2.2 轴对称的基本性质(2)

北师大版数学五年级上册2.2《轴对称再认识（二）》教学设计一. 教材分析《轴对称再认识（二）》是北师大版数学五年级上册第二单元的教学内容。

这部分内容是在学生已经掌握了轴对称的基本概念和性质的基础上进行学习的，通过这部分内容的学习，使学生能进一步理解和掌握轴对称的性质，并能运用轴对称的知识解决一些实际问题。

二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对轴对称的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，对于如何运用轴对称的知识解决实际问题，部分学生可能还感到困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，使他们在原有的基础上得到提高。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握轴对称的性质，能运用轴对称的知识解决一些实际问题。

2.培养学生的观察能力、操作能力和空间想象力。

3.培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握轴对称的性质，能运用轴对称的知识解决一些实际问题。

2.难点：如何运用轴对称的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.操作教学法：通过学生的实际操作，培养学生的动手能力和空间想象力。

3.合作学习法：引导学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

六. 教学准备1.准备一些轴对称的图形，如剪纸、卡片等。

2.准备一些实际问题，如剪纸设计、卡片设计等。

3.准备黑板、粉笔等教学用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些轴对称的图形，如剪纸、卡片等，引导学生回顾轴对称的基本概念和性质。

然后提出问题：“你们能发现这些图形有什么共同的特点吗？”让学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，如剪纸设计、卡片设计等，让学生尝试运用轴对称的知识解决。

教师引导学生进行观察和思考，指导学生如何运用轴对称的性质解决问题。

青岛版八年级上册数学教学设计《2-2轴对称的基本性质（第2课时）》一. 教材分析《2-2轴对称的基本性质（第2课时）》这部分内容是青岛版八年级上册数学的一个重点章节。

本节课主要让学生了解轴对称的基本性质，学会运用轴对称的性质解决实际问题。

教材通过生动的实例和丰富的练习，让学生在探究中学习，培养学生的动手操作能力和思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形有了一定的认识。

但是，对于轴对称的概念和性质，部分学生可能还比较模糊。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行引导和辅导，提高他们的数学素养。

三. 教学目标1.让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的基本性质。

2.培养学生运用轴对称的性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的动手操作能力和思维能力。

四. 教学重难点1.轴对称的概念和性质。

2.运用轴对称的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究轴对称的性质。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示轴对称的实例，提高学生的认识。

3.注重实践操作，让学生动手剪贴、折叠，加深对轴对称的理解。

4.采用小组合作学习，培养学生的团队精神和沟通能力。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括轴对称的实例和练习题目。

2.准备纸张、剪刀、尺子等学习用品，让学生动手操作。

3.划分学习小组，确立小组长。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、折叠等，引导学生关注轴对称，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍轴对称的概念和基本性质。

让学生通过观察和思考，理解轴对称的内涵。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，用剪刀、尺子等工具，制作轴对称图形。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题目，运用轴对称的性质解决问题。

