与圆的轨迹方程

圆心的轨迹方程
本文将介绍圆心的轨迹方程。

圆心是指一个圆的中心点，它的位置是在该圆的所有点的平均值处。

圆心轨迹是圆上所有圆心点的轨迹，该轨迹有不同的形状，取决于圆的类型和其运动方式。

对于圆的一般方程：(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

我们可以将其展开并整理，得到：x+y-2ax-2by+a+b-r=0。

我们可以将x和y的系数合并，得到：(x-a)+(y-b)=(a+b-r)。

因此，圆心的轨迹方程为：(x-a)+(y-b)=(a+b-r)，这是一个圆
形方程，圆心位于(a,b)，半径为√(a+b-r)。

对于一个不动的圆，其圆心是不会移动的，因此其圆心轨迹方程就是一个点，即(a,b)。

对于一个固定圆在平面内绕着一个点旋转的情况，圆心的轨迹方程是一个半径为该点到圆心的距离的圆。

对于两个圆的情况，它们可能会相交、相离或者相切。

当它们相交时，圆心的轨迹方程是两个圆的交点组成的轨迹；当它们相离时，圆心的轨迹是两个圆的外切点组成的轨迹；当它们相切时，圆心的轨迹是两个圆的切点组成的轨迹。

- 1 -。

专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程 :1 .圆的标准方程：x a? y b2 r2o2 •圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0）特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆2 2 2思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；3 .圆的参数方程：y a r s°s(为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元:(3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，02 )上的点，则圆的普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是(答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)；3(4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_(答: [0 , 2]);(5) 方程x 22- 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0)}， N (x, y) | y x b ,若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& )二、点与圆的位置关系：已知点M x 0,y 0及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 ,(1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。

内切
|dr=_1_-__r_2_|_(r1≠r2)
内含
≤ < 0___d__|r1-r2|(r1≠r2)
代数法:两圆方程联立 组成方程组的解的情况
无___解 一组_____实数解 两组__不___同___的___实数解
一组实数解
无解
第一方面：圆与圆的位置关系的判定方法
问题1：若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相切, 则实数m的取值集合是________.
A．相交
B．相切
C．相离
D．与k 取值有关
3.已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的
公共弦所在的直线方程为__________．
4.已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两
点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
解得m=1-2 或m=2,或m=0或m2 =- .
5
5
所以实数m的取值集合是{12 , 2 ,0答, 2}案:
55
{12 , 2 ,0, 2} 55
【规律方法】 处理两圆位置关系多用圆心距与半径
和或差的关系判断,一般不采用代数法.
变式1： 若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与 圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则 实数m的取值范围是________.
法一：因为圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)关于直线 x-y=0的对称图形是圆C3:(x-1)2+y2=r2,由题 意可知圆C3与C2有公共点, 又因为两个圆有公共点的充要条件为圆心距不

与圆有关的轨迹方程的求法Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0. 例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ).∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分PA 的比为31.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x .例3、已知圆,422=+y x 过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ）A ．4)1(22=+-y xB ．)10(4)1(22<≤=+-x y xC ．4)2(22=+-y xD ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是 解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y xＣ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x 6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程. 8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ，则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥，所以AH OC //，OA CH //，OC OA =，所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y 又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解． 解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(b y a x M ++． 由222OA AM OM =+，即 22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+． 又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．① 又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ，由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ①βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar b r a r b r ββαα ③ 联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ，得a y c x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆； 当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于 解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.。

