ = 4L33L46L29PC (Oh) 组合原理：定理三及推论（偶次轴）；定理四或定理二 L2 + P⊥= L2 PC (C2h) L4 + P⊥ = L4 PC (C4h) 3L2 + P⊥ = 3L23PC (D2h) L44L2 + P⊥ = L44L25PC (D4h)
第二节 晶体的宏观对称元素
宏观对称元素(Symmetry element)和对称动作 (symmetry operation)
对称动作类型 对称元素 反映面 对称中心 旋转轴 反轴 对称动作 反映 倒反（反演） 旋转 旋转倒反
简单 复合
反映面：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面 的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到 对应的点。这一平面即为反映面。相应的对称操作为反映。
第三章 晶体的宏观对称
7
对称元素符号
宏观晶体的对称要素
对称要素 辅助几何要素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号 对称轴 一次 二次 三次 四次 直线 围绕直线的旋转 360° L1 1 180° L2 2 120° L3 3 90° L4 4 对称中心 六次 点 对于点的倒反 60° L6 6 平面 对于平面的反映 对称面 倒转轴 三次 四次 六次 直线和直线上的定点 绕直线旋转及点的倒 反 120° 90° 60° L3I L4i L6i 3 4 6 L3+C L3+P
下面是第三章: 晶体的宏观对称 Next section: crystal symmetry
1
晶体的宏观对称
• • • • • 对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类
2
结晶学与矿物学
对称的概念
Symmetry
• 是宇宙间的普遍现象 • 是自然科学最普遍和最 基本的概念 • 是建造大自然的密码 • 是永恒的审美要素
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
• 倒转轴
• Li4为例
Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert Step 3: Rotate 360/4 Step 4: Invert Step 5: Rotate 360/4 Step 6: Invert
对称元素符号
宏观晶体的对称要素
对称要素 辅助几何要素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号 对称轴 一次 二次 三次 四次 直线 围绕直线的旋转 360° L1 1 180° L2 2 120° L3 3 90° L4 4 对称中心 六次 点 对于点的倒反 60° L6 6 平面 对于平面的反映 对称面 倒转轴 三次 四次 六次 直线和直线上的定点 绕直线旋转及点的倒 反 120° 90° 60° L3I L4i L6i 3 4 6 L3+C L3+P
下面是第三章: 晶体的宏观对称 Next section: crystal symmetry
1
晶体的宏观对称
• • • • • 对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类
2
结晶学与矿物学
对称的概念
Symmetry
• 是宇宙间的普遍现象 • 是自然科学最普遍和最 基本的概念 • 是建造大自然的密码 • 是永恒的审美要素
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
• 倒转轴
• Li4为例
Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert Step 3: Rotate 360/4 Step 4: Invert Step 5: Rotate 360/4 Step 6: Invert
第3章 晶体的宏观对称
轴次定律
不对称的图形
凡草木花多五出，雪花独六出。
《韩诗外传》 韩婴(西汉)
晶体对称定律：
晶体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、三次轴、 四次轴、六次轴，不可能存在五次轴及高于六次的对称轴。
×
×
×
在垂直五次及高于六次的对称轴的面网上，结点分布所形成的 多边形网孔即不是平行四边形，也不能毫无间隙地铺满整个空 间, 即不能成为晶体结构。 数学证明
晶体外形上可能存在的对称要素：
对称面（P） 对称轴（Ln） 对称中心（C） 旋转反伸轴（Lin） 旋转反映轴（Lsn）
一、对称面（P）
对称面 : 是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的假想平面。
相应对称操作:对一个平面的反映。
A
B P1
A
B E1
E
P2
D
该切面 是对称 面
E
D
P
该切面 不是矩 形体的 对称面
§3.1 对称的概念
对称：指物体或图形中相同部分有规律的重复。
蝴蝶、花冠和建筑物的对称
不对称的图形
对称的条件：⑴物体或图形有相同部分； ⑵这些相同部分有规律地重复。
C(三对平行双面)模型 晶体对 称的特
§3.2 晶体对称的特点
1.所有的晶体结构都具对称性。晶体内部都具有格子构造，通过 平移可使相同质点重复。平移是一种特殊的对称操作，因此， 所有的晶体结构都是对称的（这种对称叫平移对称）。 2. 晶体的对称是有限的（遵循“晶体对称定律”）。晶体对称严 格受格子构造规律的控制，只有符合格子构造规律的对称才能
当n为偶数时，Lin＋L2⊥或Lin＋P∥→ Lin(n /2)L2(n /2)P