教师选取部分学生的作业进行点评，总结解题方法。

第2章《轴对称图形》：2.2 轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．13．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OBCD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答． 解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°； ∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质． 7．故填55．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得． 解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的， ∴∠ABC 的内错角=∠ABC=110°； ∵是折叠得到的∠1，∴∠1=0.5×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等． 8．故填65．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可． 解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等， 即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数． 解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°， ∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°，∴∠2=180°-70°=110°． 点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．10．故填115°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成， ∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答． 11．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 解答：解：∵△ABC 沿着DE 翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°， ∴80°+2（180°-∠B）=360°， ∴∠B=40°． 故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm 2． 考点：轴对称的性质． 专题：压轴题．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：轴对称的性质．专题：压轴题；网格型．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．故答案为：8．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．答案为18．考点：轴对称的性质．分析：根据图形的对称性，则阴影部分的面积即为正方形的面积的一半．解答：解：根据图形的对称性，知阴影部分的面积=正方形的面积的一半=12×6×6=18（cm2）．点评：此题要能够利用正方形的对称性，把阴影部分的面积集中到一起进行计算．16．答案为1：2．考点：剪纸问题．专题：压轴题．分析：本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．解答：解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．点评：本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．17．答案为120°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．解答：解：根据图示可知∠CFE=180°-3×20°=120°．故图c中的∠CFE的度数是120°．点评：本题考查图形的翻折变换．18．答案为50°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．点评：本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．19．故答案为：2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．解答：解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．故答案为：2点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．20．答案为3cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．解答：解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处， 所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E， =BC+BD+CE+AD+AE ， =BC+AB+AC ， =3cm ．点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．21．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可． 解答：解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60°．点评：本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．22．故答案为：2 33． 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB是等腰三角形，有DF=FD ，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G 是BD 的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=2 33．解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD， ∴∠DBE=∠CDB， ∴DF=FB，∴△DFB 是等腰三角形，过点F 作FG⊥BD，则点G 是BD 的中点 ∵BD=ADsin30°=4 ∴BG=2∴FG=BGtan30°=2 33．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．23．故答案为：60．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，∴∠CA′D=30°，∴∠EA′B=180°-∠EA′D-∠CA′D=180°-90°-30°=60°．故答案为：60．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．24．答案为10 ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先判定三角形BDE是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．解答：解：连接BD，交EF于点G，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，则△BDE是等腰三角形，由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，∴BG=GD，BD⊥EF，则点G是矩形ABCD的中心，所以点G也是EF的中点，由勾股定理得，BD=310 ，BG=3102，∵BD⊥EF，∴∠BGF=∠C=90°，∵∠DBC=∠DBC，∴△BGF∽△BCD，则有GF：CD=BG：CB，求得GF=102，∴EF=10 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．25．答案为80°．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据中位线的定义得出ED∥BC，再根据平行的性质和折叠的性质即可求．解答：解：∵D、E为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，ED∥BC，∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°，∴∠ADE=50°，由于对折前后两图形全等，故∠EDF=50°，∠BDF=180°-50°×2=80°．点评：本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．26．答案为 2 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．解答：解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，∴BD=ED，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE= 2 BD= 2 BC= 2 cm．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．27．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角．解答：解：根据对顶角相等，翻折得到的∠E=∠ACB可得到∠θ=∠EAC，∵△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∠BAC=150°，∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°．∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC-360°=150°+150°+150°-360°=90°．∴∠θ=∠EAC=∠DAC-∠DAE=60°．点评：翻折前后对应角相等．28．答案为9．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED 的周长为AD+DE+AE=AC+AE．解答：解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

美的感受。
镜像对称变换
定义
镜像对称变换是指将图形关于某一直线进行对称，与原图形重合 的变换。
举例
直线、抛物线、双曲线等具有镜像对称性。例如，将一条直线画在 纸上，然后折叠纸片，直线两侧的部分会重合。
应用
镜像对称变换在物理学、工程学等领域有广泛应用。例如，在电路 设计中，常常需要利用镜像对称性来简化电路。
绘画和雕塑
在绘画和雕塑作品中，轴对称经常被用来创造平 衡和和谐的感觉，如达芬奇的《蒙娜丽莎》。
音乐
音乐作品中的旋律和节奏有时也会呈现出轴对称 的特点，使音乐具有更丰富的表现力和美感。
文学作品
在文学作品中，作者有时会采用对称的句式或结 构来增强作品的艺术效果。
05
轴对称的数学问题解析
轴对称与几何证明
轴对称再认识(二)
目录 CONTENT
• 轴对称的定义与性质 • 轴对称的图形分类 • 轴对称的变换方法 • 轴对称在生活中的应用 • 轴对称的数学问题解析
01
轴对称的定义与性质
轴对称的定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直 线折叠后，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴。
轴对称与代数方程
对称方程
在代数方程中，有些方程关于某直线或点对称，如二次方程的根 与系数的关系等。
解法
利用代数方程的对称性，可以简化方程的求解过程，如利用根与 系数的关系求解二次方程等。
应用
代数方程的对称性在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如 物理学中的波传播、电路分析等。
感谢您的观看
THANKS
1 2 3
函数图像的对称性
一些函数图像具有轴对称性，如正弦函数、余弦 函数等。这些函数的图像关于某些直线对称。