推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．

圆的轨迹方程求法技巧《说说圆的轨迹方程求法那些事儿》嘿，家人们！今天咱就来唠唠这个圆的轨迹方程求法技巧。

一说到圆啊，咱就想起那光滑圆润的形状，感觉特亲切。

求圆的轨迹方程呢，就像是追寻圆这家伙在数学世界里留下的脚印。

这可不是啥简单事儿，但别怕，咱有技巧！首先啊，你得跟那些已知条件搞好关系。

就好比你要去了解一个人的喜好才能跟他好好相处一样。

这些条件就是圆留下的蛛丝马迹，顺着它们往往就能找到圆的“藏身之处”。

比如说，给你几个点的坐标，或者说给你一条线段的长度啥的，这些都是关键线索呢！然后呢，咱就得用些“秘密武器”了。

什么待定系数法、直接法、定义法等等。

待定系数法就像是给圆穿上一件合适的衣服，通过设定几个参数，然后根据已知条件来确定它们的值，嘿，圆的样子就出来了。

直接法呢，就是直截了当地根据圆的性质去列式子，简单粗暴但有效。

定义法就更有意思了，直接根据圆的定义来，找到那个固定点和定长，圆就到手了！咱举个例子哈，比如告诉你一个点到另外两个固定点的距离之和是定值，那你就得反应过来，这可能是让咱用椭圆或者圆的定义来求轨迹方程啦。

嘿，这时候你就得机灵点，别傻傻地不知所措。

有时候啊，求这个轨迹方程就跟玩侦探游戏一样，得细心分析，不放过任何一个小细节。

一个不小心，可能就把圆给弄丢啦！当然啦，这过程中免不了会犯错。

就像咱走路也会摔跟头一样，没啥大不了的。

错了就改嘛，总结经验，下次就不会再犯啦。

总之呢，求圆的轨迹方程就是一场有趣的挑战。

咱得像个探险家一样，满怀好奇地去寻找答案。

别怕困难，跟着那些技巧，一步一个脚印地走，终究能找到那个漂亮的圆的轨迹方程。

所以啊，小伙伴们，加油吧！让我们一起在圆的轨迹方程的世界里尽情玩耍，找到属于我们自己的数学乐趣！嘿嘿，冲呀！。

x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）

[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m

1
(
m

1)


2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1

小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系

求轨迹方程的五种方法1.直线轨迹方程的求解方法：直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。

1.1斜率截距法：当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。

直线的轨迹方程为：y = mx + b。

1.2点斜式方法：当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。

直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。

1.3两点式方法：当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。

直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。

1.4截距式方法：当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。

直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。

1.5法向量法：当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。

直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。

2.圆轨迹方程的求解方法：圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。

2.1一般式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。

圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.2标准式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。

圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.3参数方程方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。

圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。

2.4三点定圆方法：当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。

圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。

圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法是数学中研究圆的有效方法，可以用于求解圆的相关问题。

本文将从四个方面介绍圆的轨迹方程求法：一是介绍圆的定义及特征；二是介绍求解圆的几种基本方法；三是介绍求解圆的一些技巧；四是介绍圆的轨迹方程求法归纳。

一、圆的定义及特征圆是一种特殊的曲线，它是由一个点作为中心，一个半径向外指向的圆弧所组成的。

圆的特征是它的曲线是一个完全封闭的曲线，它的每个点都离中心点的距离（即半径）都相同。

二、求解圆的几种基本方法1、求圆的标准方程要求出圆的标准方程，首先需要知道圆的中心坐标和半径，根据它们可以算出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

2、求圆的参数方程如果需要求出圆的参数方程，则需要知道圆心的坐标及其与圆心的距离，可以用参数x和y来表示圆心，t来表示距离，因此可以得出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。

3、求圆的极坐标方程极坐标可以表示圆上任意一点，极坐标方程可以用来求出圆上任意点的坐标，极坐标方程为：x=rcosθy=rsinθ其中，r是圆的半径，θ是定义域的角度范围，一般定义域的角度范围为0~2π。

三、求解圆的一些技巧1、利用圆的对称性圆的特征之一就是具有对称性，利用这一性质可以从比较简单的方向着手，可以减少求解的难度。

2、利用实际问题实际问题中经常涉及到求解圆的问题，在实际问题中有时可以把圆简化为线段，这样可以更容易地求解圆。

3、利用解析几何解析几何是一种求解几何形状的有效方法，利用解析几何可以更容易地求解圆的标准方程和参数方程。

四、圆的轨迹方程求法归纳1、圆的标准方程求法根据圆的定义及其特征，可以求出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

2、圆的参数方程求法根据参数定义，可以求出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。

b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，

圆中的轨迹方程问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆中的轨迹方程问题一直是数学领域中的经典难题之一，其研究涉及到圆的性质、几何关系等多个方面。