Li3＋L⊥2或Li3＋P∥ → Li3 3L2⊥ 3P∥
不对称的图形
凡草木花多五出，雪花独六出。
《韩诗外传》 韩婴(西汉)
晶体对称定律：
晶体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、三次轴、 四次轴、六次轴，不可能存在五次轴及高于六次的对称轴。
×
×
×
在垂直五次及高于六次的对称轴的面网上，结点分布所形成的 多边形网孔即不是平行四边形，也不能毫无间隙地铺满整个空 间, 即不能成为晶体结构。 数学证明
晶体外形上可能存在的对称要素：
对称面（P） 对称轴（Ln） 对称中心（C） 旋转反伸轴（Lin） 旋转反映轴（Lsn）
一、对称面（P）
对称面 : 是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的假想平面。
相应对称操作:对一个平面的反映。
A
B P1
A
B E1
E
P2
D
该切面 是对称 面
E
D
P
该切面 不是矩 形体的 对称面
§3.1 对称的概念
对称：指物体或图形中相同部分有规律的重复。
蝴蝶、花冠和建筑物的对称
不对称的图形
对称的条件：⑴物体或图形有相同部分； ⑵这些相同部分有规律地重复。
C(三对平行双面)模型 晶体对 称的特
§3.2 晶体对称的特点
1.所有的晶体结构都具对称性。晶体内部都具有格子构造，通过 平移可使相同质点重复。平移是一种特殊的对称操作，因此， 所有的晶体结构都是对称的（这种对称叫平移对称）。 2. 晶体的对称是有限的（遵循“晶体对称定律”）。晶体对称严 格受格子构造规律的控制，只有符合格子构造规律的对称才能
当n为偶数时，Lin＋L2⊥或Lin＋P∥→ Lin(n /2)L2(n /2)P
Li3＋L⊥2或Li3＋P∥ → Li3 3L2⊥ 3P∥
《晶体的宏观对称性》PPT课件
第二节：晶体的宏观对称性
材料科学基础
• 对称性是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。
• 对称：symmetry • Latin symmetria
• 拉丁语 symmetria
• from Greek summetria
• 源自 希腊语 summetria
• from summetros [of like measure]
• 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下， 却可表现出各种样的形态。
为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
精选ppt
Hbqref@
材料科学基础
• 显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。
但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。
• 受晶体对称定律（law of crystal symmetry）限 制。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五 次及高于六次的对称轴。
精选ppt
Hbqref@
材料科学基础
• （4）倒转轴（rotoinversion axis, 符号Lni）：亦称旋 转反伸轴，又称反轴或反演轴（inversion axis）等。 是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素有两个： 一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称 变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的 倒反（反伸）。
精选ppt
Hbqref@
自然界一些对称现象－植物 材料科学基础
•
木槿花
精选ppt
Hbqref@
毛茛
人为的对称图形
材料科学基础
精选ppt
Hbqref@
雪花
材料科学基础
材料科学基础
• 对称性是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。
• 对称：symmetry • Latin symmetria
• 拉丁语 symmetria
• from Greek summetria
• 源自 希腊语 summetria
• from summetros [of like measure]
• 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下， 却可表现出各种样的形态。
为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
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材料科学基础
• 显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。
但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。
• 受晶体对称定律（law of crystal symmetry）限 制。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五 次及高于六次的对称轴。
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材料科学基础
