直角三角形的存在性问题(教案)

《直角三角形的存在性问题》说课稿尊敬的各位老师：大家好！今天我说课的题目是《直角三角形的存在性问题》，源自于湘教版数学中考复习专题。

下面，我将从教材分析，教法与学法、教学过程等几个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析（一）教材地位和作用直角三角形的存在性问题常与动点题结合在一起考，包括直角三角形和等腰直角三角形的存在性，本节主要研究直角三角形的存在性。

主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年中考的热点。

（二）教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。

（三）教学重点与难点1、教学重点1.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养2、教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题二、教法选择与学法指导（一）教法设计为了达到更好地教学效果，实现教学目标，体现以学生发展为本的精神，本节课我将主要采用“启发探究式”的教学方法完成教学，在教学中运用“开放型的探究式”的教学模式。

围绕本节课所学知识，设计问题，激发学生积极思考，引导学生自主学习与合作交流，不断丰富数学活动的经验，增强学生学习过程中的反思意识，通过猜想验证、归纳总结，使学生积极参与教学过程，进一步培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（二）学法指导学生通过对问题提出自己的猜想，主动探索，进行验证，归纳总结，发现规律；互动合作、解决问题；归纳概括、形成能力。

充分体现学生的主体地位。

三、教学过程本节课的教学过程分为八个部分：1、课前准备、引入课题出两个简单的关于直角三角形的练习，引发学生的学习兴趣。

【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、K型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题.2、师生互动、探究新知活动1 探究学习提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？需要针对直角顶点进行分类.（2）一般会有几种情况？三种.（3）分类之后需要做什么？画图.（4）解题有哪些方法？（5）当直角顶点在点C的时候，如何精确地找到点C？以AB为直径的圆与直线的交点.3、小结直角三角形的存在性问题解题策略：4、探究应用如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P使△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P坐标，若不存在说明理由。

直角三角形存在性问题
、
例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
【解答】或
【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，
①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.
例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.
【解答】，，，
【解析】将代入中，解得
，
①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则，
，即，解得或3，
，
综上，，，，.。

课题：二次函数图像中直角三角形的存在性问题一、教学目标1、掌握求二次函数表达式的方法。

2、掌握判断直角三角形可以从边和角两个角度入手。

3、掌握二次函数与直角三角形结合的动点问题的解决方法。

二、重、难点重点：线段的表示与分类讨论难点：分类讨论三、教学过程情境创设：存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。

比如我们本节课将复习的直角三角形存在性问题，就可利用坐标系中两点的距离公式，正确得到所求三角形三边长的平方的代数式；根据勾股定理的逆定理得到方程，并解方程即可。

知识梳理：1、二次函数的表达式有哪些？一般式：对轴称为顶点坐标（，）项点式：对轴称为顶点坐标（，）交点（两根）式：对轴称为顶点坐标（，）（设计意图：让学生能根据所给条件选用恰当的表达式求二次函数解析式）2、直角三角形的判定方法有哪些？（设计意图：让学生知道判断一个三角形是直角三角形可从边和角两个角度入手，重点是对勾股定理逆定理的运用）3、已知点P(x,y)，则点P到x轴的距离为，到y轴的距离为。

（设计意图：让学生知道点的坐标的实际意义）4、两点间的距离公式：用A，B两点的坐标来表示线段AB的长。

（设计意图：让学生知道用两点坐标来表示该两点的线段长）习题展示：oy B( x2,y2)A( x1,y1)x如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），直线l 经过点B 、C 两点，抛物线的顶点为D 。

（1）求此抛物线和直线l 的解析式；（2）判断ΔBCD 的形状并说明理由；（3）如图，在抛物线的对称轴上求点P ，使ΔPBC 为直角三角形；思考题：如图，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P ，使ΔPDC 为等腰三角形。

若存在，请求出符合条件点P 的坐标，若不存在，请说明理由；C B A O y xD CBDA yLO C B A O y xD 思路分析：将B （3，0），C （0，3）代入y=-x 2+bx+c 中，得关于b ，c 的二元一次方程组，解出b ，c 的值，从而得到抛物线的解析式；设y=kx+z,将B （3，0），C （0，3）代入y=kx+z ，得关于k ，z 的二元一次方程组，解出k ，z 的值，从而得到直线l 的解析式。