1
预 习 导 航
探索：两针孔 A． A 和线段 A A 与折痕 l 之间有什么关系？ 问题 1：如果把纸重新折叠，因为 A、 A 重合，那么线段 OA、O A 呢？ ，此时 O 是线段 A A 的
1 1 1 1 1
。
问题 2：∠1 与∠2 有什么关系？ 问题 3：折痕 l 与 A A 什么关系？ 一、概念探究： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1．操作：取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。 将长方形纸片对折，折痕为 l， （1）在纸上画△ABC； （2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔 （3）将纸展开，连接 AA’ 、BB’ 、CC’
O · P 四、提炼总结： 画轴对称图形的方法：
A
O · P
A
1．先画对称轴，再画已知点的对称 2．先画已知线段各端点的 3．先画已知三角形的各顶点的
； ，再画出对称线段； ，再画出对称三角形；
4．成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）
.
A l B B
2．变式 1：请你分别在直线 l 上取一点 C，并作出△ABC 关于直线 l 对称的△ ABC 。 问题：三角形有三个顶点，你想到了什么？你该如何做？
变式 2：已知点 P 和点 P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。
P
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
P’
归纳：画轴对称图形的一般步骤： 1．定好 。 2．找准图形中的关键 。 3．作对关键 的对称 ，完成轴对称图形。 例 2 ． 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 关 于 直 线 l 对 称 。 连 接 AC、BD ，设它们相交于点 P。怎么样找出 P 点关于 l 的对称点 Q？

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。

轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。

轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。

以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。

2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。

3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。

- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。

- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。

二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。

如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。

2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。

3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。

三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。

2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。

3. 三阶图形：五角星、六边形等。

四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。

2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。

有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。

五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。

.
14
(1)点A与点D有什么位 置关系？点B与点C呢？
点A与点D关于y
轴对称，点B与点C
关于y轴对称；
(2)关于y轴对称的点的
坐标有什么特征？
关于y轴对称的点
横坐标互为相反数， 纵坐标相同.
y
A (–3, 5)
D (3, 5)
O
x
B (–3, –5)
.
C (3, –5)
15
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特点是:
轴对称的基本性质
.
1
轴对称：
对于两个图形，把一个图形沿着某一 条直线对折，如果它能够与另一个图 形完全重合，那么就说这两个图形成 轴对称。
这条直线就是对称轴
.
2
L
A
40
C
B
D
65
F E
1、如图：△ABC 与△DEF关于直线
L成轴对称，则
△ABC与△DEF具 有怎样的关系？
2、若两三角形全 等，则是否一定关 于某条直线对称？
在直角坐标系中， 点（a,b）关于X轴的对称点是（a,-b)
点（a,b）关于Y轴的对称点是（-a,b）
.
17
1.完成下表.
已知点 关于x轴的对称点
(2,3)
(2,3)
(1,2)
(-1,-2)
(-6,5)
(-6, 5)
(0,1.6)
(0,1.6)
关于y轴的对称点 (-2, -3)
(1, 2)
(6, -5)
让我们走进轴对称的世界！去感 受对称的奇妙和美丽吧！
.
5
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用 笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：

专题2.2 轴对称的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 游戏中的轴对称】 (1)【题型2 利用轴对称的性质求角度】 (3)【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 (4)【题型4 在格点中作轴对称图形】 (6)【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 (8)【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】 (11)【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】 (13)【题型8 轴对称图案的设计】 (18)【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；…．（1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是．【变式11】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【变式12】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）【变式13】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于．【变式21】（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（）A．140°B．135°C．120°D．100°【变式22】（2022秋•台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是度．【变式23】（2022秋•房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R 是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．【变式31】（2022春•洛宁县期末）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【变式32】（2022春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM ＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【变式33】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．（1）求AE的长；（2）求△ADE的周长．【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．【变式41】（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）．（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积．【变式42】（2022秋•嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（﹣6，7），（﹣4，3）．（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1【变式43】（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若△A2B2C2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标．【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【变式51】（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．（1）求线段CN长．（2）连接FN，并求FN的长．【变式52】（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于．【变式53】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；？试说明理由；（2）问△MNK的面积能否小于12（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N 当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．【变式61】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，点D，E在AB边上，AD＝CD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【变式62】（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，点E为边BC上的一个动点．E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是．【变式63】（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，∠BAC＝70°，点D在BC的延长线上，三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求∠P的度数﹒（写出完整的解答过程）（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNCB中，设∠M＝a，∠N＝β，四边形MNCB的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠P的度数为﹒（用含有α和β的代数式表示）（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他条件不变，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M，则∠BMC的度数为.（用含有γ的代数式表示）【变式71】（2022秋•洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．【变式72】（2022春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，①求∠A′EB的度数；②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的度数；（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．【变式73】（2022秋•鼓楼区月考）问题情境如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角．以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C重合．此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不是”）．（2）小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角．【题型8 轴对称图案的设计】【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出一个正方形，使所拼的图案为轴对称图形．在图4中画出你的四个设计方案．（图2、图3视为同一图案）【变式81】（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．【变式82】（2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【变式83】（2022秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案．（至少设计四种图案）。

