2012中考数学复习(43)：切线的判定与性质

21.切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。

分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。

证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。

（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC ∴CDMF ADAM BDEM ==∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是⊙O 的切线。

分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。

证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ∴AC 是⊙O 的切线。

【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值； （3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。

切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。

而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。

今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。

简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。

可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。

这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。

咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。

切线的性质可是非常重要和有用的。

首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。

这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。

想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。

而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。

（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。

”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

记为“见切线，连半径，得垂直。

”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。

B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。

切线的性质与判定方法引言在数学中，切线是用于描述曲线和函数图像上某一点附近的直线。

切线具有重要的几何性质，能够帮助我们理解曲线在某一点的变化规律。

本文将介绍切线的性质以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用切线概念。

切线的定义和性质切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。

切线具有以下性质：1.切线与曲线相切于相交点，且相交点上的切线方向与曲线方向一致；2.切线与曲线的变化趋势相近，可以用切线来近似曲线在该点的变化规律。

切线的判定方法方法一：利用导数切线的判定方法之一是利用函数的导数。

对于函数f(x)，若某一点x=a处的导数存在，则可以通过求出该点的导数值来判定是否存在切线。

具体步骤如下：1.计算函数f(x)关于x的导数f′(x)；2.判断导数在点x=a处是否存在，即f′(a)是否有定义；3.若f′(a)存在，则点(a,f(a))处存在切线，其斜率为导数值f′(a)。

方法二：利用近似线性化切线的判定方法之二是利用近似线性化，即将曲线在某一点附近进行线性化处理，将曲线近似看作直线。

具体步骤如下：1.选择一个点P，并计算其横坐标和纵坐标分别为x0和y0；2.确定一个合适的区间范围，例如x在[x0−ℎ,x0+ℎ]的范围内，其中ℎ为一个较小的正数；3.在该区间内选择另外一个点Q，并计算其横坐标和纵坐标分别为x和y；4.计算点P和点Q之间的斜率 $k=\\frac{y-y_0}{x-x_0}$；5.若在不同的点对P和Q计算得到的斜率值都相近，则表示该曲线在点P的附近存在切线。

切线的应用举例例一：求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程首先，计算函数y=x2的导数：$$ \\frac{dy}{dx} = 2x $$在点(1,1)处的导数值为2，因此切线的斜率为2。

切线方程可以表示为：y−1=2(x−1)例二：利用切线近似计算函数值考虑函数 $y = \\sin(x)$，在x=0处的切线方程为y=x。

利用切线的性质，我们可以近似计算 $\\sin(0.1)$ 的值：将x=0.1代入切线方程y=x，得到y=0.1。