2直角三角形存在性问题(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C C 、求法相同，以2C 为例： 【构造三垂直】故C 2坐标为（132，0）代入得：BN =32AM BN=MB NC 2由A 、B 坐标得AM =2，BM =4，NC 2=3△易证AMB ∽△BNC 234C C 、求法相同，以3C 为例：故a =1或3设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C 3NB ，由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AM C 3N=MC 3N B代入得：1b =a3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0）构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）； （2）表示线段：AB =1AC =1BC = （3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=； （4）代入得方程：()()2222201153m m +-+=-+，解得：32m =．还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线1AC 与AB 互相垂直，11AC AB k k ⋅=-，可得：12AC k =-，又直线1AC 过点A （1,1），可得解析式为：y =-2x +3，所以与x 轴交点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1C 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A 、B 、C 坐标；（2）表示线段AB 、AC 、BC ；（3）分类讨论①AB ²+AC ²=BC ²、②AB ²+BC ²=AC ²、③AC ²+BC ²=AB ²； （4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．【三垂直构造等腰直角三角形】【2019兰州中考（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx =++的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒． （1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x =-++；（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等． 设HP =a ，PQ =b ，则BQ =a ，CH =b ， 由图可知：42a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求．P 点横坐标同D 点，故可求得D 点坐标．【2017本溪中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ ∆是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．【分析】 （1）21322y x x =--； （2）①当∠POQ 为直角时，考虑Q 点在对称轴上，故过点Q 向y 轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P 向x 轴作垂线，长度必为1，故P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出P 点坐标． 设P 点坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得：213122m m --=．解得：11m =+21m =31m =+41m =- 如下图，对应P点坐标分别为()11-、()11--、()1．②当∠OPQ 为直角时，如图构造△OMP ≌△PNQ ，可得：PM =QN ． 设P 点坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则22131302222PM m m m m ⎛⎫=---=-++ ⎪⎝⎭，QN =1m -，∴213122m m m -++=-，若213122m m m -++=-，解得：1m =，2m =若213122m m m -++=-+，解得：12m =-22m =如下图，对应P点坐标分别为、(2．对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．【2019阜新中考】如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ． （1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0)-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图【分析】（1）224233y x x =--+；（2）连接AC ，将四边形面积拆为△APC 和△ADC 面积，考虑△ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解； （3）过点N 作NE ⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于F 点， 易证△OEN ≌△NFM ，可得：NE =FM ．设N 点坐标为224,233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，则224233NE m m =--+，1FM m =+，∴2242133m m m --+=+2242=133m m m --++，解得：1m =（图1），2m =（图4）对应N 点坐标分别为⎝⎭、⎝⎭；2242=133m m m --+--，解得：3m =（图2）、4m （图3）对应N 点坐标分别为⎝⎭、⎝⎭．当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．【对称轴上寻找点】（2018·安顺中考）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C ． （1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 坐标．【分析】（1）直线BC ：3y x =+抛物线：223y x x =--+；（2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点A 关于对称轴的对称点为点B ，故MA +MC =MB +MC ，∴当B 、M 、C 三点共线时，M 到A 和C 的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点 P ：以1P 为例，构造△PNB ∽△BMC ，考虑到BM =MC =3， ∴BN =PN =2，故1P 点坐标为（-1，-2）．易求2P 坐标为（1,4）．3P 、4P 求法类似，下求3P ：已知PN =1，PM =2，设CN =a ，BM =b ，由相似得：12ab =，即ab =2，由图可知：b -a =3， 故可解：1b =，2b =（舍），对应3P 坐标为⎛- ⎝⎭．类似可求4P坐标为⎛- ⎝⎭．【抛物线上寻找点】（2018·怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++，直线AC ：y =3x +3； （2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．（3）考虑到AC 为直角边，故分别过A 、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，有如下两种情况，先求过A 点所作垂线得到的点P ： 设P 点坐标为()2,23m m m -++，则PM =m +1，AM =()2202323m m m m --++=--， 易证△PMA ∽△ANC ，且AN =3，CN =1，∴212331m m m +--=，解得：1103m =，21m =-（舍）， 故第1个P 点坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；再求过点C 所作垂线得到的点P ：()223232PM m m m m =--++=-，CN =m ，2321m m m =-，解得：173m =，20m =（舍）， 故第2个P 点坐标为720,39⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或720,39⎛⎫⎪⎝⎭．【动点还可能在……】（2019·鄂尔多斯中考）如图，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，直线y x =-与该抛物线交于E ，F 两点． （1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH EF ⊥于点H ，求PH 的最大值． （3）以点C 为圆心，1为半径作圆，C 上是否存在点M ，使得BCM ∆是以CM 为直角边的直角三角形若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】 （1）224233y x x =+-； （2）过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q ，所谓PH 最大，即PQ 最大，易解．（3）CM 为直角边，故点C 可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点．①当BCM ∠为直角时，如图：21 1M ：不难求得CF =1，BF =2，∴1:1:2EM EC =，又11CM =，可得：1EMEC =． 故1M坐标为2⎛-+ ⎝⎭； 同理可求2M坐标为2-⎝⎭． ②当∠BMC 为直角时，如图：3M ：不难发现CM =1，BC ，∴2BM =，即△MEC ∽△BFM ，且相似比为1：2，设EC =a ，EM =b ，则FM =2a ，BF =2b ，由图可知：2221a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：3545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故点3M 的坐标为36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 至于4M 坐标，显然()1,2-．综上所述，M 点坐标为2⎛-+ ⎝⎭或2-⎝⎭或36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2-．【总结】对于大部分直角三角形存在性问题，构造三垂直全等或相似基本上可解决问题，牢记构造步骤：（1）过直角顶点作水平或竖直线；（2）过另外两端点向其作垂线．。