在解决这类问题时，我们常常需要运用代数、几何、解析几何等知识，通过推理和分析来找出问题的解决方案。

让我们来了解一下什么是轨迹方程。

在数学领域中，轨迹方程是描述曲线或者点在运动中的路径的数学方程。

而在圆中的轨迹方程问题中，就是要求找出圆内部或者圆周上点的运动路径的方程。

在圆中的轨迹方程问题中，有一类比较经典的问题就是求解圆的内切方程。

内切方程是指一个点在圆内部的路径方程。

根据圆的性质和几何关系，我们可以通过分析得到内切方程的表达式。

以一个简单的例子来说明，给定一个半径为r的圆，圆心坐标为(a, b)，点P(x, y)在圆内部运动。

我们可以通过利用圆的方程和点到圆心的距离等条件来推导出P点的轨迹方程。

我们知道圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²又因为点P在圆内部，所以P点到圆心的距离不能大于半径r。

即有：√[(x-a)² + (y-b)²] < r在解决圆中的轨迹方程问题时，我们还可以运用解析几何的方法来求解。

通过将问题转化为代数方程组，利用代数方法来解决。

举个例子，假设有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0, 0)，一个移动点M(x, y)在圆周上运动。

我们需要求出M点的轨迹方程。

根据圆的定义，M点在圆周上，所以有：x² + y² = r²M点的横纵坐标均为x，y，因此M点在第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标可以分别表示为(x, y)，(-x, y)，(-x, -y)，(x, -y)。

M点的轨迹方程为：(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²) = 0两个圆的轨迹交点可以表示为一个方程组，通过求解方程组的解得到轨迹交点的坐标。

