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∴顶点D的坐标为（2,2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1),
B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构
成平行四边形四个顶点。
y
D2
解由：uAuBur当 uD平uuCr得行D四1边=(2形, 为2)ADCB时，B
C
当平行四边形为ACDB时， A
D1
得D2=(4, 6)
x=1+3t ∴
,∴
1+3t＜0
y=2+3t
2+3t＞0,
∴ 2 t 1.
3
3
（2）因为 OA =（1，2），PB OB OP （3-3t，3-
3t），
若四边形OABP为平行四边形，则OA PB.
∴ 3-3t=1 3-3t=2,无解，
∴四边形OABP不可能为平行四边形.
总结提高： （1）要加强对向量的坐标与该向量起
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21
x3 y 1
即B3,-1.
练习：（2009·辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四 边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0）, B （6，8），C（8，6），则D点的坐标为(0,-2). 解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC AD , 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （（1，x1，3）y1，）
（4x， 2，2y）2），如何求 Ay B 的坐标呢？ AB OB OA 4 A（（1x，1，3y）1）
∴ F3 (5,1)
拓展练习
已知a (1,0)、b (1,1),c (1,0),求实数 与，使c a b.
uuur
例2.1已知A(2,3), B (3,5),求BA的坐标.
uur
解：BA 2,3 3,5 5, 2.
uuur
2已知AB (1, 2), A(2,1),求B的坐标.
点、终点的关系的理解，以及对坐标 运算的灵活应用. （2）向量的坐标运算是向量运算的数 量表达形式，更能利用代数知识解决， 也是向量被广泛应用的基础.
小结回顾
1.rr平面rr向量坐标的加.减运算法则
r r aa bb =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) a b =( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)
练习：已知表示向量a的有向线段始点A的 坐标，求它的终点B的坐标.
(1)a=(-2,1) , A(0,0);
(2)a=(1,3) , A(-1,5);
(3) a=(-2,-5) , A(3,7).
已知a=(x,y)和实数λ，那么 λa= λ(x, y) 即λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
（1）由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程， 从而求出实数k的值.
（2）由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程，解方 程组即可得出x,y的值，从而求出d.
解题示范
解 （1）∵（a+kc）∥（2b-a），
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
r b -
=br(x，2 ,λyar2 )
的坐标吗？
问题： 若已知 a =（1x1，，3y）1），b =（5x2，，1y）2），
如何求 a + b ，a－b的坐标呢？
a＋b
=（x1y,4
=（x1 i3
y1）a +y1
+ ( x2 , y2 j ）+（x2 i
)C
+（y26，j）4）
=（x1 +2 x2 ）i
1
+ ( y1+by2 ) j
o －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
猜证想明：a ＋b =（－2x1＋x2 ，y1＋y2）
a －b =（－3x1－x2 ，y1－y2） －4
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
2.平r面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
a (x, y) ( x, y)
3.平面向量坐标
若uAu(xur1 , y1) , B(x2 , y2) 则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
4.引进向量的坐标后，向量的基本运算 转化为实数的基本运算，可以解方程，可以 解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域 之中。
(x2 ,y2) (x1,y31) (x2 x1 ,y2 y12)
1
· ·
B（（4x，2，2y）2）
o －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
AB 的坐标可能－为2
(3,－1）
（x结向2－论 线： 段x1一的, 终个y2点向－的量y坐的1－－)34标坐减标去等始于点表的示坐此标向量的返有回
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y
解法2：
uuur uuur uuur uuur uuur BD BA+AD=BA+BC
B A
O
C D
x
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3)
(3, 1)
uuur uuur uuur OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2)
D3
O
x
当平行四边形为DACB时，
得D3=(6, 0)
规范答题：
例 4. （ 12 分 ） 平 面 内 给 定 三 个 向 量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问 题： （1）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|dc|=1,求d.
y
C
解u：uur设点D的坐标为（x,y）
B
Q AB (1,3) (2,1) (1, 2)
uuur
A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
uuur uuur
O
且AB DC
D x
(1,2) (3 x,4 y) 1 3 x
24 y
例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、y (－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
6 5
4
C
B3
2
A
1
D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
y A（x,y） 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来，
ja
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
Oix
x 的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数唯一表示。
向量 一一对应 有序实数对
r 已知 a =(xr1,yr1) 你能得出 a + b
，
r ，a
5.要把点坐标(x, y)与向量坐标区分开来， 两者不是一个概念。
作业： 课本习题2-4 A组 2,3题
谢谢听课
基础自测
一、选择题
1.（2008·辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点
A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且BC =
2 AD, 则顶点D的坐标为
（ A）
A. (2, 7 ) 2
∴k=-16 .
13
（2）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴ 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,
[2 分 ] [4分] [6分]
[8分]
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
C.(3,2)
B.(2, 1 ) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),
∴ BC =(3,1)-(-1,-2)=(4,3).
D（x，y),∵AD =(x,y-2),BC =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
-4）， ∴与 AB 同向的单位向量为 AB (3 , ).
| AB| 5 5
4.（2008·安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC
为一条对角线，若 AB=（2，4），AC =（1，3），
则 BD 等于
（B）
A.（-2，-4） B.（-3，-5）
平面向量的坐标运算法则
r
r
a
( r
x1
, r
y1
),
b