直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题）课前预热1、两点式2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k3、三角形相似：射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=24、三角函数求解新课认知问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点解决方法：1、找点方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角3、确定点的坐标情况分类：（1）当动点在直线上运动时常用方法:①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动是时情况分类：①已知点处做直角方法：①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理.②动点处做直角方法：寻找特殊角.动点在直线上运动时例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由当动点在曲线上运动时 (1)求解过程中只有已知点处做直角例2 如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）求解过程中动点处做直角例3 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=43AB,求tan ∠CED 的值②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1），连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．3、（2012内蒙古）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例1（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．∴DM=ON=2，∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2，∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，∴OD=3，即c=3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，∴∠PDM=∠APN，∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴=，∴=，∴PN2﹣3PN+2=0，∴PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．故答案为：2；4或4﹣或4+例2（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴==，∴BM=DM，∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ，∴BM CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则，解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2），由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，∵在△BMN与△CQN中，，∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形．（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：①以点Q为直角顶点．此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤x Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在．②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=，BD=，∵AB 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（﹣2，0）；③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K ⊥x 轴于点K ，则Q 2K=﹣y ，OK=x ，BK=8﹣x ． 易证△QKB ∽△BOD ， ∴，即，整理得：y=2x ﹣16．∵点Q 在抛物线上，∴y=x 2﹣x ﹣4． ∴x 2﹣x ﹣4=2x ﹣16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4，∴Q 2（6，﹣4）．例3 ⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴1221b b a -=-=⨯ ∴b =－2．∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧，∴A （－1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ， 则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． ⑶①∵AB =4，PO =34AB ， ∴PO =3∵PO ⊥y 轴∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-， ∴P （12-，74-）∴F（0，74 -），∴FC=3－OF=3－74=54．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=52－1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG=．②P1（12），P2（1－252）．练习1、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC 。

专题：一次函数中等腰直角三角形存在性问题【教学目标】理解、掌握一次函数中等腰直角三角形存在性问题两定一动模型点的找法和算法，以及两动一定模型的解题思路。

经历作图，旋转三角板这些操作，促进学生对数学知识的理解，形成有效的学习模式。

【回顾】 一次函数中等腰三角形存在性问题找点方法： ，算法： 一次函数中直角三角形存在性问题找点方法： ，算法：【新知】以(,)A A A x y 、(,)c c C x y 为三角形的边，在平面内找一点B 使得△ABC 为等腰直角三角形（二定一动）一.找法：二．算法：例题例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，N是平面直角坐标系中的一点，是否存在以BD为直角边的等腰直角三角形△BDN，若存在，请直接写出点N的坐标．变式：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)，其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，点M在直线AB 上，点Q是x轴上异于点A的一个动点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形△DQM，若存在，请直接写出点Q的坐标．练习1：如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°,点A坐标(﹣9,0)，直线BC的解析式为y=−34x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点B、点C的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）若点N在射线DE上，是否存在点N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图1，直线y=−34x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为射线AB（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。

这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n 上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF△x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH△x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m ≠0）与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ． （1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB 经过点（0，4），与抛物线y =14x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是2-．(1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．(2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y 轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线，交BC 于点F ，若S △BOD ＝4S △EBF ，求点E 的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△BPD 是以BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。