放牛地
A
M
河边
B牧
童 家
如图,牧童在A处放牛,其家在B处: A、B到河 岸的距离分别为AC、BD，若牧童从A处将牛牵到 河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路 程最短？ A′ C M D
河边
放牛地
A
B
牧 童 家
如图，M、N分别是△ABC的边AC、BC 上的点，在AB上求作一点P，使△PMN的 周长最小，并说明你这样作的理由.
●
C′
变
试画出△ABC关于直线L的对称三角形
L
A′
B
A B′
C
பைடு நூலகம்C′
想一想 在图中，四边形ABCD与四边形EFGH 关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交 于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？
L
A P B C
D
H
Q G
E F
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．
知识铺垫
如图,牧童在A处放牛,其家在B处, 若牧童从A处将 牛牵到河边饮水后再回家，请问在何处饮水，放牛地 到家的路程最短？
● ●
变：
B′ A′
●
●
O l
变：
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
L
B A (A′)
B′
变： 如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线
段AB关于直线l的对称线段A′B′？
L
B A′ l
B′ A
变
试画出△ABC关于直线L的对称三角形．
L
A
B
●
A′
●
B′
C
初中数学 八年级(上册)
2.2
轴对称的性质(2)

青岛版数学八年级上册2.2《轴对称的基本性质》说课稿2一. 教材分析《轴对称的基本性质》这一节内容是青岛版数学八年级上册第二章第二节的一部分。

本节课主要让学生了解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。

教材通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究轴对称的性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的变换有一定的了解。

但是，他们对轴对称的概念和性质可能还比较陌生，需要通过具体的实例和操作活动来加深理解。

学生的学习动机较强，对于生活中的实际问题感兴趣，因此，在教学过程中，我将会充分运用实例，引导学生积极参与，提高他们的学习兴趣。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：轴对称的概念，轴对称的性质。

2.教学难点：轴对称性质的证明和运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用以下教学方法和手段：1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.小组合作：学生进行小组合作，共同探讨轴对称的性质，培养学生的合作意识。

3.操作活动：学生进行实际的操作活动，让学生通过亲身体验来加深对轴对称性质的理解。

4.推理证明：引导学生运用推理的方法，证明轴对称的性质，培养学生的推理能力。

5.媒体辅助：利用多媒体课件，展示轴对称的实例和性质，增强学生的直观感受。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的轴对称实例，如剪纸、折叠等，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究轴对称的概念：让学生通过观察和操作，尝试给出轴对称的定义，引导学生理解轴对称的概念。

青岛版数学八年级上册2.2《轴对称的基本性质》教学设计2一. 教材分析《轴对称的基本性质》是青岛版数学八年级上册第二章第二节的内容。

本节内容主要让学生掌握轴对称的定义，理解轴对称的性质，并能够运用轴对称解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生探索轴对称的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级数学的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和观察能力。

但是，对于抽象的轴对称概念，部分学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，合理设计教学内容，提高学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解轴对称的定义，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在学习过程中体验到成功的喜悦。

四. 教学重难点1.重点：轴对称的定义，轴对称的性质。

2.难点：轴对称性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

3.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲望。

4.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对轴对称性质的理解。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生观察和思考。