• （4）倒转轴（rotoinversion axis, 符号Lni）：亦称旋 转反伸轴，又称反轴或反演轴（inversion axis）等。 是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素有两个： 一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称 变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的 倒反（反伸）。
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自然界一些对称现象－植物 材料科学基础
•
木槿花
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晶体的宏观对称性ppt课件
表3 7个晶系的划分和32晶体学点群
abc
c1
1
90
ci c2
1
2i
2
2
abc
90
cs c2h
m 2 m
m
2, m, i
abc
D2 222 3 2
D2v mm2 2 , 2 m
2
90
D2h
222 mmm
32,
3 m, i
c4
44
4
abc
s4
4
4
90cBiblioteka h4m明确了晶体对称性与规则性的关系，可以根据其宏观外形的 特征对称元素来判定晶体的晶系。
十四种空间点阵
按正当格子的要求，空间正当格子只有十四种型式，如下图：
正
交
P(简单)
C(底心)
I(体心)
F(面心)
晶胞类型：
a bc
90
立
简单立方(P)
方
体心立方（I）
面心立方（F）
晶胞类型 ： a b c
90
立方为什么没有底心呢？
因为假如有底心，将破坏立方 的3×C4的对称性，只有1×C4
如图
三方（R）
六方（H）
四方（P） 四方（I）
晶胞类型：
晶胞类型：
晶胞类型：
abc
12090
abc 90 120
abc
90
注：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”
由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到的 内部微观结构，而特征对称元素却是它们在整个晶体外形上的反 映，是能够直接观察到的，所以特征对称结构可以作为实际划分 晶体的依据。
由表3我们已经知道，根据晶胞类型的不同，即与其相对应 的平行六面体形状的差异，可将32点群分为7类，即7个晶系。
晶体的宏观对称操作(3篇)
第1篇一、引言晶体是自然界中普遍存在的物质形态，它们在微观结构上具有高度的有序性。
晶体的这种有序性可以通过宏观对称操作来描述，这些操作能够保持晶体的几何形态和物理性质。
宏观对称操作是晶体学中一个重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构特征和性质。
本文将详细探讨晶体的宏观对称操作，包括其定义、分类、性质以及在实际中的应用。
二、定义宏观对称操作是指对晶体进行一系列的几何变换，这些变换能够保持晶体的几何形态和物理性质不变。
这些操作包括旋转、反射、平移和螺旋等。
在晶体学中，这些操作被统称为点群对称操作。
三、分类1. 旋转操作旋转操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
旋转操作的轴线称为旋转轴，旋转角度称为旋转角。
根据旋转角的不同，旋转操作可以分为以下几种：（1）一级旋转：旋转角为360°，即整个晶体绕旋转轴旋转一周。
（2）二级旋转：旋转角为180°，即晶体绕旋转轴旋转半周。
（3）三级旋转：旋转角为120°，即晶体绕旋转轴旋转1/3周。
（4）n级旋转：旋转角为360°/n，即晶体绕旋转轴旋转1/n周。
2. 反射操作反射操作是指将晶体相对于某一平面进行镜像变换，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
这个平面称为反射面。
根据反射面的不同，反射操作可以分为以下几种：（1）镜面反射：反射面为晶体的一个平面。
（2）轴面反射：反射面为晶体的一个轴面。
（3）体对角面反射：反射面为晶体的一个体对角面。
3. 平移操作平移操作是指将晶体沿某一方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
平移操作可以看作是无限多个平移操作叠加的结果。
4. 螺旋操作螺旋操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，同时沿轴线方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
螺旋操作的轴线称为螺旋轴，旋转角称为螺旋角。
四、性质1. 对称性晶体的宏观对称操作具有以下性质：（1）自反性：晶体经过对称操作后，其几何形态和物理性质与原始状态相同。
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42m
71
226 226
6mm (L66P)
6mm
72
226 226
6m2 (L6i3L23P)
6m2
73
233 233
2
m 3 (3L24L33PC)
m3
74
233 233
2 3 (m3) m
75
234组合→234
234 4 3 2 (m3m) mm
76
4 m
3
2 m
(3L44L36L29PC)
45°
6 90° 90°
30°
3 3 70.529° 54.736° 54.736°
4 54.736 °
45°
35.264°
6 0°
0°
0°
4 4 0°
0°
0°
6/
/
/
66 /
Байду номын сангаас
/
/
说明
可能的组合 可能的组合 合可能的组 可能的组合 可能的组合 可能的组合
无意义 无意义 不可能的组合 不可能的组合25
第三章 晶体的宏观对称性
5 5
§3-1 对称性与对称操作
A' A
D
C
B
D'
B' C'
D
M A
N C