轨迹方程知识点总结一、轨迹方程的概念轨迹方程是指在平面直角坐标系中，描述某一特定几何对象的运动过程中所有可能位置点的集合的方程。

它是描述物体或点在运动中所遵循的规律和路径的数学工具。

轨迹方程是一种抽象的数学概念，通过它可以描述所有可能的位置点的集合，从而揭示几何对象的运动轨迹规律。

二、轨迹方程的表示1. 参数方程表示法轨迹方程可以使用参数方程来表示。

参数方程的形式通常为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y是时间t的函数。

通过变化参数t的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。

2. 极坐标方程表示法轨迹方程也可以使用极坐标来表示。

极坐标方程的形式通常为r=f(θ)，其中r是极坐标系下到原点的距离，θ是到x轴正向的角度。

通过变化θ的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的极坐标表示。

3. 一般方程表示法轨迹方程还可以用一般方程来表示。

一般方程的形式通常为F(x,y)=0，其中F是一个关于x和y的函数。

通过解一般方程，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。

三、轨迹方程的应用1. 描述物体的运动轨迹轨迹方程可以被用来描述物体在运动中所遵循的路径规律。

通过物体的运动速度和加速度等信息，可以推导出物体的轨迹方程，从而预测物体的位置和运动状态。

2. 分析几何对象的性质轨迹方程可以被用来分析几何对象的性质。

通过对轨迹方程的分析，可以得到几何对象的面积、周长、对称性等性质，从而深入理解几何对象的结构和特点。

3. 解决实际问题轨迹方程也可以被用来解决实际问题。

例如，通过轨迹方程可以计算物体的轨迹长度、运动时间、最大速度、最大加速度等参数，从而为实际问题的分析和解决提供数学工具和方法。

四、轨迹方程的求解方法1. 参数方程的求解对于参数方程表示的轨迹方程，可以通过分离变量、积分等方法求解。

例如，对于一条直线的参数方程x=at，y=bt，可以求解出轨迹方程为y=ax/b。

2. 极坐标方程的求解对于极坐标方程表示的轨迹方程，可以通过代入坐标变换、积分等方法求解。

△<0 △=0 △>0
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a) ( y b) r
n=0 n=1 n=2
直线与圆相离 直线与圆相切
直线与圆相交
几何法：
1.把直线方程化为一般式,并由圆的方程求出圆心坐 标（a ,b）和半径 r； 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；
2
( y 2) 2 25
如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
4 5 2 5 ( ) 5 即圆心到所求直线的距离为 5 ． 2 因为直线l 过点 M (3,， 3)
所以可设所求直线l 的方程为：y 3 k ( x 3)
kx y 3k 3 0
2
故所求切线方程为： y 1 7( x 2) 或 y 1 ( x 2)
即 7x y 15 0 或 x y 1 0 .
小结：求圆的切线方程的常用方法
(1) 若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条. 1 利用圆的切线的性质,求出切线的斜率k切= , kCP 代入点斜式方程可得. 也可以利用结论:若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上, 则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.
d
aA bB C A B
2 2
3.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
d=r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d<r
练习5
1、判断直线 3x 4 y 2 0 与圆 x 2 y 2 2 x 0 的位置关系.
2、已知直线l ：y = x + 6, 圆C：x2 + y2 - 2y – 4 = 0. 试判断直线l与圆C有无公共点，有几个公共点.

圆轨迹方程的求法哎呀，说起圆轨迹方程的求法啊，这事儿我得跟你细细说道说道。

你别看数学书上那些公式啊定理啊，写得密密麻麻的，其实啊，它就像咱们平时玩的拼图游戏，只要掌握了方法，就能轻松搞定！记得那时候，我还在上高中，数学课上讲到圆轨迹方程，我是一脸懵啊。

老师在上面讲得天花乱坠，我在下面听得云里雾里的。

心里头那个急啊，就像是热锅上的蚂蚁，团团转！直到有一天，我遇到了一个特别有意思的题目，这才让我对圆轨迹方程有了全新的认识。

题目是这样的：一个动点P在平面上移动，它到两个定点F1和F2的距离之和是个定值，求动点P的轨迹方程。

我一看到题目，心里头那个乐啊，这不就是个现实版的“两点之间，线段最短”的升级版嘛！不过这次不是求最短，而是求一个定值范围内的轨迹。

我开始琢磨起来，动点P到两个定点F1和F2的距离之和是个定值，那不就是说，P点就像是在一个橡皮筋上滑动嘛，橡皮筋的两头分别固定在F1和F2上，P点就是橡皮筋上的一个小珠子，随着橡皮筋的拉伸或收缩，P点就在平面上画出一条轨迹。

我拿起笔，开始在纸上画了起来。

我先画了两个点F1和F2，然后用尺子量了量它们之间的距离，记了下来。

接着，我随手在纸上点了一个点P，假装它就是那个动点。

然后，我用圆规分别以F1和F2为圆心，以P到F1和F2的距离之和的一半为半径，画了两个圆。

这两个圆啊，就像是P点的两个“家”，P点就像是个调皮的孩子，在两个“家”之间跑来跑去。

我看着这两个圆，心里头那个激动啊！我突然发现，这两个圆在P点跑过的路径上，竟然有一个交点！我恍然大悟，这不就是P点的轨迹嘛！原来，动点P的轨迹就是一个椭圆啊！我赶紧拿起笔，开始写解题过程。

我先设了F1和F2的坐标，然后设了动点P的坐标。

接着，我根据题目条件，列出了P到F1和F2的距离之和等于定值的方程。

然后啊，我就开始解这个方程，经过一番折腾，终于得出了P点的轨迹方程，就是一个椭圆的方程！我看着自己写出来的答案，心里头那个美啊！就像是完成了一幅杰作一样。

高中数学：与圆有关的轨迹问题(1)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( D )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0 解析：由题意得|PC |2－22＝|PO |，所以(x －3)2＋(y ＋4)2－4＝x 2＋y 2，即6x －8y －21＝0，故选D.(2)(2019·郑州模拟)已知线段AB 的端点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上运动，端点A 的坐标为(4,0)，线段AB 的中点为M .则点M 的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4__.解析：设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ， ∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.【结论探究】 在本典例(2)中，若圆C 1与曲线C 2交于C ，D 两点，试求线段CD 的长．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋(y －2)2＝4，x 2＋(y －4)2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0,4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522， 又圆C 1的半径为4，∴线段CD 的长为242－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝14. 1.求与圆有关的轨迹问题的四种方法2．求与圆有关的轨迹问题的相关步骤已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)方法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3， 所以y x ＋1·y x －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)． 方法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0) ，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．。