2.准备多媒体教学设备，用于展示实例和动画。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如剪纸、折纸等，引导学生观察这些实例的特点，引发学生的思考：这些实例有什么共同的特点？2.呈现（10分钟）教师总结学生的观察结果，给出轴对称的定义，并展示一些轴对称的图形。

同时，教师通过动画演示，让学生直观地理解轴对称的性质。

轴对称的基本性质二、新知探究3．结合轴对称的基本性质，求出点Q关于标：；点Q〞关于y轴的对称点坐标：。

4．你能写出点（-1，0）关于y轴和x轴对称点的坐标吗？点（呢？中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

3、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
4、点M(a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
5、已知点P(2a+b,-3a)与点Q(8,b+2). 若点p与点Q关于x轴对称，则a=_____ b=_______. 若点p与点Q关于y轴对称，则a=_____ b=_______.
5
4
C（-3,2）
3
2
B`（-1,1）
A（-４,1）
1
· C``（3,2） ·A``（４,1）
· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
A`（-４,-1）
-1 B（-1,-1）
B``（1,-1）
C`（-3,-2）
-2
-3
-4
梦想的力量 当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进
并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活 成功，会在不期然间忽然降临！
Ａ关于Ｘ轴对称
Ｂ关于Ｙ轴对称
Ｃ关于原点对称
Ｄ以上各项都不对
8、已知点Ｍ(3,-2),点N(a,b)是Ｍ点关于Ｙ轴的对称点，
则 a= -3 b= -2
9、已知点Ｐ(a-1,5)和点Ｑ(2,b-1)关于Ｘ轴对称，则
a= 3 b= -4
如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出 △ABC关于X轴和y 轴对称的图形。
(2)关于y轴对称的点的
O
坐标有什么特征？
关于y轴对称的点
横坐标互为相反数， 纵坐标相同。
B (–3, –5)
D(3, 5) x
C (3, –5)
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特 点是: 横坐标互为相反数,纵坐标相等.

2.2轴对称（二）1、教学目标1、掌握轴对称图形特征,能在方格纸上画出图形的另一半。

2、让学生经历欣赏、观察、操作、合作探究等教学活动,提高空间想象能力。

3、体会轴对称图形的广泛存在性,感受数学的美学价值。

2、学情分析在原有基础上,继续学习轴对称的相关内容。

3、重点难点教学重点:掌握轴对称图形的特征。

教学难点:能识别轴对称图形,确定对称轴,并在方格纸上画出图形的另一半。

4、教学过程4.1 第一学时4.1.1教学目标4.1.2学时重点4.1.3学时难点4.1.4教学活动活动1【导入】一、情境导入1、欣赏、感受轴对称图形的特征。

师:同学们,今天让我们继续走进奇妙的数学王国,瞧,小精灵来欢迎我们了(PPT),它给我们带来一些图片,一起欣赏吧。

这是人民大会堂,是全国人民代表大会开会的地方……再来欣赏一些美丽的图案,有窗花纸、圣诞铃铛,咦?你认识这个标志吗?(生:奥运五环)2001年7月13日,北京申奥成功了,我们国家能取得08年奥运会的主办权,是一件很了不起的事情!2、揭题。