D' B' C' D
A
C C' D' D
A
C D'
B
B
B
对称元素; 对称操作; 晶体的对称性
晶体外部形态的对称性，通常称为宏观对称性, 点对称性。
晶体内部原子排列的对称性，称为微观对称性
6
§3-2晶体的宏观对称元素 倒反(反演) — 对称中心
推理2 如果一个反映面包含一个n次旋转轴，则必有
n个反映面包含此n次旋转轴。
32
4、旋转轴与反映面的组合
定理4 偶次旋转轴与垂直于它的反映面组合，偶次 轴与反映面的交点必定是对称中心。
A
B
A4
A3
A2
A1
t
m
P
i
t
B3 B4
C
B1
B2
A3 A1
B3 B1
A2
P
B2
33
5、对称中心与旋转轴、反映面的组合
15
4。倒转轴
旋转一定角度后，再进行倒反：1, 2, 3, 4, 6
A
C
+
-
A'
1
1
2
-, +
m
3
2
2m
16
3
2
1
B
A
C
+
,,-
3 31
,+
+
-
3
3
17
+
,-
-,
+
4
4
18
,- +
,- +
,- +
6
6 3 m
19
L
1 i
,
L
2 i
,
L
3 i
,
L
4 i
,
L
6 i
1 , 2 , 3 ,4 ,6
m3m
77
234 234
m3m
78
234组合→ 234
234 43m
79
43m (3Li44L36P)
43m
80
倒转轴与旋转轴的欧拉组合
旋转轴的欧拉组合
倒转轴的欧拉组合
组合轴次 国际符号 对称元素 组合轴次 国际符号 对称元素
222
222
223
32
3L2 L33L2
222
mm2
L22P
223
C 1i, C 2i, C 3i, C 4i,C 6i
L
1 i
=
C
L
2 i
=
P
L
3 i
= L33 +
C
L
4 i
L
6 i
=
L3 3
+
P
20
晶体中可以没有倒转轴 ，也可以有一个 或有限的几个特定的倒转轴 ，倒转轴必须交 于一点。
5. 映转轴
映转操作 = 旋转后再反映
1次映转轴 Ls1
2次映转轴 LS2
Li1 = C C + P →PL2⊥C C+L2 →PL2⊥C
35
下列组合正确的是:
L43P L3PC
L22P L6PC
3L2 L33P
36
2 m 3 (3L24L33PC)
432 (3L44L36L2)
37
6、倒转轴的组合 定理8 如果反映面包含Lin，或Lin 垂直于L2: n为奇，n个2次轴 ⊥ Lin ，n个反映面∥Lin ； n为偶，n/2个2次轴⊥ Lin，n/2个反映面∥Lin ； 反映面的法线与相邻2次旋转轴之间的夹角均为360/2n。
单一对称操作
旋转 — 旋转轴
对称操作
复合对称操作
反映—反映面 倒反+旋转—倒转对称轴
反映+旋转—映转轴
7
1、对称中心
1
惯用记号: C; 国际符号:i; 熊夫利符号:Ci 反演、倒反
8
2、旋转轴
旋转操作; 旋转对称轴 （旋转轴 ） 基转角: 旋转轴的轴次: n = 360/
旋转矩阵：
x2 cos a
3次映转轴 LS3
t
t
t
t
t
t
21
4次映转轴 LS4
2
1
6次映转轴LS6
3
4
m
1'
4'
2'
3'
Ls1 = P = Li 2 LS3 = L3 +P = Li 6 LS6 = L3 +C = Li 3
LS2 = C = Li 1 LS4 = Li 4
t t
22
点对称操作、对称元素
L1、L2、L3、L4、L6、C、P和Li 4。 其它的对称元素可以由这8个对称元素中的两个 对称元素组合而成。 其中，Li 6 = L3+P，但Li 6的轴次高于L3，Li 6属于 六角晶系中的对称元素，习惯上不用L3+P来代替。 轴次为3、4、6的旋转轴、倒转轴等对称轴叫做 高次轴。
y2
sin
a
z2 0
sin a cos a
0
0x1
0
y1
1z1
cos a sin a 0
Rz, () sin a cos a 0
0
0 1
9
N只能是1，2，3，4，6 没有5或者7等更高次
AB AC, AD
AD = AC = AB AE = m·AB AE = 2·AC·cos m = |2·cos| (m整数，晶体的平移周期性）
+ +
+
3(C3)
+ +
+ +
4(C4)
3 4
13
+ +
+
+
+ +
6(C6)
6
一个晶体中可以不存在旋转轴，也可 以有几种旋转轴同时存在。
不同晶体有着不同的旋转轴组合方式。
14
3。反映面 （对称面、镜面）
m
m
常用：P 国际：m 熊夫利：Cs
一个晶体中可以没有反映面，也可以有 一个或有限的几个反映面，反映面之间的夹 角只能取某些特定的值。
1+1= 1
C
A'
_
_
1+3= 3
(2) 偶次轴与对称中心的组合
60
2、m +C→2/m
2/m (L2PC)
2/m
61
_
4, 4 +C→4/m
62
4/m (L4PC)
4/m 63
6+C→6/m
6/m(L6PC)
6/m 64
5、倒转轴与旋转轴的组合群： 10种
222→ 222
mm2 (L22P)
33 3
0°
0°
4
/
/
6
/
/
44
/
/
6
/
/
66
/
/
44 4
/
/
46
/
/
66
/
/
66 6
/
/
0°
无意义
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
26
旋转轴的可能组合
⑴ 两个2次轴以30°、45°、60°或90°相交； ⑵ 2次轴与3次轴以54.736°、35.264°或90°相交； ⑶ 2次轴与4次轴以45°、90°相交； ⑷ 2次轴与6次轴以90°相交； ⑸ 两个3次轴以70.529°相交； ⑹ 3次轴与4次轴以54.736°相交。
3m
L33P
223
3m
L33L23PC
224
422
L44L2
224
4mm
L44P
226
622
L66L2
224
42m
Li42L22P
226
6mm
L66P
226