圆的一般方程 轨迹方程

圆的轨迹方程圆的轨迹方程是一种数学表达式，用于描述一个圆的形状和大小。

在平面几何中，圆是指与一个固定点（圆心）距离相等的所有点的集合。

圆的轨迹方程可以用不同的方式表示，包括直角坐标系、极坐标系和参数方程等。

一、直角坐标系下的圆的轨迹方程在直角坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点的集合：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a和b分别是圆心在x轴和y轴上的投影值，r是圆半径。

这个方程被称为标准式或一般式。

它表明所有到圆心距离为r的点都在圆上。

如果将a和b设为0，则该方程简化为：x² + y² = r²这个方程描述了以原点为中心、半径为r的圆。

二、极坐标系下的圆的轨迹方程在极坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点：r = a其中a是常数，r是到原点距离。

这个方程表明所有到原点距离相等且与x轴夹角相等的点都在圆上。

如果将a设为圆半径，则该方程可以简化为：r = r0其中r0是圆半径。

三、参数方程下的圆的轨迹方程在参数方程下，一个圆可以表示为：x = a + r cos(t)y = b + r sin(t)其中a和b是圆心坐标，r是圆半径，t是参数。

这个方程描述了一个以(a, b)为中心、半径为r的圆。

通过改变t值，可以得到不同位置的点，从而形成一个完整的圆形。

四、总结以上三种方式都可以用来表示一个圆的轨迹方程。

直角坐标系下的标准式是最常用和最简单的一种方式，极坐标系和参数方程则更适合用于特定问题或需要更多几何直观的情况。

掌握这些不同表达方式对于理解和解决数学问题都非常重要。

第二讲 圆的一般方程一、圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。

【要点】1.220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，2240D E F +-=时表示的是一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2240D E F +-<时方程没有实数解，不代表任何图形；只有当2240D E F +->时，方程才表示圆。

2.22,x y 的系数相同且不等于0；方程不含xy 项。

3. 圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径长为2242D E F +-4.圆的一般方程−−−→←−−−展开配方圆的标准方程考点一 由圆的一般方程求圆的圆心和半径由圆的一般方程求圆心坐标和半径长有两种方法： 1. 通过配方法化为标准方程； 2. 直接用公式法求。

例1 圆22420x y x y +-+=的圆心坐标和半径长分别是（ ）A. ()2,1,5-B.()2,1,5-C.()2,1,5-D.()2,1,5-考点二 判断形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程是否表示圆形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程表示圆必须具备的条件 1. 0A C =≠； 2. 0B =；3. 2240D E AF +->以上三个条件需同时满足时，二元二次方程才表示圆。

例2 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径；若不能，说明理由。

（1）222750x y x +-+=； （2）22580x xy y x y -+-++=； （3）222240x y x +-=； （4）22210x y ay ++-=； （5）2220x y ax ++=.考点三 由确定圆的条件求参数范围二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->，求参数取值范围问题可以转化为解不等式2240D E F +->。

〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。