师:同学们,这些图片美吗?它们有什么共同特点?都是什么图形?生:左右两边完全一样,是轴对称图形。

师:是轴对称图形,大家同意吗?轴对称图形在生活中被广泛的应用,它蕴藏着许多奥秘,接来下让我们一起进入神奇的轴对称王国。

(PPT课题)活动2【讲授】二、轴对称图形的特征。

1、轴对称图形。

师:小精灵说:“王国里有很多关卡,想要到达终点,就要靠大家的努力了。

奔跑吧,同学们!大家有没有信心?让我们马上进入第一关,多边形的世界(PPT)。

你认识这些图形吗?生:(师指生说)长方形、正方形、三角形、六边形师:你能想办法证明它们是轴对称图形吗?选择你喜欢的图形来证明,动手试试吧。

谁想上来试试?把你验证的图形举起来给大家看看,谁来说说你是怎样验证的。

生:把图片对折,两边就完全重合在一起。

师:把图片对折,你会发现左右两边完全重合。

好的,一起来看看动画演示(PPT演示)。

B
B′
A A′ l
2.2 轴对称的性质(2)
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
B
B′
A′
A
l
2.2 轴对称的性质(2)
画出△ABC关于直线MN的对称图形．
A B
M A′
●
B′
●
C
●
C′
N
2.2 轴对称的性质(2)
在图中，四边形ABCD与四边形EFGH 关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交 于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．
2.2 轴对称的性质(2)
通过本节课的学习，你有什么收获？ 还有哪些疑惑？
课堂作业：
第Байду номын сангаас7页习题2.2第5题．
家庭作业：
补充习题．
有人说：三代人，才能培养一个贵族 。此言 听起来 有道理 ——但 只强调 了外在 的涵养 与气度 ，而忽 略了内 心。 人和人的区别，不在于外表，而在于内 心。 所以要从小培养孩子的气质，可以不 是贵族 ，但一 定要在 精神上 保持富 有。
突然，福特公司一台电机出了毛病，几 乎整个 车间都 不能运 转了， 相关的 生产工 作也被 迫停了 下来。
公司调来大批检修工人反复检修，又请 了许多 专家来 察看， 可怎么 也找不 到问题 出在哪 儿，更 谈不上 维修了 。
福特公司的领导真是火冒三丈，别说停 一天， 就是停 一分钟 ，对福 特来讲 也是巨 大的经 济损失 。
没想到，时间一长，特别是随着我的长 大，母 亲和我 的这些 报答， 却渐渐 成了村 里人们 说闲话 的谈资 。更有 好事的 人，在 背后指 点着已 上高一 的我说 ，当年 如果不 是因为 我，赵 叔就不 会变成 这般境 地，我 是合该 嫁给赵 叔，以 报救命 之恩的 。

轴对称的基本性质【要点梳理】要点一、轴对称的基本性质★成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直评分★轴对称及轴对称的判定（1）如果两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称.（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等，并且这两个图形成轴对称.要点诠释：（1）对应点的连线是一条线段，而对称轴是一条直线.（2）两条成轴对称的线段要么平行，要么所在直线相交且交点一定在对称轴上.【例1】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若△A＝50°，△C′＝30°，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【变式1.1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA 于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式1.2】如图，△MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若△MON＝35°，则△GOH＝（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△B＝50°，AD△BC，垂足为D，△ADB 与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则△CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°（1）若某点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，并且和这个点重合.（2）如果一个点在对称轴的左侧，那么这个点的对称点一定在对称轴的右侧；反之，一个点在对称轴的右侧，则这个点的对称点一定在对称轴的左侧.要点三、平面直角坐标系中的轴对称★关于坐标轴对称的点的坐标的关系★在平面直角坐标系中作成轴对称的图形【例2】作一个图形关于x轴（或y轴）成轴对称的图形的步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；（3）连：按原图的顺序连接所作的各对称点.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【变式2.1】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.【变式2.1】若点A（1，2），B（﹣1，2），则点A与点B的关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称【变式2.2】已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，﹣2）D．（4，2）【变式2.3】小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）典型例题题型一：轴对称的性质【练习1.1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且△A＝105°，△C′＝30°，则△B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【练习1.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，△C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，△CAF＝10°，连接BB′，则△ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【练习1.3】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【练习1.4】如图，Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则△A′DB为．【练习1.5】如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD ＝3，则图中阴影部分的面积是．【练习1.6】如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．【练习1.7】如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为．【练习1.8】如图，△BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则△P AQ的度数是．【练习1.9】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【练习1.10】如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1.11】如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习1.12】如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【练习1.13】如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【练习1.14】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，若∠BAD ＝α，则∠ACB 的度数为（ ）A ．45°B ．α﹣45°C ．12αD ．90°−12α 【练习1.15】如图，点P 关于OA 、OB 的对称点是H 、G ，直线HG 交OA 、OB 于点C 、D ，若∠HOG ＝80°，则∠CPD ＝ °．【练习1.16】在等边△ABC 外作射线AD ，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，∠BAD ＝α（0°＜α＜180°），点B 关于直线AD 的对称点为P ，连接PB ，PC ．（1）依题意补全图1；（2）在图1中，求∠BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．【练习1.17】如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为14，求△P AB的周长．【练习1.18】如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【练习1.19】如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连结BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．【练习1.20】如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【练习1.21】国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆70周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．求：（1）展板的面积是．（用含a，b的代数式表示）（2）若a＝0.5米，b＝2米，求展板的面积．（3）在（2）的条件下，已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，求制作整个造型的造价（π取3）．【练习1.22】如图所示，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣2，0）．（1）写出点C和点D的坐标；（2）求出梯形ABCD的面积．题型二：关于x、y轴对称的点的坐标【练习2.1】在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（）A．（﹣a，5）B．（a，﹣5）C．（﹣a+2，5）D．（﹣a+4，5）【练习2.2】点M（1，4﹣m）关于直线y＝﹣3对称的点的坐标为（1，7），则m＝（）A．16B．27C．17D．15【练习2.3】如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）A．10B．8C．6D．4【练习2.4】如图，若△A′B′C′与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（3，0）D．（2，1）【练习2.5】在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，−52）和B（3，−112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，−32）C．（−32，﹣9）D．（﹣2，﹣1）【练习2.6】甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【练习2.7】点P（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣3，5）C．（4，5）D．（0，5）【练习2.8】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用（﹣1，1）表示，右下角的圆形棋子用（0，0）表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣1）C．（0，2）D．（1，3）【练习2.9】在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（√3，√2），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（−√3，√2）B．（−√3，−√2）C．（√3，−√2）D．（√3，√2）【练习2.10】在平面直角坐标系中，已知点P（a2+2，5），则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称点的坐标是（）A．（﹣a2+6，5）B．（﹣a2﹣6，5）C．（a2﹣6，5）D．（﹣a2+4，5）【练习2.11】点（6，3）关于直线x＝2的对称点为（）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，﹣3）【练习2.12】如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．(−2016，√3+1)B．(−2016，√3−1)C．(−2017，√3+1)D．(−2017，−√3−1)【练习2.13】平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，a）关于直线y＝4对称，a＝．【练习2.14】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．【练习2.15】已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为．【练习2.16】如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．题型三：轴对称—最短路线问题【练习3.1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【练习3.2】如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【练习3.3】如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是（ ）A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【练习3.5】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．5【练习3.6】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A．√29B．√34C．5√2D．√41【练习3.7】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°【练习3.8】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【练习3.9】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2√3B．2√6C．3D．√6【练习3.10】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.11】如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，√3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）A ．√132B ．√312C ．3+√192D ．2√7【练习3.12】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．10【练习3.13】如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【练习3.14】如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4√2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．【练习3.15】如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【练习3.16】如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．【练习3.17】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6√2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【练习3.18】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．【练习3.19】如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．【练习3.20】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．【练习3.21】如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【练习3.22】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．【练习3.23】在锐角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．【练习3.24】已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝．【练习3.25】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=1 3S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．【练习3.26】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．【练习3.27】（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【练习3.28】已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．【练习3.29】如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD=132，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．【练习3.30】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.31】如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.32】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．【练习3.33】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．【练习3.34】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为；（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）【练习3.35】请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P 即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，AC＝1，PD＝2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求√(m−3)2+1+√(9−m)2+4的最小值．【练习3.36】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．题型四：翻折变换（折叠问题）【练习4.1】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB ＝6，BC ＝4√6，则FD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．√6D ．2√3【练习4.2】如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC '，DC ′与AB 交于点E ，连结AC '，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC ′的距离为（ ）A ．3√32B ．3√217C ．√7D ．√13【练习4.3】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75 【练习4.4】如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为（ ）A．2B．√3C．√2D．1【练习4.5】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=725．在以上4个结论中，正确的有（）A．1B．2C．3D．4【练习4.6】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【练习4.7】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④【练习4.8】如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．5【练习4.9】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习4.10】如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．【练习4.11】如图矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 ．【练习4.12】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是．【练习4.13】折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．【练习4.14】如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．【练习4.15】如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．【练习4.16】如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．【练习4.17】阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B ＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【练习4.18】如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【练习4.19】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM 的长．题型五：图形的剪拼【练习5.1】如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以【练习5.2】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A．24B．25C．26D．27【练习5.3】如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2a，则纸片的剩余部分的面积为（）A．5a B．4a C．3a D．2a【练习5.4】如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3，现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），则∠APD 的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．108°【练习5.5】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A．√7B．2√2C．3D．√10【练习5.6】如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3．则EB的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．2【练习 5.7】用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤【练习5.8】用两个全等的直角三角形拼下面的图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形．可以拼成的图形是（）A．（1）（4）（5）B．（2）（5）（6）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（5）【练习5.9】如图1，将矩形ABCD和正方形EFGH的分别沿对角线AC和EG剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFGH 与正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为（）A．15B．16C．17D．25【练习5.10】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的四边形ALMN，若中间空白部分四边形恰好是正方形OPQR，且四边形ALMN的面积为72，则正方形的面积是（）A．34B．35C．36D．37【练习5.11】如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为．【练习5.12】如图1，分别沿矩形纸片ABCD和正方形EFGH纸片的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形KLMN，若中间空白部分恰好是正方形OPQR，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为．【练习5.13】有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是．【练习5.14】如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A．B 两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D．“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为．【练习5.15】如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是．【练习5.16】如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是．【练习5.17】有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：方式1：如图1；方式2：如图2；若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是．有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为．【练习5.18】如图，把一个半径为r厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成新的图形的周长比原来圆的周长多10厘米，则该圆的半径为厘米．【练习5.19】列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．【练习5.20】在△ABC中，沿着中位线DE剪切后，用得到的△ADE和四边形DBCE可以拼成平行四边形DBCF，剪切线与拼图如图1所示．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．（画图工具不限，剪切线用实线表示，拼接线用虚线表示，要求写出简要的说明）（1）将平行四边形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个矩形，剪切线与拼图画在图2的位置；（2）将梯形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个平行四边形，剪切线与拼图画在图3的位置．【练习 5.21】著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯形．然后拼成图②中的长方形．通过计算这两个图形的面积，证明了64＝65．请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽．。

北师大版三年级数学下册2.2轴对称（二）教学设计一、教学目标1.学生掌握轴对称的概念，并会描述轴对称的特点；2.学生能够根据给定的图形找到其轴对称的轴线；3.学生能够应用轴对称的知识完成一些简单的题目。

二、教学内容1.复习轴对称的概念和基本知识；2.引入与轴对称相关的新概念：轴线；3.练习根据给定的图形寻找其轴对称的轴线；4.学习如何应用轴对称的知识解决问题。

三、教学重点1.了解轴对称的概念并描述其特点；2.学会在给定图形中寻找轴对称的轴线；3.掌握如何应用轴对称的知识解决问题。

四、教学难点1.学生理解轴对称的概念；2.学生能够找到图形的轴对称轴线；3.学生能够应用轴对称的知识解决更为复杂的应用题目。

五、学习方式1.教师讲解并示范；2.学生课堂互动；3.学生个人或小组完成练习。

六、教学步骤第一步：引入教师通过一个有趣的小游戏或者实际生活中的例子，引出轴对称的概念，让学生了解轴对称的基本特点。

第二步：复习教师复习上一节课的内容，回顾轴对称的基本概念和用途，并提示如何确定一个图形的轴对称轴线。

第三步：知识点讲解教师结合具体的图形，生动形象地解释轴对称的轴线是如何确定的，并通过实际练习让学生理解和掌握。

第四步：练习让学生在课堂上完成一些与寻找图形轴对称轴线相关的题目，帮助他们熟练掌握轴对称的基本知识。

第五步：应用在完成基本的练习后，教师引入一些更具有实际应用性的问题，让学生运用已掌握的知识解决实际问题。

第六步：总结教师让学生总结本节课的内容，并巩固掌握轴对称的基本知识和运用能力。

七、教学评估1.课堂表现：听课的专注度，反应时间；2.作为练习：书面练习和测验；3.作为任务：完成一个相关的小项目。

八、教学参考•北师大版小学数学（三年级下册）•集体备课资料•网上教学资源。